2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合B
2013年数学试卷(理科)解析卷
2013年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知集合A={x|x2﹣2x>0},B={x|﹣<x<},则()A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法,求出集合A,再根据的定义求出A∩B和A∪B.【解答】解:∵集合A={x|x2﹣2x>0}={x|x>2或x<0},∴A∩B={x|2<x<或﹣<x<0},A∪B=R,故选B.2.(5分)(2013•新课标Ⅰ)若复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.﹣4 B.C.4 D.【分析】由题意可得z==,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i,由此可得z的虚部.【解答】解:∵复数z满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z====+i,故z的虚部等于,故选:D.3.(5分)(2013•新课标Ⅰ)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D.系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理.故选:C.4.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y= B.y= C.y=±x D.y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),则离心率e===,即4b2=a2,故渐近线方程为y=±x=x,故选:D.5.(5分)(2013•新课标Ⅰ)执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于()A.[﹣3,4]B.[﹣5,2]C.[﹣4,3]D.[﹣2,5]【分析】本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为t<1我们可得,分段函数的分类标准,由分支结构中是否两条分支上对应的语句行,我们易得函数的解析式.【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得:函数分为两段,即t<1与t≥1,又由满足条件时函数的解析式为:s=3t;不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2故分段函数的解析式为:s=,如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象,则输出的s属于[﹣3,4].故选A.6.(5分)(2013•新课标Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为()A.B.C. D.【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M,可得圆心M为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解:设正方体上底面所在平面截球得小圆M,则圆心M为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆M的半径为4,由球的截面圆性质,得R2=(R﹣2)2+42,解出R=5,∴根据球的体积公式,该球的体积V===.故选A.7.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m﹣1=﹣2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6与a m,进而得到公差d,由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1,再由通项公式及a m=2可得m值.【解答】解:a m=S m﹣S m﹣1=2,a m+1=S m+1﹣S m=3,所以公差d=a m﹣a m=1,+1S m==0,得a1=﹣2,所以a m=﹣2+(m﹣1)•1=2,解得m=5,故选C.8.(5分)(2013•新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,依据三视图的数据,得出组合体长、宽、高,即可求出几何体的体积.【解答】解:三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是:4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.∴长方体的体积=4×2×2=16,半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π;故选A.9.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5 B.6 C.7 D.8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b,再利用组合数的计算公式,解方程13a=7b求得m的值.【解答】解:∵m为正整数,由(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,以及二项式系数的性质可得a=,同理,由(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,可得b==.再由13a=7b,可得13=7,即13×=7×,即13=7×,即13(m+1)=7(2m+1),解得m=6,故选:B.10.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E 的方程为()A.B.C.D.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,相减得,∴.∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,==.∴,化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为.故选D.11.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(﹣∞,0]B.(﹣∞,1]C.[﹣2,1]D.[﹣2,0]【分析】由函数图象的变换,结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由导数求切线斜率可得l的斜率,进而数形结合可得a的范围.【解答】解:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,当直线介于l和x轴之间符合题意,直线l为曲线的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x,求其导数可得y′=2x﹣2,因为x≤0,故y′≤﹣2,故直线l的斜率为﹣2,故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可,即a∈[﹣2,0]故选:D12.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n 的面积为S n,n=1,2,3…若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,,,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n﹣1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n﹣1}为递减数列,{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1,由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1,则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值,另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值,由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上,根据b n+1﹣c n+1=,得b n﹣c n=,可知n→+∞时b n→c n,据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案.【解答】解:b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴,由题意,+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,又由题意,b n+1﹣c n+1=,∴=a1﹣b n,∴b n+1﹣a1=,∴b n﹣a1=,∴,c n=2a1﹣b n=,∴[][]=[﹣]单调递增(可证当n=1时>0)故选B.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)(2013•新课标Ⅰ)已知两个单位向量,的夹角为60°,=t+(1﹣t).若•=0,则t=2.【分析】由于•=0,对式子=t+(1﹣t)两边与作数量积可得=0,经过化简即可得出.【解答】解:∵,,∴=0,∴tcos60°+1﹣t=0,∴1=0,解得t=2.故答案为2.14.(5分)(2013•新课标Ⅰ)若数列{a n}的前n项和为S n=a n+,则数列{a n}的通项公式是a n=(﹣2)n﹣1.【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项,由n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,可得数列为等比数列,且公比为﹣2,代入等比数列的通项公式分段可得答案.【解答】解:当n=1时,a1=S1=,解得a1=1当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=()﹣()=,整理可得,即=﹣2,故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项,﹣2为公比的等比数列,故当n≥2时,a n=(﹣2)n﹣1,经验证当n=1时,上式也适合,故答案为:(﹣2)n﹣115.(5分)(2013•新课标Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=﹣.【分析】f(x)解析式提取,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由x=θ时,函数f(x)取得最大值,得到sinθ﹣2cosθ=,与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值.【解答】解:f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=﹣.故答案为:﹣16.(5分)(2013•新课标Ⅰ)若函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,则f(x)的最大值为16.【分析】由题意得f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,由此求出a=8且b=15,由此可得f(x)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15.利用导数研究f(x)的单调性,可得f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数,结合f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,即可得到f(x)的最大值.【解答】解:∵函数f(x)=(1﹣x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=﹣2对称,∴f(﹣1)=f(﹣3)=0且f(1)=f(﹣5)=0,即[1﹣(﹣3)2][(﹣3)2+a•(﹣3)+b]=0且[1﹣(﹣5)2][(﹣5)2+a•(﹣5)+b]=0,解之得,因此,f(x)=(1﹣x2)(x2+8x+15)=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15,求导数,得f′(x)=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8,令f′(x)=0,得x1=﹣2﹣,x2=﹣2,x3=﹣2+,当x∈(﹣∞,﹣2﹣)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2﹣,﹣2)时,f′(x)<0;当x∈(﹣2,﹣2+)时,f′(x)>0;当x∈(﹣2+,+∞)时,f′(x)<0∴f(x)在区间(﹣∞,﹣2﹣)、(﹣2,﹣2+)上是增函数,在区间(﹣2﹣,﹣2)、(﹣2+,+∞)上是减函数.又∵f(﹣2﹣)=f(﹣2+)=16,∴f(x)的最大值为16.故答案为:16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)(2013•新课标Ⅰ)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【分析】(I)在Rt△PBC,利用边角关系即可得到∠PBC=60°,得到∠PBA=30°.在△PBA中,利用余弦定理即可求得PA.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,可得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化简即可求出.【解答】解:(I)在Rt△PBC中,=,∴∠PBC=60°,∴∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==.∴PA=.(II)设∠PBA=α,在Rt△PBC中,PB=BCcos(90°﹣α)=sinα.在△PBA中,由正弦定理得,即,化为.∴.18.(12分)(2013•新课标Ⅰ)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【分析】(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB ⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,可得,,的坐标,设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,可解得=(,1,﹣1),可求|cos<,>|,即为所求正弦值.【解答】解:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,因为CA=CB,所以OC⊥AB,由于AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB,又因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C,又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C;(Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立如图所示的坐标系,可得A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(﹣1,0,0),则=(1,0,),=(﹣1,,0),=(0,﹣,),设=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则,即,可取y=1,可得=(,1,﹣1),故cos<,>==,又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为:.19.(12分)(2013•新课标Ⅰ)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.【分析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,由概率得加法公式和条件概率,代入数据计算可得;(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,分别求其概率,可得分布列,进而可得期望值.【解答】解:(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)==(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=800)=,P(X=500)=,P(X=400)=1﹣﹣=,故X的分布列如下:故EX=400×+500×+800×=506.2520.(12分)(2013•新课标Ⅰ)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【分析】(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2,所以R ≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.分①l的倾斜角为90°,此时l与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.【解答】解:(I)由圆M:(x+1)2+y2=1,可知圆心M(﹣1,0);圆N:(x﹣1)2+y2=9,圆心N(1,0),半径3.设动圆的半径为R,∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3﹣R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3.∴曲线C的方程为(x≠﹣2).(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x﹣2)2+y2=4.①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(﹣4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l于M相切可得:,解得.当时,联立,得到7x2+8x﹣8=0.∴,.∴|AB|===由于对称性可知:当时,也有|AB|=.综上可知:|AB|=或.21.(12分)(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d)若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥﹣2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.【分析】(Ⅰ)对f(x),g(x)进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线y=f (x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),从而解出a,b,c,d的值;(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的导函数,通过对k的讨论,判断出F(x)的最值,从而判断出f(x)≤kg(x)恒成立,从而求出k的范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4,而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而a=4,b=2,c=2,d=2;(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1)设F(x)=kg(x)﹣f(x)=2ke x(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,则F′(x)=2ke x(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(ke x﹣1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,①若1≤k<e2,则﹣2<x1≤0,从而当x∈(﹣2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,x1)上减,在(x1,+∞)上是增,故F(x)在[﹣2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=﹣x1(x1+2)≥0,x≥﹣2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),从而当x∈(﹣2,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(﹣2,+∞)上是增,而F(﹣2)=0,故当x≥﹣2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2时,F′(x)>2e2(x+2)(e x﹣e﹣2),而F(﹣2)=﹣2ke﹣2+2<0,所以当x>﹣2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2].四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答,并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(10分)(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣1:几何证明选讲)如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D.(Ⅰ)证明:DB=DC;(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.【分析】(I)连接DE交BC于点G,由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE,于是得到∠CBE=∠BCE,BE=CE.由已知DB⊥BE,可知DE为⊙O的直径,Rt△DBE≌Rt△DCE,利用三角形全等的性质即可得到DC=DB.(II)由(I)可知:DG是BC的垂直平分线,即可得到BG=.设DE的中点为O,连接BO,可得∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.得到CF⊥BF.进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=.【解答】(I)证明:连接DE交BC于点G.由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE.又∵DB⊥BE,∴DE为⊙O的直径,∠DCE=90°.∴△DBE≌△DCE,∴DC=DB.(II)由(I)可知:∠CDE=∠BDE,DB=DC.故DG是BC的垂直平分线,∴BG=.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°.∴CF⊥BF.∴Rt△BCF的外接圆的半径=.23.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣4:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)【分析】(Ⅰ)对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程;(Ⅱ)先求出曲线C2的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标.【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的参数方程式(t为参数),得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25即为圆C1的普通方程,即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得.ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为C1的极坐标方程;(Ⅱ)曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0,由,解得或.∴C1与C2交点的极坐标分别为(,),(2,).24.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣5:不等式选讲)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数y的图象,数形结合可得结论.(Ⅱ)不等式化即1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a ﹣2,由此解得a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y=,它的图象如图所示:结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,故x≥a﹣2对都成立.故﹣≥a﹣2,解得a≤,故a的取值范围为(﹣1,].。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编10:排列、组合及二项式定理
2013年全国高考理科数学试题分类汇编10:排列、组合及二项式定理一、选择题1 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理))已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a( )A .4-B .3-C .2-D .1-【答案】D2 .(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理))用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A .243B .252C .261D .279【答案】B3 .(2013年高考新课标1(理))设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .8【答案】B4 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理))()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是( )A .56B .84C .112D .168【答案】D5 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理))满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为( )A .14B .13C .12D .10【答案】B6 .(2013年上海市春季高考)10(1)x +的二项展开式中的一项是( )A .45xB .290xC .3120xD .4252x【答案】C7 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理))使得()3nx n N n+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为( )A .4B .5C .6D .7【答案】B8 .(2013年高考四川卷(理))从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是( )A .9B .10C .18D .20【答案】C9 .(2013年高考陕西卷(理))设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为( )A .-20B .20C .-15D .15【答案】A10.(2013年高考江西卷(理))(x 2-32x )5展开式中的常数项为 ( )A .80B .-80C .40D .-40【答案】C 二、填空题11.(2013年上海市春季高考)36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=(参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】483612.(2013年高考四川卷(理))二项式5()x y +的展开式中,含23xy 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013.(2013年上海市春季高考)从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理))将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)【答案】48015.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理))从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59016.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理))6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1517.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理))设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________. 【答案】10-18.(2013年高考上海卷(理))设常数a R ∈,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则______a =【答案】2a=-19.(2013年高考北京卷(理))将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_________.【答案】9620.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理))若8x⎛⎝的展开式中4x的系数为7,则实数a=______.【答案】2121.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理))6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____________种.(用数字作答).【答案】480。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合B
课时作业 (五十七 )B [第 57 讲摆列、组合][时间: 35 分钟分值:80分]基础热身1.由 0,1,2,3,4 这五个数字构成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的次序排成一个数列 { a n} ,则 a19= ()A.2 014B.2 034C. 1 432D. 1 4302.有 20 个部件,此中 16个一等品, 4 个二等品,若从 20 个部件中随意取 3 个,那么起码有 1 个一等品的不一样取法种数是()A.1 136B.1 600C. 2 736D. 1 1203.某学校有教员工100 人,此中教师80 人,职员 20 人.现从中选用10 人构成一个考察团出门学习观察,则这10 人中恰巧有8 名教师的不一样选法的种数是()A . C802C208B. A802A 2088282C.A 80C20D. C80C204.某外商计划在 5 个候选城市投资 3 个不一样的项目,且在同一城市投资项目不超出2个,则他不一样的投资方案有()A.60 种B.70 种C. 100 种 D .120 种能力提高5.某校开设 10 门课程供学生选修,此中A, B,C 三门因为上课时间同样,至多项选择一门,学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不一样的选修方案种数是() A.120 B.98C. 63 D .566.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6,8中任取 2 个数字,构成没有重复数字的四位数,此中能被 5整除的四位数共有 ()A.252 个B.300 个C.324 个D.228 个7. 2011 年,哈三中派出 5 名优异教师去大兴安岭地域的三所中学进行教课沟通,每所中学起码派一名教师,则不一样的分派方法有()A.80 种B.90 种C. 120 种 D .150 种8.某校高三师生为“庆元旦·迎新年”举行了一次联欢晚会,高三年级8 个班中每个班的学生准备了一个节目,且节目单已排好.节目开演前又增添了 3 个教师的节目,此中有2 个独唱节目, 1 个朗读节目,假如将这 3 个节目插入原节目单中,要讨教师的节目不排在第一个和最后一个,而且教师的2个独唱节目不连续演出,那么不一样的排法有()A.294 种B.308 种 C.378 种D. 392 种9.将甲、乙、丙、丁四名学生疏到两个不一样的班,每个班起码分到一名学生,且甲、乙两名学生不可以分到同一个班,则不一样的分法的总数为________(用数字作答 ).10.有五名男同志去外处出差,住宿安排在三个房间内,要求甲、乙两人不住同一房间,且每个房间最多住两人,则不一样的住宿安排有________种 (用数字作答 ).11.将 24 个志愿者名额分派给 3 个学校,则每校起码有一个名额且各校名额互不同样的分派方法共有 ________种.12.(13 分)一次数学考试的第一大题有11 道小题,此中第 (1) ~(6) 小题是代数题,答对一题得 3 分;第 (7) ~ (11)题是几何题,答对一题得 2 分.某同学第一大题对 6 题,且所得分数许多于此题总分的一半,问该同学有多少种答题的不一样状况?难点打破13. (12 分 )(1)10 个优异指标名额分派给 6 个班级,每个班起码一个,共有多少种不一样的分派方法?(2)在正方体的过随意两个极点的全部直线中,异面直线有多少对?课时作业 (五十七 )B【基础热身】C 31A 32= 18,故第 191. A [分析 ] 千位是 1 的四位偶数有个是千位数字为2 的四位偶数中最小的一个,即 2 014.2. A [分析 ] 方法一:将“起码有1 个是一等品的不一样取法”分三类:“恰有1 个一 等品”,“恰有2 个一等品”,“恰有3 个一等品”,由分类计数原理有:C 161C 42+ C 162C 41+ C 163= 1136(种 ).C 203-C 43= 1 136(种 ).方法二:考虑其对峙事件:“3 个都是二等品”,用间接法: 3. D [分析 ] 因为结果只与选出的是哪 8 名教师和哪两名职员相关,与次序没关,是组合问题.分步计数,先选 8 名教师再选 2 名职员,共有 C 808C 202种选法.4.D [分析 ] 在五个城市中的三个城市各投资一个,有方法数A 53= 60,将三个项目分 为两组投资到五个城市中的两个,有方法数C 31 A 52= 60,故不一样的投资方案有 120 种.【能力提高】 3215.B [分析] 分两类: (1) 不包括 A ,B ,C 的有C 7种选法;(2)包括 A ,B ,C 的有 C 7·C 3种选法.所以共有 C 73+ C 72·C 31= 98(种 )选法,故应选 B.6. B [分析 ] (1)若只是含有数字 0,则选法是2 12 13C 3C 4,能够构成四位数C 3C 4A 3= 12× 6=72 个; 1 2 1 2 3(2)若只是含有数字 5,则选法是 C 个;3C 4,能够构成四位数 C 3C 4A 3=18× 6= 108(3)若既含数字 0,又含数字 5,选法是 C 31C 41,排法是若 0 在个位,有 A 33=6 种,若 5 在个位,有21 12× A 2= 4 种,故能够构成四位数C 3C 4(6+ 4)= 120 个.依据加法原理,共有72+108+ 120= 300 个.1 1 3 12 27. D [分析 ] 分组法是 (1,1,3) , (1,2,2) ,共有 C 5C 4C 3+ C 5C 4C 23A 2 A 2 = 25,再分派,乘以 A 3,2 2即得总数 150.8. D [分析 ] 依据题意可将教师的 1 个朗读节目排在学生的 8 个节目中的 7 个空中的任一个,共有 7 种排法,而后将教师的 2 个独唱节目排在 9 个节目中的 8 个空中的 2 个空中, 故共有 C 71A 82= 392 种不一样的排法.应选 D.1C 42 A 22= 14,若只是甲、 乙分到一个班级, 则分法是 A 22 = 9.8 [分析 ] 总的分法是 C 4+ 2A 2C 21A 22= 4,故总数是 14-2,若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到 3 名学生,则分法是 2- 4= 8.10. 72 [分析 ] 甲、乙住在同一个房间,此时只好把此外三人分为两组,这时的方法1 3C 51C 42C 22 3总数是 C 3A3= 18,而总的分派方法数是把五人分为三组再进行分派,方法数是2 A 3=A 290,故不一样的住宿安排共有 90- 18= 72 种.11.222 [分析 ] 总数是 C 232= 253,如有两个学校名额同样, 则可能是 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11个名额,此时有 10C 2= 30 种可能,若三个学校名额同样,即都是 8 个名额,则只有 1 种情3况,故不一样的分派方法数是253- 30- 1= 222.12. [解答 ] 依题意可知此题的总分的一半是 14 分,某同学在 11 题中答对了6 题,则起码答对两道代数题,至多答对 4 道几何题,所以有以下答题的状况:(1)代数题恰巧对 2 道,几何题恰巧对 4 道,此时有 C 62C 54=75 种状况;(2)代数题恰巧对 3 道,几何题恰巧对 3 道,此时有 3 3C 6C 5 =200 种状况;(3)代数题恰巧对 4 道,几何题恰巧对 2 道,此时有 C 64C 52=150 种状况;(4)代数题恰巧对 5 道,几何题仅对 1 道,此时有 5 1C 6C 5= 30 种状况;(5)代数题全对,几何题全错,此时有 C 66C 50= 1 种状况.由分类计数原理得全部可能的答题状况有456 种. 【难点打破】13. [解答 ] (1)因为是 10 个名额,故名额和名额之间是没有区其他,我们不如把这10 10个名额在桌面上从左到右一字摆开,这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空挡, 个名额之间就出现了9 个空挡,我们的目的是把这10 个名额分红 6 份,每份起码一个,那我们只需把这9 个空挡中的 5 个空挡上各放上一个隔板,两头的隔板外面的 2 部分,隔板和隔板之间的 4 部分,这样就把这10 个指标从左到右分红了 6 份,且知足每份起码一个名额,我们把从左到右的 6 份挨次给1,2,3,4,5,6 班就解决问题了.这里的在 9 个空挡上放 5 个隔板的不一样方法数,就对应了切合要求的名额分派方法数.这个数不难计算,那就是从9 个空挡中选出 5 个空挡放隔板,不一样的放法种数是C95=126.(2)方法一:连成两条异面直线需要 4 个点,所以在正方体 8 个极点中任取 4 个点有 C84种取法.每 4 个点可分共面和不共面两种状况,共面的不切合条件,去掉.因为在 6 个表面和6 个体对角面中都有四点共面,故有(C84- 12)种.不共面的 4 点可构成四周体,而每个四周体有 3 对异面直线,故共有 3(C84- 12)= 174 对.方法二:一个正方体共有12 条棱、 12条面对角线、 4 条体对角线,计 28 条,任取两条有 C282种状况,除掉此中共面的状况:(1)6个表面,每个面上有 6 条线共面,共有6C62条;(2)6 个体对角面,每个面上也有 6 条线共面,共有 6C62条; (3) 从同一极点出发有 3条面对角线,随意两条线都共面,共有8C32条,故共有异面直线C228- 6C26- 6C 26- 8C23= 174 对.。
2013年全国高考理科数学试题及答案详解
绝密*启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈;,则B 中所含元素的个数为( )()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==,4,1,2,3x y ==,3,1,2x y ==,2,1x y ==共10个 (2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种(3)下面是关于复数21z i=-+的四个命题:其中的真命题为( ) 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =,3:p z 的共轭复数为1i -+,4:p z 的虚部为1-(4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为( )()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==(5)已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( )()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=,56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ,输出,A B ,则( )()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= (8)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点,AB =;则C 的实轴长为( )()A ()B()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A-(4,B --得:222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=(9)已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)10:排列、组合及二项式定理2013年高考真题解析分类汇编
2013高考试题解析分类汇编(理数)10:排列、组合及二项式定理一、选择题1 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a( )A .4-B .3-C .2-D .1-D已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为+a •=5,解得a=﹣1,故选D .2 .(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A .243 B .252 C .261 D .279B有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=。
没有重复数字的三位数有1299648C A =,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252-,选B.仁为太傅谢安的孙子试卷试题等到平定京邑后化学教案高祖进驻石头城化学教案景仁与百官同去拜见高祖化学教案高祖注视着他3 .(2013年高考新课标1(理))设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =( )A .5 B .6 C .7 D .8 B因为m 为正整数,由(x+y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,以及二项式系数的性质可得a=,同理,由(x+y )2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ,可得 b=.再由13a=7b ,可得13=7,即 13×=7×,即 13=7×,即 13(m+1)=7(2m+1).解得m=6,故选B .4 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是( )A .56B .84C .112D .168D(x+1)3的展开式的通项为T r+1=C 3r x r 令r=2得到展开式中x 2的系数是C 32=3, (1+y )4的展开式的通项为T r+1=C 4r y r 令r=2得到展开式中y 2的系数是C 42=6,(1+x )3(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是:3×6=18,故选D .5 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为( )A .14 B .13C .12D .10B方程220ax x b ++=有实数解,分析讨论①当0a =时,很显然为垂直于x 轴的直线方程,有解.此时b 可以取4个值.故有4种有序数对②当0a ≠时,需要440ab ∆=-≥,即1ab ≤.显然有3个实数对不满足题意,分别为(1,2),(2,1),(2,2).(,)a b 共有4*4=16中实数对,故答案应为16-3=13.6 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为( )A .4 B .5 C .6 D .7B展开式的通项公式为5211(3)()3k n kn kkk n kk nnT C x C xx x---+==。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(29)等比数列A
作 (二十九 )A [ 第 29等比数列][: 35 分分: 80分]基身1.数列 {( -1) n} 的前 n 和 S n,随意正整数n, S n= ()A.n[ - 1 n- 1]- 1 n-1+ 12 B.2C.-1 n+ 1- 1 n- 12 D.22.等比数列 { a n} 中, a2= 3, a7·a10=36, a15= ()A.12 B.- 12C.6 D.-63.等比数列 { a n} 的公比 q=2,前 n 和 S n,S4的 ()151577a3A. 4B. 2C.4D.24.已知 { a n} 是增等比数列,a2= 2, a4- a3= 4,此数列的公比q= ________.能力提高5.已知等比数列 { a n} 中, a3= 2,其前 n 的 T n= a1 a2⋯ a n, T5等于 () A.8 B.10 C.16 D.326.数列 { a n} 是公差不 0 的等差数列, a1=2,且 a1,a5,a13成等比数列,数列{ a n} 的前 n 和 S n= ()22A.n + 7nB.n+5n4433C.n2+3n D. n2+ n247.甲、乙两工厂的月在2012 年元月份同样,甲此后每个月比前一个月增添相同的,乙此后每个月比前一个月增添的百分比同样.到 2012 年 11 月份两工厂的月又同样.比甲、乙两工厂2012 年 6 月份的月大小,有 () A.甲的小于乙的B.甲的等于乙的C.甲的大于乙的D.不可以确立8.已知各均数的数列{ a n } 等比数列,且足a1+ a2= 12, a2a4= 1, a1=()A.9 或1 B.1或 16C.1或1169D.9 或 169169.S n等比数列 { a n} 的前 n 和, 8a2- a5= 0,S4= ________.S210.在等比数列 { a n } 中,若 a1=1,a4=- 4,公比 q= ________;|a1|+ |a2 |+⋯+ |a n| 2=________.11.在等比数列 { a n} 中,若 a1+ a2+⋯+ a5=31,a3=1,1 +1 +⋯+1= ________. 164a1a2a512. (13 分 ) 数列 { a n} 是一等差数列,数列2{ b n } 的前 n 和 S n= (b n- 1),若 a2=3b1, a5=b2.(1)求数列 { a n} 的通公式;(2)求数列 { b n} 的前 n 和 S n.难点打破13. (12 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这n+ 2 个数组成递加的等比数列,将这 n+ 2 个数的乘积记作 T n,再令 a n= lgT n, n≥1.(1)求数列 { a n} 的通项公式;(2)设 b n= tana n·tana n+1,求数列 { b n} 的前 n 项和 S n.作 (二十九 )A【基 身】由已知,数列 {( -1) n} 是首 与公比均 - 11.D [分析 ] 的等比数列,其前 n 和S n = - 1 [1- - 1 n ] = - 1 n- 11- -1 ,故 D.22. A[分析 ] 由等比数列的性 ,有a 2·a 15= a 7·a 10= 36, a 15=36= 12,故 A.1- 24a 23. A[分析 ] 在等比数列 {a n } 中, S 4=a 1= 15a 1, a 3 = a 1·22= 4a 1, S 4= 15,故1- 2 a 3 4A.a 4- a 3= a 2q 2- a 2q = 4,即 2q 2- 2q = 4,4. 2[分析 ] 因 {a n } 等比数列,所以所以 q 2-q - 2= 0,解得 q =- 1 或 q =2, 又 {a n } 是 增等比数列,所以q =2.【能力提高】由 a 3= 2,得 T 5 =a 1 a 2a 3a 4a 5=a 35=25= 32,故 D . 5. D [分析 ] 6. A [分析 ] 等差数列 {a n } 的公差 d ,a 5= a 1+ 4d , a 13= a 1+ 12d ,由 a 1, a 5, a 13 成等比数列,得 a 25= a 1a 13,即 (a 1+ 4d)2= a 1(a 1+ 12d), 化 ,得 4d 2- a 1d = 0, ∵ a 1= 2, d ≠ 0,1 n n -11 n 27n∴ d =2, S n = 2n + 2 × 2= 4 +4 ,故 A.7.C [分析] 甲各个月份的 数列{a n } ,乙各个月份的 数列 {b n } , 数列{a n } 等差数列、数列 {b n } 等比数列,且a 1=b 1,a 11=b 11,故 a 6= a 1+ a 112 ≥ a 1a 11= b 1b 11= b 62= b 6.因为等差数列 {a n } 的公差不等于0,故 a 1 ≠a 11,上边的等不可以建立,故 a 6>b 6.2a 3 a 3 8. D [分析 ] 由已知得 a 3= 1,所以 a 3= 1 或 a 3=- 1, 公比 q , 有 q 2+ q =12,当 a = 1 ,解得 q = 1或 q =- 1,此 a =9 或 16;3 3 41- 1 - 1 = 12 无解,故 D.当 a =- 1 , 23q+q8a 2- a 5= 0,得 8a 1q = a 1q 4,即 q3= 8,即 q = 2.9. 5[分析 ] 由已知条件24, S 4= 1+ q 2= 5.又 S = a 1 1- q , S = a 1 1- q2 1- q 4 1- q S 21 110.- 2 n -1 - 332 2 [分析 ] 由 a 4= a 1q = q =- 4,可得 q =- 2;所以,数列 {|a n |} 是首2 1n1 2 的等比数列,所以 |a 1|+ |a 22 1- 2 2 n - 1 - 1 .,公比 |+⋯+ |a n |= =22 1- 211. 31[分析 ] 等比数列 {a n } 的公比 q ,由 a 1+ a 2+⋯+ a 5 =31,得16431a 1(1+ q +⋯+ q )=16,由 a 3= 14,得 a 1q 2= 14, a 12q 4= 161,111 11+⋯+1a 1 1+ q +⋯+ q 4∴ a 1 +a 2+⋯+ a 5=a 1 1+ q q 4=a 12q 4= 31.212. [解答 ] (1) ∵ S 1 =3(b 1 -1)= b 1,∴ b 1=- 2.2又 S 2= 3(b 2- 1)=b 1+b 2=- 2+ b 2, ∴ b 2= 4,∴ a 2=- 2, a 5= 4.a 5-a 2 6∵ {a n } 一等差数列,∴公差 d = 3 = 3= 2,即 a n =- 2+ (n - 2) ·2= 2n - 6.2 2②,(2)∵ S n + 1=(b n + 1- 1)①, S n = (b n -1) 332①-②得 S n + 1 -S n = 3(b n +1 - b n )= b n + 1,∴ b n + 1=- 2b n ,∴数列 {b n } 是一等比数列,公比 q =- 2, b 1=- 2,即 b n = (- 2)n .2 n ∴ S n = 3[( - 2) - 1].【 点打破】13. [思路 ] 本 考 等比和等差数列, 数和指数的运算,两角差的正切公式等基本知 ,考 灵巧运用基本知 解决 的能力, 合运算求解能力和 新思 能力.[解答 ] (1) t 1, t 2,⋯, t n + 2 组成等比数列,此中 t 1 =1, t n + 2= 100, T n = t 1·t 2·⋯ ·t n + 1·t n + 2,①T n = t n + 2 ·t n + 1·⋯ ·t 2·t 1,②①×②并利用 t i t n + 3- i = t 1t n + 2=102(1 ≤i ≤ n + 2),得T 2= (t t + ) ·(t t + ) ·⋯·(t + t ) ·(t + t )= 102(n + 2) .n 1 n 2 2 n 1 n 1 2 n 2 1∴ a n = lgT n = n +2, n ∈ N * . (2)由 意和 (1)中 算 果,知b n = tan(n + 2) ·tan(n + 3), n ≥ 1,另一方面,利用tan k + 1 - tanktan1= tan[( k + 1) -k] =,得 tan(k + 1) ·tank =tan k + 1-tank-1.tan1nn +2所以 S n =b k =tan(k +1) ·tankk =1k =3= n +2 tan k + 1 - tank - 1k = 3tan1=t an n + 3 - tan3- n.tan1。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(61)离散型随机变量及其分布列
课时作业(六十一) [第61讲 离散型随机变量及其分布列][时间:45分钟 分值:100分]基础热身 1.10件产品中有3件次品,从中任取两件,可作为随机变量的是( )A .取到产品的件数B .取到正品的概率C .取到次品的件数D .取到次品的概率2.抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ,则“ξ≥5”表示的试验结果是( )A .第一枚6点,第二枚2点B .第一枚5点,第二枚1点C .第一枚1点,第二枚6点D .第一枚6点,第二枚1点3则m A.115 B.215 C.15 D.4154.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率等于C 47C 68C 1015的是( ) A .P (X =2) B .P (X ≤2)C .P (X =4)D .P (X ≤4)能力提升 5.从标有1~10的10支竹签中任取2支,设所得2支竹签上的数字之和为X ,那么随机变量X 可能取得的值有( )A .17个B .18个C .19个D .20个6.设随机变量X 的分布列为P (X =i )=a ·⎝⎛⎭⎫23i ,i =1,2,3,则a 的值为( ) A.1738 B.2738 C.1719 D.27197.设随机变量X 的分布列为P (X =i )=i 2a,(i =1,2,3),则P (X =2)等于( ) A.19 B.16 C.13 D.148.50个乒乓球中,合格品为45个,次品为5个,从这50个乒乓球中任取3个,出现次品的概率是( ) A.C 35C 350 B.C 15+C 25+C 35C 350 C .1-C 345C 350 D.C 15C 245C 3509.随机变量X 的分布列为P (X =k )=c k (k +1)(k =1,2,3,4),其中c 为常数,则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52=( )A.23B.34C.45D.5610.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球,乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球,则取出的红球个数X 的取值集合是________.11.在五个数字1,2,3,4,5中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示).12.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件E 发生,该公司要赔偿a 元,设一年内E 发生的概率为p ,公司要求投保人交x 元,则公司收益X 的分布列是________.13.若随机变量X则常数c =________.14.(10分)一批产品共100件,其中20件为二等品,从中任意抽取2件,X 表示取出的2件产品中二等品的件数,求X 的分布列.15.(13分)袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,设取到1个红球得2分,取到1个黑球得1分,从袋中任取4个球.(1)求得分X 的分布列;(2)求得分大于6分的概率.难点突破 16.(12分)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一个.(1)记性质r :集合中的所有元素之和为10,求所取出的非空子集满足性质r 的概率;(2)记所取出的非空子集的元素个数为X ,求X 的分布列.课时作业(六十一)【基础热身】1.C [解析] A 中件数是2,是定值;B 、D 中的概率也是定值;C 中件数为0,1,2,次品件数可作为随机变量.2.D [解析] 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5,即只能等于5,故选D .3.C [解析] 利用概率之和等于1,得m =315=15. 4.C [解析] 此题为超几何分布问题,15个村庄中有7个村庄交通不方便,8个村庄交通方便,C 47C 68表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便,6个交通方便,故P(X =4)=C 47C 68C 1015. 【能力提升】5.A [解析] 1~10任取两个的和可以是3~19中的任意一个,共有17个.6.B [解析] 根据题意及随机变量分布列的性质得:a·23+a·⎝⎛⎭⎫232+a·⎝⎛⎭⎫233=1,解得a =2738. 7.C [解析] 由分布列的性质,得1+2+32a =1,解得a =3,所以P(X =2)=22×3=13. 8.C [解析] 出现次品,可以是一个,两个或是三个,与其对立的是都是合格品,都是合格品的概率是C 345C 350,故有次品的概率是1-C 345C 350. 9.D [解析] ∵c ⎝⎛⎭⎫11×2+12×3+13×4+14×5=1,∴c ⎝⎛⎭⎫1-15=1,解得c =54,将其代入P ⎝⎛⎭⎫12<X<52= P(1)+P(2)=c ⎝⎛⎭⎫1-13,得P ⎝⎛⎭⎫12<X<52=56. 10.{0,1,2,3} [解析] 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2,乙袋中取出的红球个数可能是0,1,故取出的红球个数X 的取值集合是{0,1,2,3}.11.0.3 [解析] 剩下两个数字都是奇数,取出的三个数为两偶一奇,所以剩下两个数字都是奇数的概率是P =C 22C 13C 35=310=0.3. 12.[解析] P(X =x -a)=p ,P(X 所以X 的分布列为13.13 [解析] 由随机变量分布列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧ 9c -c +3-8c =1,0≤9c 2-c ≤1,0≤3-8c ≤1,解得c =13. 14.[解答] X 的可能取值为0,1,2.P(X =0)=C 280C 2100=316495; P(X =1)=C 180C 120C 2100=160495; P(X =2)=C 220C 2100=19495. 所以X 的分布列为15.[解答] 1黑,4红四种情况,分别得分为5分,6分,7分,8分,故X 的可能取值为5,6,7,8. P(X =5)=C 14C 33C 47=435, P(X =6)=C 24C 23C 47=1835, P(X =7)=C 34C 13C 47=1235, P(X =8)=C 44C 03C 47=135. 故所求得分X 的分布列为(2)P(X>6)=P(X =7)+P(X =8)=1235+135=1335. 【难点突破】16.[解答] (1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A.基本事件总数n =C 15+C 25+C 35+C 45+C 55=31,事件A 包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4},事件A 包含的基本事件数m =3,所以P(A)=m n =331. (2)依题意,X 的所有可能取值为1,2,3,4,5,又P(X =1)=C 1531=531, P(X =2)=C 2531=1031, P(X =3)=C 3531=1031, P(X =4)=C 4531=531, P(X =5)=C 5531=131, 故X 的分布列为。
2013高考 数学(理)真题专业解析(全国卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(全国卷)解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,2,3}M∈∈,则M中元素的个数为,,={x|x=a+b,a A,b B}A,B={45}()A.3 B.4 C.5 D.6答案:B思路分析:考点解剖:本题主要考查集合的性质与分类讨论思想.解题思路:弄清集合M中的元素与集合A和集合B中元素的关系,从而求集合M中的元素即可.解答过程:集合B中的元素4分别与集合A中的元素求和为5、6、7,集合B中的元素5分别与集合A中的元素求和得6、7、8.所以M={5,6,7,8},元素个数为4.故选B.规律总结:要弄清集合的表示方法,特别是描述法,容易忽略互异性.2.3(1)=()A.-8 B.8 C.8i- D.8i答案:A思路分析:考点解剖:本题考查复数的运算.解题思路:运用完全平方和公式与平方差公式化简复数.解答过程:3=-=-.故选A.(1)(12)8规律总结:要记住21i=-这个复数里面最常用的结论,还容易计算出错.3.已知向量(1,1)+⊥-,则λ=()=+,若()()m n m nmλ=+,(2,2)nλA.-4 B.-3 C.-2 D.-1答案:B思路分析:考点剖析:本题主要考查向量的坐标运算与两向量垂直.解题思路:运用“若a b ⊥,则有0a b ⋅=”及“22||a a =”即可求解.解答过程:因为()()m n m n +⊥-,所以有22222()()[(1)1][(2)2]0m n m n m n λλ+⋅-=-=++-++=,从而有3λ=-.故选B.规律总结:要记住两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零,可能数量积分式会用错. 4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-,则函数(21)f x +的定义域( ) A .(1,1)- B .1(1,)2-- C .(1,0)- D .1(,1)2答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查复合函数的定义域.解题思路:弄清函数()f x 与(21)f x +定义域的关系求解即可. 解答过程:由1210x -<+<,得112x -<<-.故选B.规律总结:由两函数的定义域的关系,列出不等式,求解. 5.函数21()log (1)f x x=+(x>0)的反函数1()f x -=( )A .1(0)21x x >- B .1(0)21x x ≠- C .21()x x R -∈ D .21(0)x x -> 答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查求反函数的解析式.解题思路:由原函数的解析式解出x (即用y 表示x ),即可得反函数的解析式. 解答过程:由121yx =+,得121y x =-.因此11()(0)21x f x x -=>-.故选A. 规律总结:对于求反函数的解析式,关键是把原函数的解析式中的x 当作未知数求解. 需要特别注意要求反函数的定义域也就是求原函数的值域.6.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=,243a =-,则{}n a 的前10项和等于( )A .106(13)--- B .101(13)9- C .103(13)-- D .103(13)-+ 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查等比数列的判断方法与求和公式. 解题思路:先判断数列为等比数列,再用求和公式求解. 解答过程:由于113n n a a +=-,从而知数列{}n a 是首项14a =,公比13q =-的等比数列,因此前101014[1()]33(13)113---=++.故选C. 规律总结:根据数列的递推关系,若为特殊数列直接代公式求解,若为其它数列再选用其它方法.7.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是( )A .56B .84C .112D .168 答案:D 思路分析:考点解析:本题主要考查二项式定理解题思路:运用求二项式定理展开式系数的方法求解. 解答过程:8(1)x +展开式中2x 的系数是2828C =,4(1)y +展开式中2y 的系数是246C =,所以84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是286168⨯=.故选D.规律总结:解决二项式定理系数问题常用通项公式k n kkna b C-求解,容易计算出错或用错公式.8.椭圆C:22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--,那么直线1PA 斜率的取值范围是( )A .13[,]24B .33[,]84C .1[,1]2D .3[,1]4答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、数形结合的思想. 解题思路:先设出点P 的坐标,然后得直线2PA 与直线1PA 斜率的积为常数求解.解答过程:设P 点坐标为00(,)x y ,则2200143x y +=,2002pA y k x =-,1002pA y k x =+,于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---,故12314PA PA k k =-.2[2,1]PA k ∈--133[,]84PA k∴=.故选B. 规律总结:设出点P 的坐标,再由斜率公式是求解此类问题的常用方法.容易分析计算出错.9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数,则a 的取值范围是( ) A .[1,0]- B .[1,)-+∞ C .[0,3] D .[3,)+∞ 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查导数判断函数的单调性、恒成立问题,考查化归转化思想. 解题思路:先将问题转化为不等式恒成立问题,再转化为求函数最值问题. 解答过程:由条件知21()20f x x a x =+-≥在1(,)2+∞上恒成立,212a xx≥-在1(,)2+∞上恒成立. 212y x x =-在1(,)2+∞上为减函数,max 211232()2y <-⨯=,3a ∴≥,故选D. 规律总结:运用函数的导数的应用将含有参数的函数的单调性转化为不等式恒成立问题是解决此类问题的常用方法.10.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于( )A .23B.3D .13答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与平面所成的角解题思路:先证明线面垂直,找出线面角的平面角,再求三角形的内角. 解答过程:如下图,连接AC 交BD 于点O ,连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1CH C BD ⇒⊥平面HDC ∴∠为CD 与平面1BDC设122AA AB ==,则2AC OC ==,1C O ====由等面积法,得11C O CH OC CC ⋅=⋅,即222CH =⋅,23CH ∴=,223sin 13HC HDC DC ∴∠===.故选A.规律总结:求线面角的常用方法是先找出线面角的平面角再转化为求三角形的内角,易出现平面角找不对而出错.11.已知抛物线C:28y x =与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B两点,若0MA MB ∙=,则k=( )A .12B.2C.2 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系与向量知识的交汇.解题思路:先设出A 、B 两点的坐标,再将0MA MB ∙=化成只含k 的等式求解. 解答过程:由题意知抛物线C 的焦点坐标为,则直线AB 的方程为(2)y k x =-, 其代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则21224(2)k x x k ++=,124x x =. ①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩有1212212()4[122(12)4]y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⎨⋅=-++⎩②0MA MB ⋅=∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=所以:121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ③ 由①②③解得k=2,故选D规律总结:解这类问题通常用一种设而不求(本题设出点A 、B 的坐标而不必求出)的方法求解,易选错方法与增加计算量.12.已知函数()cos sin 2f x x x =,下列结论中错误的是( )A .()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B .()y f x =的图像关于直线2x π=对称C .()f x.()f x 既是奇函数,又是周期函数 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质.解题思路:本题首先用同角三角函数的基本关系式中的平方关系,通过换元,再用导数求最值.解答过程:由题意知22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-令sin ,[1,1],t x t =∈- 则23()2(1)22g t t t t t =-=-令2`()260g t t =-=,得t =当1t =±时,函数值为0;(1)0g ±=,(g =,g =所以max()g x =,即()f x.故选C.规律总结:解本类选择题通过观察从容易判断的选项入手,恰好选项C 求最值是一种非常常见需要熟练掌握的,易看错求错,换成正确答案;对称性,奇偶性,最值判断方法没有掌握导致出错.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.已知α是第三象限角,1sin 3α=-,则cot α=答案:思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换化简求值. 解题思路:先求出cos α,再用公式cos cot sin ααα=求解.解答过程:由题意知cos 3α===-,故c o sc o t 22s i nααα==规律总结:求解三角三函数的问题须要牢记公式并灵活运用,易忽略象限角致符号出错. 14. 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答) 答案:480 思路分析:考点剖析:本题主要考查排列问题;解题思路:先将排除甲、乙外的4人,再排甲、乙. 解答过程:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 的排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A =480规律总结:不相邻问题常用的解决方法就是插空法. D.若直15.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,所表示的平面区域为线(1)y a x =+与D 有公共点,则a 的取值范围是答案:1[,4]2思路分析:考点剖析:本题主要考查线性规划问题.解题思路:先作出平面区域D ,再由直线(1)y a x =+的过定点求解. 解答过程:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -,由图并结合题意可知12BCk =,4AC k =,若直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点,则142a ≤≤. 规律总结:解决此类问题常用的方法是准确作图运用数形结合的思想方法求解. 16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060,则球O 的表面积等于答案:16π思路分析:考点剖析:本题主要考查空间几何体、空间想象能力与分析问题的能力. 解题思路:先由二面角求出球的半径,再用表面积公式求解.解答过程:如右图,没MN 为两圆的公共弦,E 为MN 的中点,则OE MN ⊥,KE MN ⊥ 结合题意可知60OEK ∠=︒,又MN=R ,OMN ∴∆为正三角形,OE R∴=又OK EK ⊥,3sin 602OE R ∴=⋅︒=2R ∴=.2416S R ππ∴== 规律总结:解决球类问题常运用弦的中点与球(圆)心的连线将空间问题转化为平面问题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =,且124,,S S S 成等比数列,求{}na 的通项公式.答案:3n a =或21n a n =-思路分析:考点剖析:本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式及等比中项的概念. 解题思路:(1)先求出2a 与公差,(2)求通项公式.解答过程:设数列{}na 的公差为d .由232S a =得2223a a =,故20a =或23a =. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =⋅.又12S a d =-,222S a d =-,4242S a d =+. 故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =,则222d d =-,所以0d =,此时0n S =,不合题意;若23a =,则2(6)(3)(122)d d d-=-+,解得0d =或2d =.因此{}na 的通项公式为3n a =或21na n =-规律总结:关于等差、等比数列的问题,通常的解法是灵活运用通项公式与求和公式. 18.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若sin sin A C =,求C.答案:(Ⅰ)120B =︒;(Ⅱ)15C =︒或45C =︒ 思路分析:考点剖析:本题主要考查解斜三角形.解题思路:(1)先用佘弦定理求得角B ,(2)用c o s ()c o s ()2s i n s i n A C A C A C-=++求解.解答过程:(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a c b ac +-=-由佘弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-,因此120B =︒ (Ⅱ)由(Ⅰ)知60A C +=︒,所以cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 112242A C A C A CA C A C A C A C A C -=+=-+=++=+⨯=故30A C -=︒或30A C -=-︒,因此15C =︒或45C =︒规律总结:通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解,若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式,三角形求角通常还要用内角和定理.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,090ABC BAD ∠=∠=,2BC AD =,PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.(Ⅰ)证明:PB CD ⊥; (Ⅱ)求二面角A-PD-C 的大小. 答案:(Ⅰ)详见解答过程;(Ⅱ)arccos3π-思路分析:考点剖析:本题主要考查空间直线与直线垂直的证明和求二面角.解题思路:(1)运用三垂线定理证明空间线线垂直,(2)找出二面角的平面角转化为解三角形或用空间向量求解.解答过程:(Ⅰ)取BC 的中点为E ,连结DE ,则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O.连结OA ,OB ,OD ,OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD ,即点O 为正方形ABED 对角线的交点,故OE BD ⊥,从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,所以//OE CD .因此PB CD ⊥(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知PB CD ⊥,PO CD ⊥,PB PO P ⋂=.故CD ⊥平面PBD.又PD PBD ⊂平面,所以CD PD ⊥. 取PD 的中点为F ,PC 的中点G ,连结FG. 则FG//CD ,FG ⊥PD连结AF ,由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥. 所以AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. 连结AG ,EG ,则EG//PB. 又PB AE ⊥,所以EG AE ⊥. 设AB=2,则AE=112EG PB == 故3AG ==在AFG ∆中,12FG CD ==AF ,3AG =.所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==⨯⨯.因此二面角A-PD-C的大小为π-.解法二:由(Ⅰ)知,OE ,OB ,OP 两两垂直.以O 为坐标原点,OE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =,则(A,(0,D,C,PPC =,(0,PD =,(2,0,AP =,(2,AD =.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z=,则1(,,)0n PC x y z ⋅=⋅=,1(,,)(0,0n PD x y z ⋅=⋅=.可得20x y z --=,0y z +=. 取1y =-,得0,1x z ==,故1(0,1,1)n =-设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q,则2(,,)0n AP m p q ⋅=⋅=,2(,,)0n AD m p q ⋅=⋅=,可得0m q +=,0m q -=.取1m =,得1p =,1q =-,故2(1,1,1)n =-.于是121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-⋅由于12,n n <>等于二面角A-PD-C 的平面角,所以二面角A-PD-C 的大小为a r c c π-.规律总结:解决立体几何问题通常有几何法与向量法.用几何法求解时,考查空间想象能力运用化归转化的数学思想方法,有时需要灵活运用线线、线面、面面位置关系的判定定理与性质定理,有时需要把空间问题转化为平面几何问题求解;运用向量法关键是找三条共点两两垂直的直线建立坐标系并运用好法向量与相关公式.20.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结束相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;(Ⅱ)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望. 答案:(Ⅰ)14(Ⅱ)98思路分析:考点剖析:本题主要考查独立性事件的概率与随机变量的数学期望.解题思路:(1)运用独立性事件的概率公式求得第4局甲当裁判的概率,(2)分别求出各个随机变量对应的概率再运用数学期望的公式求解.解答过程:(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜“,2A 表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负“.A 表示事件“第4局甲当裁判“. 则A=12A A ⋅.12121()()()()4P A P A A P A P A =⋅=⋅=(Ⅱ)X 的可能值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙“1B 表示事件“第1局结果为乙和丙”.2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”.3B 表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==⋅⋅=⋅⋅=13131(2)()()()4P X P B B P B P B ==⋅=⋅=115(1)1(0)(2)1848P X P X P X ==-=-==--=.90(0)1(1)2(2)8EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅==规律总结:解决概率问题时,通常要认真读题弄清独立事件与互斥事件正确求出概率,求解数学期望时可用随机变量的分布列的性质检验计算结果并掌握快速准确计算的方法.21.(本小题满分12分) 已知双曲线C:22221x y a b -=(a>0,b>0)的左、右焦点分别为1F 、2F ,离心率为3,直线y=2与C(Ⅰ)求a,b;(Ⅱ)设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点,且11||||AF BF =,证明:2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.答案:(Ⅰ)1,a b ==(Ⅱ)详见解答过程思路分析:考点剖析:本题主要考查双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系.解题思路:(1)由离心率即可得a 和b 的关系,(2)再由直线y=2与C 的两个交点间的(Ⅰ),(3)由直线l 与C 的方程联立消y 后运用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式求解.解答过程:(Ⅰ)由题设知3ca=,即2229a b a+=,故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式,求得x =由题设知=21a =.所以1,a b ==(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1(3,0)F -,2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -= ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-,||k <,代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则11x ≤,21x ≥,212268k x x k +=-,2122988k x x k +⋅=-.于是,11||(31)AF x ==-+.12||31BF x ===+.由12||||AF BF =得12(31)31x x -+=+,即1223x x +=-.226283k k =--,解得245k =,从而12199x x ⋅=-由于21||13AF x ===-.22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=.221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=,所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.规律总结:解决圆锥曲线类的解答题时,需要熟练掌握圆锥曲线的几何性质、定义、标准方程,对于直线与圆锥曲线问题通常的解决方法是联立直线与双曲线的方程然后消元运用一元二次方程根与系数的关系及其它解析几何的常见的公式(如两点间的距离公式,斜率公式…)求解.22.(本小题满分12分) 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.(Ⅰ)若0x ≥时,()0f x ≤,求λ的最小值; (Ⅱ)设数列{}n a 的通项111123n a n =++++,证明:21ln 24n n a a n-+>. 答案:(Ⅰ)12;(Ⅱ)详见解答过程思路分析:考点剖析:本题考察函数与数列的综合应用,是一创新性题目,主要考察了学生对问题的分析、推理、解决;掌握函数、数列的性质,具有良好的分析、逻辑推理能力是解决本题的前提.解题思路:(1)运用导数即可求得λ的最小值,(2)运用所要证明的不等式与问题(Ⅰ)中结论的联系即可求解.解答过程:(Ⅰ)由已知(0)0f =,2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+,'(0)0f =.若12λ<,则当02(12)x λ<<-时,'()0f x >,所以()0f x >. 若12λ≥,则当0x >时,'()0f x <,所以当0x >时,()0f x <. 综上,λ的最小值是12.(Ⅱ)证明:令12λ=.由(Ⅰ)知,当0x >时,()0f x <, 即(2)ln(1)22x x x x+>++.取1x k =,则211ln()2(1)k k k k k++>+. 于是212111()422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211lnn k nk k -=+>∑ln 2ln n n =- ln 2=.所以21ln 24n n a a n-+>. 规律总结:函数与数列综合题考在解答案题中考查,通过构造、推理、分类、放缩等方法,融知识、能力与素质与一体,综合问题对分析问题,解决问题能力具有很高要求.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A
作 (五十七 )A [第 57摆列、合][: 35 分分:80分]基身1. a∈N*,且 a<20 , (27- a)(28- a)⋯ (34- a)等于 ()827- a78A . A 27-aB .A 34-a C. A 34-a D. A34-a2.从 20 名男同学, 10 名女同学中任 3 名参加体能,到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不一样法的种数()A.1 260B.4 060C.1 140D.2 8003.某位有 7 个在一同的位,有 3 不一样型的需停放,假如要求节余的 4 个位在一同,不一样的停放方法的种数()A.16B. 18 C. 24 D .324.一天有文、数学、英、物理、化学、生物、体育七,体育不在第一上,数学不在第六、七上,天表的不一样排法种数()7525A.A7-A5B.A4A5C.A 51A 61A 55D. A 66+ A 41A 51A 55能力提高5.用 1、2、3、4、 5、6 成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、 5 有且只有两个相,不一样的排法种数()A.18 B.108C. 216D. 4326.从 10 名大学生中 3 个人担当村助理,甲、乙起码有 1 人入,而丙没有入的不一样法的种数()A.85B. 56 C. 49 D .287.用 0到910个数字,能够成没有重复数字的三位偶数的个数()A . 324 B. 328C. 360D. 6488.研究性学小有 4 名同学要在同一天上、下午到室做A,B, C,D, E 五个操作,每个同学上、下午各做一个,且不重复,若上午不可以做 D ,下午不可以做 E ,不一样的安排方式共有()A.144 种B.192 种C.216 种D.264 种9. 2010 年上海世博会某国将展出 5 件作品,此中不一样法作品 2 件、不一样画作品 2 件、志性建筑 1 件,在展台大将 5 件作品排成一排,要求 2 件法作品必相, 2 件画作品不可以相,国展出5件作品不一样的方案有________种(用数字作答) .10.从 5 名男医生、 4 名女医生中 3 名医生成一个医小分,要求男、女医生都有,不一样的方案共有 ________种 (数字回答 ).11.由 0,1,2,⋯, 9 十个数字成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的等于 8 的个数 ________个.12. (13 分)有六名同学按以下方法和要求分,各有不一样的分方法多少种?(1)分红三个,各人数分1、 2、 3;(2)分红三个去参加三不一样的,各人数分1、 2、 3;(3)分红三个,各人数分2、 2、 2;(4)分红三个去参加三不一样的,各人数分2、 2、 2;(5)分红四个,各人数分1,1,2,2;(6)分红四个去参加四不一样的活,各人数分1、 1、 2、 2.难点打破13. (12分 )从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10 名作“夺冠之路”的励志报告.(1)若每个大项中起码选派两人,则名额分派有几种状况?(2)若将 10 名冠军分派到11 个院校中的9 个院校作报告,每个院校起码一名冠军,则有多少种不一样的分派方法?作 (五十七 )A【基身】1. D[ 分析 ] A 348-a= (27- a)(28- a)⋯ (34-a).2.D[分析 ]基本领件数是C303,此中不切合要求的基本领件个数是C203+ C103,故所求的种数 C3- (C3+ C3= 2 800.3020103 的全摆列,即 4× A 33= 24.3. C[分析 ]四个位在一同有四种可能,再乘以4.D[分析]若数学在第一,有排法 A 66种;若数学不在第一,数学排法有 A11A5115 4,体育排法有 A5,其他排法有5,依据乘法原理此的排法是 A 4A 5A5.依据加法原理,的排法种数 A 66+A 41A51 A 55.【能力提高】C32A 22种方法;第二步,将5. D[分析 ]第一步,先将1、3、 5 分红两,共2、4、6排成一排,共 A 33种方法;第三步:将两奇数插入三个偶数形成的四个空位,共 A 42种方法.由乘法原理,共有 C32A 22A 33A 42= 3× 2× 6× 12= 432 种排法.6. C[分析 ]方法1:由条件可分两:一是甲、乙两人只有一个入,法有C21·C72= 42;另一是甲、乙都入,法有C22·C71= 7.因此共有 42+7= 49 种法.故C.方法 2:甲、乙均不入的有C3种,数是 C3,故甲、乙起码一人入的方法数是C3-C73=799 84- 35= 49.A 92= 9× 8= 72 个; 0 不排在个位,有 A 41·A81·A 81=7.B[分析]当 0 排在个位,有4× 8× 8= 256 个.由分数原理,得切合意的偶数共有72+ 256= 328 个.故 B.8.D[分析 ]依据意得,上午要做的是A,B,C,E,下午要做的是 A,B,C,D ,且上午做了A,B,C 的同学下午不再做同样的.先安排上午,从 4 位同学中任一人做 E ,其他三人分做A, B, C ,有 C41·A 33= 24 种安排方式.再安排下午,分两:①上午就 E 的同学下午 D ,另三位同学A, B,C 位摆列,有 2 种方法,不一样的安排方式有N1= 1× 2= 2 种;②上午 E 的同学下午A,B,C 之一,此外三位从剩下的两和 D 一共三中,但必与上午的目开,有 3种方法,不一样的安排方式有N2=C31·3= 9 种.于是,不一样的安排方式共有N= 24× (2+9) = 264 种.故 D.9.24[分析 ]把需要相的两个元素看做一个整体,而后与不相的元素外的元素行摆列,在隔出的空位上安排需要不相的元素.2 件法作做看作一个整体,方法数是 A 22=2,把个整体与志性建筑作品摆列,有A22种摆列方法,此中分开了三个空位,在此中插入 2 件画作品,有方法数 A 32= 6.依据乘法原理,共有方法数2×2× 6= 24(种) .10.70[分析 ] 分 1 名男医生 2 名女医生、 2 名男医生 1 名女医生两种状况,或许用接法.直接法: C51C42+C52C41= 70.接法: C93- C53- C43= 70.2211.210[分析 ] 假如个位数和百位数是0,8,方法数是 A2A 8= 112;假如个位数和百位数是 1,9,因为首位不可以排 0,方法数是 A 22C71C71= 98.故数是 112+ 98= 210.12. [解答123] (1) 即 C6C5C3= 60.(2)即 C61C52 C33A 33= 60× 6= 360.222C6C4C2=15.(3)即3A 3222(4)即 C6C4 C2= 90.1122C6C5C4C2(5)即 A 22·A22= 45.1122(6)C 6C5C4C2= 180.【点打破】13. [解答 ] (1) 名分派只与人数相关,与不一样的人没关.每大中派两人,节余两个名,C41= 4 种,当节余两人出自同一大,名分派状况有当节余两人出自不一样大,名分派状况有C2= 6 种.4∴有 C14+ C24=10 种.929(2)从 11 个院校中选9 个,再从 10 个冠军中任取 2 个组合,再进行摆列,有 C11C10A 9=898 128 000.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合A
课时作业(五十七)A[第57讲排列、组合][时间:35分钟分值:80分]基础热身1.a∈N*,且a<20,则(27-a)(28-a)…(34-a)等于()C.A734-a D.A834-aA.A827-a B.A27-a34-a2.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法的种数为()A.1 260 B.4 060C.1 140 D.2 8003.某单位有7个连在一起的车位,现有3辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为()A.16 B.18 C.24 D.324.一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课,体育不在第一节上,数学不在第六、七节上,这天课表的不同排法种数为()A.A77-A55B.A24A55C.A15A16A55D.A66+A14A15A55能力提升5.用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数,要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻,则不同的排法种数为()A.18 B.108 C.216 D.4326.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.85 B.56 C.49 D.287.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324 B.328 C.360 D.6488.研究性学习小组有4名同学要在同一天上、下午到实验室做A,B,C,D,E五个操作实验,每个同学上、下午各做一个实验,且不重复,若上午不能做D实验,下午不能做E实验,则不同的安排方式共有()A.144种B.192种C.216种D.264种9.2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件,在展台上将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必须相邻,2件绘画作品不能相邻,则该国展出这5件作品不同的方案有________种(用数字作答).10.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求男、女医生都有,则不同的组队方案共有________种(数字回答).11.由0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个.12.(13分)有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种?(1)分成三个组,各组人数分别为1、2、3;(2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为1、2、3;(3)分成三个组,各组人数分别为2、2、2;(4)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为2、2、2;(5)分成四个组,各组人数分别为1,1,2,2;(6)分成四个组去参加四项不同的活动,各组人数分别为1、1、2、2.难点突破13.(12分)从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出10名作“夺冠之路”的励志报告.(1)若每个大项中至少选派两人,则名额分配有几种情况?(2)若将10名冠军分配到11个院校中的9个院校作报告,每个院校至少一名冠军,则有多少种不同的分配方法?课时作业(五十七)A【基础热身】1.D[解析] A834-a=(27-a)(28-a)…(34-a).2.D[解析] 基本事件总数是C330,其中不符合要求的基本事件个数是C320+C310,故所求的种数为C330-(C320+C310=2 800.3.C[解析] 四个车位连在一起有四种可能,再乘以3的全排列,即4×A33=24.4.D[解析] 若数学课在第一节,则有排法A66种;若数学不在第一节,则数学课排法有A14,体育课排法有A15,其余课排法有A55,根据乘法原理此时的排法是A14A15A55.根据加法原理,总的排法种数为A66+A14A15A55.【能力提升】5.D[解析] 第一步,先将1、3、5分成两组,共C23A22种方法;第二步,将2、4、6排成一排,共A33种方法;第三步:将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位,共A24种方法.由乘法原理,共有C23A22A33A24=3×2×6×12=432种排法.6.C[解析] 方法1:由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只有一个入选,选法有C12·C27=42;另一类是甲、乙都入选,选法有C22·C17=7.所以共有42+7=49种选法.故选C.方法2:甲、乙均不入选的有C37种,总数是C39,故甲、乙至少一人入选的方法数是C39-C37=84-35=49.7.B[解析] 当0排在个位时,有A29=9×8=72个;0不排在个位时,有A14·A18·A18=4×8×8=256个.由分类计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328个.故选B.8.D[解析] 根据题意得,上午要做的实验是A,B,C,E,下午要做的实验是A,B,C,D,且上午做了A,B,C实验的同学下午不再做相同的实验.先安排上午,从4位同学中任选一人做E实验,其余三人分别做A,B,C实验,有C14·A33=24种安排方式.再安排下午,分两类:①上午就选E实验的同学下午选D实验,另三位同学对A,B,C实验错位排列,有2种方法,则不同的安排方式有N1=1×2=2种;②上午选E实验的同学下午选A,B,C实验之一,另外三位从剩下的两项和D一共三项中选,但必须与上午的实验项目错开,有3种方法,则不同的安排方式有N2=C13·3=9种.于是,不同的安排方式共有N=24×(2+9)=264种.故选D.9.24[解析] 把需要相邻的两个元素看做一个整体,然后与不相邻的元素外的元素进行排列,在隔出的空位上安排需要不相邻的元素.2件书法作做看作一个整体,方法数是A22=2,把这个整体与标志性建筑作品排列,有A22种排列方法,其中隔开了三个空位,在其中插入2件绘画作品,有方法数A23=6.根据乘法原理,共有方法数2×2×6=24(种).10.70[解析] 分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况,或者用间接法.直接法:C15C24+C25C14=70.间接法:C39-C35-C34=70.11.210[解析] 如果个位数和百位数是0,8,则方法数是A22A28=112;如果个位数和百位数是1,9,则由于首位不能排0,则方法数是A22C17C17=98.故总数是112+98=210.12.[解答] (1)即C16C25C33=60.(2)即C16C25C33A33=60×6=360.(3)即C26C24C22A33=15.(4)即C26C24C22=90.(5)即C16C15A22·C24C22A22=45.(6)C16C15C24C22=180.【难点突破】13.[解答] (1)名额分配只与人数有关,与不同的人无关.每大项中选派两人,则还剩余两个名额,当剩余两人出自同一大项时,名额分配情况有C14=4种,当剩余两人出自不同大项时,名额分配情况有C24=6种.∴有C14+C24=10种.(2)从11个院校中选9个,再从10个冠军中任取2个组合,再进行排列,有C911C210A99=898 128 000.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(4)函数及其表示
课时作业 (四 ) [第 4 讲 函数及其表示 ][时间: 45 分钟 分值: 100 分]基础热身1.以下各组函数中表示同样函数的是( )552A . y = x 与 y = xx - 1x +3C .y =与 y = x + 31D . y = x 与 y = x 02.已知 f :x →sinx 是会合 A(A? [0,2π]) 到会合 B =0,1的一个映照,则会合A 中的元2素最多有 ( )A .4个B .5 个C .6 个D .7 个2111x3.已知 f(x)= 1+x 2,那么 f(1) +f(2)+ f 2 + f(3) +f 3 + f(4) + f 4=()7 9 A . 3 B.2 C .4 D. 24. 某学校展开研究性学习活动,一组同学获取了下边的一组实验数据:x 1.99 3 4 5.1 6.12y 1.5 4.04 7.5 12 18.01现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,此中最靠近的一个是 ()A . y = 2x - 2B . y =1 x2 C .y = log 2x D .y = 12(x 2-1)能力提高15. 函数 y =log 2 3x -2 的定义域是 ()A . [1,+∞ )2,+∞B. 32 2 C. 3,1 D.3, 126. 函数 f( x)= 2x - 2的值域是 ()A . (-∞,- 1)B . (- 1,0)∪ (0,+∞ )C .( -1,+∞ )D . (-∞,- 1)∪ (0,+∞ )x 2+ 2x - 1, x ≥ 0, 7. 已知函数 f(x)= 则对随意 x 1,x 2∈ R ,若 0<|x 1|<|x 2|,以下不等x 2- 2x - 1, x<0 , 式恒建立的是 ( )A . f(x 1)- f(x 2)>0B . f( x 1)- f(x 2 )<0C .f(x 1)+ f(x 2)<0D . f( x 1)+ f(x 2 )>08. 定义在实数集上的函数 f(x),假如存在函数 g(x)= Ax + B(A ,B 为常数 ),使得 f( x)≥ g(x)对于一确实数 x 都建立,那么称 g(x)为函数 f( x)的一个承托函数.给出以下命题:①对给定的函数 f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;②定义域和值域都是R 的函数 f(x)不存在承托函数;x12的一个承托函数.④ g(x)= x 为函数 f( x)= x2( )此中,正确命题的个数是A .0B .1C .2D . 39.图 K4 - 1 中的图象所表示的函数的分析式为( )图 K4-13A . y = 2|x - 1|(0≤ x ≤2)B .y = 332 - |x -1|(0≤x ≤ 2)2C .y = 3- |x -1|(0≤x ≤2)2D . y = 1- |x -1|(0≤x ≤ 2)10.已知 f2+ 1= lgx ,则 f(x)= ________. x- log 3 x + 1 x>6 ,8,11. 设 f(x)= 3x -6- 1 x ≤ 6 知足 f(n)=- , 9则 f(n + 4)= ________.12. 设 f(x)的定义域为 D ,若 f(x)知足下边两个条件,则称 f(x)为闭函数.① f(x)在 D 内是单一函数;②存在 [a ,b]? D ,使 f(x)在 [a , b]上的值域为 [ a ,b].假如 f(x)= 2x +1+ k 为闭函数,那么 k 的取值范围是 ________.13.已知函数 f(x)= x 2, g(x)为一次函数,且一次项系数大于零,若f[g(x)] =4x 2- 20x + 25,则函数 g(x)= ________.14.(10 分 )已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和- 2,且 f(x)最小值是- 1,函数 g(x)与 f(x)的图象对于原点对称.(1) 求 f(x)和 g(x)的分析式;(2) 若 h(x)=f(x)- λg (x)在区间 [ - 1,1]上是增函数,务实数 λ的取值范围.15. (13 分)解答以下问题:(1)若 f(x + 1)=2x 2+1,求 f(x);(2)若 2f( x)- f(- x)= x + 1,求 f(x);x(3)若函数 f(x)=, f(2)= 1,且方程 f(x)= x 有独一解,求 f(x).ax + b难点打破16. (12 分 )设 f( x)=ax2+ bx,则能否存在实数a,使得起码有一个正实数b,使函数f(x)的定义域和值域同样?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明原因.课时作业 ( 四)【基础热身】1. D [ 分析 ] 对于 A ,两函数的对应法例不一样; 对于 B ,两函数的定义域不一样; 对于 C ,两函数的定义域不一样; 对于 D ,两函数的定义域都为{ x|x ∈ R , x ≠ 0} ,对应法例都可化为 y = 1(x ≠ 0).2. B [ 分析 ] 当 sinx = 0 时, x = 0, π, 2π;1 π 5π 当 sinx = 2时, x = 6, 6 .所以,会合 A 中的元素最多有5 个.x 21 = 1 3. B [分析 ] 2可得 f x 2, 由 f(x) =1+ x1+ x 1 1所以 f(x)+ f x= 1,又∵ f(1) = 2,f(2) + f 1=1,2f(3) + f 1 =1, f(4)+ f 1= 1,3 4∴ f(1) + f(2)+ f 1 + f(3) +f 1 + f(4) + f 1 =7.2 3 4 21 x是单一递减的,也不4.D [分析 ] 直线是平均的,应选项 A 不是;指数函数 y = 2 切合要求;对数函数 y = log 2x 的增加是迟缓的,也不切合要求;将表中数据代当选项D 中, 基本切合要求.【能力提高】115.D [分析 ]由题知 log 2(3x - 2)≥ 0=log 21,又知对数函数的真数大于零,所以0<3x- 2≤ 1,解得 2<x ≤ 1.31 x -1- 1>- 1,联合反比率函数的图象可知f(x)∈ (-∞,- 1)∪ (0, 6. D [分析 ] f x = 2+∞ ),应选 D. x 2+ 2x -1, x ≥ 0,7.B[ 分析 ] f(x)= 为偶函数,在区间 (0,+∞ )上单一递加,所以x 2 -2x - 1, x<0,f(x 1)-f(x 2)<0.8. C [分析 ] ①正确,②错误;③正确;④错误. 9. B [分析 ] 从图象上看出 x =0 时 y = 0,代入各个选项就能够清除 A 、 C ,x = 1 时 y= 3,代当选项, D 就能够清除. 222+ 1= t(t > 1),则 x = 2 ,10. lg x - 1(x >1)[ 分析 ] 令 x t - 1∴ f(t)= lg 2,即 f(x)= lg 2(x > 1).t - 1x - 111.- 2 [分析 ]因为 x>6 时函数的值域为 (-∞,- log 37),- 8不在 (-∞,- log 37)内,9n -68所以 n ≤ 6,由 3-1=- ,解得 n = 4,所以 f(n + 4)= f(8)=- 2.1 92x + 1+ k 为 - 1,+∞ 上的增函数,又[分析 ] f(x)= f(x)在 [a , b]12.- 1<k ≤- 2 2上的值域为 [a ,b],∴ f a = a ,2x + 1=即 f(x)= x 在 -1,+∞ 上有两个不等实根,即f b = b , 2x -k 在 - 1,+∞ 上有两个不等实根.21,+∞方法一:问题可化为 y = 2x + 1和 y =x - k 的图象在- 上有两个不一样交点. 对2于临界直线 m ,应有- k ≥ 1,即 k ≤- 1 .对于临界直线n , y ′= ( 2x + 1)′=1 ,令2 22x + 11=1,得切点 P 横坐标为 0,∴ P(0,1).2x + 1∴直线 n : y = x +1,令 x = 0,得 y = 1,1∴- k < 1,即 k>-1.综上,- 1< k ≤-.方法二:化简方程2x +1= x - k ,得 x 2- (2k + 2)x + k 2- 1= 0.g -1≥ 0,2令 g(x) = x 2- (2k+ 2)x + k 2- 1 , 则 由 根 的 分 布 可 得1 , 即k + 1>-2>0,1 2≥0,k + 2 k>- 3, 2 k>- 1,解得 k>-1.又 2x + 1= x -k ,∴ x ≥ k ,∴ k ≤-112.综上,- 1<k ≤- .213. 2x - 5 [分析 ] 由 g(x)为一次函数,设 g(x)=ax + b(a>0). 因为 f[g(x)] = 4x 2 - 20x + 25, 所以 (ax + b)2= 4x 2- 20x + 25,2 222即 a x + 2abx + b = 4x - 20x + 25,解得 a = 2, b =- 5,故 g(x)= 2x - 5.214. [解答 ] (1) 依题意,设 f(x)= ax(x + 2)= ax + 2ax(a>0).∴ f(- 1)=- 1,即 a - 2a =- 1,得 a = 1.∴ f(x)=x 2+ 2x.由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象对于原点对称,∴ g(x)=- f(- x)=- x 2+ 2x.(2)由 (1) 得 h( x)=x 2 + 2x - λ(- x 2+ 2x)= (λ+ 1)x 2+ 2(1-λ)x. ①当 λ=- 1 时, h(x)=4x 知足在区间 [ - 1,1] 上是增函数;②当 λ<- 1 时, h( x)图象的对称轴是 x = λ- 1,λ+ 1 λ- 1则≥ 1,又 λ<- 1,解得 λ<-1;λ- 1③当 λ>- 1 时,同理则需 ≤- 1,又 λ>- 1,解得- 1< λ≤ 0.综上,知足条件的实数 λ的取值范围是 (-∞, 0] .15. [解答 ] (1) 令 t = x + 1,则 x = t - 1,22所以 f(t)= 2(t - 1) + 1= 2t - 4t + 3.(2)因为 2f(x)- f(- x)= x + 1, 用- x 去替代等式中的 x , 得 2f(- x)- f(x)=- x + 1,2f x - f - x = x + 1, 即有2f - x -f x =- x + 1,解方程组消去f(- x),得 f(x)= x3+ 1.2=1,即 2a + b = 2.(3)由 f(2)= 1 得 2a + bx11- b由 f(x) =x 得 ax + b =x ,变形得 xax + b - 1 = 0,解此方程得: x = 0 或 x = a .又因为方程有独一解,所以 1- b= 0,解得 b = 1, a代入 2a + b = 2 得 a = 1,2所以所求分析式为f(x)= 2x.x + 2【难点打破】16. [解答 ] 要使分析式 f(x)= ax 2 +bx 存心义, 则 ax 2+ bx =x(ax + b)≥ 0.当 a>0 时,函数的定义域为 -∞,-b∪ [0,+∞ ),因为函数的值域为非负数,所以a a>0 不切合题意;当 a =0 时, f(x)= bx ,此时函数的定义域为 [0,+∞ ),函数的值域也为 [0 ,+∞ ),切合题意;bb222 b当 a<0 时,函数的定义域为0,- a ,又 f(x)=ax + bx =a x +2a- 4a ,∵ 0<- b <- b ,∴当 x =- b时,函数 f(x)有最大值- b 2,由题意有-b 2= -b2,2aa2a4a4aa即 a 2=- 4a ,解得 a =- 4.综上,存在切合题意的实数 a , a 的值为 0 或- 4.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(1)集合及其运算
课时作业 (一 ) [第 1 讲会合及其运算][时间:45 分钟分值: 100 分]基础热身1.已知会合M={0,1,2,3,4} ,N= {1,3,5} , P=M∩ N,则 P 的子集共有 ( A.2个B.4 个C.6 个D.8 个2.已知全集是实数集R ,M={ x|x≤1},N={1,2,3,4},则(?R M)∩N等于(A . {4}B .{3,4}C.{2,3,4}D. {1,2,3,4}3.已知会合A= { y|y= lgx,x>1} ,B={ x|0<|x|≤ 2,x∈Z } ,则以下结论正确的选项是A . A∩ B= { -2,- 1}B. A∪ B= { x|x<0}C.A∪ B= { x|x≥ 0}D. A∩ B= {1,2}))()4.对于平面上的点集上的凸集,给出平面上Ω,假如连结Ω 中随意两点的线段必然包括于4 个点集的图形如图 K1 - 1(暗影地区及其界限Ω,则称Ω为平面),此中为凸集的是()图 K1-1A .①③B.②③C.③④ D .①④能力提高5.已知会合M= { - 4,- 3,- 2,- 1,0,1,4} ,N= { - 3,- 2,- 1,0,1,2,3} ,且 M,N 都是全集I 的子集,则图K1 - 2 中暗影部分表示的会合为()图 K1-2A . { - 1,- 2,- 3}B . {0,1,2,3}C.{2,3}D. {0 ,- 1,- 2,- 3}6.若全集 U= {1,2,3,4,5,6} , M= {2,3} ,N={1,4} ,则会合 {5,6} 等于 ()A.M∪ N B. M∩ NC.( ?U M)∪ (?U N) D . (?U M)∩( ?U N)7.已知会合A= { x|-2≤ x≤ 7} ,B= { x|m+1<x<2m- 1} 且 B≠ ?,若 A∪ B= A,则 m 的取值范围是 ()A .- 3≤ m≤ 4B .- 3<m<4C.2< m<4D. 2<m≤ 48.设全集 U = {( x,y)|x∈R,y∈R} ,A= {( x,y)|2x- y+ m>0} ,B= {( x,y)|x+ y- n≤0} ,那么点 P(2,3)∈A∩ (?U B)的充要条件是 ()A . m>-1 且 n<5B .m<- 1 且 n<5C.m>-1 且 n>5 D .m<- 1 且 n>512,则A∩B=() 9.设会合 A={ x|y= ln(x- 3)} , B= xy=- 4+5x- xA . ?B. (3,4)C .( -2,1)D . (4,+∞ )10.设会合 A = { -1,1,3} ,B = { a + 2,a 2+ 4} ,A ∩ B = {3} ,则实数 a 的值为 ________. 11.若全集 U = {0,1,2,4,16} ,会合 A = {0,2 ,a} ,?U A = {1 , a 2} ,则 a 的值为 ________. 12.设数集 M = x m ≤ x ≤ m +3,N = x n - 1≤ x ≤ n ,且 M 、N 都是会合 { x|0≤x ≤ 1}4 3的子集,假如把 b - a 叫做会合 { x|a ≤ x ≤ b} 的“长度”,那么会合 M ∩N 的“长度”的最小值是 ________.13.已知会合 A = { x|1≤log 2x ≤ 2} , B = [a , b] ,若 A? B ,则实数 a - b 的取值范围是________.已知会合 A = { x||x - 1|<2} , B = { x|x 2+ ax - 6<0} , C = { x|x 2- 2x -15<0} . 14. (10 分) (1)若 A ∪ B = B ,求 a 的取值范围;(2)能否存在 a 的值使得 A ∪ B = B ∩C ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明原因.2- 1 的定义域为会合A ,函数 g(x)=1- a 2- 2ax - x 2的15.(13 分 )设函数 f(x)= lg x + 1定义域为会合 B.(1)求证:函数 f(x)的图象对于原点成中心对称;(2)a ≥ 2 是 A ∩ B =?的什么条件 (充足不用要条件、必需不充足条件、充要条件、既不充足也不用要条件 )?并证明你的结论.难点打破16. (12 分)会合 A ={ x|- 2≤ x ≤5} , B = { x|m + 1≤ x ≤ 2m - 1} . (1)若 B? A ,务实数 m 的取值范围;(2)当 x ∈ Z 时,求 A 的非空真子集的个数;(3)当 x ∈ R 时,若 A ∩ B = ?,务实数 m 的取值范围.作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1. B [ 分析 ] 由于 M= {0,1,2,3,4} , N= {1,3,5} ,因此 P= M∩ N= {1,3} ,因此会合 P 的子集共有 ?, {1} , {3} , {1,3}4 个.2. C[ 分析 ] 由于 ?R M= { x|x>1} ,因此 (?R M)∩ N= {2,3,4} .3. D[ 分析 ] A= { y|y>0} , B= { - 1,- 2,1,2} ,故 A∩ B={1,2} .4. B[ 分析 ] 只有②③两个图形内随意两点所连线段仍在图形内.【能力提高】5. C [ 分析 ] 依据补集和交集的运算,把N 中属于 M 的元素去掉即可.6. D[ 分析 ] 方法一:∵ M∪ N= {1,2,3,4} ,∴(?U M)∩ (?U N)= ?U(M∪ N)= {5,6} .应选 D.方法二:∵ ?U M= {1,4,5,6} ,?U N= {2,3,5,6} ,∴(?U M)∩ (?U N)= {5,6} .应选 D.7. D [分析 ] ∵A∪ B= A,∴ B? A,又 B≠ ?,m+ 1≥- 2,∴ 2m- 1≤ 7,解得 2< m≤ 4.m+1<2m- 1,8. A [ 分析 ] ∵P∈ A,∴ m>- 1,又 ?U B={( x, y)|x+ y- n>0} ,∵ P∈ (?U B),∴ n<5 ,应选 A.9. B [ 分析 ] 会合 A, B 均是函数的定义域,求出定义域后计算即可.22,即得会合 A= (3,+∞ ) ,会合 B 中的 x 知足- 4+ 5x-x >0,即 x - 5x+4<0即会合 B= (1,4),故 A∩ B= (3,4) .应选 B.10. 1[ 分析 ] ∵ A={ - 1,1,3} ,B= { a+ 2, a2+ 4} , A∩ B= {3} ,∴ a+ 2= 3=3,又∵ a2+ 4= 3 不切合题意,无解.∴ a= 1,经查验,切合题意.11. 4[分析 ] a 只可能等于 4.1<x<4 ,或 a2+ 413112.12[ 分析 ] 由题意,知会合M 的“长度”是4,会合 N 的“长度”是3,由会合 M、N 是 { x|0≤ x≤ 1} 的子集,知当且仅当M∪ N= { x|0≤x≤ 1} 时,会合 M∩N 的“长度”最小,311最小值是4+3- 1=12.13.(-∞,- 2][ 分析 ] 会合 A 是不等式 1≤ log2x≤ 2 的解集,求出这个会合,依据集合之间的关系得a,b知足的条件,即可求出 a- b 的取值范围.由题意,会合A= [2,4] ,因为 A? B,故 a≤ 2, b≥ 4,故 a- b≤ 2- 4=- 2,即 a-b 的取值范围是(-∞,- 2].14. [解答 ] A= { x|- 1< x<3} , C= { x|- 3<x<5} .f - 1 =- 1 2- a- 6≤0,(1)由A∪B=B知,A? B,令f(x)=x2+ax-6,则f 3=32+3a-6≤0,解得- 5≤ a≤- 1,即 a 的取值范围是 [- 5,- 1].(2)假定存在 a 的值使得A∪ B= B∩C,由 A∪ B= B∩C? B 知 A? B,由 A∪B=B∩ C? C 知 B? C,于是 A? B? C,由 (1)知若 A? B,则 a∈ [- 5,- 1],当 B? C 时,由=a2+24>0,知B不行能是空集,f - 3 =- 3 2-3a- 6≥ 0,f 5 =52+5a- 6≥0,于是-3<-a<5,2解得 a∈ -19, 1 ,519综合 a∈ [- 5,- 1]知存在 a∈ -5,- 1 知足条件.15. [解答 ] (1) 证明: A= x2-1>0,x+ 1由2-1>0?x- 1x+1<0 ? (x+ 1)(x- 1)<0,x+ 1∴- 1<x<1,∴ A= (- 1,1),故 f(x)的定义域对于原点对称.1- x 1+ x 1- x 又 f(x) =lg x+1,则 f(- x)= lg-x+1= lg x+1-1=- lg1-x=- f(x),x+1∴ f(x)是奇函数.即函数 f(x)的图象对于原点成中心对称.(2)B= { x|x2+2ax- 1+ a2≤0} ,得- 1- a≤ x≤ 1- a,即 B= [ - 1- a,1-a].若 A∩ B= ?,则只要要- 1- a≥1 或许 1- a≤- 1,解得 a≤- 2 或许 a≥ 2,故 A∩ B= ?等价于 a≤- 2 或许 a≥ 2,而 { a|a≥a|a≤- 2 或 a≥ 2} .因此, a≥ 2 是 A∩ B=?的充足不用要条件.【难点打破】16. [解答 ] (1) ①当 m+ 1>2m-1,即 m<2 时, B= ?知足 B? A.②当 m+ 1≤2m-1,即 m≥ 2 时,要使 B? A 建立,m+ 1≥- 2,需可得 2≤m≤3.2m- 1≤5,综上, m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时, A= { - 2,- 1,0,1,2,3,4,5} ,8(3)由于 x∈R,且 A= { x|- 2≤ x≤ 5} , B={ x|m+ 1≤ x≤2m- 1} ,又 A∩ B= ?,则①若 B= ?,即 m+ 1>2m- 1,得 m<2,知足条件.②若 B≠ ?,则要知足的条件是m+ 1≤ 2m- 1,m+1≤ 2m- 1,或m+ 1>52m- 1<- 2,解得 m>4.综上, m 的取值范围是m<2 或 m>4.。
##2013年全国高考理科数学试题分类汇编10:排列、组合及二项式定理Word版含答案_4352
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编10:摆列、组合及二项式定理一、选择题1.( 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))已知(1ax)(1 x)5的睁开式中x2的系数为 5, 则a()A.4B.3C.2D.1【答案】 D2.( 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学(理)试题(含答案))用 0,1,,9十个数字 ,能够构成有重复数字的三位数的个数为()A. 243B. 252C. 261D. 279【答案】 B3.( 2013 年高考新课标1(理))设m为正整数,(x y)2 m睁开式的二项式系数的最大值为a ,( x y) 2m 1睁开式的二项式系数的最大值为b ,若 13a7b ,则m()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】 B4.( 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学(理)WORD 版含答案(已校正))184()x1+y 的睁开式中x2y2的系数是A.56D B.84C.112D.168【答案】5.( 2013年一般高等学校招生一致考试福建数学(理)试题(纯WORD版))知足a, b1,0,1,2 ,且对于x的方程ax22x b 0 有实数解的有序数对 (a,b) 的个数为()A. 14B. 13C. 12D. 10【答案】 B6.( 2013 年上海市春天高考数学试卷(含答案 ))(1 x)10的二项睁开式中的一项为哪一项()A.45x B.90x2C.120 x3D.252x4【答案】 C7.( 2013年一般高等学校招生一致考试辽宁数学(理)试题(WORD版))使得n1的睁开式中含有常数项的最小的为()3x n N nx xA.4B.5C.6D.7【答案】B从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次拿出两个不一样的数分别为a, b , 8 .( 2013 年高考四川卷(理))共可获得 lg a lg b 的不一样值的个数是()A.9B.10C.18D.20【答案】 C16x, x0,9 .( 2013年高考陕西卷(理))设函数 f ( x)x则当 x>0时, f [ f (x)] 表,x ,x0.达式的睁开式中常数项为()A. -20B. 20C. -15D. 15【答案】 A10.( 2013年高考江西卷(理)) (x2-2 ) 5 睁开式中的常数项为()x3A. 80B. -80C. 40D. -40【答案】 C二、填空题11.( 2013年上海市春天高考数学试卷(含答案 ))36的所有正约数之和可按以下方法获得: 因为36=2 232, 所以36的所有正约数之和为(1 3 32)(223 2 32)(2 22232232 )(1222()1 3 32)91参照上述方法, 可求得2000 的所有正约数之和为________________________【答案】483612 .( 2013年高考四川卷(理))二项式(x y)5的展开式中, 含x2y3的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013.( 2013年上海市春天高考数学试卷(含答案 ) )从4 名男同学和 6 名女同学中随机选用 3 人参加某社团活动, 选出的 3 人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514(.2013年一般高等学校招生一致考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))将A, B,C, D,E,F六个字母排成一排, 且A, B均在C 的同侧, 则不一样的排法共有________种( 用数字作答)【答案】48015.( 2013年一般高等学校招生一致考试重庆数学(理)试题(含答案))从 3名骨科.4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人构成一个抗震救灾医疗小组生都起码有 1人的选派方法种数是___________( 用数字作答), 则骨科. 脑外科和内科医【答案】 5901 616.( 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学(理)试题(含答案)) x的二项x睁开式中的常数项为 ______.【答案】 1517.( 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学(理)试题(纯 WORD版))设二项式( x1)5 的睁开式中常数项为A , 则 A ________.3x【答案】1018.( 2013 年高考上海卷(理) )设常数 aR , 若x2ax5的二项睁开式中x 7 项的系数为10 , 则 a ______【答案】 a219.( 2013 年高考北京卷(理) ) 将序号分别为 1,2,3,4,5的 5 张观光券所有分给 4 人,每人起码 1 张 , 假如分给同一人的 2 张观光券连号 , 那么不一样的分法种数是 _________.【答案】 96820.( 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))若ax3x的睁开式中 x 4 的系数为 7, 则实数 a ______.【答案】1221.( 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学(理)WORD 版含答案(已校正) ) 6 个人排成一行 , 此中甲、乙两人不相邻的不一样排法共有____________ 种.( 用数字作答 ).【答案】 480。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理
作 (六十六 ) [第 66 合情推理与演 推理 ][ : 45 分 分 : 100 分 ]基 身1. 在等差数列 { a n } 中,若 a n >0,公差 d>0, 有 a 4·a 6>a 3·a 7, 比上述性 ,在等比数列 { b n } 中,若 b n >0 ,公比 q>1, b 4 ,b 5, b 7, b 8 的一个不等关系是 ( )A . b 4+ b 8>b 5+ b 7B .b 4+ b 8<b 5+ b 7C .b 4+ b 7>b 5+ b 8D . b 4+ b 7<b 5+ b 82. 定一机器狗每秒 只好前 或退后一步,程序 机器狗以“前3 步, 而后再退 2 步”的 律移 . 假如将此机器狗放在数 原点, 面向正方向, 以 1 步的距离1 个 位 度移 ,令 P(n)表示第 n 秒 机器狗所在的地点坐 ,且P(0) =0, 以下中 的是 ()A . P(2 007) = 403B .P(2 008) = 404C .P(2 009) = 403D . P(2 010) = 404a m = a ,a n = b(m ≠ n , m 、 n ∈ N * ), a m + n 3. 已知命 :若数列 { a n } 等差数列,且= bn - am ; 已知等比数列 { b n }( b n >0, n ∈ N * ) , b m = a , b n = b(m ≠ n , m 、 n ∈ N * ),若 比n- m上述 , 可获得 b m + n = ( )A.m - n b mn - m b nnB.maaC. n - m b n a mD. n - m b m a n4.有以下推理: ① A , B 定点, 点 P 足 |PA|+ |PB|= 2a>|AB|, P 的 迹 ;②由 a 1=1, a n = 3n - 1,求出 S 1,S 2 ,S 3,猜想出数列的前 n 和 S n 的表达式;2 22 2x 2 y 2 ③由 x +y = r 的面 S = πr ,猜想出a 2+ b 2= 1 的面 S = πab ;④科学家利用 的沉浮原理制造潜艇. 以上推理不是 推理的序是________.(把全部你 正确的序都填上 ) 能力提高5. f 0(x)= sinx , f 1 (x)= f 0 ′(x),f 2(x)= f 1′ (x),⋯, f n (x)= f n - 1′ (x), n ∈N , f 2 013(x)=( )A . sinxB .- sinxC .cosxD .- cosx6.下边几种推理 程是演 推理的是()A .两条直 平行,同旁内角互 ,由此若∠A ,∠B 是两条平行直 被第三条直 所截得的同旁内角, ∠A +∠B = 180°B .某校高三 (1)班有 55 人,高三 (2)班有 54 人,高三 (3)班有 52 人,由此得出高三全部班人数超 50 人C .由平面正三角形的性 ,推 空 四周体的性D .在数列 { a } 中, a= 1, a = 1 a n-1+1(n ≥ 2),由此 出 { a } 的通 公式n1 nn7.我 把平面内与直 垂直的非零向量称 直 的法向量,在平面直角坐 系中,利用求 点 迹方程的方法, 能够求出 点 A(- 3,4),且法向量 n = (1,- 2)的直 (点法式 ) 方程 : 1× (x + 3)+ (- 2)× (y - 4)= 0,化 得 x - 2y + 11= 0. 比以上方法,在空 直角坐 系中, 点 A(1,2,3) 且法向量 n = (- 1,- 2,1)的平面的方程 ( )A . x + 2y - z -2= 0B . x - 2y - z -2= 0C .x + 2y + z - 2= 0D . x + 2y + z +2= 018.“因 指数函数x是增函数 (大前提 ),而 y = x是指数函数 (小前提 ),所以 y =y = a3 1x是增函数 ()”,上边推理的 是 () 3A .大前提 致B .小前提 致C .推理形式 致D .大前提和小前提 都 致a ij (i ,j ∈N * )是位于 个三 9.把正整数按必定的 排成了以下所示的三角形数表.角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第j 个数,如 a 42= 8.若 a ij = 2 009, i 与 j 的和 ()12 43 5 76 8 10 12 9 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A . 105B . 106C . 107 10. 于命 :若 O 是 段 AB 上一点, 有将它 比到平面的情况是:D . 108→ → → →|OB| ·OA +|OA| ·OB = 0.若 O 是△ ABC 内一点, 有 → → →S △OBC ·OA + S △ OCA ·OB + S △ OAB ·OC = 0. 将它 比到空 的情况 是:若 O 是四周体 ABCD 内一点, 有 ________.11.半径r 的 的面 S(r )= πr 2,周 C(r)= 2πr ,若将 r 看做 (0,+∞ )上的 量,2(πr)′= 2πr ①,①式能够用 言表达 : 的面 函数的 数等于 的周 函数.于半径R 的球,若将R 看做 (0,+∞ )上的 量, 你写出 似于①的式子:________________ ②,②式能够用 言表达 :________________.12.1 + 1 +⋯+ 1*)” ,某同学学到了以下一种方法:在 算“ 1×2 2× 3n n +1 (n ∈ N先改写第 k : 1 =1- 1,k k + 1 k k + 1由此得1 = 1- 1, 1 =1-1,⋯, 1 = 1- 1,1× 2 1 2 2× 3 2 3n n + 1 n n + 1相加,得1 + 1 +⋯+ 1 = 1- 1 = n1× 2 2×3 n n + 1 n + 1 n + 1.比上述方法, 你 算“ 1 + 1 +⋯+ 1 *1× 2×3n + 2 (n ∈ N )”,其 果2× 3×4 n n + 1 ________.13.如 K66 -1,将一个 1 的正三角形的每条 三平分,以中 一段 向形外作正三角形,并擦去中 一段,得 (2),这样 下去,得 (3) ⋯⋯K66-1用 n 表示出第 n 个 形的 数 a n = ________.14.(10 分 )蜜蜂被 是自然界中最优秀的建筑 , 个蜂巢能够近似地看作是一个正六 形,如 K66 - 2 一 蜂巢的截面 .此中第一个 有 1 个蜂巢,第二个 有 7 个蜂 巢,第三个 有 19 个蜂巢,按此 律,以 f(n)表示第 n 个 的蜂巢 数.(1) 出 f(4) , f(5)的 ,并求 f(n)的表达式 ( 不要求 明 );(2) 1+1+1+⋯+14明: f 1f 2 f 3f n <3.K66-215. (13 分 ) 某少量民族的刺 有着悠长的 史,如 K66 - 3她 刺 最 的四个 案, 些 案都是由小正方形组成, 小正方形数越多刺 越美丽. 按同 的 律刺(小正方形的 放 律同样 ), 第 n 个 形包括 f(n)个小正方形.(1) 求出 f(5) 的 ;(2) 利用合情推理的“ 推理思想”, 出f(n + 1)与 f(n)之 的关系式,并依据你 获得的关系式求出 f(n)的表达式;(3)1 + 1 + 1 +⋯+ 1 的 .求f 1f 2 - 1 f 3 -1f n - 1K66-3点打破16.(12 分) 定 C x m = x ·x - 1 ·⋯·x - m + 1,此中 x ∈ R ,m 是正整数,且C x 0= 1, 是合数 C n m (m ,n 是正整数,且m !m ≤ n 的一种推行 ).5(1)求 C - 15的 ; m n - m mm - 1m m (2) 合数的两个性 :①C n = C n .② C n + C n = C n +1.能否都能推行到 C x ( x ∈ R ,m 是正整然 )的情况?若能推行, 写出推行的形式,并 出 明;若不可以, 明原因.(3)已知 合数 C n m 是正整数, 明:当 x ∈ Z , m 是正整数 , C x m ∈ Z .作 (六十六 )【基 身】1. A [ 分析 ] 在等差数列 { a n } 中,因为 4+ 6=3+ 7 有 a 4·a 6>a 3·a 7,所以在等比数列{ b n } 中,因为 4+ 8= 5+ 7,所以 有 b 4+ b 8>b 5+ b 7 或 b 4+b 8<b 5+b 7.∵ b 4= b 1q 3, b 5= b 1q 4, b 7= b 1q 6, b 8=b 1q 7∴ (b 4+ b 8)- (b 5+ b 7) = (b 1q 3+ b 1q 7)- (b 1q 4+ b 1q 6) = b 1q 6·(q -1)- b 1q 3( q -1)= (b 1q 6 -b 1 q 3 )(q - 1) = b 1q 3(q 3-1)( q - 1).∵ q>1 ,b n >0,∴ b 4+ b 8>b 5 + b 7.故 A.2.D [分析 ] 然每 5 秒前 一个 位, 且 P(1) = 1,P(2)= 2,P(3)= 3,P(4)= 2,P(5)= 1,∴ P(2 007)= P(5× 401+ 2)= 401+ 2= 403,P(2 008) =404, P(2 009) = 403,P(2 010) = 402,故 D.b n 和 a m ,等差数列中的3. B [ 分析 ] 等差数列中的 bn 和 am 能够 比等比数列中的bnbn -am n - m b nbn - am 能够 比等比数列中的m能够 比等比数列中的ma ,等差数列中的n - ma.n - m b n故 b m +n =am.4.①③④ [分析 ] ① 演 推理,② 推理,③④ 比推理.【能力提高】5. C [ 分析 ] f 1(x)= (sinx)′= cosx , f 2(x)= (cosx)′=- sinx ,f 3(x)= (- sinx) ′=- cosx , f 4(x)= (- cosx)′= sinx ,f 5(x)= (sinx)′= cosx = f 1 (x), f 6(x)= (cosx)′=- sinx = f 2(x), f n + 4(x) =⋯=⋯= f n (x),故可猜 f n (x)以 4 周期,有f 4n +1(x)= f 1(x)=cosx ,f 4n + 2(x)= f 2(x)=- sinx , f 4n +3(x)= f 3(x)=- cosx , f 4n +4(x)= f 4(x)= sinx , 所以 f 2 013(x)= f 503× 4+ 1(x)= f 1(x)= cosx ,故 C.6. A [ 分析 ] 两条直 平行,同旁内角互 —— 大前提,∠ A ,∠ B 是两条平行直 被第三条直 所截得的同旁内角—— 小前提,∠ A +∠ B = 180°—— .故 A 是演 推理,而B 、 D 是 推理,C 是 比推理.故 A.7. A [ 分析 ] 比直 方程求法得平面方程( - 1)×(x - 1)+ (- 2)× (y - 2)+ 1×(z -3)= 0 即 x + 2y - z - 2= 0.8. A[ 分析 ] y = a x 是增函数 个大前提是 的,进而 致 .9. C [ 分析 ] 由三角形数表能够看出其奇数行 奇数列,偶数行 偶数列, 2 009 =2× 1005- 1,所以 2 009 第 1 005 个奇数, 又前 31 个奇数行内数的个数的和 961,前 32个奇数行内数的个数的和1 024,故2 009 在第 32 个奇数行内,所以 i = 63,因 第 63 行 的第一个数 2× 962- 1= 1 923,2 009= 1923+2(m - 1),所以 m = 44,即 j =44,所以 i + j=107.→ → →→[ 分析 ] 平面上的 段 度10. V O - BCD ·OA + V O -ACD ·OB + V O -ABD ·OC + V O -ABC ·OD = 0 比到平面上就是 形的面 , 比到空 就是几何体的体 .4 3 2 11. 3πR ′= 4πR 球的体 函数的 数等于球的表面 函数2+ 3n=11 1n [分析] ∵1- ,挨次裂 ,乞降12.4 n + 1 n +2k k + 1 k +22 k k + 1k + 1 k + 2n 2+ 3n得4 n +1 n +2 .13. 3× n -1[分析 ] a 1= 3, a 2= 12, a 3=48,可知 a n = 3× 4 n -14. 14. [解答 ] (1) f(4) = 37, f(5) =61.因为 f(2)- f(1)= 7-1= 6, f(3) - f(2) = 19- 7= 2×6, f(4) - f(3) = 37- 19= 3× 6,f(5) -f(4)= 61- 37= 4× 6,⋯所以,当 n ≥ 2 ,有 f(n)- f(n - 1)=6(n - 1),所以 f(n)= [f(n)- f( n - 1)]+ [f(n - 1)- f(n - 2)] +⋯+ [ f(2)- f(1)] + f(1)= 6[(n - 1)+ (n - 2)+⋯+ 2+ 1]+ 1= 3n 2- 3n + 1.又 f(1) =1= 3× 12- 3× 1+ 1,所以 f(n) =3n 2- 3n + 1.1 1 1 1 1 - 1 (2) 明:当 k ≥ 2, f k = 3k 2- 3k +1<3k 2- 3k=3k.k - 1 所以 1 + 1+ f 1 +⋯+11 1- 1+ 1- 1 +⋯+ 1 - 1f 1 f 2 3 f n<1+3 2 2 3 n - 1 n= 1+1 1- 1 <1+ 1= 4.3n3 315. [解答 ] (1) f(5) = 41. (2)由 可得 f(2) - f(1)= 4= 4×1, f(3) - f(2)= 8= 4×2, f(4) - f(3)= 12= 4× 3, f(5) - f(4)= 16= 4× 4. 由上式 律,可得 f(n +1)- f(n)= 4n.因 f(n + 1)- f(n)= 4n ,所以 f(n +1)= f(n)+ 4n , 所以 f(n)= f(n - 1)+ 4(n - 1)= f(n - 2)+ 4(n - 1)+ 4(n -2)= f(n - 3)+ 4(n - 1)+ 4(n -2)+ 4(n - 3) ⋯= f(1) + 4(n - 1)+ 4(n - 2)+ 4(n -3) +⋯+ 4= 2n 2- 2n + 1.(3)当 n ≥ 2 ,1 + 1 + 1 +⋯+ 1 f 1 f2 - 1 f3 - 1 f n - 11 1 11= 1+ 2× 22- 2× 2+1- 1+2× 32- 2× 3+1- 1+⋯+2n 2- 2n +1- 111 11 = 1+2×2× 2-1 + 2×3× 3- 1 +⋯+ 2n n - 11 1 1 + 1 +⋯+ 1= 1+2× 2× 1 n n - 13×21 1 + 1 1 1 - 1= 1+2× 1- 2- +⋯+n2 3n - 1= 1+1 1-1 =3- 1.2n 2 2n【 点打破】16. [解答 ] (1) 依据新 定直接 行演算即可5- 15 -16 - 17 -18 - 19C-15=5!=-11 628.2, m = 1 , C122- 1无心 .性(2)性 ①不可以推行.反例:当 x =2存心 ,但 C②能推行,且推行形式不 :mm -1mC x + C x = C x + 1(x ∈ R ,m 是正整数 ).明以下: C x m + C xm - 1=x x -1x - 2 ⋯ x - m + 1+ x x - 1 x - 2 ⋯ x - m + 2m !m - 1 != x x - 1 x - 2 ⋯ x - m + 2 ·(x +1) =m !1mm ! ·(x + 1)[( x + 1)- 1][( x + 1)- 2]⋯ [(x + 1)- m + 1]= C x +1 .(3)需要就 x 与 m 的大小做出 区分并 行 密的 .当 x ≥ m , x , m 都是正整数, C n m 就是 合数, 然建立;当 0≤x<m , C x m =x x -1 x -2 ⋯0⋯x -m + 1= 0∈ Z , 也建立;m !当 x<0 , C x m=x x -1x - 2 ⋯ x - m + 1m !=(-1) m 1(- x +m - 1)(- x +m - 2)⋯ (- x +1)( -x) = (-1) m mm ! C -x +m-1m∵- x + m - 1>0,∴ C - x + m - 1是正整数,mm m故 C x = (- 1) C - x + m - 1∈ Z .上所述,当 x ∈ Z ,m 是正整数 , C m x ∈ Z .。
人教a版理科数学课时试题及解析(57)排列、组合b.doc
课时作业(五十七)B [第57讲排列、组合][时间:35分钟分值:80分]基础热身1.由0,123,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的顺序排成一个数列{d“},则G9 = ()A. 2 014B. 2 034C. 1 432D. 1 4302.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任意取3个,那么至少有I 个一等品的不同取法种数是()A. 1 136B. 1 600C. 2 736D. I 1203.某学校有教职工100人,其中教师80人,职员20人.现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察,则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是()A. CsoCfoB. A go A 20C. AI0C20D. CI0C204.某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目,且在同一城市投资项目不超过2个,则他不同的投资方案有()A. 6()种B. 70 种C. 100 种D. 12()种能力提升5.某校开设10门课程供学生选修,其中A, B, C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是()A. 120B. 98C. 63D. 566.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8 'I'任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有()A. 252 个B. 300 个C. 324 个D. 228 个7.2011年,哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有()A. 80 种B. 90 种C. 120 种D. 150 种8.某校高三师生为“庆元旦•迎新年”举行了一次联欢晚会,高三年级8个班中每个班的学生准备了一个节目,且节目单已排好.节目开演前又增加了3个教师的节目,其中有2个独唱节日,1个朗诵节日,如果将这3个节日插入原节目单中,要求教师的节口不排在第一个和最后一个,并且教师的2个独唱节目不连续演出,那么不同的排法有()A. 294 种B. 308 种C. 378 种D. 392 种9.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的总数为 _______ (用数字作答).10.有五名男同志去外地出差,住宿安排在三个房间内,要求甲、乙两人不住同一房间,口每个房间最多住两人,则不同的住宿安排有 _______ 种(用数字作答).11.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共冇 _______ 种.12.(13分)一次数学考试的第一大题有11道小题,其中第(1)〜(6)小题是代数题,答对一题得3分;第(7)〜(11)题是几何题,答对一题得2分.某同学第一大题对6题,且所得分数不少于木题总分的一半,问该同学有多少种答题的不同情况?难点突破13.(12分)(1)10个优秀指标名额分配给6个班级,每个班至少一个,共有多少种不同的分配方法?(2)在正方体的过任意两个顶点的所冇直线中,界面直线冇多少对?课时作业(五十七)B【基础热身】1. A |解析]千位是1的四位偶数有C|AH18,故第19个是千位数字为2的四位偶数中最小的一个,即2014.2. A [解析]方法一:将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类:“恰有1个一等品”,“恰有2个一等品”,“恰有3个一等品”,由分类计数原理C|6C H C?6C I+C J6=1136(种).方法二考虑其对立事件:“3个都是二等品”,用间接法:©o—CRl 136(种).3. D [解析]由于结果只与选出的是哪8名教师和哪两名职员有关,与顺序无关,是组合问题.分步计数,先选8名教师再选2名职员,共有C殳°C;。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(28)等差数列B
作 (二十八 )B [ 第 28 等差数列 ][ : 35 分分 : 80 分]基 身1. 数列 { a n } 随意 n ∈ N *, 足 a n + 1= a n + 3,且 a 3= 8, S 10 等于 ( )A . 155B . 160C .172D . 2402. 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ,若 a 1+ a 9+ a 11= 30,那么 S 13 的 是 ( )A .65B .70C .130D . 2603. 在等差数列 { a n } 中, a 1= 0,公差 d ≠ 0,若 a k =a 1+ a 2+ a 3+⋯+ a 7, k = ( )A .21B .22C .23D . 24 4. S n 等差数列 { a n } 的前 n 和, S 2= S 6, a 4= 1, a 5= ________.能力提高5. 已知等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ,且 足 S 3-S 2=1, 数列 { a n } 的公差 d 是 ()132A. 2 B .1C .2D . 3b n = a 3n , 数列 { b n } 的一个通 公式6. { a n } 是首 1,公差 2 的等差数列,令是( )A . b n = 3n + 2B . b n =4n + 1C .b n = 6n - 1D . b n =8n - 37.{ a n } 等差数列,公差 d =- 2, S n 其前 n 和.若 S 10=S 11, a 1= ()A .18B .20C . 22D .248. 等差数列 { a n } 的前 n 和 S n ,已知 a 1= 13,S 3= S 11,当 S n 最大 , n 的 是 ( )A .5B .6C .7D . 89. 已知数列 { a n } 于随意 p ,q ∈ N *,有 a p + a q = a p +q ,若 a 1= 1, a 36=________.910.若数列 { a n } 足1- 1= d(n ∈N * ,d 常数 ), 称数列 { a n } 和数列. 数a n + 1a n列1和数列,且x + x +⋯+ x = 200, x + x = ________.x n1220516已知数列 { a n } 足 a 1= t ,a n + 1- a n +2= 0(t ∈ N * ,n ∈N *), 数列 { a n } 的前 n 和11. 的最大 f(t), f(t)= ________.12. (13 分) 已知等差数列 { a n } 足: a 3= 7, a 5+ a 7= 26, { a n } 的前 n 和 S n .(1)求 a n 及 S n ;(2)令 b n = 21(n ∈ N * ),求数列 { b n } 的前 n 和 T n .a n - 1点打破13. (12 分) 数列 { a n } 足 a 1 =0 且1 -1=1.1- a n +1 1-a n(1)求 { a n } 的通 公式;(2)设 b n=1-an+1,记S n=n b k,证明:S n<1.n k= 1作 (二十八 )B【基 身】1. A [ 分析 ] 由 a n + 1= a n + 3,得 a n +1- a n = 3, 数列 { a n } 是公差 d = 3 的等差数列,由 a 3= 8,得 a 1+2d = 8, a 1=2,因此 S 10= 10× 2+10×9× 3= 155,故 A. 22. C [ 分析 ] 等差数列 { a n } 的公差 d ,由 a 1+ a 9+ a 11= 30,得a 1+ a 1+ 8d +a 1+ 10d = 30,即 a 1+ 6d =10,∴ S 13= 13a 1+13× 12d = 13(a 1+ 6d)= 130,故C. 27× 63. B[ 分析 ] 由已知,有a 1+ (k - 1)d = 7a 1+2 d ,把 a 1= 0 代入,得k = 22,故B.6× 54.- 1 [ 分析 ] 由 S 2= S 6,得 2a 1+ d =6a 1+ 2 d 解得 4(a 1+ 3d)+ 2d = 0,即 2a 4+ d= 0,因此 a 4 +(a 4+d)=0,即 a 5=- a 4=- 1.【能力提高】5. C[ 分析 ] 由S 3-S 2=1,得 1(3a 1+ 3d)-1(2a 1 +d)=1,解得 d = 2,故 C.3 2 3 26.C [分析 ] 由已知,得 { a n } 的通 公式 a n = 2n -1, 数列 { b n } 的前 45,11,17,23,即数列 { b n } 是首 b 1= 5,公差 6 的等差数列,它的一个通 公式 b n = 6n - 1,故 C.7. B [ 分析 ] 由 S 10= S 11,得 a 11= S 11- S 10= 0,∴ a 1= a 11+ (1-11)d = 0+ (- 10)(- 2)= 20.故 B.8.C [ 分析 ] 方法 1:S 3=S 11 得 a 4+ a 5+⋯+ a 11= 0,依据等差数列性 可得 a 7+ a 8=0,依据首 等于 13 可推知 个数列 减,进而获得 a 7>0, a 8<0 ,故 n = 7 , S n 最大.方法 2:由 S 3= S 11 可得 3a 1+ 3d = 11a 1+ 55d ,把 a 1= 13 代入得 d =- 2,故 S n = 13n -n(n -1) =- n 2+ 14n ,依据二次函数性 ,当 n =7 S n 最大.方法 3:依据 a 1= 13,S 3= S 11, 个数列的公差不等于零, 明 个数列的和先是增的, 而后 减, 依据公差不 零的等差数列的前n 和是对于 n 的二次函数, 以及 二次函数 象的 称性,当S = S ,只有 n =3+11= 7 , S 获得最大 .311 2n9. 4 [分析 ] 因 于随意p , q ∈ N *,有 a p + a q = a p +q ,因此 a n + 1- a n = a 1=1,数列{ a n } 是以 a 1= 1 首 ,公差 1的等差数列,故 a 36= 1+(36- 1)× 1= 4. 99 9 9 910. 20 [ 分析 ] 由 和数列的定 ,得 x n + 1- x n = d ,即数列 { x n } 是等差数列, x 1+ x 20= x 2+ x 19=⋯= x 10+ x 11,∴ x 1+ x 2+⋯+ x 20= 10(x 1+ x 20)= 200,故 x 5+ x 16= x 1+ x 20=20.t 2+ 2t, t 偶数 ,11.4[ 分析 ] 由已知 a n + 1- a n =- 2, 数列 { a n } 是公差 - 2 的2t + 1 , t 奇数4等差数列,数列 { a n } 的前 n 和 S n =nt +n n - 1×(-2)=- n 2+ (t + 1)n2t + 1 2t + 1 2=-n - 2+4 .2若 t 奇数,t + 1n =t + 1 t + 12 是整数, 当 , S n 有最大4;22+ 2t若 t 偶数,t +1不是整数, 当n = t 或 n = t + 1 , S n 有最大 t4.22 2t 2+2t4t 偶数 ,故 f(t)=t +1 24t 奇数 .12.[解答 ](1) 等差数 列 { a n } 的公差 d ,因a 3 = 7 , a 5 + a 7 = 26 ,因此有a 1+ 2d = 7,解得 a 1= 3, d = 2,2a 1+ 10d = 26,因此 a n =3+ 2(n - 1)= 2n + 1,n n - 12S n = 3n +× 2= n + 2n.(2)由 (1) 知 a n = 2n + 1,因此 b n = 2 1 = 11 1 1 1 1, 2= · = · -n + 1 a n - 1 2n + 1 - 1 4 n n + 1 4 n 因此 T n =1·1- 1+1-1+⋯+ 1- 14 2 2 3 n n + 1=11-1 4·n + 1n=,4 n + 1即数列 { b n } 的前 n 和 T n =n .4 n + 1【 点打破】13. [解答 ] (1) 由1 - 1 = 1,1- a n +1 1- a n即 1 是公差1 的等差数列.1-a n又 1 = 1,故 1 = n.1- a 1 1-a n 1因此 a n =1- n . (2) 明:由 (1)得b n = 1- a n +1= n + 1- n = 1 -1 , nn + 1· nnn + 1n n1 -11∴ S n =∑ b k =∑= 1- <1.k + 1k =1k =1 kn +1。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(67)数学证明
作 (六十七 )[第 67数学明 ][ : 45分分: 100分 ]基身1.在用反法明命“已知a、b、c∈ (0,2) ,求 a(2- b)、b(2- c)、c(2- a)不行能都大于 1” ,反假正确的选项是()A .假 a(2-b) 、b(2- c)、 c(2- a)都小于 1B.假 a(2- b)、 b(2- c)、 c(2- a)都大于 1C.假 a(2- b)、 b(2- c)、 c(2- a)都不大于 1D.以上都不1,△ ABC 的形状是 ()2.在△ ABC 中,已知 sinA+ cosA=2A .角三角形B.直角三角形C.角三角形D.不可以确立a+1, b+1, c+13. a, b, c 均正数,那么()b c aA .都不大于 2B.都不小于 2C.起码有一个不大于2D.起码有一个不小于24.已知 a,b 是不相等的正数, x=a+b,y=a+b,x,y的大小关系是________.2能力提高5.一个点从 A 出挨次沿中段抵达B、C、 D、 E、F、 G、 H、 I、 J 各点,最后又回到 A(如 K67 - 1 所示 ),此中: AB⊥ BC,AB∥ CD∥ EF∥ HG∥ IJ,BC∥ DE ∥ FG ∥HI ∥ JA.欲知此点所走行程,起码需要量n 条段的度,n= ()K67-1A.2 B.3 C.4 D. 56.已知ab= ad- bc,46+ 1214 +⋯+2 004 2 006=()c d8101618 2 008 2 010A.- 2 008 B .2 008C.2 010 D .- 2 0107.△ ABC 的三内角 A、B、C 的分a、b、c,且 a、b、c 成等比数列, cosA、cosB、 cosC 成等差数列,△ABC ()A .等三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形ax- 58.已知对于 x 的不等式x2-a<0 的解集 M,且 3∈ M,5?M ,数 a 的取范()55∪ (9,25]A.1,∪ (9,25)B. 1,33C. 1, 5 ∪ [9,25)D. 1,5∪ [9,25]3 3 9.若 a , b , c 是不全相等的正数, 出以下判断: ① (a - b)2+ (b - c)2+ (c - a)2≠ 0;② a>b 与 a<b 及 a = b 中起码有一个建立;③ a ≠ c , b ≠ c , a ≠ b 不可以同 建立.此中判断正确的个数是 ()A .0B .1C .2D . 3 10. 察下表: 1 2 3 43 4 5 6 74 5 6 78 9 10⋯⋯2第________行的各数之和等于 2 009 .11.如 K67-2 所示,由若干个点 成形如三角形的 形,每条(包含两个端点 )有 n(n>1, n ∈ N )个点,每个 形 的点数a n ,9 + 9 +9+⋯+9 =a 2a 3 a 3a 4 a 4a 5a 2 010a 2 011________.K67-212. 若直 ax + 2by - 2= 0(a>0,b>0)始 均分 x 2+ y 2- 4x - 2y -8= 0 的周 , 1a+ 2的最小 ________. b13. 假如函数 f(x)在区 D 上是凸函数,那么 于区 D 内的随意 x 1, x 2,⋯, x n ,都有f x 1 + f x 2 +⋯+ f x n≤ f x 1+ x 2+⋯+ x n .若 y = sinx 在区 (0, π)上是凸函数,那么在 n n△ABC 中, sinA +sinB + sinC 的最大 是 ________.114. (10 分)已知 a , b ,c ∈ (0,1).求 : (1- a)b , (1- b)c , (1- c)a 不可以同 大于 4.15. (13 分) 比 n n +1 与 (n + 1)n (n ∈ N *) 的大小.当 n =1 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< );当 n=2 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< );当 n =3 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< );当 n =4 ,有 n n +1________(n + 1)n ( 填>、=或< ).猜想一个一般性 ,并加以 明.难点打破*131222 16. (12 分 )数列 { a n}( n∈N )中, a1= 0, a n+1是函数 f n( x)= x - (3a n+ n)x + 3n a n x 的32极小值点,求通项a n.作 (六十七 )【基 身】1. B[ 分析 ] “不行能都大于1”的否认是“都大于 1”,故 B.1212.C[分析 ] 由 sinA +cosA = 2,得,(sinA + cosA) = 1+ 2sinAcosA =4,∴ sinAcosA<0.π∵ A ∈ (0, π),∴ sinA>0,cosA<0,∴ A ∈ , π.故 C.21+b + 1+ c +1≥ 6,故 D.3. D [ 分析 ] 因 a + bc a4. x<y[ 分析 ] x 2- y 2=a +b + 2ab- (a + b)2- a + b - 2 ab - a - b 2.∵ a ,b 是不相等的正数, ∴ a ≠ b ,∴ (a - b)2>0,= 2 =2- a - b2∴<0,∴ x 2<y 2.又∵ x>0, y>0,∴ x<y. 2 【能力提高】 5. B[分析 ] 只要 量 AB , BC , GH 3 条 段的 .4 612 142 004 2 0066.A [分析 ] ∵ 8 10 =- 8, 16 18=-8,⋯,2 008 2 010=- 8,区 [4,2010] 中共有 1 004 个偶数,若每四个偶数 一 ,共有 251 ,∴ 46 +12 14 +⋯+ 2 004 2 006= ( - 8)+ (- 8)+⋯+ (- 8=- 8× 2518 1016 182 0082 010251个=- 2 008,故 A.7. A[分析 ] ∵cosA , cosB ,cosC 成等差数列,A +C A - C ∴ 2cosB = cosA +cosC = 2cos 2 cos 2B A -C = 2sin 2cos 2 ,2∴ cos(A - C)= 2cos2A -C- 1=2cos B- 1.①22Bsin 2∵ a , b , c 成等比数列,∴ b 2= ac ,∴ sin 2B = sinAsinC ,2∴ 2sin B = cos(A -C)+ cosB ,∴ cos(A - C)= 2sin 2B - cosB ,② 将①代入②整理得:(2cosB - 1)(cosB -3)(cosB + 1)= 0.∵ 0<B<π,∴ cosB = 1,2π∴ B = ,∴ cos(A - C)= 1,3∵- π<A - C<π,∴ A = C ,∴ A =B = C = π3,进而△ ABC 等 三角形,故 A.3a - 53∈M , 9- a<0,a>9或a<5, ? a ∈ 1,58.B [分析 ] (1) 当 a ≠ 25 ,??335?M5a -5≥ 01≤ a<2525- a∪(9,25) .25x - 51, 3∈M 且 5?(2)当 a = 25 ,不等式2<0 ,解之得M = (-∞,- 5)∪, 5 x - 25 5M ,∴ a = 25 知足条件,综上可得 a ∈5∪ (9,25] .1, 39. C [ 分析 ] ①②正确;③中 a ≠ c , b ≠ c , a ≠ b 可能同时建立,如 a =1, b = 2, c =3.选 C.n 行的各数之和为 (2n - 1)2,2n - 1= 2 009,n = 1 005.10.1 005 [ 分析 ] 由题意概括出第 11.2 009[ 分析 ] a n = 3(n - 1), a n a n +1 =9n( n - 1),裂项乞降即可.2 0101+ 2= (a +b) 1+ 212.3+ 22 [ 分析 ] 由题知直线经过圆心 (2,1) ,则有 a + b = 1,所以 aba b= 3+ba +2ab ≥ 3+ 2 2.3 3A +B + Cπ 3313. 2[ 分析 ] sinA + sinB + sinC ≤ 3sin3= 3sin 3= 2.14. [解答 ] 证明:假定三式同时大于1,4 即 (1- a)b>1, (1- b)c>1, (1- c)a>1,4 4 4三式同向相乘,得 (1- a)a(1- b)b(1- c)c>641.① 又 (1- a)a ≤ 1- a + a 2=1,241 1(1- b)b ≤,(1- c)c ≤ .4 4所以 (1- a)a(1-b) b(1 -c)c ≤ 1,64与①式矛盾,即假定不建立,故结论正确. 15.[解答 ] < < > >结论:当 n ≥ 3 时, n n +1 n *>(n +1) (n ∈ N )恒建立.证明:①当 n =3 时, 34= 81>64= 43 建立;②假定当 n = k(k ≥ 3)时建立,即 k +1k建立,即 k >( k + 1) k +1 kk + 1 k >1,则当 n = k + 1 时,k + 2 k + 1 kk +1 ∵ k + 1 + +1 = kk >1, k + 1= (k + 1) · k 1>(k + 1) · k k + 2 k + 2 k + 1 k + 1∴ (k + 1)k + 2>(k + 2)k +1,即当 n = k + 1 时也建立.∴当 n ≥ 3 时, n n +1>(n + 1)n (n ∈ N *) 恒建立. 【难点打破】16. [思路 ] 先求导,再分类议论求出a n+1的关系式,最后运用“概括 ——猜想—— 证明”的思想求通项 a n .2 22 2[解答 ] 易知 f ′ n (x)= x - (3a n + n )x + 3n a n = (x - 3a n )(x - n ),令 f ′ n (x)= 0,得 x = 3a n 或 x =n 2 ,2(1)若 3a n <n ,当 x<3a n 时, f ′ n (x)>0 ,f n (x)单一递加;当 3a n <x<n 2 时, f ′ n (x)<0, f n (x)单一递减;当 x>n 2 时, f ′ n ( x)>0 ,f n (x)单一递加,故 f n (x)在 x =n 2 时,获得极小值.(2)若 3a n >n 2,仿 (1)可得, f n (x)在 x = 3a n 时获得极小值. (3)若 3a n = n 2, f ′ n (x)≥0, f n (x)无极值. 因 a 1= 0,则 3a 1<12,由 (1)知, a 2=12= 1. 因 3a 2= 3<22,由 (1)知 a 3= 22= 4,因 3a 3= 12>32,由 (2)知 a 4= 3a 3= 3× 4,因 3a 4= 36>42,由 (2)知 a 5= 3a 4= 32× 4,由此猜想:当 n≥ 3 时, a n=4× 3n - 3 .下边用数学概括法证明:当n≥ 3 时, 3a n>n2.事实上,当n=3 时,由前面的议论知结论建立.假定当 n=k(k≥ 3)时, 3a k>k2建立,则由 (2)知 a k+1=3a k>k2,进而 3a k+1-(k+1)2>3k2-(k+ 1)2= 2k(k- 2)+2k- 1>0 ,所以 3a k+1 >(k+1) 2.故当 n≥ 3 时, a n=4× 3n-3,于是由 (2)知,当 n≥ 3 时, a n+1= 3a n,而 a3= 4,n- 3所以 a n=4× 3,0 n=1 ,综上所述, a n= 1 n= 2 ,4× 3n-3 n≥ 3 .。
2013年理科全国各省市高考真题——概率与排列组合(带答案)
2013年全国各省市理科数学—概率与排列组合1、2013新课标I理T3.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(A)简单的随机抽样(B)按性别分层抽样(C)按学段分层抽样(D)系统抽样2、2013辽宁理T5.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,20,40,40,60,60,80,820,100.数据的分组一次为[)[)[)[)若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是(A)45(B)50(C)55(D)603、2013重庆理T4.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为()A、2,5B、5,5C、5,8D、8,84、2013福建理T4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A.588B.480C.450D.1205、2013安徽理T5.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(A)这种抽样方法是一种分层抽样(B )这种抽样方法是一种系统抽样(C )这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差(D )该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6、2013陕西理T4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 147、2013湖南理T2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是A .抽签法B .随机数法C .系统抽样法D .分层抽样法8、2013江西理T4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(66)合情推理与演绎推理
课时作业(六十六) [第66讲 合情推理与演绎推理][时间:45分钟 分值:100分]基础热身1. 在等差数列{a n }中,若a n >0,公差d >0,则有a 4·a 6>a 3·a 7,类比上述性质,在等比数列{b n }中,若b n >0,公比q >1,则b 4,b 5,b 7,b 8的一个不等关系是( )A .b 4+b 8>b 5+b 7B .b 4+b 8<b 5+b 7C .b 4+b 7>b 5+b 8D .b 4+b 7<b 5+b 8 2. 规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以“前进3步,然后再退2步”的规律移动.如果将此机器狗放在数轴原点,面向正方向,以1步的距离为1个单位长度移动,令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标,且P (0)=0,则下列结论中错误的是( )A .P (2 007)=403B .P (2 008)=404C .P (2 009)=403D .P (2 010)=4043. 已知命题:若数列{a n }为等差数列,且a m =a ,a n =b (m ≠n ,m 、n ∈N *),则a m +n =bn -am n -m;现已知等比数列{b n }(b n >0,n ∈N *),b m =a ,b n =b (m ≠n ,m 、n ∈N *),若类比上述结论,则可得到b m +n =( )A.m -n b m a nB.n -m b n a mC.n -m b n a mD.n -m b m a n4.有下列推理:①A ,B 为定点,动点P 满足|P A |+|PB |=2a >|AB |,则P 的轨迹为椭圆;②由a 1=1,a n =3n -1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式;③由圆x 2+y 2=r 2的面积S =πr 2,猜想出椭圆x 2a 2+y 2b2=1的面积S =πab ;④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 以上推理不是归纳推理的序号是________. (把所有你认为正确的序号都填上) 能力提升5.设f 0(x )=sin x ,f 1(x )=f 0′(x ),f 2(x )=f 1′(x ),…,f n (x )=f n -1′(x ),n ∈N ,则f 2 013(x )=( )A .sin xB .-sin xC .cos xD .-cos x6.下面几种推理过程是演绎推理的是( )A .两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A ,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,则∠A +∠B =180°B .某校高三(1)班有55人,高三(2)班有54人,高三(3)班有52人,由此得出高三所有班人数超过50人C .由平面正三角形的性质,推测空间四面体的性质D .在数列{a n }中,a 1=1,a n =12⎝⎛⎭⎫a n -1+1a n -1(n ≥2),由此归纳出{a n }的通项公式7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A (-3,4),且法向量为n =(1,-2)的直线(点法式)方程为:1×(x +3)+(-2)×(y -4)=0,化简得x -2y +11=0.类比以上方法,在空间直角坐标系中,经过点A (1,2,3)且法向量为n =(-1,-2,1)的平面的方程为( )A .x +2y -z -2=0B .x -2y -z -2=0C .x +2y +z -2=0D .x +2y +z +2=08.“因为指数函数y =a x 是增函数(大前提),而y =⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提),所以y =⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”,上面推理的错误是( ) A .大前提错导致结论错 B .小前提错导致结论错 C .推理形式错导致结论错D .大前提和小前提错都导致结论错9.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设a ij (i ,j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数,如a 42=8.若a ij =2 009,则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24 A .105 B .106 C .107 D .108 10.对于命题:若O 是线段AB 上一点,则有|OB →|·OA →+|OA →|·OB →=0. 将它类比到平面的情形是:若O 是△ABC 内一点,则有S △OBC ·OA →+S △OCA ·OB →+S △OAB ·OC →=0. 将它类比到空间的情形应该是:若O 是四面体ABCD 内一点,则有________.11.半径为r 的圆的面积S (r )=πr 2,周长C (r )=2πr ,若将r 看做(0,+∞)上的变量,则(πr 2)′=2πr ①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球,若将R 看做(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:________________②,②式可以用语言叙述为:________________.12. 在计算“11×2+12×3+…+1n (n +1)(n ∈N *)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k 项:1k (k +1)=1k -1k +1,由此得11×2=11-12,12×3=12-13,…,1n (n +1)=1n -1n +1,相加,得11×2+12×3+…+1n (n +1)=1-1n +1=nn +1.类比上述方法,请你计算“11×2×3+12×3×4+…+1n (n +1)(n +2)(n ∈N *)”,其结果为________.13.如图K66-1,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2),如此继续下去,得图(3)……试用n 表示出第n 个图形的边数a n =________.14.(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图K66-2为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数.(1)试给出f (4),f (5)的值,并求f (n )的表达式(不要求证明);(2)证明:1f (1)+1f (2)+1f (3)+…+1f (n )<43.图K66-215.(13分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图K66-3为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形.(1)求出f (5)的值;(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f (n +1)与f (n )之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式;(3)求1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1的值.图 3难点突破16.(12分)规定C mx =x ·(x -1)·…·(x -m +1)m !,其中x ∈R ,m 是正整数,且C 0x =1,这是组合数C m n (m ,n 是正整数,且m ≤n 的一种推广).(1)求C 5-15的值;(2)组合数的两个性质:①C m n =C n -m n .②C m n +C m -1n =C m n +1.是否都能推广到C mx (x ∈R ,m 是正整然)的情形?若能推广,请写出推广的形式,并给出证明;若不能,则说明理由.(3)已知组合数C m n 是正整数,证明:当x ∈Z ,m 是正整数时,C mx ∈Z .课时作业(六十六)【基础热身】1.A [解析] 在等差数列{a n }中,由于4+6=3+7时有a 4·a 6>a 3·a 7,所以在等比数列{b n }中,由于4+8=5+7,所以应有b 4+b 8>b 5+b 7或b 4+b 8<b 5+b 7.∵b 4=b 1q 3,b 5=b 1q 4,b 7=b 1q 6,b 8=b 1q 7∴(b 4+b 8)-(b 5+b 7)=(b 1q 3+b 1q 7)-(b 1q 4+b 1q 6) =b 1q 6·(q -1)-b 1q 3(q -1)=(b 1q 6-b 1q 3)(q -1) =b 1q 3(q 3-1)(q -1).∵q >1,b n >0,∴b 4+b 8>b 5+b 7.故选A.2.D [解析] 显然每5秒前进一个单位,且P (1)=1,P (2)=2,P (3)=3,P (4)=2,P (5)=1,∴P (2 007)=P (5×401+2)=401+2=403,P (2 008)=404,P (2 009)=403,P (2 010)=402,故选D.3.B [解析] 等差数列中的bn 和am 可以类比等比数列中的b n 和a m ,等差数列中的bn -am 可以类比等比数列中的b na m ,等差数列中的bn -am n -m 可以类比等比数列中的n -mb n a m .故b m +n =n -m b na m.4.①③④ [解析] ①为演绎推理,②为归纳推理,③④为类比推理. 【能力提升】5.C [解析] f 1(x )=(sin x )′=cos x , f 2(x )=(cos x )′=-sin x , f 3(x )=(-sin x )′=-cos x , f 4(x )=(-cos x )′=sin x , f 5(x )=(sin x )′=cos x =f 1(x ), f 6(x )=(cos x )′=-sin x =f 2(x ), f n +4(x )=…=…=f n (x ),故可猜测f n (x )以4为周期,有f 4n +1(x )=f 1(x )=cos x ,f 4n +2(x )=f 2(x )=-sin x , f 4n +3(x )=f 3(x )=-cos x ,f 4n +4(x )=f 4(x )=sin x , 所以f 2 013(x )=f 503×4+1(x )=f 1(x )=cos x ,故选C.6.A [解析] 两条直线平行,同旁内角互补——大前提,∠A ,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提, ∠A +∠B =180°——结论.故A 是演绎推理,而B 、D 是归纳推理,C 是类比推理.故选A.7.A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x -1)+(-2)×(y -2)+1×(z -3)=0即x +2y -z -2=0.8.A [解析] y =a x 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错.9.C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2 009=2×1005-1,所以2 009为第1 005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1 024,故2 009在第32个奇数行内,所以i =63,因为第63行的第一个数为2×962-1=1 923,2 009=1923+2(m -1),所以m =44,即j =44,所以i +j =107.10.V O -BCD ·OA →+V O -ACD ·OB →+V O -ABD ·OC →+V O -ABC ·OD →=0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积,类比到空间就是几何体的体积.11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′=4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2+3n 4(n +1)(n +2) [解析] ∵1k (k +1)(k +2)=12⎣⎡⎦⎤1k (k +1)-1(k +1)(k +2),依次裂项,求和得n 2+3n 4(n +1)(n +2). 13.3×4n -1 [解析] a 1=3,a 2=12,a 3=48,可知a n =3×4n -1. 14.[解答] (1)f (4)=37,f (5)=61.由于f (2)-f (1)=7-1=6,f (3)-f (2)=19-7=2×6,f (4)-f (3)=37-19=3×6,f (5)-f (4)=61-37=4×6,…因此,当n ≥2时,有f (n )-f (n -1)=6(n -1),所以f (n )=[f (n )-f (n -1)]+[f (n -1)-f (n -2)]+…+[f (2)-f (1)]+f (1) =6[(n -1)+(n -2)+…+2+1]+1=3n 2-3n +1. 又f (1)=1=3×12-3×1+1,所以f (n )=3n 2-3n +1.(2)证明:当k ≥2时,1f (k )=13k 2-3k +1<13k 2-3k =13⎝⎛⎭⎫1k -1-1k .所以1f (1)+1f (2)+1f (3)+…+1f (n )<1+13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1n -1-1n =1+13⎝⎛⎭⎫1-1n <1+13=43. 15.[解答] (1)f (5)=41.(2)由题图可得f (2)-f (1)=4=4×1, f (3)-f (2)=8=4×2, f (4)-f (3)=12=4×3, f (5)-f (4)=16=4×4.由上式规律,可得f (n +1)-f (n )=4n .因为f (n +1)-f (n )=4n ,所以f (n +1)=f (n )+4n , 所以f (n )=f (n -1)+4(n -1) =f (n -2)+4(n -1)+4(n -2)=f (n -3)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3) …=f (1)+4(n -1)+4(n -2)+4(n -3)+…+4 =2n 2-2n +1. (3)当n ≥2时, 1f (1)+1f (2)-1+1f (3)-1+…+1f (n )-1 =11+12×22-2×2+1-1+12×32-2×3+1-1+…+12n 2-2n +1-1 =11+12×2×(2-1)+12×3×(3-1)+…+12n (n -1)=11+12×⎣⎡⎦⎤12×1+13×2+…+1n (n -1) =1+12×⎝⎛⎭⎫1-12+12-13+…+1n -1-1n=1+12⎝⎛⎭⎫1-1n =32-12n.【难点突破】16.[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C 5-15=(-15)(-16)(-17)(-18)(-19)5!=-11 628.(2)性质①不能推广.反例:当x =2,m =1时,C 12有意义,但C 2-12无意义.性质②能推广,且推广形式不变:C m x +C m -1x =C m x +1(x ∈R ,m 是正整数).证明如下:C m x +C m -1x=x (x -1)(x -2)…(x -m +1)m !+x (x -1)(x -2)…(x -m +2)(m -1)!=x (x -1)(x -2)…(x -m +2)m !·(x +1)=1m !·(x +1)[(x +1)-1][(x +1)-2]…[(x +1)-m +1]=C m x +1. (3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证. 当x ≥m 时,x ,m 都是正整数,C m n 就是组合数,结论显然成立;当0≤x <m 时,C m x=x (x -1)(x -2)…0…(x -m +1)m !=0∈Z ,结论也成立; 当x <0时,C m x =x (x -1)(x -2)…(x -m +1)m !=(-1)m 1m !(-x +m -1)(-x +m -2)…(-x +1)(-x )=(-1)m C m-x +m -1 ∵-x +m -1>0,∴C m -x +m -1是正整数,故C m x =(-1)m C m-x +m -1∈Z .综上所述,当x ∈Z ,m 是正整数时,C m x ∈Z .。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第2课时 排列、组合
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
解法一 直接法,可以从 4 台甲型电视机中取 2 台, 再从 5 台乙型电视机中取 1 台, 或者从 4 台甲型电视机中 取 1 台, 再从 5 台乙型电视机中取 2 台, 所以共有 C2· 1+ 4 C5 C1· 2=70 种选法. 4 C5 解法二 间接法,从 9 台电视机中取 3 台有 C3种取 9 法,从甲型电视机中取 3 台有 C3种取法,从乙型电视机 4 中取 3 台有 C3种取法,这两种取法不符合条件,所以符 5 合条件的取法为 C3-C3-C3=70 种. 9 4 5
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
1.两个概念 (1)排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元素(m≤n),按照 一定顺
序排成一列
,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
一个排列.
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
(2)组合 从 n 个元素中取出 m 个元素 并成一组 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ,叫做从 n
解析 据题意知 4 个不同的商业广告可排在中间的 4 个位置上共有 A4种方法,再将 2 个公益广告排在首末 2 4 个不同的位置共有 2 种方法, 根据分步计数原理可得不同 的播放方式共有 2A4=48 种. 4
第十一章
第2课时
高考调研
高三数学(新课标版· 理)
3.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班, 每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日.不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
第十一章 第2课时
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课时作业(五十七)B[第57讲排列、组合]
[时间:35分钟分值:80分]
基础热身
1.由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的顺序排成一个数列{a n},则a19=()
A.2 014 B.2 034 C.1 432 D.1 430
2.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法种数是()
A.1 136 B.1 600 C.2 736 D.1 120
3.某学校有教职工100人,其中教师80人,职员20人.现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察,则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是() A.C280C820B.A280A820
C.A880C220D.C880C220
4.某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目,且在同一城市投资项目不超过2个,则他不同的投资方案有()
A.60种B.70种C.100种D.120种
能力提升
5.某校开设10门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是() A.120 B.98 C.63 D.56
6.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有()
A.252个B.300个
C.324个D.228个
7.2011年,哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派一名教师,则不同的分配方法有()
A.80种B.90种C.120种D.150种
8.某校高三师生为“庆元旦·迎新年”举行了一次联欢晚会,高三年级8个班中每个班的学生准备了一个节目,且节目单已排好.节目开演前又增加了3个教师的节目,其中有2个独唱节目,1个朗诵节目,如果将这3个节目插入原节目单中,要求教师的节目不排在第一个和最后一个,并且教师的2个独唱节目不连续演出,那么不同的排法有() A.294种B.308种C.378种D.392种
9.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的总数为________(用数字作答).10.有五名男同志去外地出差,住宿安排在三个房间内,要求甲、乙两人不住同一房间,且每个房间最多住两人,则不同的住宿安排有________种(用数字作答).
11.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有________种.
12.(13分)一次数学考试的第一大题有11道小题,其中第(1)~(6)小题是代数题,答对一题得3分;第(7)~(11)题是几何题,答对一题得2分.某同学第一大题对6题,且所得分数不少于本题总分的一半,问该同学有多少种答题的不同情况?
难点突破
13.(12分)(1)10个优秀指标名额分配给6个班级,每个班至少一个,共有多少种不同的分配方法?
(2)在正方体的过任意两个顶点的所有直线中,异面直线有多少对?
课时作业(五十七)B
【基础热身】
1.A [解析] 千位是1的四位偶数有C 13A 23=18,故第19个是千位数字为2的四位偶
数中最小的一个,即2 014.
2.A [解析] 方法一:将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类:“恰有1个一
等品”,“恰有2个一等品”,“恰有3个一等品”,由分类计数原理有:C 116C 24+C 216C 14+
C 316=1136(种).
方法二:考虑其对立事件:“3个都是二等品”,用间接法:C 320-C 34=1 136(种).
3.D [解析] 由于结果只与选出的是哪8名教师和哪两名职员有关,与顺序无关,是
组合问题.分步计数,先选8名教师再选2名职员,共有C 880C 220种选法.
4.D [解析] 在五个城市中的三个城市各投资一个,有方法数A 35=60,将三个项目分
为两组投资到五个城市中的两个,有方法数C 13A 25=60,故不同的投资方案有120种.
【能力提升】
5.B [解析] 分两类:(1)不包含A ,B ,C 的有C 37种选法;(2)包含A ,B ,C 的有C 27·
C 13种选法.所以共有C 37+C 27·C 13=98(种)选法,故应选B.
6.B [解析] (1)若仅仅含有数字0,则选法是C 23C 14,可以组成四位数C 23C 14A 33=12×6
=72个;
(2)若仅仅含有数字5,则选法是C 13C 24,可以组成四位数C 13C 24A 33=18×6=108个;
(3)若既含数字0,又含数字5,选法是C 13C 14,排法是若0在个位,有A 33=6种,若5
在个位,有2×A 22=4种,故可以组成四位数C 13C 14(6+4)=120个.
根据加法原理,共有72+108+120=300个. 7.D [解析] 分组法是(1,1,3),(1,2,2),共有C 15C 14C 33A 22+C 15C 24C 22A 22
=25,再分配,乘以A 33,即得总数150.
8.D [解析] 根据题意可将教师的1个朗诵节目排在学生的8个节目中的7个空中的任一个,共有7种排法,然后将教师的2个独唱节目排在9个节目中的8个空中的2个空中,
故共有C 17A 28=392种不同的排法.故选D. 9.8 [解析] 总的分法是⎝⎛⎭
⎫C 14+C 24A 22A 22=14,若仅仅甲、乙分到一个班级,则分法是A 22=2,若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到3名学生,则分法是C 12A 22=4,故总数是14-
2-4=8.
10.72 [解析] 甲、乙住在同一个房间,此时只能把另外三人分为两组,这时的方法总数是C 13A 33=18,而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配,方法数是C 15C 24C 22A 22
A 33=90,故不同的住宿安排共有90-18=72种.
11.222 [解析] 总数是C 223=253,
若有两个学校名额相同,则可能是1,2,3,4,5,6,7,9,10,11个名额,此时有10C 23=30种可能,若三个学校名额相同,即都是8个名额,则只有1种情
况,故不同的分配方法数是253-30-1=222.
12.[解答] 依题意可知本题的总分的一半是14分,某同学在11题中答对了6题,则至少答对两道代数题,至多答对4道几何题,因此有如下答题的情况:
(1)代数题恰好对2道,几何题恰好对4道,此时有C 26C 45=75种情况;
(2)代数题恰好对3道,几何题恰好对3道,此时有C 36C 35=200种情况;
(3)代数题恰好对4道,几何题恰好对2道,此时有C 46C 25=150种情况;
(4)代数题恰好对5道,几何题仅对1道,此时有C 56C 15=30种情况;
(5)代数题全对,几何题全错,此时有C 66C 05=1种情况.
由分类计数原理得所有可能的答题情况有456种.
【难点突破】
13.[解答] (1)由于是10个名额,故名额和名额之间是没有区别的,我们不妨把这10个名额在桌面上从左到右一字摆开,这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空挡,10个名额之间就出现了9个空挡,我们的目的是把这10个名额分成6份,每份至少一个,那我们只要把这9个空挡中的5个空挡上各放上一个隔板,两端的隔板外面的2部分,隔板和隔
板之间的4部分,这样就把这10个指标从左到右分成了6份,且满足每份至少一个名额,我们把从左到右的6份依次给1,2,3,4,5,6班就解决问题了.这里的在9个空挡上放5个隔板的不同方法数,就对应了符合要求的名额分配方法数.这个数不难计算,那就是从9个空挡中选出5个空挡放隔板,不同的放法种数是C59=126.
(2)方法一:连成两条异面直线需要4个点,因此在正方体8个顶点中任取4个点有C48种取法.每4个点可分共面和不共面两种情况,共面的不符合条件,去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面,故有(C48-12)种.不共面的4点可构成四面体,而每个四面体有3对异面直线,故共有3(C48-12)=174对.
方法二:一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线,计28条,任取两条有C228种情况,除去其中共面的情况:(1)6个表面,每个面上有6条线共面,共有6C26条;
(2)6个体对角面,每个面上也有6条线共面,共有6C26条;(3)从同一顶点出发有3条面对角线,任意两条线都共面,共有8C23条,
故共有异面直线C228-6C26-6C26-8C23=174对.。