导数压轴题的几种处理方法

故g(x)在[1,)上也单调递增，[g(x)]ming(1)2，所以k2…8 分
2、直接求导后对参数展开讨论，然后求出含参最值，从而确定参数范围
例题：设 ，其中 ．
（1）若 有极值，求 的取值范围；
（2）若当 ， 恒成立，求 的取值范围．
解：（1）由题意可知： ，且 有极值，
则 有两个不同的实数根，故 ，
由ex1x(x0)可得ex1x(x0).从而当a12时，
f'(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，
故当x(0, ln 2a)时，f'(x)0，而f(0)0，于是当x(0, ln 2a)时，f(x)0.
综合得a的取值范围为(,
1
].
2
值 值
f(x)xex(1)值
f(x)值
值 值 值
5、（2014年二测）(2)0x1值f(x)f(
(I)求证:1-xfx11x;(II)若fxgx恒成立,求实数a取值范
第一问略：
x(e,)
f(x)0,f(x)
2
单减；当
1
时，
单增。
（
1
1
f(x)在
t,
上单减，在
,t2
上单增，所以
e
e
②当t
1
时，f(x)在t,t2上单增，所以
e
f(x)min
f(t)tlnt。
（6 分）
（2）要证原命题成立，需证：f(x)
x
2
(x0)成立。
ex
e
设
x
2
， 则
1x
， 令
得
， 当
x(0,1)
时 ，
g(x)ex
当x(, 0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0.故f(x)在(, 0)单调
减少，在(0,)单调增加
（II）f'(x)ex12ax
由（I）知ex1x，当且仅当x0时等号成立.故
f'(x)x2ax(12a)x，
从而当12a0，即a12时，f'(x)0 (x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.
一、分开求左右最值：
1、已知函数f(x)xlnx。 （1）求函数f(x)在t,t2(t0)上的最小值；（2）求证：对一切x0,，都有lnxe1xex2
解（1）f(x)lnx1,令f(x)0，得x1e，
当x(0,1e)时，f(x)0,f(x)
分）
t0①当0t1e时，
f(x)minf(1e)1e；（4分）
所以f(x)f(kx)，符合题意；-------7分
当0k1时，取xk，可得f(k)f(1)，这与函数在(,1)单调递增
不符；9 分
当k1时，因为kx1x1，由⑴知函数f(x)在(1,)单调递减，所以f(kx)f(1x)，即只需证f(x)f(1x)，即证xex1xe1x，
即lnxxlnx1x，2 lnxx1x0，令h(x)2 lnxx1x(0x1)，
解得：
，即
（4分）
（2）由于
，
恒成立，则
，即
（6分）
由于
，则
①当 时， 在 处取得极大值、在 处取得极小值，
则当 时，，解得：；（8分）
②当 时， ，即 在 上单调递增，且 ，
则 恒成立；（10分）
③当 时， 在 处取得极大值、在 处取得极小值，
则当 时，
综上所述，的取值范围是：
，解得：
但是对于导数部分的难题，上述方法不能用时，我们得另辟蹊径：
2
a1
1
所以
1
,
解得
a1.
… 4 分
a
1
2
2
（Ⅱ）不等式f(x)
k
，即为
(x1)(1lnx)
k,
记g(x)
(x1)(1lnx)
,
x1
x
x
所以
xlnx
… 6 分
[(x1)(1lnx)]x(x1)(1lnx)
g(x)
x2
x2
,
令h(x)xlnx,则h(x)11x，x1,h(x)0.
h(x)在[1,)上单调递增，[h(x)]minh(1)10，从而g(x)0
则h(x)x22x1(x1)20对0x1恒成立，
x2x2
所以h(x)为(0,1)上的减函数，所以h(x)h(1)0，
所以f(x)f(
k
)，符合题意．-------
11 分
x
综上：k(, 0] [1,)为所求．------------
12 分
6、（2013年辽宁）已知函数
fx1xe2x,gxaxx312xcosx.当x0,1时2
2、设函数 ，记 ，若函数 至少存在
一个零点，则实数 的取值范围是．
设
，令 ，，发现
函数 在 上都单调递增，在 上都单调递减，于是函数
在 上单调递增，在 上单调递减，所以当
时，所以函数 有零点需满足 ，即.
二、适当处理后能够简化运算：
3、(20来自百度文库4年一测)已知函数f(x)=xlnx，
g(x)=k(x-1)
x
1
解：（Ⅰ）因为
f(x)
1lnx
，
x
0
，则
lnx
，
… 1 分
x
f(x)
x
当
0x
1
时，
0
；当
x
1
时，
．
所以
f(x)
在（0，1）上单调递
f(x)
f(x)0
增 ； 在(1,)上 单 调 递 减 ，
所 以 函 数f(x)在x1处 取 得 极 大 值．
… 2 分
因为函数f(x)在区间(a,a
1
)（其中a0）上存在极值，
所以u(x)是(0,1)上的增函数,是(1,)上的减函数.
故u(x)u(1)0当且仅当x1时等号成立.
所以当且仅当k1时,h(x)0成立,即k1为所求.
三、放缩后，求参数范围
4、设函数f(x)ex1xax2。
（1）若a0，求f(x)的单调区间；
（2）若当x0时f(x)0，求a的取值范围
（1）a0时，f(x)ex1x，f'(x)ex1.
注意到h(1)0,所以0x1时,h(x)0不合题意.-------4分
当k0时,若0xk,h(x)0;若xk,h(x)0.
所以h(x)是(0,k)上的减函数,是(k,)上的增函数,
故只需h(x)minh(k)lnkk10.--------
6 分
令u(x)lnxx1(x0),
u(x)1x11xx,
当0x1时,u(x)0;当x1时,u(x)0.
（1）若f(x)>=g(x),求k的范围
.⑴解:注意到函数f(x)的定义域为(0,),
所以f(x)g(x)恒成立
f(x)
g(x)
恒成立,
x
x
k(x1)
设h(x)lnx
(x0),
h(x)x
x2
x
x2
则
1
k
xk
,
------------2 分
当k0时,h(x)0对x0恒成立,所以h(x)是(0,)上的增函数,
等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法：
1、求导之后，将参数分离出来，构造新函数，计算
1lnx
例：已知函数f(x)．
（Ⅰ）若函数在区间(a,a12)（其中a0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x1时，不等式f(x)
k
恒成立，求实数k的取值范围；
k
),值
k值 值
值
x
f(x)(1x)e
(xR)
f(x)0
x1
f(x)0
解（Ⅰ）由题知
x
，当
时，
，当
时，
x1，----3分
所以函数f(x)的增区间为(,1)，减区间为(1,)，
其极大值为f(1)
1
，无极小值．-----------5 分
e
（Ⅱ）由题知0x1， 当k0时，因为kx0x1，由⑴知函数在(,1)单调递增，
e
ex
x1
g(x)
g(x)0
g(x)0,g(x)
x(1,)
g(x)0,g(x)
x1
单 增 ； 当
时 ，
单 减 ， 所 以 当
时 ，
g(x)max
1
。
（9分）
e
1
1
1
1
又由（1）得f(x)在(0,
)上单减，在(
,)上单增，所以当x
时，f(x)min
，
e
e
e
e
又 f(1)01eg(1),f(x)g(x)，（11分）所以对一切x(0,)，都有lnxe1xex2成立。（12分）