第二节L’Hospital 法 则
第二节洛必达LHospital法则
x? 0?
x? 0?
(3) lim (1 ? 1 ) x
x? 0?
x
x ) 1/ x 2 ;
系理数院学技科汉武
解：(1) 令y=xx, 则 lny=xlnx, 再取极限, 得到
ln x
1/ x
lim ln y ? lim
? lim
x? 0?
x? 0? 1 / x
x? 0? ? 1 / x 2
? lim x ? 0 x? 0?
? lim ln y ? 0 x? 0?
? lim y ? e 0 ? 1 ? x? 0?
lim x x ? 1
x? 0?
案教子电学数等高
也可以
( 1 ) lim x x ? lim e x ln x
x? 0?
x? 0?
? exp[
lim ( x ln x )]
x? 0?
? exp[
lim
1/ x ] ? e 0 ? 1
x ? 0 ? ? 1/ x 2
(2) lim(cos x? 0
x ) 1/ x 2 ? lim
1 ln cos x
e x2
x? 0
ln cos x
? exp[lim x? 0
x2
]
? tgx
? exp[lim
] ? exp[
x? 0 2 x
? 1 ? 1] 2
系理数院学技科汉武
? e ? 1/ 2 ?
在区间[a,x] 或[x,a] 上应用柯西中值定理
f ( x ) ? f ( a ) ? f ?(? ) , (? ? [ a , x ]) g ( x ) ? g ( a ) g ?(? )
x ? a,? ? a
l'hospital法则
l'hospital法则如果当x→a(或x→∞)时，两个函数f(x)与F()都趋于0或∞，那么极限limx→a(x→∞)f(x)F(x)可能存在，也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为 00或∞∞.在极限是未定式的条件下，通过分子分母同时分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达(L’Hospital)法则洛必达法则的两个定理：对于x→a时的未定式00（亦即x→∞时的未定式∞∞）的情形，有以下定理：定理一：设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋向于0； (2)在点a的某去心邻域内，f′(x)及F′(x)都存在，且F′(x)≠0； (3)limx→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大），则limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)对于x→∞时的未定式00（亦即x→a时的未定式∞∞）的情形，有以下定理：定理二：设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋向于0； (2)当|x|>N时，f′(x)与F′(x)都存在，且F′(x)≠0; (3)limx→af′(x)F′(x)存在（或为无穷大），则limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)其他还有一些0⋅∞、∞−∞、00、i∞、∞0型的未定式，也可以通过00或∞∞型的未定式来计算.下面举一些例子： 1、求limx→0+xnlnx(n>0).解：这是 0⋅∞未定式.因为xnlnx=lnx1xn当 x→0+时，上式右端是未定式∞∞，应用洛必达法则，得limx→0+xnlnx=limx→0+(−xnn)=02、求limx→π2(secx−tanx).解：这是∞−∞型.因为secx−tanx=1−sinxcosx, 当 x→π2时，上式右端是未定式 00，应用洛必达法则，得limx→π2(secx−tanx)=limx→π2−cosx−sinx=03、求limx→x+xx解这是 00未定式.设 y=xx，取对数得lny=xlnx当 x→0+时，上式右端是未定式 0⋅∞.应用洛必达法则得limx→x+lny=limx→x+(xlnx)=limx→x+lnx1x=0因为 y=elny，而 limy=limelny=limelimlny(x→0+),所以limx→x+xx=limx→x+y=e0=1。
洛必达(L Hospital)法则
1 ⎧ 1 x ⎪ (1 + x ) x ] , 当x > 0 ⎪[ 三、讨论函数 f ( x ) = ⎨ , e ⎪ −1 ⎪ 当x ≤ 0 ⎩e 2 ,
在点x = 0处 的连续性.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
例10 解
2007年8月
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
. =e
ln x x →11− x lim
( 1∞ )
=e
1 lim x x → 1 −1
原式 = lim e
1 ln x 1− x
= e −1 .
15
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
例11 求 lim+ (cot x )
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f 取对数
g
0⋅∞ 型
f ⋅g= f 1g
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考题
f ( x) f ′( x ) 设 lim 是不定型极限，如果 的极 g( x ) g ′( x ) f ( x) 限不存在，是否 的极限也一定不存在？ g( x )
3 x2 − 3 6x 3 解 原式 = lim 2 = lim = . 1 x→ 3 x − 2 x − 1 x →1 6 x − 2 2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁 7
ln sin ax . 例3 求 lim x → 0 ln sin bx
∞ ( ) ∞
a cos ax ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim = lim = 1. x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
L.Hospital法则
ln sin ax lim ,( ) x 0 ln sin bx
微积分
定理 设(1)当 x a时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零;
( 2) 在 a 点的某领域内 (点 a 本身可以除外 ), f ( x ) 及 F ( x ) 都存在且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
① 若 正整数 则连续使用μ次法则，得 x ! lim x lim x 0 x e x e ② 若 正整数 记 r (0 r 1)
则连续使用[μ]次法则，得
x ( 1)( [ ] 1) x [ ] lim x lim x e x [ ]e x r ( 1)( [ ] 1) x lim x [ ]e x
2
0 ( ) 0
1 1 2 x sin cos x x lim x 0 ex 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 1 2 x sin x 1 x 但 lim x lim x x sin 1 0 0 x 0 e 1 x 0 e 1 x
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
当x 时,以及x a , x 时, 该法则仍然成立.
微积分
证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) 0, xa xa , F ( x ), F1 ( x ) 0, xa xa ,
罗比塔法则
罗比塔法则罗比塔(L'Hospital)法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用罗比塔法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用罗比塔法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用罗比塔法则，这时称罗比塔法则失效，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②罗比塔法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③罗比塔法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用罗比塔法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.The Stolz-Cesàro theo rem is a similar result involving limits of sequences, but it uses finite difference operators rather than derivatives.In its simplest form, l'Hôpital's rule states that for functions ƒ and g:If or and exists,thenThe differentiation of the numerator and denominator often simplifies the quotient and/or converts it to a determinate form, allowing the limit to be evaluated more easily.Contents[hide]∙1General form∙2Requirement that limit exists∙3Examples∙4Other indeterminate forms∙5Other methods of evaluating limits∙6Logical circularity∙7Case where ƒ and g are differentiable at c∙8Geometric interpretation∙9Proof of l'Hôpital's ruleo9.1Zero over zeroo9.2Infinity over infinity∙10See also∙11Notes∙12External links[edit] General formThe general form of l'Hôpital's rule covers many more cases. Suppose that c and L are extended real numbers(i.e., real numbers, positive infinity, or negative infinity). Suppose that eitherorAnd suppose thatThenexists is essential. Differentiation of indeterminate forms can sometimes lead to limits that do not exist. If this happens, then l'Hôpital's rule does not apply. For example, if ƒ(x) = x + sin(x) and g(x) = x, thenwhich does not exist, whereasAlternatively, just observe that the limit is the definition of the derivative of the sine function at zero.∙This is a more elaborate example involving 0/0. Applying l'Hôpital's rule a single time still results in an indeterminate form. In this case, the limit may be evaluated by applying the rule three times:∙This example involves 0/0. Suppose that b > 0. Then∙Here is another example involving 0/0:∙This example involves ∞/∞. Assume n is a positive integer. ThenRepeatedly apply l'Hôpital's rule until the exponent is zero to conclude that the limit is zero.∙Here is another example involving ∞/∞:∙One can also use l'Hôpital's rule to prove the following theorem. If is continuous at x, then∙Sometimes L'Hôpital's rule is invoked in a tricky way: suppose f(x) + f'(x) converges as . It follows:∙ :and so exists and[edit] Other indeterminate formsOther indeterminate forms, such as 1∞, 00, ∞0, 0·∞, and ∞−∞, can sometimes be evaluated using l'Hôpital's rule. For example, to evaluate a limit involving ∞−∞, convert the difference of two functions to a quotient:where l'Hôpital's rule was applied in going from (1) to (2) and then again in going from (3) to (4).l'Hôpital's rule can be used on indeterminate forms involving exponents by using logarithms to "move the exponent down". Here is an example involving the indeterminate form 00:It is valid to move the limit inside the exponential function because theexponential function is continuous. Now the exponent x has been "moved down". The limit is of the indeterminate form 0·(−∞), but as shown in an example above, l'Hôpital's rule may be used to determine thatThus[edit] Other methods of evaluating limitsAlthough l'Hôpital's rule is a powerful way of evaluating otherwise hard-to-evaluate limits, it is not always the easiest way. ConsiderThis limit may be evaluated using l'Hôpital's rule:It is valid to move the limit inside the cosine function because the cosine function is uniformly continuous.Another way to evaluate this limit is to use a substitution. Let y = 1/x. As |x| approaches infinity, y approaches zero. So,The final limit may be evaluated using l'Hôpital's rule or by noting that it is the definition of the derivative of the sine function at zero.Still another way to evaluate this limit is to use a Taylor series expansion:For |x| ≥ 1, the expression in parentheses is bounded, so the limit in the last line is zero.[edit] Logical circularityIn some cases it may constitute circular reasoning to use l'Hôpital's rule to evaluate a limit. ConsiderIf the purpose of evaluating this limit is to prove that if ƒ(x) = x n, thenand one uses l'Hôpital's rule and this same fact to evaluate the limit, then the argument uses the conclusion as an assumption (i.e., begging the question) and is therefore fallacious (even though the conclusion is true).[edit] Case where ƒ and g are differentiable at cThe proof of l'Hôpital's rule is simple in the case where ƒ and g are differentiable at the point c. It is not a proof of the general l'Hôpital's rule because it requires stronger hypotheses than does l'Hôpita l's rule, namely, the differentiability of ƒ and g at c.Suppose that ƒ and g are continuous and differentiable at c,ƒ(c) = g(c) = 0, and g′(c) ≠ 0. Then(remember that ƒ(c) = g(c) = 0). This follows from the limit rules for quotients and the definition of the derivative.This suggests the general case of l'Hôpital's rule, which does not require the functions ƒ and g to be differentiable at the point c and is proven below.[edit] Geometric interpretationConsider curve in the plane whose x-coordinate is given by g(t) and whose y-coordinate is given by ƒ(t) – i.e.Suppose ƒ(c) = g(c) = 0. The limit of the ratio ƒ(t)/g(t) as t→c is the slope of tangent to the curve at the point [0, 0]. The tangent to the curve at the point t is given by [g'(t),f'(t)]. L'Hôpital's rule thenstates that the slope of the tangent at 0 is the limit of the slopes of tangents at the points approaching 0.[edit] Proof of l'Hôpital's ruleA standard proof of l'Hôpital's rule uses Cauchy's mean value theorem. l'Hôpital's rule has many variations depending on whether c and L are finite or infinite, whether ƒ and g converge to zero or infinity, and whether the limits are one-sided or two-sided. All the variations follow from the two main variations below without, for the most part, requiring any new reasoning.[3][edit] Zero over zeroSuppose that c and L are finite and ƒ and g converge to zero.First, define (or redefine) ƒ(c) = 0 and g(c) = 0. This makes ƒ and g continuous at c, but does not change the limit (since, by definition, the limit does not depend on the value at the point c). Sinceexists, there is an interval (c−δ, c + δ) such that for all x in the interval, with the possible exception of x = c, both and g'(x)exist and g'(x) is not zero.If x is in the interval (c, c + δ), then the mean value theorem and Cauchy's mean value theorem both apply to the interval [c, x] (and a similar statement holds for x in the interval (c−δ, c)). The mean value theorem implies that g(x) is not zero (since otherwise there would be a y in the interval (c, x) with g'(y) = 0). Cauchy's mean value theorem now implies that there is a point ξx in (c, x) such thatIf x approaches c, then ξx approaches c(by the squeeze theorem). Sinceexists, it follows that[edit] Infinity over infinitySuppose that L is finite, c is positive infinity, and ƒ and g converge to positive infinity.For every ε > 0, there is an m such thatThe mean value theorem implies that if x > m, then g(x) ≠g(m) (since otherwise there would be a y in the interval (m, x) with g'(y) = 0). Cauchy's mean value theorem applied to the interval [m, x] now implies thatSince ƒ converges to positive infinity, if x is large enough, then ƒ(x) ≠ƒ(m). WriteNow,For x sufficiently large, this is less than ε and therefore*Note: Steps are missing.。
数学罗比特法则
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于无穷；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
第二节 L'Hospital法则
第二节 L’Hospital 法则这一节我们通过Cauchy 中值定理来得到一个求极限的法则——L ’Hospital 法则。
并利用它来求一些所谓不定型的极限．定理 6.11 设0)(lim =→x f ax ，0)(lim =→x g ax ，且)(x f ，)(x g 在a 的某个去心邻域中可导，若)()(limx g x f ax ''→ 存在（可以是有限数或∞），则)()(lim)()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→． 证 由于)(x f ，)(x g 在a 的某个去心邻域中可导，所以可假设0)()(==a g a f ，这样，)(x f ，)(x g 就都在a 点连续了．故由Cauchy 中值定理得到)()()()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f ''=--=， （ξ介于x 与a 之间） 当a x →时，a →ξ．而当a →ξ时，)()(lim x g x f a x ''→存在，所以)()(lim)()(lim )()(limx g x f g f x g x f a x a ax ''=''=→→→ξξξ． 注 6.2 （１）．若0)(lim =→x f ax ，0)(lim =→x g ax ，我们称)()(limx g x f ax →为0型的未定式． （２）．若)()(limx g x f ax ''→不存在，不能说)()(lim x g x f a x →也不存在．我们容易知道xx x x 1sinlim2π→是00型的未定式，且其极限为０．但是()11cos1sin 2lim1sin lim 020x x x x x x x x -=''⎪⎭⎫ ⎝⎛→→不存在，所以用L ’Hospital 法则不能证明极限不存在．以下用L ’Hospital 法则计算几个极限．例6.6 求ππ-→x xx sin lim． 解 当π→x 时，x sin 与π-x 的极限都是０，所以此极限是0型的未定式，可以考虑用L ’Hospital 法则．11cos lim sin lim-==-→→xx x x x πππ． 例6.7 求30sin limxxx x -→． 解：此极限是0型的未定式，考虑用L ’Hospital 法则．616sin lim 3cos 1lim sin lim 02030==-=-→→→x x x x x x x x x x ． 这里连续用了两次L ’Hospital 法则．类似地，若将定理中的a x →换为∞→x 可以得到同样的结论．看下面的例子：例6.8 求.1sin )11ln(lim⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x ． 111cos 1111lim 1sin )11ln(lim22=-⋅-⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→xx x x x x x x ．若将定理中的0)(lim =→x f ax ，0)(lim =→x g ax 换为∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax ，也可以有类似的L ’Hospital 法则．此时我们称)()(limx g x f ax →为∞∞的不定式．也就是下面的定理． 定理6.12 设∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax ，且)(x f ，)(x g 在a 的某个去心邻域中可导，若)()(limx g x f ax ''→ 存在（可以是有限数或∞），则)()(lim)()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→． 证 （略）．进一步，我们可以得到定理6.13 设∞=→)(lim x g ax ，且)(x f ，)(x g 在a 的某个去心邻域中可导，若)()(lim x g x f ax ''→ 存在（可以是有限数或∞），则)()(lim)()(limx g x f x g x f a x ax ''=→→ 证 （略）．例6.9 求λ-→x xx ln lim0，()0>λ．解 此极限为∞∞的不定式．用L ’Hospital 法则可以得到 0lim 1lim ln lim 0100=-=-=→--→-→λλλλλx x x x x x x x ． 即对于任意的()0>λ，有0ln lim 0=→x x x λ．我们也可以将上面定理中的a x →也可以换为∞→x ．例6.10 设，N n ∈+∈R λ，求||lim x nx ex λ∞→．解 这是∞∞型的未定式，所以可以考虑用L ’Hospital 法则． 0!lim lim lim 1====+∞→-+∞→+∞→xn x x n x x n x e n e nx e x λλλλλ．．．． 当-∞→x 时，有||||||)1(lim lim x nn x x n x ex e x λλ-=∞→∞→， ||||x n ex λ是无穷小，n)1(-是有界量，所以原式＝0．例6.11 当1>a ，N n ∈时，求x nx ax +∞→lim 。
高数 3-2(L'Hospital法则)
求 lim 2 例1
x
arctan x .
1 x 1 2 2 1 x lim x 解 原式 lim 1. 2 x 1 x 1 x 2 x ln sin ax ( a 0, b 0). ( ) 例2 求 lim x 0 ln sin bx
g( x ) g '(0) f ( x) f (0) x f '(0) lim lim x x0 x x 0 g( x ) xg '(0) lim 2 x 0 x g '( x ) g '(0) lim g "( x ) 1 g "(0) lim 2 x 0 2 2x x 0 1 g "(0) (由定义) 2
定理 设
(1) 当 x a时, 函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零或 无穷大; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x )及 F ( x ) 都 存在且 F ( x ) 0; f ( x ) (3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
0 一、 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
定义 取自变量的某一趋近过程，两个函数
f ( x ) 与 F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 x a F ( x )
( x )
0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0 ln sin ax tan x 0 ,( ) , ( ) lim 例如, lim x 0 ln sin bx x 0 x 0
高等数学§3.2 L'Hospital法则
洛必达法则
15
0 f ( x) f ( x) 型或 型洛必达法则: lim lim x a g ( x ) xa g ( x) 0
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好. 例
sin x lim 0. x 0 cos x cos x x sin x
21
三、 , 1 , 型未定式 0
0
0
0
步骤: 0 e
0ln 0
0
e ln1 0 1 0ln 0 0 e
例 求 lim x x . ( 00 )
( )
0
解 原 式 lim e
x 0
1 ln(cotx ) ln x
e x 0
1
lim
ln (cotx ) ( ) ln x
ln | x a | 解 原 式 lim cos x lim ( ) xa x a ln | e x e a | 1 1 e x ea cosa lim x a cosa li m x lim x a e x a xa x a ex e x ea cos a a 用e x 在x a处的导数定义 a e cosa. e
洛必达法则
4
0 证 ( 型) 0 (1) lim f ( x ) 0, lim F ( x ) 0;
x a
xa
1) 在[a , x ]上连续; 2) 在(a, x )内可导, 且F ( x ) 0. ( 2) f ( x ), F ( x ) 在点a 的邻域内可导(点 a 处除外), 且 F ( x ) 0;
4-2洛比达法则
∞ “ ” 型或 ∞
除此之外,下列类型也是未定式 除此之外 下列类型也是未定式: 型. 下列类型也是未定式 ∞−∞” “0·∞”, “∞−∞ ∞ 取 ∞−∞ ∞−∞”型 “0·∞”型,“∞−∞ 型. ∞ 型 ∞−∞ 对 “1∞”型,“00”型,“∞0”型. 型 型 ∞ 型
数 法
0 “ 0
∞ “ ∞
2
极
又如
失效之二 循环
x→ +∞
lim
x 1+ x2
1+ x2 x = lim = lim x→ x→ +∞ +∞ x 1+ x2
解：原极限= lim 原极限
1 1+(1/ x )
2
x→ +∞
=1
春风得意洛 春风得意洛必塔 一招遍摘极限花 可叹英雄亦失手 莫忘前章有妙法
练习
x +sinx lim x→ x −sinx ∞
sinx co 3x s −3sin3x = lim lim = − lim =3 x→ / 2sin3x x→ / 2 ⋅ co x x→ / 2 −sinx π π π s
lnx lim α (α > 0) 例7.求 求 ∞ x→ +∞ x “∞ ”型. 1/ x 1 原极限= 解：原极限 lim 0 α−1 = lim α= x→ α +∞ x x→ α +∞ x ex ex ex 原极限= 例8.计算 lim 2 解：原极限 lim 计算 = lim = +∞ x→ x +∞ x→ 2x x→ +∞ +∞ 2
2 等价无穷小) 等价无穷小 ta 2 x (等价无穷小 n x = lim = lim 0 1− o x→ 1−c s x x→ 1 0 → x2 2 lnx +1− x 例4.计算极限 lim 计算极限
L'Hospital法则证明
|1 −
g(������ 1 ) g(������ ) |< 1 +| 1 |< 2 g(x) g(x) | f(x1 ) − Ag(x1 ) | < ������ g( x )
综上，即得∀ε > 0, ∃������ > 0，使得当0 < ������ − x0 < ������时， f ( x) g(������ 1 ) f(x) − f(x1 ) f(x ) − Ag(x1 ) | − A| ≤ |1 − |∙ | − A| + | 1 | < 2������ + ������ = 3������ g( x ) g (x) g(x) − g(x1) g ( x) 由定义，得 f(x) f ′ (x) = lim =A ′ x→x0 g(x) x→x+ 0 g (x) lim +
0 0
infinitive
− and said that the conclusion is right when x → x0 、x → x0 、x → ∞ ∞
+∞、x → −∞、x → ∞. So is
infinitive form. In this paper,I proved
∞ ∞
infinitive
= |(1 −
≤ |1 −
g(������1 ) f(x) − f(x1 ) f(x1 ) − Ag(x1 ) |∙| − A| + | | g(x) g(x) − g(x1) g ( x)
f′ (x)
+ 因为， limx→x0 = A， 即对 ∀ε > 0， ∃δ1 > 0(δ1 < ������)， 使0 < ������ − x0 < δ1 时， g′ (x)
lhospital法则
lhospital法则
lhospital法则是洛必达。
洛必达法则是一种通过分别推导分子和分母，然后在一定条件下求极限来确定待定值的方法，当x→a、函数f（x）和f（x）趋于零；在点a的去心邻域内，f'（x）和f'（x）≠ 0；当x→a时lim f'（x）/F'（x）存在（或为无穷大），那么 x→a时 lim f（x）/F （x）=lim f'（x）/F'（x）。
在极限值为不定式的情况下，通过同时求取分子分母求极限值的方法称为洛必达定律。
在求解问题时，我们要注意：在开始求极限之前，首先要检查它是否满足0/0或者∞/∞类型，否则，如果我们滥用Robida规则，就会出错。
当它不存在时，我们就不能用洛必达定律。
这时就说洛比达定律不适用了，我们应该从另一种途径寻求极限。
例如，使用泰勒公式。
如果条件满足，洛必达法则可以重复使用，直到找到极限。
洛必达法则是求不定式极限的有效工具，但如果只使用洛必达法则，计算会非常复杂，因此必须结合其他方法，如及时分离非零极限的积因子来简化计算，用等量替换积因子。
罗必塔(L(Hospital)法则
第二节 罗必塔（L 'Hospital ）法则一、 引入设)(x α、)(x β是当0x x →时的两个无穷小量(或无穷大量)，由极限的运算法则知：极限 )(/)(x x βα可能存在、也可能不存在。
,)(x x =α、2)(x x =β、Sinx x =)(γ、Cosx x -=1)(δ当0x x →时都是无穷小量，0)()(lim 0=→x x x αβ，1)()(lim 0=→x x x αγ，21)()(lim 0=→x x x βδ。
如果当a x →（∞→x ）时，函数)(x f 、)(x g 都趋于零或为都趋于无穷大，则极限)()(lim )(x g x f x ax ∞→→可能存在、也可能不存在，这种极限叫做未定式，并分别记为00、∞∞。
二、未定式00型 准则1：设（1）如果当a x →时，函数)(x f 、)(x g 都趋于零；（2）在),(δa U 内，)(/x f 、)(/x g 都存在且0)(/≠x g ；（3）极限)()(lim //x g x f a x →存在（或为无穷大）； 则)()(lim x g x f a x →存在，且)()(lim x g x f a x →=)()(lim //x g x f a x →。
准则2：设（1）如果当∞→x 时，函数)(x f 、)(x g 都趋于零；（2）当X x >时，)(/x f 、)(/x g 都存在且0)(/≠x g ；（3）极限)()(lim //x g x f a x →存在（或为无穷大）； 则)()(lim x g x f a x →存在，且)()(lim x g x f a x →=)()(lim //x g x f a x →。
例1：求下列极限（1）30tan lim x x x x -→ （2）xb a xx x -→0lim （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ （4）123lim 2331+--+-→x x x x x x （5）xx x x x e e x e e 220)1(132lim ----→ （6）x x x 1arctan 2lim -+∞→π三、未定式∞∞型 准则3：设（1）如果当a x →时，函数)(x f 、)(x g 都趋于无穷大；（2）在),(δa U 内，)(/x f 、)(/x g 都存在且0)(/≠x g ；（3）极限)()(lim //x g x f a x →存在（或为无穷大）； 则)()(lim x g x f a x →存在，且)()(lim x g x f a x →=)()(lim //x g x f a x →。
L’Hospital法则
§2 L ’Hospital 法则在某一极限过程中，求两个无穷小（或两个无穷大量）之比的极限是经常遇到的问题。
例如 x x x sin lim 0→，465lim 222-+-→x x x x ，.||lim 0x x x →其中分子，分母都是无穷小量。
又如1234lim 22+++∞→x x x x ，123)21(sin lim 22+++∞→x x x x x 分子，分母都是无穷大量。
他们分别称为“00”型，“∞∞”型未定式,其所以称为“未定式”，是因为这两种极限可能存在，可能不存在，而且，如果存在，其极限值随具体问题而定。
这里要介绍的洛必达法则，是根据柯西中值定理来确定“00”型，“∞∞” 型未定式的值的一种简单有效的方法，它包括下面几个定理. 一. “0”型未定式定理1（为)()(limx g x f ax → “00”型未定式的情形）设函数)(x f 和)(x g 在点a 的一个空心邻域),(0δa S 内有定义，且满足条件：（1）0)(lim ,0)(lim==→→x g x f ax ax ；（2）在),(0δa S 内，)(x f '和)(x g '存在，且0)(≠'x g ；（3）k x g x f ax =''→)()(lim（或∞=''→)()(lim x g x f a x ），则 k x g x f x g x f a x a x =''=→→)()(lim )()(lim （k 可以是∞）。
证 只需证明k x g x f ax =-→)()(lim 且k x g x f a x =+→)()(lim .由于证法相同，只证其一：k x g x f ax =+→)()(lim . 我们利用柯西中值定理。
为此， 考虑两个在点a 处有定义的函数：⎩⎨⎧=≠=;,0)()(a x a x x f x F ⎩⎨⎧=≠=a x ax x g x G 0)()(， 在区间),[δ+a a 内任取一点x ，考虑区间],[x a ，显然)(x F 和)(x G 满足柯西定理的条件，因此，),(x a ∈∃ξ，使得)()()()()()(ξξG F a G x G a F x F ''=--,xa <<ξ.已知0)()(==a G a F ，于是)()()()()()()()()()(ξξξξg f G F a G x G a F x F x g x f ''=''=--=，x a <<ξ. 当+→a x时，+→a ξ. 在上述两边取极限，得k x g x f g f x g x f a a a x ）条件（3)()(lim )()(lim )()(lim=''=''=+++→→→ξξξξ .同理可证k x g x f ax =-→)()(lim . 于是证明了 k x g x f x g x f a x a x =''=→→)()(lim )()(lim .例1 212sin lim cos 1lim020==-→→x x xx x x . 例2 x x x x x cos sin 1lim 20-+→xx x x x x x x cos sin 1)cos sin 1(lim20-+++=→ .34cos sin 21lim 4cos sin 22lim2cos sin 1lim2000020=+=+=-+=→→→x x x xx x x x x x x x x x例3 3)33cos(3sin 2)3cos(sin 2lim)3sin(cos 21lim33=-=-=--→→πππππππx x x x x x 洛.例4 x e e xe e x x x x x x sin lim cos 12lim00-→-→-=--+洛洛= 2111cos lim0=+=+-→x e e x x x . 在运用洛必达法则时，先要检查是否满足定理的条件。
l'hospital法则的简明教学
l'hospital法则的简明教学l'hospital法则是一种求极限的方法，它可以帮助我们更准确地求出某些表达式的极限。
其特点是，当分母和分子导数存在时，就可以采用l'hospital法则来计算极限。
l'hospital法则的具体步骤为：
（1）将表达式分数化，即：
△=f(x)/g(x)，
这里f(x)和g(x)分别表示分子和分母;
（2）求f(x)和g(x)的导数;
（3）重新写出表达式：
△=f'(x)/g'(x);
（4）如果f'(x)/g'(x)=0，则极限的值等于0;
（5）否则，当发现f'(x)分子和g'(x)分母的极限同时不存在或是不可算时，此时说明原式△=f(x)/g(x)的极限存在，极限的值此时等于f'(x)/g'(x)的极限。
通常所说的l'hospital法则可以采用两个步骤来求取极限：
（1）对分子分母分别求导
（2）令导数结果看作新的分子分母，继续求极限
不过，l'hospital法则也有一定的局限性，它仅仅适用于当极限能够被归纳为分数时，且分子和分母的函数可以求导的情况。
在一些情况下，使用l'hospital法则可能无法求出极限，比如当极限可以归纳为无穷次方时，l'hospital法则不能使用。
因此，在实际应用中，首先要看清表达式的极限情况，然后慎重考量，在场景允许的情况下再决定是否使用l'hospital法则。
3.L.Hospital法则
y= x
y = ln βx
x
tan x . 例6 求 lim π x → tan 3 x
2
∞ ( ) ∞
直接应用法则比较麻烦,先变形, 解 直接应用法则比较麻烦,先变形,再用法则
tan x sin x cos 3 x lim = lim π π x → tan 3 x x → sin 3 x cos x
2 sec2 x tan x 1 tan x 1 = lim = lim = . x →0 6x 3 x →0 x 3 注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代 但与其它求极限方法 尤其是等价无穷小的代 结合使用, 换——结合使用,可以简化运算过程,效果会更 结合使用 可以简化运算过程, 使用起来也更有效. 好,使用起来也更有效.
=e
x →0+
lim x ln x
=e
ln x x →0+ 1 x lim
= e 0 = 1.
求 lim x
x →1
1 1 x
.
=e
ln x x →11 x lim
次法则, ① 若 = 正整数 则连续使用次法则,得 x ! lim λx = lim λx = 0 x → +∞ e x → +∞ λ e ② 若 ≠ 正整数 记 = [ ] + r (0 < r < 1) 则连续使用[ 次法则 次法则, 则连续使用 ]次法则,得
x ( 1)( [ ] + 1) x [ ] lim λx = lim [ ] λx x → +∞ e x → +∞ λ e ∞ ( 1)( [ ] + 1) x r = lim ∞ x → +∞ λ[ ]e λx
l hospital法则
l hospital法则
汉密尔顿L赫斯皮特(1706-1790)是法国数学家、物理学家和科学家。
他最著名的贡献是介绍了一个叫做“LHospital法则”的重要数学原理。
这个原理用于推导不定积分和求导时的无穷小，它是十九世纪数学发展的重要里程碑之一。
L Hospital法则的基本思想是，如果在求导阶段，函数的分母和分子都是无穷小，则可以将函数进行替换，用极限表示：
lim(x->a+ )f(x) =lim(x->a- )f(x)
如果极限是有限的，则函数可以用有限数显式表示，或者用某种其他方法求出有限值。
如果极限是无穷大或无穷小，则称此函数的求导无法给出，而且必须求出极限的表达式，如极限的表达式为有效的分数，则可以把它化简成有理数，表示求导的结果；如极限的表达式为不能被化简成有理数的分数，则说明此函数的求导结果无法得出。
L Hospital法则是在求极限状况下求函数导数的重要方法，它主要是解决函数面临着极限状况，无法求解其导数的情况。
简而言之，L Hospital法则就是在函数面临极限时，采用不同曲线相互平移，求出其对应极限，从而求解函数求导结果的方法。
L Hospital法则被广泛应用于各个领域，如科学研究、工程计算、医学护理等。
它也是大学数学考试的常考题之一，学习者必须熟悉L Hospital法则的相关规则，才能够使用它来解决数学问题。
总之，L Hospital法则是一种非常实用的数学工具，可以帮助我们带有不确定的无穷小的函数的求导。
它的应用可以让我们从实际
数学上取得更精确的结果，可以更容易地把复杂的数学问题转变成简单的求值问题，从而解决数学中的相关问题。
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注：对于 ∞ − ∞ 型的极限，可转通过适 当的变型，化为 0 ∞ 或 型不定型极限。 0 ∞
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L’Hospital法则运用举例 法则运用举例10 法则运用举例
例 求极限： 求极限：
ax+1 + bx+1 + c lim x→0 a +b+c
1 lim (cot x − ) x→0 x ∞ −∞ cos x 1 x cos x − sin x 解：原式 = lim ( − ) = lim x → 0 sin x x→0 x x sin x 0 sin x ~ x x cos x − sin x 0 x sin x = lim = lim =0 2 x→0 x→0 x 2x
例 求极限： 求极限：
2 1 − cos x 1 1 = lim = lim1 = 2 L . H 3 x →0 x 3 x →0 3 注：用等价无穷小代换，化其它函数为幂函数，简化运算
0 0
x2 1− cos x 似）
tan x ~ x
− x csc x − x ⋅ tan x 解： ) = lim (2 = lim L . H x → +0 x → +0 sin 2 x cot x
x + sin x sin x 反例： lim = lim 1 + =1 x →∞ x →∞ x x f ′( x ) 1 + cos x 但是 lim = lim 却∃ / x → ∞ g ′( x ) x→∞ 1
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3. L’Hospital法则运用举例 法则运用举例1 法则运用举例
先代入，以简化运算过程。
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L’Hospital法则运用举例 法则运用举例4 法则运用举例
求极限： 例 求极限：
sin 2 x ~ x 2
sin 2 x − x 2 cos 2 x 解 : (3) = lim x →0 x4 (sin x − x cos x )(sin x + x cos x ) = lim x →0 x4 (*1) (sin x − x cos x) (sin x + x cos x) sin x − x cos x = lim ⋅ = 2 lim 3 x →0 x →0 x x x3
g ( x) lim 1 / f ( x ) x→ ∆ lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = x→ ∆ f ( x) lim x→ ∆ 1 / g ( x)
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∞ ⋯⋯ 型 ∞ 0 ⋯⋯ 型 0
L’Hospital法则运用举例 法则运用举例8 法则运用举例
第二节
L’Hospital 法则
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1. 不定型极限的概念
sin x 例如： lim x→ 0 x 2 x + 4x + 7 例如： lim x→ ∞ x2 + x 1 例如： lim x ⋅ sin x→ ∞ x
例如： lim (
x → +∞
0 0 ∞ ∞
型 型 型 型
0•∞ ∞−∞ 1∞
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2. L’Hospital 法则 定理( 定理(L’Hospital法则）
如果当 x 在 ∆ 附近时， f ( x ) 与 g ( x ) 可导，且 g ′ ( x ) ≠ 0 , 又 lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 或 lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ , 则：
x → x0 x → x0
⇒ f ( x ), g ( x )在 x 0附近连续且在 x 0 ( x 0除外）附近可导，在 ( x 0 , x )( 或 ( x , x 0 )) 内用 Cauchy 定理 ⇒ ∃ ξ 于 x 0与 x 之间 ∋ f ( x ) − f ( x0 ) f ( x) f ′(ξ ) = = 当 x → x 0时 ⇒ ξ → x 0 , 于是有： g ( x ) g ( x ) − g ( x 0 ) g ′(ξ ) f ( x) f ′(ξ ) f ′(ξ ) lim = lim = lim =A x → x0 g ( x ) x → x 0 g ′(ξ ) ξ → x 0 g ′(ξ )
⑸ 1∞ 型 ⇔ lim f ( x ) g ( x ) (lim f ( x ) = 1, lim g ( x ) = ∞ ) 以上五类不定型极限是最常见的。 以上五类不定型极限是最常见的。
不定型的含义是不能用四则运算法则代入法进行运算. 不定型的含义是不能用四则运算法则代入法进行运算. 不能用商运算； 不能用积运算； 如：⑴，⑵不能用商运算；⑶不能用积运算； 不能用指数运算。 ⑷不能用差运算； ⑸不能用指数运算。 不能用差运算；
1 x+1 x
(1∞型)
原式 = e
1
∞
1 a x +1 + b x +1 + c x +1 lim ln x→ 0 x a+b+c
ln( a x +1 + b x +1 + c x +1 ) − ln( a + b + c ) ∵ 指数 = lim x→ 0 x 0 x +1 x +1 x +1 0 a ln a + b ln b + c ln c = lim x→ 0 a x +1 + b x +1 + c x +1 1 A=a+b+c 1 ==== ( a ln a + b ln b + c ln c ) = ln( a a ⋅ b b ⋅ c c ) A A 1 1 a b c A ∴ 原式 = e ln( a ⋅b ⋅c ) = ( a a b b c c ) a + b + c
2
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∞ ∞
sin 2 x ~ x 2
=
− x2 lim 2 = −1 x → +0 x
L’Hospital法则运用举例 法则运用举例6 法则运用举例
例 求极限： 求极限：
tan x ( 4 ) lim π x → tan 3 x
sin x →1≠ 0 sin 3 x →−1≠ 0
⑷ ∞ − ∞型 ⇔ lim( f ( x) − g ( x)) (lim f ( x) = lim g ( x) = ∞)
例如： lim (
x → +∞
x
2
+1 −
x
2
− 1)
⑸ 1∞ 型 ⇔ lim f ( x ) g ( x )
(lim f ( x ) = 1, lim g ( x ) = ∞ )
求下列极限： 例 求下列极限：
x2 + x − 20 e2x −1 (1) lim 3 2 (2) lim x→4 x − x −12x x→0 sinx
2
0 0
′ x + x − 20 （ x + x − 20） 解： ) lim 3 (1 = lim 3 2 x → 4 x − x − 12 x 罗法 x → 4 x − x 2 − 12 x ） ′ （
2
2x +1 9 = lim 2 =− x → 4 3 x − 2 x − 12 8
e −1 （e −1 ′ ） 2e (2) lim = lim = lim =2 x→0 sin x 罗法 x→0（ ′ sin x） x→0 cosx
2x
0 0
2x
2 x 定型
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3. L’Hospital法则运用举例 法则运用举例2 法则运用举例
0 0
sin x + x cos x 因子式，如(*1)步中的 → 2 ( x → 0) x
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L’Hospital法则运用举例 法则运用举例7 法则运用举例
例 求极限： 求极限：
0 ⋅∞
x→+0
∞ ∞
lim xα ln x (α > 0)
1/ x xα ln x 解：原式 = lim = lim = lim =0 α x → +0 1 / x x → +0 x → +0 − α 1 − α ⋅ α +1 x 注：对于 0 ⋅ ∞ 型的极限，可转为：(设 f ( x ) → 0, g ( x ) → ∞ )
x→ ∆ x→ ∆ x→ ∆ x→ ∆
f ′( x ) f (x) lim = A ⇒ lim = A x → ∆ g ′( x ) x→ ∆ g ( x)
仅证： lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0的情形：
x → x0 x → x0
( −∞ ≤ A ≤ +∞ )
证：设 lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0 ⇒ x 0为可去间断点 ; 补令 f ( x 0 ) = g ( x 0 ) = 0
例 求极限： 求极限：
(ln x ) [(ln x ) ]′ ( 3 ) lim = lim x → +∞ 罗法 x → +∞ x ( x )′ ∞ 2 ln x ∞ 2 定型 = lim = lim = 0 x → +∞ x 罗法 x → +∞ x
2
∞ ∞
(ln x ) (3) lim x → +∞ x
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2. L’Hospital法则 法则
f ( x) f ′( x ) = A ⇒ lim =A / x→∆ 特别提醒注意的是： x → ∆ 特别提醒注意的是： lim g ( x) g ′( x )