厦门市高三上文科数学期末考试卷

厦门市2014－2015学年度第一学期高三年级质量检测数学（文科）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：锥体体积公式:13V Sh =锥, 其中S 为底面面积，h 为高．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是正确的． 1．已知集合{0,1,2}A =，集合{|20}B x x =-<，则AB =Ａ．{0,1} Ｂ．{0,2} Ｃ．{1,2} Ｄ．{0,1,2} 2．向量(1,)a m =，(2,4)b =-，若a b λλ=（为实数），则m 的值为 Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．12 Ｄ．12- 3．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()1f x x =+，则(1)f -等于 Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．2 Ｄ．2- 4．若(,)2παπ∈，3sin()5πα-=，则tan α= Ａ．43- Ｂ．43 Ｃ．34- Ｄ．345．若关于y x ,的不等式组0,0,10x x y kx y ì£ïïï+ íïï-+ ïïî表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46．如图，在棱长为1的正方体ABC D –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点， 则三棱锥D 1–B 1C 1E 的体积等于A.13B.C. D. 16第6题图17．过双曲线C ：22149x y -=的左焦点作倾斜角为6π的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是 Ａ．没有交点 Ｂ．只有一个交点Ｃ．两个交点都在左支上 Ｄ．两个交点分别在左、右支上8．已知m R ∈，“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体最长的棱的长度等于ABC．D．10．已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，(1)(2)3f f -==， 令()(1)()g x x f x =-，则不等式()33g x x ≥-的解集是 A. [][)1,12,-+∞ B ．(][],11,2-∞-C ．(][),12,-∞-+∞D ．[]1,2-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．抛物线24y x =的准线方程是 ． 12．将函数()cos f x x =的图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象， 则()2g π= ．13．函数4(1)1y x x x =+>-的最小值是 ． 14．数列{}n a 中，112a =，11n n na a a +-=，则该数列的前22项和等于 ．15．如图，正方形ABCD 中，2AB =，DE EC =．若F 是线段BC 上的一个动点，则AE AF ⋅的最大值是 .16．点(,)P x y 在直线2y kx =+上，记T x y =+，若使T 取得最小值的点P 有无数个， 则实数k 的取值是 ．第9题图第15题图三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）数列{}n a 中，11a =-，48a =．（Ⅰ）若数列{}n a 为等比数列，求7a 的值；（Ⅱ）若数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ．已知6n n S a =+，求n 的值． 18．（本小题满分12分）已知圆M ：22(2)16x y -+=，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是圆M 的圆心，其离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）斜率为k 的直线l 过椭圆C 的左顶点，若直线l 与圆M 相交，求k 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知ABC ∆三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C，若()2A f =b =且ABC ∆的面积为1，求a 的值．20．（本小题满分12分）如图，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC=CE ，点F 为CE 的中点． （Ⅰ）证明：AE ∥平面BDF ； （Ⅱ）点M 为CD 上的任意一点．在线段AE 上是否存在点P ，使得PM ⊥BE ？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．第20题图21．（本小题满分14分）某地汽车最大保有量为60万辆，为了确保城市交通便捷畅通，汽车实际保有量x （单位：万辆）应小于60万辆，以便留出适当的空置量．已知汽车的年增长量y （单位：万辆）和实际保有量与空置率的乘积．．成正比．．．，比例系数为(k 0)k >． （空置量=最大保有量-实际保有量，空置率=空置量最大保有量）（Ⅰ）写出y 关于x 的函数关系式； （Ⅱ）求汽车年增长量y 的最大值；（Ⅲ）当汽车年增长量达到最大值时，求k 的取值范围． 22．（本小题满分14分）已知函数32()(,)f x x bx cx b c R =-+∈，其图象记为曲线C ． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值1-，求,b c 的值； （Ⅱ）若()f x 有三个不同的零点，分别为123,,x x x ，且3210x x x >>=，过点11(,())O x f x 作曲线C 的切线，切点为00(,())A x f x （点A 异于点O ）． （ⅰ）证明：2302x x x +=； （ⅱ）若三个零点均属于区间[0,2)，求00()f x x 的取值范围．厦门市2014－2015学年度第一学期高三年级质量检测数学（文科）评分标准一、选择题：ABDCA DDBCA10．提示：由导函数图象可以得到函数()f x 的单调性情况，注意对x 分类讨论． 二、填空题：11. 1x =- 12.1213.5 14.11 15.6 16.1或1- 16．提示：注意直线恒过定点(0,2)，画图观察斜率k 取不同值的情况下，T 取最小值的点P 的个数，不难发现，仅在1k = 时，点P 的个数有无数个．三、解答题：17．本题考查等差、等比数列的基本性质和通项公式及前n 和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分． 解析：（Ⅰ）解法一：设数列{}n a 的公比为q ，则341a a q =⋅， ………………1分得38q =-，则2q =- ………………3分∴671a a q =⋅()6264=--=- ………………6分 解法二：∵ 数列{}n a 是等比数列，∴2417a a a =⋅ ………………3分得247164a a a ==- (6)分（Ⅱ）设数列{}n a 的公差为d ，由413a a d =+，即138d -+=，解得3d = ………7分∴1(1)34n a a n d n =+-=- ………………8分2352n n n S -= ………………9分∵6n n S a =+∴2353462n nn -=-+，化简得：231140n n --= …………10分解得：4n =或13n =- ………………11分∵*n N ∈，∴4n = ………………12分18．本题考查直线、圆、椭圆的基本性质，直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证等能力，考查数形结合、化归与转化等思想．满分12分． 解析：（Ⅰ）依题意，圆心M (2,0)，r =4, ………………1分∴c =2, ………………2分又23c a =， ∴a =3, (3)由222b ac =-，得25b =， ………………4分∴椭圆方程为22195x y +=. ………………5分（Ⅱ）解法一：∵直线l 过椭圆左顶点(3,0)A - ………………6分∴l 的方程为：(3)y k x =+，即30kx y k -+= ………………7分 ∵l 与圆M 相交， ∴圆心M 到直线l 的距离d r <，即4< (9)分∴22(5)16(1)k k <+ ………………10分∴2169k < ………………11分∴4433k -<< ………………12分解法二：联立22(3),(2)16y k x x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 得 ………………6分2222(1)(64)9120k x k x k ++-+-= (8)分2222(64)4(1)(912)k k k ∆=--+- (9)分26436k=- ………………10分 ∵l 与圆M 相交，∴0∆>∴264360k -> ………………11分∴4433k -<< ………………12分解法三：几何法（略）19．本题考查三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等思想．满分12分． 解析：（Ⅰ）∵2()sin 22cos 1f x x x =+-sin 2cos 2x x =+ ………………1分)4x p=+………………3分∴最小正周期为22T pp == (5)令222,242k x k k Zpp p p p -+?? (6)分解得：3,88k x k k Z ppp p -+＃+ ∴函数()f x 的单调递增区间为3,()88k k k Z p pp p 轾犏-++ 犏臌. (7)分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：())224A A f p=?)4A p=+= (8)分∴在ABC 中，42A p p += ， ∴4A p= ………………9分 又∵1sin 2ABCS bc A D=1sin 124c p =?，∴2c = ………………10分由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-22222cos4p=+-2= ………………11分∴a = (12)分20．本题考查空间点、线、面位置关系、线面平行及线面垂直的证明等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及探索能力，考查数形结合和化归与转化等数学思想方法．满分12分．解析：(Ⅰ) 连接AC 交BD 于点O ，连接OF ． ………………1分在ACE D 中，∵四边形ABCD 是矩形, ∴O 为AC 中点，又F 为EC 中点，∴//OF AE ， ………………3分 又OF Ì面BDF ，AE Ë面BDF ， ………………4分∴//AE 面BDF ． ………………5分(Ⅱ)当P 为AE 中点时，有PM BE ^，以下给予证明． ………………6分 取BE 中点H ，连接DP ，PH ，CH ，∵P 为AE 中点，H 为BE 中点，∴//PH AB ，又//AB CD ， ∴//PH CD ，∴P 、H 、C 、D 四点共面． ………………7分 ∵面ABCD ^面BCE ，且面ABCD 面BCE BC =，CD BC ^∴CD ^面BCE ，又BE Ì面BCE ，∴CD BE ^， ……………9分B∵BC CE =，且H 为BE 中点，∴CH BE ^， ………………10分 ∵CH CD C =，∴BE ^面DPHC ， ………………11分又PM Ì面DPHC ，∴BE PM ^，即PM BE ^． (12)分21. 本题考查函数、不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力及应用意识，考查数形结合和化归与转化等数学思想．满分14分． 解析：（Ⅰ）根据题意，空置率=空置量最大保有量，所以空置率是6060x-， ………1分从而60()60x y k x -=⋅=2(60)60kx x -+， ………………5分 即y 关于x 的函数关系式为：2(60ky x =-分（Ⅱ）∵2(60)60k y x x =-+=2[(30)60kx --+ ∵060x <<，∴当30x =时， 分max 15y k =，∴当实际保有量为30分（Ⅲ）根据实际意义：实际保有量x 与年增长量∴0＜x +y ＜60， 分∴当汽车的年增长量取得最大值时，0<分解得：-2＜k ＜2，∵k ＞0，∴0＜k ＜2， 即所求的k 的取值范围为(0,2). 分22．本题考查函数的零点、导数的几何意义、导数的应用、线性规划等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力及推理论证能力，考查函数与方程、数形结合、化归与转化、有限与无限等数学思想方法．满分14分．解析：（I ）2()32f x x bx c '=-+， ………………1分由题意，有(1)320(1)11f b c f b c '=-+=⎧⎨=-+=-⎩， (2)分解得1,1b c ==-， ………………3分经检验，此时，()f x 在1x =处取极小值．因此，1,1b c ==-． ……………4分 （II ）（i ）证明：切线斜率2000()32k f x x bx c '==-+，则切线方程为：20000()(32)()y f x x bx c x x -=-+-， (5)分化简得：2320000(32)2y x bx c x x bx =-+-+ ………………6分由于切线过原点O ，得：320020x bx -+=， 因为点A 异于点O ，解得：02bx =， ………………7分又32()f x x bx cx =-+有三个不同的零点，分别为230,,x x ， 则23,x x 为方程20x bx c -+=的两个不同的根，由韦达定理，有23x x b +=， (8)分因此，2302x x x +=………………9分 （ii ）由（i ）知，23,x x 为方程20x bx c -+=的两个不同的根，令2()g x x bx c =-+，由23,(0,2)x x ∈，知： 函数()g x 图象与x 轴在(0,2)范围内有两个不同交点，所以0,02,2(0)0,(2)0b g g ∆>⎧⎪⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 即2,404,0,420.b c b c b c ⎧<⎪⎪⎪<<⎨⎪>⎪-+>⎪⎩ ………………11分 上述不等式组对应的点(,)b c 形成的平面区域如图阴影部分所示：又200()()4242b f f xc b b x -==，令目标函数24z c b =-，则244b z c =+， 于是问题转化为求抛物线244b zc =+的图象与y 轴截距的取值范围， ………13分结合图象，截距分别在曲线段OM ，(2,0)N 处取上、下界， 则(4,0)z ∈-，因此，00()(1,0)f x x ∈-． ………………14分。