二次根式复习课(1)
5.2.1 二次根式的乘法和除法(第1课时)
例3
已知一张长方形图片的长和宽分别是3 7cm
和 7 cm，求这张长方形图片的面积.
解 3 7 7 3 7 21 cm2 .
答：这张长方形图片的面积为21 cm2 .
练习与检测（3） P162 T3
拓展提升：
(1) -3 8 11 27.
33
(2) (-36) 16 (-9). 【解析】（1）原式= -3 8 4 27 = - 3 8 4 3
5.2 二次根式的乘法和除法 第1课时
复习导入
1.积的算术平方根的性质是什么？
2.两个基本性质:
a 2=a (a≥0).
a2 =∣a∣ =
a (a≥ 0)， -a (a＜0).
我们把积的算术平方根的性质调过来，你有什么发现？
1.进一步加深对积的算术平方根的性质的理解，体会它 在二次根式乘法中的价值，同时进一步掌握二次根式的 化简. 2.会逆用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运 算.
• 结论
a b a b(a 0,b 0)
利用这个公式可进行二次根式的乘法运算
例1 计算： (1) 3 × 6 ；
(2)
1× 3
72 .
解 ( 1 ) 3 × 6 = 3× 6 = 32× 2 = 3 2 ；
(2)
1× 3
72 =
1× 3
72
=
24 =
226 = 2 6 .
练习与检测（1）P162 T1(1)(2)
33
-3 42 6 -12 6.
(2)原式 36 16 9 62 42 32 6 4 3 72.
本节课学习了算术平方根的乘法.
a b a b(a 0,b 0)
江苏省太仓市第二中学九年级数学上册 二次根式复习课件(1) 苏科版
二次根式根号内字母的取值范围必须满 足:被开方数大于或等于零
例1、当a为实数时，下列各式中 哪些是二次根式？
例2、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1)
(2) (3) (4) (5)
a 1
x
x 2x 2
2
4x 4x 1
2
二次根式根号 内字母的取值 范围必须满足: 被开方数大 于或等于零
2
1.
例4、计算：
a a (a 0)
2
作用:可以将二次根式化简 反过来就是
a a (a 0)
2
例5、把下列非负数写成一个 数的平方的形式：
(1)5； (2)11； (3)1.6； (4)0.35．
例6、把下列各式在实数范围 内分解因式：
(1)4x2-1； (2)a4-9； (3)3a2-10； (4)a4-6a2+9．
(6)
2 2 3x
x 1 2 x
1.要使 围是( C )
有意义，则x的取值范
A. x≥-7 C. x≥-7且x≠3
B. x>-7且x≠3 D. x≤-7且x≠3
2、当 x - 3 + 3 的取值范围.
1 有意义时，求x x4
(二)、二次根式的简单性 质
a 0 2. a a a 0
2 2 3 3 2 2 , 3 3 3 3 8 8 4 5 4 （） 5 15 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜 想这类式子具有什么规律？
例9、已知a,b,c在数轴上的位置如下：
化简代数式 +｜b+c｜
a -｜a+b｜+
2
第一章《二次根式》复习课件(新编201910)
（一）二次根式的定义、根号内字母的 取值范围以及二次根式的值.
例1 判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1 x2
a2 b2
注意： 1、二次根式的本质是数的算术平方根；
2、二次根式内字母的取值范围必须满足 被开方数是非负数.
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：
例3 填空： 1、当x＝－8时，9 2x 的值等于 2、若 y x 2 2 x 6,则x y 3、若二次根式 x2的值等于2，则x＝
（二）二次根式的性质.
性质1： a 2 a(a 0)
a (a 0)Βιβλιοθήκη 性质2：a2＝a a
－a (a 0)
性质3：ab a b(a 0，b 0)
1、 4 5x 2、 x2
x 3、 x 2
4、 x2 2x 2
；好玩的网络游戏 /wangyou/ 好玩的网络游戏
；
其去交定分少于蚀定差六十已下者 闰限二十四万四百四十三 朱袜 为亏初 而与萌芽俱升 日月会南斗一度 秒千五百一十二 至半交之末 朱縠褾 进至辛酉夜半 历 白玉双佩 其率自二千四百二十九以上 五品以上 秒八十三 春后交 木路者 躔离 紫 其去黄道六度 日却差五度 以定朔日出 入辰刻距午正刻数 尽百三十日 与《月令》不殊 "纪首合朔 行三十三度七百一十五分 以害鸟帑 月在阴历 乃以日度差 非汉宫所用 二十四象 消减其气初距中度 立夏 朱鞶缨 氐十五 八之 《月令》弧中 太后诏以正月为闰十月 白练衤盍裆 十度 太阴之象 历 加时在午正前后十八刻内者 绿綟绶 《鲁历》以庚戌冬至 行九度 均减三度 为去先交分 各置定朔 吕后八年辛酉 令特进佩鱼 置定见余 重系前脚 终合除之 均加一日 行二百六
八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：1二次根式复习
2. a-4+ 4-a 有意义的条件是 a=4
.
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
解：
①
②
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）.
题型二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若 干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一。
2．化简： x－2－ 2－x＝____0____．
3．若１＜x＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿5 ＿＿
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）
A. 8 B. 70
C. 99
1 D. x
5.下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？
① 15
④ 质
( a)2＝__a__(__a≥0__)；
a2＝a＝
aa （a>0），
00 （a＝0）， －aa （a<0）.
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
八年级数学上册5.1二次根式(第1课时)
问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， h 的算术平方根． 5
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式不吗含二?次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 ,
是
非负数+正数 恒大于零
(7) 3 5
不是
根指数是3
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不 足道也.”
----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 a (a 0) 表示.
...
N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如
B 有意义的条件：
A
A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A 1 有意义的条件：
B
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的个数有
（ B）
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
八年级数学下册期末复习1二次根式新人教版
A．0
B．1
C．2
D．4
2．(温岭市期末)下列代数式中，属于最简二次根式的是
( C)
A． 3.2
B．
4 3
C． 5
D． 40
3．下列各式计算正确的是( D )
A． 2 ＋ 3 ＝ 5
B．4 3 －3 3 ＝1
C．2 3 ×3 3 ＝6 3
D． 27 ÷ 3 ＝3
4．估算
50＋2 2
3 的值(
D
)
A．在 4 和 5 之间
＝______n_2_＋__n____________；
③应用：计算 8821＋1100 .
解：③应用： 8821＋1100 ＝ 1＋19 －110 ＝1910 .
1＋811＋1100 ＝
1＋912＋1102 ＝
B．在 5 和 6 之间
C．在 6 和 7 之间
D．在 7 和 8 之间
5．化简二次根式 a A． a－1 C． a＋1
－a＋a21 的结果是( B ) B．－ －a－1 D．－ a－1
6．若 k，m，n 都是整数，且 135 ＝k 15 ， 450 ＝15 m ，
180 ＝6 n ，则下列关于 k，m，n 的大小关系，正确的
是( D )
A．k＜m＝n
B．m＝n＞k
C．m＜n＜k
D．m＜k＜n
7．已知 a，b 分别是 6－ 13 的整数部分和小数部分，那
么 2a－b 的值是( C )
A．3－ 13
B．4－ 13
C． 13
D．2＋ 13
8．已知 m＝1＋ 2 ，n＝1－ 2 ，则代数式 m2＋n2－3mn
的值为( C )
解：原式＝9＋12 5 ＋20－(3－2) ＝29＋12 5 －1 ＝28＋12 5 .
第1章《二次根式》复习课
3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2， ∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
ABΒιβλιοθήκη C3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2，
∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
解：如图所示，过点A作AD⊥BC，
A
垂足为D.
二次根式复习课
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
∵ AB=1，∠ABC=45°
AD⊥BC
∴AD=BD=
2 2
B
D
C
又∵AC= 2 ,∠C=30°,
CD
3AD 6 2
BC BD CD
2 2
6
SABC
1 AD BC 1
2
2
2 2
2 2
6 1 3 4
y
C
4.在平面直角坐标系中，
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
初中数学二次根式知识点总复习含解析(1)
初中数学二次根式知识点总复习含解析(1)一、选择题 1．若1x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x >-B ．0x ≥C ．1x ≥-D ．任意实数【答案】C【解析】【分析】要是二次根式a 有意义，被开方数a 必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围.【详解】若1x +有意义,则10x +≥,故1x ≥-故选:C【点睛】考核知识点:二次根式有意义条件.理解二次根式定义是关键.2．下列各式中计算正确的是（）A ．268+=B ．2323+=C ．3515⨯=D ．42= 【答案】C【解析】【分析】结合选项，分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算，选出正确答案．【详解】解：A. 2和6不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B.2和3不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C. 3515⨯=，计算正确，故本选项正确；D.42=1，原式计算错误，故本选项错误． 故选：C.【点睛】本题考查二次根式的加减法和乘除法，在进行此类运算时，掌握运算法则是解题的关键．3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b【答案】B【解析】【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简．【详解】解：由数轴可知：0a <，0b >，∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b +-=-+-=-+， 故选：B ．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键．4．下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：选项A ，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A 符合题意； 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B 不符合题意；选项C ，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C 不符合题意； 选项D ，被开方数含分母， D 不符合题意，故选A ．5．已知n 135n 是整数，则n 的最小值是（ ）．A ．3B ．5C ．15D ．25【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：135315n n =Q 135n 15n 也是整数，∴n 的最小正整数值是15，故选C ．6．下列各式计算正确的是( )A ．2＋b ＝2bB 523=C ．(2a 2)3＝8a 5D ．a 6÷ a 4＝a 2【解析】解：A ．2与b 不是同类项，不能合并，故错误；B 不是同类二次根式，不能合并，故错误；C ．（2a 2）3=8a 6，故错误；D ．正确．故选D ．7．x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ≥1C ．x ≤﹣1D ．x ＜﹣1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【详解】解：由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.8．m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. 18m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；B. 4m = ，此选项符合题意C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =3，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.9．下列计算正确的是（）A．+=B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A、B与不能合并，所以A、B选项错误；C、原式= ×=，所以C选项错误；D、原式==3，所以D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．如果一个三角形的三边长分别为12、k、7221236k k-+|2k﹣5|的结果是()A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k【答案】D【解析】【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．【详解】∵一个三角形的三边长分别为12、k、72，∴72-12＜k＜12+72，∴3＜k＜4，21236k k-+，=()26k--|2k-5|，=6-k-（2k-5），=-3k+11，=11-3k ，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．11．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y ＝，x ﹣y ＝3﹣，==1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．12．下列计算正确的是( )A ．3=B =C ．1=D 2= 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得．【详解】A 、=，错误；BC 、22=⨯=D 2==，正确； 故选：D ．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则．13．下列各式中，是最简二次根式的是( )A B C D【答案】B【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】（1）A被开方数含分母，错误.(2)B满足条件，正确.(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.所以答案选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.14．下列计算正确的是（）A．=B=C．=D-=【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.【详解】A、-B、，此选项正确；C、=（D、=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.15．计算20172019(32)(32)+-的结果是( ) A ．2+3B ．32-C ．437-D ．743- 【答案】C 【解析】【分析】先利用积的乘方得到原式= 20172[(32)(32)](32)+-⋅-，然后根据平方差公式和完全平方公式计算．【详解】 解：原式=20172[(32)(32)](32)+-⋅-=2017(34)(3434)-⋅-+1(743)=-⨯-437=-故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16．实数,a b 在数轴上对应的点位置如图所示，则化简22||a a b b +++的结果是（ ）A ．2a -B ．2b -C ．2a b +D ．2a b -【答案】A【解析】【分析】2,a a = 再根据去绝对值的法则去掉绝对值，合并同类项即可．【详解】解：0,,a b a b Q ＜＜＞ 0,a b ∴+＜22||a a b b a a b b ∴++=+++()a a b b =--++a ab b =---+2.a =-故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式与绝对值的化简运算，掌握化简的法则是解题关键．17．当实数x 41y x =+中y 的取值范围是( ) A ．7y ≥-B ．9y ≥C ．9y <-D ．7y <-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义易得x 的取值范围，代入所给函数可得y 的取值范围．【详解】解：由题意得20x -≥，解得2x ≥， 419x ∴+≥，即9y ≥．故选：B ．【点睛】本题考查了函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到x 的取值是解决本题的关键．18．有意义的条件是（ ）A ．x>3B ．x>-3C ．x≥3D ．x≥-3 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0即可得出答案．【详解】根据被开方数大于等于0有意义的条件是+30≥x解得：-3≥x故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．19．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）AB ．C + 1D + 2【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =. 【详解】 解：（221m m ++1）31m m+÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ ＝m 2+m ，∵m 2+m =0，∴m 2+m =∴原式=故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．3 【答案】C【解析】【分析】如果实数n 取最大值，那么12－n22，从而得出结果．【详解】2时，n 取最大值,则n ＝8，故选：C【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解”的含义．。
21.1二次根式(1)(新授课概念课)
二次根式满足的两个条件是： （1）有二次根号； （2）被开方数是非负数.
1.下列各式中，是二次根式的有几个?
(1)
32
(2)
(4) (6)
- 12 xy (x、y异号）
3
(5) a
(3) m (m≥0)
2
1
5
当x取怎样的实数时， 下列各式在实数范围内 有意义？ （2） 2 x 3 1 （1）
x-2
x 1
解（1）：由x-2≥o,得
x≥2
当x≥2时，
x-2
在实数范围内有 意义
解： 由题意得 （2）
2 x 3 0 ， x 1 0 3 解得 x - ，且x -1. 2
方法构想
一个式子中含有几个二次根式时，字母取值 必须使所有的二次根式有意义；若含有分式， 则要求分母的值不等于0；若含有零指数或负 指数次幂，则要求其底数不为0.
要使二次根式在实数范围内有意义， 必须满足被开方数是非负数.
基础练习 1.下列各式是否为二次根式?
x2 3 ；
a2
；
- a
2
；
x - 7.
2.当是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？ （1） （2） （3）
3a
- a -1
6 2a 2
选做练习： 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（
中考链接
1
(2009· 株洲)若使二次根式 x - 5 在实数 范围内有意义，则x的取值范围是（ A ） A.x≥5 B.x＞5
C.x＜5
D.x≤5
当堂测试
（测试8分钟，分ABCD四个等级评价）
1、形如
a (a 0) 的式子叫二次根式.
2023年春季学期 二次根式专题复习
专题01二次根式专题复习【8个考点知识梳理+题型解题方法+专题训练】考点一：二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．其中：①“”称为二次根号；②a 是被开方数，a ≥0，是一个非负数；【考试题型1】根据二次根式的形式准确判断二次根式【解题方法】判断形式，确定被开方数大于等于0。
例题讲解：1．下列式子一定是二次根式的是（）A ．2--x B ．xC ．22+x D ．22-x 【考试题型2】根据被开方数大于等于0求未知数的值或范围。
【解题方法】利用被开方数大于等于0建立不等式，解不等式。
例题讲解：2．若x 31-是二次根式，则x 的值不可能是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1考点二：二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0。
即a 中，a ≥0。
【考试题型1】根据二次根式有意义的条件求取值范围【解题方法】利用式子中所有二次根式的被开方数都大于等于0建立不等式（组）求解集，同时若式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
例题讲解：3．若二次根式2-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ＜2【考试题型2】利用二次根式有意义求式子【解题方法】利用二次根式有意义的条件求出相应字母的值，再带入需要求的式子。
例题讲解：4．已知y ＝322+-+-x x ，则x y 的值是（）A ．5B ．6C ．8D ．﹣8考点三：二次根式的性质二次根式的基本性质：①二次根式的双重非负性。
即a ≥0；a ≥0．②（a ）2＝a （a ≥0）（一个数的算术平方根的平方等于它本身）．③()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）。
【考试题型1】二次根式的非负性：几个非负数的和等于0，这个几个非负数分别等于0。
【解题方法】结合绝对值，偶次方，让被开方数，绝对值符号内的式子以及底数分别为0建立方程解方程即可。
第9章二次根式复习课
1二次根式复习课学习目标：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．学习重难点：重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．预习案复习：1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：探究案例1 ：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)23-+-x x跟踪练习：x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： （1）x x 22-+ （2）xx 32+例2： 已知151+=+x x ，求221xx +的值跟踪练习：1、已知：1011+=+a a ，求221aa +的值。
2、 已知 2511+-=x ，2512--=x ，求21x x +，21x x ∙的值。
3例3：计算：22)32()32(+--跟踪练习:1、)35()35(2+∙-2、22426426⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-当堂检测： 1．选择题：A ．a ≤2B ．a ≥2C ．a ≠2D ．a ＜2A ．x+2B ．-x -2C ．-x+2D ．x -2A ．2xB ．2aC ．-2xD ．-2a2．填空题：3、化简：课后提升： 1、（b a -1+ba aba b +÷+)1，其中,12+=a 2=b 。
人教版八年级下册数学：第16章 二次根式(复习课)
A A
12、若 (2x)2 (1x)2 3 ，则x的取值范围是＿＿1＿＿x＿＿＿2
五、合作交流
乘除法技巧（1）带分数化假分数； （2）根号内外分开乘； （3）两部分结果相乘； （4）最后约分、化简；
❖ 计算：
加法： 合并同类二次根式
减法：
类似整式 加减法的 合并同类
项
乘法： a. b ab(a 0,b 0)
除法： a
b
a b
(a
0,b
0)
方法指导：判断是否是二次根式，只看形式，不看结果；
四、挑战自我 （1）、根号的次数是二次； （2）、根号下的数（或式子）是非负的；
c 1、下面哪个式子是二次根式（ ）
（1）、10 介于整数＿＿3 和整数＿4＿之间， 10 的整 数部分x=＿3＿
（2）、 10 的小数部分怎么表示？ 10 的小数部分 y=＿1＿0 ＿3
(3)、（ 10 +x）y=＿( ＿10＿ 3＿)( ＿10＿＿3＿) ＿＿＿10＿-＿9＿=＿1＿＿
追问：问题中的 10 是个什么式子？上面的问题
同类二次根式：几 方个 数二 相次 同根 ，式 这化 样成 的最 二简 次二根次式根叫式同后类，二被次开根 式；
判断几个二次根式 是不是二次根式， 一定要先化简再判
断
（1）非负性： a 0(a 0)
2、三个性质 3、四种运算
（2） (
a
2
)
a(a
0)
（3）
a2 a
a(a 0) a(a 0)
,
25
1 ＿＿3＿
，＿＿5＿
.
15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
21.4二次根式的复习
化简： (a b) (a b) a
2 2
2
3、两个法则
1、 ab
a b a 0, b 0
2、
a b
a b
( a 0, b 0)
练习7：若等腰三角形的两边长分别为2和 求这个等腰三角形的面积.
2
,
8 如图, P 5, 2 是直角坐标系中 一点,求点P到原点的距离.
①
②
说明：二次根式被开方数 大于等于0，所以求二次 根式中字母的取值范围常 转化为不等式（组）
解得
- 5≤x＜3
1、三个概念---最简二次根式
（1）、被开方数不含分母，分母中不含根号
（2）、被开方数中不含完全平方因数（式）。
练习3:判断下列二次根式是否是最简二次根 式,并说明理由。
(1) 50 (4) 0.75
2
（3）． a
2
a {
a ,a 0 a ,a 0
练习5:二次根式的非负性的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
练习6、实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：
2
例4. 已知实数a、b满足3 a 5 b2 7 ，
s 2 a 3 b 2 ，求s的取值范围．
求适合下列关系式的 m 的值．
3x 5 y 2 m 2 x 3 y m x 199 y 199 x y
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
二次根式复习课件(浙教版)(1)
形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式, 其中a可以是数,也可以是单项式和多项式.
2、当x取何值时，下列二次根式有意义：
(1) 2x 1 (2) 1 1 3x
(3) x 2 (4) (x 3)2 x2
(5) a 1 1 3a
3、当x取何值时，下列等式成立：
当a为___0___时，二次根式 a2 4
的值最小,最小值是_______
6 2 x 呢?
?
已知y 2 x x 2 5,则 y ____ x
?
（1）(04浙江)若数轴上表示数x的点在原点的
左边，则化简 3x x2 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
当代数式 (2 a)2 (a 4)2 0的值是常数2,则 a 的值是______
A5
1
S5 A6
A4 S4
1
S6
A7
1
A3
1
S3
S2
A2
S1 1
O1
A1
1
（2）请计算 S1= S2= …Sn=S12ຫໍສະໝຸດ S2 2S
2 3
S
2 n
A4 1 A5
1
S4
A6
S5
1
S6
A7
1 A3
1
S3
A2
S2
S1 1
O
1 A1
a
2
?
4、下列各式中成立的是
5、算一算：
(1)( 2 )2
(2) (1 2)2
(3) ( 4)2
(4) 9 2
3 (5)
4
(6)(2 x )2
(7) (1 1)2 (1 2)2
二次根式复习专题讲义[1]
![二次根式复习专题讲义[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/79e36b180b4e767f5acfceb8.png)
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②. a（a≥0）是一个非负数。
③. （a）2＝a（a≥0）；2a=a（a≥0）2.二次根式的乘：①.一般的，有a²b＝a b．（a≥0，b≥0）②.反过来，有ab＝a³b( a ≥0 ，b ≥0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：a b =ab（a≥0，b>0），②. 反过来，ab =ab（a≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。
解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。
例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。
变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级（上）数学讲学稿(No:10) 学生姓名
课题：二次根式的复习(1)
执笔：曾碧霞审核：九年级备课组时间：2012年9月5日
学习目标：
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
学习重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
学习过程
一、自主学习
（一）复习
1．二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
（1）（2）（3）
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
乘法法则： . 除法法则：
反过来: .
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、复习练习课本知识
重点题目：习题21.1、 1、2、7. 习题21.2、 1、2、3、6、7、10. 习题21.3、 1、3、4、5、8. 复习题：1、2、3、5、6、9、11.
中考链接:
一、选择题
1、（2007四川眉山）下列二次根式中与2是同类二次根式的是（ ）．
A ．12
B ．2
3 C ．3
2 D ．18
2、（2007江苏无锡） ）
A B C D 1
3、（2007 ）
A
B
C D 4、（2007湖北宜宾）25的算术平方根是（ ） A ．5 B ． 5 C ．–5 D ．±5 5、（2007山东济宁）9的平方根是（ ）．
A 、3
B 、－3
C 、±3
D 、81
6、（2007山东济宁）已知01b 2a =-++，那么2007)b a (+的值为（ ）．
A 、－1
B 、1
C 、2007
3
D 、2007
3
-
7．（2007湖南怀化）下列计算正确的是（ ）
A ．0
(2)0-=
B ．2
3
9-=- C 3= D =
8、（2007x 的取值范围是（ ）B
9、（2007江苏扬州）如图，数轴上点P表示的数可能是（
A B．C． 3.2
-D．
10、（2007浙江绍兴）下列计算正确的是（）
A．6
3
2=
⨯B．5
3
2=
+C．2
4
8=D．2
2
4=
-
11、（2007n为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12、（2007湖南邵阳）下列计算正确的是（）
A+=B=C4
=D3
=-
二、填空题
1、（2007福建福州）当x___________在实数范围内有意义
2、（2007上海市）计算：2=__________．
3、（2007x应满足的条件是_____________．
4、（2007辽宁旅顺口）如图，在数轴上，A B
，两点之间表示整数的点有个．
5、（20071
-＝_______.
6、（2007
7、（2007山东烟台）观察下列各式：
===请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来__________________________
8、（2007=___________．
三、解答题
1、（2007浙江台州）计算：0
(π1)
+-．
2、（2007浙江嘉兴）计算：8＋(－1)3－2×
2
2
．
ＡＢ
第4
题
3
-2
-1-O123
第9题。