7.2 正弦和余弦
正弦与余弦知识点总结
正弦与余弦知识点总结正弦与余弦的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边和斜边的比值为正弦值，邻边和斜边的比值为余弦值。
假设在直角三角形ABC中，∠C为90°，AB为斜边，BC为对边，AC为邻边，那么正弦与余弦的定义如下：正弦值：sin∠A=对边/斜边=BC/AB余弦值：cos∠A=邻边/斜边=AC/AB在直角三角形中，正弦与余弦的值可以用来描述角度和三角形边长的关系。
在不同的三角形中，正弦与余弦的值并不相同，但其性质和图像是相似的。
正弦与余弦的性质1. 周期性：正弦与余弦函数都具有周期性，其周期为2π。
这意味着在一个周期内，函数值将重复出现。
在[-π, π]或[0, 2π]范围内，正弦与余弦的函数图像将呈现出周期性的特点。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
奇函数具有对称中心原点，即f(-x)=-f(x)，在图像上关于原点对称。
而偶函数则具有对称中心y轴，即f(-x)=f(x)，在图像上关于y轴对称。
3. 交替性：正弦与余弦函数在图像上呈现出交替变化的特点。
在一个周期内，正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
两个函数的图像像是上下振荡的波形。
4. 相关性：正弦与余弦函数是相互关联的。
在直角三角形中，三角函数的相互关系可以由勾股定理推导出来。
sin²x + cos²x = 1是三角函数基本关系式，也称为三角恒等式。
正弦与余弦的图像正弦与余弦函数的图像是学习三角函数的重要内容之一。
它们的图像形状、周期性、奇偶性等特点对于理解三角函数的性质至关重要。
正弦函数的图像是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、奇函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内呈现出从最小值-1到最大值1的振荡变化。
正弦函数的图像具有对称性，关于原点对称。
余弦函数的图像也是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、偶函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内同样呈现出从最大值1到最小值-1的振荡变化。
高中数学-必修二7.2余弦函数的图像与性质-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学-必修二7.2余弦函数的图像与性质-知识点1、余弦函数：y=cosx ，x ∈ R ，y ∈ [-1,1] ，需掌握余弦函数的五点法画图。
（0，1） （π/2，0） （π，-1） （3π/2，0） （2π，1）★因为cosx=sin( x +π/2)，所以，余弦曲线可以由正弦曲线向左平移π/2后得到。
2、余弦函数的最小正周期是2π。
①对于y=Acos （ωx+φ），ω≠0，T= ωπ；②形如y=x Acos ω的周期，常结合图像 来解决，通常，周期是减半的，即T= ω 。
3、余弦函数f(x)=cosx 是定义在R 上的 偶 函数，关于y 轴 对称。
余弦曲线是轴对称图形且对称轴不唯一，对称轴：直线x=k π，k ∈Z ；还是中心对称图形且对称中心不唯一，对称中心为：（k π+π/2，0），k ∈Z 。
4、余弦函数f(x)=cosx 的严格增区间是[2k π-π，2k π]，k ∈Z ；严格减区间是[2k π，2k π+π]，k ∈Z 。
在x=2k π，k ∈Z 时，有f(x)max = 1 ；在x=2k π+π，k ∈Z 时，有f(x)min = -1 ；值域为 [-1,1] ，称为有界性 。
5、求值域典例1：求y=sinxcosx+sinx+cosx 的值域。
思路：①换元，设t=sinx+cosx ，由辅助角公式可知t ∈[-2,2]，②改写式子，y=0.5(t 2-1)+t ，并通过配方求出值域。
y=0.5(t+1)2-1，y ∈[-1，0.5+2]。
6、求值域典例2：求y=2cosx 1sinx 5++的值域。
思路：①化为整式，利用辅助角公式将sinx 和cosx 合并。
去分母得：5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx+1=ycosx+2y ⇒5sinx-ycosx =2y-1 ⇒5y 2+sin(x+φ)=2y-1。
②利用正弦函数的有界性构造不等式，从而求出值域。
《正弦和余弦》 说课稿
《正弦和余弦》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《正弦和余弦》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“正弦和余弦”是初中数学中三角函数这一板块的重要内容，它是在学生已经学习了直角三角形的边与角的关系，以及相似三角形的基础上进行的。
本节课的学习，不仅为后续学习正切函数以及解直角三角形等知识奠定基础，而且在实际生活中也有着广泛的应用，比如测量物体的高度、距离等。
教材通过引导学生观察直角三角形中锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比值，引出正弦和余弦的概念，注重培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了直角三角形的基本性质和相似三角形的相关知识，具备了一定的逻辑推理能力和数学思维。
但是，对于正弦和余弦这两个抽象的概念，学生可能会感到理解困难。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和直观的图形，帮助学生理解和掌握。
同时，学生在学习过程中可能会出现对概念的混淆和应用的错误，需要通过大量的练习和及时的反馈加以纠正。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正弦和余弦的概念，能够正确地表示出直角三角形中一个锐角的正弦和余弦值。
（2）掌握正弦和余弦的基本性质，会根据直角三角形的边长求锐角的正弦和余弦值。
2、过程与方法目标（1）通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。
（2）经历探索正弦和余弦概念的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过对正弦和余弦的学习，感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）在探索和交流的过程中，培养学生的合作精神和创新意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）正弦和余弦的概念及其表示方法。
（2）根据直角三角形的边长求锐角的正弦和余弦值。
2、教学难点（1）理解正弦和余弦的概念。
正弦,余弦定理
正弦,余弦定理正弦和余弦定理是三角函数中的重要概念，它们在解决三角形相关问题时起到了关键作用。
本文将分别介绍正弦和余弦定理的含义、推导过程以及应用场景。
一、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，三边的长度与其对应的角的正弦值之间存在一定的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的推导过程如下：假设有一个三角形ABC，分别连接AB、AC的垂线，垂足分别为D、E。
根据几何性质，可以得到以下关系：AD = b * sinCAE = c * sinB再根据三角形的内角和等于180°的性质，可以得到：∠B + ∠C + ∠AED = 180°∠B + ∠C + ∠ADE = 180°将上述两个等式代入，得到：∠ADE + ∠AED = 180°∠ADE + ∠ABC = 180°由此可以得出∠ABC = ∠AED，进而得到以下等式：sinA/sinB = AD/AE = b/c通过类似的推导过程，可以得到其他两个等式：sinA/sinC = c/asinB/sinC = a/b由此可以看出，正弦定理实际上是三个比例关系的等式，可以用来求解未知边长或角度的问题。
例如，已知一个三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求解第三边的长度或另外两个角的大小。
二、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，三边的长度与其对应的角的余弦值之间存在一定的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosCb² = a² + c² - 2accosBa² = b² + c² - 2bccosA余弦定理的推导过程如下：假设有一个三角形ABC，分别连接AC、BC的垂线，垂足分别为D、E。
初中数学 什么是正弦和余弦
初中数学什么是正弦和余弦正弦和余弦是初中数学中与三角函数相关的两个重要概念。
它们是用来描述和计算三角形中角度和边长之间关系的函数。
在本文中，我们将详细讨论正弦和余弦的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是指一个角的正弦值与其对边与斜边的比值之间的关系。
具体来说，对于一个锐角A，它的正弦值定义为sin(A) = 对边/斜边。
对于钝角A，正弦值定义为sin(A) = -对边/斜边。
正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 值域和定义域：正弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为整个实数集。
2. 周期性质：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即sin(A) = sin(A + 2π)。
3. 对称性质：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)。
4. 单调性质：在一个周期内，正弦函数在[0, π]上是单调递增的，在[π, 2π]上是单调递减的。
正弦函数在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来计算和描述三角形中的角度和边长之间的关系，比如计算角度的正弦值、计算边长的比例等。
此外，正弦函数还可以用来解决关于周期性和周期函数的问题，比如计算函数的周期、求解方程等。
二、余弦函数余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边与斜边的比值之间的关系。
具体来说，对于一个锐角A，它的余弦值定义为cos(A) = 邻边/斜边。
对于钝角A，余弦值定义为cos(A) = -邻边/斜边。
余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 值域和定义域：余弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为整个实数集。
2. 周期性质：余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即cos(A) = cos(A + 2π)。
3. 对称性质：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)。
4. 单调性质：在一个周期内，余弦函数在[0, π/2]上是单调递减的，在[π/2, 3π/2]上是单调递增的。
余弦函数在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来计算和描述三角形中的角度和边长之间的关系，比如计算角度的余弦值、计算边长的比例等。
正弦公式和余弦公式
正弦公式和余弦公式正弦公式和余弦公式是数学中的两个重要的公式，它们是用来研究正弦和余弦的函数关系的重要工具。
它们描述的正弦和余弦的函数关系可以用来解决许多不同种类的数学问题，也可以应用于物理学，化学，机械等许多科目。
正弦公式和余弦公式的概念源自三角学，是一种表达描述三角形内点和某直线之间关系的数学工具。
通常，正弦和余弦函数关系都是从平面坐标中，给定一个点(x,y)，根据这个点可以求出正弦和余弦函数之间的关系。
特别地，如果x=0，那么正弦公式的结果为y=0，而余弦公式的结果为y=1。
而正弦公式和余弦公式的定义则是以直线做为基础形成的，即通过从给定点推导出正弦和余弦函数之间的关系，来求解出给定点和直线之间的距离。
正弦公式和余弦公式都是以弧度为单位进行计算的，而在数学中，弧度是指一个圆心和一条弧之间需要经过的角度，而这个角度也可以用圆周长来表示，即一个圆的周长等于2π倍这个角度，其中π为圆周率，它的值大约为3.14159。
因此，通过求解弧度和弧长之间的关系，可以定义出正弦公式和余弦公式。
正弦公式的定义为：y=sin(x)，其中y代表的是弧上的某个点的纵坐标，而x代表的是这个点在弧上的角度，也就是说，正弦函数的值等于这个角度的正弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，正弦函数值等于这个角度的正弦值。
余弦公式定义为：y=cos(x)，其中y是某点在弧上的纵坐标，而x则是这个点在弧上的角度，而余弦函数的值等于这个角度的余弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，余弦函数值等于这个角度的余弦值。
正弦公式和余弦公式都有很多的应用，例如正弦公式可以被用来求解矩形三角形的外接圆的半径，也可以用来求解正弦函数在一段区间内的变化曲线；而余弦公式则可以用来计算直角三角形的内切圆的半径，以及求解余弦函数在一段区间内的变化曲线。
正弦公式和余弦公式在解决数学问题和实际应用中的作用非常重要，因为它们定义了正弦函数和余弦函数之间的关系，而正弦函数和余弦函数则是解决现实生活中许多问题所不可缺少的一种函数，因此研究这两个公式的基础原理和实际应用对于更好地理解以及解决问题都是非常重要的。
初中九年级(初三)数学课件 正弦和余弦
1.建立一个直角坐标系； 2.以原点为圆心，选取适当的长度为一个单位长度 ， 作出在第一象限内的圆弧。 3.把一个点从原点出发，沿着50°线移动一个单位的 长度到达圆弧上。 4.请你量出这个点在竖直方向上升的长度和水平方向前 进的长度。
你能利用上面的操作计算出50°正弦和余弦值吗？
几何画板链接
2.sinA,cosA,tanA是一个比值（数值）.
3.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关.
课后作业 探究与训练：P162练习与评 价
再见
实践与探索
如图，小明沿着斜坡向上行走了13m，
他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜
坡行走了20m，那么他的相对位置升高了
多行少走？了a m呢？
P1
P
5m
O
M
M1
在上面的情形中，小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？
Rt△OPM∽Rt△OP1M1
B P1
P
O
M
M1
A
所以
PM = OP
P1M1 OP1
苏科版九年级数学(下)第七章
7.2 正弦、余弦（1）
徐州市第三十六中学
复习回顾
如果直角三角形的 一个锐角的大小确定, 那么这个锐角的对边 与邻边的比值也确定.
在Rt△ABC中, ∠A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切,记作tanA,即
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
想一想
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 其对边与斜边、邻边与斜边的比值也是惟 一确定的吗？
小结 回顾
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
正弦和余弦公式
正弦和余弦公式正弦和余弦公式是一种广泛应用于三角函数中的基本运算法则。
正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是一对基本的数学公式，广泛应用于各类数学计算中，包括解三角形问题、优化问题、计算复杂数学表达式等。
它们的关系可以通过单位圆来直观地理解：正弦函数表示单位圆上点的纵坐标，余弦函数表示单位圆上点的横坐标。
正弦公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ、sin2α = 2sinαcosα、sinαsinβ =1/2[cos(α - β) - cos(α + β)]都是正弦函数的固有运算法则。
余弦公式cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ、cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α、cosαcosβ = 1/2[cos(α + β) + cos(α - β)]都是余弦函数的固有运算规则。
正弦和余弦公式在物理、工程、经济等众多领域都有着广泛的应用。
例如，在物理学中，振动和波动问题常常需要用到正弦和余弦公式进行描述和计算。
在工程学中，许多复杂的力学问题也会通过正弦和余弦公式进行化简和求解。
值得注意的是，正弦和余弦公式在运算过程中，往往需要注意角度的转换问题。
在实际应用中，角度一般有两种表示方式：度数制和弧度制。
当我们在使用正弦和余弦公式时，需要根据具体的情况，清楚地知道角度是以何种形式表示的，否则可能会导致计算错误。
总的来说，正弦和余弦公式是数学的基础知识，良好的掌握和理解能够帮助我们更好的解决各类数学相关问题。
同时，它们作为一种普遍的数学语言，也是我们理解世界的重要工具。
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》(第1课时)讲说课稿
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一课时，是在学生学习了锐角三角函数的基础上进行授课的。
本节课的主要内容是正弦和余弦的概念、性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦和余弦的定义，理解它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析在进入九年级下册的学习之前，学生已经掌握了锐角三角函数的相关知识，对三角函数有一定的认识。
但是，对于正弦和余弦的概念、性质及其应用，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生逐步理解正弦和余弦的定义，通过举例、讲解、练习等方式，让学生逐步掌握它们的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方法，学生能够自主探究正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：正弦和余弦的概念、性质及其应用。
2.教学难点：正弦和余弦的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过生活实例引入正弦和余弦的概念，让学生感受数学与实际生活的联系。
2.引导发现法：在讲解正弦和余弦的性质时，引导学生观察、思考、讨论，发现其中的规律。
3.练习法：通过丰富的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解正弦和余弦的定义，通过例题和练习题，让学生掌握它们的性质。
3.课堂讨论：引导学生观察、思考、讨论正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
初中数学九年级下册苏科版7.2正弦、余弦优秀教学案例
1.教师引导学生对所学知识进行反思，总结正弦、余弦函数的性质及应用。
2.学生进行自我评价，发现自身不足，明确后续学习目标。
3.教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和发展，给予鼓励和指导。
本节课的教学策略旨在充分发挥学生的主体作用，引导学生主动探究、合作学习，提高学生的数学素养。通过情景创设、问题导向、小组合作、反思与评价等教学手段，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力，促进学生的全面发展。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的周期性现象，如钟表走动、海浪起伏等，引导学生关注数学与现实生活的联系。
2.提出引导性问题：“这些周期性现象背后是否存在共同的数学规律？”激发学生思考和探究欲望。
3.回顾已学过的锐角三角函数知识，为学生学习正弦、余弦函数奠定基础。
（二）讲授新知
（一）情景创设
1.利用多媒体展示生活中常见的周期性现象，如钟表走动、海浪起伏等，让学生感受数学与现实生活的紧密联系。
2.设计具有挑战性的数学问题，激发学生探究欲望，引导学生主动参与到学习过程中。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，鼓励学生大胆提问、发表见解，增强学生的自信心。
（二）问题导向
1.教师提出引导性问题，引导学生思考正弦、余弦函数的定义及性质。
3.小组合作与实践操作：在学生小组讨论环节，教师组织学生进行小组合作，分享学习心得，培养学生合作学习的习惯。同时，教师还引导学生进行实践性任务，如制作正弦、余弦函数的演示道具，增强学生的动手能力，使学生在实践中巩固所学知识。
4.反思与评价：在总结归纳环节，教师引导学生对所学知识进行反思，总结正弦、余弦函数的性质及应用。同时，学生进行自我评价，发现自身不足，明确后续学习目标。教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的成长和发展，给予鼓励和指导，使得学生在评价中不断进步。
正弦和余弦
正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数．3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca ，∠A 的余弦cos ＝cb ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．ABBC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABAC A =∠斜边的邻边．实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角；(2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0．在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47，cosB ＝cos ∠ACD ＝43．例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝AB BC AB CD =．正解：sin ＝BCBD ABBC ACCD ==．说明：错解之一是所答线段比ABCD ，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD ，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD ．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了．例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21³6＝3．在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BDAB ＝4．∵S △ABC ＝21BC ²AD ＝21AC ²BE ，∴BC ²AD ＝AC ²BE ， 即6³4＝5³BE ． ∴BE ＝524．在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BEAB ．∴cos ＝257=ABAE ．说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21．说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键． 例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA s in c o s c o s ∙的值是( ) A ．ca B ．ac C ．baD ．ab剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝cb ，sinB ＝cb ，cosB ＝ca ，化简得ca ，所以选A ．剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即Bsin Bcos A cos ⋅＝cosB ＝ca ．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值．解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1．∴cos α＝31=ABAC ．说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】1．选择题(1)下列各式中，正确的是( ) A ．sin60°＝21 B ．cos （90°－30°）＝sin60° C ．cos60°＝21D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°²cos60°等于( ) A ． 22B ．23 C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( ) A ．54 B ．53 C ．43 D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213C ．131 D ．135(5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21 B ．1C ．215 D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( )A ．扩大两倍B ．缩小到一半C ．没有变化D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( )A ．21 B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32 C ．23 D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( ) A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦(12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41(13)下列等式中正确的是( ) A ．sin20°＋sin40°＝sin60° B ．cos20°＋cos40°＝cos60° C ．sin （90°－40°）＝cos40° D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( ) A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( ) A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosA C ．sin （A ＋B ）＝cos D ．sinA＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( ) A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( ) A ．α＞β B ．α＜β C ．α＝β D ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( )A ．259 B ．54C ．53 D ．2516(21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒∙︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′； (6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°²cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°²cos45°＋cos30°²sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)： (1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29； （2）b ＝9，c ＝85； （3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ²sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15°23 （10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23(2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′ 6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292;(2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859; (3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。
正弦和余弦的关系
正弦和余弦的关系正弦和余弦是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用。
正弦和余弦之间有着密切的关系，通过它们可以描述周期性现象、波动和振动等。
本文将介绍正弦和余弦的定义、性质以及它们之间的关系。
正弦和余弦是三角函数中的两个基本函数，它们是周期函数，周期为360度或2π弧度。
正弦函数可以表示成一个波动的曲线，而余弦函数则可以表示成一个振动的曲线。
正弦函数和余弦函数是互为相反的，它们之间存在着明确的数学关系。
我们来看正弦函数的定义。
正弦函数可以表示为y = sin(x)，其中x为自变量，y为因变量。
在单位圆中，正弦函数可以表示为以原点为中心的圆上一点到x轴的垂直距离。
当x为0度或2π弧度时，正弦函数的值为0；当x为90度或π/2弧度时，正弦函数的值为1；当x为180度或π弧度时，正弦函数的值为0；当x为270度或3π/2弧度时，正弦函数的值为-1。
正弦函数的值在-1到1之间波动，具有周期性。
接下来，我们来看余弦函数的定义。
余弦函数可以表示为y = cos(x)，其中x为自变量，y为因变量。
在单位圆中，余弦函数可以表示为以原点为中心的圆上一点到y轴的水平距离。
当x为0度或2π弧度时，余弦函数的值为1；当x为90度或π/2弧度时，余弦函数的值为0；当x为180度或π弧度时，余弦函数的值为-1；当x为270度或3π/2弧度时，余弦函数的值为0。
余弦函数的值在-1到1之间振动，具有周期性。
正弦函数和余弦函数之间存在着一种重要的关系，即正弦函数是余弦函数的导数。
导数可以理解为一个函数在某一点上的斜率，它描述了函数在该点的变化率。
对于正弦函数和余弦函数来说，它们在每个点上的导数都是它们之间的关系。
这个关系可以用以下公式表示：sin(x) = cos(x + π/2)。
因此，我们可以通过正弦函数和余弦函数之间的关系来计算它们的值。
例如，如果我们知道余弦函数的值为0.5，那么可以通过求解cos(x) = 0.5来计算x的值。
正弦与余弦定理和公式
正弦与余弦定理和公式三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。
日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。
但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABCxx，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R 为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA :sinB :sinC = a :b :c;在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD =BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。
7.2 余弦函数的图像与性质(课件)高一数学下册同步备课系列(沪教版2020必修第二册)
3.与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法 (1)利用sin x,cos x的有界性. (2)利用sin x,cos x的单调性. (3)化为sin x=f(x)或cos x=f(x),利用|f(x)|≤1来确定. (4)通过换元转化为二次函数.
【题组训练】
1.不等式2cos x> 3的解集为
A. (0, )
33
【思路导引】本例题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数,可以化归为 利用二次函数求最值的方法求解.
【解题策略】1.形如y=acos x+b(a≠0)函数的单调区间 (1)当a>0时,其单调性与y=cos x的单调性一致. (2)当a<0时,其单调性与y=cos x的单调性恰好相反. 2.比较cos α与cos β的大小时,可利用诱导公式化为[0,π]内的余弦函数值 来进行.
上的图像,并根据图像讨论函数性质.
解 列表
x
0 π π 3π 2π
2
2
cos x 1 0 -1 0 1
y cos x -1 0 1 0 -1
y
y cos x，x 0, 2π
1
•
o
•
•
3
2
x
• -1
2
2•
例3不求值比较下列各对余弦值的大小：
(1) cos 5 π
4
和 cos 7 π
5
；(2)
cos(-
a a b
b 0, 4,
解得
a b
2, 2.
所以a=2,b=-2或a=-2,b=-2.
【补偿训练】 1. 函数y=2-cos x的单调递减区间是
A.[kπ+π,kπ+2π](k∈Z) B.[2kπ-π,2kπ](k∈Z) C. [2k,2k ](k∈Z)
7.2.1三角函数的定义-人教B版高中数学必修第三册(2019版)教案
7.2.1 三角函数的定义-人教B版高中数学必修第三册（2019版）教案一、教学目标1.了解三角函数的概念和定义；2.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域及基本性质；3.能够运用三角函数解决实际问题。
二、教学重点1.正弦函数、余弦函数和正切函数的概念和定义；2.正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域和基本性质。
三、教学难点1.正弦函数、余弦函数和正切函数的初步运用；2.运用三角函数解决实际问题。
四、教学准备1.教材《人教B版高中数学必修第三册（2019版）》；2.课件、黑板、粉笔或白板、马克笔等。
五、教学过程1. 引入教师重点突出三角函数在数学中的重要性和应用，引导同学们了解三角函数的定义及其性质。
2. 三角函数的定义1.弧度制与角度制的转化；2.弧度的定义和性质；3.三角函数的定义及其性质。
3. 正弦函数和余弦函数1.正弦函数和余弦函数的图像；2.正弦函数和余弦函数的定义域、值域和周期；3.正弦函数和余弦函数的基本性质（奇偶性、对称轴等）；4.正弦函数和余弦函数的运用。
4. 正切函数1.正切函数的图像；2.正切函数的定义域、值域和周期；3.正切函数的基本性质；4.正切函数的运用。
5. 同济大学题型设计对同济大学的题型进行设计，完美演练同学们运用所学知识解决实际问题的能力。
6. 总结回顾本节课的内容，向同学们提出三角函数和函数常见问题。
六、教学反思三角函数是整个数学体系中的重要知识点，是学好高数的关键之一。
本节课程主要以三角函数的定义、性质、图像、基本性质和运用为主线，突出了数学在现实生活中的运用，强调了同学们对物理、几何等科目知识的综合应用能力。
整节课教学共计60分钟，时间安排合理有条理，同学们也能够积极参与互动，展现出自己的思维能力及实际操作能力。
正弦和余弦课件
正弦函数的定Leabharlann 和公式正弦函数是以单位圆上的角度为自变量的周期函数。它的定义域是实数集， 值域是介于-1和1之间的实数。正弦函数的公式为：y = A sin(Bx + C) + D
余弦函数的定义和公式
余弦函数也是以单位圆上的角度为自变量的周期函数。它的定义域是实数集，值域是介于-1和1之间的实数。 余弦函数的公式为：y = A cos(Bx + C) + D
应用领域和实际应用
正弦和余弦函数在物理、工程和科学领域中有广泛的应用。它们可以描述机械振动、电磁波传播、声音的变化 等现象。在实际应用中，它们可以用来分析和解决各种振动和波动问题。
总结和要点
通过本课件，我们学习了正弦和余弦函数的定义、公式、性质和实际应用。它们是数学中重要的工具，可以帮 助我们理解和分析周期性的振动和波动现象。
正弦和余弦的性质和关系
正弦和余弦函数具有一些重要的性质和关系。它们是互余函数，即sin(x) = cos(π/2 - x)。它们的图像都是周期性的波动曲线，但是相位不同，可以表示不 同的相位关系和波动形态。
图示和实例说明
通过图示和实例，我们可以更直观地理解正弦和余弦函数。我们将展示它们的图像、周期性、振幅、相位差等 特点，并通过实际案例说明它们的应用。
正弦和余弦ppt课件
正弦和余弦是数学中的重要概念。它们是周期函数，用来描述波动和振动现 象。在这个课件中，我们将深入探讨正弦和余弦函数的定义、性质以及实际 应用。
什么是正弦和余弦？
正弦和余弦是三角函数的两个基本函数，用来描述周期性随时间变化的振动 或波动。它们在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
余弦定理与正弦定理
余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。
它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或角度。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探讨它们的区别和联系。
一、余弦定理的定义和公式余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。
它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条边长，cosC为角C的余弦值。
二、正弦定理的定义和公式正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边长的定理。
它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
三、余弦定理和正弦定理的应用1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。
- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。
2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。
- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。
四、余弦定理与正弦定理的区别和联系余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。
余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。
而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。
此外，两个定理之间也存在一定的联系。
通过余弦定理可以推导出正弦定理，而正弦定理也可以推导出余弦定理。
在解决问题时，可以根据具体情况选择使用其中一个定理进行计算。
总结：余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。
正弦和余弦
正弦和余弦教学建议1．知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.2．重点、难点分析（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.（2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：∽∽∽……所以，因为相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.理应注意：单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能准确地使用它们.4．我们理应学会理解任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.我们不但理应熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能准确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形，，作，我们应准确地写出如下的三角函数关系式：很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，理应熟悉掌握它们.利用勾股定理，很容易求出含有或角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.根据定义，有另一方面，能够想像，当时，边与AC重合（即），所以当时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有把以上结果能够集中列出下面的表：6．教法建议：（1）联系实际，提出问题通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备．(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板实行度量，并引导学生得出规律：，再进一步对含的三角板实行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到,这时，理应即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.(3)增强数形结合思想的教学“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这仅仅从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，所以教学中要充分利用这部分教材，协助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提升在几何问题中注意使用代数知识的水平．第一课时一、教学目标1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这个事实。
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考考你：
已知∠A和∠B都是锐角，
A （1）cos(90º -A) = sin______
（2）sin(90º -B) = cos______ B
例题讲解：
1 (1) 已知sinA= 且∠B=90º —∠A,求cosB; 2
(2) 已知sin35º =0.5736,求cos55º ; (3) 已知cos47º6’=0.6807,求sin42º54’. （4）已知sin67º18’=0.9225,求cos 22º42’ ______ =0.9225。
sin30º =cos60º sin60º =cos30º
sin45º =cos45º ,
我们发现：30º ， 45º ，60º 这三个特 殊角的正弦值分别 等于它们的余角的 余弦值。
合作探究：对于任意锐角的正弦值，是否
也等于它的余角的余弦值呢？
B
a
A的对边 sinA= 斜边
cosB=
A -A) sinA= cosB = cos (90º
能力提高
• 若关于x的一元二次方程4x2-2（m+1） x+m=0的两个根是一个直角三角形的两 锐角的正弦，求m的值。 B
A
C
小结 1、互为余角的正弦、余弦关系： sin A= cos (90°-A) cos A= sin (90°-A)
2、同角的正弦、余弦关系： sin 2A+cos 2A=1
∠B=90º -∠ A
a = c B的邻边 = a c 斜边
c
b
C
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sinA=cos(90º -A), cosA=sin(90º -A)
正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. sinA=cos(90º -A), cosA=sin(90º -A)
课题
1.结合图形回答：什么是∠A的正弦、什么 是∠A的余弦，怎样表示？
A 的对边 sinA= 斜边 A的邻边 cosA= 斜边
A
B
C
2. 30°角的余角 60° 是A的余角是__ （90-A）°
2.30º 、45º 、60º 角的正、余弦值分别为多少？
B B
2
A
30º
60º 1 ∟
2
A
45º ∟
1
C
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
1
1 sin30º = 2
cos30º =
3 2
3 sin60º = 2 1 cos60º = 2
2 sin45º = 2 2 cos45º = 2
观察以下各式，从中你能发现什么特征？
1 sin30º = 2
3 cos30º = 2
3 sin60º = 2
1 cos60º = 2
2 sin45º = 2 2 cos45º = 2
作业：
习题A组第5题，
小组作业：习题B组第1、2题。 补充：已知θ为锐角，且关于x的 方程2x2-4xsinθ+3cosθ=0的两个实 数根相等，求锐角θ。
迁移 sin A=
B
a cA
c
b
a cos A= C
b c
sin A与cos A有什么关系？ 同角的正弦、余弦关系： sin 2A+cos 2A=1
1、计算：
sin 33 cos57 cos33 sin 57
0 0 0
0
2.(1) 已知sinα= 求sinαcos α
2 5
求COSα
（2）若sinα +cos α =1