西北工业大学2007至2008学年第一学期线性代数考试试题
线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案
北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__李兴斯 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3； （B ）6； （C ）9； （D ）12。
2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8。
2007~2008线性代数试题1答案
一、选择题： [教师答题时间：2 分钟]（每小题 3 分，共 12分） ①C ②D ③D ④A二、填空题： [教师答题时间：4分钟]（每空 3分，共 12 分） ① 3 ② 线性相关 ③ n-r ④线性无关三、计算题 [教师答题时间： 6 分钟]（共16分）1、解: 2220000()000ab a b D a b b a ba==-（共8分）2、151110110010022(,)210010~010511(63250010017112251122A 511(271122A E -⎛⎫--⎪⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭分）所以分）四、综合题 [教师答题时间： 14 分钟]（共30分）1）解：12341234121131113111230252(,,,)(2~(2423100615624110025210020101~(4,,(3001000002(4αααααααααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=-分）分）分）所以最大无关组是分），并且分）2）解：11111111111(A )43511(2~01153(41310131R A 223k (410242(A )01153000002110a b a a b a a x c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭-⎛=，b 分）分）因为（），所以，行有比例关系，设为，则有-k=1-a,k=3-a,-5k-b-a,3k=1+a,求得k=1,a=2,b=-3分）故有，b 所以24253(50010c ⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分）五题 、解答题 [教师答题时间：8 分钟]（共12分）121323212311231)222011101(4110112)11(1)(2)(2112,1(221110112,2121~011,11120001111,T f x x x x x x x Ax A A E A E A E λλλλλλλλλληλλ=-+=-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭---=-=--+--=-==--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭--==-=分）分）所以分）由取由()2312131231111111~00011200002101,1;1,1111122,1,P=,,,P 1(511P P P P P P AP ηη--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪===-= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎭⎭-⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪-⎭⎝⎭取单位化：取有分） 六题 、解答题证明 [教师答题时间： 10 分钟]（共18分）22111)40(21021110,40;240(44ttA ttt A tt⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭=>=->=-+><二次型矩阵分）因为分）故有分）()()()() 12121211212 122),,(3111,,,,010(30011111110100,,010,,001001,,(2Y X XY Y X Y X Y X XY Y X Y X Y X X Y Y X Y X-⎛⎫⎪-+=-⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪-≠-+-=⎪⎪⎝⎭-+反证法说明无关分）分）因为，故可逆，故故无关分）。
线性代数简史试题及答案
线性代数简史试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 线性代数最早起源于哪个领域？A. 物理学B. 经济学C. 几何学D. 天文学答案：D2. 线性代数的现代形式是由哪位数学家建立的？A. 高斯B. 牛顿C. 拉格朗日D. 柯西答案：D3. 线性代数中，矩阵的乘法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 所有以上性质答案：C4. 线性代数中，哪个概念用于描述线性空间的基？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 特征值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 线性代数中，一个矩阵的______ 表示该矩阵的行数与列数的乘积。
答案：阶数2. 线性代数中，如果一个矩阵的行向量线性无关，则称该矩阵为______ 矩阵。
答案：满秩3. 线性代数中，一个向量空间的基的向量数量称为该向量空间的______。
答案：维数4. 线性代数中，一个线性方程组的系数矩阵的行列式为零，则该方程组是______。
答案：无解或有无穷多解三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述线性代数在现代科学中的重要性。
答案：线性代数是现代科学中的基础工具，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学等领域。
它提供了一种描述和解决多变量线性关系的方法，是理解复杂系统和进行数据分析的基础。
2. 解释线性代数中的“线性变换”概念。
答案：线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的函数，该函数满足两个条件：一是加法的保持性，即对于任意两个向量，变换后的向量和等于变换前向量和的变换；二是数乘的保持性，即对于任意向量和标量，变换后的向量等于标量乘以向量变换的结果。
3. 什么是特征值和特征向量？它们在实际问题中有何应用？答案：特征值和特征向量是线性代数中的重要概念。
对于一个给定的方阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，则称λ为A的特征值，v为对应的特征向量。
特征值和特征向量在许多实际问题中都有应用，如在物理学中描述系统的稳定性，在计算机图形学中用于图像处理和动画制作等。
西北工业大学(已有10试题)
西北工业大学航空学院德语（一外）2007理论力学1997，2000，2002——2004，2007腐蚀防护2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）材料科学基础2003——2010（2010为回忆版）（2005——2009有答案）飞机总体设计原理2003——2004，2007材料力学2003——2004，2007数字电子技术2003，2007数字电路2004空气动力学2003——2004，2007空中交通管理基础2003——2004，2007结构有限元分析基础2007流体力学2003——2004，2007机械振动基础2007自动化检测技术2007航天学院日语(一外)2007德语（一外）2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）航天器与导弹控制原理2007飞行器飞行力学2007气体动力学2007飞行器结构力学2007火箭发动机原理2007数字电子技术2003，2007数字电路2004材料力学2003——2004，2007航海学院水声学原理2003——2004，2007噪声与振动控制2007理论力学1997，2000，2002——2004，2007流体力学2003——2004，2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）模拟电子技术2003——2004，2007数字信号处理2002——2004，2007通信原理2001——2004，2007（2002有答案）微弱信号检测技术2007信号检测与估计2003——2004，2007动力装置原理2007微机原理及应用2000——2004，2007（2000——2003有答案）[说明：2003年试卷名称为“微型计算机原理”]信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）塑性成形原理2003——2004材料学院材料科学基础2003——2010（2010为回忆版）（2005——2009有答案）陶瓷工艺原理2007材料力学2003——2004，2007塑性成形原理2003——2004机电学院设计理论2007工业设计2007电工技术与电子技术2007工业设计基础2003——2004电子技术基础1996——1997，2004，2007设施规划与设计2007汽车理论基础2007数控机床2007机械设计2003——2004，2007机械原理1996，2001，2003——2004微机原理及应用2000——2004，2007（2000——2003有答案）[说明：2003年试卷名称为“微型计算机原理”]电路1998——1999电路基础2001——2004，2007数字电子技术2003，2007数字电路2004电力电子技术2003——2004，2007机械加工工艺学2003——2004，2007计算机辅助管理2002——2004，2007计算机辅助制造2003——2004，2007C语言2003C语言程序设计2004塑性成形原理2003——2004力学与土木建筑学院建筑历史2007建筑设计原理2007道面工程2007理论力学1997，2000，2002——2004，2007材料力学2003——2004，2007结构力学（土建）2003——2004，2007钢筋混凝土结构2007道面工程2007动力与能源学院德语（一外）2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）传热学2003——2004，2007工程流体力学2003——2004，2007工程热力学2002——2004，2007叶轮机械原理2007信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）电子技术基础1996——1997，2004，2007电工技术与电子技术2007数字电子技术2003，2007数字电路2004模拟电子技术2003——2004，2007电子信息学院电路1998——1999电路基础2001——2004，2007模拟电子技术2003——2004，2007信号与系统2002——2007（注：2006年试卷共4页，缺第1页）通信原理2001——2004，2007（2002有答案）数字电子技术2003，2007数字电路2004自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）数字信号处理2002——2004，2007电磁场与电磁波2002——2004，2007武器运筹学2007航空火力控制原理2007随机信号分析2003——2004教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2008自动化学院德语（一外）2007自动控制原理1995——1996，2000——2007（2001——2006有答案）电路1998——1999电路基础2001——2004，2007计算机网络2007概率论2004，2007概率论与数理统计2003系统工程概论2007交通工程导论2007惯性导航原理2007传感器原理2007电机学2007电力电子技术2003——2004，2007电子技术基础1996——1997，2004，2007机电控制元件与系统2007微机原理及应用2000——2004，2007（2000——2003有答案）[说明：2003年试卷名称为“微型计算机原理”]C语言2003C语言程序设计2004医学图像处理2007计算机学院计算机专业基础2004，2007计算机组成与系统结构2001——2003计算方法2003——2004计算机综合技术2004编译原理2000——2002操作系统1999——2002数据结构1998——1999，2002软件综合技术2004离散数学2000——2002理学院高等代数2007数学分析2002，2007数学分析与高等代数2003——2004量子力学2002——2004，2007电动力学2007光学2003——2004，2007有机化学2004，2007数学（理学）2007普通物理2007数字电子技术2003，2007数字电路2004物理化学（凝聚态物理、材料物理与化学、材料学、材料加工工程、应用化学专业）2007物理化学（物理化学、药剂学专业）2007高分子化学2007高分子物理2007环境化学2007管理学院运筹学2003——2007（2005有答案）（注：2005年试卷共6页，缺第6页；2005年答案共6页，缺第6页）管理经济学2003——2004，2007管理学2002——2004，2007计算机辅助管理2002——2004，2007计算机辅助制造2003——2004，2007人文与经法学院俄语(一外)2007日语(一外)2007法语(一外) 2007英语水平测试2002——2004，2007英语写作知识与技能2002英语语言学测试2003英语语言学基础2002英语综合知识测试2004，2007英语(一外)2007德语水平考试（含语法、词汇、阅读、翻译及写作）2007综合知识考试(含德国国情, 语言学与德语文学基础知识)2007 法学综合2007马克思主义发展史2007政治学原理2007，2010（2010为回忆版）中国近现代史2007中国特色社会主义理论与实践2007经济法2007教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2008现代西方经济学2007艺术史2007艺术专业综合理论2007行政管理学2007，2010（2010为回忆版）软件学院计算机组成与系统结构2001——2003计算方法2003——2004计算机专业基础2004，2007计算机综合技术（含操作系统、计算机组成原理）2004，2007 编译原理2000——2002操作系统1999——2002数据结构1998——1999，2002软件综合技术（含数据结构、C++程序设计）2004，2007离散数学2000——2002生命科学院生物综合2007分子生物学2007生物医学工程综合2007有机化学2004，2007物理化学（凝聚态物理、材料物理与化学、材料学、材料加工工程、应用化学专业）2007物理化学（物理化学、药剂学专业）2007。
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数测试题及答案
1 1 1 1. 2 1 0 ,
1 1 0
1 1 1 1
2.
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
四、证明题(每小题8分，共16分)
1. A, B为两个n阶方阵,且 ABA B1,证明:
秩E AB 秩E AB n.
2. 设A为m n实矩阵,证明: 秩AT A 秩A.
线性无关?
3. 求实数a和b, 使向量组1 1,1,0,0,2 0,1,1,0 3 0,0,1,1与向量组1 1, a, b,1, 2 2,1,1,2, 3 0,1,2,1等价.
三、证明题 (每小题8分，共24分)．
1.设A为m n矩阵, B为n m矩阵,且m n,试证明
det(AB) 0.
1 1 2 31 3 1 1 2 2 1. D5 2 3 1 1 0 1 2 3 01 2 2 1 1 0
x y y y z x y y 2. Dn z z x y
z z zx
三、解答题(9分)．
问 , 取何值,齐次方程组
x1 x2 x1 x2
x3 x3
0 0
x1 2x2 x3 0
五、(每小题5分，共20分)求下列矩阵．
1 2
3
1n , 2
2 12 1,
3
2;
3
lim
12 0
1 13
1 n 1;
n 0 0 1 5
4
A
1 0
0 1
1 n 0 .
0 0 1
六、(6分)设A
4 1
2 1
3 0,
AB
A
2B,
求
B．
1 2 3
七、(每小题3分,共6分)设n阶矩阵 A 的伴随矩阵 为 A ，证明：
西北工业大学高等数学(上)期中学考试试精彩试题及问题详解
编号：2006 －2007 学年第一学期期中考试开课学院理学院课程高等数学（上）学时96考试日期 2006/11/17 时间 2 小时考试形式（闭）（A）卷2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。
共 6 页第 1 页西北工业大学命题专用纸二、选择题（2384'=⨯'）1、若1)11(lim 2=---++∞→b ax x x x ，则（ ） A. 1,1=-=b a ； B. 0,1==b a ；C. 0,1=-=b a ；D. 1,1==b a 。
2、设)1(||)(22--=x x xx x f ，则以下结论中错误的是（ ）A. 1,0,1==-=x x x 为)(x f 的间断点；B. 1-=x 为无穷间断点；C. 0=x 为可去间断点；D. 1=x 为第一类间断点。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,cos 1)(2x x g x x xxx f ，其中)(x g 是有界函数，则)(x f 在0=x 处（ ）A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续；C. 连续，但不可导；D. 可导。
4、曲线0=+-y x e e xy 在0=x 处的切线方程为（ ） A. x y =；B. 1+=x y ；C. 12+=x y ；D. 1-=x y 。
5、设)(x f 在0=x 的某领域内可导，且0)0(='f ，又21)(lim 0='→x x f x ，则（ ）A. )0(f 一定是)(x f 的极大值；B. )0(f 一定是)(x f 的极小值；C. )0(f 一定不是)(x f 的极值；D. 不能确定)0(f 是否为)(x f 的极值。
6、有一容器如图所示，假定以匀速向容器内注水，)(t h 为容器内水平面高度随时间变化的规律，则 能正确反映)(t h '变化状态的曲线是（ ）A. B. C. D.7、设函数13)(3--=x x x f ，则方程0)(=x f （ ）A. 在)1,0(内有实根；B. 在)0,1(-内没有实根；C. 在),0(+∞内有两个不同的实根；D. 在)0,(-∞内有两个不同的实根。
西工大07-08年电路基础期末试题(含答案)
1
C
900 ，端口电压
A1
R
A2
u (t )
L
C
V
图 6
共
7
页
第
5
页
A1 卷
西北工业大学命题专用纸
八、 （10 分）图 7 所示电路，求 H 参数矩阵，并说明二端口网络的互易性。
1 1 1
U2
图 7
2U 2
07-08 电路 A1（70）卷参考答案
一、每小题 3 分，共 30 分 1、 2、√ 6、√ 7、 二、10 分
9、某拓扑图的支路数为 b ，节点数为 n ，则基本割集数为 b ( n 1) ，基本回路数为 n 1 。 （ ）
10、对固定频率的正弦稳态电路，若串联支路为电容性的，则与其等效的并联支路也为容 性的。 二、 （10 分）如图 1 所示电路，求 u s ， i 。
1A
1
（
）
i
1
3A
1 1
A2
289 72
2 A,
V
150 2
106 V
八、10 分
0 .5 H 0 1 ， 1
不互易。
共
7
页
第
7
页
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2Ω 3Ω 5Ω
10V
2A
K
0.2 u L (t ) t0
图5
共
7
页
第
4
页
A1 卷
西北工业大学命题专用纸
七、 （10 分）图 6 所示电路，已知 R 150 ， L 100 ，
u ( t ) ( 300 150 cos 3 t )V ，求两个电流表及电压表的读数。
西工大计算方法试题参考(完整版)
2002-2003第一学期一．计算及推导（5*8）1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。
2．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***123x x x ++的相对误差限。
3．已知3()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。
5．推导中矩形求积公式''31()()()()()224b aa b f x dx b a f f b a η+=-+-⎰ 6．试证明插值型求积公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰的代数精确度至少是n 次。
7．已知非线性方程()x f x =在区间[],a b内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。
8．用三角分解法求解线性方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。
（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln 0x x +=在(0,1)内有一实根α（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x ∈迭代法都收敛，并证明其收敛性。
（2）00.5x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。
四． 设有方程组112233131232a x b a x b a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。
写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。
（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题 '2 (00.2)(0)1x y y x y y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩ 取h=0.1，小数点后保留5位。
工科数分(上) 2007-2008 第一学期期末考试参考答案(08-01-24)
1
=
1
1
dx = 2 1+ x = 2( 2 −1).
0 1+ x
0
………………5 分
3
2. lim x 2 ( x + 1 + x −1 − 2 x ) x→+
1
解:
当 x 充分大时,
利用 1+
1 2 的带有佩亚诺型余项
x
1 x2
的麦克劳林公式
1
x +1 =
x1+ 1 2 = x
x f (t)dt − a |=| 1
x
( f (t) − a)dt | 2 ，
x0
x0
所以
lim 1
x
f (t)dt = a .
x x→+ 0
………8 分
八、 （本题满分 10 分）
用 Dirichlet 判别法判别级数 (1+ 1 + + 1 ) sin nx , x (0, ) 的敛散性?
（如是收敛的一般项级数，需明确是绝对收敛还是条件收敛）
1. ( 1 − ln n + 1)
n=1 n
n
（比较判别法）
解：
因为 ln
n +1 n
=
ln(1 +
1) n
=
1 n
−
1 2n 2
+
o(
1 n2
) ，且 ln
n +1 n
1 n
，
………2 分
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A
所以
0
an
=
1 n
A西北工业大学考试试题2008
西北工业大学考试试题（卷）2007－2008学年第二学期开课学院计算机、软件学院课程数字逻辑学时54考试日期2008.6.11 考试时间2小时考试形式（闭）（A ）卷一、分析图示时序电路的逻辑功能，设初态为0。
写出激励函数和状态方程、列出状态转换表、画出完全状态图、说明是几进制计数器、有无自启动能力。
（15分）二、图示电路均为TTL 门，各电路在实现给定的逻辑关系时是否有错误，如有错误请改错。
（12分）A BF AB=F A B=+B （2）F AB=A B （3）=1A B CF A B C=⊕⊕（4）三、使用卡诺图法化简逻辑函数()(,,,)1,2,4,7,8,11,13,14mf A B C D =∑（8分）四、按要求完成下列各题： （10分）1、用代数法证明：若A 1A 2= 0，则1212A A A A ⊕=+2、写出逻辑函数(,,,)F A B C D A B CD AD =++的对偶函数和反函数。
五、试用八选一数据选择器CT74LS151用降维法实现逻辑函数：（15分）()()(,,,)1,5,8,9,13,147,10,11,15mdF A B C D =+∑∑六、由维持－阻塞型D 触发器组成的电路如图所示。
已知A 、B 、CP 端的电压波形，试画出Q 端对应的电压波形。
设电路的初始状态为0。
（15分）CPQB 0七、由集成四位二进制同步步计数器74161和8选1数据选择器74LS151组成的电路如图所示。
试按要求回答：（15分）CP1F（1）74161组成几进制计数器电路；00011110CD 1111111100011110AB B（2）画出计数状态转换图；（3）写出输出Y的序列信号的一个周期；八、用PLA实现5421BCD码转换成余3码（10分）8选1数据选择器(74LS151)74LS161：4位二进制同步计数器。
2007年-2008年-自考-线性代数-经管类-真题详细答案
全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）参考答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为3阶方阵,且2||=A ，则=-|2|1A （ D ） A ．—4 B ．—1 C ．1D ．44218||2|2|131=⨯==--A A ． 2．设矩阵A =(1，2），B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ) A ．ACBB ．ABCC ．BACD ．CBA3．设A 为任意n 阶矩阵,下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A)()()(T T T T T T T A A A A A A A A --=-=-=-，所以A －A T 为反对称矩阵．4．设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb a,则A ＊=( A ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bc d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb dD ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a bc d5．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中（ D ）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵,齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关Ax =0有非零解⇔n A r <)(⇔ A 的列向量组线性相关．8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为T )2,0,1(=α，T )3,1,1(-=β，且系数矩阵A 的秩r （A ）=2，则对于任意常数k , k 1, k 2，方程组的通解可表为（ C ） A ．k 1（1，0，2)T +k 2（1,-1，3)T B ．(1,0，2)T +k (1,—1，3)T C ．(1,0,2）T +k （0,1,-1）TD ．(1，0，2）T +k （2，-1,5）TT )2,0,1(=α是Ax=b 的特解，T )1,1,0(-=-βα是Ax =0的基础解系，所以Ax=b 的通解可表为=-+)(βααk (1，0,2)T +k （0,1,—1)T ．9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111的非零特征值为（ B )A ．4B ．3C ．2D ．1111111111)3(111111333111111111||-------=---------=---------=-λλλλλλλλλλλλA E )3(0000111)3(2-=-=λλλλλ,非零特征值为3=λ．10．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ C ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000001110000100000000000111100001000100011111A ，秩为2． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式｜A TA |=__4__．4)2(4321||||||||222=-====A A A A A TT．13．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解,则其系数行列式的值为__0__．14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵E A B -=,则矩阵B 的秩r(B ）= __2__．E A B -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010100，r(B )=2．15．向量空间V=｛x =（x 1，x 2,0)｜x 1，x 2为实数｝的维数为__2__．16．设向量)3,2,1(=α，)1,2,3(=β，则向量α，β的内积),(βα=__10__．17．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= __3__．18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵A 经初等行变换化为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解,则a 的取值为__0__．0=a 时，2)(=A r ，3)(=A r ．19．设3元实二次型),,(321x x x f 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是232221y y y -+． 秩3=r ，正惯性指数2=k ，则负惯性指数123=-=-k r ．规范形是232221y y y -+．20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300021011a 为正定矩阵，则a 的取值范围是1<a ．011>=∆，0121112>-=-=∆a a,0)1(33000210113>-=-=∆a a ⇒1<a ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分,共54分)21．计算3阶行列式767367949249323123．解：0760300940200320100767367949249323123==．22．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--523012101，求1-A ．解： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001523012101→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---103012001220210101→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---127012001200210101 → ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---127012002200210202→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----127115125200010002→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5100010001， =-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5． 23．设向量组T )1,2,1,1(1-α,T )2,4,2,2(2--α,T )1,6,0,3(3-α，T )4,0,3,0(4-α． （1）求向量组的一个极大线性无关组；(2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----4121064230210321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4440000033000321 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000330044400321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110011100321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110000103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110000103001．（1）321,,ααα是一个极大线性无关组；（2）=4α32103ααα++-．24．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111000*********A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111001010010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010001010010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010001010010011，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=55453225210x x x x x x x x x x , 基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00011，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10101，通解为T T k k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(21--+-=η．25．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221，求正交矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵．解：)3)(1(324)1(1221||22-+=--=--=----=-λλλλλλλλA E ，特征值11-=λ，32=λ． 对于11-=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00112222A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21211121||1111ααβ； 对于32=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00112222A E λ，⎩⎨⎧==2221x x x x ，基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α，单位化为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21211121||1222ααβ． 令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21212121P ，则P 是正交矩阵，使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-30011AP P ． 26．利用施密特正交化方法,将下列向量组化为正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01012α．解：正交化，得正交的向量组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==001111αβ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=012/12/10011210101||),(1211222βββααβ； 单位化，得正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==002/12/1001121||1111ββp ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==06/26/16/1012/12/162||1222ββp ． 四、证明题（本大题6分）27．证明:若A 为3阶可逆的上三角矩阵,则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33232213121100a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ， 其中000332312=-=a a A ，00002213=-=a A ，00121123=-=a aA ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3332223121111||1A A A A A A A A 是上三角矩阵．全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 是3阶方阵，且|A ｜=21-,则|A -1｜=（ A ） A ．—2B ．21- C ．21D ．22．设A 为n 阶方阵,λ为实数，则=||A λ（ C ） A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ A ) A ．B T =BB ．B =2AC ．B B T -=D ．B =0B A A A A A A A A B T T T T T T T T =+=+=+=+=)()(．4．矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A ＊=（ D ) A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11115．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000106．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．30)1)(1(2111)1(100021011222=-+=++=++t t t t t t ⇒1=t ．7．设A 是4×5矩阵，秩(A )=3,则（ D ) A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ,则秩(A )=（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200000000D ，秩(A ）= 秩（D ）=1．9．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C )A ．-2B ．-1C ．1D ．2A 为正交矩阵，则E A A T =，==22||||A A 1||||||==A A A A T T ． 10．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121，则行列式=||TAA __1__． 1)1(1121||||||||22=-====A A A AA T T ．12．行列式1694432111中)2,3(元素的代数余子式=32A __—2__．2421132-=-=A ． 13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T__5__． 521)2,1(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B A T ．14．已知βααα=+-32125，其中)1,4,3(1-=α，)3,0,1(2=α，)5,2,0(-=β，则=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+---=211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213α 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-613101的行向量组的秩=__2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-603001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-003001,秩=2． 16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是3R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．设332211αααβx x x ++=，即)0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x ++=，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++37283121321x x x x x x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧===123321x x x ． 17．已知方程组⎩⎨⎧=+-=-0202121tx x x x 存在非零解，则常数t =__2__．02211=-=--t t，2=t ．18．已知3维向量T )1,3,1(-=α，T )4,2,1(-=β,则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__．0|0|=-A E ，所以0||=A ,即0111101010101=-==x xx，1=x ．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--541431112． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=210121012的值．解：4)26(2123210121230210121012=+--=---=--=．22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ． 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ． 23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A ）=1；（2）秩(A ）=2．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--900000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000090003121a ． (1）9=a 时,秩（A )=1；（2)9≠a 时，秩(A ）=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组．解:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000014202611， 秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=362232203421A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032203421→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1．解:2)1)(2(31104)1(1630310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13/13/51α；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ,⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003α．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1．四、证明题（本大题6分)27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=,212ααβ-=也线性无关． 证:设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α，2α线性无关,得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类)试题答案课程代码:04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ） A ．—3B ．-1C ．1D ．3222111c b a c b a ++=2211b a b a +2211c a c a =1+2=3．2．设A 为3阶方阵，且已知2|2|=-A ，则=||A （ B ) A ．-1B ．41-C ．41 D ．12|2|=-A ，2||)2(3=-A ，41||-=A ．3．设矩阵A ,B ，C 为同阶方阵，则=T ABC )(（ B ） A ．A T B T C TB ．C T B T A TC ．C T A T B TD ．A T C T B T4．设A 为2阶可逆矩阵,且已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4321)2(1A ，则A =( D ）A ．2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4321)2(1A ，143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ． 5．设向量组s ααα,,,21 线性相关,则必可推出（ C ） A ．s ααα,,,21 中至少有一个向量为零向量 B ．s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．s ααα,,,21 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关D ．A 的行向量组线性相关Ax=0仅有零解⇔n A r =)(⇔ A 的列向量组线性无关．7．已知21,ββ是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,21,αα是其导出组Ax =0的一个基础解系，21,C C 为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ A ） A ．)()(212121121ααC αC ββ++++ B ．)()(212121121ααC αC ββ+++-C ．)()(212121121ββC αC ββ-+++ D ．)()(212121121ββC αC ββ+++- )(2121ββ+是Ax =b 的特解，211,ααα+是Ax =0的基础解系． 8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3,则=-||1B （ A )A ．121 B ．71 C ．7 D ．12B 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020002，12300020002||==B ，121||||11==--B B ．9．设A 为3阶矩阵，且已知0|23|=+E A ，则A 必有一个特征值为( B ）A ．23-B ．32-C ．32 D ．23 0|23|=+E A ⇒032=--A E ⇒A 必有一个特征值为32-． 10．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为( C ） A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010421C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛120211011二、填空题（本大题共10小题,每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310120001，则A+2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛720252023．12．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002520310,则=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250．→),(E A T⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001053021200→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001100010200053021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001130010200010021 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---001130250200010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250100010001，=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250．13．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333022001,则A *A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600060006．==*E A A A ||⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==6000600066333022001E E ．14．设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B =AC 的秩为__r__． B =AC ，其中C 可逆，则A 经过有限次初等变换得到B ,它们的秩相等．15．设向量)1,1,1(=α，则它的单位化向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31．16．设向量T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2=α，T )0,0,1(3=α,T )1,1,0(=β,则β由321,,ααα线性表出的表示式为3210αααβ-+=．设332211αααβk k k ++=，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011111110321k k k ,⎪⎩⎪⎨⎧==+=++110121321k k k k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧-===101321k k k ．17．已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0320320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =__2__．02412141121200132132111=-=+=+=-a a a a ，2=a ．18．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则1)2(-A 必有一个特征值为41． 2=λ是A 的特征值，则41)2(1=-λ是1)2(-A 的特征值．19．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足30<<a ．031>=∆,031322>-==∆a a a，0)3(00010323>-==∆a a aa a ⇒30<<a ． 20．二次型2221212122),(x x x x x x f -+=的秩为__2__．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301112111112A ，秩为2．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式1111112113114111的值．解：6300102010011000100010011020130011111112113114111===．22．设向量)4,3,2,1(=α，)0,2,1,1(-=β，求(1）矩阵βαT ；（2)向量α与β的内积),(βα．解：(1)()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=08440633042202110,2,1,14321βαT ；(2）50621),(=++-=βα． 23．设2阶矩阵A 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21211b ba a A ，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102P ,令21AP P B =,求1-B ． 解:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-102111P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-011012P ，111121----=P A P B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121b b a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121a ab b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12112122a a a b b b ．24．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----24131015162312311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------85401246041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------0700070041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------0000070041202311， 秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．25．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x ．(1)问a 为何值时，方程组有无穷多个解;（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示)．解:（1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2112113111a a a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----a a a a a 110010103111，1=a 时，方程组有无穷多解;(2）1=a 时，A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000002111,⎪⎩⎪⎨⎧==---=33223212x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101100221k k ． 26．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------011101110的全部特征值及对应的全部特征向量．解:100010111)2(1111111)2(1212112111111||--+=+=+++==-λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()1(2+-=λλ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000330211330330211112121211211121112A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110101000110211，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,对应的全部特征向量为αk （k 是任意非零常数）；对于132==λλ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1012α，对应的全部特征向量为2211ααk k +(21,k k 是不全为零的任意常数）． 四、证明题（本大题6分)27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ,得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-．16全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．—108B ．—12C ．12D ．108108)2(27||3|3|223=-⨯==A A A T ．2．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则k =（ B )A ．-2B ．—1C ．1D ．20)1(1241434014013=+=-=--k kkk ，1-=k ．3．设A 、B 为同阶方阵,下列等式中恒正确的是（ D ） A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ) A ．2B ．4C ．8D ．12=*||A 82||||331===-A A n ．5．设β可由向量)0,0,1(1=α，)1,0,0(2=α线性表示,则下列向量中β只能是( B )A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-),0,(212211k k k k =+=ααβ．6．向量组s ααα,,,21 的秩不为s (2≥s )的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量s ααα,,,21 的秩不为s ⇔s ααα,,,21 线性相关．177．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是( C ) A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关AX =0仅有零解⇔n A r =)(⇔A 的列向量组线性无关．8．设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ D ） A ．||||B A =B ．秩(A )=秩（B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101有相同特征值的同阶对称矩阵一定(正交）相似．10．设有二次型232221321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C )A ．正定B ．负定C ．不定D ．半正定当0,0,1321===x x x 时，0>f ；当0,1,0321===x x x 时0<f ．总之，f 有正有负． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分） 11．若0211=k ，则k =21． 012211=-=k k ，21=k ． 12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623． AB =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．1813．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1． ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001220010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-120010001200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1100010001． 14．设A 为33⨯矩阵,且方程组Ax =0的基础解系含有两个解向量,则秩（A ）= __1__．秩（A )=123=-=-r n ．15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 22+=必有一个特征值__6__．2-=λ是A 的特征值,则62)2(222=+-=+λ是E A B 22+=的特征值．16．方程组0321=-+x x x 的通解是T T k k )1,0,1()0,1,1(21+-．⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101121k k ． 17．向量组)0,0,1(1=α，)0,1,1(2=α,)0,2,5(3-=α的秩是__2__．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001025011001,秩是2． 18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(321++不全为零）（321,,k k k ．2321===λλλ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000000A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧===332211x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100． 19．设三阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，且B 与A 相似，则=|2|B __—16__． =|2|B 16)2(810001000223-=-⨯=-．1920．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=． 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值．解：151500021000210002118002100021000211040210021000211002210002100021-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101 →⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011,B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ． 解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1,20E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4002130213021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ．2126．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ,12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α；对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ,解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210201，22⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ,基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400010002．四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+，321ααα++也是Ax =0的基础解系． 证：(1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量,则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量． （3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=,只有零解0321===k k k ,所以1α，21αα+，321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知,1α,21αα+，321ααα++也是Ax =0的基础解系．23全国2008年4月高等教育自学考试线性代数(经管类）试题答案课程代码:04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．—15B ．-6C ．6D ．15D 1=620222555333231232221131211333131232121131111=+=+D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ． 2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d b a 04=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32c b a ，则( C ) A ．3,1,1,3==-==d c b a B ．3,1,3,1===-=d c b a C ．3,0,1,3==-==d c b aD ．3,0,3,1===-=d c b a3,0,4,2===-=+d c b a b a ⇒3,0,1,3==-==d c b a ．3．设3阶方阵A 的秩为2,则与A 等价的矩阵为( B ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332221114．设A 为n 阶方阵，2≥n ，则=-|5|A （ A ） A ．||)5(A n -B ．||5A -C ．||5AD ．||5A n5．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则=*||A （ B ）A ．-4B ．—2C ．2D ．424321||||||121-====--*A A A n ． 6．向量组s ααα,,,21 (2>s ）线性无关的充分必要条件是（ D ) A ．s ααα,,,21 均不为零向量B ．s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例C ．s ααα,,,21 中任意1-s 个向量线性无关D ．s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示247．设3元线性方程组b Ax =，A 的秩为2,1η，2η,3η为方程组的解，T )4,0,2(21=+ηη，T )1,2,1(31-=+ηη，则对任意常数k ，方程组b Ax =的通解为（ D ）A ．T T k )1,2,1()2,0,1(-+B ．T T k )4,0,2()1,2,1(+-C ．T T k )1,2,1()4,0,2(-+D ．T T k )3,2,1()2,0,1(+取b Ax =的特解：T )2,0,1()(2121=+=ηηη； 0=Ax 的基础解系含一个解向量：T )3,2,1()()(312132=+-+=-=ηηηηηηα．8．设3阶方阵A 的特征值为2,1,1-，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ D ） A ．A E -B ．A E --C ．A E -2D ．AE --22-不是A 的特征值，所以0|2|≠--A E ,A E --2可逆．9．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)(-A 必有一个特征值等于（ A ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．42=λ是A 的特征值，则41)(12=-λ是12)(-A 的特征值．10．二次型432423222143212),,,(x x x x x x x x x x f ++++=的秩为( C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00001100001000011100110000100001A ，秩为3． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)11．行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321,P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则=T AP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4723． =TAP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4723．2513．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111110100，则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011110．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001111110100→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100100110111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011101100010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011110100010001． 14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ,若齐次线性方程组Ax =0有非零解，则数t =__2__． 02121412014022154332221||=-=----=----==t t t t A ,2=t ．15．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113t α的秩为2，则数t =__-2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11212111t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--123013011t t t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--20013011t t t ，秩为2，则2-=t ． 16．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2,则数k =32．2),(=βα，即23022=++-k ，3/2=k ．17．设向量Tb ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,α为单位向量,则数b =__0__． 112121||22=+=++=b b α，0=b ． 18．已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的2重特征值,则A 的另一特征值为__4__．021==λλ,220321++=++λλλ，所以43=λ．19．二次型32212322213212452),,(x x x x x x x x x x f +--+=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---510122021．2620．已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为2>k ．⎪⎩⎪⎨⎧>->->+020101k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧>>->211k k k ,2>k ． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =4001030100211111的值．解：2202100111011112200210111011113110121011111114001030100211111-=----=----=------=．22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101,B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103，(1）求A 的逆矩阵1-A ；(2）解矩阵方程B AX =．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001210011101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100011001210110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111011001100110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001,1-A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112； （2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----322234225．23．设向量)1,1,1,1(--=α,)1,1,1,1(--=β,求(1)矩阵βαT A =；（2）2A ．27解：（1）βαT A ===--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)1,1,1,1(1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1; （2)2A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111*********1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------4444444444444444． 24．设向量组T )4,2,1,1(1-=α,T )2,1,3,0(2=α,T )14,7,0,3(3=α，T )0,2,1,1(4-=α,求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01424271210311301),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4220011003301301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2110011001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101301， 向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组，=3α42103ααα++．25．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+ax x x x x x x x 32132131522312 ，（1)求当a 为何值时,方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．解:=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ． （1)3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时,方程组有解;(2)3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k ．2826．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2178，(1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量；（2）判定A 是否可以与对角阵相似,若可以，求可逆阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1． 解：)9)(1(9102178||2--=+-=----=-λλλλλλλA E ，特征值11=λ，92=λ． 对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00111177A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，对应的全部特征向量为11αk （1k 是任意非零常数）；对于92=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00717171A E λ，⎩⎨⎧==22217x x x x ,基础解系为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=172α，对应的全部特征向量为22αk （2k 是任意非零常数）．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1171P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ9001，则P 是可逆矩阵，使得Λ=-AP P 1．四、证明题(本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆,且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2,得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．29全国2008年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵],,[321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i )为A 的列向量，且2||=A ，则=+=|],,3[|||3221ααααB （ C ）A ．-2B ．0C ．2D ．6333231232221131211||a a a a a a a a a A =，2||333||333232312322222113121211==+++=A a a a a a a a a a a a a B ． 2．若方程组⎩⎨⎧=-=+002121x kx x x 有非零解,则k =（ A )A ．—1B ．0C ．1D ．201111||=--=-=k k A ，1-=k ．3．设A ,B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ) A ．||||||B A AB =B ．111)(---=A B ABC ．111)(---+=+B A B AD ．T T T A B AB =)(反例：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001B ． 4．设A 为三阶矩阵，且2||=A ,则=-*|)(|1A （ A ) A ．41 B ．1 C ．2 D ．441||1||1||1|)(|211====-*-*A A A A n ． 5．已知向量组A :4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么( B ) A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．43,αα线性无关部分相关⇒全体相关．。
线性代数(第一层次III) 试题 西北大学试题真题
线性代数（第一层次III）试题西北大学试题真题一、填空题（每空3分）1．已知四阶行列式, 则的第二列元素的代数余子式的和．2．已知是二个三维列向量，，则．3．设方阵A满足，则．4．已知向量组则该向量组线性无关的充要条件是．5．设，为二阶方阵，且满足则．6．已知向量组线性无关，向量组，其中，，，，向量空间，则的维数．7．已知阶方阵满足，且，则的一个特征值是．8．已知二次型是正定的，问应满足．二、（10分）计算阶行列式三、（10分）已知二阶方阵满足，其中，是二阶单位矩阵，是的伴随矩阵，求．四、（15分）已知线性方程组问：为何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？在无穷多解时，求通解．五、（10分）已知方阵，是的伴随矩阵的一个特征向量，求的值．六、（10分）已知上的二组基：（I），（II）（1）求：基（I）到基（II）的过渡矩阵；（2）问：是否存在非零向量，使在基（I）下的坐标x与基（II）下的坐标满足，其中？若存在，求．七、（15分）设二次型通过正交变换化为标准形，求参数及所用的正交变换．八、（6分）设分别是、矩阵，且证明的列向量组与的列向量组等价．线性代数（第一层次III）试题西北大学试题真题答案一、1. 42. -53. 4.两两互异5.（任意）6. 27. -18.二、三、由得，由于，所以由上式得．又由于，所以可逆，故四、可求得，于是1) 当且时，有惟一解；2) 当时，可见，，无解；3) 当时，可见时，，，无解；而时，，有无穷多解．此时，同解方程组为，通解为，即（任意）五、法1设，两边左乘得，即，也即当时，解得．．法2当可逆时，与又相同的特征向量．于是，设，即，也即解得．此时，所以也是的特征向量．六、(1) 由于，，其中，所以故由基( I )到基( II )的过渡矩阵为（2）坐标变换公式为．当时，有，即．由于同解方程组为，通解为（任意），故（任意）七、(1) 二次型的矩阵，（正交）相似于，于是是的特征值．利用解得于是．可求得对应特征值的特征向量分别为，，将正交化，再单位化得，，故正交变换为八、设，．又设写成矩阵形式得，其中，．由于，方程组有解，故的列向量组可由的列向量组线性表示．又由于方程组有解，故的列向量组可由的列向量组线性表示．从而的列向量组与的列向量组等价．。
2007-2008第一学期线代试卷A及标答
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、23-； 2、E ； 3、-15； 4、5t ≠； 5、 2 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、C 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分）1、 121000121000(1)2121000121121n n n x xn x n xn n D x x n n x x n nn n-+-++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--………………（4分） (1)12(1)(1)2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………（8分） 2、 由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………（4分）又BX A =，即(1,2)A E X A =，所以1(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………（8分） 3、 记1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1111200A A A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………………………………………（2分） 又*11211,10A A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，故112110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ …………………………………………………………（4分）*21211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，故122131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………………………………………………（6分）所以12100100000210031A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。
…………………………………………………………………（8分） 4、记()1234,,,A αααα=，对A 进行行初等变换，将其化为行最简形：1211241012213631A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～121100320000000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭～11203201300000000⎛⎫-⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭…………………（4分）()2R A =，又显然13,αα线性无关，所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组；………………………（6分）且212αα=，4131233ααα=--。
2008级线性代数试题和答案 A卷
经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1_____ 2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵),2(2121αααα-+=A , ),(21αα=B . 若行列式6A =, 则B = _____3.若,),,,(),,,,(2121k r r s s ==αααβααα,1),,,,(21+=k r s γααα 则),,,,,(21γβαααs r = _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设33()ij A a ⨯=是实正交矩阵, 且,a b T11=1,=(1,0,0)则线性方程组Ax b =的解是_____6. 若使二次型31212322213212242),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____7. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____ 答案：（1） 3)1(n - （2）-2 （3） k +1 （4） 4（5） T)0,0,1( （6） 2<t （7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（ ） (A) B A = (B) B A ≠(C) 若0=A , 则一定有0=B (D) 若0>A , 则一定有0>B 2. 设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 336 3. 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00BA C , 则 C 等于 ( )(A) B A (B) B A - (C) B A m n )1(- (D) B A n m +-)1( 4. 设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是 （ ）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价 5．设A 、B 为n 阶方阵, 且)()(B r A r =, 则（ ）(A) 0)(=-B A r (B) )(2)(A r B A r =+ (C) )()()(B r A r B A r +≤ (D) )(2)(A r AB r =6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （ ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似 （D) 不合同且不相似7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线 性无关的充分必要条件是 （ ）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n +1阶行列式 nn n n d b d b d b a a a a D 00000022112101=+.解 分三种情况讨论：（1）当n d d d ,,,21 全不为0时，D 为箭型行列式且∑∑==--=-=====nk n kkk nn nk k k k c c d d d d b a a d d d a a a d b a a D jjd jb 1210212110;)(0000001（2）当n d d d ,,,21 中只有一个为0时，不妨假设0=i d ，则ni i i i ni i i inni i i i ni i ic cd d d d b a d d b d d a d b d b b d b d a a a a a a D i111111111111011000011+-+-+--+-↔-=-=-====+（3）当n d d d ,,,21 中有两个以上为0时，显然0=D .综合以上三种情况，我们有⎪⎩⎪⎨⎧=∃-=≠-=+-=∑0,;...),...,2,1(0;)(11211210i n i i i i k nk n kk k d i d d d d d b a n k d d d d d b a a D 2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T , 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？ 解 在等式11)2(--=-C A B C E T 等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--100021********21)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解 设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数 若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设矩阵,,321101210,324202423*1Q A Q B Q A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求E B 2010+的特征值和特征向量. 其中*A 是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵. 解 计算A 的特征多项式32422423--------=-λλλλA E .)1()8(2+-=λλ故A 的特征值为1,8321-===λλλ. 因为.,,8*X AX A X AX A i λλλ====∏则若所以*A 的特征值为1,-8,-8.由于Q A Q B *1-=与*A 相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以E B 2010+的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为X Q A X A Q X Q Q A Q X Q B 1*11*11||))(()(-----===λ,我们有矩阵B 的属于λA的特征向量为X Q 1-, 因此矩阵E B 2010+的属于2010+λA的特征向量为X Q 1-第三步 求出A 的全部特征向量对于81=λ，求解线性方程组0)8(=-x A E 得特征向量 .2121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 对于132-==λλ，求解线性方程组0)(=--x A E 得特征向量.021,10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αα第四步 求出E B 2010+ 的全部特征向量，即计算312111,,ααα---Q Q Q .,012,23223,23121,21211111212113121111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=----αααQ Q Q Q综合以上分析我们有：矩阵E B 2010+属于特征值2011的特征向量为k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--27121, k 为任意实数属于特征值2002的特征向量为 ,0122322321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k k 21k k 、为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 向量组s βββ,,21 可表示为),,2,1(1s i t i i i i =+=+ααβ, 其中i t 是实数. 证明s βββ,,21 线性无关.证明 用定义. 假设存在 s 个数s k k k ,,21 , 使 02211=+++s s k k k βββ , 即 0)()()(132222111=+++++++s s s s t k t k t k αααααα , 也就是0)()()(11133212221111=++++++++++--s s s s s s s t k k t k k t k k t k k ααααα .又因为)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=--0000112111s s s s s t k k t k k t k k 解得 021====s k k k , 故s βββ,,21 线性无关. 2. 设n 阶矩阵 A 满足022=-+E A A 且E A ≠. 证明A 相似于对角矩阵.证 由022=-+E A A 可得 ))(2(0)2)((E A A E A E A E ---==+- (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明A 相似于对角矩阵，也就是A 可以对角化，即要证明A 有n 个线性无关的特征向量。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
2007-12线性代数(A卷考题及答案)_
课程考试(考查)试题卷 (A卷)试卷编号（ 2007 至 2009 学年 第一学期 ）课程名称： 线性代数 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分 考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 不允许一、填空题（每小题3分，共15分）1、 设A 是三阶方阵，且det(A )=-1,则det(-2A )=_______.2、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100120001，则A -1=_______ 3、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______4、设实对称矩阵11211203132A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x 的一般表示式为_______.5、设A 为实对称矩阵，()11,1,3T α=与()23,2,Ta α=分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =_______.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列等式中正确的是（ ）A ．()222A B A AB BA B +=+++B ．()TT TAB A B =C ．()()A B A B A B -+=-22D ．()33A A A A -=-22．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（ ）A ．ββ12+B ．12ββ- C ．1222ββ+ D ．12325ββ+A ．210λ B ．21λ C ．20λ D ．2λ 4．二次型22221234123412(,,,)542f x x x x x x x x x x =++-+的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设1ξ，2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（ ） A ．1ξ+2ξ是λ对应的特征向量 B ．21ξ是λ对应的特征向量 C ．1ξ，2ξ一定线性相关 D ．1ξ，2ξ一定线性无关三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：(1)2100121001210012=D (2)1200012000122001D =.四、（6分）101210325A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求1()E A --五、(12分)（本大题共两小题各6分）（1）设矩阵121231041a A a b ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b（2）已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵20000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，求 ,.x y六、（10分）。
线性代数2007-2008第一学期试卷A
浙 江 工 业 大 学《线 性 代 数》试 卷 (A)(2007—2008学年第一学期) 2008.6一、填空(每空2分,共24分)1、在四阶行列式中，乘积项43213412a a a a 的符号为 号。
2、设,B C 为n 阶可逆方阵，00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，则T A = ；1A -= 。
3、设,A B 均为n 阶方阵，且满足2,3A B ==，则()AB *= 。
4、设 100010b A ac ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，当,,a b c 分别为 时，A 为对称阵；A 的伴随阵为 ；当,,a b c 满足条件 时，A 为正交阵。
5、向量组⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭141、k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14、⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭120为3R 的一组基, 则k 必须满足的条件是 。
6、线性方程组AX β=有无穷多解的充要条件是 。
7向量TT)0,1,0,1,0(,)1,0,1,0,1(==βα8、设二阶方阵A 、B 相似，A 的特征值为2、3，则1-B 的特征值为 ，而*B 的特征值为 。
二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、以下结论正确的是（ ）。
A 、若2=A 0，则A =0；B 、若方阵A 的行列式0=A ，则A =0；C 、若=A B 0，则A =0或B =0；D 、若方阵A 对称，则2A 也对称。
2、下列四项中，向量组T 线性相关的充分必要条件是（ ）。
A 、向量组T 中至少有一个是零向量；B 、向量组T 中至少有两个向量的分量成比例；C 、向量组T 中至少有一个向量能由其余向量线性表示；D 、向量组T 中至少有一个部分向量组线性相关。
3、下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
A 、100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ； B 、001010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C 、100015001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D 、001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
4、若n 阶方阵A 可逆，则下列各项中不是A 可逆的充分必要条件的是（ ）。
西北工业大学0708（一）理论力学试题a答案
西北工业大学考试试题（卷）2007－2008学年第1 学期开课学院六院课程理论力学（上）学时40R2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。
共5页第1页a CP N BN AyN AxP西北工业大学命题专用纸西北工业大学命题专用纸x’y’图中v E 为滑块E 的绝对速度，v ED 为E 相对于D 的相对速度，由速度合成定理 v E ＝v D ＋v ED 得，23243cos /vv v v D E =⨯==β，4212sin v v v v E ED =⨯=⋅=β可以得到D 点的法向加速度a Dn 和切向加速度a Dt 的方向和大小以及E 相对于D 的法向相对加速度a EDn 的方向和大小，各加速度的方向见图所示。
b v b b v b OD a OCOCDn 16333169sin 222222=⨯=⋅=⋅=γωω bv b b v b OD a OC OC D 833833sin 2222=⨯=⋅=⋅=γαατbv b v b vDE va EDEDEDn 16116sin 2//2222=⨯===β 假设E 相对于D 的法向相对加速度a EDt 的方向以及E 的绝对加速度a E 方向如图所示。
由加速速度合成定理 a E ＝a Dn ＋a Dt ＋a EDn ＋a EDt由于E 水平运动，所以在垂直方向上的加速度分量等于零ββττcos )(sin )(⋅-=⋅+ED D n D ED n a a a a解得 bv a E D t 2432=所以， bv a a a a a ED DnD EDnE 2437sin )(cos )(2=⋅-+⋅+=ββττ。
西工大线性代数1试题(15-11)
⎜⎛ a 1 1 ⎟⎞⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛0⎟⎞
6．设方程组 ⎜ 1 a 1 ⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜0⎟ 的基础解系所含向量个数为 1，则 a 的值为(
)．
⎜⎝ 1 1 a ⎟⎠⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝0⎟⎠
⎜⎛1 0 1⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
7．已知 A, B 均为 3 阶矩阵，满足 AB + E = A2 + B ，如 A = ⎜ 0 2 0⎟ ，则 B = ⎜
4．设 A = (α1,α2,α3) 为正交矩阵，其中α1,α2,α3 为列向量，则 3α1Tα1 − 2α2Tα3 = ( )． 5 ． 设 α1,α2 ,α3 均 为 3 维 列 向 量 ， 矩 阵 A = (α1,α1 − α2,2α3 − α2 ) ， B = (α1,α2,α3) ， 如 det A = 2 ，则 det B = ( )．
⎟．
⎜⎝1 0 1⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
8. 若 f = 2x12 + x22 + 2x32 + 2tx1x2 + 2x2x3 为正定二次型，则 t 满足的范围是(
)．
9. 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，如1,−2 是 A 的特征值，B 的对角元之和为 3，则 B 的特征值
为(
)．
二、(10 分) 计算 n 阶行列式
1 2 2L 2 2
2 2 2L 2 2
2 Dn = M
2 M
3 M
L
2 M
2 M
2 2 2 L n −1 2
2 2 2L 2 n
三、(10
分)
设 α1
=
⎜⎛ ⎜
1 2
⎟⎞ ⎟
，α2
=
⎜⎛ 3⎟⎞ ⎜0⎟
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西北工业大学2007至2008学年第一学期线性代数考试试题
西北工业大学2007-2008学年第一学期线性代数考试试题
（27）
（2007.11）
一、（24分）选择填空与计算填空：
1．设向量组线性相关，向量组线性无关，则必有（）．
(1) 线性相关；(2) 线性无关；
(3) 可由线性表示；(4) 可由线性表示．2．设方阵满足，则必有（）．
(1) 一定是的特征值；(2) 一定是的特征值；
(3) 的特征值不可能是和以外的数值．
3．将矩阵的第1列加到第2列得到矩阵，再将矩阵的第2列与
第3列对换得到矩阵，那么，其中矩阵．
4．设与的秩相同，则必有（）．
(1) 的列向量组与的列向量组等价；
(2) 的行向量组与的行向量组等价；
(3) 可经过初等变换得到；
(4) 齐次线性方程组与同解．
5．设与满足，且，则必有（）．
(1) 的列向量组线性相关；(2) 的列向量组线性无关；
(3) 的行向量组线性相关；(4) 的行向量组线性无关．6．设经过初等行变换得到，则必有（）．
(1) 与的特征值相同；(2) 与的行列式相同；
(3) 与相似；(4) 齐次线性方程组与同解．7．设相似于，则必有（）．
(1) 存在可逆矩阵，使得；
(2) 存在可逆矩阵与，使得；
(3) 存在正交矩阵，使得；
(4) 的特征向量是的特征向量．
8．设是实矩阵，是实向量，，则（）．
(1) 不是二次型；
(2) 是二次型，且该二次型的矩阵是；
(3) 是二次型，且该二次型的矩阵是；
(4) 是二次型，且该二次型的秩等于．
二、（9分）计算行列式．
三、（15分）求正交于向量组
，，（为实数）
的全体实向量．
四、（15分）设矩阵的一个特征值为3，非齐次线性方程组的三个
线性无关的解向量为．
1．证明能够相似于对角矩阵；
2．求的通解．
五、（15分）已知二次型的秩为2．1．求参数；
2．用正交变换将化为标准形；（要求写出正交变换的矩阵）
3．问表示哪一类二次曲面？
六、（12分）已知向量空间的两个基为(1)和(2),,．设
在基(1)与基(2)下的坐标分别为，，
且满足．
1．求由基(1)改变为基(2)的过渡矩阵；
2．求在基(1)下的坐标．
七、（10分）设矩阵的秩为，且维列向量组线性无关，
证明：向量组线性无关．
西北工业大学2007-2008学年第一学期线性代数
考试试题答案
一、1．；2．；3．；4．；
5．；6．；7．；8．．
二、两条线的行列式，按第一行展开得
三、根据题设条件得
由于
1）当时，，此时
同解方程组为，通解为，故．
2）当时，，同解方程组为，通解为
故．
四、１．记，，则由和知均是
的解向量．设，整理得，由
线性无关知，，，从而只有，，故线性无关．
由于是3阶矩阵对应2重特征值的两个线性无关的特征向量，3是的单特征值，故能够相似于对角矩阵．
2．由１知，存在可逆矩阵，使得，所以，故的基础解系含2个线性无关的解向量．又知是的线性无关解向量，从而的通解为
五、1．二次型的矩阵，由知
解得．
2．．可求得，所以的特征值为
，
对应的特征向量为，（已正交）；对应的特征向量为，单位化得正交变换，其中
化二次型为标准形．
2．表示（椭）圆柱面．
六、1．由题设条件得坐标变换公式
从而基变换公式为
，即
故由基(1)改变为基(2)的过渡矩阵为
2．
故在基(1)下的坐标为．
七、设
即
因为列满秩，所以齐次方程组只有零解，故由上式得
又因为线性无关，故上式成立只有．从而向量组线性无关．。