宝山、嘉定区中考数学二模试卷及答案

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上海市宝山区、嘉定区中考二模数学试题及答案

嘉定九年级第二次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.下列说法中，正确的是（▲）（A ）23是分数；（B ）0是正整数；（C ）722是有理数；（D ）16是无理数. 2.抛物线2(1)4y x =-+与y 轴的交点坐标是（▲）（A ）（0，4）；（B ）（1，4）；（C ）（0，5）；（D ）（4，0）． 3.下列说法正确的是（▲）（A ）一组数据的平均数和中位数一定相等；（B ）一组数据的平均数和众数一定相等；（C ）一组数据的方差一定是正数；（D ）一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据.4.今年春节期间，小明把2000元压岁钱存入中国邮政储蓄银行，存期三年，年利率是%.254，小明在存款到期后可以拿到的本利和为（▲）（A ）20003%)25.41(+元；（B ）20002+0003254⨯⨯%.元；（C ）20003254⨯⨯%.元；（D ）20003%)25.41(⨯+元． 5.如图1，已知向量a 、b 、c ，那么下列结论正确的是（▲）（A ）b c a =+；（B ）b c a =-；（C ）c b a -=+；（D ）c b a =+．6.已知⊙1O 的半径长为cm 2，⊙2O 的半径长为cm 4.将⊙1O 、⊙2O 放置在直线l 上（如图2），如果⊙1O 在直线l 上任意滚动，那么圆心距21O O 的长不可能是(▲) （A ）cm 1；（B ）cm 2；（C ）cm 6；（D ）cm 8.2Oa bc图1二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.化简：21-= ▲ ．8. 计算：=23)(a ▲ ．9. 计算：=÷3166 ▲ （结果表示为幂的形式）． 10.不等式组⎩⎨⎧>+≤-04201x ,x 的解集是 ▲ ．11.在一个不透明的布袋中装有2个白球和8个红球，它们除了颜色不同之外，其余均相同.如果从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ▲ ．（将计算结果化成最简分数） 12.如果关于x 的方程1)1(2+=-a x a 无解，那么实数a = ▲ ．13.近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）呈反比例，其函数关系式为xy 100=.如果近似眼镜镜片的焦距250.x =米，那么近视眼镜的度数y 为 ▲ ． 14.方程x x -=+6的根是 ▲ ．15.手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道5000户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下：拥有座机数（部） 01234相应户数10141871该街道拥有多部电话（指1部以上,不含1部）的家庭大约有 ▲ 户.16.如果梯形两底的长分别为3和7，那么联结该梯形两条对角线的中点所得的线段长为 ▲ ．17.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x ，y ），若规定以下两种变换：①),(y x f =（2+x ，y ）．如)1,1(f =)1,3(；②),(y x g =),(y x --，如)2,2(g =)2,2(--.按照以上变换有：))1,1((f g =)1,3(g =)1,3(--，那么))4,3((-g f 等于 ▲ ． 18.如图3，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，︒=∠90A ，cm AB 5=，cm BC 13=.以点B 为旋转中心，将BC 逆时针旋转︒90至BE ，BE 交CD 于F点.如果点E 恰好落在射线AD 上，那么DF 的长为 ▲ cm . E三、简答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒+︒︒-︒+-60sin 45tan 30sin 30cos 42730）（.20.（本题满分10分）解方程：12221=++-x x .21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图4，在ABC ΔRt 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，且CA CD BC ⋅=2. （1）求证：CBD A ∠=∠；（2）当α=∠A ，2=BC 时，求AD 的长（用含α的锐角三角比表示）.22.（本题满分10分，每个小题各5分）某游泳池内现存水)(m 18903，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的2倍.假设在换水时需要经历“排水——清洗——灌水”的过程，其中游泳池内剩余的水量y （3m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的函数关系如图5所示.根据图像解答下列问题：（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；（2）求灌水过程中的y （3m ）与换水时间．．．．t （h ）之间的函数关系式，写出函数的定义域.23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，点E 是正方形ABCD 边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点F 在CD 边ACBD图4(h)tO1890521 )(m 3yABCD E FMN图6的延长线上，且满足BE DF =.联结EF ，点M 、N 分别是EF 与AC 、AD 的交点. （1）求AFE ∠的度数；（2）求证：FCACCM CE =.24．（本题满分12分，每小题满分4分）已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++=221经过点)0,3(-A 、)23,0(-C .（1）求该抛物线顶点P 的坐标；（2）求CAP ∠tan 的值；（3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q 的横坐标为t ，当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示△QAC 的面积.25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC .（1）如图8，求证：AB ∥OC ；（2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =；图7 O xy1- 1-11（3）过点C 作射线1AO 的垂线，垂足为E ，联结OE 交AC 于F .当5=AO ，11=B O 时，求AFCF的值.参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.C ；2.C ；3.D ；4.B ；5.C ；6.A.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.12-；8.6a ；9.326；10.12≤<-x ；11.54；12.1=a ；13.400=y ；14.2-=x ；15.2600；16.2；17.（5，4-）；18.1235（或写成12112）. 三、简答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=23121234331+-⨯+- ……………………6分=32132331+-+- …………1分=13231-=+--. …………2+1分20．解：方程两边同时乘以)x )x 2(2+-（，得 4)2(222-=-++x x x …1+1+1+1分整理，得 0232=--x x . ……2分AC（O 1）BO 图9AO 备用图A B CO 1O 图8解这个整式方程，得 21731+=x ，21732-=x . ……2+1分（若记错了求根公式，但出现了17，即根的判别式计算正确，可得1分）经检验知，21731+=x ，21732-=x 都是原方程的根. ……1分所以，原方程的根是 21731+=x ，21732-=x . 21.解：（1）∵CA CD BC ⋅=2，∴BCCACD BC =. ……1分 ∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠. ……1分 ∴△ACB ∽△BCD . ∴CBD A ∠=∠. ……1+1分说明：若没有写出“∵90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上，∴BCD ACB ∠=∠”，但只要写出了BCD ACB ∠=∠，可得1分.（2）∵CBD A ∠=∠，α=∠A ，∴α=∠CBD .……………………………1分在Rt △ACB 中，90ACB ∠=︒，2=BC ，α=∠A . ∵BCACA =∠cot ， ∴ααcot 2cot =⋅=BC AC . …………………………………………2分在Rt △BCD 中，︒=∠90BCD ，α=∠CBD ，2=BC ， ∵BCCDCBD =∠tan ， ∴ααtan 2tan =⋅=BC CD . …………………………………………2分 ∴ ααtan 2cot 2-=-=CD AC AD . ……………………………1分本题解题方法较多，请参照评分.如写成 ααtan 2tan 2-=AD ；4cos 4tan 22--=ααAD ； 4cos 44sin 422---=ααAD ；ααtan 24sin 42--=AD 等等，均正确.22.解（1）由图像可知，该游泳池5个小时排水)(m 18903， ……1分所以该游泳池排水的速度是37851890=÷（/h m 3）. ……1分由题意得该游泳池灌水的速度是18921378=⨯（/h m 3），……1分由此得灌水)(m 18903需要的时间是101891890=÷（h ） ……1分所以清洗该游泳池所用的时间是610521=--（h ） ……1分（2）设灌水过程中的y （3m ）与换水时间t （h ）之间的函数关系式是b kt y +=（0≠k ）.将（11，0），（21,1890）代入b kt y ++=，得⎩⎨⎧=+=+.b k ,b k 189021011 解得⎩⎨⎧-==.b ,k 2079189 ……1+2分所以灌水过程中的y （3m ）与时间t （h ）之间的函数关系式是2079189-=t y （2111≤<t ）. ……1+1分备注：学生若将定义域写成2111≤≤t ，亦视为正确，此处不是问题的本质.23.解：（1）在正方形ABCD 中， ︒=∠=∠=∠90BAD ADC B ，AD AB =.……1分 ∵BE DF =，︒=∠=∠90ADF B ，AD AB =，∴△ABE ≌△ADF .……1分 ∴AF AE =，DAF BAE ∠=∠. ……………1+1分∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠90BAD BAE EAD DAF EAD EAF . ……1分 ∵AF AE =，∴AEF AFE ∠=∠. ∴︒=︒⨯=∠=∠459021AEF AFE . ……………1分 (2) 方法1：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠45ACD . ……………1分∵︒=∠45AEF ，∴ACF AEF ∠=∠. ……………1分又∵FMC AME ∠=∠， ……………1分 ∴△ABE ∽△ADF ， ……………2分∴FCACCM CE =. ……………1分方法2：∵四边形ABCD 是正方形，∴︒=∠=∠45ACD ACB . …………1分 ∵△ABE ≌△ADF ，∴AFD AEB ∠=∠. ……………1分∵CAE CAE ACB AEB ∠+︒=∠+∠=∠45， CFM CFM AFE AFD ∠+︒=∠+∠=∠45，∴CFM CAE ∠=∠. ……………2分又∵ACD ACB ∠=∠，△ACE ∽△FCM . ……………1分∴FCACCM CE =. ……………1分其他方法，请参照评分.24．解：（1）将)0,3(-A 、)23,0(-C 代入c bx x y ++=221，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+--.23,032)3(2c c b 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==.c ,b 231 ………………2分所以抛物线的表达式为23212-+=x x y . ………………1分其顶点P 的坐标为（1-，2-）. ………………1分（2）方法1：延长AP 交y 轴于G ，过 C 作AG CH ⊥，垂足是H . 设直线AP 的表达式为b kx y +=，将),(A 03-、),(P 21--代入，得⎩⎨⎧-=+-=+-203b k b k ，解得⎩⎨⎧-=-=31b k . ∴3--=x y . 进而可得G （30-,）. ………1分 ∴OA OG =，︒=∠=∠45OAG G . 在Rt △CHG 中，42345sin =︒⋅==CG CH HG . ………1分在Rt △AOG 中，2345cos =︒=OGAG ，∴429=-=HG AG AH .∴31tan ==∠AH CH CAP .……1+1分方法2：设a CH =，易得a CG 2=，a OG 22=，a AG 4=，a AH 3=， 31tan ==∠AH CH CAP . 方法3：联结OP ，利用两种不同的方式分别表示四边形APCO 的面积：49+=+=∆∆∆APC AOC APC APCO S S S S 四边形； 415433=+=+=∆∆POC APO APCO S S S 四边形；∴23=∆APC S ，然后求523=AC 、22=AP ，利用面积求AC 边上的高552=h ，求1010sin =∠CAP ，进而求31tan =∠CAP . （3）设)2321,(2-+t t t Q ， …………1分由Q 在第四象限，得t t =，2321232122+--=-+t t t t . 联结OQ ，易得 AOQ QOC AOC QAC S S S S ∆∆∆∆-+=. ∵4923321=-⨯-⨯=∆AOC S ，t t S QOC 432321=⨯-⨯=∆， ………1分 492343232132122+--=-+⨯-⨯=∆t t t t S QOA …………1分 ∴t t t t t S QAC 4943)492343(434922+=+---+=∆. …………1分 25.解：（1）∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴AC O OAC 1∠=∠. ………1分在⊙O 中，∵OC OA =，∴C OAC ∠=∠. …………1分 ∴C AC O ∠=∠1. ∴1AO ∥OC ，即AB ∥OC . …………1+1分（2）方法1：联结OB . ………1分 ∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，AC 1OO ⊥， ………1分由点1O 与点B 重合，易得AC OB ⊥. ………1分 ∵点O 是圆心，AC OB ⊥，∴CB AB = ………2分方法2：∵点1O 与点O 关于直线AC 对称，∴1AO AO =，1CO CO = ………1+1分由点1O 与点B 重合，易得 AB AO =,CO CB = …………1分 ∵OC OA =，∴CB AB =. ∴ CB AB = ………1+1分方法3：证平行四边形1AOCO 是菱形.(3) 过点O 作AB OH ⊥，垂足为H .∵AB OH ⊥，AB CE ⊥，∴OH ∥CE ，又∵AB ∥OC ，∴5==OC HE .……1分当点1O 在线段AB上（如图），6111=+=+=B O AO B O AO AB ，又∵ AB OH ⊥，∴321==AB AH . ∴835=+=+=AH EH AE ……1分∵AB ∥OC , ∴85==AE OC AF CF ……1分当点1O 在线段AB 的延长线上，类似可求75==AE OC AF CF . …2分。

2023年上海市宝山区中考数学二模试卷(含解析)

2023年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列运算正确的是A．B．C．D．2．（4分）无理数在A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间3．（4分）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是A．B．C．D．4．（4分）已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为A．B．C．D．5．（4分）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是124A．B．，C．D．6．（4分）已知点、、在圆上，那么下列命题为真命题的是A．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形B．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形C．如果四边形是平行四边形，那么D．如果，那么四边形是平行四边形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：．8．（4分）分解因式：．9．（4分）分式中字母的取值范围是．10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么．11．（4分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为．12．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是．13．（4分）已知一次函数的图象经过点，那么．14．（4分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是千克．15．（4分）如图，在正五边形中，是边延长线上一点，联结，那么的度数为．16．（4分）如图，已知点在矩形的边上，且，，那么的长等于．17．（4分）如图，已知中，，，如果将绕点顺时针旋转到△，使点的对应点落在边上，那么的度数是．18．（4分）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）某校开设了、、、、五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从、、、、中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图和扇形统计图（图，两个统计图都尚未完成．（1）求本次问卷调查中最喜欢类课程的学生人数，并在图1中补全相应的条形图；（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数是多少？22．（10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．（1）求“房顶”点到盒底边的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．23．（12分）如图，四边形中，，、交于点，．（1）求证：；（2）是边上一点，联结交于点，如果，求证：四边形是平行四边形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标；（2）联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式．25．（14分）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．（1）当时，求的长；（2）当时，求的值；（3）当为直角三角形时，求的值．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列运算正确的是A．B．C．D．【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：．【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．2．（4分）无理数在A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】先估计7的范围，再估算的范围．解：，，故选：．【点评】本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用相邻的两个整数夹逼无理数是解题的关键．3．（4分）如果一个三角形的两边长分别为、，那么这个三角形的第三边的长可以是A．B．C．D．【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再选出答案即可．解：设第三边的长度为，由题意得：，即：，只有适合，故选：．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．（4分）已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为A．B．C．D．【分析】由题意可得，则，可得，进而可得，根据可得答案．解：，，，，，，，，．故选：．【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的运算法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．5．（4分）在研究反比例函数的图象时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图象，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图象上，那么这个点是124A ．B ．，C ．D ．【分析】根据反比例函数中的特点进行解答即可．解：，这个点是．故选：．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（4分）已知点、、在圆上，那么下列命题为真命题的是A ．如果半径平分弦，那么四边形是平行四边形B ．如果弦平分半径，那么四边形是平行四边形C ．如果四边形是平行四边形，那么D ．如果，那么四边形是平行四边形【分析】根据垂径定理、圆周角定理、平行四边形的判定和性质判断即可．解：、当半径平分弦，但弦不平分时，四边形不是平行四边形，故本选项说法是假命题；、当弦平分半径，但弦不垂直半径时，四边形不是平行四边形，故本选项说法是假命题；、如图，在优弧上取点，连接、，四边形是平行四边形，，由圆周角定理得：，，四边形为圆的内接四边形，，，，故本选项说法是真命题，符合题意；、当，四边形不一定是平行四边形，故本选项说法是假命题；故选：．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2．【分析】根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案．解：．故答案为：2．【点评】此题考查了二次根式乘法与乘方运算．此题比较简单，注意运算符号的确定．8．（4分）分解因式：．【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：．【点评】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．9．（4分）分式中字母的取值范围是．【分析】根据题意得，然后解不等式即可．解：根据题意得，解得，即的取值范围为．故答案为：．故答案为：．【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．10．（4分）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．解：关于的方程有两个相等的实数根，△，解得：，的值为．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．11．（4分）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．解：点在第二象限，，解不等式①得，，所以不等式组的解集是．故答案为：．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．12．（4分）一个不透明的袋子里装有3个白球和1个红球，这些小球除颜色外无其他差别，如果从袋子中随机摸出一个小球，那么摸出的小球是红球的概率是．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有1种结果，摸出的小球是红球的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．13．（4分）已知一次函数的图象经过点，那么4．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．解：一次函数的图象经过点，，解得：．故答案为：4．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．14．（4分）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是25千克．【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．解：设一次函数，当时，，当时，，，解得：，所求函数关系式为；当时，，所以，故旅客最多可免费携带25千克行李．故答案为：25．【点评】本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．15．（4分）如图，在正五边形中，是边延长线上一点，联结，那么的度数为．【分析】根据正多边形的外角和是，求出这个正多边形的每个内角，再根据，得出，最后根据，即可得出答案．解：是正五边形，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的外角和内角的度数是常用的一种方法．16．（4分）如图，已知点在矩形的边上，且，，那么的长等于4．【分析】作于点，由，得，由矩形的性质得，则，所以，则，由，，得，则，所以，于是得到问题的答案．解：作于点，则，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，故答案为：4．【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．17．（4分）如图，已知中，，，如果将绕点顺时针旋转到△，使点的对应点落在边上，那么的度数是．【分析】分别求出，可得结论．解：在中，，，，由旋转变换的性质可知，，，，．故答案为：．【点评】本题考查旋转变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．（4分）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于或．【分析】作于，根据定义规定分别得出或这两种情况，再分别根据全等和相似计算即可．解：如图1，，，，作于，设，，①当时，，，，，，，，设，，，，即．②当时，，，，即，，．故答案为为：或．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练运用全等、相似、勾股定理是解题关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】先算分数指数幂、绝对值、三角函数，再算加减．解：原式．【点评】本题考查分数指数幂、实数运算、三角函数，掌握幂的运算是解题关键．20．（10分）解方程组：．【分析】由②得出③，把③代入①得出，求出，再把代入③求出即可．解：，由②得：③，把③代入①，得，解得：，把代入③，得，所以方程组的解是．【点评】本题考查了解高次方程组，能把方程组转化成是解此题的关键．21．（10分）某校开设了、、、、五类兴趣课，为了解学生对这五类兴趣课的喜爱情况，从全校500名学生中随机抽取了若干名学生进行“你最喜爱的兴趣课”问卷调查（每个学生从、、、、中选择一类）．根据调查结果绘制出条形统计图（图和扇形统计图（图，两个统计图都尚未完成．（1）求本次问卷调查中最喜欢类课程的学生人数，并在图1中补全相应的条形图；（2）根据本次调查的结果，试估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数是多少？【分析】（1）用的人数除以比求出样本容量，再用样本容量乘可得的人数，用样本容量乘可得的人数，进而得出的人数，再补全相应的条形图即可；（2）用该校全体学生人数乘样本中最喜欢类兴趣课的人数所占百分比即可．解：（1）调查的总人数（名，（名，（名，（名，最喜欢类课程的人数为：（名，补全的条形统计图如下：（2）（名，答：估计该校全体学生中最喜欢类兴趣课的人数大约是140名．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．22．（10分）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图，图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形和“房顶”等腰三角形组成．已知厘米，厘米，厘米．（1）求“房顶”点到盒底边的距离；（2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段的长度（即线段与的和）及矩形的面积均不改变，且，，求新造型“盒身”的高度（即线段的长）．【分析】（1）作，垂足为，交于点，根据矩形的性质得到厘米，，根据勾股定理即可得到结论；（2）设厘米，厘米，根据勾股定理得到（厘米），求得厘米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论．解：（1）作，垂足为，交于点，四边形是矩形，厘米，，．厘米，厘米，厘米，（厘米），（厘米）答：房顶”点到盒底边的距离为7.5厘米；（2）在中，，设厘米，厘米，（厘米），厘米，（厘米），厘米，矩形的面积不改变，，解得或，，或，，，．答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米．【点评】本题考查的是直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，要把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解．23．（12分）如图，四边形中，，、交于点，．（1）求证：；（2）是边上一点，联结交于点，如果，求证：四边形是平行四边形．【分析】（1）由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明和全等，利用全等三角形的性质得结论；（2）先说明，再说明，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：（1），．，，．．．在和中，，．．（2），，，，即．，．．．又，四边形是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求二次函数的解析式和顶点D的坐标；（2）联结AC，试判断△ACD与△BOC是否相似，并说明理由；（3）将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段OC上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，联结EF，如果四边形CEFD的面积为3，求新抛物线的表达式．【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；化为顶点式即知顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，求出C（0，3），即可得AC＝3，AD＝2，CD＝，OB＝1，OC＝3，BC＝，由三边对应成比例的三角形相似可得答案；（3）由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y＝﹣x2+m，即可得CE＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，根据四边形CEFD的面积为3，有×1×（3﹣m+5﹣m）＝3，解出m的值即可得新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．解：（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△ACD∽△COB，理由如下：在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），∵A（﹣3，0）、B（1，0），D（﹣1，4），O（0，0），∴AC＝3，AD＝2，CD＝，OB＝1，OC＝3，BC＝，∴＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△ACD∽△COB；（3）如图：由新抛物线的顶点E落在线段OC，设新抛物线表达式为y＝﹣x2+m，则顶点E（0，m），∵原抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴F（﹣1，﹣1+m），∴CE＝3﹣m，DF＝4﹣（﹣1+m）＝5﹣m，∵四边形CEFD的面积为3，∴×1×（3﹣m+5﹣m）＝3，解得m＝1，∴新抛物线解析式为y＝﹣x2+1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定，平移变换等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和利用梯形面积公式列方程．25．（14分）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．（1）当时，求的长；（2）当时，求的值；（3）当为直角三角形时，求的值．【分析】（1）过点作于点，连接，由可得，证明四边形是矩形，则，根据勾股定理即可求解；（2）过点作于点，连接，由含的直角三角形的性质可得，证明四边形是矩形，则，，再证，根据相似三角形的性质即可得；（3）过点作于点，连接，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．解：（1）过点作于点，连接，，，，，，，在中，，，（负值已舍去），是的平分线，，，，，，，，，，四边形是矩形，，；（2）过点作于点，连接，，，，，是的平分线，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，；（3）①当时，过点作于点，连接，，，，，，，，，，（负值舍去），；②当时，连接，，，，，，，，，；综上，的值为或．【点评】本题是相似综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

上海市宝山区2022年中考数学二模试卷及答案

12 2021 学年第二学期期末考试九年级数学试卷考生注意：1. 本试卷共25题．2. 试卷满分150分．考试时间100分钟．3. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4. 除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ▲ ）（A ）；（B ）；（C ）；（D ） .2. 关于一元二次方程 x 2 - x - 2 = 0 的根的情况，下列判断正确的是（ ▲ ）（A ）有两个不相等的实数根；（B ）有两个相等的实数根；（C ）有且只有一个实数根；（D ）没有实数根.3. 已知反比例函数的图像经过点（-3，2），那么这个反比例函数的解析式是（ ▲ ）（A ） y = 2 ；（B ） y = - 3 ；（C ） y = 6 ；（D ） y = - 6 .xxxx4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ▲ ）（A ）方差；（B ）众数；（C ）平均数；（D ）频数．5. 在下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ▲ ）（A ）等边三角形；（B ）平行四边形；（C ）正五边形；（D ）圆.6. 如图 1，在梯形 ABCD 中，AD //BC ，∠B=90°，AB=4，AD= 2 ，cot C = 5 ，圆 O 是以 AB 为4直径的圆.如果以点 C 为圆心作圆 C 与直线 AD 相交，图 1与圆 O 没有公共点，那么圆 C 的半径长可以是（ ▲ ）17 （A ）9；（B ）29；（C ）5；（D ） .2二、填空题:（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算： (3a 3 )2 =▲ .2 4 6 8 5⎩8. 某商品原价为 a 元，如果按原价的七五折销售，那么售价是 ▲ 元.（用含字母 a 的代数式表示）⎧x - 2 < 09.不等式组⎨2x + 3 > 1 的解集是▲ .10. 分解因式： 4a 2 - b 2 =▲.11. 已知函数 f (x ) = 2x - 3，那么 f (2) =▲.12. 已知正比例函数 y=kx （k 是常数，k ≠0）的图像经过第二、四象限，那么 y 的值随着 x的值增大而▲ .（填“增大”或“减小”）13. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.” 意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出 8 钱，盈余 3 钱；每人出 7 钱，不足 4 钱.那么根据条件，该物品值▲钱.14. 在 2022 年北京冬奥会上，中国共获得 9 枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：那么这些国家获得金牌数的中位数是▲枚．15. 如果一个等腰直角三角形的面积是 1，那么它的周长是 ▲.AD FBEC图 2图 316. 如图 2，已知 AC 、BD 是梯形 ABCD 的对角线，AD//BC ，BC=2AD ，如果设 AD = a ，CA = b ，那么向量 BD 用向量a 、b 表示为▲ .17. 如图 3，矩形 ABCD 中，AB =3，BC =5，F 为边 CD 上一点，沿 AF 折叠，点 D 恰好落在BC 边上的点 E 处，那么线段 DF : FC 的值为 ▲ .18. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为 a 、b 、c ，那么将 a 、b 、c 从小到大排列为 ▲ .国家挪威德国中国美国瑞典荷兰奥地利瑞士俄罗斯代表队法国金牌数（枚） 1612988 8 77653 + 2 66°.BDC H2 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19. （本题满分 10 分）计算： 83+ 1- ( 1 2)-2+ |-1| .20. （本题满分 10 分）解方程：1 + x +2 4 x 2 - 4= 1．21.（本题满分 10 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知某个一次函数的图像平行于直线 y ＝ 1 2A （-2，1），且与 x 轴交于点B .（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点 C 在 y 轴上，当△ABC的面积等于 2 时，求点 C 的坐标．x ，经过点22.（本题满分 10 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分）某超市大门口的台阶通道侧面如图 4 所示，共有 4 级台阶，每级台阶高度都是 0.25 米.根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手 AD ，AB 、DC 是两根与地平线 MN 都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点 B 、C ）.A（1）求点 B 与点 C 离地面的高度差 BH 的长度；（2）如果支撑杆 AB 、DC 的长度相等，且∠DAB = 66 求扶手 AD 的长度.（参考数据： sin 66︒ = 0.9 ， cos 66︒ = 0.4 ，tan 66 NM≈ 2.25 ， cot 66︒ = 0.44 ）图 4323.（本题满分 12 分，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 6 分）已知：如图 5，点 D 、E 、F 分别在△ABC 的边 AB 、AC 、BC 上，DF ∥AC ，BD=2AD ，AE=2EC ．A（1）如果 AB=2AC ，求证：四边形 ADFE 是菱形；（2）如果 AB = 2 AC ，且 BC=1，联结 DE ，求 DE 的长．BFC图 524.（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）已知抛物线 y = ax 2 + bx - 2(a ≠ 0) 经过点 A （1,0）、B （2,0），与 y 轴交于点 C .（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左平移 m 个单位（ m > 2 ），平移后点 A 、B 、C 的对应点分别记作 A 1 、B 1 、C 1 ，过点C 1 作C 1D ⊥x 轴，垂足为点 D ，点E 在 y 轴负半轴上，使得以 O 、E 、 B 1为顶点的三角形与△ A 1C 1D 相似，①求点 E 的坐标；（用含 m 的代数式表示）②如果平移后的抛物线上存在点 F ，使得四边形 A 1 FEB 1 为平行四边形，求 m 的值.25.（本题满分 14 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)、(3)小题满分各 5 分）如图 6，已知 AB 为圆 O 的直径，C 是弧 AB 上一点，联结 BC ，过点 O 作 OD ⊥BC ，垂足为点 E ，联结 AD 交 BC 于点 F .（1）求证：AF DF= 2OE ；DE （2）如果 AF ⋅ AD = AO 2 ，求∠ABC 的正弦值；（3）联结 OF ，如果△AOF 为直角三角形，求S △OFE 的值.S △ AFB图 6DE33a2021学年第二学期九年级数学评分参考（满分 150 分，考试时间 100 分钟.）一、选择题（每题4分，满分24分）1、C；2、A；3、D；4、A；5、B；6、D.二、填空题（每小题4 分，满分48 分)7、9a 6；8、75%a；9、-1 <x < 2 ；10、(2a +b)(2a -b) ；11、-2；12、减小；13、53；14、8；15、2 + 2 2 ；16、+b ；17、5；18、b＜a＜c.4三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19、解：原式= 4 + 2 - - 4 +-1…………………………………………8分=1 ................................................................................................... 2 分20、解：方程两边同时乘以（x+2）（x-2），得x -2+4=x²-4整理，得x²-x-6=0， ................................................................................... 4 分解这个整式方程，得x1=3，x2=-2 ............................................................. 4 分经检验，x2=-2 是增根，舍去..................................................................... 1 分所以，原方程得根是x=3............................................................................. 1 分21、解：（1）设这个一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0）.......................... 1 分由一次函数图像平行于直线y=12x，得k=12. ………………………1分由一次函数图像经过点A（-2，1），得b=2.......................................... 1分1所以一次函数的解析式是y=2x+2.......................................................... 1分（2）设点C 的坐标为（0，m）.过点A 作AH⊥y 轴，垂足为H，H（0，1）,∴AH=2，1由y=2x+2，得直线AB 与y 轴交于点D（0，2）,所以CD=|m-2| ......................................................................................... 1 分与x 轴交点B（-4，0），∴BO=4........................................................ 1分S =S -S =1⨯ | m - 2 | ⨯4 -1⨯ | m - 2 | ⨯2 ，........................ 1分∆ABC ∆BCD∆ACD 2 23所以| m - 2 |= 2 ， ................................................................................... 1 分所以 m=4，m=0， ................................................................................ 1 分所以点 C 的坐标是（0，4），（0，0） ............................................. 1 分 22、解：（1）0.25×3=0.75（米）； .................................................................. 4 分（2）联结 BC ， .................................................................................................. 1 分由题意得 AB //DC ，∠AHC=90°， .......................................................... 1 分 ∴四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC ，AD //BC ..................................1 分 ∴∠CBH=∠A=66° ..................................................................................... 1 分Rt △BCH 中，cos∠CBH = BH， ................................................................ 1 分BC∴AD=BC= BH = 0.75 = 15（米） ......................................................... 1 分cos 66︒ 0.4 823、解：（1）证：∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴ BD = AE， ............................... 1 分AD EC∵DF //AC ，∴ BD = BF ，∴ BF = AE，∴EF //AB ， ............................ 1 分AD FC FC EC∴四边形 ADFE 是平行四边形...................................................................... 1 分 ∴EF=AD= 1 AB ，DF=AE= 2AC .3 3∵AB=2AC ，∴EF= 1 ⨯ 2 AC = 2AC ， ....................................................... 1 分3 3 ∴EF=DF ， ....................................................................................................... 1 分 ∴四边形 ADFE 是菱形.................................................................................. 1 分（2）∵BD=2AD ，AE=2EC ，∴AD= 1 AB ，AE= 2AC ，3 3∴ AD = AE AB = 2 AC 2 ...................................................................................... 1 分2∵ AC = 2 ，∴ AD = AC ........................................................................... 2 分 AB 2 AE AB∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ， ........................................................... 1 分∴ DE = AE = 2 ， ................................................................................... 1 分 BC AB 3⎨⎨1 1 1∴DE=2 ...................................................................................................... 1 分324、解：（1）由抛物线过点 A （1，0）、B （2，0），得⎧a + b - 2 = 0⎩4a + 2b - 2 = 0 ， .......................................................................................... 1 分⎧a = -1 解这个方程组得 ⎩b = 3 ， ........................................................................... 2 分所以，抛物线的表达式为 y=-x ²+3x -2 ..................................................... 1 分（2）由题意得，A 1（1-m ，0），B 1（2-m ，0），C 1（-m ，-2），D （-m ，0）， .................1 分 ∴DC 1=2，DA 1=1，OB 1=m -2 ...................................................................... 1 分 ∵∠C 1DA 1=∠B 1OE=90°，∴（i ）当 OB 1 = DA 1 = 1时，△B OE ∽△A DC ，∴OE=2m -4，OE DC 1 2∴E 点的坐标是（0，4-2m ）； ................................................................. 1 分（ii ）当 OE = DA 1 = 1 时，△B OE ∽△C DA ，∴ 1-1，OB 1 DC 1 2 1 1 OE= m 2∴E 点的坐标是（0，1- 1m ） ..................................................................... 1 分2 （3）由 y=-x ²+3x -2，得平移后得抛物线表达式是 y = -(x - 3 + m )2 + 1， ............................... 1 分2 4 由平行四边形 A 1FEB 1，得 EF //AB ，且 EF=AB=1， ........................... 1 分（i ）当 E 点的坐标是（0，4－2m ）时，得 F （-1，4-2m ），所以4 - 2m = -(-1- 3 + m )2 + 1，解方程得 m=2(舍去)，m=5； ........... 1 分2 4（ii ）当 E 点的坐标是（0，1- 1 m ）时，得 F （-1，1- 1m ），2 2所以1- 1 m = -(-1- 3 + m )2 + 1 ，解方程得 m=2(舍去)，m= 7；……1 分2 2 4 21所以m 的值是 5，7 . 225、解：（1）联结AC，........................................ 1分∵OD⊥BC，∴点E 是BC 的中点 ......................... 1 分∵点O 是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴AC=2OE，OE//AC ............................................... 1 分∴AF=AC，∴AF=2OE...............................1 分DF DE DF DE（2）联结OF，过点F 作FH⊥AB，垂足为H............. 1 分∵AF·AD=AO²，∴AF=AO，AO AD∵∠OAF=∠DAO，∴△AOF∽△ADO，∴∠AOF=∠D ........................ 1分∵OA=OD，∴∠FAO=∠D，∴∠FAO=∠FOA，∴FA=FO，∴AH=12AO ............................................................. 1分∵OD//AC，∴∠CAF=∠D，∠ACB=∠OEB=90°，∴∠CAF=∠OAF，∴△ACF≌△AHF，∴AC=AH=12AO ......................................................... 1分1AORt△ABC 中，sin B= AC=2 =1 ......................................1 分AB2 AO 4（3）∵AC//OD，∴FE=DE=DF. FC AC FA∵S∆OFE =FE，S∆OFB =OB=1，∴S∆OFE =1⋅FE...............................1 分S∆OFBFB S∆AFBAB 2 S∆AFB2FB由题意可知∠FAO≠90°（i）当∠AOF=90°时，可得∠B=∠FAO，由∠OAD=∠D，可得∠B=∠D.由OE⊥FB，得∠FOE=∠B，∴∠D=∠FOE，∴OF=FD，∴DE=OE， ............................................ 1分∴FE=DE=1，∴FE=FE =1 ，∴FE =1 ，FC AC 2 BE EC 3 FB 4∴S∆OFE =1⨯1=1 ..................................................................................1 分S∆AFB2 4 8（ii ） ∠AFO=90°时，可得 DF=FA ， FE = DF = 1 ，∴ FE = FE = 1 ，FC FA BE EC 2∴ FE = 1， ......................................................................... 1 分 FB ∴S ∆OFE 3= 1 ⨯ 1 = 1 .............................................................. 1 分 S ∆AFB 2 3 6。

2024年中考数学二模试卷(上海卷)(全解全析)

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2022上海嘉定区初三二模数学试卷及答案

2021学年嘉定区第二次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列实数中，属于无理数的是（▲） (A)4； (B) 020020002.2； (C) 11； (D)722． 2．下列关于x 的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（▲）(A) 042=+x ； (B) 022=+x x ； (C) 0442=+−x x ； (D) 022=+−x x ． 3．如果将抛物线1)1(2−+=x y 向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（▲）(A) )2,0(； (B) )0,2(； (C) )11(，； (D) )11(，−． 4．数据1，1，1，2，4，2，2，4的众数是（▲）(A)1； (B)2； (C)1或2； (D)1或2或4．5．如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列结论一定成立的是（▲） (A)CBA CAB ∠=∠； (B) ABC DAB ∠=∠； (C) DAB AOD ∠=∠； (D) ODA OAD ∠=∠．6．在Rt △ABC 中， ︒=∠90C ，8=BC ，2tan =A ，以点A 为圆心，半径为8的圆记作圆A ，那么下列说法正确的是（▲）(A) 点C 在圆A 内，点B 在圆A 外； (B) 点C 在圆A 上，点B 在圆A 外； (C) 点C 、B 都在圆A 内； (D) 点C 、B 都在圆A 外．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7．计算：=−)21(2x ▲ ． 8．分解因式：=−a a 92▲ ．9．不等式1221>−x 的解集是 ▲ ． 10．计算：=−+−−1112x x x x ▲ ． 11．用换元法解方程3222=+++x x x x 时，如果设y x x=+2，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ▲ ．图112．如果正比例函数x k y )1(−=的图像经过点A )4,2(−，那么k 的值是 ▲13．数据2−、1−、0、1、2的方差是 ▲ ．14．在不透明的袋中装有5个红球、2个白球和1个黑球，它们除颜色外其它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为白球的概率是 ▲ ． 15．如图2，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DC BD 2=，设向量a AB =，b BC =，那么向量=DA ▲ （结果用a 、b 表示）． 16．已知圆1O 与圆2O 外切，其中圆2O 的半径是cm 4，圆心距cmO O 621=，那么圆1O 的半径是▲cm ．17．我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图3，在△ABC 中，︒=∠45A ，︒=∠30B ，CD 是△ABC 中边AB 上的高，如果6=BC ，那么△ADC 和△BCD 的重心距是 ▲ ．18．在正方形ABCD 中，5=AB ，点E 在边BC 上，△ABE 沿直线AE 翻折后点B 落到正方形ABCD 的内部点F ，联结BF 、CF 、DF ，如图4，如果︒=∠90BFC ，那么=DF ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：31)2(121)21(2)21(−−+−+−．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=−+=−．，0658222y xy x y x ②①21．(本题满分10分，每小题满分各5分)如图5，在△ABC 中，︒=∠90C ，BD 是△ABC 的角平分线，AB DE ⊥，垂足为E ，已知16=AE ，53sin =A ．（1）求CD 的长；（2）求DBC ∠的余切值．A BCD图2C BD 图3 图4 图522．(本题满分10分，每小题满分各5分)已知直线)0(4≠+=k kx y 与双曲线都经过点),2(m A ．（1）如果点)6,2(−B 在直线)0(4≠+=k kx y 上，求m 的值；（2）如果第三象限的点C 与点A 关于原点对称，点C 的纵坐标是3−，求双曲线的表达式． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分)如图6，在四边形ABCD 中，AC 是对角线，AD AC =，点E 在边BC 上，AE AB =，CAD BAE ∠=∠，联结DE ．（1）求证：DE BC =；（2）当BC AC =时，求证：四边形ABCD 是平行四边形．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知抛物线32++=bx ax y 经过点)0,3(A 、)1,4(B 两点，与y 轴的交点为C 点．（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC 的面积；（3）设抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线l ，点关于直线l 对称，在线段BC 上是否存在一点E 是菱形，如果存在，请求出点E.图6图725．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在梯形ABCD 中，已知AB DC //，︒=∠90DAB ，3=DC ，6=DA ，9=AB ，点E 在射线AB 上，过点E 作AD EF //，交射线DC 于点F ，设x AE =．（1）当1=x 时，直线EF 与AC 交于点G 如图8，求GE 的长；（2）当3>x 时，直线EF 与射线CB 交于点H . ①当93<<x 时，动点M （与点A 、D 不重合）在边AD 上运动，且BE AM =，联结MH 交AC 于点N 如图9，随着动点M 的运动，试问HN CH :的值有没有变化，如果有变化，请说明你的理由；如果没有变化，请你求出HN CH :的值； ②联结AH ，如果CAD HAE ∠=∠，求x 的值．A BCD FE 图8G ABC D F E图9H M NABC D 备用图2021学年嘉定区第二次质量调研数学试卷参考答案及评分意见一、1. C; 2. B; 3. D; 4. C; 5. D; 6. A.二、7. 2−4x;8. a(a−9);9. x>6;10. 1;11.2y2−3y+1=0;12. 3;13. 2; 14. 14;15.−a−23b;16. 2;17. √3+1;18. √10.三、19. 解原式=2+√2−2+√2+1−2√2………………8’=1……………………………………………2’20.解由②得：(x+6y)(x−y)=0……………………2’∴(x+6y)=0或(x−y)=0……………………2’原方程组可变为：{x−2y=8x+6y=0，{x−2y=8x−y =0……………2’解这两个方程组得原方程组的解是：{x1=6y1=−1，{x2=−8y2=−8…4’21.解(1) ∵DE⊥AB∴∠AED=90°在Rt△AED中，sin A=DEDA…………………………………1’∵sin A=35∴DEDA=35……………………………………1’∵AE=16DE2+AE2=DA2∴DE=12 DA=20……1’∵BD平分∠ABC，∠AED=∠C=90°∴CD=DE ……1’∴CD=12……………………………………………………1’(2)由(1)得 DA=20∴AC=32 ……………………………1’在Rt△ACB中，sin A=BCAB……………………………………1’∵BC2+AC2=AB2∴BC=24……………………………1’在Rt△BCD中，cot∠DBC=BCCD………………………………1’又BC=24 CD=12∴cot∠DBC=2……………………1’22.解(1) 由点B(−2,6)在直线y=kx+4上∴6=−2k+4………………………………………………1’∴k=−1………………………………………………………1’∴直线的表达式是y=−x+4……………………………1’∵点A(2,m)在直线y=−x+4上∴m=−2+4……1’∴m=2………………………………………………………1’(2) 设所求的双曲线表达式是y=kx(k≠0)……………………1’∵第三象限点C与点A关于原点对称，∴点A的纵坐标与点C的纵坐标是互为相反数………1’∵点C的纵坐标是-3 ∴点A的坐标是(2,3)……………1’∵点A在双曲线y=kx 上∴2=k3∴k=6……………1’∴双曲线的表达式是y=6x…………………………………1’23.证明(1) ∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC ∴∠BAC=∠EAD……………………………………………2’在△BAC和△EAD中，{AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD∴△BAC≌△EAD………………………………………………2’∴BC=DE……………………………………………………2’(2) ∵AC=BC∴∠B=∠CAB∵∠B+∠CAB+∠ACB=180°∴∠ACB=180°−2∠B∵AB=AE∴∠B=∠AEB∵∠B+∠AEB+∠BAE=180°∴∠BAE=180°−2∠B…1’∴∠ACB=∠BAE……………………………………………1’∵∠BAE=∠CAD∴∠ACB=∠CAD……………………1’∴AD // BC……………………………………………………1’∵AC=BC AC=AD∴BC=AD…………………………1’∴四边形ABCD是平行四边形…………………………………1’24. 解(1) ∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(3,0)、B(4,1)两点 ∴ {0= 9a +3b +31=16a +4b +3 …………………………………………… 1’得 {a = 12 ……………………………………………………… 1’b =−52 …………………………………………………… 1’∴ 抛物线的表达式是y =12x 2−52x +3 ………………………… 1’(2) 联结OB ，点B 的坐标是(4,1) 由题意得S △BOC =12×4×3=6………………………………… 1’S △OAB =12×3×1=32 ………………………………………… 1’ ∵ S OABC =S △BOC +S △OAB …………………………………… 1’∴ S OABC =6+32=152………………………………………… 1’(3) 存在 …………………………………………………… 1’由(1)可知：对称轴l 的表达式是直线x =2.5∵点D 与点B 关于直线l 对称，点B 的坐标是(4,1) ∴点D 的坐标是(1,1) , 可以求得，DC =AD =√5，直线BC 的表达式是y =−12x +3，直线AD 的表达式是y =−12x +32，∴ AD // BC …………………………………………………… 1’只要AD =EC ，就能得到四边形ADCE 是菱形.设点E 的坐标为(x,−12x +3)，得√(x −0)2+(−12x +3−3)2=√5解得x =±2（负值舍去） …………………………………… 1’ ∴点E 的坐标为(2,2) …………………………………… 1’∴在线段BC 上存在一点E ，使四边形ADCE 是菱形，点E 的坐标为(2,2)25.解(1) ∵DC // AB∴FCAE =FGGE……………………………1’∵EF // AD∴四边形AEFD是平行四边形∴DF=AE，AD=EF ∵ AE=x=1∴DF=1∵CD=3∴CF=2………1’又AD=6∴EF=6…………………………………………1’∴FG=6−GE∴21=6−GEGE∴GE=2……………………1’(2) ① CH∶ HN的值没有变化…………………………………1’过点C作CG⊥AB，垂足为G由题意可知CG=AD=6DC=AG=3∵AB=9∴GB=6∴△CGB是等腰直角三角形∴CB2=CG2+GB2∴CB=6√2…1’∴∠B=45°∠HEB=90°∴∠EHB=45°∴∠B=∠EHB∴HE=BE∵AM=BE∴AM=HE 又AM // HE∴四边形AMHE是平行四边形…………1’∴MH // AB∴△CNH∽△C A B……………………………1’∴CHHN =CBAB………………………………………………………1’∵AB=9∴CHHN =6√29=2√23…………………………………1’(2) ②当3<x<9时，由①得HE=BE∴HE=9−x在Rt△CDA中，tan∠CAD=CDAD =36=12在Rt△AEH中，tan∠HAE=HEAE =9−xx∵∠CAD=∠HAE∴12=9−xx∴x=6……………………2’当x>9时，同理得BE=EH∴EH=x−9=BE同理EHAE =12∴x−9x=12∴x=18综上所述：x的值是6或18…………………………………2’。

2022年上海市嘉定区中考数学二模试题及答案解析

2022年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，属于无理数的是( )A. √4B. 2.020020002C. √11D. 2272. 下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是( )A. x2+4=0B. x2+2x=0C. x2−4x+4=0D. x2−x+2=03. 如果将抛物线y=(x+1)2−1向上平移2个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是( )A. (0,2)B. (2,0)C. (1,1)D. (−1,1)4. 数据1，1，1，2，4，2，2，4的众数是( )A. 1B. 2C. 1或2D. 1或2或45. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点O，那么下列结论一定成立的是( )A. ∠CAB=∠CBAB. ∠DAB=∠ABCC. ∠AOD=∠DABD. ∠OAD=∠ODA6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanA=2，以点A为圆心，半径为8的圆记作圆A，那么下列说法正确的是( )A. 点C在圆A内，点B在圆A外B. 点C在圆A上，点B在圆A外C. 点C、B都在圆A内D. 点C、B都在圆A外二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：2(1−2x)=______．8. 分解因式：a2−9a=______．9. 不等式1x−2>1的解集是______．210. 计算：2x x−1−x+1x−1=______．11. 用换元法解方程2xx+2+x+2x=3时，如果设xx+2=y ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是______．12. 如果正比例函数y =(1−k)x 的图像经过点A(2,−4)，那么k 的值是______．13. 数据−2、−1、0、1、2的方差是______．14. 在不透明的袋中装有5个红球、2个白球和1个黑球，它们除颜色外其它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为白球的概率是______．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，BD =2DC ，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______(结果用a ⃗ 、b ⃗ 表示)．16. 已知圆O 1与圆O 2外切，其中圆O 2的半径是4cm ，圆心距O 1O 2=6cm ，那么圆O 1的半径是______cm ．17. 我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距．如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，CD 是△ABC 中边AB 上的高，如果BC =6，那么△ADC 和△BCD 的重心距是______． 18. 在正方形ABCD 中，AB =5，点E 在边BC 上，△ABE 沿直线AE 翻折后点B 落到正方形ABCD 的内部点F ，联结BF 、CF 、DF ，如图，如果∠BFC =90°，那么DF =______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

2024年上海市宝山区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x≥1B．x≥0C．x＞1D．x＞02．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则实数m的值为（）A．B．﹣4C．D．43．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝2x2+1B．y＝﹣2x2+1C．y＝x+1D．y＝﹣x+14．（4分）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQI）：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）a6÷a2＝．8．（4分）因式分解：m2﹣3m＝．9．（4分）不等式的解集是．10．（4分）方程的解是．11．（4分）我国天文学家算出了仙女星系“体重”．仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例．计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量．把数据11400亿用科学记数法表示应是．12．（4分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为只．13．（4分）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为尺．14．（4分）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝米．15．（4分）如图，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果，那么＝．16．（4分）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳名观众．17．（4分）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为．18．（4分）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE 沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象交于点C（2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且CD＝3，求△ABD的面积．22．（10分）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长AC＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A离地高度AB＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF ＝36.9°，夏至正午太阳光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin17.5°≈0.3，cos17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；sin36.9°≈0.6，cos36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；sin82.4°≈0.99，cos82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5．23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，联结AC、DO，延长DO交AC于点F．（1）求证：AF2＝OF•DF；（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的长．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2x+4经过点P（0，4），顶点为A．（1）求直线PA的表达式；（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C．如果，求tan∠PBC的值．25．（14分）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．（1）如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．2024年上海市宝山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2．【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到Δ＝0，建立关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴12﹣4×1×（﹣m）＝0，解得，故选：A．【点评】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时Δ＞0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．3．【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质分别进行判断可以得解．【解答】解：由题意，对于A选项，y＝2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故A错误．对于B选项，y＝﹣2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，故B错误．对于C选项，y＝x+1是一次函数，k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，故C错误．对于D选项，y＝﹣x+1是一次函数，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质及一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解其增减性是关键4．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果有1种，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，∴两次都是“正面朝上”的概率＝，故选：B．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】这组数据的平均数受极端数值117影响，众数偏离大多数据，方差是反应数据的集中趋势的统计量，据此可得答案．【解答】解：这组数据的平均数为＝，中位数为33，众数为26，方差是反应数据的集中趋势的统计量，所以能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数，故选：B．【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的意义．6．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，，∴＝，设AC＝x，BC＝2x，∴AB＝＝x＝5，∴x＝，∴AC＝，BC＝2，过点C作CD⊥AB于点D，∴CD＝＝2，∵⊙C与线段AB有两个交点，∴2＜R≤，故选：A．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．【解答】解：a6÷a2＝a4．故答案为：a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．8．【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【分析】根据不等式的性质：先分母，再移项，合并同类项即可．【解答】解：去分母，得x﹣1≤0．移项，得x≤1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质，能求一元一次不等式的解集．10．【分析】首先将两边同时平方得2﹣x＝x2，再解这个整式方程求出x，然后再进行检验即可得出原方程的解．【解答】解：对于方程，两边同时平方得：2﹣x＝x2，移项得：x2+x﹣2＝0，∴（x﹣1）（x+2）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，由x﹣1＝0，解得：x＝1，由x+2＝0，解得：x＝﹣2，经检验得：x＝1为增根，x＝﹣2是原方程的根．∴方程的解是x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：11400亿＝1140000000000＝1.14×1012，故答案为：1.14×1012．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】先求出调查中使用寿命超过了2500小时的灯泡占比，再用占比乘总数，即可求解．【解答】解：（28÷50）×1000＝560（只）故答案为：560．【点评】本题考查了用样本估计总体，理清题目的数量关系并仔细计算是解题关键．13．【分析】设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可．【解答】解：设木长为x尺，根据题意得：（x+4.5）＝x﹣1，解得x＝6.5，答：木长6.5尺．故答案为：6.5．【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键．14．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点M、N分别为AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AC＝2MN＝2×3＝6（米），故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．15．【分析】连接BD，先由正六边形的性质可得AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，进而求出∠ABD＝∠BDE＝90°，则可证明AB∥DE，得到AB＝ED，则＝＝﹣＝﹣．【解答】解：如图所示，连接BD，由题意得，AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∴∠ABD+∠BDE＝180°，∴AB∥DE，∴＝，∵，∴＝＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等．16．【分析】设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．利用垂径定理，勾股定理求出半径，再求出矩形ABCD的面积，可得结论．【解答】解：设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．设OE＝OJ＝r米，∵OH⊥EF，∴EH＝FH＝EF＝4（米），在Rt△OEH中，OE2＝EH2+OH2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝5，∴矩形ABCD的面积＝5×10＝50（平方米），∵每平方米最多可以坐3名观众，∴观演区可容纳150名观众．故答案为：150．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．【分析】设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，由△HLM∽△ALB，得＝＝，则HL＝m，AL＝m，由IG∥AB，得＝＝，则IH＝m，求得LI＝m，再证明△AKD∽△HKC，得＝＝1，则AK＝m，求得LK＝m，即可由△QLI ∽△PLK，求得＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，∵正方形ABCD、正方形CEFG和正方形GHMN的一边在同一条直线上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5+3+2＝10，HC＝3+2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴＝＝，∴HL＝AH＝AH＝m，AL＝AH＝AH＝m，∵IG∥AB，∴＝＝＝，∴IH＝AH＝m，∴LI＝m﹣m＝m，∵AD∥HC，∴△AKD∽△HKC，∴＝＝＝1，∴AK＝HK＝AH＝m，∴LK＝m﹣m＝m，∵IQ∥KP，∴△QLI∽△PLK，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设AH＝m，求得HL＝m，AL＝m，IH＝m，AK＝m是解题的关键．18．【分析】分两种情况讨论：点D落在BC延长线上时，由折叠得AF＝AD＝AB，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，得BH＝HF＝4，CF＝3，由菱形的性质得∠DCF＝∠B，可得，设CG＝4y，则CE＝5y，由勾股定理得EG＝3y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，而FG＝FC﹣CG＝3﹣4y，在Rt△EFG中由勾股定理得（3﹣4y）2+（3y）2＝（5﹣5y）2解方程求出y的值即可解决问题；点D 落在DC延长线上时，推导出DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，利用cos D＝cos B＝，即，求得DE＝4，再利用CE＝CD﹣DE即可得解．【解答】解：点D落在BC延长线上时，如图1，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，点D与点F重合，如图1，由折叠得，AF＝AD＝AB＝5，∴BH＝AH，∵，∴BH＝4，∴BF＝2BH＝8，∴FC＝AF﹣AC＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，∴∠DCF＝∠B，，设CG＝4y，则CE＝5y，FG＝CF﹣CG＝3﹣4y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，在Rt△CEG中，由勾股定理得，在Rt△FEG中，由勾股定理得EG2+FG2＝EF2，∴（3y）2+（3﹣4y）2＝（5﹣5y）2，解得，∴；当点D落在DC的延长线上时，如图2，由折叠的性质得：DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，由菱形的性质得：∠B＝∠D，∴cos D＝cos B＝，即，∴DE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝5﹣4＝1，综上，CE的长为或1．故答案为：或1．【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），菱形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】先根据有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值进行计算，再根据幂的乘方，分母有理化进行计算，再根据实数的加减法法则进行计算即可．【解答】解：8﹣（﹣1）﹣1﹣|﹣3|＝（23）﹣﹣（3﹣）＝22﹣﹣3+2＝4﹣（+1）﹣3+2＝4﹣﹣1﹣3+2＝．【点评】本题考查了分数指数幂，负整数指数幂，分母有理化，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．20．【分析】通过方程两边都乘以最简公分母2x（x+1），将原方程化为整式方程再求解、检验．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1），得3×2x＝x+1+2x2+2x，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得x＝1或x＝，检验：当x＝1时，最简公分母2x（x+1）＝2×1×（1+1）≠0；当x＝时，最简公分母2x（x+1）＝2××（+1）≠0，∴原方程的解是x＝1或x＝．【点评】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用其求解方法进行变式、计算和检验．21．【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）分两种情况求面积，①当D点坐标为（﹣1，5）时，②当D点坐标为（5，5）时，分别计算出△ABD的面积即可．【解答】解：（1）∵点C（2，m）在直线y＝x+3图象上，∴m＝2+3＝5，∴C（2，5），∵C（2，5）在反比例函数图象上，∴k＝10，∴反比例函数解析式为：y＝．（2）∵C（2，5），点D在直线l上，CD＝3，l∥x轴，∴D（5，5）或（﹣1，5），∵y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，3），①当D点坐标为（﹣1，5）时，S△ABD＝S梯形OEDA﹣S△DEB﹣S△AOB＝﹣﹣＝，②当D点坐标为（5，5）时，S△ABD＝S△ACD﹣S△BCD＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．22．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，根据正切的定义求出AH，进而求出BH，根据正切的定义分别求出DG、EG，计算即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，则四边形HBGC为矩形，∴BF＝CG，在Rt△AHC中，AC＝6米，∠ACH＝17.5°，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH≈6×0.3＝1.8（米），∴BH＝AB﹣AH＝5﹣1.8＝3.2（米），在Rt△CDG中，CG＝3.2米，∠CDG＝36.9°，∵tan∠CDG＝，∴DG＝≈≈4.27（米），在Rt△CEG中，CG＝3.2米，∠CEG＝82.4°，∵tan∠CEG＝，∴EG＝≈≈0.43（米），则DE＝DG﹣EG＝4.27﹣0.43≈3.8（米），答：DE的长约为3.8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．【分析】（1）连接AD，由垂径定理得＝，则∠OAF＝∠OAD，由OA＝OD，得∠ADF＝∠OAD，所以∠OAF＝∠ADF，而∠OFA＝∠AFD，即可证明△OFA∽△AFD，得＝，则AF2＝OF•DF；（2）由OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，得DE＝CE＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，由OE2+DE2＝OD2，得（OD﹣2）2+42＝OD2，求得OD＝5，OE＝3，所以AE＝8，则AD＝＝4，根据相似三角形的性质得＝＝，则AF＝OF，由AF2＝OF•DF，得（OF）2＝OF（OF+5），求得OF＝．【解答】（1）证明：连接AD，∵直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，∴＝，∴∠OAF＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ADF＝∠OAD，∴∠OAF＝∠ADF，∵∠OFA＝∠AFD，∴△OFA∽△AFD，∴＝，∴AF2＝OF•DF．（2）解：∵OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，∴DE＝CE＝CD＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，∵∠AED＝90°，∴OE2+DE2＝OD2，∴（OD﹣2）2+42＝OD2，解得OD＝5，∴OA＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，∴AE＝OA+OE＝5+3＝8，∴AD＝＝＝4，∵△OFA∽△AFD，∴＝＝，∴AF＝OF，∵AF2＝OF•DF，∴（OF）2＝OF（OF+5），解得OF＝或OF＝0（不符合题意，舍去），∴OF的长是．【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（3）求出点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），由，求出m＝2，进而求解．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点A（，4﹣），设直线PA的表达式为：y＝kx+4，将点A的坐标代入上式得：4﹣＝k×+4，解得：k＝﹣1，即直线PA的表达式为：y＝﹣x+4；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式得：＝a（﹣4）2﹣2（﹣4）+4，解得：a＝（舍去）或﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+4；（3）由直线PA的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45°，点A（﹣2，6），设将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移m个单位，则相当于向左、向上个平移了m个单位，则平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m，当x＝0时，y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m＝﹣m2﹣m+4，即点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），则PC＝m2+m+4，而AB＝m＝2m＝PC＝m2+m+4，解得：m＝2，则点C（0，0），即点C、O重合，由点A的坐标（﹣2，6）得到点B（﹣4，8），在△PBC中，CP＝4，BC＝，PB＝4，过点P作PH⊥BC于点H，则S△PBC＝PC×|x B|＝BC×PH，即4×4＝×PH，则PH＝，则sin∠PBC＝＝＝，则tan∠PBC＝．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．25．【分析】（1）①设AC与DE的交点为M，通过推导出AC、EO互相垂直平分，证明四边形ADCE是菱形；②先求出菱形ADCE的内角为60°，再推导出CF＝2FG，即可推导出EB＝6FG，可得＝；（2）当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H点，过点E作EN⊥AB交于N点，设GD＝4m，则MO＝5m，EG＝4m，ED＝8m，先求出cos∠EAD＝，即可分别求出AN＝4×＝，ND＝4﹣＝，EN＝，ED＝8m＝，得到m＝，则MO＝，AM＝，再求AC＝；当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4．【解答】（1）证明：①如图1，设AC与DE的交点为M，由折叠可EM＝MO，∵E、D点关于AC对称，∴EO⊥AC，∵EO是圆O的半径，∴AM＝CM，∴AC、EO互相垂直平分，∴四边形ADCE是菱形；②解：∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAC＝∠CAO＝∠ECA＝∠ACO，∵AM⊥MO，MO＝AO，∴∠MAO＝30°，∴∠AOM＝∠MOC＝60°，∵DO＝BO，∴∠OEB＝∠OBE＝30°，∴∠EGO＝90°，∵∠FCG＝30°，∴CF＝2FG，∵∠CEF＝∠ECF＝30°，∴EF＝FC＝2FG，∵EG＝GB，∴EB＝6FG，∴＝；（2）解：如图2，当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H 点，过点E作EN⊥AB交于N点，由对称可知，AE＝AD，∵AO＝5，OD＝1，∴AE＝AD＝4，∵ED∥MO，∴＝，设GD＝4m，则MO＝5m，∵E、D点关于AC对称，∴EG＝4m，∴ED＝8m，∵AH＝HE＝2，∴cos∠EAD＝，∴AN＝4×＝，∴ND＝4﹣＝，EN＝，∴ED＝8m＝，∴m＝，∴MO＝，∴AM＝，∴AC＝；如图3，当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4；综上所述：AC的长为4或．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握折叠的性质，垂径定理，直角三角形的性质是解题的关键。

宝山、嘉定区中考数学二模试卷及答案精编版

2015年宝山嘉定联合模拟考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列实数中，属无理数的是（▲）(A)722； (B) 010010001.1； (C) 27； (D)︒60cos ．2．如果b a >，那么下列不等式一定成立的是（▲）(A) 0<-b a ； (B) b a ->-； (C)b a 2121<； (D) b a 22>． 3．数据6，7，5，7，6，13，5，6，8的众数是（▲）(A)5； (B)6； (C)7； (D)5或6或7． 4．抛物线3)2(2-+-=x y 向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（▲） (A) ），35(--； (B) )31(-，； (C) )31(--，； (D) )02(，-． 5．下列命题中，真命题是（▲）(A)菱形的对角线互相平分且相等； (B)矩形的对角线互相垂直平分；(C)对角线相等且垂直的四边形是正方形； (D) 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6．Rt △ABC 中，已知︒=∠90C ，4==BC AC ，以点A 、B 、C 为圆心的圆分别记作圆A 、圆B 、圆C ，这三个圆的半径长都等于2，那么下列结论正确的是（▲） (A) 圆A 与圆B 外离； (B) 圆B 与圆C 外离； (C) 圆A 与圆C 外离； (D) 圆A 与圆B 相交．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．计算：=-2)21( ▲ ． 8．计算：=--)2(2x x ▲ ．9．方程31=-x 的解是 ▲ ．10．函数xx y 241-+=的定义域是 ▲ ．11．如果正比例函数k kx y (=是常数，)0≠k 的图像经过点)2,1(-，那么这个函数的解析式是 ▲ ．12．抛物线222-++-=m x x y 与y 轴的交点为)4,0(-，那么=m ▲ ．13．某班40名全体学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图1所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是 ▲ 元．14．在不透明的袋中装有2个红球、5个白球和3个黑球，它们除颜色外其它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为黑球的概率是 ▲ ． 15．如图2，在△ABC 中，点M 在边BC 上，BM MC 2=，设向量=，AM =，那么向量= ▲ （结果用、表示）．16．如图3，在平行四边形ADBO 中，圆O 经过点A 、D 、B ，如果圆O 的半径4=OA ，那么弦=AB ▲ ．17．我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图4，在Rt △ABC 和Rt △ACD中，︒=∠=∠90ACD ACB ，点D 在边BC 的延长线上，如果3==DC BC ，那么△ABC 和△ACD 的外心距是 ▲ ．18．在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ，如图5，如果GD AD 3=，那么=DE ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值:xx x x x x x x 124122222++---+- ，其中13-=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=--=+．，0658222y xy x y x②①图1 AB C M图2 图3 A BC 图4AD C GEF 图521．(本题满分10分，每小题满分各5分)某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图6．已知原来三角形绿化地中道路AB 长为216米，在点B 的拐弯处道路AB 与BC 所夹的B ∠为︒45，在点C 的拐弯处道路AC 与BC 所夹的C ∠的正切值为2（即2tan =∠C ），如图7．（1）求拐弯点B 与C 之间的距离；（2）在改造好的圆形（圆O ）绿化地中，这个圆O 过点A 、C ，并与原道路BC 交于点D ，如果点A 是圆弧（优弧）道路DC 的中点，求圆O 的半径长．22．(本题满分10分，每小题满分各5分)已知一水池的容积V （公升）与注入水的时间t （分钟）之间开始是一次函数关系，表中记录的是这段时间注入水的时间与水池容积部分对应值．（1）求这段时间时关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）从t 为25分钟开始，每分钟注入的水量发生变化了，到t 为27分钟时，水池的容积为726公升，如果这两分钟中的每分钟注入的水量增长的百分率相同，求这个百分率． 23．（本题满分12分，每小题满分各6分)如图8，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在边BC 上，点E 在边AD 的右侧，联结CE ．（1）求证：︒=∠60ACE ；（2）在边AB 上取一点F ，使BD BF =，联结DF 、EF ．求证：四边形CDFE 是等腰梯形．图8A .OB C D 图7 图624．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy （图9），双曲线)0(≠=k xky 与直线2+=x y 都经过点),2(m A ．（1）求k 与m 的值；（2）此双曲线又经过点)2,(n B ，过点B 的直线BC 与直线2+=x y 平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线2+=x y 与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）若点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．2015年宝山嘉定联合模拟考试数学试卷参考答案与评分标准图9M ) 图10 图11一、1.C ；2.D ；3.B ；4.B ；5.D ；6.A .二、7.41；8.x x 422+-；9.8-=x ；10.2≠x 的一切实数；11.x y 2-=；12.2-；13.15； 14.103；15.33-；16.34；17.3；18.53. 三、19.解：原式x x x x x x x x 1)2()2)(2()1()1(2++-+---=…………4分 x x x x x 121+---=………………………2分x2=…………………………………………2分把13-=x 代入x2得：原式132-=………………………………1分13+=………………………………1分20. ⎩⎨⎧=--=+．，0658222y xy x y x ②① 解：由②得：0))(6(=+-y x y x ……………………2分即：06=-y x 或0=+y x …………………2分所以原方程组可化为两个二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-;82,06y x y x⎩⎨⎧=+=+;82,0y x y x ………………2分分别解这两个方程组，得原方程组的解是⎩⎨⎧=-=8821x x ，⎩⎨⎧==1612x x …………4分.21.解：（1）过点A 作BC AH ⊥,垂足为点H在Rt △AHB 中，∵︒=∠45B∴︒=∠45BAH …………………………1分∴BH AH =………………………………1分∵222AB BH AH =+ ，216=AB∴16==BH AH …………………………1分在Rt △AHC 中，HCAH C =∠tan ，∵2tan =∠C ∴8=HC ………………1分∴24=BC ………………1分答：拐弯点B 与C 之间的距离为24米；（2）联结OC …………………………………1分 ∵BC AH ⊥，点A 是优弧CD 的中点∴AH 必经过圆心O …………………………1分设圆O 的半径为r 米，则r OH -=16……1分在Rt △OHC 中，222OC HC OH =+∴222)16(8r r -+= ………………………1分∴10=r ………………………………………1分答：圆O 的半径长为10米.22.解：（1）设V 关于t 的函数解析式为：b kt V +=………………1分A .O B C DH由题意得：⎩⎨⎧=+=30010100b k b …………………………………1分解此方程组得：⎩⎨⎧==10020b k ……………………………………2分所以V 关于t 的函数解析式为：10020+=t V ……………1分（2）设这个百分率为x …………………………………………1分由题意得：726)1(6002=+x ………………………………2分解此方程得：%101.01==x ，1.22-=x （不符合题意舍去）……1分答这个百分率为%10.……………………………………………………1分23.证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AC AB =，︒=∠=∠=∠60ACB BAC B ……1分 ∵△ADE 是等边三角形∴AE AD =，︒=∠60DAE ……………………1分 ∴DAE BAC ∠=∠∵=∠BAD DAC BAC ∠-∠ DAC DAE CAE ∠-∠=∠∴CAE BAD ∠=∠…………………………1分∴△ABD ≌△ACE ………………………1分 ∴ACE B ∠=∠ ……………………………1分∴︒=∠60ACE ……………………………1分（2）∵BD BF =，︒=∠60B∴△BDF 是等边三角形∴FD BF BD ==…………………………1分 ∵△ABD ≌△ACE∴CE BD =∴CE FD BF ==…………………………1分 ∵︒=∠=∠=∠60ACE ACB B ∴︒=∠+∠180ECB B∴BF ∥CE ………………………………1分 ∴四边形ECBF 是平行四边形 …………1分 ∴DC ∥EF又DF 与CE 不平行∴四边形CDFE 是梯形……………………1分又CE FD =∴四边形CDFE 是等腰梯形………………1分24.解：（1） ∵直线2+=x y 经过点),2(m A∴422=+=m ………………………………1分 ∴点A 的坐标为)4,2(A ……………………1分 ∵双曲线)0(≠=k xky 经过点)4,2(A ∴24k=…………………………………………1分 ∴8=k …………………………………………1分（2）由（1）得：双曲线的表达式为xy 8=∵双曲线xy 8=经过点)2,(n B ，∴n 82=，∴2=n∴点B 的坐标为)2,4(……………………………………1分 ∵直线BC 与直线2+=x y 平行∴可设直线BC 的表达式为：b x y +=∴b +=42，∴2-=b ，∴直线BC 的表达式为：2-=x y ∴点C 的坐标为)2,0(-……………………………………1分∴22=AB ，24=BC ，102=AC ，∴222AC BC AB =+ ∴︒=∠90ABC …………………………………………1分∴△ABC 的面积为821=⨯⨯BC AB ……………………1分（3）根据题意设点E 的坐标为)2,(-x x ，这里的0>x∵直线2+=x y 与y 轴交于点D ∴点D 的坐标为)2,0(∴22=AD ，x CE 2= ∵AD ∥BC∴ACE DAC ∠=∠…………………………………………1分当CAE ADC ∠=∠时，△ADC ∽△CAE∴CE ACAC AD =∴x 210210222= ∴10=x∴点E 的坐标为)8,10( ……………………………………2分当CEA ADC ∠=∠时，△ADC ∽△CEA ∴AC AC EC AD = ∴EC AD =又ACE DAC ∠=∠，CA AC = ∴△ADC ≌△CEA又已知△ADC 与△CEA 的相似比不为1∴这种情况不存在 …………………………………………1分综上所述点E 的坐标为)8,10(25.解：（1）当点M 与点B 重合，由旋转得：2==BD BC ，ED AC =，EBD CBA ∠=∠，︒=∠=∠90C EDB ∵CB EM ⊥∴︒=∠90EBC ∴︒=∠=∠45EBD CBA …………1分 ∴︒=∠=∠45CBA CAB ∴2==CB AC∴22=AB …………………………………1分 ∴2==DB DE∴222-=AD ……………………………1分∴12cot -==∠DEADBAE ………………1分（2）设EM 与边AB 交点为G由题意可知：︒=∠+∠9021，︒=∠+∠903CBA 又32∠=∠，∴CBA ∠=∠1∵CBA EBD ∠=∠，∴EBD ∠=∠1，∵BDE EDG ∠=∠，∴△EDG ∽△BDE ∴EDDG BD ED =…………………………………………1分 ∵2==BD BC ，x ED AC ==∴xDGx =2，∴22x DG =…………………………1分由题意可知：ABBCBG MB ABC ==∠cos42+=x AB ，242xGB -=∴422422+=-x x y ……………………1分 ∴444222++-=x x x y ……………………1分定义域为20<<x …………………………1分（3）当点M 在边BC 上时，由旋转可知：EB AB =，∴BAE AEB ∠=∠设︒=∠x CBA ，则︒=∠x ABE ，∵EBM BAE ∠=∠，分别延长EA 、BC 交于点H ∴︒=∠=∠=∠x EMB BAE AEB 2，∵︒=∠+∠+∠180AEB BAE ABE ∴36=x 易得：︒=∠=∠=∠36ABE ABH H ，︒=∠=∠=∠72AEB BAE HBE ∴BE AB AH ==，HE HB =，∵︒=∠90ACB ，∴2==BC HC∴4==HE HB ，∴△BAE ∽△HBE ，∴BEAEHB AB =，又AB BE = AB HA HE AE -=-=4，∴ABABAB -=44，∴522±-=AB (负值舍去) ∴522+-=AB …………………………2分当点M 在边CB 的延长线上时，∵BAE AEB ∠=∠，EBM BAE ∠=∠∴EBM AEB ∠=∠∴AE ∥MC ∴CBA BAE ∠=∠ ∵EBA CBA ∠=∠∴EBA CBA EBM ∠=∠=∠∴︒=∠60CBA ，∵AB BCCBA =∠cos ，2=BC∴4=AB …………………………2分综上所述：522+-=AB 或4.。

2022年上海市宝山区中考数学二模试题及答案解析

2022年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是( )A. √4B. √6C. √8D. √122. 关于一元二次方程x2−x−2=0的根的情况，下列判断正确的是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根3. 已知反比例函数的图象经过点(−3,2)，那么这个反比例函数的解析式是( )A. y=2x B. y=−3xC. y=6xD. y=−6x4. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )A. 方差B. 众数C. 平均数D. 频数5. 在下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 圆6. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=2√5，cotC=√54，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是( )A. 9B. 172C. 5 D. 92二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：(3a3)2=______．8. 某商品原价为a元，如果按原价的七五折销售，那么售价是______元．(用含字母a的代数式表示)9. 不等式组{x−2<02x+3>1的解集是______．10. 分解因式：4a2−b2=______．11. 已知函数f(x)=2x−3，那么f(2)=______．12. 已知正比例函数y =kx(k 是常数，k ≠0)的图象经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的值增大而______.(填“增大”或“减小”)13. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值______钱．14. 在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩．如表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：国家挪威德国中国美国瑞典荷兰奥地利瑞士俄罗斯代表队法国金牌数(枚)16 12 9 8 8 8 7 7 65那么这些国家获得金牌数的中位数是______枚．15. 如果一个等腰直角三角形的面积是1，那么它的周长是______．16. 如图，已知AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，AD//BC ，BC =2AD ，如果设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______．17. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，F 为边CD 上一点，沿AF 折叠，点D 恰好落在BC边上的点E 处，那么线段DF ：FC 的值为______．18. 一个封闭平面图形上及其内部任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径的比值称为该图形的“周率”，如果正三角形、正方形和圆的周率依次记为a 、b 、c ，那么将a 、b 、c 从小到大排列为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

上海市宝山、嘉定区中考二模数学试题及答案

上海市宝山、嘉定区 2016 年中考二模数学试题一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1、 2 的倒数是（）A 、 5 ；B 、2；C 、1 ； D 、 1；222、以下计算正确的选项是（）A 、 2a-a=1；B 、 a 2 a 22a 4C 、 a 2 a 3 a 5 ；D 、 a2b 2；ba 2 ；3、某地气象局预告称：明日 A 地域降水概率为80%，这句话指的是（）A 、明日 A 地域 80%的时间都下雨；B 、明日 A 地域的降雨量是同期的 80%；C 、明日 A 地域 80%的地方都下雨；D 、明日 A 地域下雨的可能性是80%；4、某老师在试卷剖析中说：参加此次考试的82 位同学中，考 91 的人数最多，有11 人之众，可是十分遗憾最低的同学仍旧只得了56 了。

这说明本次考试分数的众数是（）A 、 82；B 、91；C 、 11；D 、 56；5、假如点 K 、、 M 、N 分别是四边形ABCD 的四条边、、CD 、DA 的中点，且四边形KLMNL AB BC是菱形，那么以下选项正确的选项是（）A 、 AB ⊥ BC ；B 、AC ⊥ BD ； C 、 AB=BC ；D 、 AC=BD ； A D6、如图 1，梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，AB=DC ， ∠DBC= 45°，点 E 在 BC 上，点 F 在 AB 上，将梯形 ABCD 沿直线 EF 翻折，F使得点 B 与点 D 重合。

假如AD1 ，那么AF的值是（）BC4 BF132D 、2B图 1 ECA 、；B 、；C 、；2 ；253二、填空题（本大题共12 题，每题 4 分，满分 48 分）7、据统计，今年上海 “樱花节 ”活动时期顾村公园入园赏樱人数约 312 万人次，用科学记数法可表示为 ______人次；8、因式分解： 2x 28 =_______________ ；x 1 39、不等式组1的解集是 ________________ ；2x x1 k y 都随 x 的增大而增大，那么 k 的取值范10、假如在构成反比率函数 y 图像的每条曲线上，x围是 ________；11、假如函数 y=f(x)的图像沿 x 轴的正方向平移 1 个单位后与抛物线y x 22x 3 重合，那么函数y=f (x)的分析式是 ___________；12、甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测试成绩统计以下表。

2022年上海市嘉定区中考数学二模试卷(附答案详解)

2022年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列实数中，是无理数的为()C. 3.14D. √2A. 0B. 2272.下列运算错误的是()A. x+2x=3xB. (x3)2=x6C. x2⋅x3=x5D. x8÷x4=x23.下列对二次函数y=x2−x的图象的描述，正确的是()A. 开口向下B. 对称轴是y轴C. 经过原点D. 在对称轴右侧部分是下降的4.据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数(单位：户)依次是：28，30，27，29，28，29，29，那么这组数据的中位数和众数分别是()A. 28和29B. 29和28C. 29和29D. 27和285.下列命题中，真命题的是()A. 如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B. 如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形C. 如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D. 如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形6.下列命题中假命题是()A. 平分弦的半径垂直于弦B. 垂直平分弦的直线必经过圆心C. 垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧D. 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：|√3−√2|=______．8.函数y=1的定义域是______．1−x9.计算：(x+1)2−x2=______．10.方程√2x−5=1的解是______．11.如果正比例函数y=(k−1)x的图象经过第一、三象限，那么k______．12. 不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是______．13. 正八边形的中心角等于______度．14. 为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”.由此，估计该校九年级全体学生中约有______ 名学生“骑共享单车上学”．15. 如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 边AB ，BC ，CA 上的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 与b ⃗ 的线性组合表示DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 如图，已知⊙O 中，直径AB 平分弦CD ，且交CD 于点E ，如果OE =BE ，那么弦CD 所对的圆心角是______度．17. 定义：如图，点P 、Q 把线段AB 分割成线段AP 、PQ和BQ ，若以AP 、PQ 、BQ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点．已知点P 、Q 是线段AB 的勾股分割点，如果AP =4，PQ =6(PQ >BQ)，那么BQ =______．18. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A(−2√3,0)，C(0,2)将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在直线OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：20220+412+(√2−1)2+13−2√2．20.解方程：3x2−3x −1x−3=1．21.如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．(1)求证：AD=CF；(2)若AB⊥AF，且AB=8，BC=5，求sin∠ACE的值．22.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求出P与S之间的函数表达式；(2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？23.如图，已知在菱形ABCD中，E为边AD的中点，CE与BD交于点G，过点G作GF⊥CD于点F，∠1=∠2．(1)若DF=3，求AD的长；(2)求证：BG=GF+CE．24.如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．25.在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD+∠DAB=90°．(1)如图1，求证：AD⏜等于CD⏜；(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE=DE，求证：AC=2DF；(3)如图3，在(2)的条件下，连接BC，若AF=2，BC=6，求弦AD的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、0是整数，故是有理数，故本选项错误；B、22是分数，故是有理数，故本选项错误；7C、3.14是小数，故是有理数，故本选项错误；D、√2是开方开不尽的数，故是无理数，故本选项正确．故选：D．根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．本题考查的是无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】D【解析】解：A、x+2x=3x，正确，不符合题意；B、(x3)2=x6，正确，不符合题意；C、x2⋅x3=x5，正确，不符合题意；D、x8÷x4=x4，原式错误，符合题意；故选：D．根据合并同类项的法则、幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除逐一判断可得．本题主要考查幂的运算和合并同类项法则，熟练掌握幂的运算法则和合并同类项的法则是解题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．A、由a=1>0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；B 、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x =12，选项B 不正确；C 、代入x =0求出y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项C 正确；D 、由a =1>0及抛物线对称轴为直线x =12，利用二次函数的性质，可得出当x >12时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确．综上即可得出结论．【解答】解：A 、∵a =1>0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确；B 、∵−b 2a =12， ∴抛物线的对称轴为直线x =12，选项B 不正确；C 、当x =0时，y =x 2−x =0，∴抛物线经过原点，选项C 正确；D 、∵a >0，抛物线的对称轴为直线x =12， ∴当x >12时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确．故选：C ． 4.【答案】C【解析】解：对这组数据重新排列顺序得，27，28，28，29，29，29，30，处于最中间是数是29，∴这组数据的中位数是29，在这组数据中，29出现的次数最多，∴这组数据的众数是29，故选：C ．根据中位数和众数的概念解答．本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5.【答案】C【解析】解：A、如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形是假命题，不符合题意；B、如果一个四边形两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形是假命题，不符合题意；C、如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形是真命题，符合题意；D、如果一个四边形两条对角线互相垂直平分，那么这个四边形是矩形是假命题，不符合题意；故选：C．根据矩形、菱形判定逐项判断．本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形的判定定理．6.【答案】A【解析】解：A、平分弦(非直径)的半径垂直于弦，所以A为假命题；B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．故选A．根据垂径定理及其推论分别进行判断．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7.【答案】√3−√2【解析】解：|√3−√2|=√3−√2．故答案为：√3−√2．根据绝对值的性质即可求解．本题考查了实数的性质，关键是熟练掌握绝对值的性质．8.【答案】x≠1【解析】解：∵要使函数有意义，则有1−x≠0，∴x≠1，故答案为：x≠1．根据函数有意义的条件是分母不为0，即可求出定义域．本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数自变量的取值范围是解题的关键．9.【答案】2x+1【解析】解：原式=(x+1+x)(x+1−x)=2x+1；故答案为：2x+1．用平方差公式先分解因式，再合并同类项．本题考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式是解题关键．10.【答案】x=3【解析】解：√2x−5=1，方程两边平方，得2x−5=1，解得：x=3，经检验：x=3是原方程的解，即原方程的解是x=3，故答案为：x=3．方程两边平方得出2x−5=1，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了无理方程的解法，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11.【答案】>1【解析】解：∵正比例函数y=(k−1)x的图象经过第一、三象限，∴k−1>0，∴k>1．故答案为：>1．由正比例函数y=(k−1)x的图象经过第一、三象限，可得出k−1>0，解之即可得出k的取值范围．本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0⇔y=kx的图象在一、三象限”是解题的关键．12.【答案】310【解析】解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：32+3+5=310．故答案为：310．由在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一球恰好为红球的概率．此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】45【解析】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故答案为45．根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．14.【答案】25【解析】解：根据题意，估计该校九年级全体学生中“骑共享单车上学”的人数为300×560=25名，故答案为：25．用样本中“骑共享单车上学”的人数所占比例乘以总人数300即可得．本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．15.【答案】12a ⃗ +12b ⃗【解析】解：在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ．∵点D ，E 分别是△ABC 边AB ，BC 上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线．∴DE//AC ，DE =12AC ．∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ ．故答案是：12a⃗ +12b ⃗ ．首先利用三角形法则求得AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用三角形中位线定理和共线向量的性质求解即可．本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，掌握共线向量的定义和性质是解题的关键．16.【答案】120【解析】解：连接OC ，BC ，OD ，∵直径AB 平分弦CD ，OE =BE ，∴OC =BC =OB ，∴△OCB 是等边三角形，∴∠COB =60°，∴∠COD =120°，即弦CD 所对的圆心角是120°，故答案为120此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据等边三角形的判定得出△OCB 是等边三角形．连接OC，BC，OD，利用等边三角形的判定得出△OCB是等边三角形，进而得出∠COB=60°，进而解答即可．17.【答案】2√5【解析】解：依题意得：AP2+BQ2=PQ2，即42+BQ2=62，解得BQ=2√5(舍去负值)．故答案是：2√5．由勾股定理求得BQ的长度即可．本题考查了勾股定理．熟知勾股分割点的定义是解题的关键．18.【答案】(−2,2√3).【解析】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，如图所示：由题意得，OA=2√3，AB=OC=2，根据勾股定理，得BO=4，∵ABCO是矩形，∴∠BAO=90°，∴tan∠ABO=AO=√3，AB∴∠ABO=60°，∴∠AOB=30°，根据旋转，可知∠B1OB=∠BOA=30°，B1O=BO=4，∴∠B1OH=60°，∴∠HB1O=30°，∴OH=2，B1H=2√3，∴B1(−2,2√3).连接OB1，作B1H⊥OA于H，根据矩形的性质以及三角函数可求出∠BOA=30°，根据旋转的性质，进一步求出∠HB1O=30°，B1O=BO，再根据直角三角形，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求出B1的坐标．本题考查了一次函数与矩形的综合，涉及矩形的性质，三角函数，旋转的性质，30°的直角三角形的性质，本题综合性较强．19.【答案】解：原式=1+2+3−2√2+3+2√2=9．【解析】原式分别计算算术平方根，负整指数幂，分母有理化，零指数幂，然后合并即可．本题考查实数的运算以及整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．20.【答案】解：两边乘x(x−3)得到3−x=x2−3x，∴x2−2x−3=0，∴(x−3)(x+1)=0，∴x1=3，x2=−1，经检验x=3是原方程的增根，∴原方程的解为x=−1．【解析】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．两边乘x(x−3)把分式方程转化为整式方程即可解决问题．21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，∵E是CD的中点，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)∴AD=CF；(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=4，∵△ADE≌△FCE，∴AD=CF=BC=5，∵AB⊥AF∴AC=12BF=5，∴AF=√BF2−AB2=√102−82=6，∴AE=EF=12AF=3，∵AB//CD，∴CD⊥AF∴sin∠ACE=AEAC =35．【解析】(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；(2)根据勾股定理和三角函数解答即可．此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．22.【答案】解：(1)设p=kS．把A(3,200)代入，得200=k3，k=3×200=600，则p=600S(S>0)；(2)由题意知600S≤3000，解得S≥0.2，即木板面积至少要有0.2m2．【解析】(1)由图可知3×200=600为定值，即k=600，易求出解析式．(2)压强不超过3000Pa，即p≤3000时，求相对应的自变量的范围．此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题．23.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠2=∠CDB，AD=CD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠CDB，∴CG=DG，即△CDG是等腰三角形，∵GF⊥CD，∴CF=DF，∵DF=3，∴CD=6，∴AD=6；(2)证明：如图，延长CE交BA的延长线于点M，则∠AEM=∠DEC，∵点E是AD的中点，∴AE=DE=DF，∵AB//CD，∴∠M=∠DCE，∴△AEM≌△DEC(AAS)，∴EM=CE，∵DE=FD，DG=DG，∠2=∠GDF，∴△GDE≌△GDF(SAS)，∴EG=GF，∵BM//CD，∴∠M=∠1，∠GBM=∠GDC，∵∠1=∠GDC，∴∠M=∠GBM，∴BG=MG，∵GM=GE+EM，∴BG=FG+CE．【解析】(1)由菱形的性质得到∠2=∠CDB，再由∠1=∠2得到∠1=∠CDB，从而有CG= DG，即△CDG是等腰三角形，再由GF⊥CD得到CF=DF，即有CD=6，最后得到AD=6；(2)延长CE交BA的延长线于点M，然后证明△AEM≌△DEC，得到EM=CE，再证△GDE≌△GDF ，得到EG =FG ，然后由BM//CD 得到∠M =∠1，∠GBM =∠GDC ，可得∠M =∠GBM ，则BG =MG ，最后得证BG =FG +CE ．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是熟知菱形的性质得到∠2=∠BDC ．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A(−1,0)，B(3,0)两点，∴{−1−b +c =0−9+3b +c =0, 解得，{b =2c =3， ∴经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为y =−x 2+2x +3；(2)如图1，连接PC 、PE ，x =−b 2a =−22×(−1)=1，当x =1时，y =4，∴点D 的坐标为(1,4)，设直线BD 的解析式为：y =mx +n ，则{m +n =43m +n =0，解得，{m =−2n =6， ∴直线BD 的解析式为y =−2x +6，设点P 的坐标为(x,−2x +6)，则PC 2=x 2+(3+2x −6)2，PE 2=(x −1)2+(−2x +6)2，∵PC =PE ，∴x 2+(3+2x −6)2=(x −1)2+(−2x +6)2，解得，x =2，则y =−2×2+6=2，∴点P 的坐标为(2,2)；(3)设点M的坐标为(a,0)，则点G的坐标为(a,−a2+2a+3)，∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2−a|=|−a2+2a+3|，当2−a=−a2+2a+3时，整理得，a2−3a−1=0，解得，a=3±√132；当2−a=−(−a2+2a+3)时，整理得，a2−a−5=0，解得，a=1±√212，∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为(3+√132,0)，(3−√132,0)，(1+√212,0)，(1−√212,0)．【解析】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．(1)利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为(x,−2x+6)，利用两点间距离公式表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标；(3)设点M的坐标为(a,0)，表示出点G的坐标，根据正方形的性质列出方程，解方程即可．25.【答案】(1)证明：连接BD、CD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠DAB+∠CAD=90°，∴∠DBA=∠CAD，又∵∠DCA=∠DBA，∴∠DCA=∠CAD，∴AD=CD，∴AD⏜=CD⏜；(2)证明：过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，由(1)知AD=CD，∴DG垂直平分AC，∴AC=2AG，∵AE=DE，∴∠CAD=∠ADF，∵∠CAD+∠DAB=90°，∴∠ADF+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°=∠DGA，∵AD=DA，∴△ADG≌△DAF(AAS)，∴AG=DF，∴AC=2DF；BC=6，OH⊥BC，(3)解：取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=12∴∠OHB=90°=∠DFO，∵OA=OB，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH，由(2)知AC=2DF，∴OH=CF，∵OD=OB，∴Rt△OFD≌Rt△BHO(HL)，∴OF=BH=3，∴OD=OA=AF+OF=2+3=5，在Rt△OFD中，DF2=OD2−OF2=42，在Rt△AEC中，AD=√AF2+DF2=√22+42=2√5．【解析】(1)如图1，连接BD、CD，先证∠DBA=∠CAD，再证∠DCA=∠CAD，可得出AD=CD，即可推出结论；(2)过点D作DG⊥AC于点G，则∠DGA=90°，证DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再证△ADG≌△CAF，推出AG=DF，即可得出AC=2CF；BC=3，OH⊥BC，证Rt△OFD≌Rt△(3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=12BHO，推出OF=BH=3，OD=OA=5，则在Rt△OF中，求出DF的长，在Rt△AFD 中，可求出AD的长．本题考查了圆的有关概念及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是第(2)问能够证明∠AEC=90°，第(3)问能够通过作适当的辅助线构造全等三角形等．。

宝山嘉定初三二模数学试卷_含答案_（精品）

宝山嘉定第 1 页共 10 页12011学年宝山区、嘉定区第二学期期中考试九年级数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列计算正确的是（ ▲ ）．（A）422a a a =+；（B）236a a a =÷；（C）32a a a =⋅；（D）532)(a a =． 2．如果b a <，0<c ，那么下列不等式成立的是（ ▲ ）．(A) c b c a +<+； (B) c b c a +-<+-； (C) bc ac <； (D) cbc a <． 3．一次函数1-=x y 的图像不．经过（ ▲ ）．（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限． 4．在研究反比例函数图像与性质时，由于计算粗心，小明误认为（2-，3）、（2，3-）、（2-，3-）、（3，2-）、（23-，4）五个点在同一个反比例函数的图像上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（ ▲ ）．(A)（2，3-）； (B) （2-，3）； (C)（2-，3-）； (D) （23-，4）． 5．如图1，在编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于x 轴对称的两个三角形是（ ▲ ）．（A）①和②；（B）②和③；（C）①和③；（D）②和④．6．下列命题中，假．命题是（ ▲ ）. （A）如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外；（B）如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点（C）边数相同的正多边形都是相似图形；（D）正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：=+-))(2(b a b a ▲ ． 8．计算：111x x -=+ ▲ ． 9．如果关于x 的方程290x kx ++=（k 为常数）有两个相等的实数根，则k = ▲ ． 10．已知函数6)(+=x x f ，若a a f =)(，则a = ▲ ．11．已知一个二次函数的图像在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，又经过点A （1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ （写出符合要求的一个解析式即可）．12．在一个不透明的袋子中装有2个白球，n 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是54，则n 的值等于 ▲ ． (图1)213．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弦长为 ▲ ．14．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，如果AD ＝5，DB ＝10，那么ADE S ∆:ABC S ∆的值为 ▲ ．15．已知△ABC 中，∠A =90°，∠B=θ，AC=b ，则AB = ▲ (用b 和θ的三角比表示)．16．已知G 是△ABC 的重心，设a AB =，b AC =，那么AG = ▲ （用a 、b 表示）． 17．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径比⊙O 2的2倍还大1，又O 1O 2=7，那么⊙O 2的半径长为 ▲ ．18．如图2，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（4，2），若四边形OABC 为菱形，则点C的坐标为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：13123622127)3(-++⨯+-+--）（．20．（本题满分10分）解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ ②①21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图3，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD 点E 在边AB 上，DE ∥BC ．（1）若CB CE =，且3tan =∠B ，求ADE ∆的面积；（2）若∠DEC =∠A ，求边BC 的长度．B(图3)(图2)宝山嘉定第 3 页共 10 页 322．（本题满分10分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分3分)已知⊙1O 、⊙2O 外切于点T ，经过点T 的任一直线分别与⊙1O 、⊙2O 交于点A 、B ，（1）若⊙1O 、⊙2O 是等圆（如图4），求证AT =BT ；（2）若⊙1O 、⊙2O 的半径分别为R 、r（如图5），试写出线段AT、BT 与R 、r 之间始终存23．（本题满分12分，每小题满分各3分）结合“两纲教育”，某中学600名学生参加了“让青春飞扬”知识竞赛．竞赛组委会从中随机抽取了部分学生的成绩（得分都是整数．．，最高分98分）作为样本进行统计分析，并绘制成抽样分析分类统计表和频率分布直方图（如表1和图6，部分数据缺失）．试根据所提供的信息解答下列问题：(1) 本次随机抽样调查的样本容量是 ▲ ；(2) 试估计全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数；(3) 若本次随机抽样的样本平均数为76.5，又表1中b 比a 大15，试求出a 、b 的值； (4) 如果把满足q x p ≤≤的x 的取值范围记为[p ，q ]，表1中a 的取值范围是 ▲ ．（A ）[69.5，79.5] （B ）[65，74] （C ）[66.5，75.5] （D ）[66，75]成绩范围 60<x 8060<≤x 80≥x 成绩等第不合格合格优良人数 40平均成绩 57 a b表1：抽样分析分类统计表抽样分析频率分布直方图(图6))424．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图7，平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处，直线BC 与x 轴的交于点D ．（1）试求出点D 的坐标；（2）试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E 的坐标；（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F ，使得以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似．25．（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分）已知△ABC 中，︒=∠90ACB （如图8），点P 到ACB ∠两边的距离相等，且PA =PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设m PA =，n PC =，试用m 、n 的代数式表示ABC ∆的周长和面积；（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC、BC 的长度变化时，BCCDAC CD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．(图7)（图）8 （备用图）宝山嘉定第 5 页共 10 页 52011学年第二学期期中考试九年级数学参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、C； 2、A； 3、B； 4、C； 5、B； 6、D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、222b ab a --； 8、)1(1+x x ； 9、6±=k ； 10、3=a ；11、22+-=x y 【答案不唯一，如322+-=x y 等】； 12、8； 13、2； 14、91； 15、θcot ⋅=b AB 【答案不唯一，θtan b AB =等等价形式均可】；16、)(31b a+； 17、2或6； 18、（2,23，）.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：13123622127)3(-++⨯+-+--）（ 231321231+++-+-= ………………………………5分23321231-++-+-=………………………………2分333-= ………………………………3分20．解：方程①可变形为 0)3)(3(=-+y x y x .得03=+y x 或03=-y x . ………………………1分方程②可变形为 4)(2=-y x . 两边开平方，得2=-y x 或 2-=-y x . ……………………1分因此，原方程组可化为四个二元一次方程组：⎩⎨⎧=-=+;2,03y x y x ⎩⎨⎧-=-=+;2,03y x y x ⎩⎨⎧=-=-;2,03y x y x ⎩⎨⎧-=-=-.2,03y x y x …………………4分分别解这四个方程组，得原方程组的解是3,21;2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=;21,23y x ⎩⎨⎧==;1,3y x ⎩⎨⎧-=-=.1,3y x ………………4分621．解：（1）分别过点C、D 作AB CF ⊥、AB DG ⊥，交AB 于点F 、G （如图3）.∵AB ∥CD∴CF DG =. ………1分 ∵AB ∥CD ，DE ∥BC ， ∴CD BE =. ∵AB =13，CD =4，∴9413=-=-=BE AB AE . ………1分 ∵CB CE =，BE CF ⊥，∴242121=⨯==BE BF . ………1分在Rt△BCF 中，由3tan =∠B ，2=BF 得=∠B tan =BF CF 3，即32=CF，6=CF . ………1分∴6==CF DG .∴27692121=⨯⨯=⋅=∆DG AE S ADE . ………1分（2）∵AB ∥CD ，∴DEA CDE ∠=∠. ………1分又∵∠DEC =∠A ，∴△CDE ∽△DEA . ………1分∴ EADE DE CD =. ………1分 ∵9=AE ，CD =4，∴94DEDE =. ∴362=DE ,6=DE （负值已舍）. ………1分 ∵AB ∥CD ，DE ∥BC ，∴6==DE BC . ………1分22．（1）证明：联结1O 2O .∵⊙1O 、⊙2O 外切于点T ，∴点T 在1O 2O 上. …1分过1O 、2O 分别作AT C O ⊥1、BT D O ⊥2，垂足为C 、D （如图4）， ∴ C O 1∥D O 2. …1分∴ TO T O DT CT21=. …1分∵⊙1O 、⊙2O 是等圆，∴T O T O 21=. …1分 ∴121==TO T O DT CT ，∴DT CT =. …1分在⊙1O 中，∵AB C O ⊥1，∴AT CT AC 21==.同理 BT DT BD 21==. … 1分(图3)宝山嘉定第 7 页共 10 页 7∴BT AT 2121=，即BT AT =. … 1分（2）解：线段AT、BT 与R 、r 之间始终存在的数量关系是=BTATr R . … 3分 23．解：(1) 80 ； … 3分 (2) 成绩位于79.5~89.5的频率为25.015.03.02.01.01=+++-）（. … 1分所以全校所有参赛学生中成绩等第为优良的学生人数为24015.025.0600=+⨯）（（人） … 2分(3) 本次随机抽样分析成绩不合格的人数为81.080=⨯（人），成绩优良的人数为324.080=⨯（人）， … 1分依据题意，可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++⨯.15,5.76803240857b a ba ……1分解得 ⎩⎨⎧==.87,72b a ……1分(4) D ． ……3分 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）解：（1）点C 的坐标为（2，1）. ……1分设直线BC 的表达式为y mx n =+.易得3,2 1.n m n =⎧⎨+=⎩ 解得 3,1.m n =⎧⎨=-⎩……2分所以直线BC 的表达式为3+-=x y . 当0=y 时，30+-=x ，3=x .所以点D 的坐标为（3，0）. ……1分（2）设经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为c bx ax y ++=2（0≠a ） ……1分易得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++==++.039,3,324c b a c c b a ……1分解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=.3,2,1c b a ……1分因此，所求的抛物线的表达式为322++-=x x y . 其顶点E 坐标为 (1，4). ……1分(图7)8（3）点F 在322++-=x x y 的对称轴(即直线1=x )上，所以设点F 的坐标为（1，m ）. 由题意可得 AC AB =，︒=∠90BAC ，∴ ︒=∠45ACB , ︒=∠-︒=∠135180ACB ACD .所以若以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似，AEF ∆必有一个角的度数为︒135，由此可得点F 必定在点E 的上方，︒=∠=∠135ACD AEF ， 4-=m EF ……1分所以当CD EA CA EF =或EACD CA EF =时，以A 、E 、F 为顶点的三角形与△ACD 相似. ……1分由点D （3，0）、C （2，1）、A （2，3）、E (1，4)易得213=-=AC ，2=CD ，2=AE .∴2224=-m 或2224=-m . 解得 6=m 或5=m . 故符合题意的点F 有两个，其坐标为（1,5）或（1,6）. ……2分 25.（本题满分14分，第(1) 、(2)小题满分各5分，第(3)小题满分4分）解：（1）依题意，点P 既在ACB ∠的平分线上，又在线段AB 的垂直平分线上.如图8—1，作ACB ∠的平分线CP ，作线段AB 的垂直平分线PM ，CP 与PM 的交点即为所求的P 点。

上海市嘉定宝山区中考数二模试题

上海市嘉定、宝山区2021年中考数学二模试题（总分值150分，考试时刻100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一概无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无专门说明，都必需在答题纸的相应位置上写出证明或计算的要紧步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，总分值24分）【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．以下实数中，属无理数的是（▲）(A)722； (B) 010010001.1； (C) 27； (D)︒60cos ． 2．若是b a >，那么以下不等式必然成立的是（▲）(A) 0<-b a ； (B) b a ->-； (C) b a 2121<； (D) b a 22>．3．数据6，7，5，7，6，13，5，6，8的众数是（▲）(A)5； (B)6； (C)7； (D)5或6或7．4．抛物线3)2(2-+-=x y 向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的极点坐标是（▲） (A) ），35(--； (B) )31(-，； (C) )31(--，； (D) )02(，-．5．以下命题中，真命题是（▲）(A)菱形的对角线相互平分且相等； (B)矩形的对角线相互垂直平分；(C)对角线相等且垂直的四边形是正方形； (D) 对角线相互平分的四边形是平行四边形． 6．Rt △ABC 中，已知︒=∠90C ，4==BC AC ，以点A 、B 、C 为圆心的圆别离记作圆A 、圆B 、圆C ，这三个圆的半径长都等于2，那么以下结论正确的是（▲） (A) 圆A 与圆B 外离； (B) 圆B 与圆C 外离； (C) 圆A 与圆C 外离； (D) 圆A 与圆B 相交．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，总分值48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．计算：=-2)21( ▲ ． 8．计算：=--)2(2x x ▲ ．9．方程31=-x 的解是 ▲ ．10．函数xx y 241-+=的概念域是 ▲ ．11．若是正比例函数k kx y (=是常数，)0≠k 的图像通过点)2,1(-，那么那个函数的解析式是▲ ．12．抛物线222-++-=m x x y 与y 轴的交点为)4,0(-，那么=m ▲ ．13．某班40名全部学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐钱人数与捐钱额如图1所示，依照图中所提供的信息，你以为这次捐钱活动中40个捐钱额的中位数是 ▲ 元．14．在不透明的袋中装有2个红球、5个白球和3个黑球，它们除颜色外其它都相同，若是从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为黑球的概率是 ▲ ． 15．如图2，在△ABC 中，点M 在边BC 上，BM MC 2=，设向量=，AM =，那么向量= ▲ （结果用、表示）．16．如图3，在平行四边形ADBO 中，圆O 通过点A 、D 、B ，若是圆O 的半径4=OA ，那么弦=AB ▲ ．17．咱们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图4，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，︒=∠=∠90ACD ACB ，点D 在边BC 的延长线上，若是3==DC BC ，那么△ABC 和△ACD 的外心距是 ▲ ．18．在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，联结AE ，△ADE 沿直线AE 翻折后点D 落到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ，如图5，若是GD AD 3=，那么=DE ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，总分值78分） 19．（此题总分值10分）先化简，再求值:xx x x x x x x 124122222++---+- ，其中13-=x ．20．（此题总分值10分）元图1 AB C M图2 图3 A B C D 图4AD B C GE F图5解方程组：⎩⎨⎧=--=+．，0658222y xy x y x ②①21．(此题总分值10分，每题总分值各5分)某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图6．已知原先三角形绿化地中道路AB 长为216米，在点B 的拐弯处道路AB 与BC 所夹的B ∠为︒45，在点C 的拐弯处道路AC 与BC 所夹的C ∠的正切值为2（即2tan =∠C ），如图7．（1）求拐弯点B 与C 之间的距离；（2）在改造好的圆形（圆O ）绿化地中，那个圆O 过点A 、C ，并与原道路BC 交于点D ，若是点A 是圆弧（优弧）道路DC 的中点，求圆O 的半径长．24．（此题总分值12分，每小题总分值各4分）已知平面直角坐标系xOy （图9），双曲线)0(≠=k xky 与直线2+=x y 都通过点),2(m A ．（1）求k 与m 的值；（2）此双曲线又通过点)2,(n B ，过点B 的直线BC 与直线2+=x y 平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线2+=x y 与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，若是以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．25．（此题总分值14分，第(1)小题总分值4分，第(2)小题总分值6分，第(3)小题总分值4分）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，2=BC ，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）假设点M 与点B 重合如图10，求BAE ∠cot 的值；（2）假设点M 在边BC 上如图11，设边长x AC =，y BM =，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）假设EBM BAE ∠=∠，求斜边AB 的长．图9C M )图10图112021年宝山嘉定联合模拟考试数学试卷参考答案与评分标准一、1.C ；2.D ；3.B ；4.B ；5.D ；6.A .二、7.41；8.x x 422+-；9.8-=x ；10.2≠x 的一切实数；11.x y 2-=；12.2-；； 14.103；15.33-；16.34；17.3；18.53.三、19.解：原式x x x x x x x x 1)2()2)(2()1()1(2++-+---=…………4分 x x x x x 121+---=………………………2分x2=…………………………………………2分把13-=x 代入x2得：原式132-=………………………………1分13+=………………………………1分20. ⎩⎨⎧=--=+．，0658222y xy x y x ②① 解：由②得：0))(6(=+-y x y x ……………………2分即：06=-y x 或0=+y x …………………2分因此原方程组可化为两个二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-;82,06y x y x ⎩⎨⎧=+=+;82,0y x y x ………………2分别离解这两个方程组，得原方程组的解是⎩⎨⎧=-=8821x x ，⎩⎨⎧==1612x x …………4分.21.解：（1）过点A 作BC AH ⊥,垂足为点H在Rt △AHB 中，∵︒=∠45B∴︒=∠45BAH …………………………1分 ∴BH AH =………………………………1分 ∵222AB BH AH =+ ，216=AB∴16==BH AH …………………………1分在Rt △AHC 中，HCAHC =∠tan ，∵2tan =∠C∴8=HC ………………1分∴24=BC ………………1分答：拐弯点B 与C 之间的距离为24米；（2）联结OC …………………………………1分 ∵BC AH ⊥，点A 是优弧CD 的中点∴AH 必通过圆心O …………………………1分设圆O 的半径为r 米，那么r OH -=16……1分在Rt △OHC 中，222OC HC OH =+∴222)16(8r r -+= ………………………1分∴10=r ………………………………………1分答：圆O 的半径长为10米.A .OB C DH22.解：（1）设V 关于t 的函数解析式为：b kt V +=………………1分由题意得：⎩⎨⎧=+=30010100b k b …………………………………1分解此方程组得：⎩⎨⎧==10020b k ……………………………………2分因此V 关于t 的函数解析式为：10020+=t V ……………1分（2）设那个百分率为x …………………………………………1分由题意得：726)1(6002=+x ………………………………2分解此方程得：%101.01==x ，1.22-=x （不符合题意舍去）……1分答那个百分率为%10.……………………………………………………1分23.证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AC AB =，︒=∠=∠=∠60ACB BAC B ……1分 ∵△ADE 是等边三角形∴AE AD =，︒=∠60DAE ……………………1分 ∴DAE BAC ∠=∠∵=∠BAD DAC BAC ∠-∠ DAC DAE CAE ∠-∠=∠∴CAE BAD ∠=∠…………………………1分∴△ABD ≌△ACE ………………………1分 ∴ACE B ∠=∠ ……………………………1分∴︒=∠60ACE ……………………………1分（2）∵BD BF =，︒=∠60B∴△BDF 是等边三角形∴FD BF BD ==…………………………1分 ∵△ABD ≌△ACE∴CE BD =∴CE FD BF ==…………………………1分 ∵︒=∠=∠=∠60ACE ACB B ∴︒=∠+∠180ECB B∴BF ∥CE ………………………………1分 ∴四边形ECBF 是平行四边形 …………1分 ∴DC ∥EF又DF 与CE 不平行∴四边形CDFE 是梯形……………………1分又CE FD =∴四边形CDFE 是等腰梯形………………1分24.解：（1） ∵直线2+=x y 通过点),2(m A∴422=+=m ………………………………1分 ∴点A 的坐标为)4,2(A ……………………1分 ∵双曲线)0(≠=k xky 通过点)4,2(A ∴24k=…………………………………………1分 ∴8=k …………………………………………1分（2）由（1）得：双曲线的表达式为xy 8=∵双曲线x y 8=通过点)2,(n B ，∴n82=，∴2=n∴点B 的坐标为)2,4(……………………………………1分 ∵直线BC 与直线2+=x y 平行∴可设直线BC 的表达式为：b x y +=∴b +=42，∴2-=b ，∴直线BC 的表达式为：2-=x y ∴点C 的坐标为)2,0(-……………………………………1分∴22=AB ，24=BC ，102=AC ，∴222AC BC AB =+ ∴︒=∠90ABC …………………………………………1分∴△ABC 的面积为821=⨯⨯BC AB ……………………1分（3）依照题意设点E 的坐标为)2,(-x x ，那个地址的0>x∵直线2+=x y 与y 轴交于点D ∴点D 的坐标为)2,0(∴22=AD ，x CE 2= ∵AD ∥BC∴ACE DAC ∠=∠…………………………………………1分当CAE ADC ∠=∠时，△ADC ∽△CAE∴CE ACAC AD =∴x 210210222= ∴10=x∴点E 的坐标为)8,10( ……………………………………2分当CEA ADC ∠=∠时，△ADC ∽△CEA ∴AC ACEC AD = ∴EC AD =又ACE DAC ∠=∠，CA AC = ∴△ADC ≌△CEA又已知△ADC 与△CEA 的相似比不为1∴这种情形不存在 …………………………………………1分综上所述点E 的坐标为)8,10(25.解：（1）当点M 与点B 重合，由旋转得：2==BD BC ，ED AC =， EBD CBA ∠=∠，︒=∠=∠90C EDB ∵CB EM ⊥∴∠EBC ∴︒=∠=∠45EBD CBA …………1分∴︒=∠=∠45CBA CAB∴2==CB AC∴22=AB …………………………………1分 ∴2==DB DE∴222-=AD ……………………………1分 ∴12cot -==∠DEADBAE ………………1分（2）设EM 与边AB 交点为G由题意可知：︒=∠+∠9021，︒=∠+∠903CBA 又32∠=∠，∴CBA ∠=∠1∵CBA EBD ∠=∠，∴EBD ∠=∠1，∵BDE EDG ∠=∠，∴△EDG ∽△BDE ∴EDDG BD ED =…………………………………………1分 ∵2==BD BC ，x ED AC ==∴xDGx =2，∴22x DG =…………………………1分由题意可知：ABBC BG MB ABC ==∠cos 42+=x AB ，242xGB -= ∴422422+=-x x y ……………………1分 ∴444222++-=x x x y ……………………1分概念域为20<<x …………………………1分（3）当点M 在边BC 上时，由旋转可知：EB AB =，∴BAE AEB ∠=∠设︒=∠x CBA ，那么︒=∠x ABE ，∵EBM BAE ∠=∠，别离延长EA 、BC 交于点H ∴︒=∠=∠=∠x EMB BAE AEB 2，∵︒=∠+∠+∠180AEB BAE ABE ∴36=x 易患：︒=∠=∠=∠36ABE ABH H ，︒=∠=∠=∠72AEB BAE HBE ∴BE AB AH ==，HE HB =，∵︒=∠90ACB ，∴2==BC HC∴4==HE HB ，∴△BAE ∽△HBE ，∴BEAEHB AB =，又AB BE = AB HA HE AE -=-=4，∴ABABAB -=44，∴522±-=AB (负值舍去) ∴522+-=AB …………………………2分当点M 在边CB 的延长线上时，∵BAE AEB ∠=∠，EBM BAE ∠=∠∴EBM AEB ∠=∠∴AE ∥MC ∴CBA BAE ∠=∠ ∵EBA CBA ∠=∠∴EBA CBA EBM ∠=∠=∠∴︒=∠60CBA ，∵ABBCCBA =∠cos ，2=BC∴4=AB …………………………2分C B (M )综上所述：522+-=AB 或4.。

2023上海嘉定区初三二模数学试卷及答案

2022学年九年级第二学期学业水平调研数学试卷（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列根式中，与18互为同类二次根式的是（▲）．（A ）2；（B ）3；（C ）5；（D ）6．2.下列关于x 的方程一定有实数解的是（▲）．（A ）012=+x ；（B ）012=+-x x ；（C ）012=+-bx x （b 为常数）；（D ）012=--bx x （b 为常数）．3.某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投篮进球次数如下表所示：进球次数012345678910人数1998665411该投篮进球次数的中位数是（▲）．（A ）2；（B ）3；（C ）4；（D ）5．4.从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（▲）．（A ）21；（B ）31；（C ）32；（D ）43.5.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（▲）．（A ）等边三角形；（B ）等腰梯形；（C ）矩形；（D ）正五边形．6.如图1，已知点E D 、分别在△ABC 的边AC AB 、上，DE ∥BC ，3:1:=DB AD ，那么DBC DEC S S △△:等于（▲）．（A ）2:1；（B ）3:1；（C ）3:2；（D ）4:1．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.计算：=÷24x x ▲．8.如果分式321-x 有意义，那么实数x 的取值范围是▲．9.已知1纳米000000001.0=米，那么5.2纳米用科学记数法表示为▲米．10.如果方程17=-+x x ，那么=x ▲．11.如果反比例函数xa y 1-=的图像经过点），（21-，那么这个反比例函数的解析式为▲．12.如果函数k x y +=2的图像向左平移2个单位后经过原点，那么=k ▲．13.某区有1200名学生参加了“垃圾分类”知识竞赛，为了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图（如图2）．请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在5.89分~5.99分的学生有▲名．14.如果一个正多边形的中心角是︒36，那么这个正多边形的边数是▲．15.如图3，在△ABC 中，点D 是AC 边上一点，且1:2:=DC AD ．设a BA =，b BC =，那么=BD ▲．（用a 、b 表示）图1图2图316.如图4，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，13=AB ，135sin =A ，以点C 为圆心，R 为半径作圆，使A 、B 两点一点在圆内，一点在圆外，那么R 的取值范围是▲．17.新定义：函数图像上任意一点),(y x P ，x y -称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数)12(32≤≤-+=x x y 的“特征值”是▲．18.如图5，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，4=AC ，2=BC ，点E D 、分别是边BA BC 、的中点，联结DE ．将△BDE 绕点B 顺时针方向旋转，点D 、E 的对应点分别是点1D 、1E ．如果点1E 落在线段AC 上，那么线段=1CD ▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：01)1(2345sin 223π---+︒---）（．20.（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=+-=-425322y xy x y x ②①图4图5图721.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图6，在△ABC 中，AB AC =，53sin =A ，圆O 经过B A 、两点，圆心O 在线段AC 上，点C 在圆O 内，且3=OC ．（1）求圆O 的半径长；（2）求BC 的长．22.（本题满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题7分）B A 、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A 城到B 城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A 城到B 城的行驶时间减少t 小时，求t 的值；（2）如果提速后从A 城到B 城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．23.（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图7，已知CE 、CF 分别是ACB ∠和它的邻补角ACD ∠的角平分线，CE AE ⊥，垂足为点E ，EC AF ∥，联结EF ，分别交AC AB 、于点H G 、．（1）求证：四边形AECF 是矩形；（2）试猜想GH 与BC 之间的数量关系，并证明你的结论．图6图824.（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）如图8，在直角坐标平面xOy 中，点A 在y 轴的负半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，OC AB ∥，抛物线)0(422≠--=a ax ax y 经过C B A 、、三点．（1）求点B A 、的坐标；（2）联结BC OB AC 、、，当OB AC ⊥时，①求抛物线表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ABC P AC S S △△4=？如果存在，求出所有符合条件的点P 坐标；如果不存在，请说明理由．25.（本题满分14分，其中第（1）①小题4分，第（1）②小题5分,第（2）小题5分）在Rt △ABC 中，︒=∠90BAC ，点P 在线段BC 上，ACB BPD ∠=∠21，PD 交BA 于点D ，过点B 作PD BE ⊥，垂足为E ，交CA 的延长线于点F ．（1）如果︒=∠45ACB ，①如图9，当点P 与点C 重合时，求证：PD BE 21=；②如图10，当点P 在线段BC 上，且不与点B 、点C 重合时，问：①中的“PD BE 21=”仍成立吗？请说明你的理由；（2）如果︒≠∠45ACB ，如图11，已知AC n AB ⋅=（n 为常数），当点P 在线段BC 上，且不与点B 、点C 重合时，请探究PDBE的值（用含n的式子表示），并写出你的探究过程．图10图9图112022学年第二学期九年级质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ；2．D ；3．B ；4．C ；5．C ；6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2x ；8．23≠x ；9．9105.2-⨯；10．2；11．xy 2-=；12．4-；13．180；14．10/十；15．b a 3231+；16．125<<R ；17．4；18．553．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=132(222231--+⨯--．=132223--+-+．…………………（8分）=1．……………………………………………（2分）20.解：【法一】【法二】由②得：4)(2=-y x ．由①得：y x 35+=③．…………（1分）2=-y x 或2-=-y x ．…………（2分）把③代入②得：0212042=++y y ．……（1分）⎩⎨⎧=-=-253y x y x ③①，⎩⎨⎧-=-=-253y x y x ④①．…（2分）0)72)(32(=++y y ．………………（2分）③-①得：231-=y ，211=x ．…（2分）272321-=-=y y ．………………（2分）④-①得：272-=y ，2112-=x ．（2分）把21y y ，的值代入③得：2112121-==x x ，．（2分）∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==232111y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2721122y x 是原方程组的解．（2分）∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==232111y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2721122y x 是原方程组的解．（2分）21.解：（1）作AB OH ⊥，垂足为点H ．由垂径定理，得BH AH =．……………………………（1分）∵Rt △AOH 中，︒=∠90OAH ，53sin =A ，设k OH 3=，k OA 5=，则k OH OA AH 422=-=．…（1分）∴k AH AB 82==．…………………………………………（1分）∵AB AC =，3=OC ，∴k k 835=+，1=k ．………（1分）∴5=OA ，即圆O 的半径长为5．…………………………（1分）（2）作AB CM ⊥，垂足为点M ．由（1）可知：8==AB AC ．…………………………………………………（1分）∵Rt △ACM 中，︒=∠90CMA ，53sin =A ，∴53=AC CM ，524=CM ．……（1分）∵222AC CM AM =+，∴532=AM ．……………………………………………（1分）∴58=-=AM AB BM ．…………………………………………………………（1分）∵Rt △BCM 中，︒=∠90CMB ，222BC BM CM =+，∴5108=BC ．…（1分）22.解：（1）由题意得，提速前行驶时间：5.22801800=（小时）．…………………（1分）提速后行驶时间：1820801800=+（小时）．…………………………………………（1分）∴5.4185.22=-=t （小时）．…………………………………………………（1分）（2）符合规定.…………………………………………………………………（1分）设列车提速后速度是x 千米/小时．……………………………………………（1分）31800201800=--xx ．…………………………………………………………（2分）012000202=--x x ，0)100)(120(=+-x x ，解得10012021-==x x ，．…（2分）经检验：10012021-==x x ，是原方程的解．但01002<-=x 不符合实际，舍去．∴120=x 是原方程的解．…………（1分）∵140120<=x ，∴列车提速后速度符合规定．23.证明：（1）∵ACB ∠与ACD ∠互为邻补角，∴︒=∠+∠180ACD ACB ．…………（1分）∵CE 、CF 分别是ACB ∠和ACD ∠的角平分线，∴ECA ACB ∠=∠2，FCA ACD ∠=∠2．………………………………………（1分）∴︒=∠+∠90FCA ECA ，即︒=∠90ECF ．………………………………………（1分）∵EC AF ∥，∴︒=∠-︒=∠90180ECF AFC ．…………………………………（1分）∵CE AE ⊥，∴︒=∠90AEC ．…………………………………………………（1分）∴四边形AECF 是矩形．…………………………………………………………（1分）（2）猜想：BC GH 21=．…………………………………………………………（1分）∵四边形AECF 是矩形，∴HF EH HC AH EF AC ===,,．………………（1分）易得HC HF =，∴HFC HCF ∠=∠.………………………………（1分）由（1）可知FCD HCF ∠=∠，∴FCD HFC ∠=∠，∴BD EF ∥.………（1分）∴GBAGHC AH =，∵HC AH =，∴GB AG =，即GH 是ABC △的中位线.………（1分）∴BC GH 21=．……………………………………………………………………（1分）24.解：（1）∵抛物线)0(422≠--=a ax ax y 经过C B A 、、三点，且点A 在y 轴的负半轴上，∴)4,0(-A ．…………………………………………………………………（1分）由抛物线表达式可知：对称轴为直线1=x ．…………………………………（1分）∵OC AB ∥，点C 在x 轴的正半轴上，∴点B A 、关于直线1=x 对称．∴)4,2(-B ．…………………………………………………………………（2分）（2）①∵OB AC ⊥，∴︒=∠+∠90OAH AOH ．∵OC AB ∥，∴︒=∠=∠90COA BAO ．∴︒=∠+∠90ABO AOB ．∴ABO OAH ∠=∠．…………………………………………………………（1分）∵Rt △AOB 中，AB OA ABO =∠tan ；Rt △AOC 中，OAOCOAC =∠tan ，∴OAOCAB OA =.……………………………………………………………………（1分）∵)4,0(-A ，)4,2(-B ，∴2,4==AB OA .∴424OC =，即8=OC ，∴)0,8(C .………………………………………（1分）把)0,8(C 代入)0(422≠--=a ax ax y ，可得121=a .∴抛物线表达式为4611212--=x x y .……………………………………（1分）②存在.如图，过点C 作AB CM ⊥，垂足为点M .∵OC AB ∥，∴4==OA CM .∴421=⋅=CM AB S ABC △.…………………（1分）∵ABC P AC S S △△4=，∴16=P AC S △.∵)4,0(-A ，)0,8(C ，∴可求得直线AC 的解析式为421-=x y .设直线AC 与直线1=x 的交点为点N ，则27,1(-N .……（1分）设),1(y P ，（Ⅰ）当点P 在点N 上方时，271+=y N P .∵PCN P AN P AC S S S △△△+=，∴16)(21=+⋅QM AQ PN ，即16827(21=⨯+y ，得21=y .∴)21,1(1P .………………………（1分）（Ⅱ）当点P 在点N 下方时，y N P --=272.同理可得215-=y .∴215,1(2-P .………………………（1分）综上所述，21,1(1P ，)215,1(2-P .25.（1）①证明：∵Rt △ABC 中，︒=∠90BAC ，︒=∠45ACB ，∴︒=∠=∠45ACB ABC ，∴AC AB =.………………………………………（1分）∵PD BE ⊥，∴︒=∠+∠90EDB EBD .∵Rt △DAC 中，︒=∠+∠90DCA ADC ，又∵ADC EDB ∠=∠，∴DCA EBD ∠=∠.在△F AB 和△DAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DAC F AB AC AB DCA FBA ，∴)..(A S A DAC F AB ≌△△.∴PD BF =.………………………………………………………………………（1分）∵ACB BPD ∠=∠21，∴FPE BPE ∠=∠.在△BPE 和△FPE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEP BEP PE PE FPE BPE ，∴)..(A S A FPE BPE ≌△△.∴BF FE BE 21==.……………………………………………………………（1分）∴PD BE 21=.……………………………………………………………（1分）②成立.……………………………………………………………………………（1分）如图，过点P 作CF PM ∥，交AB 于点N .∵CF PM ∥，∴︒=∠=∠90BAC BNP ，︒=∠=∠45BCA BPN .∴NP NB =.……………………………………………………………………（1分）∵PD BE ⊥，∴︒=∠+∠90EDB EBD .∵Rt △DPN 中，︒=∠+∠90DPN PDN ，又∵PDN EDB ∠=∠，∴DPN EBD ∠=∠.同①中方法可得)..(A S A DNP MNB ≌△△.∴PD BM =.…………………………………（1分）∵ACB BPD ∠=∠21，∴MPE BPM BPE ∠=∠=∠21.同①中方法可得)..(A S A MPE BPE ≌△△.∴BM ME BE 21==.…………………………………………………………（1分）∴PD BE 21=.……………………………………………………………（1分）（2）如图，过点P 作CF PQ ∥，交AB 于点K .同②可知︒=∠=∠90QKB DKP ，DPK QBK ∠=∠，∴DPK QBK ∽△△.∴DP QBPK BK =.……（1分）∵CF PQ ∥，∴CA BAPK BK =.……………（1分）∵AC n AB ⋅=，∴n DPQB=.…………（1分）同②可证)..(A S A QPE BPE ≌△△，∴BE QB 2=.………………………（1分）即n DP BE =2，∴2nDP BE =.……………………………………………………（1分）。

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