高二年级数学12月月考试题
2020年部编人教版二年级数学上册第二次月考试题及答案一(三套)
2020年部编人教版二年级数学上册第二次月考试题及答案一(三篇)目录：2020年部编人教版二年级数学上册第二次月考试题及答案一一2020年部编人教版二年级数学上册第二次月考试题及答案A4版二2020年部编人教版二年级数学上册第二次月考试题及答案下载三2020年部编人教版二年级数学上册第二次月考试题及答案一一班级：姓名：满分：100分考试时间：90分钟题序一二三四五六七总分得分一、填空题。
（20分）1、在括号里填上合适的长度单位。
手指宽约是1________ 一棵大树高约8________教室的门高2________ 铅笔长约20________2、钟面上9时整，时针与分针所形成的角是_____角．3、数一数下图中共有_______条线段4、填上合适的单位。
妈妈工作时间是8________ 李红跑50米的时间是12________一根棒球棒长5________ 一篮子水果重2________教室黑板长42________ 汽车每小时行驶80________小树的身高是156________ 鸡蛋重是50________。
5、两位数乘一位数(不为0)，积可能是________位数，也可能是________位数。
6、长方形、正方形、平行四边形都有________条边，________个角。
7、一个因数是3，另一个因数是4，积是（_____），计算时用的口诀是（____）。
8、1平角＝________直角1周角＝________直角＝________平角。
9、在中有________个角，其中有________个直角。
10、长方体和正方体都有______个面，______条棱，______个顶点．二、我会选（把正确答案前面的序号填在（）里）（10分）1、5名同学参加跳远比赛，成绩分别是：小明188厘米、小刚2.05米、小枫2.1米、晨晨190厘米、小雨203厘米。
得第一名的是（）。
A．小雨B．小枫C．小刚2、李霞给奶奶买的一个生日蛋糕，从上面看它的形状是（）A．B．C．3、由钢笔：15元，帽子：8元，篮球：25元得知，（）这两件物品价格的和最接近30元。
2022-2023学年山西省晋城市校高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。
2022-2023学年广东省深圳技术大学附属中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省深圳技术大学附属中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设函数在处的导数为2，则（ ）()f x 1x =0(1)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．B ．2C ．D ．62-23【答案】B【分析】根据导数的定义即可.【详解】;()0(1)(1)lim21x f x f f x ∆→'+∆-==∆故选：B.2．某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（ ）A ．7种B ．12种C ．4种D ．3种【答案】A【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.【详解】解:由题知某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选:A3．抛物线的准线方程为24y x =A ．B ．C ．D ．1x =2x ==1x -2x =-【答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,=1，2p∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1．故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．4．函数的单调递增区间是（ ）()25ln 4f x x x =--A ．B ．和5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,3【答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数的定义域为 ，()25ln 4f x x x =--(0,)+∞，当时，解得，()5252,0x f x x x x -'=-=>()250x f x x -'=>52x >故函数的单调递增区间是，()25ln 4f x x x =--5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故选：A5．函数的零点个数为（ ）3()1216f x x x =--A ．B ．C ．D ．0123【答案】C【解析】求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解.【详解】由题得，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-令得或，令得，()0f x '>2x ><2x -()0f x '<22x -<<所以函数的单调递增区间为，减区间为.(,2),(2,)-∞-+∞(2,2)-所以函数的极大值为，极小值为，(2)0f -=(2)32f =-当时，当时，x →-∞0,y <x →+∞0,y >所以函数的零点个数为2.故选：C【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令重新构造函()=0f x 数，画出两个函数的图象得解）”()()g x h x =6．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（ ）{}n a 22nSn n =+11n n n b a a +={}n b n A ．B ．C ．D ．163n n -+2263n n -+69n n +263n n +【答案】C【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列n a n S ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩{}n a 的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.{}n b n 【详解】，当时，，22n S n n =+1n =113a S ==当时，，当时，也满足，2n ≥221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦1n =∴ 数列的通项公式为，{}n a 21n a n =+，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭12311111111123557792123n b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111.232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭故选：C7．已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）R ()f x ()13f =()2f x '<()21f x x <+A ．B ．C ．D ．(,1)-∞()3,+∞()1,+∞(2,)+∞【答案】C【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，()()21F x f x x =--()0F x '<从而可得当时，，从而得到不等式的解集．1x >()()10F x F <=()21f x x <+【详解】解：令，()()21F x f x x =--则，()()2F x f x ''=-又的导数在上恒有，()f x ()f x 'R ()2f x '<恒成立，()()20F x f x ''∴=-<是上的减函数，()()21F x f x x ∴=--R 又，()()11210F f =--= 当时，，即，∴1x >()()10F x F <=()210f x x --<即不等式的解集为；()21f x x <+(1,)+∞故选：C ．8．若是的切线，则的取值范围为（ ）y ax b =+()ln f x x x=ab A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)1,+∞(],1-∞[]1,0-【答案】A【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到(),ln t t t t ,a b ，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.ln 1a t b t +=-()()ln 10t g t t t +=->()g t 【详解】设切点坐标为，()(),ln 0t t t t >，，又，，()ln 1f x x '=+ ()ln 1a f t t '∴==+()ln f t t t =ln b t t at t∴=-=-，ln 1ln 1a t tb t t ++∴==--令，则，()()ln 10t g t t t +=->()2ln tg t t '=则当时，；当时，；()0,1t ∈()0g t '<()1,t ∈+∞()0g t '>在上单调递减，在上单调递增，()g t ∴()0,1()1,+∞，又当时，，，()()11g t g ∴≥=-0t →()g t ∞→+()[)1,g t ∴∈-+∞即的取值范围为.ab [)1,-+∞故选：A.二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）()f x ()f x 'A ．为函数的一个零点2x =-()f x B ．为函数的一个极大值点12x =()f x C ．函数在区间上单调递增()f x 12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．是函数的最大值()1f -()f x 【答案】BC【分析】利用导函数的图象分析函数的单调性，由此可判断各选项的正误.()f x 【详解】由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、()f x ()f x '(),2-∞-1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()2,+∞故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC 正确，AD 错误.2x =-2x =()f x 12x =()f x 故选：BC.10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（ ）A ．AB 与CD 平行B ．CD 与GH 是异面直线C ．EF 与GH 成角D ．CD 与EF 平行60︒【答案】CD【分析】根据正方体的平面展开图得到直观图，然后判断即可.【详解】该正方体的直观图如下：与是异面直线，故A 错；与相交，故B 错；因为该几何体为正方体，所以，AB CD CD GH EF CD 三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与所成角为，故CD 正GHD GH GD 60︒EF GH 60︒确.故选：CD.11．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一0R 个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再0R 0R 传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始R 04R =感染者为1人，则（ ）A ．第三轮被传染人数为16人B ．前三轮被传染人数累计为80人C ．每一轮被传染的人数组成一个等比数列D ．被传染人数累计达到1000人大约需要35天【答案】CD【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前项和公式，即可求解．n 【详解】由题意，设第轮感染的人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故n n a {}n a 14a =4q =C 正确；所以，当时，，故A 错误；4nn a =3n =33464a ==前三轮被传染人数累计为，故B 错误；334(14)118514S ⨯-+=+=-当时，，当时，由，故D 正4n =444(14)1134114S ⨯-+=+=-3557n ==554(14)111365100014S ⨯-+=+=>-确.故选：CD 12．对于函数，下列说法正确的是（ ）()2ln xf x x =A ．在()f x x =12eB ．有两个不同的零点()f xC ．ff f <<D ．若在上恒成立，则()21f x k x <-()0,∞+2ek >【答案】ACD【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立()f x 问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A 选项，，定义域为，，令，解得()2ln xf x x =()0,∞+()312ln x f x x -'∴=()0f x '=x当时，，函数在上单调递增，0x <<()0f x ¢>∴()f x (当，函数在上单调递减，x >()0f x '<∴()f x )+∞函数在，故A 对，∴x 12fe =B 选项，时，，，当时，如下图01x << ()0f x <()10f =max 0(2)1fe f x ==>1x >()0f x >所示：函数有且只有唯一一个零点，故B 错，∴()f x C选项，当为单调递减函数，，x>()fx f f∴<，，故C对，ln 2(2)4ff f===<f f f ∴<<D 选项，，故，由于函数在上恒成立，()21f x k x <- ()221ln 1x k f x x x +>+=()0,∞+，设，定义域为，则，2max ln 1x k x +⎛⎫∴> ⎪⎝⎭()2ln 1x g x x +=()0,∞+()32ln1x g x x --'=设，解得，单调递增，单调()0g x '=x =()0,()x g x g x '∴∈>()),0,()x g x g x '∈+∞<递减，，故，故D 对.()max 22e e g x g e ∴==-=2e k >故选：ACD.三、填空题13．函数在处的切线与直线平行，则a ＝______．()af x x x =-1x =2y x =【答案】1【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.【详解】因为，所以，()af x x x =-()2a f x x =1+'所以函数在处的切线斜率为，()af x x x =-1x =()11'=+f a 因为该切线与直线平行，故，解得2y x =12a +=1a =故答案为：114．函数在区间上的最大值为______．()cos sin f x x x x=-[]π,0-【答案】π【分析】利用导数，判断函数的单调性，可得结果.()f x 【详解】由，所以，()cos sin f x x x x=-()cos sin cos sin f x x x x x x x'=--=-当时，，所以，[]π,0x ∈-sin 0x ≤()sin 0f x x x =-≤则在单调递减，()f x []π,0-所以.()max ()ππf x f =-=故答案为：.π15．已知，分别为椭圆的左，右焦点，点P 为C 的上顶点，且1F 2F ()2222:10x y C a b a b +=>>，C 的方程是______．123F PF π∠=12F PF S = 【答案】22143x y +=【分析】根据椭圆的性质，即可求解.【详解】解：123F PF π∠=⇒2,a c =12122F PF S c b =⨯⨯= b =又，即，解得：，故，222a b c =+22234c c c =+21c =224,3a b ==所以C 的方程是，22143x y +=故答案为：22143x y +=16．已知函数（且）的极大值和极小值分别为，，且，()22e xf x x a =-0a >1a ≠()1f x ()2f x 12x x <则的取值范围是______．a 【答案】21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】由有两个根，转化为函数和的图象有两个不同的交点，结合切()0f x '=14e y x =2ln xy a a =线以及导数求得的取值范围.a 【详解】，所以方程的两个根为，，()4e ln x f x x a a '=-4e ln 0x x a a -=1x 2x 即函数和的图象有两个不同的交点，14e y x =2ln xy a a =因为的极大值和极小值分别为，，()f x 1()f x 2()f x 故当时，，的图象在的下方，12(,)x x x ∈()0f x '<1y 2y 当、时，，的图象在的上方；1(,)x x ∈-∞2(,)x +∞()0f x '>1y 2y 易知，设过原点且与图象相切的直线斜率为，则，01a <<2y l k 4e k <设与切于点，而，所以，l 2ln x y a a =()00,ln xx a a 22ln x y a a '=002ln ln x x a ak a a x ==解得，所以，01ln x a =12ln ln 4e a k a a =⨯<因为，即，又，所以，所以．1ln e aa=2ln 4a <01a <<2ln 0a -<<21,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】求解与曲线的切线有关问题，易错点是没有分清已知点是曲线上的点还是曲线外的点.两种情况下，切线都可以通过导数求得，关注点有切点和斜率两个.极值点的导数为，反之却不成立.0四、解答题17．已知函数.()2ln f x x x =-（1）求函数的单调增区间；()f x （2）求函数在上的最大值.()f x (()0,0a a⎤>⎦【答案】（1）；（2）答案见解析.⎛ ⎝【分析】（1）利用导数，直接解得的单调递增区间；'()0f x >()f x （2）分类讨论：当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a aa ==-当在上单调递增，在上单调递减，可以求出最大值.a ≥()f x ⎛ ⎝a ⎫⎪⎪⎭【详解】（1）的定义域为，，()f x ()0,∞+2112'()2x f x x x x -=-=令，得，∵，∴'()0f x >2120x x ->0x >0x <<故的单调递增区间为.()fx ⎛ ⎝（2）由（1）知，在上是增函数，在上是减函数.()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭∴当在上单调递增，此时；0a <<()f x (]0,a ()2max ()ln f x f a a a ==-当在上单调递增，在上单调递减，此时a≥()f x ⎛⎝a ⎫⎪⎪⎭.max 111ln 2222()f f x ==--=综上所述，当的最大值为；当的最大值为0a <<()f x 2max ()ln f x a a =-a ≥()f x .11ln 222f =--18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm ）满足关系：，设为C x ()()4011035C x x x =≤≤+()f x 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求的表达式；()f x (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．()f x 【答案】(1)800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；（2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，40()35C x x =+6x ．．()()800206635f x C x x x x ∴=+=++()110x ≤≤（2），令得或（舍．()()22400'635f x x =-+()0f x '=5x =253x =-)当时，，当时，．∴15x ≤<()0f x '<510x <≤()0f x '>在，上单调递减，在，上单调递增．()f x ∴[15)[510]当时，取得最小值（5）．∴5x =()f x f 70=当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．∴5cm 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面P ABCD -PAB 底面ABCD ，．PAB ⊥PM MD =(1)求证：平面ACM ；PB ∥(2)求平面MBC 与平面DBC 的夹角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）连接BD ，借助三角形中位线可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.【详解】（1）连接BD ，与AC 交于点O ，在中，因为O ，M 分别为BD ，PD 的中点，则，PBD △BP OM ∥又平面ACM ，平面ACM ，所以平面ACM .BP ⊄OM ⊂BP ∥（2）设E 是AB 的中点，连接PE ，因为为正三角形，则，PAB PE AB ⊥又因为平面底面ABCD ，平面平面，PAB ⊥PAB ⋂ABCD AB =则平面ABCD ，过点E 作EF 平行于CB ，与CD 交于点F ，PE ⊥以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，()0,0,0E ()1,0,0B (P ()1,2,0C ()1,2,0D -12M ⎛- ⎝所以，，3,2⎛=-- ⎝ CM ()0,2,0BC = 设平面CBM 的法向量为，则，(),,n x y z =30,220,n CM x y n BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅==⎩ 令，则，因为平面ABCD ，则平面ABCD 的一个法向量为，1x=(n = PE ⊥()0,0,1m = 所以||cos ,n m m n n m⋅== 所以平面MBC 与平面DBC 所成角的大小为30°．20．已知数列是等差数列，且，.{}n a 12312a a a ++=816a =(1)若数列中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第项，按原来顺序组成一个新数列{}n a 2n ，试求出数列的通项公式；{}n b {}n b (2)令，求数列的前项和.3n n n c b =⋅{}n c n n S 【答案】(1)，；4n b n =*n ∈N (2).()12133n n S n +=-⋅+【分析】(1)利用等差数列性质求出数列公差及通项公式，由求解作答.{}n a 2n n b a =(2)由(1)的结论求出，再用错位相减法计算作答.n c 【详解】（1）等差数列中，，解得，公差，{}n a 2123312a a a a =++=24a =28282a d a -==-则，因此，，()()224222n a a n d n n=+-=+-⨯=2224n a n n =⨯=依题意，，24n n b a n ==所以数列的通项公式，.{}n b 4n b n =*n ∈N（2）由(1)知，，343n n n n c b n =⋅=⋅则，()21438344343n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅因此，，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143n n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-所以.()12133n n S n +=-+21．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为.P ()1,0F 4x =1:2(1)求点的轨迹方程.P (2)记点的轨迹为曲线,若过点的动直线与的另一个交点为,并且满足:原点到的距离为P C P l C Q O l ,弦长,求直线的方程.322PQ =l 【答案】(1).22143x y +=(2).32y =±【分析】(1)利用直译法即可求解轨迹方程；(2)先设出直线方程,利用弦长及点到直线的距离为两个条件即可解出直线方程.2PQ =l 32【详解】（1）设,点到定直线的距离为.由题意可得:,即(),P x y P 4x =d12PF d=,12=整理化简得:.即点的轨迹方程为.22143x y +=P 22143x y +=（2）设.当直线的斜率不存在时,由原点到的距离为,由对称性不妨设直线:()()1122,,,P x y Q x y l O l 32l .32x =所以满足,()()1122,,,P x y Q x y 2232143x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得:,（舍去）.33,,22P Q ⎛⎛⎝⎝2≠当直线的斜率存在时,可设.l :l y kx m =+因为原点到的距离为,,即,O l 3232=()22491m k =+则满足,消去可得:,()()1122,,,P x y Q x y 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=,()()2222223442412644481914k m k m k m +-∆=-=++因为,所以恒成立.()22491m k =+22481921440m k ∆=-++>则.21122228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++==因为,()22491m k =+所以.2==化简得:,42560k k +=解得:,所以,直线的方程为:.0k =32m =±l 32y =±综上所述:直线的方程为:.l 32y =±【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.22．已知函数.()ln 2f x x ax =-(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求a 的取值范围；()0f x ≤(3)求证：.2021202020202021>【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)12ea ≥(3)证明见解析【分析】（1）求导数，根据导数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）利用常变量分离法，构造新函数，结合导数的性质、函数的最值进行求解即可；（3）利用分析法，结合（2）中函数的单调性进行证明即可.ln ()x g x x =【详解】（1）.()1122ax f x a x x -'=-=当时，，所以在上单调递增；0a ≤()120ax f x x -'=>()f x ()0,∞+当时，令，解得，0a >()120ax f x x '-==12x a =当时，；10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=>当时，；1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()120ax f x x -'=<所以上单调递增，在上单调递减；()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）的定义域为，若恒成立，则恒成立，()f x (0,)+∞()0f x ≤ln 20x ax -≤即恒成立，ln 2xa x ≥令，只需，又，ln ()x g x x =max 2()a g x ≥22(ln )ln 1ln ()x x x x x g x x x '''⋅-⋅-==令得，()0g x '=e x =时，，则单调递增；(0,e)x ∈()0g x '>ln ()xg x x =时，，则单调递减；(e,)x ∈+∞()0g x '<ln ()xg x x =所以，解得：；max 12()(e)e a g x g ≥==12e a ≥（3）要证明，只需证明，即，2021202020202021>20212020ln 2020ln 2021>2021ln 20202020ln 2021>即只需证明，由（2）可知：在单调递减，所以ln 2020ln 202120202021>ln ()x g x x =(e,)x ∈+∞，(2020)(2021)g g >故得证. 从而得证.ln 2020ln 202120202021>2021202020202021>【点睛】关键点点睛：利用常变量分离法，结合构造函数法进行求解证明是解题的关键.。
2022-2023学年北京市海淀区二十中学高一年级上册学期阶段性检测(12月月考)数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区二十中学高一上学期阶段性检测（12月月考）数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】利用集合交集的定义求解.【详解】由||2x <结合绝对值的几何意义解得22x -<<， 所以{|22}A x x =-<<， 所以A B ={}1,0,1-， 故选:B.2．已知0.36a =，ln0.3b =，60.3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】A【分析】与“0”，“1”比较大小即可解决. 【详解】由题知, 300.616>==a ，ln0.3ln10=<=b ，60.3c =，因为060033.0.<<，所以01c <<所以01b c a <<<<， 故选：A3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．1y x=B ．e x y =C ．lg y x =D ．y x =【答案】D【分析】根据具体函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，因为1y x =，当0x >时，1y x =，显然1y x=在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为()e xy f x ==，所以()11e1e f -==-，()1e f =，即存在x ∈R ，使得()()f x f x -≠，所以()f x 不是偶函数，故B 错误；对于C ，因为()lg y g x x ==，所以11lg 111010g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()10lg101g ==，即()11010g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上并不单调递增，故C 错误； 对于D ，因为y h x x ，易得()h x 的定义域为R ，即()h x 的定义域关于原点对称，又hx x xh x ，所以()h x 是在R 上的偶函数，当0x >时，()h x x =，显然()h x 在()0,∞+上单调递增，故D 正确. 故选：D.4．已知0a b >>，则下列各选项正确的是（ ） A ．110->a bB ．11022a b⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．log 2log 20a b -<D ．ln ln 0a b +>【答案】B【分析】每个选项依次考查，判断一个命题是假命题只需举一个反例.. 【详解】0,a b >>A ：不妨取3,2a b ==，1111032a b ∴-=-<，A 错；B ：()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，()()11,022a bf a f b ⎛⎫⎛⎫∴<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；C ：取12,2a b ==，212log 2log 2log 2log 220a b -=-=>，C 错；D ：取11,,ln ln 0,23a b a b ==∴+<D 错；故选：B5．已知函数()26log f x x x=-．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】C【分析】根据零点存在性定理解决即可. 【详解】由题知，函数在定义域内单调递减，且 2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，2(3)2log 30f =->， 231(4)log 4022f =-=-<， 26(5)log 505=-<f ， 所以()f x 零点的区间是()3,4, 故选：C6．在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据幂函数的图象与性质，分0a >和a<0讨论，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若0a >时，函数a y x =在(0,)+∞递增，此时1y ax a=+递增，排除D ；纵轴上截距为正数，排除C ，即0a >时，不合题意；若a<0时，函数a y x =在(0,)+∞递减，又由1y ax a=+递减可排除A ，故选B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）1010 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则10.11010110100.81.25910V --===≈≈. 故选：C.8．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．已知函数()()e e 0x xf x a b ab -=+≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据0a b +=可得()f x ，由奇偶性定义可知充分性成立；由()f x 为奇函数可知()()f x f x -=-，由此可构造方程求得0a b +=，知必要性成立，由此可得结论.【详解】当0a b +=时，()e e x x f x a a -=-，()()e e x xf x a a f x -∴-=-=-，f x 为奇函数，充分性成立；当()f x 为奇函数时，由()()f x f x -=-得：e e e e x x x x a b a b --+=--，a b ∴=-，即0a b +=，必要性成立；∴“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C.10．已知函数()e 11e 2x xf x =-+．下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数 B ．函数()f x 在R 上是增函数 C ．函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．存在实数a ，使得关于x 的方程()0f x a -=有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据奇函数的性质、指数函数的性质，结合函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】解：对于A ，函数()e 11e 2x x f x =-+的定义域为R ， 00e 1(0)01e 2f =-=+，且()()e 111e 11e 11e 21e 21e 221e x x xx x x xf x f x ---=-=-=--=-=-++++， ∴函数()f x 是奇函数，A 选项正确；对于B ，函数()e 1111111e 21e 221e x x x xf x =-=--=-+++， 令12x x <，()()()()()()()1212121212121e 1e 1111e e 21e 21e 1e 1e 1e 1e x x x x x x x x x x f x f x ++--+==+-+=+-+-++，12x x <，12120e e e e x x x x ∴<⇒-<，而111e x +>，211e x +>，()()()()121212e e 01e 1e x x x x f x f x -∴++=<-，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数，B 选项正确； 对于C ，函数()1121ex f x =-+，11e x +>， 1011e x∴<<+，则1101e x -<-<+，1111221e 2x ∴-<-<+，即()1122f x -<<， 所以函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；对于D ，由B 可知函数()f x 在R 上是增函数，因此关于x 的方程()0f x a -=不可能有两个不相等的实数根，D 选项错误； 故选：D.二、填空题 11．函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是___________． 【答案】()()0,11,+∞【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为()1ln 1f x x x =+-， 所以010x x >⎧⎨-≠⎩，则0x >且1x ≠，故()1ln 1f x x x =+-的定义域是()()0,11,+∞.故答案为：()()0,11,+∞.12．函数()121x f x -=-的零点为___________．【答案】1【分析】直接解方程即可.【详解】()112210,21,1log 10, 1.x x f x x x --=-=∴=∴-==∴=故答案为：113．函数()()log 231a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点_________. 【答案】()2,1【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式，即可得出函数()y f x =的图象所过定点的坐标.【详解】令231x -=，得2x =，且()2log 111a f =+=. 因此，函数()y f x =的图象过定点()2,1.故答案为()2,1.【点睛】本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为1求出自变量的值，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知函数()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈．若函数()()y g f x =存在两个零点，则a 的取值范围是___________． 【答案】(),2-∞-【分析】先分类讨论0a ≥时，不符合题意；当a<0时，写成分段函数的形式，判断其单调性，利用零点存在定理得出有两个零点的条件即可求解.【详解】因为()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈， 所以()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，()()32xa g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当a<0时，()()()()3332,log 3232,log x xx a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪=+-=⎨---<-⎪⎩，则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，易知()()()3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，当()3log x a ≥-时，因为3x y =可取得无穷大值，故不管a 的取值如何，在()()3log ,a -+∞必存在一点1x ，使得()()10g f x >，所以()()g f x 在()()()()133log ,log ,a x a -⊆-+∞上必存在唯一零点， 因为函数()()y g f x =存在两个零点，所以当()3log x a <-时，()()g f x 在()()3,log a -∞-上也必须存在一个零点，即在()()3,log a -∞-必存在一点2x ，使得()()20g f x >，即2320x a --->， 所以223x a -->在()()3,log a -∞-上能成立，因为指数函数30x y =>恒成立，且当x →-∞时，30x y =→， 所以只需20a -->即可，得2a <-，即a 的取值范围为(),2-∞-. 故答案为：(),2-∞-.15．已知函数()()()1,121,1x a x f x a x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，其中0a >且1a ≠．给出下列四个结论：①若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为()0,1；③若2a >，则()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增；④若关于x 的方程()2f x a =-恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为()2,3，且123x x x ++的取值范围为(),2-∞．其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④【分析】令()0f x =可确定①正确；由函数无最小值可知当1x >时，()f x 单调递减，得②错误；分别判断两段函数的单调性，根据严格单调递增的要求知③错误；讨论可知2a >时存在有三个不等实根的情况，采用数形结合的方式可得a 的范围，分别求得123,,x x x ，进而得到123x x x ++的范围，知④正确.【详解】对于①，令10xa -=，解得：0x =；令()()210a x --=，解得：1x =（舍）；∴若2a ≠，则函数()f x 的零点是0x =，①正确；对于②，当1x ≤时，()1xf x a =-，此时()()min 00f x f ==；若()f x 无最小值，则需当1x >时，()f x 单调递减，即20a -<，解得：2a <， 又0a >且1a ≠，a ∴的取值范围为()()0,11,2，②错误；对于③，当2a >时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,1，()1,+∞上分别单调递增； 若需()f x 在()0,∞+上单调递增，则10a -≤，解得：1a =（舍）， f x 在()0,∞+上并非严格单调递增，③错误；对于④，当2a =时，()0f x =在1x >时有无数解，不满足题意；当01a <<或12a <<时，20a -<，则当1x ≤时，方程()2f x a =-无解；当1x >时，()2f x a =-有唯一解2x =；不满足方程有三个不等实根； 当2a >时，()f x 大致图象如下图所示，若()2f x a =-有三个不等实根，则021a <-<，解得：23a <<； 设123x x x <<，令()()212a x a --=-，解得：2x =，即32x =；令12xa a -=-，解得：()1log 3a x a =-，()2log 1a x a =-，()()()212log 31log 43a a x x a a a a ∴+=--=-+-；23a <<，()2430,1a a ∴-+-∈，()12,0x x ∴+∈-∞，()123,2x x x ∴++∈-∞，④正确. 故答案为：①④【点睛】思路点睛：本题考查分段函数零点、最值、单调性和方程根的分布的问题；求解方程根的分布的基本思路是能够将问题转化为曲线与平行于x 轴的直线交点个数问题，通过数形结合的方式，利用函数图象来进行分析和讨论，由此确定根的分布情况.三、解答题16．计算下列各式的值．(1)123024318(15)(9)27-⎛⎫++- ⎪⎝⎭(2)2log 355151log 352lg 10log log 14250+++ 【答案】(1)5 (2)7【分析】根据指数、对数的运算规律化简求解即可.【详解】（1）解：原式()113333131341335⎛⎫-⨯--⎪-⎝⎭+=+=++-=.（2）解：原式()()()112555log 572lg10log 252log 273-=⨯+-⨯-⨯+()55551log 712log 2log 2log 73=++-----+11237=+++=.17．已知对数函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）． (1)若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，求a 的值；(2)若对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【答案】(1)2a =(2)a =【分析】（1）已知对数函数()f x 的图像经过点()8,3，将此点代入函数即可求出a 的值；（2）对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，分类讨论1a >，01a <<时函数的单调性，并求出最大值与最小值，列出方程即可求出a 的值.【详解】（1）解：若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，则()8log 83a f ==， 38a ∴=，即2a =.（2）解：当1a >时，()log a f x x =在[],2a a 上是增函数，()()max 2log 2log 21a a f x f a a ∴===+，min ()()log 1a f x f a a ===，因为最大值比最小值大2，所以log 211log 22a a +-==，解得a = 当01a <<时，()log a f x x =在[],2a a 上是减函数，()()max 1f x f a ∴==，()()min 2log 21a f x f a ==+，则()1log 21log 22a a -+=-=，212a a ∴=⇒，综上a =2. 18．已知函数()()()12f x ax x =--．(1)若1a =-，求不等式()0f x >的解集；(2)已知0a >，求不等式()0f x >的解集．【答案】(1){}12x x -<<(2)答案见解析【分析】（1）当1a =-时，直接由一元二次不等式的解法可得出所求的答案；（2）分类讨论: 102a <<，12a =和12a >，分别根据一元二次不等式的解法即可得出相应的解集. 【详解】（1）解：当1a =-时，()(1)(2)f x x x =---，所以不等式()0f x >可化为：(1)(2)0x x --->，解得12x -<<，即不等式()0f x >的解集为：{}12x x -<<.（2）解：因为(1)(2)0ax x -->， 当12a >，即102a <<时，解得2x <或1x a >； 当12a =，即12a =时，解得2x ≠； 当12a <，即12a >时，解得1x a<或2x >； 综上所述，当102a <<时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，不等式()0f x >的解集为()(),22,-∞+∞； 当12a >时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 19．已知函数()332x xf x --=． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；(3)若120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)单调递增，证明见解析；(3)(]1,0-.【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；（3）根据奇偶性，单调性转化解不等式即可.【详解】（1）()332x xf x --=为奇函数，理由如下 易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称， 因为33()()2---==-x xf x f x ， 所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下因为()332x xf x --=，()0,x ∈+∞， 设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以()()()()121211221233333333222----------==-x x x x x x x x f x f x ()()121212121233133331333322⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==x x x x x x x x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.（3）由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，因为120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立， 所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，所以12ax x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，令()()10g a xa x =+->，(],2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]1,0-.20．有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减(1)求两年后，这种放射性元素的质量；(2)求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；(3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】(1)405g(2)5000.9t w =⨯(3)6.6年.【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.【详解】（1）经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，即两年后，这种放射性元素的质量为405g（2）由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，……所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.（3）由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg31t -===≈-年. 21．对于正整数集合A ，记{}{},A a x x A x a -=∈≠，记集合X 所有元素之和为()S X ，()0S ∅=．若x A ∃∈，存在非空集合1A 、2A ，满足：①12A A =∅；②{}12A A A x =-；③()()12S A S A =，则称A 存在“双拆”．若x A ∀∈，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．(1)判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；(2){}12345,,,,A a a a a a =，证明：A 不能“任意双拆”；(3)若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，利用反证法，通过讨论集合A 中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立；（3）分析可知集合A 中每个元素均为奇数，且集合A 中所有元素都为奇数，分析可知7n ≥，当7n =时，{}1,3,5,7,9,11,13A =，根据“任意分拆”的定义可判断集合A 可“任意分拆”，即可得出结论.【详解】（1）解：对于集合{}1,2,3,4，{}{}{}1,2,3,441,2,3-=，且123+=，所以，集合{}1,2,3,4可双拆，若在集合中去掉元素1，因为234+≠，243+≠，342+≠，故集合{}1,2,3,4不可“任意分拆”； 若集合{}1,3,5,7,9,11可以“双拆”，则在集合{}1,3,5,7,9,11去除任意一个元素形成新集合B ， 若存在集合1B 、2B 使得12B B =∅，12B B B =，()()12S B S B =，则()()()()1212S B S B S B S B =+=， 即集合B 中所有元素之和为偶数，事实上，集合B 中的元素为5个奇数，这5个奇数的和为奇数，不合乎题意，故集合{}1,3,5,7,9,11不可“双拆”.（2）证明：不妨设12345a a a a a <<<<.反证法：如果集合A 可以“任意双拆”，若去掉的元素为1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+，①，或5234a a a a =++，②，若去掉的元素为2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a +=+，③，或5134a a a a =++，④，由①-③可得12a a =，矛盾；由②-③可得12a a =-，矛盾；由①-④可得12a a =-，矛盾；由②-④可得12a a =，矛盾.因此，当5n =时，集合A 一定不能“任意双拆”.（3）解：设集合{}12,,,n A a a a =. 由题意可知()()1,2,,i S A a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数.如果()S A 为奇数，则()1,2,,i a i n =也均为奇数，由于()12n S A a a a =+++，则n 为奇数； 如果()S A 为偶数，则()1,2,,i a i n =也均为偶数. 此时设2i i a b =，则{}12,,,n b b b 也是可“任意分拆”的，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n 为奇数，综上所述，集合A 中的元素个数为奇数，当3n =时，显然集合{}123,,A a a a =不可“任意分拆”；当5n =时，由（2）可知，{}12345,,,,A a a a a a =不可“任意分拆”，故7n ≥.当7n =时，取集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，因为35791113+++=+，19135711++=++，1351171313711913+++=++++=+，， 19113513++=++，3791513++=++，1359711+++=+，则集合A 可“任意分拆”，所以，集合A 中元素个数n 的最小值为7.【点睛】方法点睛：处理集合有关的新定义问题时，关键在于审清题意，合理将所给定义转化为元素与集合、集合与集合之间的关系来处理，本题在证明（2）中的结论时，要充分利用题中定义，结合反证法推出矛盾，进而得出结论成立.。
北京市第十八中学2011-2012学年高二年级上学期12月月考试题 数学理
北京市第十八中学2011-2012学年第一学期高二年级月考考试第Ⅰ卷（选择题共40分）一、 选择题：（共8道小题，每小题5分，共40分，选对一项得5分，多选则该小题不得分。
）1．条件p ：动点M 到两定点距离之和等于定长；条件q ：动点M 的轨迹是椭圆，p 是q 的( B )A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．非充分非必要条件 2．设三条不同的直线a b c 、、，两个不同的平面αβ、，,b αα⊂⊄c 。
则下列命题不成立 的是（ B ）A ．若//,αβα⊥c ，则β⊥cB ．“若b β⊥，则αβ⊥”的逆命题C ．若a 是c 在α的射影，b a ⊥，则b ⊥c D ．“若//b c ，则//c α”的逆否命题3．正方体1111D C B A -ABCD 中，异面直线1BD 与CD 所成角的正弦值为 ( C )A ．33 B ．23 C ．36 D ．214．ABC ∆中，(2,0)A - 、(2,0)B C(-2,2)、，则 AB 边的中线对应方程为( D ) A ．x y = B ．0)x x (-2y ≤≤= C ．x y -= D ．0)x x (-2y ≤≤-= 5．已知P 为△ABC 所在平面α外一点，PA=PB=PC ，则P 点在平面α内的射影一定是△ABC的( B )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心6．椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．12或2 B ． 21 C ． 23 D ．21-57．圆O 所在平面为α，AB 为直径，C 是圆周上一点，且PA AB ⊥，平面⊥PAB 平面ABC ，3PA =，2AB =， 30ABC =∠，设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ、二面角A -BC -P 的大小为ϕ，则θ、ϕ分别为（ C ）A ．3060， B ．3030， C6060， D ．6030，8．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量，n 维向量可用（x 1，x 2，x 3，x 4，…,x n ）表示.设=(a 1, a 2, a 3, a 4，…, a n )，=（b 1, b 2, b 3, b 4,…,b n ），规定向量a 与b 夹角θ的余弦为 ()()22221222212211cos nnnn b b ba a ab a b a b a +++++++++=θ。
2022-2023学年吉林省四平市第一高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ） A ．60种 B ．80种 C ．100种 D ．120种【答案】D【分析】利用排列的定义直接列式求解.【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共36654120A （种）．故选:D ．2．下列问题是排列问题的是（ ）A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{}123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【详解】A 中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B 中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C 中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D 中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D3．计算：7733A =A （ ） A ．44AB ．47AC ．47CD ．37A【答案】B【分析】根据排列数公式计算即可【详解】747733A 7!7!===A A 3!(7-4)!故选 ：B4．78915⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯可表示为（ ）A ．915AB ．815AC ．915CD ．815C【答案】A【分析】由排列数公式判断即可【详解】因为是78915⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯连续9个数和相乘， 所以91578915A ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=， 故选：A5．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ） A ．120种 B ．150种 C ．210种 D ．216种【答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案. 【详解】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有366210-=种. 故选：C6．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】B【分析】首先将2张一份的电影票编号连续，列出所有可能的分法，再将三份电影票分给三个人，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：将4张电影票分成三份，其中2张一份的电影票编号连续，则有12，3，4；1，23，4；1，2，34三种分法，然后将三份电影票分给三个人，有33A 6=种分法，所以不同的分法种数为1863=⨯．故选：B ．7．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（ ）个. A ．60 B ．35 C ．20 D ．53【答案】C【分析】根据的“伞数”定义，十位数只能是3，4，5，然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和， 【详解】由题意得：十位数只能是3，4，5，当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有22A 2=个；当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有23A 6=个；当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有24A 12=个；所以“伞数”共有20个， 故选：C.8．不等式288A 6A x x -<⨯的解集为（ ）A ．[]28,B ．()7,12C ．{712,}xx x N <<∈∣ D ．{}8 【答案】D【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.【详解】因为288A 6A x x -<⨯，所以88!6(8)!(10)!x x <⨯--！，所以(10)(9)6x x --<，所以(7)(12)0x x --<，又28x ≤≤，x ∈N ， 所以8x =，所以不等式288A 6A x x -<⨯的解集为{}8，故选：D.9．若3265A !A m =，则m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可【详解】由3265A !A m =，则!6m =，故3m =．故选：D10．将4名新老师安排到,,A B C 三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（ ） A ．54 B ．36 C ．24 D ．18【答案】B【分析】分类讨论,,A B C 分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到,,A B C 三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，【详解】将4名新教师安排到,,A B C 三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：1,1,2，A 学校有两名新老师：2142C C 12=；B 学校有两名新老师：2142C C 12=；C 学校有两名新老师：2142C C 12=所以共有2142363C C =种情况，故选：B.11．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于的六位数的个数为（ ） A ．478 B ．479 C ．480 D ．481【答案】B【分析】可从反面入手，考虑比小，即首位是1的情况【详解】用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为555A 600=． 以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为55A 120=，由于是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个， 所以没有重复数字且大于的六位数的个数为6001201479--=． 故选：B12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A ．48种 B ．36种C ．24种D ．20种【答案】B【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”， 根据分步计数原理即可求解.【详解】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有33A 种排法，再将“射”和“御”交换位置有22A 种排法，最后安排“数”有13A 种排法，所以根据分步计数原理共有321323A A A 36=种排法，故选：B.13．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．300D ．420【答案】D【分析】将五个区域表示为①②③④⑤，先考虑区域①②③，再分情况考虑区域④⑤，由分步乘法计数原理求解即可.【详解】如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有35A 60=种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有3227+⨯=种情况；则一共有607420⨯=种情况 故选：D ．14．给如图所示的5块区域A ，B ，C ，D ，E 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）A ．120种B ．720种C ．840种D ．960种【答案】D【分析】依次给区域,,,,A B D C E 涂色，求出每一步的种数，由乘法分步原理即得解.【详解】解：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，C 有4种颜色可选，E 有4种颜色可选，故共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法． 故选：D ．二、多选题15．已知23301A A 2!4m+=-，则m 的可能取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】CD【分析】将题设中的方程化为3A 6m=，从而可求m 的可能取值.【详解】因为23301A A 2!4m+=-，所以31A 6142m -⨯+=，所以3A 6m =，其中,3N m m ∈≤，而 01233333A 1,A 3,A 6A ====，所以m 的值可能是2或3． 故选：CD ．16．下列等式正确的是（ ） A ．()111A Am m nn n +++=B ．()1!A 1!m n n n m -=--C ．()()!21n n n n =--！D ．11A A m mnn n m+=- 【答案】ACD【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．【详解】对于A ，(1)A mn n +=()()()()111!!(1)A !11!m n n n n n m n m ++++⋅==-⎡⎤+-+⎣⎦，选项A 正确；对于B ，()()1!!A 1!1!m n n n n m n m -==-+⎡⎤--⎣⎦，所以选项B 错误； 对于C ，()()()()()12!!2!11n n n n n n n n n -⋅-==---，选项C 正确；对于D ，111A m nn m n m +=--•()()!!A !1!m n n n n m n m ==-⎡⎤-+⎣⎦，选项D 正确． 故选：ACD ．17．（多选）某校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X ）、体艺特长（T ）、实践创新（S ）、生涯规划（C ）、国际视野（I ）、公民素养（G ）、大学先修（D ）、PBL 项目课程（P ），假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ）A ．某学生从中选两类，共有28A 种选法B ．课程“X ”“T ”排在不相邻两天，共有6267A A 种排法C ．课程中“S ”“C ”“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，共有720种排法D ．课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，共有()71167666A A A A +种排法【答案】BD【分析】A 选项，属于组合问题，故为28C 种；B 选项，采用插空法求解；C 选项，采用捆绑法求解；D 选项，使用分类加法计数原理进行所求解.【详解】对于A ，某学生从中选两类，如选“X ”“T ”与选“T ”“X ”是一种选法，没有顺序之分，所以28A 种选法计算重复，故A 错误；对于B ，课程“X ”“T ”排在不相邻两天，先将剩余六类课程全排列，产生7个空隙，再将课程“X ”“T ”插空，共有6267A A 种排法，故B 正确；对于C ，课程“S ”，“C ”，“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，采用捆绑法，共有6262A A 1440=种排法，故C 错误；对于D ，课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，则分两类情况：①课程“G ”排在第一天，②课程“G ”排在除第一天和最后一天之外的某一天，则共有()71167666A A A A +种排法，故D 正确．故选：BD ．三、填空题18．方程421A 18A x x +=，的解为x =_______．【答案】5【分析】由排列数公式直接得到关于x 的方程，解出x 的值，再代入检验得到答案. 【详解】因为421A 18A x x +=，则14,2x x +≥≥且*x ∈N ，则3x ≥且*x ∈N所以()()()()112181x x x x x x +--=-，即()()1218x x +-=，解得5x =或4x =-（舍去）． 故答案为： 519．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【答案】720【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】原来7个节目，形成8个空位，安排一位老校友；8个节目，形成9个空位，安排一位老校友； 9个节目，形成10个空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有8910720⨯⨯=种. 故答案为：72020．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）【答案】72【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可.【详解】按照使用颜色的种类分类，第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有1424C A 48=(种)，第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有34A 24=(种)所以共有48+24=72(种) 故答案为：7221．冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排方式有__________种． 【答案】9【分析】先考虑曲春雨，再结合倍缩法解决定序问题考虑剩下的3位选手，最后由分步计数原理求解即可.【详解】先考虑曲春雨，有3种采访安排，再考虑剩下的3位选手，武大靖在任子威后，有3322A 3A =种，按照分步计数原理共有339⨯=种. 故答案为：9.22．正整数484有个不同的正约数___________. 【答案】9【分析】先将484分解质因数，484的约数由质因数的乘积组成，使用分步乘法计数原理，可求出484正约数的个数.【详解】22484221111211=⨯⨯⨯=⨯设d 为484的正约数，则211i j d =⨯，（i =0，1，2，j =0，1，2） 例如：0i =，0j =时，00211=11=1d =⨯⨯是484的约数，1i =，2j =时，12211=2121=242d =⨯⨯是484的约数，2i =，2j =时，22211=4121=484d =⨯⨯是484的约数，因此，484的正约数个数，即d 的不同取值个数，第一步确定i 的值，有3种可能，第二步确定j 的值，有3种可能，因此d 的取值共有339⨯=种. 故答案为：9.23．用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成______个没有重复数字的三位数. 【答案】180【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解.【详解】选0时，0不能在首位，故有1226C A 60=个，不选0时，有36A 120=个，根据分类加法原理，共有60120180+=个， 故答案为:180.24．将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答） 【答案】16【分析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，由此即可求出结果.【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示:然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有2816⨯=种. 故答案为：16.四、解答题25．3张卡片正、反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，则可以得到多少个不同的三位数？【答案】333A 248⨯=故可以得到48个不同的三位数【分析】通过分步乘法计数原理即可得到结果 【详解】“组成三位数”这件事，分两步完成：第一步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列，即33A ；第二步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种选法，即32．根据分步乘法计数原理，可以得到333A 248⨯=个不同的三位数．26．现有8个人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】(1)5040(2)4320(3)21600(4)20160(5)14400(6)2880【分析】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况，则甲必须站在排头有77A 5040=种排法； （2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 4320=种； （3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 21600=种排法；（4）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有881A 201602=种不同的排法； （5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况， 将剩下的6人全排列，有66A 种情况，甲、乙不能排在前3位，有2656A A 14400=种不同排法；（6）根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 2880=种不同排法．。
2022-2023学年江苏省连云港外国语学校高一年级上册学期12月第二次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省连云港外国语学校高一上学期12月第二次月考数学试题一、单选题1．集合，，则（ ）{}11M x x =-<<{}02N x x =≤<M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<<{}01x x ≤<{}01x x <<{}10x x -<<【答案】B【分析】根据集合交集的定义进行运算即可.【详解】在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，,M N 由图象可知， .{}|01M N x x =≤< 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x 1≤C ．对任意实数x, 都有x 1D ．存在实数x ，使x 1≤≤【答案】C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．已知角的终边经过点，且，则m 等于（ ）θ()4,P m 4cos 5θ=A ．－3B ．3C ．D ．1633±【答案】D【分析】由三角函数的定义求解即可【详解】因为角的终边经过点，且，θ()4,P m 4cos 5θ=，45=解得，3m =±故选：D4．已知，若，则的大小关系为（ ）01x <<22log ,2,x a x b c x ===,,a b c A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<b D ．c b a <<【答案】B【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出的范围，即可判断的大小关,,a b c ,,a b c 系.【详解】当时，，01x <<22log 0,2,101x x x ><<<故，a c b <<故选：B.5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，1CD =2AB =则图中的长度为（ ）ACBA ．BC ．D 2ππ【答案】B【分析】设圆的半径为，根据勾股定理可求得的值，求出，利用扇形的弧长公式可求得r r AOB ∠结果.【详解】设圆的半径为，则，，r )1OD r CD r =-=-112AD AB ==由勾股定理可得，即，解得222OD AD OA +=)2211r r ⎡⎤-+=⎣⎦r =所以，，所以，，故，OA OB ==2AB =222OA OB AB +=2AOB π∠=因此，.2ACB π==故选：B.6．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图像可能是（ ）1xy a =1log ()2a y x =+0a >1a ≠A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】分类讨论与，然后每种情况利用指数函数和对数函数求解即可.01a <<1a >【详解】当时，则，由指数函数的性质可知单调递增，由对数函数的性质可知01a <<11a >1xy a =单调递减，且当时，，A,B,C,D 中，选项D 满足；1log (2a y x =+1x =13log (1)log 022a a y =+=<当时，则，由指数函数的性质可知单调递减，由对数函数的性质可知1a >101a <<1x y a =单调递増，且当时，，在选项A,B,C,D ，均不满足.1log (2a y x =+1x =13log (1)log 022a a y =+=>故选：D7．若θA ．B ．C ．D ．2tan θ2tan θ2tan θ-2tan θ-【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系化简可求出.【详解】为第二象限角，，θsin 0θ∴>==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=-.1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-故选：D.8．若函数是定义在上的奇函数，且对任意()()2,2x x bf x a b a +=∈+R R ()()()210f mx f mx f +->成立，则m 的取值范围为（ ）x ∈RA ．B ．C ．D ．[)0,4()0,4(-()2-【答案】A【分析】利用奇函数的定义求出的值，并证明函数在上单调递增，即可解抽象不等式,a b R ，转化为一元二次不等式的恒成立问题求解.()()()210f mx f mx f +->【详解】因为函数是定义在上的奇函数，()()2,2x x bf x a b a +=∈+R R 所以解得，所以，()002002b f a +==+1b =-()212x xf x a -=+又因为，()()0f x f x -+=所以即对任意恒成立， 21210,22x x x x a a ----+=++(21)(1)0(21)(2)x x x a a a --=⋅++x ∈R 所以，1a =所以，()21212121x x xf x -==-++接下来证明在上单调递增，()f x R 任意1212,,,x x x x ∈<R 则，12121221222(22)()()(1)(1)2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=---=++++因为所以，所以，12,x x <2122x x >21()()f x f x >所以在上单调递增，()f x R 由得，，()()()210f mx f mx f +->()()210f mx f mx +->即，即，()()21f mx f mx >--()()21f mx f mx >-因为在上单调递增，所以，()f x R 21mx mx >-即对任意恒成立，210mx mx -+>x ∈R 若则恒成立；0,m =10>若则，解得，0,m ≠20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩04m <<综上04m ≤<所以m 的取值范围为.[)0,4故选:A.二、多选题9．若，则下列不等式中正确的是（ ）0a b <<A ．B ．22a b>11a b >C ．D ．122a b<<a b ab+<【答案】ABD【分析】根据不等式的性质结合指数函数的单调性比较大小即可求解.【详解】对于A ，因为，所以，0a b <<0a b ->->所以，即，故A 正确；()()22a b ->->22a b >对于B ，，因为，所以，11b a a b ab --=0a b <<0ab >且，所以，即，故B 正确；0b a ->0b a ab ->11a b >对于C ，根据指数函数在上单调递增，且可知，2xy =R 0a b <<，即，故C 错误；0222a b <<221a b <<对于D ，因为，所以 ，故D 正确.0a b <<0a b ab +<<故选:ABD.10．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）()f x R (),0∞-A ．在上单调递减()f x ()0,∞+B ．最多一个零点()f x C ．()()0.52log 3log 5f f >D ．若实数a 满足，则()(2af f >12a <【答案】ACD【分析】A.由偶函数在对称区间上的单调性判断；B.举例判断；C.由偶函数得到 ，再利用单调性判断；D. 由偶函数得到，再利用单调性求)()(0.52log 3log 3f f=(f f=解判断；【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，)(f x R )(,0∞-所以在上单调递减，故A 正确；)(f x )(0,∞+如，令，得或，函数有2个零点，故B 错误；)(12log f x x=)(12log 0f x x ==1x ==1x -由偶函数得到 ，)()(0.52log 3log 3f f =因为，所以，故C 正确；22log 3log 5<)()(22log 3log 5f f >若实数a满足，即，则，解得，故D 正确；)((2a f f >)(2af f >1222a<=12a <故选：ACD11．下列说法不正确的是（ ）A ．若，，则的最大值为,0x y >2x y +=22x y+4B ．若，则函数的最大值为12x <1221y x x =+-1-C ．若，，，则的最小值为0x >0y >3x y xy ++=xy1D ．函数的最小值为y =4【答案】AC【分析】利用基本不等式及其变形处理.【详解】对于选项A ，，，，则，当且仅当，即0x >0y >2x y +=224x y +≥=22x y =时取等号，即的最小值为，即A 错误；x y =22x y +4对于选项B ，当，则函数12x <，当且仅当即时1221y x x =+-11211112x x ⎛⎫=--++≤-=- ⎪-⎝⎭11212x x -=-0x =取等号，即B 正确；对于选项C ，若，，，则，即，即，则的0x >0y >3x y xy ++=3xy +≤01<≤1xy ≤xy 最大值为，即C 错误；1对于选项D ，函数，当且仅当4y ==+≥=D 正确，=x =故选：AC.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查和的最值及乘积的最值，难度一般,解答时，注意“一正二定三相等”.12．已知函数，下列结论正确的是（ ）()()3log 1,11,13xx x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩A ．若，则()1f a =4a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若，则或()3f a ≥1a ≤-28a ≥D ．若方程有两个不同的实数根，则()f x k=13k ≥【答案】BCD【分析】对A ，分段讨论求解即可；对B ，根据解析式先求出，再求出；20232022f ⎛⎫ ⎪⎝⎭20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对C ，分段讨论解不等式可判断；对D ，画出函数图象，观察图象可得.【详解】对A ，若，则，解得；1a >()()3log 11f a a =-=4a =若，则，解得，故A 错误；1a ≤()113af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭0a =对B ，，33202320231log 1log 202220222022f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，故B 正确；331log 2022log 20223202311log 32022202220223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对C ，若，则，解得；1a >()()3log 13f a a =-≥28a ≥若，则，解得，故C 正确；1a ≤()133af a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1a ≤-对D ，画出的函数图象，()f x方程有两个不同的实数根等价于与有两个不同的交点，()f x k=()y f x =y k =，则观察图象可得，故D 正确.()113f =13k ≥故选：BCD三、填空题13．已知角的终边经过点，且，则实数的值是______．θ()8,3P m --4cos 5θ=-m 【答案】##0.512【分析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】根据三角函数的定义可知，4cos 5θ==-解得或，12m =-12m =又因为，所以即，所以.4cos 05θ=-<80m -<0m >12m =故答案为：.1214．已知，则__________________ ．tan 2α=sin cos sin cos αααα-=+【答案】13【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切，再将代入即可求解.tan 2α=【详解】，sin cos tan 1211sin cos tan 1213αααααα---===+++故答案为：.1315．函数_____________________．y =【答案】()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎣⎦【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．2sin 10x -≥1sin 2x ≥【详解】解：依题意可得，2sin 10x -≥可得，解得，，1sin 2x ≥52266k x k ππππ+≤≤+Z k ∈所以函数的定义域为.()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为：．()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦16．已知函数满足，当时，，若不等式的解()f x ()()2f x f x =-1x ≥()22f x x =-()22f x a ->-集是集合的子集，则a 的取值范围是______．{}13x x <<【答案】24a ≤≤【分析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，()f x ()22f x a ->-再利用子集的要求即可求得a 的取值范围.【详解】由可知，关于对称，()()2f x f x =-()f x 1x =又，当时，单调递减，()22f =-1x ≥()22f x x =-故不等式等价于，即，()22f x a ->-211x a --<122a ax <<+因为不等式解集是集合的子集，{}13x x <<所以，解得．12132aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩24a ≤≤故答案为：24a ≤≤四、解答题17．已知集合，．{}212200,RM x x x x =-+<∈{}1,R N x x m x =-<∈(1)当时，求；2m =M N ⋂(2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的m 存在，求出m 的取值范围；若问题中的m 不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数m ，使得“”是“”的______？x M ∈x ∈N 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1){}23M N x x ⋂=<<(2)答案见解析【分析】（1）先解不等式求出集合，再求出两集合的交集即可，,M N （2）若选择①，则，从而可求出的范围；若选择②，则或，，从而12110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩m 0m ≤012110m m m >⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩可得结果【详解】（1）由，得，解得，212200x x -+<()()2100x x --<210x <<所以，{}{}212200,R 210M x x x x x x =-+<∈=<<当时，，2m ={}12N x x =-<由，得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<所以，{}13N x x =-<<所以．{}23M N x x ⋂=<<（2）当时，，0m ≤N =∅当时，，0m >{}11N x m x m =-<<+选择①充分条件，则有，M N ⊆则，解得，012110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩9m ≥所以存在正实数，使得“是“”的充分条件，且的取值范围为．m ”x M ∈x ∈N m [)9,+∞选择②必要条件，则有，N M ⊆则或，解得，0m ≤012110m m m >⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩0m ≤所以不存在正实数，使得“”是“”的必要条件．m x M ∈x ∈N 18．（1）计算：．230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭（2）计算：．22π5πππcossin sin 3tan 3426⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭（3）已知α【答案】（1）；（2）0；（3）.14cos sin αα-【分析】（1）利用分数指数幂和对数的运算化简计算；（2）利用诱导公式化简计算即可；（3）利用同角三角函数的关系化简即可.【详解】（1）230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭()233222lg 4lg 92lg 253lg 3lg 4---⎡⎤⎛⎫=-+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222lg 32lg103lg 3--⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭92224=--+；14=（2）22π5πππcossin sin 3tan 3426⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭()221πsin π1324⎛⎫=-+⋅--⨯ ⎪⎝⎭；11130223=+-⨯=（3====，sin cos αα=-因为是第四象限角，α所以，sin cos 0αα-<所以原式.cos sin αα=-19．已知函数，其中()1422x x f x a +=-⋅+[]0,3.x ∈(1)若的最小值为，求的值；()f x 1a (2)若存在，使成立，求的取值范围．[]0,3x ∈()33f x ≥a 【答案】(1)5a =(2)1a ≥【分析】（1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值；()()2224x f x a =-+-()min 1f x =a （2）令，，由可得出，求出函数在区间[]21,8x t =∈()2433g t t t =-++()0f x ≥()a g t ≥()g t 上的最小值，即可得出实数的取值范围.[]1,8a 【详解】（1）解：因为，，[]0,3x ∈()()()22242224x x x f x a a =-⋅+=-+-当时，即当时，函数取得最小值，即，解得.22x =1x =()f x ()()min 141f x f a ==-=5a =（2）解：令，则，由可得，[]21,8x t =∈()24f x t t a =-+()33f x ≥2433a t t ≥-++令，函数在上单调递增，在上单调递减，()2433g t t t =-++()g t [)1,2(]2,8因为，，所以，，.()136g =()81g =()()min 81g t g ==1a ∴≥20．已知函数．()()22log 3f x x ax a =-++(1)若的定义域为R ，求a 的取值范围；()f x (2)若对恒成立，求a 的取值范围．()1f x ≥[]2,3x ∈【答案】(1)()2,6-(2)(,2⎤-∞⎦【分析】（1）转化为，可得答案；Δ0<（2）转化为时，利用基本不等式对求最值可得答案．[]2,3x ∈211x a x +≤-2121211+=-++--x x x x 【详解】（1）由题意得恒成立，230x ax a -++>得，()2430a a ∆=-+<解得，故a 的取值范围为．26a -<<()2,6-（2）由，得，()()22log 31f x x ax a =-++≥210x ax a -++≥即，因为，所以，()211x a x +≥-[]2,3x ∈211x a x +≤-因为，所以10x ->，()()2112121222111x x x x x x x -+++==-++≥=---当且仅当，即时，等号成立．211x x-=-1x =故，a 的取值范围为．2a ≤(,2⎤-∞⎦21．中国“一带一路”倡议构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为万元,每生产台,需另投入成本(万元),当年产500x ()C x 量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元),80()21402C x x x =+80()81001012180C x x x =+-若每台设备售价为万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.100（1）求年利润 (万元)关于年产量（台）的函数关系式；y x （2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）902160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：（1）年利润，再根据产量分段求解析式：100()500y x C x =--2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）求分段函数最值，先分段求，再比较大小得最值，当时,根据二次函数对称轴与定义080x <<区间位置关系求得：当时,取得最大值；当时,利用基本不等式求最值：当60x =y 130080x ≥时,最大值为，比较大小得当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最90x =y 150090大值为万元.1500试题解析：（1）当时,;080x <<2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时,,80x ≥.2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<∴=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）当时,, 此时, 当时,取得最大值, 最大值为080x <<()216013002y x =--+60x =y 1300(万元); 当时,, 当且仅当,即时,80x ≥8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭8100x x =90x =最大值为(万元), 所以, 当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为y 150090万元.1500【解析】分段函数求最值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 分段函数最值可以先求各区间段上最值，再综合比较得函数最值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.22．已知函数（a 为常数，且，a ∈R ）.82()4x xx a f x a ⋅+=⋅0a ≠(1)求证：函数在上是增函数；1()h x x x =+[1,)+∞(2)当时，若对任意的，都有成立，求实数m 的取值范围；1a =-[1,2]x ∈(2)()f x mf x ≥(3)当为偶函数时，若关于x 的方程有实数解，求实数m 的取值范围.()f x (2)()f x mf x =【答案】(1)证明见解析(2)(5,]2-∞(3)1m ≥【分析】（1）利用单调性的定义进行作差进行证明；（2）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，()f x 再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；m （3）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方a 122x x t =+程在给定区间有解进行求解.【详解】（1）证明：任取，，且，1x 2[1,)x ∈+∞12x x <则，()()()()121212121212111x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，，121x x ≤<120x x -<120x x >1210x x ->所以，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <所以在上是增函数.1()h x x x =+[1,)+∞（2）解：当时，在上单调递增，1a =-1()22x x f x =-[1,2]所以当时，[]1,2x ∈，()13152,224x x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦所以对任意的，都有成立，[]1,2x ∈()()2f x mf x ≥转化为恒成立，22112222x x x x m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭即对恒成立，122x x m ≤+[]1,2x ∈令，则恒成立，[]22,4x t =∈1m t t ≤+所以，min ()m h t ≤由（1）知在上单调递增，()1h t t t =+[]2,4所以，()min 5()22h t h ==所以的取值范围是.m (5,]2-∞（3）解：当为偶函数时，()f x 对∀x ∈R ，都有，()()0f x f x --=即恒成立，1122022x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭即恒成立，112102x x a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，解得，110a -=1a =所以，()122x x f x =+所以方程，()()2f x mf x =即有实数解()221122*22x x x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令（当时取“”），1222x x t =+≥=0x ==则222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭所以方程，()2*2t mt ⇔-=即在上有实数解，2m t t =-[)2,t ∈+∞而在上单调递增，2m t t =-[)2,t ∈+∞所以.1m ≥。
人教版小学二年级数学上册12月月考试卷 无答案
汤口中心学校12月月考检测二年级数学试卷（试卷满分100分，检测时间60分钟）一、填一填（第10题每空0.5分，其余没空1分，共24分。
） 1. 填上合适的单位名称。
一本数学书的宽度是18（ ）。
操场跑道一圈是400（ ） 一节数学课的时间是40（ ）。
从黄山坐高铁到北京需要5（ ） 2. 2和5相乘是（ ），2个5相乘是（ ）。
3. 一个三角尺中有( )个角，其中有（ ）个直角。
4. （ ）比54多18， 75比（ ）少16。
5. 最大的两位数加上（ ）是最小的三位数，最小的两位数比34少（ ）。
6. 8只青蛙8张嘴，（ ）只眼睛，（ ）条腿。
7. ， 从（ ）面观察到的是 ，从（ ）面观察到的是 。
8.找规律填空。
19 21 23 25 （ ） （ ） （ ）9.天润发超市开展“3周年店庆活动”，满50元减10元，君君买了一辆26元的玩具小汽车，还买了一盒24元的积木，君君需要付（ ）元。
10.( )里最大能填几？（ ）×6<25 42>6×( ) 8×( )<36 ( ) ×4<3439>( ) ×5 ( )×7<30 40>8×( ) ( )+5<20二、请你选一选。
（每题2分，共10分。
） 1. 算式3+3+3+3+2不可以改写成算式（ ）。
A. 34+2 B. 3 5 C. 35-1 2.一块橡皮5角钱，7块橡皮（ ）钱。
A ．3元B ．35元C ．3元5角 3.小学生的书包高（ ）。
A.5米B.50厘米.C.5厘米4.爸爸今年31岁，去年爷爷比爸爸大26岁，爷爷今年 ( )。
A ．56岁 B ．57岁 C ．58岁5.如图右图正方体有（ ）个直角。
A.4 B.8 C.24 三、辨一辨（对的打√，错的打×，共12分 ）1． ，这支铅笔的长度是10厘米。
2021-2022学年河南省灵宝市高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年河南省灵宝市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X ,则表示“放入袋中5回小球”的事件为( )A ．X=4B ．X=5C ．X=6D ．X ≤4【答案】C【分析】“放入袋中回小球”也即是第次抽取到了红球，由此求得的值.56X 【详解】根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋中回小5球”也即是前次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故，所以选C.56X =【点睛】本小题主要考查对离散型随机变量的理解，考查抽样方法的理解，属于基础题.2．若，则整数（ ）33235n n C A =n =A ．B ．C ．D ．891011【答案】A【分析】由排列数和组合数公式计算即可得到结果.【详解】，，33235nnC A = ()()()()221223512321n n n n n n --∴⨯=⨯--⨯⨯整理可得：，解得：或或，()()3298180n n n n n n -+=--=0n =1n =8n =，.3n ≥ 8n ∴=故选：A.3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有．A ．280种B ．240种C ．180种D ．96种【答案】B【详解】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有种，46360A =3560A =乙从事翻译工作的有种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，3560A =则选派方案共有360-60-60=240种．故选：B.4．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）A ．20B ．55C ．30D ．25【答案】D【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．【详解】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，3735C =若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，3510C =则有种不同的选取方案，351025-=故选：D ．5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种【答案】C【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案．【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，44464⨯⨯=其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；33327⨯⨯=则符合条件的有种，642737-=故选C ．【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时34448⨯⨯=特别要注意．6．已知的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）()62211x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A【分析】令，可求出，再写出的通项，再考虑展开式中的每一项与中的1x =2a =6211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x a +哪项之积为常数即可.【详解】令，则，所以．1x =()612192a +⨯=2a =在中，的展开式的通项，()622121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6211x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭216621rr r rr T C C x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以的展开式中的常数项为．()622121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2120106666228x C x C C C -+⨯=+=故选：A【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．7．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】D【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：．213042423366C C C C 4(2)(2)(3)C C 5P X P X P X ≥==+==+=故选：D ．8．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】直接利用枚举法写出所有的等比数列即可得到答案.【详解】（2）以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2（2＋1＋1）＝8个.故选：D.【点睛】本题考查了等比关系的确定，考查了学生观察问题的能力，是中档题.9．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同，那么甲以4比2获胜的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．5641564532516【答案】C【分析】先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比2获胜，即前5局甲胜3局，最后一局甲胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．【详解】解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．12记“甲以4比2获胜”为事件，A 则．()335351115(()22232P A C -=⨯=故选：．C 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，相互独立事件的概率公式的应用，属于基础题.10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）A ．恰有1名女生与恰有2名女生B ．至多有1名女生与全是男生C ．至多有1名男生与全是男生D ．至少有1名女生与至多有1名男生【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．【详解】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女．恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A 正确；至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B 错误；至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C 错误；至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D 错误．故选：A ．11．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X ，若X 的数学期望(0,1)p ∈，则P 的取值范围是（ ）() 1.75E X >A ．B ．C ．D ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值.() 1.75E X >p 【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即，发球次数为2即二次发球成(1)p X p ==功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望(2)(1)P X p p ==-2(3)(1)P X p ==-，依题意有，22()2(1)3(1)33E X p p p p p p =+-+-=-+() 1.75E X >即，解得或，结合p 的实际意义，可得.233 1.75p p -+>52p >2p 1<102p <<故选：C ．12．下列说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍；a a ②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位；35y x =-x y ③线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；r ④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，则ξ()()21,0N σσ>ξ()0,1位于区域内的概率为0.6；ξ()1,+∞⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就2χ,X Y 2χX Y 越大其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用统计的相关知识逐一分析判断即可.【详解】逐一判断所给的说法：①将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，标准差也变为原来的倍，原说法错误；a a②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，原说法正确；35y x =-x y ③线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，原说法错r 误；④在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域的概率为0.4，而ξ()()21,0N σσ>ξ()0,1位于区域内的概率为0.5，原说法错误；ξ()1,+∞⑤利用统计量来判断“两个事件的关系”时，算出的值越大，判断“与有关”的把握就2χ,X Y 2χX Y 越大，原说法正确.故选：B.二、填空题13．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活X 动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50n 小时的人数大约为________．【答案】0.35n【分析】利用正态分布的对称性求解即可【详解】解：由题意，，则，40μ=()240,X N σ 由，可得，()30500.3P X ≤≤=()10.3500.352P X ->==故累计时长超过50小时的人数大约有人．0.35n 故答案为：．0.35n 14．的展开式中，含项的系数为______．（用数字作答）()()532x y x y -+24x y 【答案】110-【分析】的展开式的通项公式为,采取赋值法令和令，进()52x y +()5152rr rr T C x y -+=51r -=52r -=一步求出答案.【详解】的展开式的通项公式为，令得，令得，()52x y +()5152rr rr T C x y -+=51r -=4r =52r -=3r =∴的展开式中，的系数为,故答案为.()()522x y x y -+24x y 42255232110C C ⋅-⋅=-110-故答案为：.110-【点睛】本题考查二项展开式的通项公式，赋值法是解决二项展开式的系数和问题的工具，属于基础题型.15．若的方差为2．则的方差为____________．128,,,k k k ()()()12823,23,,23k k k --- 【答案】8【分析】根据给定条件，利用方差的定义直接计算作答．【详解】设的平均数为，则，128,,,k k k k ()()()222128128k k k k k k ⎡⎤-+-++-=⎢⎥⎣⎦ 而的平均数为，()()()12823,23,,23k k k --- 2(3)k -则其方差为．()()()222212814444288s k k k k k k ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎢⎥⎣⎦ 故答案为：8．16．某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为X 2~(,)X N μσ()22()2x x f x σ--=，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3(,)x ∈-∞+∞X (86,94]为有效数字）本题用到参考数据如下：，()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤【答案】0.0215【分析】利用图象求出，利用参考数据计算，再利用对称性即μσ，(5486)P X <<，(4694)P X <<可得出答案.【详解】由图像可知，所以，8,70σμ==(70167016)0.9544P X -<<+=即；又，(5486)0.9544P X <<=(70247024)0.9974P X -<<+=即，(4694)0.9974P X <<=故结合图形可知，1(8694)(0.99740.9544)0.02152P X <<=-=故答案为：．0.0215三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），在以原点为极点，3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩αx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为.sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点，l 和C 交于A ，B 两点，求.(0,2)P ||||PA PB +【答案】(1) .. (2)2219x y +=4π||||PA PB +=【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.(0,2)P 【详解】（1）消去参数α得，3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩2219x y +=即C 的普通方程为.2219x y +=由，得，（*）sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2ρθρθ-=将，代入（*），化简得，cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩+2y x =所以直线l 的倾斜角为.4π（2）由（1），知点在直线l 上，可设直线l 的参数方程为（t 为参数），(0,2)P cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即（t 为参数），2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入并化简，得，2219x y +=25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>设A ，B 两点对应的参数分别为，，1t 2t 则，，120t t +=<122705t t =>所以，，所以10t<20t<()1212 ||||PA PBt t t t+=+=-+=【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算. 18．在二项式的展开式中，n（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．64（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．【答案】（1）;（2） .52-1256【详解】试题分析：（1）由所有二项式系数之和为，，根据中间项的64264n=6n∴=二项式系数最大可得结果；（2）由前三项系数的绝对值成等差数列可得n=8,，令计算的大小，即可得答案.1x=n试题解析：（1）由已知得，，0164nn n nC C C+++=264n=6n∴=展开式中二项式系数最大的项是6331130334611520282T C x x x--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅-⋅=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）展开式的通项为，23112r n rrr nT C x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0,1,,r n=由已知：成等差数列，∴n=8,02012111,,222n n nC C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12112124nnC C⨯=+在中令x=1，得各项系数和为n125619．设.求：8878710(31)x a x a x a x a-=++++(1) ；871a a a+++(2) .86420a a a a a++++【答案】（1）255；（2）32896【详解】试题分析：（1）令，求得，再令，即可求解的值；x=01a=1x=871a a a+++（2）由（1），再令，即可求解的值.=1x-86420a a a a a++++试题解析：令，得.x=01a=(1)令得，①1x =()8871031a a a a -=++++ ∴.88721022561255a a a a a ++++=-=-= (2)令得.②1x =-()88761031a a a a a --=-+--+①＋②得，()8886420242a a a a a +=++++∴.()8886420124328962a a a a a ++++=+=20．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．（注：方差，其中为，，…… 的平均数）()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋯+-⎣⎦x 1x 2x n x 【答案】（Ⅰ）平均数为 方差为3541116（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=同理可得所以随机变量Y 的分布列为：Y 1718192021P17(17)18(18)19(19)20(20)EY P Y P Y P Y P Y =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=21(21)P Y +⨯===1911111171819202184448⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【分析】（Ⅰ）当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10. 所以平均数为＝；x 8+8+9+1035=44方差s 2＝＋ ＋＋ ＝.2135(8)44-235(84-235(9)4-235(10)4-1116（Ⅱ）当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果．因此P (Y ＝17)＝＝.21618同理可得P (Y ＝18)＝，P (Y ＝19)＝，1414P (Y ＝20)＝，P (Y ＝21)＝ .1418所以随机变量Y 的分布列为Y1718192021P1814141418E (Y )＝17×P (Y ＝17)＋18×P (Y ＝18)＋19×P (Y ＝19)＋20×P (Y ＝20)＋21×P (Y ＝21)＝17×＋18× ＋19×＋20× ＋21×＝19.181414141821．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555（1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？99.9%（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为，求的分布X X 列、数学期望.（参考公式：，其中）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++2()P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析99.9%【分析】（1）计算K 2的值，与临界值比较，即可得到结论；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和．()E X 【详解】（1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人()22552020105K 11.97810.82830252530⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯99.9%文景观”景点与年龄有关.（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3.X ∴，()37310C 7P X 0C 24===，()2173310C C 21P X 1C 40⋅===，()1273310C C 7P X 2C 40⋅===，()33310C 1P X 3C 120===∴的分布列为XX 0123P72421407401120则.()72171E X 01230.9244040120=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22．某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的折线图：（1）由图可以看出，这种酶的活性与温度具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；y x （2）求关于的线性回归方程，并预测当温度为时，这种酶的活性指标值.（计算结果精确y x 30C ︒到0.01）参考数据：，.6152.5i i y ==∑()()6185i ii x x y y =--=∑ 5.5= 2.65≈参考公式：相关系数.r =回归直线方程，，.y a bx =+()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑a y bx =-【答案】（1）详见解析（2）线性回归方程为；预测当温度为时，这种酶的活3.020.34y x =+30C ︒性指标值为13.22【解析】（1）根据题中所给数据，利用公式求得，非常接近1，从而得到酶的活性与0.97r ≈ry 温度具有较强的线性关系；x （2）根据公式求得关于的线性回归方程为，将代入回归方程，即可求得y x 3.020.34y x =+30x =结果.【详解】解：（1）由题可知，，1(81114202326)176x =+++++=，()622222221(817)(1117)(1417)(2017)(2317)(2617)252ii x x =-=-+-+-+-+-+-=∑则，0.97r ===≈因为非常接近1，所以酶的活性与温度具有较强的线性相关性.||r y x （2）由题可知，，61152.58.7566i i y y ====∑，()()()61621850.34252iii i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑，858.7517 3.02252a y bx =-=-⨯=所以关于的线性回归方程为，y x 3.020.34y x =+当时，.30x =ˆ 3.020.343013.22y=+⨯=故预测当温度为时，这种酶的活性指标值为13.22.30C ︒【点睛】本题考查线性回归分析，线性相关关系的判断以及求线性回归方程，正确利用公式是解题的关键，考查计算能力.。
2022-2023学年贵州省新高考“西南好卷”高二年级下册学期适应性月考数学试题(五)【含答案】
2022-2023学年贵州省新高考“西南好卷”高二下学期适应性月考数学试题（五）一、单选题1．若 ，则（ ）1i z =-z =A ．0B ．1C D ．2【答案】C【分析】根据复数的求模公式计算.=故选：C.2．某高中共有学生1800人，其中高一、高二、高三的学生人数比为16：15：14，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高二年级应该抽取的人数为（ ）A ．28B ．30C ．32D ．36【答案】B【分析】根据分层抽样的性质，按比例抽取即可求解.【详解】高二年级应该抽取人，159030161514⨯=++故选:B3．在中，角所对的边分别为，且，则等于（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 4,3a b c ===B C +A ．B ．C ．D ．π22π33π45π6【答案】B【分析】根据给定条件，求出角A ，再利用三角形内角和定理计算作答.【详解】在中，由余弦定理得，ABC 222169131cos 22432b c a A bc +-+-===⨯⨯而，则，0πA <<π3A =所以.2ππ3B C A +=-=故选：B4．老师布置了两道数学题，学生做对第一题的概率是，做对第二题的概率是，两题都做对的7868概率是，现在抽查一个学生，该生在第一题做对的前提下，第二题做对的概率是（ ）58A ．B ．C ．D ．68586757【答案】D【分析】根据条件概率公式求解.【详解】设做对第一题为事件，做对第二题为事件，A B 由条件可知，，()()()765,,888P A P B P AB === ；∴()()()558|778P AB P B A P A ===故选：D.5．已知成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（ ）1234,,,a a a a 3a A ．2B ．C ．D ．142-16-【答案】C【分析】根据给定条件，当1和4为两项时，求出较小的值，当1和4为连续的两项或为24,a a 3a 或为两项时，分析判断作答.13,a a 14,a a 【详解】依题意，当1和4为两项时，则，解得或，取，24,a a 23244==a a a 32a =32a =-32a =-当1和4为两项时，为正数，大于，13,a a 3a 2-当1和4为任意连续的两项时，等比数列的公比，必为正数，大于，0q >3a 2-当1和4为两项时，由于与同号，必为正数，大于，14,a a 3a 1a 3a 2-所以的最小值为.3a 2-故选：C6．已知圆锥的母线长为2，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（ ）A ．1BC ．2D．【答案】C【分析】由其侧面展开图的中心角可求得底面圆的半径为，当截面顶角为时，过圆锥顶点r =π2的截面面积最大，从而可得结论.【详解】设底面圆的半径为，，解得，由圆锥母线长为2，可得圆锥轴截面r 22r π=r =的顶角为，2π3当截面顶角为时，过圆锥顶点的截面面积最大，此时.π212222S =⨯⨯=故选：C.7．函数在单调递减，且为奇函数.，则满的取()f x (),-∞+∞()13f =-()33ln 102f x x ⎡⎤⎛⎫--+< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x 值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()11,0,2⎛⎫-⋃+∞⎪⎝⎭()31,0,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭()30,3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()1,+∞【答案】A【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及可解不等式组或分()13f =-()332ln 10f x x ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+<⎩()332ln 10f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+>⎩，别解两个不等式组即可得出结论.【详解】由已知，使不等式成立的满足或，x ()332ln 10f x x ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+<⎩()332ln 10f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+>⎩因为为奇函数.且，所以，()f x ()13f =-()13f -=将的图象右移个单位后，由得，()f x 32332f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭12x <又得，即，()ln 10x +<011x <+<10x -<<所以满足的范围为，()332ln 10f x x ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+<⎩x 10x -<<同理，满足的范围为.()332ln 10f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+>⎩x 12x >综上，的取值范围为，x ()11,0,2⎛⎫-⋃+∞⎪⎝⎭故选：A.【点睛】关键点睛：通过函数的单调性，奇偶性，以及，从而解出得，()13f =-332f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭12x <以及得，是解题关键.本题考查函数的基本性质的综合应用，属于较难题.()ln 10x +<10x -<<8．分别为双曲线的左，右焦点，过的直线与双曲线左支交于两12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F ,A B 点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则的离心率为（ ）113AF BF =O 2OF B CA B C ．D ．5253【答案】A【分析】根据双曲线的定义以及可得边的关系，结合余弦定理即可求解.113AF BF =【详解】由题意得，1290F BF ∠=设，则，1BF m=2122,3,32,4BF m a AF m AF m a AB m=+==+=在中，由勾股定理得，解得，则，2Rt ABF ()()()2222432a m m m a ++=+m a =12,3BF a BF a==在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率12Rt F BF ()()22232a a c +=22104c a =C c e a ==故选:A.二、多选题9．已知圆的方程为，则关于圆的说法正确的是（ ）M ()()22121x y -++=M A ．圆心的坐标为M ()1,2-B ．点在圆内33,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭MC ．直线被圆0x y +=MD ．圆在点处的切线方程为M ()1,1-1y =-【答案】BCD【分析】由圆的标准方程即可判断A,根据点与圆的位置关系即可判断B,根据直线与圆相交，结合勾股定理即可求解弦长判断C,根据点的位置即可判断切线与轴平行，即可判断D.x 【详解】由圆的方程为，知圆心为，半径为1，选项A 错误；M ()()22121x y -++=()1,2-点到点，选项B正确；33,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-1=<点到，所以，选项C 正确；()1,2-0x y +==由于点在圆上，点与圆心在垂直于坐标轴的直线上，所以圆在点()1,1-M ()1,1-()1,2-x M 的切线直线与轴平行，其方程为，选项D 正确；()1,1-x 1y =-故选：BCD.10．设函数，则下列结论正确的是（ ）()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的图象关于直线对称()y f x =7π12=x B ．的图象关于点中心对称()y f x =π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．在区间有两个极值点()f x π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．在区间单调递减()f x 5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】代入验证法即可判断AB,根据的范围，求解的范围，结合正弦函数的性质即可判x π23x +断CD.【详解】对A ，，A 正确；7π7ππ3πsin 2+sin 1121232f ⎛⎫⎛⎫=⨯==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对B ，，B 正确；πππsin 2sin 00663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对C ，当时，，π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ππ13π2,366t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭由正弦函数的性质和图象可知有2个极值点，sin y t =()y f x =由，解得，解得，即和为函数的极值点，C 正确；ππ2=32x +ππ3π,2=1232x x =+7π12=x π=12x 7π12=x 对D ， 当时，，5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,336t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭由正弦函数的性质知当时，单调递增，当时，单调递减，ππ32t ,æöç÷Îç÷èøsin y t =π7π26t ,æöç÷Îç÷èøsin y t =所以在上不单调，D 错误；()y f x =5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：ABC.11．如图，在中，关于的值，以下说法正确的是（ ）C ·AB ACA ．当半径为定值，弦越长，的值就越大C AB ·AB ACB ．当弦长度为定值，半径越大，的值就越大AB ·AB ACC ．的值与弦的长度无关·AB AC ABD ．的值与半径的大小无关·AB AC 【答案】AD【分析】由圆中的垂径定理结合数量积的计算即可得，结合选项即可求解答案.22AB AC a⋅=【详解】设的半径为，的长度为，取的中点，连接，则C r AB 2a AB D CD CD AB⊥在中，Rt ACD △,,cos aAD a AC r CAD r==∠=∴22cos 22aAB AC a r CAD ar a r ⋅=⋅⋅∠=⋅= 只与弦的长度有关，且弦越长，的值越大，与半径无关.AB AB ·AB AC 故选:AD.12．已知函数，且.则下列结论一定正确的是（ ）()()1ln f x x x=-()()e af f b >A ．若，则B ．若，则0a >0a b ->0a >e 0ab ->C ．若，则D ．若，则a<0e 2ab +>a<0ln 0a b -<【答案】BD【分析】利用导数研究函数的单调性，结合选项及函数单调性逐项判断即可.【详解】函数的定义域为，因为，()f x {}|0x x >()()1ln f x x x =-所以，令，()1ln 1f x x x '=+-()1ln 1h x x x =+-则，所以函数在上单调递增，()2110h x x x '=+>()1ln 1h x x x =+-()0,∞+又，所以当时，，即，所以在上单调递减，()10h =01x <<()0h x <()0f x '<()f x ()0,1当时，，即，所以在上单调递增，1x >()0h x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以.()()min 10f x f ==所以当，取，因为，所以，此时，A 错误；0a >2,e a b ==2e e 1>>()()e a f f b >0a b -<当时，，由得，即，B 正确；0a >e 1a>()()e a f f b >e a b >e 0a b ->当时，取，，满足，此时，C 错误；a<01,1a b =-=1e 1-<()()e af f b >e 2a b +<当时，，由得，则，即，D 正确.a<00e 1a <<()()e a f f b >e ab >ln b a >ln 0a b -<故选：BD.三、填空题13．展开式中含项的系数为______.(723x 【答案】14【分析】求出展开式的通项公式，令x 的指数为3，可求出r 值，从而得解.【详解】展开式的通项公式为，(72(()772177C 21C 2r rrrrr rr Tx--+==-令，则，所以含项为，32r =6r =3x 63377C 214T x x ==所以展开式中含项的系数为14.(723x 故答案为：14.14．抛物线在第一象限上一点，满足，为该抛物线的焦点，则直线的斜率为24y x =P 5PF =F PF ______.【答案】43【分析】过点P 作抛物线准线的垂线段，利用抛物线定义结合直角三角形即可求解.【详解】由题意作图如下：过引抛物线准线的垂线，垂足为，P M 则，所以，5PM PF ==23AF PM =-=在中，，所以，Rt PAF △222AP AF PF+=4PA =所以.4tan 3PA AFP AF∠==故答案为：.4315．有五名教师到甲，乙两个学校支教，每个学校至少安排一名教师，则在不同,,,,A B C D E ,A B 的学校方法的种数为__________.【答案】16【分析】理解题意，根据排列和组合的概念及其性质即可得出结论.【详解】其中被安排在不同学校有种，,A B ()22122232A A C A 2816+=⨯=故答案为16.16．某学习小组研究函数的性质时，得出了如下的结论：()1112f x x x =+--①函数图象关于轴对称；()f x y②函数图象关于点中心对称；()f x 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭③函数在上单调递减；()f x ()1,2④函数在上有最大值.()f x ()1,1-32-其中正确的结论是_____________（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【分析】对于①，通过偶函数的定义即可判断, 对于②,即可判断，()()63f f ≠--对于③，根据导函数的正负即可判断，对于④，结合①③即可判断.【详解】函数的定义域为，()f x {}|1,2x x x ≠±≠±且定义域内任意都满足，所以函数的图象关于轴对称，①正确；x ()()f x f x -=()f x y 因为，而，且；②错，()11119661625420f =+=+=--()111331313222f -=+=+=--()()63f f ≠--对于时，，()1,2x ∈()11111212f x x x x x =+=-----+，()()()()()()()()()22222222121163121212x x x f x x x x x x x --+---'=+==----+-+在上，单调递减，③正确；x ()1,2()()0,f x f x '<由①③知，为偶函数，时，，单调递减，()f x [)0,1x ∈()1112f x x x =+--()f x 又为偶函数，所以在上单调递增，()f x ()f x ()1,0x ∈-当时，有，④正确；0x =()()max 113001022f x f ==+=---故正确的结论是①③④.故答案为：①③④.四、解答题17．已知函数，求函数的单调区间及最小值.()43212314324f x x x x =--+()f x 【答案】单调增区间为,，单调递减区间为,最小值.()1,0-()3,+∞()(),1,0,3∞--11-【分析】根据导函数即可求解单调区间，再根据单调区间，即可求解最小值.【详解】由题意，函数的定义域为.()f x R 令，得或，或，()()()3223130f x x x x x x x =--=+-='=1x -0x =3x =当时，或；当时，或，()0f x ¢>10x -<<3x >()0f x '<1x <-03x <<所以函数的单调递增区间为,，单调递减区间为，()f x ()1,0-()3,+∞()(),1,0,3∞--所以函数的极小值为和()f x ()()()()43212311111143243f -=⨯--⨯--⨯-+=-，又为上的连续函数，()43212313333114324f =⨯-⨯-⨯+=-()f x R 所以函数在上的最小值为-11.()f x R 18．已知数列满足.{}n a 111,1nn n a a a a +==+(1)求证：数列为等差数列；1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)若，求满足条件的最小整数.123132497100n n a a a a a a a a +++++>n 【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）取倒数，即可由等差数列的定义求解，（2）由裂项相消求和可得，由不等式即可求解.31223411n n na a a a a a a a n +++++=+【详解】（1）由得11n n n a a a +=+11111n n n na a a a ++==+又11a =所以数列是以为首项，公差为1的等差数列；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a =（2）由（1）知，，即则()1111n n n n a a =+-⨯=1n a n =()111111n n a a n n n n +==-++所以，133224111111197122311100n n n a a a a a a a a n n n +++++=-+-+-=>++ 解得，973n >又为整数.n所以的最小值为33 .n 19．甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球.(1)求“三球中至少有一个为白球”的概率；(2)设表示所取白球的个数，求的分布列.ξξ【答案】(1)79(2)分布列见解析【分析】（1）由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率；（2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3.分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变ξ量的分布列.【详解】（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为、、A B C 事件，M 则；；.()12P A =()13P B =()13P C =()()1P M P ABC =-1111111233⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；79=（2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3.ξ，()2112011239P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1P P ABC ABC ABCξ==++，21111141211232339⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2P P ABC ABC ABC ξ==++111111111111233233233⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，518=.()211132318P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭所以，随机变量的分布列如下：ξξ0123P 294951811820．如图，在四棱锥中，底面为菱形， 是边长为2的正三角形，P ABCD =ABCD PAB .60ABC ︒∠=(1)求证：；AB PC ⊥(2)若与平面夹角的余弦值.PC =PAD PBC 【答案】(1)证明见解析(2)35【分析】（1）根据几何关系，证明平面POC 即可；AB ⊥（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量求解.【详解】（1）如图，取中点，连接，， ，AB O OC OP AC ∵底面为菱形，， 是等边三角形，ABCD 60ABC ∠=︒ABC ∴，OC AB ⊥∵ 是等边三角形，PAB∴，OP AB ⊥∵ ，平面POC ，平面POC ，OP OC O ⋂=PO ⊂CO ⊂∴平面，又平面，AB ⊥POC PC ⊂POC ∴；AB PC ⊥（2）∵ 是边长为2的正三角形，点为中点，∴，PAB OAB OP ∵四边形为菱形，，则∴，ABCD 60,2ABC AB ∠=︒=OC =222OC OP PC +=∴，又 ，平面ABCD ，平面ABCD ，且，OC OP ⊥OP AB ⊥OC ⊂AB ⊂OC AB O = ∴底面；OP ⊥ABCD 如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，,,OC OAOP ,,x yz 则，()()))(0,1,0,0,1,0,,2,0,AB C D P -，()((1,0,0,,DA CB AP BP ==-=-= 设平面的法向量为，由得：，PAD ()1,,n x y z = 1100DA n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩取，∴，y =1,1x z =-=()1n =- 设平面的法向量为，由得：，PBC ()2,,b c n a = 2200CB n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩取，∴，b =1,1a c =-=()21n =-- ∴，平面与平面夹角的余弦值为；1212123cos ,5n n n n n n ⋅== PAD PBC 35综上，平面与平面夹角的余弦值为.PADPBC 3521．已知椭圆，三点，，中恰2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝1,⎛- ⎝12⎫-⎪⎪⎭有两点在椭圆上.C (1)求的标准方程；C (2)设过点的直线（不为轴）与交于不同的两点，若点满足，()2,0P -l x C A B 、()0,M m MA MB =求的取值范围.m 【答案】(1)2212x y +=(2)m ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 【分析】（1）根据对称性判断三点中哪两点在椭圆上并求出 ；,,a b c （2）由题意，M 点必定在线段AB 的垂直平分线上，设直线l 的方程，根据l 的斜率确定m 的范围.【详解】（1）由椭圆的对称性可知点和在上，代入方程得，⎛ ⎝1,⎛- ⎝C221112a b +=设的半焦距为，则离心率为，，所以，解得，C (0)c c>c a=,a b c ==a =1a b =则椭圆；22:12x C y +=（2）由题意直线的斜率存在，设为，l (),0k k ≠则，联立得：，():2l y k x =+()222220y k x x y ⎧=+⎨+-=⎩()2222128820k x k x k ++-+=设，的中点设为，()()1122,,,A x y B x y AB ()00,N x y ，，2122812k x x k -+=+()()()1212122422412k y y k x k x k x x k k +=+++=++=+，()()()222228412821680k k k k ∆=-+-=-+>解得，且，则，，k -<<0k ≠202412k x k -=+02212k y k =+又 ，所以 ， ，MA MB =MN AB ⊥202022112412MNk m y m k k k x kk --+===--+解得：，，且，2212k m k =-+k ⎛∈ ⎝0k≠当时，， ，k ⎛∈⎝22201122k k k k<=<++∴22012k k <-<+当，k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭22012k k >->+所以；m ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 22．已知函数.()()e 1,0ax f x a x a =-+>(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；2a =()y f x =()()0,0f (2)若，求的取值范围.()ln 1f x x ax ≥-+a 【答案】(1)94(2)1,)e ∞⎡+⎢⎣【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线方程为，分别令和当，求得与坐标23y x =+0x =0y =轴交点坐标，结合面积公式，即可求解；（2）根据题意转化为在上恒成立，设，求得e ln 0(0)ax a x x -≥>()0,x ∞∈+()e ln ax g x a x =-，再令，求得，得到为单调递增函数，得出()21e ax g x a x '=-()21e ax h x a x =-()0h x '>()h x ，使得，求得，结合和基本不等式，即()00,x ∃∈+∞()00g x '=()00min e ln ax g x a x =-0201e 0ax a x -=可求解.【详解】（1）解：当时，，则，2a =()22e 21x f x x =-+()24e 2x f x '=-可得，即在点处的切线的斜率为，()02f '=()()0,0f 2k =又由，所以曲线在点处的切线方程为，()03f =()y f x =()()0,0f 23y x =+当时，；当时，，0x =3y =0y =32x =-所以曲线在点处的切线与坐标轴围成三角形的面积.()y f x =()()0,0f 1393224S =⨯⨯=（2）解：因为，则在上恒成立，()()e 1ax f x a x =-+()ln 1f x x ax nx ≥-+()0,x ∞∈+即为在上恒成立，e ln 0(0)ax a x x -≥>()0,x ∞∈+设，可得，()e ln ,0axg x a x x =->()21e ax g x a x '=-当时，；当时，，0x +→()g x '→-∞x →+∞()g x '→+∞令，可得()()21e ax h x g x a x '==-()321e 0ax h x a x'=+>所以在上单调递增，()21e ax h x a x =-()0,x ∞∈+所以，使得，()00,x ∃∈+∞()02001e 0ax g x a x '=-=当上，，单调递减，()00,x x ∈()0g x '<()g x 当上，，单调递增，()0,x x ∈+∞()0g x '>()g x 所以()()000min e ln ax g x g x a x ==-由，可得0201e 0ax a x -=020001e ln ln ax a x ax a ax =-=+所以，解得，()()022000min 01e ln 2ln 0ln ax g x g x a x ax a ax a ==-=+≥+≥+1e a ≥即实数的取值范围为a 1,)e ∞⎡+⎢⎣【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二年级下册学期第一次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省四平市实验中学高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有（ ）A ．12种B ．17种C ．23种D ．60种【答案】A【分析】由排列､组合及简单计数问题，结合分类计数加法原理求解即可．【详解】图书角有3本不同的散文类图书，4本不同的科幻类图书，5本不同的小说类图书，某位同学从中任取1本，则不同的取法共有种．34512++=故选：．A 2．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种33A 排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种22A 2323A A 12=排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.3．已知，则（ ）00Δ0(Δ)(Δ)2limΔ3x f x x f x x x →+--=0()f x '=A ．B ．C ．D ．16132343【答案】B【分析】对式子进行变形，结合导数的定义即可求解.【详解】根据题意，，()()()()()()000000Δ0Δ0ΔΔΔΔ2lim lim 3ΔΔx x f x x f x f x x f x f x x f x x x x →→⎡⎤+----+--⎣⎦==，()()()()()000000limlim2x x f x x f x f x x f x f x x x∆→-∆→+∆--∆-=+=∆-∆'则.()013f x '=故选：B.4．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时()m s ()min t ()2s t t t=+2min t =速度为（ ）A ．B ．C ．D ．2m/min 4m/min5m/min6m/min【答案】C【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.【详解】解：，当时，.()()21v t s t t '==+2t =()25v =故选：C.5．已知是函数的导函数，若，则（ ）()f x '()f x ()()23f x x x f '=-⋅()1f =A ．B ．C ．D ．1-2-23【答案】B【分析】求导后，代入可求得，从而求得，代入即可得到结果.3x =()3f '()f x 1x =【详解】，，解得：，()()23f x x f ''=- ()()363f f ''∴=-()33f '=，.()23f x x x ∴=-()1132f ∴=-=-故选：B.6．若曲线和曲线在交点处的切线相同，则的值为（ ）(0)xy me m =≠2y x =P m A ．B ．C ．D ．12142e 24e【答案】D【分析】设，根据题意可建立关于，的方程组，解出即可．(,)P t n t m 【详解】设，(,)P t n 由曲线，可得，e (0)xy m m =≠e x y m '=由曲线，可得，2y x =2y x '=则，解得（舍或．2e 2e tt m t m t ⎧=⎨=⎩00t m =⎧⎨=⎩)224e t m =⎧⎪⎨=⎪⎩故选：D ．7．下列各式中，不等于的是（ ）!(N*)n n ∈A ．B ．C ．D ．1A n n-1A nn +11A n n n --()!A mn n m -【答案】B【分析】根据排列数的运算，逐一化简选项即可．【详解】选项，，正确；A 1A (1)(2)...32!n nn n n n -=⋅-⋅-⋅=A 选项，，错误；B 1A (1)(1)(2)...32(1)!nn n n n n n +=+⋅⋅-⋅-⋅=+B 选项，，正确；C 11A (1)(2)...321!n n n n n n n --=⋅-⋅-⋅⋅=C 选项，，正确．D !()!A ()!!()!m n n n m n m n n m -=-=-D 故选：．B 8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）12023e a =20222023b =20221ln2023c =+a b c A ．B ．c b a >>b c a >>C ．D ．b a c >>a b c>>【答案】D【分析】可设，求导得出，从而判断出在上单调递减，从()(1ln )=-+f x x x ()1x f x x '-=()f x (0,1)而得出，进而得出，而根据指数函数的单调性得出，这样即可得出，2022()(1)02023f f >=b c >1a >a ，的大小关系．b c 【详解】设，，()(1ln )=-+f x x x ()111x f x x x '-=-=时，，单调递减，01x ∴<<()0f x '<()f x ，∴2022()(1)02023f f >=，即，∴20222022(1ln )020232023-+>1b c >>又，102023ee 1>=．a b c ∴>>故选：．D 二、多选题9．下列运算错误的是（ ）A ．B ．'2(2)2log e x x='=C ．D ．(sin1)cos1'=31(log )ln 3x x '=【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，，A 错误；(2)2ln 2x x'=对于B ，，B 正确；11221()2x x -'=='=对于C ，，C 错误；(sin1)0'=对于D ，，D 正确.31(log )ln 3x x '=故选：AC10．如图，已知直线与曲线相切于，两点，设，两点的横坐标分()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B 别为，，是的极小值点，设函数，则下列说法正确的有（ ）a b x c =()f x ()()()F x g x f x =-A ．是的极大值点B ．（a ）x a =()f x F '0=C ．（c ）D ．是的极小值点F '0=x b =()F x 【答案】BD【分析】由已知结合图形可得（a ），判断错误；求得（a ），知正确；求出f '0>A F '0=B （c ），可知错误；再由导数分析单调性判断正确．F '0k =>C D 【详解】直线与曲线相切于､两点，，两点的横坐标分别为，()(0)g x kx k =>()y f x =A B A B a ，b 可得：（a ）（b ），k f ='f ='0>（a ），不是的极值点，故错误；f ' 0≠x a ∴=()f x A ，()()()F x g x f x =-，()()()()F x g x f x k f x '='-'=-'（a ），故正确；F ∴'0=B 是的极小值点，（c ），x c = ()f x f ∴'0=则（c ）（c ），故错误；F 'k f =-'00k k =-=>C 由图可知，存在，使，0(,)x a b ∈0()0F x '=当，时，，当时，，0(x x ∈)b ()0F x '<(,)x b ∈+∞()0F x '>在，上单调递减，在上单调递增，()F x ∴0(x )b (,)b +∞故是的极小值点，故正确．x b =()F x D 故选：．BD 11．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）1,2,3,4,5A ．组成的三位数的个数为30B ．在组成的三位数中，奇数的个数为36C ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24D ．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20【答案】BD【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.【详解】A ：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A 错误；35A 60=B ：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B 正确；243A 36=C ：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；24A 12=23A 6=③十位数为3，则有个，所以共有个，故C 错误；22A 2=20D ：由选项C 的分析可知，D 正确；故选：BD.12．已知函数 函数，则下列说法正确的是（ ）22e ()e 2xf x x =-，()()g x f x '=A ．的最小值为B ．有2个零点()g x 2e-()g x C ．有且只有1个极值D ．有3个零点()f x ()f x 【答案】ABD【分析】求出函数及其导函数，由值的正负探讨单调性判断AB ；由函数的单调()g x ()g x '()g x '()f x 性，结合零点存在性定理判断CD 作答.【详解】由 ，得，令，得，当22e ()e 2xf x x =-22()()e e ,()e e x x g x f x x g x ''==-=-()0g x '= 2x =时，(),2x ∈-∞单调递减，当时，单调递增，因此()0()g x g x '<，(2,)x ∈+∞()0()g x g x '>，2min ()(2)e 0g x g ==-<，A 正确；因为，则存在，使得，4222(0)10(4)e 4e e (e 4)0g g =>=-=->,12(0,2),(2,4)x x ∈∈12()()0g x g x ==因此有2个零点，B 正确；()g x 当时，单调递增，当时，单调递减，1(,)x x ∈-∞()()0,()f x g x f x =>'12(,)x x x ∈()()0,()f x g x f x '=<当时， 单调递增，因此有2个极值，C 错误；2(,)x x ∈+∞()()0,()f x g x f x =>'()f x 因为，221221(2)2e 0,()(0)10()(2)e 0e f f x f f x f -=-<>=><=-<,，因此在R 上有3个零点，D 正确.6224(6)e 18e e (e 18)0f =-=->()f x 故选：ABD三、填空题13．已知函数，其中，则函数的单调递减区间是___________．2()(2)ln f x x a x a x =-++2a >()f x 【答案】1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】对求导，令，即可求解函数的单调递减区间．()f x ()0f x '<()f x 【详解】由题意可知：函数定义域为，，()f x {|0}x x >(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x --'=-++=令，可得或，()0f x '=2a x =1x =因为，则，2a >102a>>且，令，解得，0x >()0f x '<12ax <<所以函数的单调递减区间是．()f x 1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：．1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．函数的最小值为___________．24(),[2,2]1xf x x x =∈-+【答案】﹣2【分析】判断函数的奇偶性，结合x 的范围，利用基本不等式转化求解即可．【详解】函数，所以函数是奇函数，2244(),[2,2],()()11=∈--=-=-++x xf x x f x f x x x 当x ∈（0，2]时，，当且仅当x =1时取等号，所以x ∈（0，2]时，244()211==≤=++x f x x x x 函数的最大值为2．所以函数，x ∈[﹣2，2]的最小值为：﹣2．24()1xf x x =+故答案为：﹣2．15．若函数在上存在极值，则正整数的最小值为___________．32()63f x x ax x =++-R a 【答案】5【分析】求出函数的导数，由题意得函数的导数在上有两个不等实数根，再由判别式大于0求出R 实数的取值范围，即可得到正整数的最小值．a a 【详解】，32()63f x x ax x =++- ，2()326f x x ax ∴'=++函数在上存在极值， 32()63f x x ax x =++-R 函数在上不是单调函数，∴32()63f x x ax x =++-R 可得有两个不等的根，2()326f x x ax '=++即，24720a ∆=->解得，a<-a >正整数的最小值为5．∴a 故答案为：5．16．长征五号B 运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，长征五号有效载荷整流罩外形是冯•卡门外形（原始卵形）+圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组1：4，则该模型体积的最大值为______．【答案】26π3【分析】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，根据题意将该模型的体积表示为r的函数，再由基本不等式求最值得答案.【详解】设圆锥与圆柱底面圆的半径为r ，则圆柱的高为，∴r<该模型的体积∴22211326πππ333V r r r =⋅==，当且仅当，即2626π33≤=2232r r =-r =该模型的体积最大值为.∴26π3故答案为：.26π3四、解答题17．将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次．(1)一共出现多少种不同的抛掷情况？(2)3次都不出现奇数点朝上的情况共有多少种？(3)恰有一次出现奇数点朝上的情况共有多少种？【答案】(1)216(2)27(3)81【分析】（1）根据乘法原理求解即可；（2）根据乘法原理，3次都不出现奇数点朝上即3次都为偶数点，结合偶数有3个求解即可；（3）恰有一次出现奇数点朝上则抛的3次中有1次奇数朝上，2次偶数朝上，再根据乘法原理求解即可.【详解】（1）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，一共出现种不同的抛掷情况；666216⨯⨯=（2）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，3次都不出现奇数点朝上的情况共有种；33327⨯⨯=（3）将一颗骰子（点数分别为1，2，3，4，5，6）连抛3次，恰有一次出现奇数点朝上的情况共有种．13C 33381⨯⨯⨯=18．已知函数.()3f x x =-(1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，求的面积()y f x =()()3,3A f x y ,M N MON △（为坐标原点）；O (2)求与曲线相切，并过点的直线方程.()y f x =()0,1【答案】(1)6(2)12120x y -+=【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，进而结合切线方程求得，由此可得三()3f ',M N 角形面积；（2）设切点坐标，根据导数几何意义可求得在切点处的切线方程，代入点可得，由此3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,1t 可得切线方程.【详解】（1），，又，()23f x x '= ()133f '∴=()31f =-在处的切线方程为：，即，()f x \()()3,3f ()1133y x +=-360x y --=，，.()6,0M ∴()0,2N -1162622MON S OM ON ∴=⋅=⨯⨯= （2）设过点的直线与相切于点，()0,1()f x 3,t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，，切线方程为：，()23f x x '=()23f t t '∴=∴()233y x t t t +=-又切线过点，，解得：，()0,1331t t ∴+=-6t =-所求切线方程为：，即.∴()116212y x -=+12120x y -+=19．已知函数．321()313f x x x x =--+(1)求函数的单调区间与极值；()f x (2)求函数在区间上的最值．()f x [4,5]-【答案】(1)单调增区间为，，单调减区间为，的极大值为，的极(,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-()f x 83()f x 小值为8-(2)最大值为，最小值为83733-【分析】（1）求得，分别令，，解得范围，即可得出的单调区间与()f x '()0f x '>()0f x '<x ()f x 极值；（2）求出区间端点的函数值与极值，比较即可得出函数在区间，上的最值．()f x [4-5]【详解】（1）（1）因为，2()23f x x x '=--令，可得或，()0f x '==1x -3x =和随的变化情况如下：()f x '()f x x x(,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数的单调增区间为，，单调减区间为，()f x (,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-的极大值为，的极小值为；()f x 8(1)3f -=()f x (3)8f =-（2）由（1）可知函数在，单调递增，在单调递减，()f x (4,1)--(3,5)(1,3)-，，，．8(1)3f -=(3)8f =-73(4)3f -=-8(5)3f =函数在区间，上的最大值为，最小值为．()f x [4-5]83733-20．已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围．()0f x =【答案】(1)；11a b =-⎧⎨=-⎩(2).5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即()10310f f ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝='⎭⎨'⎪⎩11a b =-⎧⎨=-⎩可得出答案；（2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c 的取值范()10310f f ⎧⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩围．【详解】（1）由题意得，()232f x x ax b '=++函数在及处取得极值，()f x 13x =-1x =得，解得.()11203331320a f b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增；13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增.1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意.()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．()f x 13x =-1x =又有三个不同的实根，()0f x =由图象知，解得，()150327110f c f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<所以实数c 的取值范围是．5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭21．设函数，其中为自然对数的底数．求证：()e 1x f x =-e (1)当时，；0x >()f x x >(2)．e 2ln x x ->【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）令，转化为求的最小值即可证明结论；()()e 1x g x f x x x =-=--()g x （2）结合（1）的结论转化为证，构造新函数求解其最值即可证明结论．1ln 0x x -->【详解】（1）证明：令，()()e 1x g x f x x x =-=--则，()e 1x g x '=-当时，，在上单调递增，0x >()0g x '>()g x (0,)+∞故，()(0)0g x g >=即当时，成立.0x >()f x x >（2）由（1）可得：当时，，0x >e 1x x >+要证，即证，即证，e 2ln x x ->e 21ln x x x ->-≥1ln 0x x --≥令，()1ln h x x x =--则，11()1x h x x x -'=-=当时，，在区间上单调递增，1x >()0h x '>()h x ()1,+∞当时，，在区间单调递减，01x <<()0h x '<()h x ()0,1所以在处取得最小值，()h x 1x =所以，()()10h x h ≥=即恒成立，()1ln 0h x x x =--≥所以．e 2ln x x ->22．已知函数，，．()2ln 1f x ax x =--()()()2g x f x a x =+-a ∈R (1)求函数的单调区间；()f x (2)若对任意的，恒成立，求整数a 的最小值．()0,x ∈+∞()0g x >【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 间为，单调递增区间为⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭(2)2【分析】（1）求导，分类讨论求原函数单调性；（2）根据题意分析可得在上恒成立，构建新函数，利用2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+()2ln 21x x x x x ϕ++=+导数结合零点代换求的最大值.()x ϕ【详解】（1）由题意可得：函数的定义域为，且，()f x ()0,∞+()21212ax f x ax x x -'=-=当时，在定义域内恒成立，0a ≤()2210ax f x x -'=<则函数的单调递减区间为；()f x ()0,∞+当时，令，则或，0a >()2210ax f x x -'==x =x =当时，， 当时，，x ⎛∈ ⎝()0f x '<x +∞⎫∈⎪⎪⎭()0f x ¢>则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭综上所述，当时，函数的单调递减区间为；0a ≤()f x ()0,∞+当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．0a >()fx ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭（2）对任意的，恒成立，即不等式恒成立，()0,x ∈+∞()0g x >()2ln 21a x x x x +>++因为，则，所以原问题等价于在上恒成立，0x >20x x +>2ln 21x x a x x ++>+()0,∞+设，，则只需，()2ln 21x x x x x ϕ++=+()0,x ∈+∞()max a x ϕ>可得，()()()()()()()()222221221ln 2121ln x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫++-+++ ⎪+--⎝⎭'==++令在上单调递减，()ln h x x x =--()0,∞+因为，，()111ln 2ln 410222h ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭()110h =-<所以存在唯一的，使得，即，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000ln 0h x x x =--=00ln x x =-当时，，则，当时，，则，()00,x x ∈()0h x >()0x ϕ'>()0,x x ∈+∞()0h x <()0x ϕ'<则在上单调递增，在上单调递减，()x ϕ()00,x ()x ϕ()0,x +∞所以，()()000000222max 0000000ln 212111x x x x x x x x x x x x x x ϕϕ++-+++=====+++所以即可，01a x >又∵，所以，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()011,2x ∈故整数a 的最小值为2．【点睛】方法定睛：破解不等式的恒成立问题的常用方法：（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。
二年级上册数学试题-月考评价测试卷一(含答案)
(2) 在这4名同学中， 跳的最少的两个人一共跳了多少下？
试卷答案 —、 单选题 1. A 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. B 8. B 9. C 10. B 二、 填空题 118 5
12 4米 1米95厘米 135厘米 1米20厘米
13米 厘米 米 厘米
14米 厘米
15.
44
+ 3) 9
&0
(2)90-26=64
90
一 'l 6 二 64
(3)95-76+35=54
5
—76
19
19
+ 31 5
54
(4)71-(16+43)=12
16
+�3
59
71
- :=; �}
12
巨I 3
。 29. + 5 口 7
8 2:
； ．一 回 III
45
30 16+17 - 15=18; 18 - 17+15=16
——
少 长 l3个
_L·--·-·。
卢.._—霉— —� l圃 —？—根 —_ 85根
(2) ? 根
嘿川
90根
六、 解决问题(16分） 33. (5分）星期天，小蜗牛去小蚂蚁家做客。
e
＠
(1)走—号路比较近，是 厘米。 (2)请画出 —条线段，与＠号路的长度相等。
五、 解答题
31 (1)45+9=54(只） . (2)52-13=39(个） 32 (1)85-33=52(朴良） . (2)90-7=83(根）
六、 解决问题
33 (l)@ 5
. (2)
5 厘米
2022-2023学年山东省菏泽高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省菏泽第一中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线的方程为，所以焦点在轴22y x =212x y=y 由，122p =所以焦点坐标为．10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选：D ．2．设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）n S {}n a n 311a =1060S =5a=A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A【详解】设等差数列的公差为d ，由题意建立方程，即可求出，d ，再根据等差数列的通项{}n a 1a 公式，即可求出结果．【分析】设等差数列的公差为d ，由题意可知，解得，，{}n a 11211 104560a d a d +=⎧⎨+=⎩115a =2d =-所以．5141587a a d =+=-=故选：A3．设点是关于坐标平面的对称点，则（ ）B (2,3,5)A xOy ||=AB A ．BC ．D1038【答案】A【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得B .||AB【详解】解：因为点是关于坐标平面的对称点，所以B (2,3,5)A xOy (2,3,5)B -所以.10AB AB ===故选：A.4．已知向量，且与互相平行，则（ ）()()1,1,0,1,0,=-=a b m ka b + 2a b -k =A ．B ．C ．D ．114-153512-【答案】D【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知，，(1,,)ka b k k m +=-2(3,1,2)a b m -=-- 因为与平行，ka b + 2a b -若，则，，0m =131k k-=-12k =-若，则，无解．0m ≠1312k k mm -==--k 综上，，12k =-故选：D ．5．设向量，，不共面，空间一点P 满足，则A ，B ，C ，P 四点OA OB OCOP xOA yOB zOC =++ 共面的一组数对是（ ）(,,)x y z A ．B ．111(,,)432131(,,)442-C ．D ．(1,2,3)-121(,,)332-【答案】B【分析】由题设条件可知，A ，B ，C ，P 四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可.1x y z ++=【详解】因为向量，，不共面，，OA OB OCOP xOA yOB zOC =++ 所以当且仅当时，A ，B ，C ，P 四点共面，1x y z ++=对于A ，，故A 错误；1111432++≠对于B ，，故B 正确；1311442-++=对于C ，，故C 错误；1231-+≠对于D ，，故D 错误.1211332-++≠故选：B.6．已知数列中，且，则为（ ）{}n a 11a =()133nn n a a n a *+=∈+N 16a A ．B ．C ．D ．16141312【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 即可.16n =【详解】由得：，又，133n n n a a a +=+1311133n n n n a a a a ++==+111a =数列是以为首项，为公差的等差数列，，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭113()1121133nn n a +∴=+-=，.32n a n ∴=+1616a ∴=故选：A.7．已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）1a92212xy a +=A BC D【答案】D【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得值，然后分类a 讨论求得圆锥曲线的离心率解决即可．2212x y a +=【解答】因为三个数，，成等比数列，1a 9所以，则．29a=3a =±当时，曲线方程为，表示椭圆，3a =22132x y +=，1当时，曲线方程为，表示双曲线，3a=-22123y x -=．=故选：D 8．若数列是等差数列，首项，公差，则使数列的前项{}n a 10a >()2020201920200,0d a a a <+<{}n a n 和成立的最大自然数是（ ）n S >n A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036【答案】B【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前项和公式进行求解即可.n 【详解】因为，所以等差数列是递减数列，0d <{}n a 因为，()2020201920200a a a +<所以，且，，201920200,0a a ><20192020a a >201920200a a +>()1403920192020403920204038201920204039()40390,403820190,22a a a a S a S a a ++===⨯=+所以使数列的前项和成立的最大自然数是4038．{}n a n 0n S >n 故选：B二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+【答案】AC【分析】对于A ，即可解决；对于B ，由题意得即可解决；对于C ，平行线间距tan AB k α=231a -=离公式解决即可；对于D ，数形结合即可.【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 正确；2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=，故C错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -Px 取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.10．已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ）{}n a n n S 25n S n n =-A ．为等差数列B ．{}n a 0n a >C ．最小值为D ．为单调递增数列n S 254-{}n a 【答案】BC【分析】根据求出，并确定为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前项和分析求n S n a {}n a n 解.【详解】对于A ，当时，，2n ≥()()221515126n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-时满足上式，所以,1n =114a S ==-26,N n a n n *=-∈所以，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故A 正确；{}n a 对于B ，由上述过程可知，26,N n a n n *=-∈，故B 错误；12340,20,0a a a =-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，25n S n n =-52.52=又因为，所以当或3时，最小值为，故C 错误；N n *∈2n =n S 6-对于D ，由上述过程可知的公差等于2，{}n a 所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a 故选:BC.11．在正方体中，E ，F ，G 分别为BC ，的中点，则下列结论中正确的1111ABCD A B C D -11CC BB ，是（ ）A ．1D D AF⊥B ．点G 到平面的距离是点C 到平面的距离的2倍AEF AEF C ．平面1//A G AEFD ．异面直线与1A G EF 【答案】BC【分析】对于选项：由以及与不垂直，可知错误；对于选项：利用等体积A 11//DD CC 1CC AF A B 法，可求得结果，进而判断选项正确；对于选项：取的中点,A GEF G AEF A CEF C AEF V V V V ----==B C 11B C ，根据面面平行的性质即可得出平面，可知选项正确； 对于选项：根据线面垂M 1//A G AEF C D 直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知错误；D 【详解】对于选项：因为，所以不是等腰三角形，所以与不垂直，因为A 1AC AC ≠1ACC △1CC AF ，所以与不垂直，故选项错误；11//DD CC 1DD AF A 对于选项：设正方体的棱长为2，设点到平面的距离与点到平面的距离分别为B G AEFC AEF ，则，12,h h 11133A GEF GEF G AEF AEF V AB S V h S --=⋅==⋅ ，21133A CEF CEF C AEF AEFV AB S V h S --=⋅==⋅所以，故选项正确；12121221112GEFCEFS h h S ⨯⨯===⨯⨯△△B 对于选项：取的中点，连接，C 11B C M 11,,GM A MBC 由题意可知：，因为，所以，1//GM BC 1//BC EF //GM EF 平面， 平面，所以平面，GM ⊄AEF EF ⊂AEF //GM AEF 因为，平面， 平面，所以平面，1A M AE ∥1A M ËAEF AE ⊂AEF 1//A M AEF 因为平面，所以平面平面，11,,A M GM M A M GM =⊂ 1A GM AEF //1A GM 因为平面，所以平面，故选项正确；1A G ⊂1A GM 1//A G AEF C 对于选项：因为，所以异面直线与所成的角为（或其补角），D 111//,//AD EF A G D F 1A G EF 1AD F ∠设正方体的棱长为2，则，113AD D F AF ===在中，由余弦定理可得：1AD F △错误，22211111cos 2AD D F AF AD F AD D F +-∠===⋅D 故选：.BC 12．下列命题中，正确的命题有（ ）A ．是，共线的充要条件a b a b +=- a b B ．若，则存在唯一的实数，使得//a b λa bλ=C ．对空间中任意一点和不共线的三点 ，，，若，则，，，O A B C 243OP OA OB OC =-+P A B 四点共面C D ．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底{},,a b c{},2,3a b b c c a+++ 【答案】CD【分析】对A ，向量、同向时不成立；a b a b a b+=- 对B ， 为零向量时不成立；b对C ，根据空间向量共面的条件判定；对D ，根据能成为基底的条件判定.【详解】对A ，向量、同向时，，只满足充分性，不满足必要性，A 错误； a b a b a b+≠- ∴∴对B ，应该为非零向量，故B 错误；b对C ，由于得，，243OP OA OB OC =-+ 1324PB PA PC =+若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，,PA PC,,PA PC PB A B C 故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点 ，所以，,PA PC,PB PA PC ,,PB PA PC ,P P ，，四点共面，故C 正确；A B C 对D ，若为空间的一个基底，则，，不共面，{},,a b cab c 假设，，共面，设，a b + 2b c + 3c a + ()()23a b x b c y c a +=+++所以 ，无解，故，，不共面，13102yxx y =⎧⎪=⎨⎪=+⎩a b +2b c + 3c a + 则构成空间的另一个基底，故D 正确．{},2,3a b b c c a+++ 故选： CD ．三、填空题13．等比数列中，，，则______．{}n a 39a =-114a =-7a =【答案】6-【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为是等比数列，所以，又的所有奇数项同号，所以．{}n a 2731136a a a =={}n a 76a =-故答案为：．6-14．直线被圆截得的弦长____________230x y +-=()()22214x y -++=【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆的圆心为，半径，()()22214x y -++=()2,1-2r =圆心到直线的距离()2,1-d所以直线被圆截得弦长为==.15．已知数列.的前项和为，且.若，则{}n a n n S ()*2120N n n n a a a n +++-=∈11151912a a a ++=______.29S =【答案】116【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】为等差数列，(){}*211220N ,2,n n n n n n n a a a n a a a a +++++-=∈∴=+∴ 111912915111519152,12,4,a a a a a a a a a ∴+=+=++=∴= .129291529292941162a a S a +∴=⨯==⨯=故答案为：116.四、双空题16．如图，在棱长为1的正方体中，M 为BC 的中点，则 与所成角的余ABCD A B C D-''''AM D B''弦值为___________；C 到平面的距离为___________.DA C ''【答案】【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线之间的夹角.第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接，如图所示建立空间直角坐标系,BD 则，，，()0,0,1A 1,1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1,0B '()1,0,0D ' 1,1,02AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1,1,0D B ''=-cos ,AM D B '' 与AM D B ''如图所示设C 到平面的距离为DA C ''d 因为C A DC A DCC V V'''--=1111sin 601113232d d ⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⇒=五、解答题17．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.{}n a n n S {}n b n n T 11221,1,2a b a b =-=+=（1）若，求的通项公式；335a b +={}n b （2）若，求.321T =3S 【答案】（1）；（2）当时，.当时，.12n n b -=5q =-321S =4q =36S =-【分析】设的公差为d ，的公比为q ，{}n a {}n b （1）由条件可得和，解方程得，进而可得通项公式；3d q +=226d q +=12d q =⎧⎨=⎩（2）由条件得，解得，分类讨论即可得解.2200q q +-=5,4q q =-=【详解】设的公差为d ，的公比为q ，则，.{}n a {}n b 1(1)n a n d =-+-1n n b q -=由得.①222a b +=3d q +=（1）由得②335a b +=226d q +=联立①和②解得（舍去），30d q =⎧⎨=⎩12d q =⎧⎨=⎩因此的通项公式为.{}n b 12n n b -=（2）由得.131,21b T ==2200q q +-=解得.5,4q q =-=当时，由①得，则.5q =-8d =321S =当时，由①得，则.4q =1d =-36S =-【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，1111ABCD A B C D -1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒．12CD CC ==(1)求的长；1AC (2)求异面直线与所成的角．1CA 1DC【答案】(1)1AC =(2)90°．【分析】(1)因为三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量，平方即求1,,CD CB CC 1AC 得模长.(2) 求出两条直线与的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.1CA 1DC 【详解】（1）设，，，构成空间的一个基底．CD a = CB b = 1CC c = {},,a b c 因为，()11()AC CC CD CB c a b =-+=-+ 所以()22211AC AC c a b ⎡⎤==-+⎣⎦ 222222c a b a c b c a b=++-⋅-⋅+⋅ ，12222cos 608=-⨯⨯⨯︒=所以1AC =（2）又，，1CA a b c =++ 1DC c a =- 所以()()11CA DC a b c c a ⋅=++⋅- 220c a b c a b =-+⋅-⋅= ∴11CA DC ⊥ ∴异面直线与所成的角为90°．1CA 1DC 19．已知等差数列的前n 项和为.{}n a 258,224,100n S a a S +==(1)求{an }的通项公式；(2)若，求数列{}的前n 项和Tn .+11n n n b a a =n b 【答案】(1)31n a n =-(2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为d ，由题意知，{}n a 解得：1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩123a d =⎧⎨=⎩∴.1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-故的通项公式为.{}n a 31n a n =-（2）∵1111((31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()(325358381133132111111111 ()325588113132111 =(3232=2(32)n T n n n n n n n =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++ 即：的前n 项和.{}n b 2(32)n nT n =+20．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的正弦值.1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，111ABC A B C -所以平面，又平面，1AA ⊥ABC AC ⊂ABC 所以,1AA AC ⊥又，，平面，平面，AC AB ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面，AC ⊥11AA B B 因为平面，BE ⊂11AA B B 所以，AC BE ⊥又因为，，平面，平面，1BE AB ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面；BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =- ()0,2,0AC = 因为，1AB BE⊥ 所以，即，则，440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为，1AB C ()2,0,1BE =- 又，()12,2,2B D =-- 设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，111sin cos ,BE B D BE B D BE B D θ⋅====⋅ 因此，直线与平面1B D 1AB C 21．已知数列{}1221,2,5,43.++===-n n n n a a a a a a (1)令，求证：数列是等比数列；1n n n b a a +=-{}n b (2)若，求数列的前项和．n n c nb ={}n c n n S 【答案】(1)见解析(2)11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；2113n n n n a a a a +++--（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以，即，2143n n n a a a ++=-()2113n n n n a a a a +++-=-13n n b b +=又，1213b a a -==所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；{}n b （2）解：由（1）得，11333n n n n a a +--=⋅=，3n n n c nb n =⋅=则，23323333n n S n =+⨯+⨯++⋅ ，23413323333n n S n +=+⨯+⨯++⋅ 两式相减得，()2311131313233333331322n n n n n n S n n n +++-⎛⎫-=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭ 所以．11133244n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22．如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，.1//12AF DE DE AD AD BE AF AD DE AB ⊥⊥====，，，，(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求二面角的余弦值；B EF D --(3)判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出的值，若不存在，BQBE 说明理由.【答案】(1)详见解析(3)存在点；Q 17BQ BE =【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得，，两两垂直，从而建立以D 点为原点的空间直角坐标系，求得平面DA DB DE 和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；DEF BEF （3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈ CDQ u CDQ ⊥BEF 则，从而解得的值，找到Q 点的位置.0m u =⋅ λ【详解】（1）取的中点，连结，，DE M MF MC 因为，所以，且，12AF DE =AF DM =AF DM =所以四边形是平行四边形，所以，且,ADMF //MF AD MF AD =又因为,且，所以,,//AD BD AD BC =//MF BC MF BC =所以四边形是平行四边形，所以,BCMF //BF CM 因为平面,平面，BF ⊄CDE CM ⊂CDE 所以平面；//BF CDE（2）因为平面平面，平面平面，，ADEF ⊥ABCD ADEF ABCD AD =DE AD ⊥所以平面，平面，则，故，，两两垂直，所以以DE ⊥ABCD DB ⊂ABCD DE DB ⊥DA DB DE ，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，DA DB DE x y z 则，，，，，，()0,0,0D ()1,0,0A ()0,1,0B ()1,1,0C -()0,0,2E ()1,0,1F 所以，，为平面的一个法向量.()0,1,2BE =- ()1,0,1EF =- ()0,1,0n = DEF 设平面的一个法向量为，BEF (),,m x y z =由，，得，0m BE ⋅= 0m EF ⋅= 200y z x z -+=⎧⎨-=⎩令，得.1z =()1,2,1m →=所以.cos ,m n m n m n →→→→→→⋅===如图可得二面角为锐角，B EF D --所以二面角.BEF D --（3）结论：线段上存在点，使得平面平面.BE Q CDQ ⊥BEF 证明如下：设，()[]()0,,20,1BQ BE λλλλ==-∈ 所以.(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=- 设平面的法向量为，又因为，CDQ (),,u a b c =()1,1,0DC =- 所以，，即，0u DQ ⋅= 0u DC ⋅= (1)200b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩若平面平面，则，即，CDQ ⊥BEF 0m u =⋅ 20a b c ++=解得.所以线段上存在点，使得平面平面，[]10,17λ=∈BE Q CDQ ⊥BEF 且此时.17BQ BE =。
2021-2022学年上海市金山区高二年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市金山区高二上学期12月月考数学试题一、填空题1．半径为2的球的体积为__．【答案】.32π3【分析】由球体体积公式可得答案.【详解】.3432ππ33V R ==故答案为：32π32．直线的倾斜角是______．10x y +-=【答案】34π【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角【详解】解：由已知，则直线斜率，1y x =-+1k =-又倾斜角的范围为.[)0,p 故直线的倾斜角是.10x y +-=34π故答案为：.34π3．已知幂函数的图象过点，则实数__．k y x =12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k =【答案】1-【分析】将点代入求解即可.12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k y x =【详解】解：将点代入，12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭k y x =可得，122k=即有，122k -=解得.1k =-故答案为：-14．已知，，则直线的两点式方程为__．(1,2)A (1,1)B -AB【答案】121(1)21x y --=---【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为，()11,x y ()22,x y 111212x x y y x x y y --=--则直线的两点式方程为，AB 121(1)21x y --=---故答案为：.121(1)21x y --=---5．正方体的棱长为1，､分别在线段与上，的最小值为______.1111ABCD A B C D -M N 11A C BD MN 【答案】1【分析】方法一，该题可以结合正方体的结构特征，将其转化为两异面直线的距离来求；方法二，可设出变量，构建相应的函数，利用函数的最值求解；方法三，建立空间直角坐标系，利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数，然后利用函数方法求解最值.【详解】方法一(定义转化法)：因为直线与是异面直线，所以当是两直线的共垂线段11A C BD MN 时，取得最小值.取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共垂MN 11A C P BD Q PQ 11A C BD 线段.下证明之.在矩形中，为中位线，所以，11BDD B PQ 1//PQ BB 又因为平面，所以平面1BB ⊥ABCD PQ ⊥ABCD又因为平面，BD ⊆ABCD 所以.PQ BD ⊥同理可证，11PQ A C ⊥而，，PQ BD Q ⋂=11PQ A C P ⋂=所以线段就是两异面直线与的共垂线段，且.PQ 11A C BD 1PQ =由异面直线公垂线段的定义可得，故的最小值为1.1MN PQ ≥=MN 方法二：(参数法)如图，取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共11A C P BD Q PQ 11A C BD 垂线段.由正方体的棱长为1可得.1PQ =连结，则，所以为两异面直线与所成角.AC 11//AC A C BQC ∠11A C BD 在正方形中，，所以.ABCD AC BD ⊥90BQC ∠=︒过点作，垂足为，连结，则，且.M MH AC ⊥H NH //MH PQ 1MH PQ ==设，，则.PM m =QN t =QH m =在中，，Rt QNH △22222HN QN QH n m =+=+在中，.Rt MHN 2222221MN MH HN n m =+=++显然，当时，取得最小值1，即的最小值为1.0m n ==2MN MN 方法三：(向量法)如图，以为坐标原点，分别以射线､､为､､轴建立空间直角坐D DA DC 1DD x y z 标系.设，.则，即；DN m =1A M n =()cos 45,sin 45,0N m m ︒︒,0N ⎫⎪⎪⎭，即.()1cos 45,sin 45,1M n n -︒︒1,1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以())222222112MN m n m n ⎤⎛⎫⎫=-++=+++⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦，221m n ⎛⎛=++ ⎝⎝故当取得最小值1，即的最小值为1.m n=2MN MN 故答案为：1.6．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是______________．【答案】【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹角．设圆锥的母线长为R ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR ，∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，∵πR=2πr ，∴R ：r=2：1，所以母线与底面夹角为．60︒【解析】圆锥的计算．7．从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).【答案】16【解析】先计算出从4名同学中选2名同学的情况，再计算出甲､乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种,2443621C ⨯==⨯甲､乙两人都没有被选到有种，1 甲､乙两人都没有被选到的概率为.∴168．已知直线，，平面，，满足且，则“”是“”的___________条a b αβb αβ= αβ⊥a b ⊥a β⊥件.【答案】必要非充分条件【分析】根据线面垂直的性质以及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】如图长方体中，满足且， b αβ= αβ⊥取，满足，则，AB a =a b ⊥ a β⊂取，满足，则，AF a =a b ⊥ a A β⋂=取，满足，则，EF a =a b ⊥ //a β所以由“”得不出“，故充分性不成立，a b ⊥ a β⊥因为，所以，若，由线面垂直的性质可得，故必要性成立，b αβ= b β⊂a β⊥a b ⊥ 故答案为：必要非充分条件.9．一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为__．2π3【答案】2【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可.【详解】解：由题知，过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形(直角边为母线）时，截面面积最大，所以，最大截面面积为．12222S =⨯⨯=故答案为：210．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值为______.【分析】连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE PA ，所以就是异面直线BE 与PA 所成//OEB ∠的角，在直角三角形EOB 中求解即可.【详解】如下图：连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE PA ，所以就是异面直线BE 与PA 所成的角，连//OEB ∠接，因为面ABCD ，所以，又因为，，所以面PO PO ⊥PO DB ⊥AC DB ⊥AC PO O ⊥=BD ⊥，所以，所以直在角三角形EOB 中，设，则，POC BD OE ⊥PA a=,2a OE BE ==cos OE OEB BE ∠==11．若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为a ()F a a__．【分析】方法一由题意画出图，根据图由三棱锥的体积公式换元由二次函数求得最值时的值.a 方法二由三棱锥的体积可知，底面积一定，要使体积最大，只需高最大，即可得出垂直时最大，再由勾股定理即可求出的值.a 【详解】方法一：由题意画出棱锥的图形，，；1AB BC CD BD AC =====AD a =取、的中点分别为、，所以平面垂直，BC AD E F AED BC ，12AED S AD EF ∆=⋅E F =所以1111()133212AED F a S BC a ∆=⋅⋅=⨯⨯==令，，关于的二次函数，2t a =24233y a a tt =-=-t 当，即取得最大值，故32t =a =()F a a =方法二：由题意画出棱锥的图形，，；1AB BC CD BD AC =====AD a =要使三棱锥的体积最大，只需点到底面的距离最大，此时面面，取的A BCD -A ABC ⊥BCD BC 中点分别为，连接E ,AE ED.AD ===a =12．在棱长为3的正方体中，分别是棱、的中点，点在四边形1111ABCD A B C D -,E F BC 1CC G 内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围是__．11BCC B 1A G AEF CG 【答案】【分析】作出辅助线，证明平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），当1//A PQ AEF G PQ 与或重合时，最大，当时，最小，由勾股定理求出最值，得到取值范围.G Q P CG CG PQ ⊥CG 【详解】正方体的体积为27，所以正方体的棱长为3，1111ABCD A B C D -分別取线段、的中点、，连接、、，11B C 1B B P Q 1A P 1A Q PQ 分别是棱、的中点，,E F BC 1CC则，又平面平面，//PQ EF PQ ⊂/,AEF EF ⊂AEF 所以平面，，//PQ AEF 1//A P AE 又平面平面，所以平面，1A P ⊂/,AEF AE ⊂AEF 1//A P AEF 又平面，11,,PQ A P P PQ A P =⊂ 1A PQ 所以平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），1//A PQ AEF G PQ 当与或重合时，最大，G Q P CG 此时，CG CQ ====当时，最小，此时CG PQ ⊥CG 13344CG CB ===所以的取值范围为.CG故答案为：二、单选题13．下列命题中，正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则l αl α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，且与c 都相交，则直线a 、b 、c 在同一平面上a b ∥【答案】D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若l αl α直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不一定垂直，故C 错误；l αl αD.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D 正确；//a b a b 、c a b 、a b c 、、故选：D.14．在正方体中，下列四个结论中错误的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．直线与直线所成的角为B ．直线与平面所成的角为1B C AC 60︒1B C 1AD C 60︒C ．直线与直线所成的角为D ．直线与直线所成的角为1B C 1AD 90︒1B C AB 90︒【答案】B【解析】连接，求出可判断选项A ；连接找出点在平面的投影O ，设直线1AB 1ACB ∠11B D 1B 1AD C ⊥与平面所成的角为θ，由可判断选项B ；利用平移法找出选项C 和D 涉及的1B C 1AD C 1cos OCB C θ=异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【详解】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的角为60°，故选1AB 1AB C 160ACB ∠=︒1B C AC 项A 正确；连接，∵，∴四面体是正四面体，11B D 1111AB B C CD AD ===11AB CD∴点在平面上的投影为的中心，设为点O ，连接，，则，1B 1AD C 1AD C 1B O OC OC =设直线与平面所成的角为θ，1B C 1AD C则，故选项B 错误；11cos 2OC B C θ===≠连接，∵，且，∴直线与所成的角为90°，故选项C 正确；1BC 11AD BC 11B C BC ⊥1B C 1AD ∵平面，∴，即直线与所成的角为90°，故选项D 正确．AB ⊥11BCC B 1AB B C ⊥1B C AB 故选：B ．15．已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>()0y b b A =<<坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（ ）()f x A ．B ．C ．D ．[]0,33,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]3,693,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】D【分析】首先根据已知条件得到，再求其单调增区间即可.()2cos3f x A x π=-【详解】由题知函数的周期，解得．2413T πω==-=23πω=由知，当时，函数取得最大值，0b A <<12322x +==∴，解得，232322k ππϕπ⨯+=+22k πϕπ=-k ∈Z ∴，()22sin +2cos 323f x A x k A xππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，，222,3k x k k ππππ≤≤+∈Z3332k x k ≤≤+k ∈Z ∴当时，的增区间是．1k =()f x 93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D16．定义域在的函数图像的两个端点为A 、B ，向量，设[],a b ()y f x =()1ON OA OB λλ=+-是图像上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则(),M x y ()f x ()1x a bλλ=+-[]0,1λ∈MN k≤称函数在上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数k 称为该函数的线性近似阈值.下()f x [],a b 列定义在上的函数中，线性近似阈值最小的是（ ）[]1,2A ．B ．C ．D ．2y x=2y x=1y x x=-sin3y xπ=【答案】C【分析】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得，然后,M N N AB M NMN y y =-每个选项逐一求解即可.【详解】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，所以,M N N AB M NMN y y =-对于A ，因为，所以，直线的方程为2y x =()()1,2,2,1A B AB 3y x =-+所以，因为，(),3N x x -+2,M x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，当且仅当22333M N MN y y x x x x =-=-+-=--≤-x所以；3k ≥-3-对于B ，因为，所以，直线的方程为2y x =()()1,1,2,4A B AB 32y x =-所以，因为，(),32N x x -()2,M x x 所以，当且仅当时等号成立21324M N MN y y x x =-=--≤32x =所以，所以该函数的线性近似阈值为；14k ≥14对于C ，由函数，得，，1y x x =-(1,0)A 3(2,)2B 直线方程为∴AB 3(1)2y x =-，线性近似阀值为()1331312222x MN x x x x ⎛⎫∴=---=-+≤ ⎪⎝⎭32对于D ，由函数可得，，方程为sin3y xπ=A B AB y =由三角函数图象与性质可知1MN ≤1因为133142>->>1y x x =-故选：C三、解答题17．如图，直三棱柱中，，，，点为线段的中111ABC A B C -1AB AC ==π2BAC ∠=14AA =M 1AA 点．(1)求三棱锥的体积；1A ABC -(2)求异面直线与所成角的大小．BM 11B C 【答案】(1)23V =(2)【分析】（1）根据求解.113ABC V S AA =⋅ (2) 或其补角即为异面直线与所成的角，根据余弦定理MBC ∠BM 11B C.222cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==⋅【详解】（1）因为，，所以，1AB AC ==π2BAC ∠=111122ABC S =⨯⨯=又因为直三棱柱中，所以平面111ABC A B C -1A A ⊥ABC即是三棱锥的高，1A A 1A ABC -则三棱锥的体积为1A ABC -1111243323ABC V S AA =⋅=⨯⨯= （2）因为，所以或其补角即为异面直线与所成的角，11//BC B C MBC ∠BM 11B C在中，，MBC BM CM ==BC =由余弦定理得，222cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==⋅所以MBC ∠=故异面直线与所成角的大小为BM 11B C 18．已知两条直线，，，判断两直线的位置关系．1:1l mx y m +=+2:2l x my m +=m R ∈【答案】答案见解析.【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判21m -210m -=断两直线平行或重合.【详解】令，解得，所以当时，与相交；210m -≠1m ≠±1m ≠±1l 2l 当时，与互相垂直；0m =1l 2l 令，解得；210m -=1m =±当时，的方程为，的方程为，与重合；1m =1l 2x y +=2l 2x y +=1l 2l 当时，的方程为，的方程为，此时；1m =-1l0x y -=2l 2x y -=-12l l //所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当1m ≠±1l 2l 0m =1l 2l 1m =1l 2l 时，．1m =-12l l //19．如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆周长为C ．(1)求球冠所在球的半径R (结果用h ､r 表示)；(2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面2S Rh π=65000S π=500C π=rR 积.【答案】(1)222h r R h +=(2)；5131690000π【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R 即可计算作答.【详解】（1）如图，点O 是球冠所在球面的球心，点O 1是球冠底面圆圆心，点A 是球冠底面圆周上一点，线段O 1B 是球冠的高，依题意，OB 垂直于球冠底面，显然O 1B =h ，OO 1=R -h ，O 1A =r ，在中，，即，整理化简得：，1Rt OO A △22211OA OO O A =+222()R R h r =-+222h r R h +=所以球冠所在球的半径R 有：.222h r R h +=（2）因球冠底面圆周长，则，500C π=2502Cr π==又球冠表面积公式为，且，则，由(1)知，2S Rh π=65000S π=325002Sh R R π==222h r R h +=即，解得，2223250065000250R =+650R =于是得，球O 的表面积为，250565013r R ==22446501690000R πππ=⨯=所以的值是，球冠所在球的表面积是.rR 5131690000π20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是矩形，且AD ＝2，AB ＝PA ＝1，平面PA ⊥ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．(1)证明：；PF FD ⊥(2)求四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；(3)求直线PE 与平面PFD 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(3)【分析】（1）利用勾股定理证得，再由线面垂直证得，由此证得得平面DF AF ⊥DF PA ⊥DF ⊥PAF ，进一步得到；PF FD ⊥（2）利用线面垂直的性质证得，，，从而分别求出各面面积，PB BC ⊥PD CD ⊥,PA AB PA AD ⊥⊥由此得到四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（3）连接EP 、ED 、EF ，由等体积法求点E 到平面PFD 的距离，即可求直线PE 与平面PFD 所成角的正弦值，则所求得解．【详解】（1）连结AF ，则在中，，同理：DF ，又AD ＝2，Rt ABF AF ==∴DF 2+AF 2＝AD 2，则，DF AF ⊥∵底面ABCD ，面ABCD ，∴，PA ⊥DF ⊂DF PA ⊥又PA ∩AF ＝A ，平面PAF ，∴平面PAF ，,PA AF ⊂DF ⊥而平面PAF ，则；PF ⊂PF FD ⊥ .（2）已知底面ABCD ，所以，PA ⊥PA BC ⊥因为在矩形中，，ABCD AB BC ⊥又面，所以面，,,PA AB A PA AB ⋂=⊂PAB BC ⊥PAB 又面，所以，PB ⊂PAB PB BC ⊥同理：，又，PD CD ⊥,PA AB PA AD ⊥⊥因此，，，1122PAB S PA AB =⋅= 112PAD S PA AD =⋅= 2ABCDS AB BC =⋅=，，12PBC S PB BC BC =⋅== 12PDC S PD CD CD =⋅==∴四棱锥P ﹣ABCD 的表面积1122S =++=（3）连接EP 、ED 、EF ，∵，EFD ABCD BEF ADE CDFS S S S S =---= 111324224---=∴＝，13P EFD EFD V S PA -=⋅ 1311344⨯⨯=又，PF ==DF =PE ==设点E 到平面PFD 的距离为h ，则由VE ﹣PFD ＝VP ﹣EFD ，得，解得11113324PFD S h PF FD h ⋅=⨯⋅⋅==h =设直线PE 与平面PFD 所成角的大小为θ，则sin h PE θ==则直线PE 与平面PFD 所成角的大小为21．已知函数的定义域为，且的图像连续不间断，若函数满足：对于给定的实数()f x [0,2]()f x ()f x 且，存在，使得，则称具有性质.m 02m <<0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+()f x ()P m（1）已知函数，判断是否具有性质，并说明理由；()f x =()f x 1()2P （2）求证：任取，函数，具有性质；(0,2)m ∈2()(1)f x x =-[0,2]x ∈()P m （3）已知函数，，若具有性质，求的取值范围.()sin f x x π=[0,2]x ∈()f x ()P m m 【答案】（1）具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）(0,1]【分析】（1）根据新定义可知，即，代入求即可进行判断；12m =001()()2f x f x =+0x （2）根据条件验证时的取值范围即可；00()()f x f x m =+m （3）考虑和两种情况，利用反证法即可求出取值范围．(0,1]m ∈(1,2)m ∈m 【详解】（1）具有性质，()f x 1(2P 设，令，则，03[0,2x ∈001()()2f x f x =+22001(1)()2x x -=-解得，又，所以具有性质；034x =33[0,]42∈()f x 1(2P （2）任取，令，则，0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+2200(1)(1)x x m -=+-因为，解得，又，所以，0m ≠012m x =-+02m <<0112m<-+<当，时，，02m <<012mx =-+0(2)(2)(1)11022m m m x m --=---+=-=-+>即，即任取实数，都具有性质；0122mm<-+<-(0,2)m ∈()f x ()P m（3）若，取，则且，(0,1]m ∈012m x -=102m - 132022m mm ----=>故，0[0,2]x m ∈-又，，所以具有性质；0()sin(22m f x ππ=-00()sin()sin()()2222m m f x m f x ππππ+=+=-=()f x ()P m 假设存在使得具有性质，即存在，使得，(1,2)m ∈()f x ()P m 0[0,2]x m ∈-00()()f x f x m =+若，则，，，，00x =0(1,2)x m +∈0()0f x =0()0f x m +<00()()f x f x m ≠+若，则，进而，，，，0[0,2]x m ∈-0(,2]x m m +∈0(0,1)x ∈0(1,2]x m +∈0()0f x >0()0f x m + ，所以假设不成立，所以．00()()f x f x m =+(0,1]m ∈【点睛】本题以函数的性质新定义为背景，考查函数基本性质及函数与方程的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
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高二年级数学（理科）12月月考试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分.考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷 （选择题, 共60分） 一、选择题（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句中正确的个数是(1)输出语句PRINT a ;b ;c (2)输入语句INPUT x =3 (3)赋值语句3=B (4)赋值语句T=T*TA ．0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个2．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n = A ． 163 B ． 176 C ． 192 D ． 3843．已知C B A ,,三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点C B A ,,一定共面的是A ．23OM OA OB OC =++ B ． 2OM OA OB OC =--C ．1123O M O A O B O C =-+D ．111236O M O A O B O C =++4．以下算法程序语句中的条件表达式正确的是A ．12x <<B ．1x ><C ．1x <>D ．1x ≤5．设,,x a b y b c z c a =+=+=+ ，且{,,}a b c是空间的一个基底，给出下列向量组： （1）{,,}a b x ；（2）{,,}x y z ；（3）{,,}b c z ；（4）{,,}x y a b c ++，其中可以作为空间的基底的向量组有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6．甲、乙两人在同样的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下,甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9，则甲乙的射击成绩 A ．甲比乙稳定 B ．乙比甲稳定 C ．甲、乙的稳定程度相同 D ．无法比较 7. 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中， 二面角111B C A B --的余弦值是A ．32 B ．23 C ． 33 D ．558．右侧程序运行的结果是2550，那么“？”应填写的条件是 A ．50k > B ． 50k <= C ． 100k <= D ． 100k >= 9．在四棱锥ABCD S -中，ABCD SA 平面⊥，底面ABCDk=1s=0WHILE ？ s=s+2k k=k+1 WEND PRINT s END第8题图为正方形，且1,2==SA AB ，点E 是线段SD 的中点，则异面 直线SA 与CE 的距离为 A ．55 B ．51 C ．332 D ．55210．右侧的程序输入的m ，n 的值分别为238，102，则运行的结果是 A ．34 B ．17 C ．34m = D ．无法运行 11．对如下图的两个程序框图说法正确的是A ．程序不同，输出结果不同B ．程序不同，输出结果相同C ．程序相同，输出结果不同D ．程序相同，输出结果相同12．为了解高三学生的视力情况，随机 地抽查了100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图。
由于不慎，将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值为 A ．0.27，78 B ．0.27，83 C ．2.7，78 D ．2.7，83第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4个小题, 每小题5分, 共20分，将答案填在答题卡相应的位置)13．已知2(2,1,),(,1,0),,a x x b x a b =+=-⊥且则=x . INPUT m ，nDOr=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT “m=”；mEND 第10题图 结束开始 i=0 s=1i<1000? 是i=i+2s=s*i否输出s结束开始 i=2 s=1 i ≤1000?是s=s*ii=i+2 否输出sABCDEF14．5位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有 种．（用数字作答） 15．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若m =6，则在第7组中抽取的号码是 ． 16．若在所给的程序中输入a =132,n =3按照下列程序运行完的结果是30，那么输入的正数k 是 ．三、解答题(本大题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 长为1.设1,,AA a AB b AD c === ，且,,120a b a c <>=<>=. (1)用,,a b c表示1BD ，并求1||BD ；(2)求直线BD 1与AC 所成的角的余弦值．18．（本小题满分12分）函数221311x y x x ⎧⎪=-⎨⎪-⎩(1)(110)(10)x x x <≤<≥ ，输入x 的值，计算y 的值，画出程序框图，并编写相应INPUT “a ，k ，ｎ=”； a ，k ，ｎ b=0 i=1 t=a MOD 10 DOb=b+t*k^(i-1) a=a\10t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL i>n PRINT b END的程序.19．（本小题满分12分）下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的100人的身高(单位ｃｍ)(1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高的平均值.20．（本小题满分12分）正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，F E ,分别是AC 和BC 边的中点，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角B DC A --．(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角C DF E --的余弦值；区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人 数369202818区间界限[146,150)[150,154)[154,158)人 数943(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥？证明你的结论.21．（本小题满分12分）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：转速x (转/s) 16 14 128每小时生产有缺损零件数y (件)119 8 5(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求线性回归方程及线性回归直线一定过的定点；（小数点后保留3位有效数字）(3)如果实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么机器运转速度应控制在什么范围内？（ 根据实际意义取整）22．（本小题满分12分）已知直棱柱111C B A ABC -的底面为等腰直角三角形，,2==CB CA 点D 为1CC 的中ABCDEF点，如果1AB 的中点E 在平面ABD 上的射影为三角形ABD 的垂心G(1) 求点1B 到平面ABD 的距离；(2) 求直线1BC 与平面BD A 1所成角的正弦值.数学试卷（理科）答案 一、选择题 题号123456789101112答案BC D C C A C B D C B A二、填空题 13．1 和12-14． 48 15． 63 16． 4三、解答题(本大题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）（1）c b a BD +-=1 ——————————————（2分） c b c a b a c b a c b a c b a BD ⋅-⋅+⋅-++=+-=+-=222)(22221 （3分）因为001,2,,,120,,90a b c a b a c b c ===<>=<>=<>=则=1BD 3 ——————————————————（ 5分） （2）c b AC +=，则直线1BD 和AC 所成角的余弦值为62)(3)()(,cos 2111=++⋅+-=⨯⋅=><c b c b c b a ACBD AC BD AC BD ——————（10分）18．（本小题满分12分）开始输入x 的值(1)程序框图（6分） INPUT xIF x>=1 THEN IF x>=10 THEN(2)程序（6分）0.00750.015 0.03 0.0375 0.045 频率/组距0.02250.06 0.05 0.06750.0750.070.0525 0.01 分组频数频率[122,126)30.03[126,130)60.06[130,134)90.09[134,138)200.2[138,142)280.28[142,146)180.18[146,150)90.09[150,154)40.04[154,158)30.03合计100119．（本小题满分12分）（1）————————（4分）（2）——————————————————（8分）（3）1221261261301301341341381381420.030.060.090.20.28222221421461461501501541541580.180.090.040.03139.68()2222x cm +++++=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+++++⨯+⨯+⨯+⨯=————————————（12分）20．（本小题满分12分）（1）因为F E ,为BC AC ,的中点，所以AB EF //,因为A B D AB 平面⊂, ABD EF 平面⊄,所以ABD AB 平面//——————————（2分）(2)以D 为坐标原点，分别以DA DC DB 和,为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系 ———————————（3分）由已知可得：)0,3,1(),1,3,0(),0,32,0(),2,0,0(),0,0,2(F E C A B所以)2,0,0(),1,3,0(),0,3,1(===DA DE DF 。