高考数学总复习 极坐标与参数方程

第二节 极坐标与参数方程(选修4-4)

考纲解读

1.理解坐标系的作用.

2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.

6.了解参数方程,了解参数的意义.

7.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 8.掌握参数方程化普通方程的方法.

命题趋势探究

本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现.

参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.

知识点精讲

一、极坐标系

在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).

这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极

角.

二、极坐标与直角坐标的互化

设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:

cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222

tan (0)

x y y

x x ρθ⎧=+⎪

⎨=≠⎪⎩

（对0ρ<也成立）.

三、极坐标的几何意义

r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆；

0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线；

2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆.

(可化直角坐标: 2

2cos a ρρθ=2

2

2x y ax ⇒+=2

2

2

()x a y a ⇒-+=.)

四、直线的参数方程

直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为

00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:

00sin ()()cos 2

y y x x απ

αα-=

-≠,即

00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα

=+⎧⎨

=+⎩,2π

α=也成立，故直线的参数方

程为00cos t sin x x t y y α

α

=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为倾斜角，直线上定点000(,)M x y ，动点(,)M x y ，

t 为0M M 的数量，向上向右为正(如图16-33所示).

五、圆的参数方程

若圆心为点00(,)M x y ，半径为r ，则圆的参数方程为00cos (02)sin x x r y y r θ

θπθ

=+⎧≤≤⎨=+⎩.

六、椭圆的参数方程

椭圆22

22C :1x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，(02)θπ≤≤）.

七、双曲线的参数方程

双曲线2222C :1x y a b -=的参数方程为sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩(,)2k k π

θπ≠+∈Z .

八、抛物线的参数方程

抛物线2

2y px =的参数方程为2

22x pt y pt

⎧=⎨=⎩（t 为参数，参数t 的几何意义是抛物线

上的点与顶点连线的斜率的倒数）.

题型归纳即思路提示

题型196 极坐标方程化直角坐标方程

思路提示

对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系

cos sin x y ρθ

ρθ=⎧⎨

=⎩

. 例16.7 在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线6

π

θ=(ρ∈R )的距离

是 .

分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.

解析 极坐标系中的圆4sin ρθ=转化为平面直角坐标系中的一般方程为

224x y y +=，即22(2)4x y +-=，其圆心为(0,2)，直线6

π

θ=

转化为平面直角坐

标系中的方程为：3

y x =

，即0x =.圆心(0,2)

到直线0x -=

的距离为=

变式1 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=，

(0,0)2

π

ρθ≥≤<

，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为 .

变式2 ⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为4cos ρθ=,4sin ρθ=-.

(1)把⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过⊙1O 和⊙2O 交点的直线的直角坐标方程.