(3.1.1倾斜角与斜率)
高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率 教学课件
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳【知识梳理】1.倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系的正切值叫做这条直线的斜率．即k ＝tan_α.5．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．6．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．【常考题型】题型一、直线的倾斜角例1：若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°变式1：直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( )A ．[0°，90°)B ．[90°，180°)C ．(90°，180°)D ．(0°，180°) 变式2：设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135° 题型二、直线的斜率例2：(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________；(2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________；(3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________．变式1：若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°变式2：已知过两点)3,2(22-+m m A ，)2,3(2m m m B --的直线l 的倾斜角为045，则m = . 变式3：已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________． 变式4：已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则m = ．题型三、直线的斜率的应用例3:在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1,-1,2及-3直线1l ，2l ，3l 及4l .例4:如图直线l 1，l 2，l 3，l 4的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，比较斜率的大小关系变式1：已知点A （-2,3）、B （3,2），过点P （0,-2）的直线l 与线段AB 有公共点，试求直线l 的斜率的取值范围。
第3章 3.1 3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l 与x 轴相交；②一个标准：取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 思考：下图中标的倾斜角α对不对？2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k ＝tan α． (3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围)(0，＋∞)不存在(－∞，0)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k3313－3－1－33(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？1．如图所示，直线l 与y 轴的夹角为45°，则l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．无法计算2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )A ．0° B ．45° C ．60° D ．90° 3．已知经过两点(5，m )和(m ，8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( )A ．5 B ．8 C ．132 D ．74．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( )A ．33 B ． 3 C ．1 D ．22直线的倾斜角【例1】 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α 跟踪训练2 已知直线l 向上方向与y 轴正向所成的角为30°，则直线l 的倾斜角为 ．直线的斜率【例2】 (1)已知点A 的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝4，则点B 的坐标为( )A ．(2，0)或(0，－4)B ．(2，0)或(0，－8)C ．(2，0)D ．(0，－8) (2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1，0]B ．[0，1]C ．[1，2]D ．[0，2]例3 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．1．(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________．(2)过点P (－2，m )，Q (m ，4)的直线的斜率为1，则m 的值为________．跟踪训练2 如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3,2)，又l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3,2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．直线倾斜角与斜率的综合[探究问题]1．斜率公式k＝y2－y1x2－x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？命题角度1三点共线问题例3如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．跟踪训练3已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为()A．0 B．1 C．2 D．3命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围例4直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．【例3】已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．将本例变为：已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC都不存在．3.y2－y1x2－x1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]C ．和x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 2．已知l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为60°，则直线l 2的倾斜角为( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120° D ．30°或150° 5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )A ．(1,3)、(5,7)、(10,12)B ．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)C ．(0,2)、(2,5)、(3,7)D ．(1，－1)、(3,3)、(5,7) 6.若图中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 27．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( ) A ．α B ．180°－α C ．180°－α或90°－α D ．90°＋α或90°－α 8．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．0二、填空题9．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于 ．10．已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 ． 11．若经过点A (1－t,1＋t )和点B (3,2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 ． 12．若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 ． 三、解答题13．已知坐标平面内两点M (m ＋3,2m ＋5)，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？ (3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？四、探究与拓展14．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为()A．[33，3] B．[0，33]∪[3，＋∞) C．[33，＋∞) D．[3，＋∞)15．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－3，3)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．3.1.2两条直线平行与垂直的判定1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示思考1如图，设对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？思考2对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2思考1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？思考2 已知tan(90°＋α)＝－1tan α，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k 1、k 2之间的关系？思考3 如果两直线的斜率存在且满足k 1·k 2＝－1，是否一定有l 1⊥l 2？如果l 1⊥l 2，一定有k 1·k 2＝－1吗？为什么？1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( )A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．132．已知直线l 1的斜率k 1＝2，直线l 2的斜率k 2＝－12，则l 1与l 2( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．非以上情况3．l 1过点A (m ，1)，B (－3，4)，l 2过点C (0，2)，D (1，1)，且l 1∥l 2，则m ＝________．两直线平行的判定及应用【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行．(1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0，1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3，4)，H (2，3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0，5)．1．已知l 1经过点A (－3，3)，B (－8，6)，l 2经过点M ⎝⎛⎭⎫－212，6，N ⎝⎛⎭⎫92，－3，求证：l 1∥l 2.跟踪训练2 已知A (1，－a ＋13)，B (0，－13)，C (2－2a,1)，D (－a,0)四点，当a 为何值时，直线AB 和直线CD平行．两条直线垂直关系的判定【例2】 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直．(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，10)；l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．例3已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)．求证：△ABC是直角三角形．使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．1．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值．跟踪训练2已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标．两直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC的形状吗？2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m 的值．1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？例4已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．引申探究本例中若将条件“四边形ABCD 为直角梯形”改为AC ∥BD ，AB ∥CD ，求A 点坐标．反思与感悟 有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解．跟踪训练3 已知矩形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (3,2)，求第四个顶点D 的坐标．一、选择题1．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论：①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS . 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，那么直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．a C ．－1aD ．－1a或不存在3．若直线l 1的倾斜角为135°，直线l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，则直线l 1与l 2的位置关系是( ) A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．平行或重合4．已知点A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．0或1D ．0或25．已知直线l 的倾斜角为20°，直线l 1∥l ，直线l 2⊥l ，则直线l 1与l 2的倾斜角分别是( ) A ．20°，110° B ．70°，70° C ．20°，20°D ．110°，20°6．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对 二、填空题7．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (4a ，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．8．已知A (2,0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的倾斜角为________．9．若点P (a ，b )与点Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为________．10．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝____________；若l 1∥l 2，则b ＝____________.11．已知点A (－3，－2)，B (6,1)，点P 在y 轴上，且∠BAP ＝90°，则点P 的坐标是______．三、解答题12．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．四、探究与拓展13．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，则m的值为______．14．已知△ABC的顶点A(1,3)，B(－1，－1)，C(2,1)，求△ABC的边BC上的高AD的斜率和垂足D的坐标．。
直线的倾斜角与斜率PPT课件
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
3.1.1 倾斜角与斜率
思考1：求证A（1，1），B（ 2， 7）， C（0， 3）三点共线；（提示： P37练习5）
证1： kAB kAC 2; 证2： AB 3AC；
证3： AB AC CB;
证4： 设C' (0, y0 ),C'分 AB所成的比
为，求出y0 3。
(1)直线和x轴的交点； (2)直线按逆时针方向旋转；
旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ， (3)最小正角．
那么 就叫做直线的倾斜角。
x 特别地，当与 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°。
由此定义，角的范围如何？
因此,倾斜角的取值范围是 0o≤α＜180o
Y
.p
Y
00 900
思考2：已知两点M（2， 3）、 N（ 3， 2），直线L过点 P（1，1）且与线段MN相交， 求直线L的斜率k的取值范围？
直线L的倾斜角的取值范围？
思考3：已知2x y 8,
当2 x 3时，求 y 的 x
最大值与最小值。
课外作业：
直线的倾斜角和斜率同步练习
顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。过去我们 在学习解直角三角形时，教科书上就说过：斜坡坡面的铅 直高度h与水平宽度l的比值i叫做坡度；如果把坡面与水平
• 现实世界中，到处有美妙的曲线．从飞 逝的流星到雨后的彩虹，从古代石拱桥 到现代立交桥……这些曲线都和方程息 息相关．
• 行星围绕太阳运行，人们要认识行星的 运行规律，首先就要建立起行星运行的 轨道方程．
• 在建造桥梁时，我们首先要确定桥拱的 方程，然后才能进一步地设计和施工．
引言:
通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来， 使形和数结合，是研究几何图形的一种重要的方法， 这一方法是用代数方法研究几何问题的基础，它的 产生对于促进教学的发展起到了巨大的作用。
3.1.1 倾斜角与斜率
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结束
直线的倾斜角
[典例] 设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点
沿逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α＋45°或 α－135°
[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当 0°≤α＋45°＜ 180°(0°≤α＜180°)，即 0°≤α＜135°时，l1 的 倾斜角才是 α＋45°.而 0°≤α＜180°，所以当 135°≤α＜180°时，l1 的倾斜角为 α－135°(如图)．
C．90°＜α＜180°
D．0°＜α＜180°
解析：选 C 直线倾斜角的取值范围是 0°≤α＜180°，又直
线 l 经过第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是
90°＜α＜180°.
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直线的斜率
[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，
求其斜率，并确定直线的倾斜角 α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，10)． [解] (1)存在．直线 AB 的斜率
kAB＝54－ －32＝1，即
tan
α＝1，
又 0°≤α＜180°，所以倾斜角 α＝45°.
(2)存在．直线 CD 的斜率 kCD＝2－－1－－32＝－1，即 tan α＝
(3)斜率的作用： 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 倾斜程度 ．
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结束
[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜 率．当倾斜角是 90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直 于 x 轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合)．
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条 直1线呢？ 答案 不能. 思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线 如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案 不同.
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
1.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α . 2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
0°<α<90° k>0
α＝90° 不存在
90°<α<180° k<0
答案
知识点三 过两点的直线的斜率公式
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
3.1.1倾斜角与斜率(最新)
锐 . 角
3 ).
( 2 ) P ( 0 , 0 ), Q ( 1 ,
k 3,
钝 . 角
19
练习4:已知a、b、c是两两不等的实数，求经 过下列两点的倾斜角：
(1) A ( a , c ), B ( b , c );
0
( 2 ) C ( a , b ), D ( a , c );
90
( 3 ) P ( b , b c ), Q ( a , c a ).
45
20
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点 且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2， l3及l4.
l4
l2
y
l3
l1
o
x
21
练习5:画出经过点（0,2），且斜率分别为 2和-2的直线： y 2
由2
解: P1 , P2 , P3 在一条直线上
k P1 P2 k P2 P3
即 32 x 1 1 3 3 x
x
7 3
.
23
【总一总★成竹在胸】
坡度
平面解 析几何
直线的斜率
斜率定义
几何意义
应用
24
1.当直线平行于x轴，或与x轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？ k 0 y y y 2 1 k P (x , y ) P (x , y ) x 2 x1
1 1 1
0
2
2
2
x1
o
x2
答：成立，因为分子 x 为0，分母不为0， k =0
14
90 , tan 90 ( 不存在 ) 2.当直线平行于y轴，或与y轴重合时，
B
倾斜角与斜率
（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合的方法来求解.
训练题
已知实数 x，y 满足 y＝-2x+8，且 2≤x≤3，求 y 的最大值和最小值. x
解：如图所示，由于点（x，y）满足关系式2x+y＝8，且2≤x≤3， 可知点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求 得为（2，4），（3，2）.
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
重点：理解直线的斜率和倾斜角的概念. 难点：了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的 斜率.
知识梳理 一、直线的倾斜角
4
4
4
A
解析：因为kAP＝
1 1
3 2
＝2，kBP＝
1 1
(2) (3)
＝
3 4
，如图，
因为直线l与线段AB始终没有交点，所以斜率k的取值范围是
3 4
,
2
.故
选A.
2. ［2019·海南华侨中学高一检测］若经过点P（1-a，1+a）和Q（3，
2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是
.
（-2，1） 解析：k＝1 a 2a ＝ 1 a . 1 a 3 2 a
二、直线的斜率与倾斜角的关系
(1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
o
x
判断下列命题是否正确，为什么？ 例3. 判断下列命题是否正确，为什么？ （1）任一直线都有倾斜角和斜率 ）任一直线都有倾斜角和斜率; （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； ）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； 轴的直线的倾斜角是0或 （3）平行于 轴的直线的倾斜角是 或 π ； ）平行于x轴的直线的倾斜角是 （4）直线斜率的取值范围是（ ∞,+∞）； ）直线斜率的取值范围是（ − 相等； 相等； （6）两直线的斜率相等，则它们的倾斜角 ）两直线的斜率相等， 相等； 相等； （5）两直线的倾斜角相等，则它们的斜率 ）两直线的倾斜角相等，
y B α α C o x A
1.直线的斜率公式 1.直线的斜率公式 一般地，已知直线上的两点P 一般地，已知直线上的两点P1(x1,y1)， ),且直线 且直线P 轴不垂直， P2(x2,y2),且直线P1P2与x轴不垂直， 即x1≠x2
y y P2 P2 P1 α Q1 θ P Q α α o x x
2.直线的斜率的取值范围 2.直线的斜率的取值范围 倾斜角为锐角时,k 0; 倾斜角为锐角时,k>0; ,k 倾斜角为钝角时,k ,k<0; 倾斜角为钝角时,k 0; 倾斜角为0 倾斜角为00时,k=0.
三.课堂练习 课堂练习
1.当倾斜角α=0 1.当倾斜角α=00，300，450，600时， 当倾斜角 这条直线的斜率分别等于多少？ 这条直线的斜率分别等于多少？ 2.当倾斜角α=120 2.当倾斜角α=1200，1350，1500时， 当倾斜角 这条直线的斜率分别等于多少？ 这条直线的斜率分别等于多少？
y
o
x
y
l3
l2 l1
o
x
高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
5 1
23
(4)倾斜角 900，斜率不存在.
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
题型二
斜率公式的应用
例2、经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的
下列哪些说法是正确的（
）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 F
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
F
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是 00或1800 F
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等F
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 T
F 、直线斜率的范围是R
T
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
x2 )
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通 过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求 出直线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂 直,α=900
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
练习： 高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
不是
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
下图中直线l1，l2，l3的倾斜角 大致是一个什么范围内的角？
y l3
l2 l1
倾斜角与斜率
是锐角还是钝角.
解
：
（ 1）
k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
y
k BC
11 0 (4)
1 2
钝角
B
1 2 k C A 0 3 1 锐角
A
O
x
C
若过点C的直线l与线段AB有公共
讲 课 人 ： 邢 启 强
点，求l的斜率k的取值范围？（ 2）k[1,+)
(-,-1] 2
8
例2 过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连结 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直线l 的倾斜角α与斜率k的取值范围.
2.在图中l1,的 l2,l3的 直斜 线 k1,k率 2,k3的大小
关系k2为 >k3>k1
l2
l3
讲
课
人
： 邢 启 强
l1 11
3.如图，直线l1的倾斜角α1=300， 直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.
y
α1
α2
x
讲
课
人
：
邢
启 强
12
• 课堂小结
１：直线的倾斜角的概念 [00,1800)
特别地，当直线和x轴平行或重合时，它的
讲
课
人 ： 邢
倾斜角为0°倾 。斜角 的取值范围0o为
18o0
启 强
3
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
坡度（比 前 升 ）进 高量 量
升 高 量
讲
课 人 ：
前进量
邢
启 强
4
例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更
陡一些，因为坡度（比） 3 2 . 22
2019-2020学年人教A版数学必修2课件：3.1.1倾斜角与斜率
直线的倾斜角
【例1】 (1)已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论
中正确的是( )
A．0°≤β<180°
B．15°<β<180°
2．做一做．(请把正确的答案写在横线上)
(1)已知过点 P(－2，m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则
m＝________.
(2)已知直线 l 的倾斜角 α＝30°，则其斜率 k 的值为
________．
【答案】(1)1
3 (2) 3
3．思一思：根据k＝tan α，思考此斜率公式的适用范围是 什么？对于倾斜角相同的直线，斜率一定相等吗？
2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
【答案】D
【解析】由图可知当直线位于如图阴 影部分所示的区域内时满足题意，所以直 线l的斜率满足0≤k≤2.故选D．
3．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线 上，则实数a的值为________．
1．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中说法正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】①②③正确，④错误．
2．(2019年广东珠海阶段性测试)已知直线l经过点A(1，
人教版数学必修2课件-直线的倾斜角与斜率
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直；
归纳： 对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直； (2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位 置能确定吗?
y l
P
O
x
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定)
一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位
置能确定吗?
(1)它们都经过点P.
y l
(2)它们的‘倾斜程度’不同.
P
O
x
怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的 倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为
，
斜率为
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 120o、60o ，
直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值 叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan.
讨论： 当直线倾斜角为90o时, 它的斜率不存在吗? 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系? 斜率为正或负时，直线过哪些象限呢?
给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如 何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
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a 0 k tan 0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tan a 0
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式： k (或k ) x2 x1 x1 x2
升高量 坡度（比）= 前进量
α 前进量
升 高 量
直线的斜率：
一条直线的倾斜角α 的正切值 叫做这条直线的斜率.常用小写字 母k表示，即k=tanα ，那么任何一 条直线都有斜率吗？
0的直线（垂直与x轴 倾斜角是90
的直线）没有斜率.
练习2： 1.当倾斜角α =00，300，450，600 时，这条直线的斜率分别等于多少？ o 若 呢 ？ 90 2.当α 是锐角时，有公式 tan（1800-α ）=－tanα . 那么当 倾斜角α =1200，1350，1500时， 这条直线的斜率分别等于多少？
作业:
P89习题3.1A组：3，4，5． P90习题3.1B组：5，6.
直线的倾斜角和斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念 2.掌握求直线斜率的两种方法 3.掌握三点共线的判定方法
知识探究（一）：直线的倾斜角
思考1:在直角坐标系中，下图中的 四条直线在位置上有什么联系和区 别？
y P
o
x
思考2:在直角坐标系中，任何一条 直线与x轴都有一个相对倾斜度，可 以用一个什么几何量来反映一条直 线与x轴的相对倾斜程度呢？
理论迁移
例1 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 直线AB的斜率 k AB 0 . . . .o . . . x 8 4 . 22 4 1
直线BC的斜率 kBC
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 直线CA的斜率 kCA 40 4
变式训练 P86练习2
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜 率分别为1，-1，2和-3的直线 l1 , l2 , l3及l4 。
思考7:倾斜角为锐角、钝角的直线的 斜率的取值范围分别是什么？一般地， 直线的斜率的取值范围是什么？ 倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; 0时,k=0. 倾斜角为0 思考8:斜率相等的直线其倾斜角相 等吗？斜率大的直线其倾斜角也大 吗？ 见金榜47页名师点拨2（3）
知识探究（三）：直线的斜率公式
y P2 y
P2 θ y P1 Q x , α o x
2 1
P1 α α o
Q x2 , y1 x
y 2 y1 k (x1 x 2 ) x 2 x1
思考10: 1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴 重合时，上述公式还适用吗？为 什么？
2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴 重合时，上述公式还适用吗？为 什么？
y A3 A1 O A2 A4
l3
l1
x
l2
l4 变式训练 P86练习4
已知三点A（a,2）,B(5,1),C(-4,2a)在同 一条直线上，则a= ______.
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180 2、直线的斜率定义： tan ( 90 ) k 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
思考9:在直角坐标系中，经过两点 A（2，4）、B（－1，3）的直线有 几条？直线AB的斜率是多少？
y B α α o
A
43 1 k BC 3 ( 1) 4 AC
C（2，3） x
斜率公式：
已知直线上的两点P1（x1，y1）2的斜率是什么？
y
o
x
倾斜角的概念：
当直线l与x轴相交时，取x轴作为 基准，x轴的正方向与直线l向上方 向所成的角叫做直线l的倾斜角．
y
o
x
思考4:直线的倾斜角大致是一个什 么范围内的角？
y
o
x
倾斜角的取值范围：
特别地，当直线l与x轴平行或重 合时，规定它的倾斜角为0°，那么 直线的倾斜角的取值范围是什么？
0°≤α ＜180°
思考5:任何一条直线都有倾斜角吗？ 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
有 平行的直线
练习1. 1.下列各图中标出的角α 是直线的 倾斜角吗？
y o y y α x oα y x o α x
α x
o
知识探究（二）：直线的斜率
思考6:初中学过的“坡度（比）” 是什么含义？它能否表示直线的倾 斜程度？它与这条直线的倾斜角之 间有什么关系？