数项级数复习笔记

1.级数的敛散性的判别·：

a.定义：数列{Sn}收敛于有限数S，即相当于xn

b.cauchy收敛原理：级数 ∑xn收敛当且仅当对任意的ε

>

0, 存在正整数N,

使得当m >

n

> N时

c.n阶余项：n阶余项数列{rn} 收敛于0。

d.必要条件：项收敛于零。

e.比较判别法：存在M,使xn ≤ Myn, n = 1,

f.极限判别法：求两个函数项比值的极限。比值l 14.数项级数复习

g.Cauchy判别法(或根式判别法(root l.A-D判别法：

i.积分判别法： 做法是令函数积分代替级数和j.Raabe判别法： r小于1是发散，大于一时收敛（前一项比后一项）。

k.Leibniz判别法： 因为求级数和相当于用 上界代替某一段函 数值求积分。所以函数积分敛散

注：1.abcd判别方法是任何级数都适用，efghij只有正项级数可以使用，k是交错级数，l是适用于两个项乘积的级数。

2.可以利用绝对收敛推级数收敛，即利用绝对值将交错级数或任意级数转化为正项级数，方便判断敛散性。

3.当cauchy判别法和比式判别法比值为一时可以考虑使用raabe判别法，要注意r与1关系和敛散性的对应。

4.在判断正项级数敛散性是适当进行等价无穷小的代换（要整体代换不能单项代换）

……

5. 遇到三角函数时多使用三角等价变化（倍角半角等），将级数转化便于计算。2:收敛级数的性质;

a;线性：即

b；加法结合律：再不改变项顺序的情况下，将项进行合并后求和不改变敛散性

c:在原级数上增加或减少有限有限项不会改变级数的敛散性但会改变级数值。

3.级数的乘法：

可能的所有项相乘，类似于线性空间的空间相加。无限项的相乘要排列为正方形。

又因为不同的顺序会影响级数的敛散性，所以在级数相乘的过程中有一定的排列顺序。

1.对角线排列：cauchy乘积，项 Cn=a1*bn-1+a2*bn-2+……+an-1*b1.（取乘积矩阵的反对角线）

2.正方形排列：dn = a1bn + a2bn + · · · + anbn + anbn−1 + · · · + anb1.（取乘积矩阵的左下两条边）

注: 当级数an，bn收敛时，正方形排列一定收敛，对角线排列无法确定。

当级数an，bn绝对收敛时，任意顺序排列都收敛。

若两级数乘积收敛，则一定收敛于收敛的乘积。

补：对数判别法：（适用于幂指型和指数含有lnn形式的级数） 正 项级数 ∑xn，若 1. ln（1/xn）/lnn<1则级数发散 若 2.

ln（1/xn）/lnn>1则级数收敛。判断级数是否收敛的方法步骤：

1先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零2判断级数类型：正项级数，交错级数，任意级数。3正项级数：a比较判别法， b.比式判别法，（适用于含 n！

的级数）； c.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数）； d.对数判别法，（适用于幂指型和指数含有lnn形式的级数）

e.Raabe判别法，（适用于当上三种失效即极限为一时）交错级数：laibnz判别法。或者取绝对值转化为正项级数在进行判断。任意级数：考虑绝对值收敛。或ad判别法。注：还可以将原级数分解为两个简单的级数

通过运算性质来证明级数收敛。

1+1/2+1/3+……+1/n ≈ lnn+C