第六章 非线性微分方程

是圆族.如图(b)
特别,x=0,y=0也是方程组(6.3)的解,它的轨线 就是原点O(0,0).
6.2 稳定性的基本概念
定义6.2 设 x(t;t0 , x0 ) 是系统(5.2)适合初值条件 x(t0 ) x0
的解
(1) 若 0, ( ) 0, 使得只要 x0 , 对一切
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
例6.5 判定系统 零解的稳定性.
dx

dt

y

z

2 sin
x,
dy

dt

x

2y

(sin
y

z 2 )ex ,
dz dt

x
y
z 1
z
,
dV (3) 若 dt (6.2)
在 D 上是定正(定负)的,则 x 0 是不稳定的;
用来判定稳定性的这种函数 V (x, y) 称为Liapunov函数,也称为 V
函数.
附注1
若 V (x) 定正(定负),
dV dt (6.2)
常负(常正), 但集合
x
dV dt
(6.2)

0
a0
(6.5)
6.4 由线性近似系统判定稳定性
dx f (x), f : D Rn Rn , dt
(6.10)
设 x 0 为(6.10)的解, 利用TayLor公式 可将(6.10)化为
dx Ax (x), dt
称系统(6.11)的线性近似系统为
dx Ax, dt
(6.12)
的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:
1
def

a1

0,
2
def

a1 a0
a3 0, a2
a def 1 3 a0
a3 a2
a5 a4
0,
a1
,
n
def

a0
a3 a2

a2n1 a2n2 0,
0 a1 a3
0 0 an
其中当 k n 时, ak 0.
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
第六章 非线性微分方程
6.1 自治系统与非自治系统 6.2 稳定性的基本概念 6.3 判定稳定性的 Liapanov 函数法 6.4 由线性近似系统判定稳定性
为什么要研究微分方程的定性理论?
由于大多数微分方程,即使是低阶线性方程,它的解一般也难以求 得对于非线性微分方程(组),除了极少数特殊情况之外,要想用衽初等 方法去求解,往往是不可能的.这就迫使人们去寻找其它的研究途径, 本章4.3节中所介绍的幂级数解法就是途径之一,另一种重要的途径 是利用数值计算方法通过计算机去求其近似解,这是一种很实用的方 法,我们将在后续课程中专门学习.本节即将介绍的重要方法,就是不 通过求解而直接从微分方程的系数去研究其解的主要特征和性态,这 就是所谓的定性分析方法.这种方法在利于人们掌握解的最终趋势,了 解全部解的分布特征和相互关系.在理论分析和实际应用中,定性分析 法和数值计算法两者若能相互结合、相辅相成。将会产生更好的效 果。限于篇幅，本节我们主要介绍定性分析方法中稳定性理念的初 步知识，而且局限于对自治系统进行讲解。
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).
若 V (0) 0 且当 x D /0 时, V (x) 0( 0), 则称 函数 V 在 D 上是常正(常负)的;若 V (0) 0 且当 x D /0
时, V (x) 0( 0), 则称 函数 V 在 D 上是常正(常负)的;常
常正或常负的函数统称为常号函数;定正或定负的函数统称为
定号函数. 若 V (0) 0 且在 x 0 的任意领域内均既有使 V (x) 0 的点, 也有使 V (x) 0 的点, 则称函数 V 在 D
上是变号的.
的一个平衡位置, 也称为此系统的一个奇点.
轨线只可能与奇点无限接近, 但不可能通过奇点, 否则与解的 唯一性相矛盾. 对于一给定的自治系统来说, 奇点或平衡位置是人 们关心的重要问题, 在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的, 这 也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨 论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的 的稳定性.
内除x 0 外不含有系统(6.2)的整条轨线,
则 x 0 是渐近稳定的.
附注2 若 V (x)
在 x0
的邻域内是变号函数,而
dV dt
(6.2)
定号,则 x 0 是不稳定的.
例5.2 讨论系统
dx dt

ຫໍສະໝຸດ Baidu
y,

dy
dt

x

ay(1
y)2,
的零解 x y 0 的稳定性.
t t0 恒有
x(t;t0, x0) ,
则称系统(5.2)的零解 x 0 是稳定的; (2) 若 1) x 0 是稳定的; 2) t 0, 1 0, 使得只要 x0 1, 就有
lim
t
x(t;
t0
,
x0
)

0,
则称系统(6.2)的零解 x 0 是渐近稳定的; 区域 x x 1
的积分曲线可以由x cost, y sin t的积分曲线向
下平移个单位而得到,由于的任意性,可知轨线
x2 y2 1对于着无数多条积分曲线.
为了画出方程组在相平 面上的相图,我们求得 方程组的通解为
x Acos(t )

y

A
sin(t

)
其中A,为任意常数.于是方程组的轨线就
定理 6.2 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.10)的零解是渐近稳定的;
(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.10)的零解是不稳定的.
定理 6.3 (Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程
a0n a1n1 an1 an 0
6.1.2 相平面、相轨线与相图
dx

dt dy
dt

P(x, Q(x,
y) y)
(6.3)
我们把平面xoy称为(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面 上的轨迹称为(6.3)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上 的图像称为(6.3)的相图.
容易看出,解x x(t), y y(t)在相平面中的轨线正是这 个解在(t, x, y)三维空间中的积分曲线在相平面上的投 影.由相轨线来研究方程(6.3)的通解比用积分曲线要方 便得多.
6. 1 自治系统与非自治系统
dx f (t, x), f : G (a,b) D R Rn Rn, dt
(6. 1)
dx f (x), f : D Rn Rn , dt
(6. 2)
把t理解为时间,x理解为相空间 Rn 内动点的坐标, 那末(6.1) 确定了一个向量场(速度场), (6.2)确定一个定常场.
下面通过一个例子来说明轨线与积分曲线的关系
dx dt


y

dy
dt

x
很明显方程(6.4)有一个特解x cost, y sin t, 它在三维空间(t, x, y)的积分曲线是一条螺旋 线如图(a),它经过(0,1,0),当t增大时, 螺旋线向 上盘旋. 上述积分曲线在xoy平面上的投影是 一个圆x2 y2 1,这个圆正是上述特解在xoy 上的相轨线.