人教版-高一-数学-2.集合间的基本关系

集合间的基本关系一、知识概念1、子集（1）子集的概念对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集。

记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于B ，或B 包含A这时我们也说集合A 是集合B 的子集【要点辨析】①“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ；例如：{-1.1}⊆{-1,0,1,2}；{x|x 为北京人}⊆{x|x 为中国人}②当A 不是B 的子集时，我们记作“B A ⊄”，读作：“A 不包含于B ”； 例如：A={1,2,3}不是B={1,3,4,5}的子集，因为A 中的元素2不是B 中的元素 ③任何一个集合都是它本身的子集，即对于任何一个集合A ，它的任何一个元素都属于集合A 本身，记作A A ⊆；④我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A ，有A ⊆∅；以上③④告诉我们，在求某一个集合的子集时，不要漏掉空集和它本身这两种特殊情况。

⑤在子集的定义中，不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合。

因为若∅=A ，则A 中不含任何元素；若A=B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集。

（２）真子集如果B A ⊆，且Ａ≠Ｂ，就说集合Ａ是集合Ｂ的真子集，记作A B 。

它的图形表示如下：①空集是任何非空集合的真子集；②对于集合A,B,C ，如果A B ，B C ，那么A C③元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号∉∈、表示；集合与集合之间的关系是包含、真包含、相等的关系，用符号⊆、和=表示（3）子集的性质①任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆②对于集合A 、B 、C ，如果B A ⊆且C B ⊆，那么C A ⊆（传递性）（4）Venn 图为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部表示集合，利用它可对集合关系进行图形语言表示，如B A ⊆可表示为下图：2、集合相等如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B ，读作A 等于B 。

注意理解一下两点：（1）若B A ⊆，同时A ⊇B ，则A=B 。

因为B A ⊆，所以A 的元素都是B 的元素；又因为A B ⊆，所以B 的元素都是A 的元素，即集合A 和集合B 的元素完全相同，因此A=B 。

（2）证明两个集合相等的方法：若A 、B 两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A=B ；若A 、B 是无限集，欲证A=B ，只需证B A ⊆与A B ⊆都成立即可。

可设任意A x ∈0，证明B x ∈0，从而得出B A ⊆。

又设任意A y ∈0，证明B y ∈0，从而得到A B ⊆，进而证明得到A=B【要点辨析】几种符号之间的联系与区别：（1）⊆、和⊄分别表示子集（包含）关系，真子集关系和不包含关系，它们都是用于集合之间关系的符号（2）⊄∉⊆∈与，与 ∉∈与是用于元素与集合之间关系的符号；⊄⊆与是用于集合之间关系的符号。

3、空集空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。

空集不含任何元素。

实数0与空集是两个不同的概念，不能把0或{0}与∅混为一谈。

【注】若出现B A ⊆的条件时，必须考虑∅=A 的情况，【例】设集合0}158x -x |{x 2=+=A ，集合0}1-ax |{x ==B ，若A B ⊆，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集。

【解析】因为A B ⊆，所以只要求出A ，然后分类讨论即可解决。

【解】由于{3,5}=A ，A B ⊆.若∅=B ，则a=0;若∅≠B ，则a ≠0，这时有3a 1=，或5a 1=，即31a =，或51a =。

综上所述，由实数a 组成集合为{51310，，}. 其非空真子集为{0}，{31}，{51}，{310，}，{510，}，{5131，}共6个。

4、集合子集的确定方法（1）写出给定集合的子集或判定已知集合子集的个数是最常见的问题，如何不重不漏列出所有子集，如何计算集合子集的个数呢？【例】写出集合3}2{1，，=A 的所有子集并求所有子集中元素之和 【解析】按子集元素个数的多少分别写出所有子集，才能避免不重不漏，同时还应注意两个特殊子集，即∅和给定集合本身。

【解】∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.注意到A 中每个元素均出现了4次，故所有子集元素的和为：（1+2+3）×4=24.（2）由上例可知，由3个元素组成的集合的子集有8个.那么由2个元素组成的集合的子集有几个？由4个元素？由n 个元素组成的集合有多少个？（n 2个）（3）A 中每个元素出现在子集中4次，是在写出所有子集后再观察得出的结果，能否不写出A 的子集也能得出同样结论？完全可行.注意到A 中的元素1，出现在A 的子集{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}中，如果从这些集合中去掉元素1，剩下的元素组成的集合依次为∅，{2}，{3}，{2,3}，即为集合{2,3}的全部子集.一般而言，A 中n 个元素，则每一元素出现在子集中的次数为1-2n ，故所有子集元素之和1-212)(n n a a a S ⋅+++= .5、子集的概念与性质在解题中的应用（1）子集的概念是讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合A 与B 之间的关系如下： ⎪⎩⎪⎨⎧⊄⎩⎨⎧⇒≠⊆⊆⇔=⊆B A B A B A A B B A B A B A 的真子集是且其中B A ⊄表示集合A 不包含于集合B （或集合B 不包含于集合A ）（2）子集具有以下性质：①A A ⊆，即任何一个集合都是它本身的子集②如果B A ⊆，A B ⊆，那么A=B③如果B A ⊆，C B ⊆，那么C A ⊆④如果A B ，B C ，那么A C（3）包含的定义也可以表述为：如果由任意A x ∈，可以推出B x ∈，那么B A ⊆（或A B ⊇）不含包含的定义也可以表述成：两个集合A 和B ，如果集合A 中存在至少一个元素不是集合B 的元素，那么B A ⊄（4）空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A ，都有A ⊆∅.在解决诸如B A ⊆，或A 是B 的真子集类问题时，必须优先考虑∅=A 是否满足题意.6、忽视空集对集合关系的影响空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕.（1）忽视空集是任何非空集合的真子集【例】写出集合N}x 4,x 0|{x ∈<<=B 的所有真子集.【错解】集合N}x 4,x 0|{x ∈<<=B ={1,2,3}的所有真子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共6个【错因分析】错解忽视了∅是任何非空集合的真子集.【正解】集合N}x 4,x 0|{x ∈<<=B ={1,2,3}的所有真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}共7个（2）忽视空集隐藏在含参的不等式中【例】已知集合}3x -2|{x ≤≤=A ，集合1}-2m x |{x ≤≤=m B ，若A B ⊆，求m 的取值范围【错解】由12-≤m m ，得1≥m .又A B ⊆，得⎩⎨⎧≤--≥3122m m ，即22≤≤-x综上，m 的取值范围为：}21|{≤≤m m .【错因分析】当A B ⊆时，许多同学认为B 是非空的，且B 是A 的子集，忽视了空集是任何集合的子集，即B 为∅的情况【正解】由错解，可知当B ≠∅时，21≤≤m ，当B=∅时，由m>2m-1，得m<1.综上，实数m 的取值范围为}2|{≤m m .（3）忽视空集隐藏在方程无解的情形中【例】已知集合0}23x -|{2=+=x x A ，且集合}02|{=-=mx x B ，若A B ⊆，求由实数m 构成的集合【错解】由已知，得0}23x -|{2=+=x x A =2}x 1x |{x ==或，又A B ⊆，而}02|{=-=mx x B =}m 2x |{x =， 故221m 2==m，或，即m=2或m=1. 所以由实数m 所构成的集合为{1,2}.【错因分析】错解在解方程mx=2时忽视了m=0.【正解】当m ≠0时，由错解知，m=2或m=1.当m=0时，B=∅，符合题意.故由实数m 所构成的集合为{0,1,2}.7、数形结合解集合问题在本节内容中，主要使用数轴，Venn 图这两类图形，在解与不等式有关的问题时，画出数轴，有利于迅速求解；在表示集合的关系时，常常画出Venn 图来表达数量关系.数轴在子集问题中的应用与不等式相关的集合，一般可以在数轴上表示，从而可以观察得到集合的运算结果，还可以求解一些参数的范围，用数轴时，要注意端点处是实点还是虚点【例】已知集合}21|{>-<=x x x A 或，}04|{<+=p x x B ，当B A ⊇时，求p 德尔取值范围【解析】将数集A 在数轴上先表示出来，根据B A ⊇，找4-p 在数轴上的位置，从而得到关于p 的不等式.【解】∵4x+p<0， ∴x<4-p ∴}4|{p x x B -<= ∵B A ⊇，∴由上图可知，4-p <-1，∴p ≥4 8、有关子集的综合问题子集是描述两个集合关系的，集合A 是集合B 的子集应理解为：集合A 中任何一个元素都是集合B 的元素，它主要包含：无论A 是否有元素，也无论集合A 是有限集还是无限集，只要是A 的元素，一定是B 的元素【例】已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=，且集合A={x|x=f(x)}，B={x|x=f[f(x)]}，（1）求证：B A ⊆；（2）当A={-1,3}时，用列举法表示B【解】（1）任取x ∈A,则x=f(x),从而x=f[f(x)],∴x ∈B,则B A ⊆.（2）∵A={-1,3}，∴f(-1)=-1，f(3)=3,即1-a+b=-1,9+3a+b=3，解得a=-1,b=-3.∴3-)(2+=x x x f ， x x x x x x f f =-+--+=3)3()3-()]([222.∴3032-22==-x x x 或，解得3,1,3±-=x ∴}3-3,1,3{，-=B .-p/42-10二、典例归纳考点一：识别集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集，能归纳出子集和真子集的区别和联系（选择题）【例1】判断下列两个集合之间的联系：（1） A={2,3,6}，B={x|x 是12的约数}；（2） A={0,1}，B={N y y x x ∈=+,1|22}；（3） A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<2}；（4） A={（x,y ）|xy<0}，B={（x,y ）|x>0，y>0}.【例2】已知集合Z}a ,61a x |{x ∈+==A ，},312x |{x Z b b B ∈-==，},612x |{x Z c c C ∈+== ，则A 、B 、C 满足的关系是（ ） A A=B C B A B=C C A B C D B C A【例3】已知{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，则这样的集合M 有 个【例4】已知集合R}x 0,1ax |{2∈=++=x x A ，B={1,2}，且A B ，求实数a 的取值范围【例5】已知集合0}m 3x -|{2=+∈=x R x P ，集合0})43()1(|{22=-++∈=x x x R x Q ，集合P 是否能成为Q 的一个子集？若能，求出m 的取值范围；若不能，请说明理由.【变式1】满足集合{01|2=+x x }A ⊆{01|2=-x x }的集合A 的个数是（ ）A 1B 2C 3D 4【变式2】已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}，集合P={(x,y)|x<0,y<0}，则（ ）A M P ⊆B P M ⊆C P M =D P M ⊄【变式3】设集合A={x||x-a|<1，x ∈R }，B={x||x-b|>2，x ∈R }，若B A ⊆，则a,b 必满足（ ）A |a+b |≦3B |a+b|≧3C |a-b|≦3D |a-b|≧3【变式4】已知集合A={x|x>0，x ∈R }，B={0|2=+-p x x x }，且A B ⊆，求实数p 的取值范围★【变式5】已知集合0}23x -x |{x 2≤+=A ，}1|{a x x B ≤≤=，且∅≠B .（1）若A B ，求a 的取值范围；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.考点二：在具体情境中解释空集和相等集合的含义（选择题）【例1】给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若∅A ，则A ≠∅，其中正确的个数有（ ）A 0个B 1个C 2个D 3个【例2】已知集合}2,,{b a b a a A =+=，},,{2ac ac a B =，若A=B ，求c 的值【例3】设}0158|{2=+-=x x x A ，}01{=-=ax B（1）若51=a ，试判断集合A 和B 的关系; （2）若A B ⊆，求实数a 组成的集合C.【变式1】1、已知四个命题：①{0}=∅；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有（ ）A 0个B 1个C 2个D 3个★【变式2】下列各组中的两个集合相等的有（ ）①},2|{Z n n x x P ∈==，}),1(2|{Z n n x x Q ∈-==；②},12|{*N n n x x P ∈-==，},12|{*N n n x x Q ∈+==；③}0|{2=-=x x x P ，},2)1(1|{Z n x x Q n∈-+== A ①②③ B ①③ C ②③ D ①②★【变式3】已知集合A={x||x-a|=4}，集合B={1,2，b}.（1）是否存在实数a ，使得对于任意实数b 都有B A ⊆？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.（2）若B A ⊆成立，求出对应的实数对（a,b ）考点三：能正确区分易混淆的数学符号（⊆∈和），会判断两个集合间的关系，能用Venn 图表示集合间的关系（选择题、填空题）【例1】填空1)a____{a ，b ，c}； 2) 0____{x|2x =0}；3)0 ____{x ∈R|2x +1=0}； 4){0，1} ____N ；5){0} ____{x|2x =x}； 6){2，1} ____{x|2x -3x+2=0【例2】判断下列两个集合之间的关系1) A={1，2，4}，B={x|x 是8的约数}；2) A={x|x=3k ，k ∈N}，B={x|x=6z ，z ∈N}；3) A={x|x 是4与10的公倍数}，B={x|x=20m ，m ∈N*}.【例3】已知集合A={a ，a+b ，a+2b}，B={a ，ac ，ac2}，若A=B ，求c 的值【变式1】下列关系式中正确的个数为（ ）①{a,b}⊆{b,a}；②{a,b}={b,a}；③∅{0}；④0∈{0}；⑤∅∈{0}A 3B 4C 5D 0【变式2】已知全集U=R ，则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|0x x 2=+}关系的Venn 图示下图中的（ ）A BCD【变式3】集合U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x|x ∈A,且x<1}，C={x|x-1∉A ，且x ∈U }，若D={x|x ⊆A}，说明A 、B 、C 、D 的关系.★【变式4】集合A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}（1）若M B ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；（3）当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A ，且x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.三、课堂练习1.下列命题正确的是（ ）A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集2.以下五个式子中，错误的个数为（ ）①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1}③{0，1，2}⊆{1，0，2}④∅∈{0，1，2} ⑤∅∈{0}A.5B.2C.3D.43、下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4、集合{a ，b}的子集有( )A ．1个B ．2个 C. 3个 D. 4个4、已知集合}{{x B x x A =<<-=,21}10<<x ，则（ ） A.B A > B. B A ⊆C. A BD. B A5.已知集合{}{}12,,A x x B x x a A B =<<=<⊆若，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ≤B. 2a <C. 2a >D. 2a ≥6.满足{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆⊆的集合X 的个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．47、已知集合⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧==Z k k x x A ,3，=B ⎭⎬⎫∈⎩⎨⎧=Z k k x x ,6,则（ ）A. AB B. B A C.B A = D. A 与B 关系不确定8、满足M a ⊆}{的集合},,,{d c b a M 共有（ ）A.6个B.7个C.8个D.15个9、已知集{}}{a x x B x x A <=<<=,21，满足AB ，则（ ） A.2≥a B. 1≤aC.1≥aD. 2≤a10、已知}13,2,1{2--=a a M ，}3,1{=N ,若a M N M 则且,3⊄∈的取值为（ ）A.1B.4C.-1或-3D.-4或111、集合B ＝{a ，b ，c}，C ＝{a ，b ，d}，集合A 满足A ⊆B ，A ⊆C.则集合A 的个数是________12．（1）集合{}21,3,21,{3,}A m B m =--=,若B A ⊆，则实数m ＝（2）已知{1,3,}A m =-，集合{3,4}B =,若B A ⊆,则实数m =（3）已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m 的集合P 为 ；P 的子集有 个；P 的非空真子集有 个．13、设}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A 若B A ，则a 的取值为 .14、已知集合}{{x B x x x A =>-<=,51或}4+<≤a x a ，若B A ，则实数a 的取值范围是 .15.判断正误 （1）空集没有子集 （ ）（2）空集是任何一个集合的真子集 （ ）（3）任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）（4）若B A ⊆,那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B （ ）16.写出集合{,,,}a b c d 的子集,其中非空真子集有多少个？17.已知{}{},,,,,a b A a b c d e ⊆⊆,求满足条件的A ．18.非空数集{}1,2,3,4,5A ⊆,满足若A a ∈，则A a ∈-6的非空集合A 有多少个?写出这些集合.19.判断如下A 与B 之间有怎样的包含或相等关系：（1）A ＝{x ｜x ＝2k －1，k ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z }；（2）A ＝{x ｜x ＝2m ，m ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈Z }.20、设集合}{{ax x x B x x A -==-=2,01}02=-，若B A ⊆，求a 的值21、设集合}{22+<<-=a x a x A ，=B }{32<<-x x .(1.)若AB ，求实数a 的取值范围. (2).是否存在数a 使A B ⊆?22、已知集合{}=≤≤=B x x A ,21}{1,1≥≤≤a a x x（1）若AB ，求实数a 的取值范围； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围23已知{}95,4,2,,2+-=∈x x A R x a ，{}a ax x B ++=2,3，{+=2x C }1,3)1(-+x a .求:(1).使,2B ∈B A 的x a ,的值;(2).使的值的x a C B ,=24.子集综合题（1）已知集合{}}01|{,06|2=+==-+=ax x S x x x P ,若P S ⊆，求实数a 的值；（2）已知集合}01{2=++=ax x x A ，集合{}1,2B =，且A B ⊆，求实数a 的取值范围；（3）已知集合{}{}312,35A x a x a B x x =-<<+=≤≤，若B A ⊆，求a 的范围.25.集合{25},{121}A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，（1）当x Z ∈时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B ⊇，求实数m 的取值范围.★26、已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z}，N ＝{x|x ＝n2－13，n ∈Z}，P ＝{x|x ＝p2＋16，p ∈Z}，请探求集合M 、N 、P 之间的关系四、课后练习1.集合{1,2,3}的真子集共有（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个2.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个3.已知{|3},{}A x x B x x a =<=<.（1）若B A ⊆，则a 的取值范围是_______________.（2）若A ⊂≠B ，则a 的取值范围是_______________.4.设集合2{|8150},{10}A x x x B x ax =-+==-=，若B A ⊆，则实数a 组成的集合为 .5.设集合{|32},{2121}A x x B x k x k =-≤≤=-≤≤+,且A ⊇B ，则实数k 的取值范围为.6、若集合{}==-+=N x x x M ,062}{0))(2(=--a x x x ，且N M ⊆,求实数a 的值7、已知集合}{41>-<=x x x A 或，=B }{32+≤≤a x a x ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.。