课时跟踪检测(三十三) 平面与平面垂直的判定
课时跟踪检测(十三) 平面与平面垂直的判定
课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定A级——学考水平达标1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1-BD -A 的正切值为( )A.32B.22C. 2D. 3解析：选C 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点， ∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A1BD 中，A 1O ⊥BD .又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1-BD -A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22. ∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2. 6．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z ，叫作x ，y ，z 关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，则平面EBD 与平面AA 1C 1C 的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC 1⊥平面ABCD ，∴CC 1⊥BD .又AC ⊥BD ，CC 1∩AC ＝C ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C . 又BD ⊂平面EBD ， ∴平面EBD ⊥平面AA 1C 1C . 答案：垂直8.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.解析：由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．答案：②④9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A B上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.B级——高考能力达标1．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.() A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选D反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④D ．③④解析：选B 对于①，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时，有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，故③可能成立；对于④，因为点D 的射影不可能在FC 上，故④不可能成立．故选B.4.如图，在四面体P -ABC 中，AB ＝AC ，PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不一定成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面PAED ．平面PDF ⊥平面ABC解析：选D 因为D ，F 分别为AB ，AC 的中点，则DF 为△ABC 的中位线，则BC ∥DF ，依据线面平行的判定定理，可知BC ∥平面PDF ，A 成立．又E 为BC 的中点，且PB ＝PC ，AB ＝AC ，则BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，依据线面垂直的判定定理，可知BC ⊥平面PAE .因为BC ∥DF ，所以DF ⊥平面PAE ，B 成立．又DF ⊂平面PDF ，则平面PDF ⊥平面PAE ，C 成立．要使平面PDF ⊥平面ABC ，已知AE ⊥DF ，则必须有AE ⊥PD 或AE ⊥PF ，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5.如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点M ，则AM ⊥BC ， 由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形， AM ＝MD ＝22a .∴AD ＝22a ×2＝a . 答案：a6.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连接OB，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成的角为θ，则∠ABO ＝θ，由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AOAC ＝sin 30°·sin 60°＝34. 答案：347．已知正方形ABCD 的边长为2，AC ∩BD ＝O .将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使AC ＝a ，得到三棱锥A -BCD ，如图．(1)当a ＝2时，求证：AO ⊥平面BCD .(2)当二面角A -BD -C 的大小为120°时，求二面角A -BC -D 的正切值．解：(1)证明：在△AOC 中，AC ＝a ＝2，AO ＝CO ＝ 2. ∴AC 2＝AO 2＋CO 2，∴AO ⊥CO .∵AO ⊥BD ，BD ∩CO ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)折叠后，BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，∴∠AOC 是二面角A -BD -C 的平面角，即∠AOC ＝120°. 在△AOC 中，AO ＝CO ＝2， ∴AC ＝ 6.如图，过点A 作CO 的垂线交线段CO 的延长线于点H . ∵BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，CO ∩AO ＝O ， ∴BD ⊥平面AOC .∵AH ⊂平面AOC ，∴BD ⊥AH .又∵CO ⊥AH ，CO ∩BD ＝O ，∴AH ⊥平面BCD . ∴AH ⊥BC .过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK . ∵AK ∩AH ＝A ，∴BC ⊥平面AHK . ∵HK ⊂平面AHK ，∴BC ⊥HK . ∴∠AKH 为二面角A -BC -D 的平面角． 在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A -BC -D的正切值为63.8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45°角，点E 是PD 的中点．(1)求证：BE ⊥PD .(2)求二面角P -CD -A 的余弦值． 解：(1)证明：连接AE .∵PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 是PD 与底 面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°.∴PA ＝DA .又∵点E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥AB . ∵∠BAD ＝90°，∴BA ⊥DA .又∵PA ∩AD ＝A ，∴BA ⊥平面PDA . 又∵PD ⊂平面PDA ，∴BA ⊥PD . 又∵BA ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥PD . (2)连接AC .在直角梯形ABCD 中， AB ＝BC ＝1，AD ＝2，∴AC ＝CD ＝ 2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴AC ⊥CD . 又∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵AC ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 又∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥CD ， ∴∠PCA 为二面角P -CD -A 的平面角． 在Rt △PCA 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋(2)2＝ 6.∴cos ∠PCA ＝AC PC ＝26＝33.∴所求的二面角的余弦值为33.。
平面与平面垂直的判定 (1)
课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一二面角1．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补 D.不确定解析：选C若方向相同则相等，若方向相反则互补．2．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.3．在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.★答案★：45°对点练二平面与平面垂直的判定定理4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个 D.1个或无数个解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.6．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：选D ∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BCD .又∵AD ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面DBC .7．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有( ) A ．α⊥γ且l ⊥m B ．α⊥γ且m ∥β C ．m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ解析：选A B 错，有可能m 与β相交；C 错，有可能m 与β相交；D 错，有可能α与β相交．8.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD . (1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ；(2)若AB ＝2BD ，求二面角A -DC -B 的正弦值． 解：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ， CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，又BD ⊥CD 且BD ∩AB ＝B . ∴CD ⊥平面ABD .又CD ⊂平面ACD . ∴平面ABD ⊥平面ACD .(2)由(1)知∠ADB 为二面角A -DC -B 的平面角． 在Rt △ABD 中，AB ＝2BD ，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5BD ，∴sin ∠ADB ＝AB AD ＝255.即二面角A -DC -B 的正弦值为255.对点练三 折叠问题9．在平面四边形ABCD (图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ′-ABD .(1)当C ′D ＝2时，求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)当AC ′⊥BD 时，求三棱锥C ′-ABD 的高． 解：(1)证明：当C ′D ＝2时， 取AB 的中点O ，连结C ′O ，DO ，在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1， 因为C ′D ＝2，所以C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ，又C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ⊂平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以C ′O ⊥平面ABD ， 因为C ′O ⊂平面C ′AB ，所以平面C ′AB ⊥平面DAB . (2)当AC ′⊥BD 时，由已知AC ′⊥BC ′， 因为BC ′∩BD ＝B ，所以AC ′⊥平面BDC ′，因为C ′D ⊂平面BDC ′，所以AC ′⊥C ′D ，△AC ′D 为直角三角形， 由勾股定理得，C ′D ＝AD 2－AC ′2＝3－2＝1，而在△BDC ′中，BD ＝1，BC ′＝2，所以△BDC ′为直角三角形，S △BDC ′＝12×1×1＝12.三棱锥C ′-ABD 的体积V ＝13×S △BDC ′×AC ′＝13×12×2＝26.S △ABD ＝12×1×3＝32，设三棱锥C ′-ABD 的高为h ， 则由13×h ×32＝26，解得h ＝63.故三棱锥C ′-ABD 的高为63. 二、综合过关训练1.如图，在立体图形D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列说法中正确的是 ( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE C ．平面ABD ⊥平面BDCD ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选B 由条件得AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，又DE ∩BE ＝E ，∴AC ⊥平面BDE ，又AC⊂平面ADC ，AC ⊂平面ABC .∴平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE ，故选B.2．如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D.4对解析：选C 因为AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABC 和AB ⊂平面ABD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD .因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD .又因为BC ⊥CD ，AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ABC ⊥平面ACD .故图中互相垂直的平面有平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD .3．如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，M ，N 分别是BC ，AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起至△B ′MN 位置，使二面角B ′-MN -B 的大小为60°，则B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A.25 B.45 C.35D.35解析：选C 设BC ＝2.过B ′作B ′D ⊥BC ，垂足为D ，则B ′D ⊥平面ABC ，连接AD ，则∠B ′AD 是B ′A 与平面ABC 所成的角．由题意，知∠B ′MB ＝60°，MB ′＝MB ＝1，则MD ＝12，B ′D ＝32，AD ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋22＝52，∴tan ∠B ′AD ＝B ′D AD ＝3252＝35. 4.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ；③BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.解析：由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA ＝45°，④正确．★答案★：②④5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC 上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°.因为AB＝AC＝1，所以BD＝DC＝22，则BC＝BD2＋CD2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1.★答案★：16．如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB 是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.证明：(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝PD，又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB，又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO ⊥AH ，CO ∩BD ＝O ，∴AH ⊥平面BCD . ∴AH ⊥BC .过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK . ∵AK ∩AH ＝A ，∴BC ⊥平面AHK .∵HK ⊂平面AHK ，∴BC ⊥HK . ∴∠AKH 为二面角A -BC -D 的平面角． 在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A -BC -D 的正切值为63.。
2020年新人教A版高中数学必修2同步课时跟踪检测：(十三) 平面与平面垂直的判定
课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一二面角1．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补 D.不确定解析：选C若方向相同则相等，若方向相反则互补．2．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．3．在正方体ABCD-A解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.答案：45°对点练二平面与平面垂直的判定定理4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个 D.1个或无数个解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.6．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：选D ∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BCD .又∵AD ⊂平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面DBC .7．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有( ) A ．α⊥γ且l ⊥m B ．α⊥γ且m ∥β C ．m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ解析：选A B 错，有可能m 与β相交；C 错，有可能m 与β相交；D 错，有可能α与β相交．8.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD . (1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ；(2)若AB ＝2BD ，求二面角A -DC -B 的正弦值． 解：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，又BD ⊥CD 且BD ∩AB ＝B . ∴CD ⊥平面ABD .又CD ⊂平面ACD . ∴平面ABD ⊥平面ACD .(2)由(1)知∠ADB 为二面角A -DC -B 的平面角． 在Rt △ABD 中，AB ＝2BD ，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5BD ，∴sin ∠ADB ＝AB AD ＝255.即二面角A -DC -B 的正弦值为255.对点练三 折叠问题9．在平面四边形ABCD (图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ′-ABD .(1)当C ′D ＝2时，求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)当AC ′⊥BD 时，求三棱锥C ′-ABD 的高． 解：(1)证明：当C ′D ＝2时，取AB 的中点O ，连结C ′O ，DO ，在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1， 因为C ′D ＝2，所以C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ，又C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ⊂平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以C ′O ⊥平面ABD ， 因为C ′O ⊂平面C ′AB ，所以平面C ′AB ⊥平面DAB . (2)当AC ′⊥BD 时，由已知AC ′⊥BC ′， 因为BC ′∩BD ＝B ，所以AC ′⊥平面BDC ′，因为C ′D ⊂平面BDC ′，所以AC ′⊥C ′D ，△AC ′D 为直角三角形， 由勾股定理得，C ′D ＝AD 2－AC ′2＝3－2＝1，而在△BDC ′中，BD ＝1，BC ′＝2，所以△BDC ′为直角三角形，S △BDC ′＝12×1×1＝12.三棱锥C ′-ABD 的体积V ＝13×S △BDC ′×AC ′＝13×12×2＝26.S △ABD ＝12×1×3＝32，设三棱锥C ′-ABD 的高为h ， 则由13×h ×32＝26，解得h ＝63.故三棱锥C ′-ABD 的高为63. 二、综合过关训练1.如图，在立体图形D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E是AC 的中点，则下列说法中正确的是 ( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE C ．平面ABD ⊥平面BDCD ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 解析：选B 由条件得AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，又DE ∩BE＝E ，∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ADC ，AC ⊂平面ABC .∴平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE ，故选B.2．如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D.4对解析：选C 因为AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABC 和AB ⊂平面ABD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD .因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD .又因为BC ⊥CD ，AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ABC ⊥平面ACD .故图中互相垂直的平面有平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD .3．如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，M ，N 分别是BC ，AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起至△B ′MN 位置，使二面角B ′-MN -B 的大小为60°，则B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A.25 B.45 C.35D.35解析：选C 设BC ＝2.过B ′作B ′D ⊥BC ，垂足为D ，则B ′D ⊥平面ABC ，连接AD ，则∠B ′AD 是B ′A 与平面ABC 所成的角．由题意，知∠B ′MB ＝60°，MB ′＝MB ＝1，则MD ＝12，B ′D ＝32，AD ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋22＝52，∴tan ∠B ′AD ＝B ′D AD ＝3252＝35. 4.如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ； ③BC ∥平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.解析：由于AD 与AB 不垂直，因此得不到PB ⊥AD ，①不正确；由PA ⊥AB ，AE ⊥AB ，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA ＝45°，④正确．答案：②④5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC 上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°.因为AB＝AC＝1，所以BD＝DC＝22，则BC＝BD2＋CD2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1.答案：16．如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.证明：(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝PD，又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB，又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.∴AH⊥BC.过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK . ∵AK ∩AH ＝A ，∴BC ⊥平面AHK .∵HK ⊂平面AHK ，∴BC ⊥HK . ∴∠AKH 为二面角A -BC -D 的平面角． 在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A -BC -D 的正切值为63.。
课时作业1：2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在答案 C解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．2．下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β答案 C解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．3．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．4．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.答案 1解析因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，BD＝CD＝2 2，所以BC＝(22)2＋(22)2＝1.6.如图，平面角为锐角的二面角α—EF—β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α—EF—β的平面角．解作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝22a，GH＝12a，sin∠GBH＝GHGB＝22.所以∠GBH＝45°，故二面角α－EF－β的平面角为45°.7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点．求证：平面C1BD⊥平面BDE.证明 设AC ∩BD ＝O ，则O 为BD 的中点，连接C 1O ，EO ，C 1E .因为EB ＝ED ，点O 是BD 的中点，所以BD ⊥EO .因为C 1B ＝C 1D ，点O 是BD 的中点，所以BD ⊥C 1O ，所以∠C 1OE 即为二面角C 1－BD －E 的平面角．因为E 为AA 1中点，设正方体的棱长为a ，则C 1O ＝a 2＋(22a )2＝62a ， EO ＝ (a 2)2＋(22a )2＝32a ， C 1E ＝ (2a )2＋(12a )2＝32a ， 所以C 1O 2＋EO 2＝C 1E 2，所以C 1O ⊥OE ，所以∠C 1OE ＝90°.所以平面C 1BD ⊥平面BDE .二、能力提升8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β答案 D解析 A 中，m 与n 可垂直、可异面、可平行；B 中m 与n 可平行、可异面、可垂直；C 中若α∥β，仍然满足m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，故C 错误；D 正确．9．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥面PDFB．DF⊥面P AEC．面PDF⊥面ABCD．面P AE⊥面ABC答案 C解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面P AE.∴DF⊥平面P AE.∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)．∴D正确．10．如图所示，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－P A－D的平面角的度数；(3)求二面角B－P A－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．解(1)∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，又CD⊂平面PCD，∴平面P AD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B－P A－D的平面角．由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B－P A－D的平面角的度数为90°.(3)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－P A－C的平面角的度数为45°.(4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图所示，由题意知△PBC ≌△PDC ，则∠BPE ＝∠DPE ，从而△PBE ≌△PDE .∴∠DEP ＝∠BEP ＝90°，且BE ＝DE .∴∠BED 为二面角B －PC －D 的平面角．∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC .又AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB .设AB ＝a ，则BE ＝PB ·BC PC ＝63a ，BD ＝2a . ∴sin ∠BEO ＝BO BE ＝32.∴∠BEO ＝60°， ∴∠BED ＝120°.∴二面角B －PC －D 的平面角的度数为120°.11.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；(2)求二面角A —BE —P 的大小．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形． 因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD .又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB .又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB .(2)解 由(1)知，BE ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △P AB 中，tan ∠PBA ＝P A AB＝3， 则∠PBA ＝60°.故二面角A —BE —P 的大小是60°.12．如图，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB 的中点为C ，求证：平面SOC ⊥平面SBQ .(2)若∠AOQ ＝120°，QB ＝3，求圆锥的表面积． 解 (1)因为SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，C 为QB 的中点， 所以QB ⊥SC ，QB ⊥OC .因为SC ∩OC ＝C ，所以QB ⊥平面SOC ，又因为QB ⊂平面SBQ ，所以平面SOC ⊥平面SBQ .(2)因为∠AOQ ＝120°，QB ＝3，所以∠BOQ ＝60°，即△OBQ 为等边三角形，所以OB ＝3，因为△SAB 为等腰直角三角形，所以SB ＝6，所以S 侧＝3·6π＝32π，所以S 表＝S 侧＋S 底＝32π＋3π＝(3＋32)π.三、探究与拓展13.如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)求二面角P —AB —C 的正切值．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5，∴PD ⊥AC . ∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD . ∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5，∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD .∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE .∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB .∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在Rt △PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°， ∴tan ∠PED ＝PD DE＝ 2. ∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.。
课时跟踪检测(十三) 平面与平面垂直的判定
课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为()A.32B.22C. 2D. 3解析：选C 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD .又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠A 1OA 为二面角A 1-BD -A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22. ∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2. 6．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z ，叫作x ，y ，z 关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，则平面EBD 与平面AA 1C 1C 的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC 1⊥平面ABCD ，∴CC 1⊥BD .又AC ⊥BD ，CC1∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面AA 1C 1C .又BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面AA 1C 1C .答案：垂直8．若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，那么二面角P -BC -A 的大小为________．解析：如图，取BC 的中点O ，连接OA ，OP ，则∠POA 为二面角P -BC -A 的平面角，OP ＝OA ＝3，PA ＝6，所以△POA 为直角三角形，∠POA ＝90°.答案：90°9．如图，在圆锥PO 中，AB 是⊙O 的直径，C 是A B 上的点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC .证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C为60°.层级二应试能力达标1．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.() A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选D反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折．给出四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ；④平面DCF ⊥平面BFC .在翻折的过程中，可能成立的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④解析：选B 对于①，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时，有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P 落在BF 上时，DP⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，故③可能成立；对于④，因为点D 的射影不可能在FC 上，故④不可能成立．故选B.4.如图，在四面体P -ABC 中，AB ＝AC ，PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不一定成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面PAED ．平面PDF ⊥平面ABC解析：选D 因为D ，F 分别为AB ，AC 的中点，则DF 为△ABC 的中位线，则BC ∥DF ，依据线面平行的判定定理，可知BC ∥平面PDF ，A 成立．又E 为BC 的中点，且PB ＝PC ，AB ＝AC ，则BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，依据线面垂直的判定定理，可知BC ⊥平面PAE .因为BC ∥DF ，所以DF ⊥平面PAE ，B 成立．又DF ⊂平面PDF ，则平面PDF ⊥平面PAE ，C 成立．要使平面PDF ⊥平面ABC ，已知AE ⊥DF ，则必须有AE ⊥PD 或AE ⊥PF ，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为__________．解析：如图，过点S 作SO ⊥平面ABCD ，连接OC ，则∠SCO ＝60°，∴SO ＝sin 60°·SC ＝32×23＝3. 答案：36.如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝AOAB＝ACAB·AOAC＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：347．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.∴AH⊥BC.过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角．在△AHO中，AH＝62，OH＝22，∴CH＝CO＋OH＝2＋22＝322.在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A -BC -D 的正切值为63.8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45°角，点E 是PD 的中点．(1)求证：BE ⊥PD .(2)求二面角P -CD -A 的余弦值．解：(1)证明：连接AE .∵PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝45°.∴PA ＝DA .又∵点E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥AB .∵∠BAD ＝90°，∴BA ⊥DA .又∵PA ∩AD ＝A ，∴BA ⊥平面PDA .又∵PD ⊂平面PDA ，∴BA ⊥PD .又∵BA ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥PD .(2)连接AC .在直角梯形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，∴AC ＝CD ＝ 2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴AC ⊥CD .又∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .又∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥CD ，∴∠PCA 为二面角P -CD -A 的平面角．在Rt △PCA 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋(2)2＝ 6.∴cos ∠PCA ＝AC PC ＝26＝33.∴所求的二面角的余弦值为33.。
课时作业31 8.6.3 平面与平面垂直 高中数学2019人教A版必修第二册(解析版)
课时作业31 8.6.3 平面与平面垂直一、 选择题1．给定下列四个命题，其中真命题是（ ）A ．垂直于同一直线的两条直线相互平行B ．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C ．垂直于同一平面的两个平面相互平行D ．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直【答案】D【解析】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错误； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B 错误； 正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C 错误；对D ：利用反证法简单证明如下： 若两个平面,αβ垂直，假设一个平面α内与它们的交线l 不垂直的直线1l 与另一个平面β垂直.因为1l β⊥，且平面,αβ的交线l β⊂，故可得1l l ⊥，这与题设l 与1l 不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.即D 正确. 2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，沿BD 将ABD △折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】∵面ABD ⊥面BCD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥面BCD ，又AB ⊂面ABC ，∴面ABC ⊥面BCD ，同理，面ACD ⊥面ABD.故四面体ABCD 中互相垂直的平面有3对．3．（2021山东潍坊三中高一）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，且1BC AC ，过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ).A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．ABC ∆内部【答案】B【解析】连接1AC ，如图.∵90BAC ∠=，∴AC AB ⊥，∵1BC AC ，1BC AB B ，∴AC ⊥平面1ABC .又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面1ABC ，则根据面面垂直的性质定理知，在平面1ABC 内一点1C 向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上.4．（2021山东泰安实验中学高一）在四面体A BCD -中，已知棱AC，其余棱长都为1，则二面角A CD B --的平面角的余弦值为（ ）A ．12B ．13 C．3 D．3【答案】C【解析】由已知可得AD ⊥DC ，又由其余各棱长都为1得正三角形BCD ，取CD 得中点E ，连BE ，则BE ⊥CD ，在平面ADC 中，过E 作AD 的平行线交AC 于点F ，则∠BEF 为二面角A ﹣CD ﹣B 的平面角，∵EF=12（三角形ACD 的中位线），BCD 的高），BF=2（等腰RT 三角形ABC ，F 是斜边中点） ∴cos ∠BEF=222131EF BE BF 2BE EF 3+-+-==⨯⨯． 5．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．6．（2021山东曲阜师大附中高一）第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）．A ．20︒B ．28︒C ．38︒D ．48︒【答案】C 【解析】依题意得“斗冠”的高为60.333.327-=米，如图，27PE =，11()22ME MN EF =-=⨯139(139.469.9)4-=，PME ∠为“斗冠”的侧面与上底面的夹角， 27108tan 0.781391394PE PME ME ∠===≈，而tan300.583︒=≈，tan 451︒=，且tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为0.580.781<<，所以3045PME ︒︒<∠<．7．（多选题）已知两条直线l ，m 及三个平面,,αβγ，下列条件中能推出αβ⊥的是（ ）A ．,l l αβ⊂⊥B ．,,l m l m αβ⊥⊥⊥C ．,//αγβγ⊥D ．,,l m l m αβ⊂⊂⊥【答案】ABC【解析】如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直，A 正确；选项B 显然正确；如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面 那么另一个平面也垂直这个平面知选项C 正确；D 选项有可能α与β可能平行. 8. （多选题）如图，设E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，则下列说法中正确的是（ ）A ．异面直线11DB 与EF 所成的角为60︒B ．三棱锥11D B EF -的体积为定值C ．平面1B EF 与平面1111D C B A 所成的二面角大小为45︒D ．直线11D B 与平面1B EF 所成的角为30【答案】BCD【解析】A 中由于11//EF C D ，因此异面直线11D B 与EF 所成的角就是11D B 与11C D 的夹角，为45︒，A 错误； B ，1D EF 面积不变，1B 到平面1D EF 即平面1D DC 的距离不变，因此三棱锥11B D EF -体积为变，即三棱锥11D B EF -的体积为定值，正确；C ，平面1B EF 即为平面11A B CD ，11D A D ∠为平面11A B CD 与平面1111D C B A 所成的二面角的平面角，11D A D ∠＝45︒，C 正确；D ．连接1AD 交1A D 于M ，连接1B M ，由正方体性质知111A B AD ⊥，11A D AD ⊥，而1111A B A D A =，因此1AD ⊥平面11A B CD ，因此11D B M ∠是直线11B D 与平面11A B CD 所成的角，在直角三角形11MB D 中，11112D M D B =，所以1130D B M ∠=︒，D 正确．二、填空题9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则二面角1C BD C --的正切值为________．【解析】取BD 中点O ，连结1CO C O ，，1112CD CB a C B C D a ，，==== 11CO BD C O BD COC ∴⊥⊥∴∠，， 是二面角1C BD C -- 的平面角，1CC a CO ＝，，．11CC tan COC OC ∴∠=== ∴二面角1C BD C --．10．如图，平面ABC ⊥平面ABD ，90ACB ︒∠=，CA CB =，ABD △是正三角形，O 为AB 的中点，则图中直角三角形的个数为______.【答案】6【解析】CA CB =，O 为AB 的中点，CO AB ∴⊥.又平面ABC ⊥平面ABD ，且交线为AB ，CO ∴⊥平面ABD. OD ⊂平面ABD ，CO OD ∴⊥，COD ∴为直角三角形.∴图中的直角三角形有AOC △，COB △，ABC ，AOD △，BOD ，COD △，共6个.11．如图,AB 为圆O 的直径,点C 在圆周上(异于点A ,)B ,直线P A 垂直于圆O 所在的平面,点M 是线段PB 的中点.有以下四个命题：①MO ∥平面PAC ；②PA ∥平面MOB ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC ．其中正确的命题的序号是______．【答案】①④【解析】对①,因为,M O 为,BP BA 的中点,故MO 为三角形BPA 的中位线,故MO ∥平面PAC .故①正确.对②,因为PA ⊆平面MOB ,故②错误.对③,因为BC AC ⊥,故OC 不会垂直于AC ,故OC 不垂直于平面PAC .故③错误对④, 因为BC AC ⊥,PA ⊥面ABC ,故PA BC ⊥.又PA AC A =.故BC 平面PAC ⊥,又BC ⊆平面PBC ,故平面PAC ⊥平面PBC .故④正确.12．正三棱锥P ﹣ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P ﹣AB ﹣C 的正切值是_____，点A 到侧面PBC 的距离是_____．【答案】2；5【解析】作PO ⊥底面ABC ，交面ABC 于点O ，连接BO 并延长并AC 于点D ，取AB 中点E ，连结,PE CE ，则点O 在CE 上，,,PE AB CE AB PEO ⊥⊥∴∠是二面角P AB C 的平面角，∵正三棱锥P ABC -的高为2，侧棱与底面所成的角为45，2,45,90PO PBO POB ∴=∠=∠=，2,1BO CO EO ∴===，∴二面角P AB C 的正切值tan 2PO PEO EO∠==，又3,BD PB ===设CD x =，则2BC x =，由勾股定理得2249x x -=，解得x 132ABC BC S ∆∴==⨯= 1145,2PAC PD S ∆=+=∴=⨯=P ABC A PBC V V --=，设点A 到面PBC 的距离为h ，11233h ∴⨯=，解得h =A 到面PBC ． 三、解答题13．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证：（1）PA⊥底面ABCD；BE平面PAD；（2）//（3）平面BEF⊥平面PCD.【解析】（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．14．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解析】（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起.(1)如果二面角A－DE－C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.【解析】(1)如图，过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，所以AM⊥BC.又AD＝AE，所以M是DE的中点．取BC的中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，所以BC⊥平面AMN，所以AN⊥BC.又因为N是BC的中点，所以AB＝AC.(2)如图，取BC的中点N，连接AN.因为AB＝AC，所以AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，所以MN⊥BC.又AN∩MN＝N，所以BC⊥平面AMN，所以AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，所以AM⊥DE.又因为DE与BC是平面BCDE内的相交直线，所以AM⊥平面BCDE.因为AM在平面ADE内，所以平面ADE⊥平面BCDE.。
高中数学北师大必修2课时跟踪检测(九) 平面与平面垂直的判定 Word版含解析
课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定层级一学业水平达标．设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )．若∥，∥α，则∥α．若α⊥β，∥α，则⊥β．若α⊥β，⊥β，则∥α．若⊥，⊥α，⊥β，则α⊥β解析：选错，可能α；错；错，可能α.只有正确．．已知直线，与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )．α⊥γ，β⊥γ．α∩β＝，⊥，⊂β．∥β，∥α．∥α，⊥β解析：选由∥α，知α内必有直线与平行．而⊥β，∴⊥β，∴α⊥β.．从空间一点向二面角α--β的两个面α，β分别作垂线，，，为垂足，若∠＝°，则二面角α--β的平面角的大小是( )．°．°．°或°．不确定解析：选若点在二面角内，则二面角的平面角为°；若点在二面角外，则二面角的平面角为°.．如图，四边形中，∥，＝，∠＝°，∠＝°，将△沿折起，使平面⊥平面，构成几何体-，则在几何体-中，下列结论正确的是( )．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面解析：选由已知得⊥，⊥，又平面⊥平面，∴⊥平面，从而⊥，故⊥平面.又平面，∴平面⊥平面..如图，已知⊥矩形所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )．对．对．对．对解析：选∵⊥，⊥，∴⊥平面.同理⊥平面，又⊥平面，∴⊥平面，∴平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，平面⊥平面，共对．．如果规定：＝，＝，则＝，叫作，，关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行．如图，平面⊥平面，∠＝∠＝°，且＝＝，则＝.解析：取中点，则⊥，由题意得⊥平面，△为直角三角形，∴＝.∴＝×＝.＝答案：是等腰直角三角形，∠＝°，＝＝，将△．如图，△沿斜边上的高折叠，使平面⊥平面，则折叠后＝.解析：由题意知，⊥，由于平面⊥平面.∴⊥平面.又平面，∴⊥.连接，则＝＝＝.答案：．如图所示，四边形是平行四边形，直线⊥平面，是的中点，求证：平面⊥平面.证明：连接，交于点，连接，位线，∴是△的中∴∥.∵⊥平面，∴⊥平面.又平面.∴平面⊥平面.．如图，四边形为菱形，∠＝°，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，＝，⊥.求证：平面⊥平面.证明：如图，连接，设∩于点，连接，，.在菱形中，不妨设＝.由∠＝°，。
课时作业6：2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础达标1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案A解析B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．2．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定答案C解析若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.3. 如图，在立体图形DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案B解析由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂面ADC，AC⊂面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.4. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD ＝2a，则它的5个面中互相垂直的面有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案D5. 如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A＝AC，则二面角PBCA的大小为()A．60° B．30°C．45° D．15°答案C解析由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC又P A∩AC＝C，∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△P AC中，由P A＝AC得∠PCA ＝45°，∴C对．6．已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角DBCA 的大小为________．答案90°解析如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝3，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝2，又AD＝2，所以∠DEA ＝90°.7. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：平面PBD ⊥平面P AC .证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB ＝3，∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC .又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC . 二、能力提升8．在正四面体P ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC 答案 C解析 如图所示，∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF .∴A 正确． 由BC ⊥PE ，BC ⊥AE ， ∴BC ⊥平面P AE .∴DF ⊥平面P AE .∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面P AE (BC ⊥平面P AE )．∴D正确．9. 如图所示，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案D解析∵P A⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝P AAD＝2AB2AB＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.10．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角BACD的大小为________．答案60°解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°.11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．(1)证明 连接MN ，∵N ，F 均为所在棱的中点， ∴NF ⊥平面A 1B 1C 1D 1. 而MN ⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴NF ⊥MN .又∵M ，E 均为所在棱的中点，∴△C 1MN 和△B 1NE 均为等腰直角三角形． ∴∠MNC 1＝∠B 1NE ＝45°，∴∠MNE ＝90°， ∴MN ⊥NE .∴MN ⊥平面NEF . 而MN ⊂平面MNF ， ∴平面MNF ⊥平面NEF .(2)解 在平面NEF 中，过点N 作NG ⊥EF 于点G ，连接MG . 由(1)得知MN ⊥平面NEF ， 又EF ⊂平面NEF ，∴MN ⊥EF .又MN ∩NG ＝N ，∴EF ⊥平面MNG ，∴EF ⊥MG . ∴∠MGN 为二面角M －EF －N 的平面角． 设该正方体的棱长为2.在Rt △NEF 中，NG ＝NE ·NF EF ＝233，∴在Rt △MNG 中，tan ∠MGN ＝MN NG ＝2233＝62.∴二面角M －EF －N 的平面角的正切值为62. 三、探究与创新12. 已知三棱锥P ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AB ＝20.D 为AB 的中点，且△PDB 为等边三角形，P A ⊥PC .(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ； (2)求二面角DAPC 的正弦值．(1)证明 在Rt △ACB 中，D 是斜边AB 的中点， 所以BD ＝DA .因为△PDB 是等边三角形，所以BD ＝DP ＝BP ，则BD ＝DA ＝DP ， 因此△APB 为直角三角形，即P A ⊥BP . 又P A ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ， 所以P A ⊥平面PCB .因为BC ⊂平面PCB ，所以P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .(2)解 由(1)知P A ⊥PB 及已知P A ⊥PC ， 故∠BPC 即为二面角DAPC 的平面角． 由(1)知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC . 在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10，所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25，即二面角DAPC 的正弦值为25.13. 如图所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角ABEP的大小．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角ABEP的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，∠PBA＝60°，故二面角ABEP的大小是60°.。
2019_2020学年高中数学课时跟踪检测十三平面与平面垂直的判定含解析新人教A版必修2
课时跟踪检测（十三）平面与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一二面角1．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补 D.不确定解析：选C 若方向相同则相等，若方向相反则互补．2．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是( )A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于________．解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.答案：45°对点练二平面与平面垂直的判定定理4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A．0个B．1个C．无数个 D.1个或无数个解析：选D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.6．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC ⊥平面DBC .7．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有( )A ．α⊥γ且l ⊥mB ．α⊥γ且m ∥βC ．m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ解析：选A B 错，有可能m 与β相交；C 错，有可能m 与β相交；D 错，有可能α与β相交．8.如图所示，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD . (1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ；(2)若AB ＝2BD ，求二面角A DC B 的正弦值． 解：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，又BD ⊥CD 且BD ∩AB ＝B . ∴CD ⊥平面ABD .又CD ⊂平面ACD . ∴平面ABD ⊥平面ACD .(2)由(1)知∠ADB 为二面角A DC B 的平面角． 在Rt △ABD 中，AB ＝2BD ，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5BD ， ∴sin ∠ADB ＝AB AD ＝255.即二面角A DC B 的正弦值为255. 对点练三 折叠问题9．在平面四边形ABCD (图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB ，设AB ＝2，∠BAD ＝30°，∠BAC ＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C ′ABD .(1)当C ′D ＝2时，求证：平面C ′AB ⊥平面DAB ； (2)当AC ′⊥BD 时，求三棱锥C ′ABD 的高． 解：(1)证明：当C ′D ＝2时，取AB 的中点O ，连结C ′O ，DO ，在Rt △AC ′B ，Rt △ADB 中，AB ＝2，则C ′O ＝DO ＝1，因为C ′D ＝2，所以C ′O 2＋DO 2＝C ′D 2，即C ′O ⊥OD ，又C ′O ⊥AB ，AB ∩OD ＝O ，AB ⊂平面ABD ，OD ⊂平面ABD ，所以C ′O ⊥平面ABD ， 因为C ′O ⊂平面C ′AB ，所以平面C ′AB ⊥平面DAB . (2)当AC ′⊥BD 时，由已知AC ′⊥BC ′， 因为BC ′∩BD ＝B ，所以AC ′⊥平面BDC ′，因为C ′D ⊂平面BDC ′，所以AC ′⊥C ′D ，△AC ′D 为直角三角形， 由勾股定理得，C ′D ＝AD 2－AC ′2＝3－2＝1， 而在△BDC ′中，BD ＝1，BC ′＝2，所以△BDC ′为直角三角形，S △BDC ′＝12×1×1＝12.三棱锥C ′ABD 的体积V ＝13×S △BDC ′×AC ′＝13×12×2＝26.S △ABD ＝12×1×3＝32， 设三棱锥C ′ABD 的高为h ， 则由13×h ×32＝26，解得h ＝63.故三棱锥C ′ABD 的高为63. 二、综合过关训练1.如图，在立体图形D ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC的中点，则下列说法中正确的是 ( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE C ．平面ABD ⊥平面BDCD ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：选B 由条件得AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，又DE ∩BE ＝E ，∴AC ⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ADC ，AC ⊂平面ABC .∴平面ABC ⊥平面BDE ，平面ADC ⊥平面BDE ，故选B.2．如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D.4对解析：选C 因为AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABC 和AB ⊂平面ABD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD .因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD .又因为BC ⊥CD ，AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ABC ⊥平面ACD .故图中互相垂直的平面有平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD .3．如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，M ，N 分别是BC ，AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起至△B ′MN 位置，使二面角B ′MN B 的大小为60°，则B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A.25 B.45 C.35D.35解析：选C 设BC ＝2.过B ′作B ′D ⊥BC ，垂足为D ，则B ′D ⊥平面ABC ，连接AD ，则∠B ′AD 是B ′A 与平面ABC 所成的角．由题意，知∠B ′MB ＝60°，MB ′＝MB ＝1，则MD ＝12，B ′D ＝32，AD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋22＝52，∴tan ∠B ′AD ＝B ′D AD ＝3252＝35. 4.如图，已知六棱锥P ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ； ③BC ∥平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.解析：由于AD 与AB 不垂直，因此得不到PB ⊥AD ，①不正确；由PA ⊥AB ，AE ⊥AB ，PA ∩AE ＝A ，得AB ⊥平面PAE ，因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAE ，②正确；延长BC ，EA ，两者相交，因此BC 与平面PAE 相交，③不正确；由于PA ⊥平面ABC ，所以∠PDA 就是直线PD 与平面ABC 所成的角，由PA ＝2AB ，AD ＝2AB ，得PA ＝AD ，所以∠PDA ＝45°，④正确．答案：②④5．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜线BC上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则BC ＝________.解析：因为AD ⊥BC ，所以AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，所以∠BDC 是二面角B AD C 的平面角，因为平面ABD ⊥平面ACD ，所以∠BDC ＝90°.在△BCD 中∠BDC ＝90°.因为AB ＝AC ＝1，所以BD ＝DC ＝22，则BC ＝BD 2＋CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1.答案：16．如图，已知三棱锥PABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.证明：(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝PD，又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB，又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥ABCD，如图．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.(2)当二面角ABDC的大小为120°时，求二面角ABCD的正切值．解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝ 2.∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角ABDC的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，∴AC＝ 6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面AOC.∵AH⊂平面AOC，∴BD⊥AH.又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.∴AH⊥BC.过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.∵HK⊂平面AHK，∴BC⊥HK.∴∠AKH为二面角ABCD的平面角．在△AHO中，AH＝62，OH＝22，∴CH＝CO＋OH＝2＋22＝322.在Rt△CKH中，HK＝22CH＝32.在Rt△AHK中，tan∠AKH＝AHHK ＝6232＝63.∴二面角ABCD的正切值为63.。
2019-2020学年高中数学课时跟踪检测九平面与平面垂直的判定北师大版必修
教课资料范本2019-2020学年高中数学课时追踪检测九平面与平面垂直的判断北师大版必修编辑： __________________时间： __________________课时追踪检测（九） 平面与平面垂直的判断一、基本能力达标1．设 a 、 b 是两条不一样的直线、 α、 β是两个不一样的平面、则以下命题中正确的选项是( )A ．若 a ∥ b 、 a ∥ α、则 b ∥αB ．若 α⊥β 、a ∥α、则 a ⊥ βC ．若 α⊥β 、a ⊥β、则 a ∥ αD ．若 a ⊥ b 、 a ⊥ α、b ⊥β、则 α⊥ β分析：选D A 错、可能 bα ；B 错； C 错、可能 a α . 只有 D 正确．2．已知直线 a 、 b 与平面 α、 β、γ 、以下能使 α ⊥β建立的条件是()A ． α ⊥ γ 、 β ⊥ γB ． α ∩ β ＝ a 、 b ⊥ a 、b β ?C ． a ∥β 、a ∥α． a ∥α 、a ⊥βD分析：选D 由a ∥α、知 α内必有直线 l 与 a 平行．而 a ⊥β 、∴ l ⊥β 、∴α⊥β.3．从空间一点 P 向二面角 α- l - β的两个面 α、β 分别作垂线 PE 、 PF 、E 、F 为垂足、若∠ EPF ＝ °、则二面角 α l - β的平面角的大小是()60 - A ．60°B ．120°C ．60°或 120°D ．不确立分析：选C 若点 P 在二面角内、则二面角的平面角为 120°；若点 P 在二面角外、则二面角的平面角为 60°.4．如图、四边形 ABCD 中、 AD ∥BC 、 AD ＝AB 、∠ BCD ＝45°、∠ BAD ＝90°、将△ ABD 沿 BD 折起、使平面 ABD ⊥平面 BCD 、组成几何体 ABCD 、- 则在几何体A BCD 中、以下结论正确的选项是()-2/11A ．平面 ABD ⊥平面 ABC．平面 ADC ⊥平面 BDCBC ．平面 ABCBDCADCABC⊥平面D ．平面⊥平面分析：选D 由已知得 BA ⊥AD 、CD ⊥ BD 、又平面 ABD ⊥平面 BCD 、∴ CD ⊥平面 ABD 、进而 CD ⊥ AB 、故 AB ⊥平面 ADC.又 AB 平面 ABC 、∴平面 ABC ⊥平面 ADC.5. 如图、已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在的平面、则图中相互垂直的平面有()A ．1对B ．2对C ．3对D ．5对分析：选D ∵ DA ⊥ AB 、DA ⊥ PA 、∴ DA ⊥平面 PAB 同理 BC ⊥平面 PAB 、.又AB ⊥平面 PAD 、∴ DC ⊥平面 PAD 、∴平面 PAD ⊥平面 BCD 、平面 PAB ⊥平面 ABCD 、平面 PBC ⊥平面 PAB 、平面 PAB ⊥平面 PAD 、平面 PDC ⊥平面 PAD 、共 5对．6．假如规定： x ＝y 、y ＝ z 、则 x ＝z 、叫作 x 、 y 、z 对于相等关系拥有传达性、那么空间三个平面α、β 、γ对于订交、垂直、平行这三种关系中拥有传达性的是 ________．分析：由平面与平面的地点关系及两个平面平行、垂直的定义、判断定理、知平面平行拥有传达性、订交、垂直都不拥有传达性．答案：平行7．如图、平面 ABC⊥平面 BDC、∠ BAC＝∠ BDC＝90°、且AB＝ AC＝a、则 AD＝________.分析：取 BC中点 M、则 AM⊥BC、由题意得 AM⊥平面 BDC、∴△ AMD为直角三角形、22AM＝MD＝2 a. ∴AD＝2 a×2＝a.答案： a8．如图、△ ABC是等腰直角三角形、∠ BAC＝90°、 AB＝AC＝1、将△ ABC沿斜边 BC上的高 AD折叠、使平面 ABD⊥平面 ACD、则折叠后 BC＝________.分析：由题意知、 BD⊥AD、因为平面 ABD⊥平面 ACD.∴BD⊥平面 ADC.又 DC 平面 ADC、∴ BD⊥DC.BC、则 BC＝＋＝2＋2＝连结BD2DC22222 1.答案：19.如图、在圆锥 VO中、 AB是底面圆的一条直径、且点 C是弧 AB的中点、点 D是AC的中点．已知 AB＝2、 VA＝2.求证：平面 VAC⊥平面 VOD.证明：连结 BC、由圆锥的性质、知 VO⊥平面 ABC、∴ VO⊥AC.又 D是 AC的中点、∴OD∥BC. 又 AB是底面圆的一条直径、∴ AC⊥BC、∴AC⊥OD.又 VO∩OD＝O、VO 平面 VOD、OD 平面 VOD、∴AC⊥平面 VOD.又 AC 平面 VAC、∴平面 VAC⊥平面 VOD.10．如图、四边形 ABCD为菱形、∠ ABC＝120°、 E、F是平面 ABCD同一侧的两点、 BE⊥平面 ABCD、DF⊥平面 ABCD、BE＝2DF、AE⊥EC.求证：平面 AEC⊥平面 AFC.证明：如图、连结 BD、设 BD∩AC于点 G、5/11连结 EG 、 FG 、EF. 在菱形 ABCD 中、不如设 GB ＝1. 由∠ ABC ＝120°、可得 AG ＝ GC ＝ 3.由 BE ⊥平面 ABCD 、AB ＝BC 、可知 AE ＝ EC.又 AE ⊥EC 、所以 EG ＝3、且 EG ⊥AC.2在Rt △ EBG 中、可得 BE ＝ 2、故 DF ＝ 2 .6在Rt △ FDG 中、可得 FG ＝ 2 .在直角梯形 BDFE 中、2由 BD ＝2、 BE ＝ 2、DF ＝ 2 、3 2可得EF ＝ 2 .222、所以 EG ⊥FG进而 EG ＋FG ＝EF. 又 AC ∩FG ＝G 、所以 EG ⊥平面 AFC.因为 EG 平面 AEC 、所以平面 AEC ⊥平面 AFC.二、综合能力提高．对于直线 m 、 n 和平面 α、 β、能得出 α ⊥β的一个条件是( )1A．m⊥n、m∥α、n∥β． m⊥ n、α∩β＝m、 n αBC．m∥n、n⊥β、m α． m∥n、m⊥α、n⊥βD分析：选C∵n⊥β、m∥n、∴ m⊥ β、又mα、由面面垂直的判断定理、得α⊥ β.2．空间四边形 ABCD中、若 AD⊥BC、 BD⊥AD、那么有()A．平面 ABC⊥平面 ADCB．平面 ABC⊥平面 ADBC．平面 ABC⊥平面 DBCD．平面 ADC⊥平面 DBC分析：选D如图、∵ AD⊥BC、AD⊥ BD、BC∩BD＝B、∴AD⊥平面 BCD又∵ AD 平面 ADC、∴平面 ADC⊥平面 DBC ..3．假如直线 l 、 m与平面α、β、γ知足： l ＝β∩γ、l ∥ α、mα和m⊥γ、那么必有()A．α⊥γ且l ⊥ m．α ⊥γ且 m∥ βBC．m∥β且l ⊥m．α ∥β且α⊥γD分析：选A错、有可能 m与β订交；错、有可能 m与β订交；错、B C D有可能α与β 订交．4．如图、∠ C＝90°、 AC＝BC、 M、 N分别是 BC、AB的中点、沿直线 MN将△ BMN折起至△ B′ MN地点、使二面角 B′-MN-B的大小为 60°、则B′A与平面 ABC所成角的正切值为()2433A. 5B. 5C. 5D.5分析：选C设BC＝2.过B′作B′D⊥BC、垂足为D、则B′D⊥平面ABC、连结 AD、则∠ B′ AD是B′A与平面 ABC所成的角．由题意、知∠B′MB＝60°、1315MB′＝ MB＝1、则 MD＝2、B′D＝2、AD＝1＋2 2＋22＝2、3B′D 23∴t an ∠B′AD＝AD＝5＝5 .25.如图、已知六棱锥 P- ABCDEF的底面是正六边形、PA⊥平面 ABC、PA＝2AB、则以下结论正确的选项是 ______(填序号 ) ．①PB⊥AD；②平面 PAB⊥平面 PAE；③BC∥平面 PAE；④直线 PD与平面 ABC所成的角为 45°.分析：因为 AD与 AB不垂直、所以得不到 PB⊥AD、①不正确；由 PA⊥AB、AE⊥AB、PA∩ AE＝A、得 AB⊥平面 PAE、因为 AB平面PAB、所以平面 PAB⊥平面 PAE、②正确；延伸 BC、 EA、二者订交、所以 BC与平面 PAE订交、③不正确；因为 PA⊥平面 ABC、所以∠ PDA就是直线 PD与平面 ABC所成的角、由 PA＝2AB、AD＝2AB、得 PA＝ AD、所以∠ PDA＝45°、④正确．答案：②④6．如图、检查工件的相邻两个面能否垂直时、只需用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上、另一边在工件的另一个面上转动、察看尺边能否和这个面密合就能够了、其原理是利用了 ________．分析：如下图、因为 OA⊥OB、 OA⊥OC、OB β、OC β、且 OB∩OC＝ O、依据线面垂直的判断定理、可得OA⊥β、又 OA α、依据面面垂直的判断定理、可得α⊥ β.答案：面面垂直的判断定理7.如图、在四周体 P- ABC中、△ABC与△ PBC是边长为 2的正三角形、 PA＝3、 D为PA的中点、求二面角 D- BC- A的大小．解：取 BC的中点 E、连结 EA、 ED、EP.∵△ ABC与△ PBC是边长为 2的正三角形、∴ BC⊥AE、BC⊥PE、又 AE∩PE＝E、AE平面PAE、PE平面PAE、∴ BC ⊥平面 PAE.而 DE 平面 PAE 、所以 BC ⊥DE 、AEDD BCA ∴∠即为二面角 - - 的平面角． 又由条件、知 AE ＝PE ＝ 3 1 3 2 AB ＝ 3、AD ＝ PA ＝ 、2 2 ∴ DE ⊥PA 、∴ sin ∠ AED ＝AD 3 ＝ 2 、明显∠ AED 为锐角、AE ∴∠ AED ＝60°、即二面角 D- BC- A 的大小为 60°.研究应用题18．如下图、在矩形 ABCD 中、已知 AB ＝2AD 、 E 是 AD 的中点、沿BE 将△ ABE 折起至△ A ′BE 的地点、使 A ′C ＝A ′D 、求证：平面 A ′BE ⊥平面 BCDE.证明：如下图、取 CD的中点 M、BE的中点 N、连结 A′M、A′N、MN、则MN∥ BC.1∵AB＝ AD、 E是 AD的中点、2∴AB＝AE、即 A′B＝A′E.∴A′ N⊥ BE. ∵A′C＝A′ D、∴A′ M⊥ CD.在四边形 BCDE中、 CD⊥MN、又 MN∩A′M＝M、∴ CD⊥平面 A′ MN.又 A′ N 平面 A′MN、∴ CD⊥ A′ N.1∵DE∥BC且DE＝2BC、∴ BE必与 CD订交．∴A′ N⊥平面 BCDE.又 A′ N平面A′BE、∴平面A′ BE⊥平面BCDE.。
高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(九) 平面与平面垂直的判定
课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定层级一学业水平达标1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．5对解析：选D ∵DA ⊥AB ，DA ⊥PA ，∴DA ⊥平面PAB .同理BC ⊥平面PAB ，又AB ⊥平面PAD ，∴DC ⊥平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面BCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PBC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ，共5对．6．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z ，叫作x ，y ，z 关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形，AM ＝MD ＝22a .∴AD ＝22a ×2＝a . 答案：a8．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后BC ＝________.解析：由题意知，BD ⊥AD ，由于平面ABD ⊥平面ACD .∴BD ⊥平面ADC .又DC 平面ADC ，∴BD ⊥DC .连接BC ，则BC ＝BD 2＋DC 2＝ ⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1. 答案：19．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD .证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.10．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.求证：平面AEC⊥平面AFC.证明：如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝2，2可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.层级二应试能力达标1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，nαC．m∥n，n⊥β，mαD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，得α⊥β.2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：选D如图，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．4.如图，在四面体P-ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA 的中点，则下列结论中不一定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选D因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB ＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为PC平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．解析：如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OBβ，OCβ，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OAα，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7．如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.证明：(1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝PD.又∠ADP＝120°，所以∠DPA＝30°，所以∠DPA＋∠BPD＝90°，所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC.(2)因为PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BC平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.8．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN ∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.又A′N平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.。
2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(九)平面与平面垂直的判定北师大版必修2
课时跟踪检测（九）平面与平面垂直的判定一、基本能力达标1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：选D A错，可能bα；B错；C错，可能aα.只有D正确．2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.3．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角αlβ的平面角的大小是( )A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：选D 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A．1对B．2对C ．3对D ．5对解析：选D ∵DA ⊥AB ，DA ⊥PA ，∴DA ⊥平面PAB .同理BC ⊥平面PAB ，又AB ⊥平面PAD ，∴DC ⊥平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面BCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PBC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ，共5对．6．如果规定：x ＝y ，y ＝z ，则x ＝z ，叫作x ，y ，z 关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形，AM ＝MD ＝22a .∴AD ＝22a ×2＝a . 答案：a8．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后BC ＝________.解析：由题意知，BD ⊥AD ，由于平面ABD ⊥平面ACD . ∴BD ⊥平面ADC .又DC 平面ADC ，∴BD ⊥DC . 连接BC ，则BC ＝BD 2＋DC 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1. 答案：19.如图，在圆锥VO 中，AB 是底面圆的一条直径，且点C 是弧AB 的中点，点D 是AC 的中点．已知AB ＝2，VA ＝2.求证：平面VAC ⊥平面VOD . 证明：连接BC ，由圆锥的性质， 知VO ⊥平面ABC ，∴VO ⊥AC .又D 是AC 的中点，∴OD ∥BC . 又AB 是底面圆的一条直径， ∴AC ⊥BC ，∴AC ⊥OD .又VO ∩OD ＝O ，VO 平面VOD ，OD 平面VOD ， ∴AC ⊥平面VOD .又AC 平面VAC ，∴平面VAC ⊥平面VOD .10．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .求证：平面AEC ⊥平面AFC .证明：如图，连接BD ，设BD ∩AC 于点G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°， 可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ， 可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中， 由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22， 可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC . 因为EG 平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面AFC . 二、综合能力提升1．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n αC ．m ∥n ，n ⊥β，m αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β解析：选C ∵n ⊥β，m ∥n ，∴m ⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β. 2．空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，那么有( ) A ．平面ABC ⊥平面ADC B ．平面ABC ⊥平面ADB C ．平面ABC ⊥平面DBC D ．平面ADC ⊥平面DBC解析：选D 如图，∵AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，∴AD ⊥平面BCD .又∵AD 平面ADC ，∴平面ADC ⊥平面DBC .3．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m α和m ⊥γ，那么必有( )A ．α⊥γ且l ⊥mB ．α⊥γ且m ∥βC ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β且α⊥γ解析：选A B 错，有可能m 与β相交；C 错，有可能m 与β相交；D 错，有可能α与β相交．4．如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，M ，N 分别是BC ，AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起至△B ′MN 位置，使二面角B ′MN B 的大小为60°，则B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为()A.25 B.45 C.35 D.35解析：选C 设BC ＝2.过B ′作B ′D ⊥BC ，垂足为D ，则B ′D ⊥平面ABC ，连接AD ，则∠B ′AD 是B ′A 与平面ABC 所成的角．由题意，知∠B ′MB ＝60°，MB ′＝MB ＝1，则MD ＝12，B ′D ＝32，AD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋22＝52，∴tan ∠B ′AD ＝B ′D AD ＝3252＝35. 5.如图，已知六棱锥P ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是______(填序号)．①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PAE ； ③BC ∥平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°.解析：由于AD 与AB 不垂直，因此得不到PB ⊥AD ，①不正确；由PA ⊥AB ，AE ⊥AB ，PA ∩AE ＝A ，得AB ⊥平面PAE ，因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAE ，②正确；延长BC ，EA ，两者相交，因此BC 与平面PAE 相交，③不正确；由于PA ⊥平面ABC ，所以∠PDA 就是直线PD 与平面ABC 所成的角，由PA ＝2AB ，AD ＝2AB ，得PA ＝AD ，所以∠PDA ＝45°，④正确．答案：②④6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________．解析：如图所示，因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB β，OC β，且OB ∩OC ＝O ，根据线面垂直的判定定理，可得OA ⊥β，又OA α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7.如图，在四面体P ABC 中，△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，PA ＝3，D 为PA 的中点，求二面角D BC A 的大小．解：取BC 的中点E ，连接EA ，ED ，EP .∵△ABC 与△PBC 是边长为2的正三角形，∴BC ⊥AE ，BC ⊥PE ，又AE ∩PE ＝E ，AE 平面PAE ，PE 平面PAE ， ∴BC ⊥平面PAE .而DE 平面PAE ，所以BC ⊥DE ， ∴∠AED 即为二面角D BC A 的平面角． 又由条件，知AE ＝PE ＝32AB ＝3，AD ＝12PA ＝32， ∴DE ⊥PA ，∴sin ∠AED ＝AD AE ＝32，显然∠AED 为锐角， ∴∠AED ＝60°，即二面角D BC A 的大小为60°. 探究应用题8．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC . ∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E . ∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ， ∴A ′M ⊥CD .在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN . 又A ′N 平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N . ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．∴A ′N ⊥平面BCDE .又A ′N 平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .。
课时作业13：2.3.2平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1．下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中正确结论的个数是()A．0 B．1C．2 D．3考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.3.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.4．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．有且只有一个或无数个D．可能不存在考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直．5．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A．90°B．45°C．60°D．30°考点二面角题点求二面角的大小答案 A解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故选A.6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.32 B.22 C. 2 D. 3考点二面角题点求二面角的大小答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是()A．①③B．②③C．②④D．③④考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 B解析对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立，故选B.8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析如图所示，∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面P AE，∴DF⊥平面P AE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)，∴D正确．二、填空题9．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_____．考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.10．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.三、解答题12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.考点题点证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.13．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面P AC.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵P A⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC.又BD ⊂平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面P AC . 四、探究与拓展14．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 为BB 1的中点，求证：截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.考点 平面与平面垂直的判定 题点 利用判定定理证明两平面垂直证明 如图所示，取A 1C 的中点F ，AC 的中点G ，连接FG ，EF ，BG ，则FG ∥AA 1，且GF ＝12AA 1.因为BE ＝EB 1，A 1B 1＝CB ，∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°， 所以△A 1B 1E ≌△CBE ，所以A 1E ＝CE . 因为F 为A 1C 的中点，所以EF ⊥A 1C .又FG ∥AA 1∥BE ，GF ＝12AA 1＝BE ，且BE ⊥BG ，所以四边形BEFG 是矩形，所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ， 所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.15．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动． (1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)求AE 为何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为45°？考点二面角题点二面角的综合应用(1)证明连接D1A，D1B.∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E⊂平面ABD1，∴A1D⊥D1E.(2)解过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.∵D1D⊥平面DB，EC⊂平面DB，∴D1D⊥EC.又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.∵D1F⊂平面D1DF，∴EC⊥D1F，∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1.在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°.在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝3，AE＝2－ 3.。
课时作业27：2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1.下列不能确定两个平面垂直的是()A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.3.如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A.2对B.3对C.4对D.5对考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，又CD⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，∴平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面P AB，∴共有5对互相垂直的平面.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 C解析由m∥α，m∥n得n∥α或n⊂α，由n⊥β，知α⊥β.5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A.90°B.45°C.60°D.30°考点二面角题点求二面角的大小答案 A解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形.∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故选A.7.在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A.平面P AB⊥平面P ADB.平面P AB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面P AD答案 C解析对于A，∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面P AD，∴平面P AB⊥平面P AD，故A正确；对于B，∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD 为矩形，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB，∴平面P AB⊥平面PBC，故B正确；对于D，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，∴平面PCD⊥平面P AD，故D正确.故选C.8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.32 B.22 C. 2 D. 3考点二面角题点求二面角的大小答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.二、填空题9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________. 答案60°解析正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为3，故所求的二面角为60°.10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)答案①④解析①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.三、解答题12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明 如图所示，取A 1C 的中点F ，AC 的中点G ，连接FG ，EF ，BG ，则FG ∥AA 1，且GF ＝12AA 1.因为BE ＝EB 1，A 1B 1＝CB ， ∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°， 所以△A 1B 1E ≌△CBE ， 所以A 1E ＝CE .因为F 为A 1C 的中点，所以EF ⊥A 1C .又FG ∥AA 1∥BE ，GF ＝12AA 1＝BE ，且BE ⊥BG ，所以四边形BEFG 是矩形，所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1.又因为EF ⊂平面A 1CE ，所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.。
课时跟踪检测(三十二)平面与平面垂直的判定
课时跟踪检测（三十二）平面与平面垂直的判定层级(一) “四基”落实练1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.2．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.故选C.3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.故选D.4．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC＝12AB，这时二面角B-AD-C的大小为()A．60°B．90°C．45°D．120°解析：选A∠BDC为二面角B-AD-C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝12m，BD＝DC＝12m，所以∠BDC＝60°.故选A.5.(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的有()A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选ABD由面面垂直的判定定理知，平面PAB⊥平面PAD，故平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，故A、B、D正确．6．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．解析：过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.答案：45°7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.解析：由题意知，BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC为二面角B-AD-C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.连接BC(图略)，则BC＝BD2＋DC2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1.答案：18.如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明：由四边形ABCD 为正方形，可得CD ⊥AD . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥CD ，PD ⊥AD . 又∵PD ∩AD ＝D ，∴CD ⊥平面AQPD .∴CD ⊥PQ .如图，取PD 的中点E ，连接QE . ∵PD ∥QA ，且QA ＝12PD ，∴DE ∥AQ ，且DE ＝AQ . ∴四边形AQED 是平行四边形． ∴QE ∥AD .∴QE ⊥PD .∴DQ ＝QP .设QA ＝1，则在△DQP 中，DQ ＝QP ＝2，PD ＝2. ∴DQ 2＋QP 2＝PD 2.∴∠PQD ＝90°，即DQ ⊥PQ . 又∵CD ∩DQ ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ . ∵PQ ⊂平面PQC ， ∴平面PQC ⊥平面DCQ .9.如图所示，平面角为锐角的二面角α-EF -β，A ∈EF ，AG ⊂α，∠GAE ＝45°.若AG 与β所成角为30°，求二面角α-EF -β的大小．解：作GH ⊥β于H ，作HB ⊥EF 于B ，连接GB ， 则GB ⊥EF ，∠GBH 是二面角α-EF -β的平面角． 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG ＝a ，则GB ＝22a ，GH ＝12a ， sin ∠GBH ＝GH GB ＝22.所以∠GBH ＝ 45°，二面角α-EF -β的大小为45°. 层级(二) 素养提升练1．在四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，A -BD -C 为直二面角，E 是CD 的中点，则∠AED 等于( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选A如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.2．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．故选A.3.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1-EF-C等于45°，则BF＝________.解析：由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF.又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F.∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC＝45°.∵CC1＝AA1＝1，∴CF＝1.又BC＝2，∴BF＝1.答案：14．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝12AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D.求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又∵MN∩A′M＝M，MN⊂平面A′MN，A′M⊂平面A′MN，∴CD⊥平面A′MN.∵A′N⊂平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又∵A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．(1)求证：BE⊥PD；(2)求二面角P-CD-A的余弦值．解：(1)证明：连接AE.因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，所以BA⊥AD.又因为PA∩AD＝A，所以BA ⊥平面PDA .又因为PD ⊂平面PDA ，所以BA ⊥PD . 因为BA ∩AE ＝A ， 所以PD ⊥平面ABE . 因为BE ⊂平面ABE ， 所以BE ⊥PD .(2)连接AC .在直角梯形ABCD 中， 因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，所以AC ＝CD ＝ 2.因为AC 2＋CD 2＝AD 2， 所以AC ⊥CD .又因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD .因为AC ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAC . 又因为PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥CD . 所以∠PCA 为二面角P -CD -A 的平面角． 在Rt △PCA 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋(2)2＝ 6.所以cos ∠PCA ＝AC PC ＝26＝33.所以所求二面角P -CD -A 的余弦值为33.。
2020新人教版高中数学必修二《平面与平面垂直的判定》课时跟踪检测
课时跟踪检测（三十三）平面与平面垂直的判定A级——学考合格性考试达标练1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.2．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选C若方向相同则相等，若方向相反则互补．故选C.3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD 将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.故选C.4.在四棱锥P-ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD解析：选C由面面垂直的判定定理知，平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．故选C.5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．相等或互补解析：选D 如图，BD ，CD 为AB ，AC 所在平面与α，β的交线，则∠BDC 为二面角α-l -β的平面角，且∠ABD ＝∠ACD ＝90°，所以∠A ＋∠BDC ＝180°.此时两角互补；当∠BDC ＝90°时，此时∠A ＝∠BDC ，两角相等．故选D.6．若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P -BC -A 的大小为________．解析：取BC 的中点O ，连接OA ，OP (图略)，则∠POA 为二面角P -BC -A 的平面角，OP ＝OA ＝3，P A ＝6，所以△POA 为直角三角形，∠POA ＝90°.答案：90°7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后BC ＝________.解析：由题意知，BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，所以∠BDC 为二面角B -AD -C 的平面角，由于平面ABD ⊥平面ACD ，所以∠BDC ＝90°， 连接BC (图略)，则BC ＝ BD 2＋DC 2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1. 答案：18．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2 3，CC 1＝2，则二面角C 1-BD -C 的大小为________．解析：如图，取BD 中点O ，连接OC ，OC 1， ∵AB ＝AD ＝2 3， ∴CO ⊥BD ，CO ＝ 6. ∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B ， ∴C 1O ⊥BD .∴∠C 1OC 为二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33.∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1-BD -C 的大小为30°. 答案：30°9．如图，已知三棱锥P -ABC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，且△PDB 是正三角形，P A ⊥PC .求证：(1)P A ⊥平面PBC ； (2)平面P AC ⊥平面ABC .证明：(1)因为△PDB 是正三角形， 所以∠BPD ＝60°， 因为D 是AB 的中点， 所以AD ＝BD ＝PD .又∠ADP ＝120°，所以∠DP A ＝30°， 所以∠DP A ＋∠BPD ＝90°，所以P A ⊥PB .又P A ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， 所以P A ⊥平面PBC .(2)因为P A ⊥平面PBC ，所以P A ⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .10．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明：(1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1. 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B .因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.B级——面向全国卷高考高分练1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．故选A.2．在四面体A-BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A-BD-C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：选A如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.3．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C如图所示，∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正确；由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面P AE，∴DF⊥平面P AE，∴B正确；∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)，∴D正确．故选C.4．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为() A．2 3 B．27C．4 3 D．47解析：选B如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，所以PC ⊥CM.所以PM＝PC2＋CM2.要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可．在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.故选B.5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PC D.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD. 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了______________．解析：如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．求证：(1)直线A1B1∥平面ABD；(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.证明：(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.C级——拓展探索性题目应用练如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°.(2)如图，取CE的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM＝13－1＝2 3.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC＝23，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.。
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课时跟踪检测（三十三）平面与平面垂直的判定A级——学考合格性考试达标练1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：选D当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.2．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选C若方向相同则相等，若方向相反则互补．故选C.3．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD 将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.故选C.4.在四棱锥P-ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD解析：选C由面面垂直的判定定理知，平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．故选C.5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．相等或互补解析：选D 如图，BD ，CD 为AB ，AC 所在平面与α，β的交线，则∠BDC 为二面角α-l -β的平面角，且∠ABD ＝∠ACD ＝90°，所以∠A ＋∠BDC ＝180°.此时两角互补；当∠BDC ＝90°时，此时∠A ＝∠BDC ，两角相等．故选D.6．若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P -BC -A 的大小为________．解析：取BC 的中点O ，连接OA ，OP (图略)，则∠POA 为二面角P -BC -A 的平面角，OP ＝OA ＝3，P A ＝6，所以△POA 为直角三角形，∠POA ＝90°.答案：90°7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，将△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折叠，使平面ABD ⊥平面ACD ，则折叠后BC ＝________.解析：由题意知，BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，所以∠BDC 为二面角B -AD -C 的平面角，由于平面ABD ⊥平面ACD ，所以∠BDC ＝90°， 连接BC (图略)，则BC ＝ BD 2＋DC 2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1. 答案：18．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2 3，CC 1＝2，则二面角C 1-BD -C 的大小为________．解析：如图，取BD 中点O ，连接OC ，OC 1， ∵AB ＝AD ＝2 3， ∴CO ⊥BD ，CO ＝ 6. ∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B ， ∴C 1O ⊥BD .∴∠C 1OC 为二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33.∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1-BD -C 的大小为30°. 答案：30°9．如图，已知三棱锥P -ABC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，且△PDB 是正三角形，P A ⊥PC .求证：(1)P A ⊥平面PBC ； (2)平面P AC ⊥平面ABC .证明：(1)因为△PDB 是正三角形， 所以∠BPD ＝60°， 因为D 是AB 的中点， 所以AD ＝BD ＝PD .又∠ADP ＝120°，所以∠DP A ＝30°， 所以∠DP A ＋∠BPD ＝90°，所以P A ⊥PB .又P A ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， 所以P A ⊥平面PBC .(2)因为P A ⊥平面PBC ，所以P A ⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .10．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明：(1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1. 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C .(2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B .因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.B级——面向全国卷高考高分练1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．故选A.2．在四面体A-BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A-BD-C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：选A如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.故选A.3．在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C如图所示，∵BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，∴BC∥平面PDF，∴A正确；由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面P AE，∴DF⊥平面P AE，∴B正确；∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)，∴D正确．故选C.4．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为() A．2 3 B．27C．4 3 D．47解析：选B如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，所以PC ⊥CM.所以PM＝PC2＋CM2.要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可．在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.故选B.5.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PC D.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由定理可知，BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD. 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)6．如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了______________．解析：如图所示，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．求证：(1)直线A1B1∥平面ABD；(2)平面ABD⊥平面BCC1B1.证明：(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.C级——拓展探索性题目应用练如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．解：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°.(2)如图，取CE的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM＝13－1＝2 3.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC＝23，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.。