导数压轴题的几种处理方法

等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法：

1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算 1+ ln x

例：已知函数 f (x ) = ．

（Ⅰ）若函数在区间 (a , a + 12) （其中 a > 0 ）上存在极值，求实数 a 的取值范围；

（Ⅱ）如果当 x ≥ 1 时，不等式 f (x ) ≥

k 恒成立，求实数 k 的取值范围；

x +1

解：（Ⅰ）因为

f (x ) = 1+ ln x ， x > 0 ，则 ' = - ln x ， … 1 分

x f (x ) x

当 0 < x < 1 时， ' > 0 ；当 x > 1 时， ' ． 所以 f (x ) 在（0，1）上单调递

f (x ) f (x ) < 0

增 ； 在 (1, +∞) 上 单 调 递 减 ，

所 以 函 数 f (x ) 在 x = 1 处 取 得 极 大 值 ．

… 2 分 因为函数 f (x ) 在区间 (a , a + 1 ) （其中 a > 0 ）上存在极值，

2

?a < 1

1 所以 ?? 1 , 解得 < a < 1. … 4 分 ?a +

> 1 2

2

?

（Ⅱ）不等式 f (x ) ≥ k ，即为 (x +1)(1+ ln x ) ≥ k , 记 g (x ) = (x +1)(1+ ln x ) ,

x +1 x x 所以 ' ' x - ln x … 6 分 [(x +1)(1+ ln x )] x - (x +1)(1+ ln x )

g (x ) = x 2 = x 2 ,

令 h (x ) = x - ln x , 则 h '(x ) = 1 - 1x ， x ≥ 1,∴ h '(x ) ≥ 0.

∴ h (x ) 在 [1, +∞) 上单调递增，∴[h (x )]min = h (1) = 1 > 0 ，从而 g '(x ) > 0

故 g (x ) 在 [1, +∞) 上也单调递增，∴[g (x )]min = g (1) = 2 ，所以 k ≤ 2 …8 分

2、直接求导后对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围

例题：设，其中

． （1）若有极值，求的取值范围；

（2）若当，恒成立，求的取值范围．

解：（1）由题意可知：，且有极值， 则有两个不同的实数根，故，

解得：

，即 （4 分） （2）由于 ， 恒成立，则 ，即

（6 分） 由于 ，则

① 当时，在处取得极大值、在处取得极小值， 则当

时， ，解得： ； （8 分） ② 当时，，即在上单调递增，且，

则

恒成立； （10 分） ③ 当

时，在

处取得极大值、在处取得极小值，

则当时，

综上所述， 的取值范围是：

，解得：

但是对于导数部分的难题，上述方法不能用时，我们得另辟蹊径：

一、分开求左右最值：

1、已知函数 f (x ) = x ln x 。 （1）求函数 f (x ) 在 [t , t + 2](t > 0) 上的最小值；（2）求证：对一切 x ∈ (0,+∞)，都有 ln x > e 1x - ex

2

解（1） f '(x ) = ln x + 1,令 f '(x ) = 0 ，得 x = 1e ，

当 x ∈ (0, 1e ) 时， f '(x ) < 0, f (x )

分）

t > 0 ∴① 当 0 < t < 1e 时，

f (x )min = f (1e ) = - 1e ；（ 4 分）

x ∈ ( e ,+∞) f (x ) > 0, f (x ) 2 单减；当 1 时， ' 单增。 （ ? 1 ? ? 1 ? f (x ) 在 ?t , ? 上单减，在 , t + 2? 上单增，所以 e ? ? ? e ? ② 当 t ≥ 1 时， f (x ) 在 [t , t + 2]上单增，所以 e

f (x )min = f (t ) = t ln t 。 （6 分）

（2）要证原命题成立，需证： f (x ) > x - 2 (x > 0) 成立。

e x e 设 x 2 ， 则 ' 1 - x ， 令 ' 得 ， 当 x ∈ (0,1) 时 ， g (x ) = e x - e e x x = 1 g (x ) = g (x ) = 0 g (x ) > 0, g (x ) x ∈ (1,+∞) g (x ) < 0, g (x ) x = 1

' 单 增 ； 当 时 ， ' 单 减 ， 所 以 当 时 ， g (x )max = - 1 。 （9 分） e

1 1 1 1 又由（1）得 f (x ) 在 (0, ) 上单减，在 ( ,+∞) 上单增，所以当 x = 时， f (x )min = - ，

e e e e

又 f (1) = 0 > - 1e = g (1),∴ f (x ) > g (x ) ，（ 11 分）所以对一切 x ∈ (0,+∞) ，都有 ln x > e 1x - ex 2 成立。（12 分）

2、设函数，记，若函数至少存在

一个零点，则实数的取值范围是 ．

设

，令，

，发现 函数

在

上都单调递增，在

上都单调递减，于是函数 在

上单调递增，在

上单调递减，所以当

时 ，所以函数有零点需满足，即 .

二、适当处理后能够简化运算：

3、(2014年一测)已知函数f (x )=xlnx ，

g(x)=k(x-1)

（1）若f (x )>=g(x),求k 的范围

.⑴解:注意到函数 f (x ) 的定义域为 (0, +∞) ,

所以 f (x ) ≥ g (x ) 恒成立 ?

f (x ) ≥

g (x ) 恒成立, x x k (x -1)

设 h (x ) = ln x - (x > 0) , h (x ) = x - x 2 = x x 2

则 ' 1 k

x - k , ------------2 分

当 k ≤ 0 时, h '(x ) > 0 对 x > 0 恒成立,所以 h (x ) 是 (0, +∞) 上的增函数,

注意到 h (1) = 0 ,所以 0 < x < 1时, h (x ) < 0 不合题意.-------4 分

当 k > 0 时,若 0 < x < k , h '(x ) < 0 ;若 x > k , h '(x ) > 0 .

所以 h (x ) 是 (0, k ) 上的减函数,是 (k , +∞) 上的增函数,

故只需 h (x )min = h (k ) = ln k - k +1 ≥ 0 .--------

6 分

令 u (x ) = ln x - x +1(x > 0) ,

u '(x ) = 1x -1 = 1-x x ,

当 0 < x < 1时, u '(x ) > 0 ; 当 x > 1 时, u '(x ) < 0 .

所以 u (x ) 是 (0,1) 上的增函数,是 (1, +∞) 上的减函数.

故 u (x ) ≤ u (1) = 0 当且仅当 x = 1 时等号成立.

所以当且仅当 k = 1 时, h (x ) ≥ 0 成立,即 k = 1 为所求.

三、放缩后，求参数范围

4、设函数 f (x ) = e x -1- x - ax 2

。

（1） 若 a = 0 ，求 f (x ) 的单调区间；

（2） 若当 x ≥ 0 时 f (x ) ≥ 0 ，求 a 的取值范围

（1）a=0时，f(x)=e x-1-x，f'(x)=e x-1.

当x ∈(-∞, 0)时， f '(x)<0；当 x ∈(0,+∞)时， f '(x)>0.故 f (x)在(-∞, 0)单调减少，在 (0, +∞) 单调增加

（II）f'(x)=e x-1-2ax

由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立.故

f'(x) ≥x- 2ax= (1- 2a)x，

从而当1- 2a≥ 0 ，即a≤1

2时，f'(x)≥0 (x≥0)，而f(0)=

0，于是当 x ≥0时，f(x)≥0.

由e x>1+ x(x ≠0)可得 e-x>1- x(x ≠0).从而当a>1

2时，

f'(x)

故当 x ∈(0, ln 2a)时， f '(x)<0，而 f (0)=0，于是当 x ∈(0, ln 2a)时， f (x)<0.

综合得 a 的取值范围为(-∞, 1 ] .

2

值值f (x)= xe-x(1)值 f (x)值值值值

5、（2014年二测）

(2)0 f ( k ), 值k值值值

x

f (x)=(1- x)e (x∈R) f (x)>0 x <1 f (x)<0

解（Ⅰ）由题知' - x ，当' 时，，当' 时，

x >1，----3分所以函数 f (x)的增区间为(-∞,1)，减区间为(1,+∞)，

其极大值为 f (1) = 1 ，无极小值．-----------5 分

e

（Ⅱ）由题知 0

x≤0

在(-∞,1) 单调递增，

所以 f (x)> f (k

x)，符合题意；-------7分

当0 f(1)，这与函数在(-∞,1)单调递增不符；9 分

当k ≥1时，因为k

x≥

1

x>1，由⑴知函数f(x)在(1,+∞)单调递减，

所以 f (k

x)≤ f (

1

x)，即只需证 f (x)> f (

1

x)，即证 xe-x>

1

x e-1x，

即ln x-x> - ln x-1

x， 2 ln x-x+

1

x> 0 ，令h(x) = 2 ln x-x+

1

x (0

则h'(x)=-x

2

+2x-1

= -

(x-1)

2<0对0

所以 h(x)为(0,1)上的减函数，所以 h(x)> h(1)=0，

所以 f (x)> f ( k ) ，符合题意．------- 11 分

x

综上： k ∈(-∞, 0] [1,+∞)为所求．------------ 12 分6、（2013 年辽宁）已知函数

f( x)=(1+ x)e-2x, g ( x)= ax +x

3+1+2x cos x.当x

∈[0,1]时2

(I)求证:1-x≤f(x)≤1+1

x ; (II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a取值范

第一问略：