固体物理考前背诵

4 0 r n1n2 n3 n2 n2 n2 1 2
1 2 3
q2

1
n1 n2 n3
q2 ,其中和式 4 0 r
n1n2 n3

n12 n22 n32
1
n1 n2 n3 12
为一无量纲的纯数值,完全决定于晶体结构；它是一个负值,所以写为
)
分子晶体 依靠范德瓦尔斯力结 合，基本上保持着原 来的电子结构，结合 能低
金属晶体 电子的“共有化” 。依靠 原子实和电子云之间的 库仑力结合， 对晶格中原 子排列的具体形式没有 特殊的要求，原子愈紧 凑，库仑能就愈低。
靠两个原子各贡献一个 电子形成共价键，共价 键具有饱和性和方向性 的特征，结合能高

（P ） 表示的表征了晶格的周期性的空间格子，就称为布拉伐格子。
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功函数： 热电子发射现象的一个基本规律是发射电流随温度基本上按下列指数规律变化 e

W k BT
， W 称为功函数。
杂化轨道：在成键的过程中，由于原子间的相互影响，同一原子中几个能量相近的不同类型的原子轨道（即波 函数） ，可以进行线性组合，重新分配能量和确定空间方向，组成数目相等的新原子轨道，这种轨 道重新组合的方式称为杂化（hybridization),杂化后形成的新轨道称为杂化轨道。 原胞：一个晶格最小的周期性单元。 声子： 简谐振动的能量量子就称为声子。 （ P517 ） 声子碰撞：不同格波之间的相互作用。 （P 144 ） 声学波：声学波是晶格振动中频率比较低的、而且频率随波矢变化较大的那一支格波； 紧束缚近似： 紧束缚近似是将在一个原子附近的电子看作受该原子势场的作用为主， 其他原子势场的作用看作 微扰，从而可以得到电子的原子能级和晶体中能带之间的相互关系。 单电子近似：把每个电子的运动看成是独立的在一个等效的势场中的运动。 能带理论： 讨论晶体中电子的状态及其运动的一种近似理论。它把每个电子的运动看成是独立的在一个等效 的势场中的运动，即单电子近似的理论。其出发点是固体中的电子不再束缚于个别原子，而是在 整个固体内运动。 第一布里渊区：倒格点阵中从某一格点出发，做各倒格子矢量的垂直平分面，其中最靠近原点的一组面所围的 闭合区称为第一布里渊区。 德拜近似：把晶体当作弹性介质来处理。 振动模：由简正坐标所代表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常常称为一个振动模。 （ P81 ） 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，在这个过程中，将有一定的能量 W 释放出来，称 为结合能。 （ P52 ） 价带：最高的满带 导带：最低的空带 赝势：在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间 的区域的波函数，则这个假想的势能就叫做赝势。 （P 187 ） 马德隆常数：一对离子或一个原胞的能量
b1 2
a3 a1 a1 a2 a2 a3 ； b2 2 ； b3 2 a1 a1 a1 a2 a3 a2 a3 a2 a3
体心立方晶格原胞基矢： a1
a a a i jk i j k ； a2 i j k ； a3 2 2 2
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
m 2 2
2 cos aq
2 2 cos aq M 2
0
12 mM 4mM 2 sin aq 1 1 2 mM m M 2
两种不同的格波的色散关系：
3
4R / 2 / 4 , 单位体积晶体中的原子数为 4 /4R / 2 . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数
3
3




3




3
3
3
一个晶胞包含四个原子 , 一个原子占的体积为
3 之比为 2
2 0.919
.
三．计算题。
1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明: 由倒格子定义：
如右图所示， 质量为 M 的原子偏移格点的位移用„
2n 1 ， 2n1 ， 2n3 „表示，质量为 m 的原子偏
移格点的位移用„ 2n ， 2n 2 ， 2n 4 „表示。 牛顿运动方程：
m2n 22n 2n1 2 n1
体系为 N 个原胞，则有 2N 个独立的方程 方程解的形式： 2n 将






体心立方晶格原胞体积： a3
1 2
倒格子基矢： b1 2
a2 a3 2 a a 2 i jk i jk jk 2 2 a a1 a a 2 3





同理： b2 2
a1 a2 2 a3 a1 2 i j k i ； b3 2 a a a a a a1 a a 1 2 3 2 3
固体物理考前背诵
一．相关概念
布洛赫定理：当势场具有晶格周期性时，波动方程的解 具有如下性质： r Rn e


ik Rn
r
。
晶列：布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。 晶向：每一个晶列定义了一个方向，称为晶向。 晶面：布拉伐格子的格点可以看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面。 布拉伐格子： 用 l1 a1 l2 a2 l3 a3

2a
q

2a
——第一布里渊区
第一布里渊区允许 q 的数目

a

Na
=N
对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为 2N。
当 M=m 时
2 =

12 2 2 1 1 sin 2 aq 1 cos aq m m


4 aq 4 aq cos ； sin m 2 m 2
答： 设原子的半径为 R, 体心立方晶胞的空间对角线为 4R, 晶胞的边长为 4R / 3 , 晶胞的体积为 4 R / 3 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 4R / 3 / 2 ,单位体积晶体中的原子数为 2 / 4 R / 3 ; 面心 立方晶胞的边长为 4R / 2 , 晶胞的体积为 4 R / 2 ,
M 2n1 22n1 2n2 2n
Ae
i t 2 na q
； 2n+1
Be
i t 2 n 1 aq
2n Ae
i t 2 na q
； 2n+1
Be
i t 2 n 1 aq
将 us
ueiska eit ； vs veiska eit 代入上式有
M 2u C 10 eika v 11Cu 2 ika M v C e 10 u 11Cv
是 u，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
——两种色散关系如图所示， 在长波极限 q 0,
0 情况下：当 q 0 时 sin(
aq aq ) ， a m q 2 2
——与一维单原子晶格格波的色散关系一致。 3.3 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为 C 和 10C。令两种原子质量相同，且最近邻 间距为 体。 解：
德拜模型与爱因斯坦模型的基本思想与区别？ 答： 基本思想 爱因斯坦模型 根据量子理论，各个简谐振动的能量本征值是量子化 区别 爱因斯坦模型把固体中各原子的
振动看作是相互独立的，因而 3N 1 的，为 n j j （ n j 是整数）把晶体看成一个热 2 个振动频率是相同的。而德拜模型 力学系统，在简谐近似下各简正坐标所代表的振动是 相互独立的，因而可以认为这些振子构成近独立的子 系，且认为具有同一频率。 德拜模型 如果不从原子理论而是从宏观力学的角度来看，晶体 就是弹性介质，德拜就是把晶体当作弹性介质来处理 的，得到近似的频率分布函数 在布里渊区边界上电子能带有何特点？ 答：电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, E k 函数发生突变，近自由电 子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢正交, 则禁带的宽度是周期势场的傅立叶级数的 系数.不论何种电子, 在布里渊区边界上,电子的等能面与布里渊区边界正交 七个晶系 14 种布拉伐格子 以堆积模型计算由同种原子构成的同积的体心和面心立方晶体中的原子数之比？ 则考虑到了频率分布。




可见，由 b1 ， b2 ， b3 为基矢构成的格子为面心立方格子。 面心立方格子原胞基矢： a1
a a a j k ； a2 k i ； a3 i j 2 2 2
1 3 a 4来自

面心立方格子原胞体积：
倒格子基矢： b1 2
a2 a3 2 i j k a a1 a a 2 3


同理： b2
2 2 i j k i j k ； b3 a a




可见，由 b1 ， b2 ， b3 为基矢构成的格子为体心立方格子。 3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a） ，其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一 一对应。 解：
, 称为马德隆常数。( =
二．简答
结合能的性质把晶体分为哪四种？有什么特点？ 答： 类型 特点 离子晶体 以离子而不是以原子为 结合单位，其内能为所 有离子相互吸引库仑能 和重叠排斥能之和 共价晶体
n1n2 n3
n12 n22 n32
1
n1 n2 n3 12