2018年上海市徐汇区高三二模数学卷(含答案)

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U .2．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________．4．已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 5．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．7．函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 .10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11．若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．12．已知向量,a b 满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。

考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是--------（ ）（A ）菱形 （B ）矩形 （C ）直角梯形 （D ）等腰梯形14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ）（A ）第一象限． （B ）第二象限． （C ）第三象限． （D ）第四象限．15．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的------------（ ）（A ） 充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ） 充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为------------------------------------------------------------------( )（A ）10 （B ）8 （C ）45 （D ）12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答NMD 1C 1B 1A 1DCBA题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，4AD =，1AC ，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点． （1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =（公里），0045,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ∆是等腰三角形，0120ABD ∠=．（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60AB CD公里/小时，问，汽车能否先到达C 处19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]， (1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k . (1)求23k k ⋅的值；(2)若直线MN 过点2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足*11()12n n A A n N n n +-=∈+，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ⋅⋅⋅，求该数列的前n 项和n S ；(3)设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分１．]3,1[- 2．20 3．(0,)+∞ 4．1 5．16π 6．1- 7．π 8．15π 9．1610． 2220x y x y +--= 11．114⎛⎫ ⎪⎝⎭，12．815二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）13．A 14．D 15．B 16．A三．解答题：（本大题共5题，满分74分）17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1） 连AC 、1AC ． ABC ∆是直角三角形，∴AC == 1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC C C ⊥1，CD C C ⊥1，又C BC DC =⋂，∴⊥C C 1平面ABCD ，∴AC C C ⊥1．又在1ACC Rt ∆中，1AC =，AC =，∴11CC =，∴11118ABCD A B C D V -=．--------6END 1C 1B 1A 1D CBA分（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则()14,0,1A 、()4,1,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =-、()12,0,1B N =--，10分则向量1AM 与1B N 所成角θ满足111110cos 10A MB N A M B Nθ⋅==⋅． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于arccos10．14分 解法二：取AD 的中点E ，连E A 1、EM ．11////B A AB EN ，∴四边形NE B A 11为平行四边形，N B E A 11//∴，∴M EA 1∠等于异面直线M A 1与N B 1所成的角或其补角．----------------------------------------9分1AM =，2AE =，11=AA ，得1AM =1AE，5=EM ， ∴1cos 10EA M ∠==，1EA M ∠=．∴异面直线MA 1与NB 1所成的角等于arccos10．----------------------------14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）10AB =（公里）， BCD ∆中，由00sin 45sin30BD BC=，得BC =-------------------2分于是，由106051.215020+≈>知， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到C处．---------------------------------------6分（2）在ABD ∆中，由22211010210103002AD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，得AD =（公里），------------------------------------------------------------8分在BCD ∆中，0105CBD ∠=，由00sin105sin 30CD =，得(51CD =（公里），-----------------------------------------------------10分由(5160152045.9851.2160⨯+=+≈<（分钟）知，汽车能先到达C处．-----------------------------------------------------------14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1) 3[8,1]3[73,136]x y x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩；------------------------------------------------------6分 (2)01 若302t≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分02 若3152t≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分03 当33122t ≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32t的对称区间是[]33,3t t -，于是当312332t t <⎧⎪⎨≥⎪⎩或33153122t t ->⎧⎪⎨≤⎪⎩，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综上，(,0][2,4)(6,8][10,)t ∈-∞+∞．------------------------------------------14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)设00(,)N x y，由于(A B ，所以2023202y k k x ⋅==-，因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-，所以202320122y k k x ⋅==--.------------------------------------------------------------------4分(2)设直线:2MN x my =+1122(,),(,)M x y N x y，由22222x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得223(2)02m y +-=，于是()12122322y y y y m +=⋅=-+，------------------------------------6分13121222k k ⋅==()()2222332212396322222m m m m m --+===---+++．10分(3)由于直线MN 与x 轴的交点为(,0)t ，于是:MN x my t =+，联立直线:MN x my t =+与椭圆22:12x C y +=的方程，可得222(2)220m y mty t +++-=，于是212122222,22mt t y y y ym m -+=-⋅=++.-------------------------------------------------12分因为直线:AM y x =+，直线:BNy x =，两式相除，可知2211y y y y===22212221222()222(2t mtm t y m m t m t y m -⋅++--++==-⋅++2==，于是2xt =，所以2x t=，即直线AM 与直线BN 的交点Q 落在定直线2x t=上．16分 21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)【解】答案：(1)因为*11()12n n A A n N n n +-=∈+，于是数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，所以1122n A n n =+，即*(1)()2n n n A n N +=∈， 当2n ≥时，1n n n a A A n -=-=，又因为11a =，所以*()n a n n N =∈.--------------2分又因为*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，于是数列{}n b 是等差数列， 设{}n b 的前n 项和为n B ，由于95936B b ==，则54b =，由于32b =， 所以1(*)n b n n N =-∈．---------------------------------------------------------------------------------4分(2)数列{}n a 的前n 项和(1)2n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n nB -=．----5分 当2(*)n k k N =∈时，22(1)(1)22n k k k k k k kS S A B k +-==+=+=；-----------6分当43(*)n k k N =-∈时，2432122(21)(23)(1)463n k k k S S A B k k k k k k ---==+=-+--=-+；----------7分当41(*)n k k N =-∈时，241212(21)(21)42n k k k S S A B k k k k k k--==+=-+-=-；------------------------8分所以2221,243,4341,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，其中*k N ∈．------------------------------------------------10分(3)由(1)可知，121n c n =-. 若对于任意给定的正整数()2k k ≥，存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列，则2l k m c c c =+，即211212121l k m =+---，---------------------------------------11分于是121421212121(21)(21)k l m l k l k --=-=-----，所以222(1)(214)(21)421421kl k l k l k k m k l k l +--+-+-==----2(21)1421k k k l -=-+--，即2(21)1421k m k k l -=+---，------------------------------------------13分则对任意的()2,k k k N *≥∈，421k l --能整除2(21)k -，且4210k l -->. 由于当2k ≥时，21k -中存在多个质数， 所以421k l --只能取1或21k -或()221k -------------------------------------------------14分若4211k l --=，则21l k =-，2452m k k =-+，于是2473(43)(1)0m l k k k k -=-+=-->，符合k l m<<；----------------------------15分 若42121k l k --=-，则k l=，矛盾，舍去；---------------------------------------------16分 若2421(21)k l k --=-，则2m k +=，于是m ≤，矛盾．-------------------------------17分综上，当2<<，k≥时，存在正整数2=-=-+，满足k l ml k m k k21,452且使得,,c c c成等差数k l m列．-----------------------------------------------------------------------------------------------------18分。