配套K12高考数学二轮专题复习小题提速练六文
高考数学(理)二轮专题复习：增分练5-1-6 Word版含答案
小题提速练(六)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{y |y ＝lg x ，x ＞1}，集合B ＝{x |y ＝4－x 2}，则A ∪(∁R B )＝( ) A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)B．(2，＋∞) C ．(0,2]D ．∅解析：选A.A ＝{y |y ＞0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，∁R B ＝{x |x ＞2或x ＜－2}，∴A ∪(∁R B )＝{x |x ＜－2或x ＞0}，故选A.2．已知m ，n ∈R ，i 为虚数单位，若m －1＋n i ＝2i1＋i，则m ·n ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选A.m －1＋n i ＝2i1＋i＝1＋i ，则m －1＝1，n ＝1，所以m ·n ＝2，故选A. 3．已知log 12a ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞1,2c＝π，则( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：选D.由log 12a ＞1⇒0＜a ＜12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞1⇒b ＜0.2c＝π，c ＝log 2π＞log 22＝1，∴c ＞a＞b ，故选D.4．已知点A (3,4)，B (－3，－2)，若过点P (2,1)的直线l 与线段AB 不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≤3 B.35＜k ＜3C ．k ≥35D ．k ≥3或k ≤35解析：选B.直线PA 的斜率k 1＝4－13－2＝3，直线PB 的斜率k 2＝－2－1－3－2＝35，因此可知直线l 的斜率k 的取值范围是35＜k ＜3，故选B.5．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．240＋21πB ．208＋15πC ．240＋33πD ．196＋33π解析：选B.由三视图还原后的直观图下面是一个长、宽、高依次为10,4,5的长方体，其表面积为2(10×4＋4×5＋5×10)－6×2＝208，上面是半径为3高为2的半个圆柱，其表面积为π×32＋π×3×2＝15π，故选B.6．如图是计算S ＝1＋14＋17＋…＋137的值的一个程序框图，则图中执行框内①处，判断框中的②处应填的语句是( )A ．n ＝n ＋1，i ＞13?B ．n ＝n ＋1，i ＝13?C ．n ＝n ＋3，i ＞13?D ．n ＝n ＋3，i ＝13?解析：选C.由题意S ＝1＋14＋17＋…＋137时，恰有n ＝40，i ＝14，这时输出S ，故选C.7．在△CAB 中，P 为线段AB 上的中点，Q 为线段CP 的中点，过点Q 的直线分别交CA ，CB 于M ，N 两点，且CM →＝mCA →，CN →＝nCB →(n ＞0，m ＞0)，若n ＝35，则m ＝( )A.38B.37C.12D.13解析：选 B.由题可知CP →＝12(CB →＋CA →)，又CM →＝mCA →，CN →＝nCB →，CP →＝2CQ →，所以CQ →＝12CP →＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1nCN →＋1m CM →＝14m CM →＋14n CN →，由M ，Q ，N 三点共线，14m ＋14n ＝1，∵n ＝35，可知m ＝37，故选B.8．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，且a cos A ＝b cos B ，则三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等边三角形或直角三角形解析：选D.因为A ，B ，C 成等差数列，所以A ＋C ＝2B ，所以B ＝π3.又sin A cos A ＝sin B cosB ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B ＝C ＝π3或A ＋B ＝π2，故选D.9．设x ，y 满足约束条件M ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －y ≤2，－2≤x ＋y ≤2，在M 内任取一点P (x ，y )，则使得事件x2＋y 2≤2发生的概率为( )A.π4B.π2C ．1－π4D ．1－π2解析：选A.如图，由题意知，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在边长为22的正方形及其内部，其面积为8，事件x 2＋y 2≤2对应的图形为半径为2，圆心在坐标原点的圆及其内部，其面积为2π，故使得x 2＋y 2≤2发生的概率为P ＝2π8＝π4，故选A.10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，将f (x )的图象向右平移m 个单位得到g (x )的图象关于y 轴对称，则正数m 的最小值为( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3解析：选C.由图象可知，A ＝1，T ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1为五点作图的第二点，∴2×π6＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－cos 2x ＝g (x )，故选C.11．已知f (x )＝sin 2x ＋4t cos 2x2＋t 3－3t ，－1≤t ≤1，f (x )的最大值记为g (t )，则函数g (t )的单调递减区间为( )A ．(－∞，－1]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 解析：选C.因为f (x )＝1－cos 2x ＋2t (1＋cos x )＋t 3－3t ＝－cos 2x ＋2t cos x ＋t 3－t ＋1＝－(cos x －t )2＋t 3＋t 2－t ＋1，f (x )的最大值g (t )＝t 3＋t 2－t ＋1.对g (t )求导即得其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13，故选C.12．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球表面积为100π，且AC ⊥BC ，AC ＝3，BC ＝4，则该三棱柱的体积等于( )A ．30 3B ．15 3C ．10 3D ．5 3解析：选A.因为AC ⊥BC ，所以AB 是三角形ABC 的外接圆直径，圆心为O 1，A 1B 1是三角形A 1B 1C 1的外接圆直径，圆心为O 2，可知球心为O 1O 2的中点O ，三棱柱的高为O 1O 2.由S ＝4πR 2＝100π，可得球半径OB ＝5，在直角三角形OO 1B 中，OB 2＝O 1B 2＋⎝⎛⎭⎪⎫O 1O 22，即52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫O 1O 22，所以O 1O 2＝53，V ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3×4×53＝303，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (2)，则a 的取值范围是________．解析：由偶函数的性质得已知不等式可化为f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (2)，即f (log 2a )＋f (log 2a )≤2f (2)，所以f (log 2a )≤f (2)，∴f (|log 2a |)≤f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以|log 2a |≥2，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，4x －y －2≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的最大值为________．解析：画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，4x －y －2≤0，x ≥0，y ≥0的可行域(如图)，因为a ＞0，b ＞0，所以目标函数z ＝ax ＋by 在点A (1,2)处取得最大值4，代入得a ＋2b ＝4，又因为a ＋2b ≥22ab ，由4≥22ab ，得ab ≤2，当且仅当a ＝2b ＝2时取等号，所以ab 的最大值为2.答案：215．给出下列五个命题：①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；②△ABC 中，2A ＝2B 是sin 2A ＝sin 2B 成立的充要条件；③当x ＞0且x ≠1时，有ln x ＋1ln x ≥2；④若函数y ＝f (x －1)为R上的奇函数，则函数y ＝f (x )的图象一定关于点F (1,0)成中心对称；⑤存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ．其中错误命题的序号为________．解析：对于①，“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，错误，如a ＝3≥1，b ＝－2，但a ＋b ＝1＜2；对于②，在△ABC 中，必要条件不成立，还可能有2A ＋2B ＝π，故错误；对于③，只有x ＞1时才成立，故错误；对于④，将函数y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位可得到函数y ＝f (x )的图象，y ＝f (x )的图象关于点M (－1,0)成中心对称，故错误；对于⑤，存在正实数a ＝2，b ＝2，使得lg(2＋2)＝lg 22＝2lg 2＝lg 2＋lg 2成立，故⑤正确．答案：①②③④16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线的右支上的动点，当|MF 1|2|MF 2|最小值取8a 时双曲线的离心率的取值范围为________．解析：由双曲线的定义得|MF 1|＝|MF 2|＋2a ，所以|MF 1|2|MF 2|＝MF 2|＋2a 2|MF 2|＝4a ＋|MF 2|＋4a2|MF 2|≥4a ＋2|MF 2|×4a2|MF 2|＝8a ，当且仅当|MF 2|＝2a 时等号成立，此时|MF 1|＝4a ，|MF 2|＝2a ，在△MF 1F 2中，由|MF 1|＋|MF 2|≥2c 有4a ＋2a ≥2c ，即c a≤3，所以1＜e ≤3.答案：1＜e ≤3。
高考二轮复习数学(文)通用版：4套“12+4”限时提速练 Word版含解析
4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{2,3}D ．{0,2,4}解析：选B ∵6x ＋1∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0,1,2,5}，又B ＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i解析：选C 因为(1＋i)z ＝2i ， 所以z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i.3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－13D ．－3 解析：选A 因为a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，a ∥b ， 所以2m ＝m ＋1，解得m ＝1.4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B 由题意可得，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，又a m ＝a 41q 6＝210，所以m ＝10. 5．已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝16B ．x 2＋(y －6)2＝72 C.⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009D.⎝⎛⎭⎫x ＋832＋y 2＝1009解析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009. 6.据统计，2018年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m ，n 的等差中项为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88， 所以78＋86＋84＋88＋95＋(90＋m )＋927＝88，解得m ＝3.因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n ＝9. 所以m ，n 的等差中项为m ＋n 2＝3＋92＝6.7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为2的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )A ．2B ．2 2C ．3D.2＋1解析：选D 因为正方形的边长为2， 所以正方形的对角线长为2， 设俯视图中圆的半径为R ， 如图，可得R ＝2＋1.8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49解析：选B 第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16； 第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32； 第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40，不满足a ≤32，退出循环，输出S 的值为81. 9.函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)A ＞0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．10.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36，点E ，F 分别为棱B 1B ，C 1C 上的点(异于端点)，且EF ∥BC ，则四棱锥A 1-AEFD 的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选D 连接AF ，易知四棱锥A 1-AEFD 的体积为三棱锥F -A 1AD 和三棱锥F -A 1AE 的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则V F -A 1AD ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，V F -A 1AE ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为13a 2h ，又a 2h ＝36，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为12.11．函数f (x )＝(2x 2＋3x )e x 的图象大致是( )解析：选A 由f (x )的解析式知，f (x )只有两个零点x ＝－32与x ＝0，排除B 、D ；又f ′(x )＝(2x 2＋7x ＋3)e x ，由f ′(x )＝0知函数有两个极值点，排除C ，故选A. 12．已知函数f (x )＝ln x ＋x 与g (x )＝12ax 2＋ax －1(a ＞0)的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，23B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选D 设T (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －12ax 2－ax ＋1，由题意知，当x ＞0时，T (x )有且仅有1个零点．T ′(x )＝1x ＋1－ax －a ＝x ＋1x －a (x ＋1)＝(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫1x －a ＝(x ＋1)·1x ·(1－ax )． 因为a ＞0，x ＞0，所以T (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，如图， 当x →0时，T (x )→－∞，x →＋∞时，T (x )→－∞， 所以T ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，即ln 1a ＋1a －12a －1＋1＝0， 所以ln 1a ＋12a＝0.因为y ＝ln 1x ＋12x 在x ＞0上单调递减，所以ln 1a ＋12a ＝0在a ＞0上最多有1个零点．当a ＝12时，ln 1a ＋12a >0，当a ＝1时，ln 1a ＋12a ＝12＞0，当a ＝32时，ln 1a ＋12a＜0，当a ＝2时，ln 1a ＋12a ＜0，所以a ∈⎝⎛⎭⎫1，32. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______.解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0， 得x 2＋ax x 3＋x 2－ax －x 3＝0，即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，3x －5y ＋25≥0，x ＋4y －3≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， 作出直线3x ＋y ＝0，平移该直线， 当直线经过点A 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3x －5y ＋25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝225，所以z max ＝3×(－1)＋225＝75.答案：7515．在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线，焦点位于x 轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．解析：与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为x 23－y 2＝λ，因为双曲线焦点在x 轴上，故λ＞0，又焦点到渐近线的距离为2， 所以λ＝4，所求方程为x 212－y 24＝1.答案：x 212－y 24＝116．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26，若BE ＝2DE ，S △ADE ＝423，则sin ∠BAE sin ∠DAE＝________.解析：因为在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26， 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠ABC ＝223.又∠ABC 为锐角，所以cos ∠ABC ＝13.因为BE ＝2DE ，所以S △ABE ＝2S △ADE . 又因为S △ADE ＝423，所以S △ABD ＝4 2. 因为S △ABD ＝12×BD ×AB ×sin ∠ABC ，所以BD ＝6.由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cos ∠ABD ，可得AD ＝4 2. 因为S △ABE ＝12×AB ×AE ×sin ∠BAE ，S △DAE ＝12×AD ×AE ×sin ∠DAE ，所以sin ∠BAE sin ∠DAE＝2×ADAB ＝4 2.答案：4 2“12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x ＜ 2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x ＜ 2，∴－1≤x ＜12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ＜12.∵ln x ≤0，∴0＜x ≤1，∴B ＝{x |0＜x ≤1}， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12.3．已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23解析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数， 所以函数f (x )的值域是(0,1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－(－1)＝13.4．已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C )，其中|AB |＝2，则 AC ―→·AB ―→＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，AC ―→在AB ―→上的投影|AC ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝|AB ―→|＝2， ∴AC ―→·AB ―→＝|AC ―→||AB ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝4. 5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－3 B.32C ．3D ．4解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以B (2，－1)，故z max ＝2×2－1＝3.6．执行如图所示的程序框图，若输出的s ＝25，则判断框中可填入的条件是( )A ．i ≤4?B ．i ≥4?C ．i ≤5?D ．i ≥5?解析：选C 执行程序框图，i ＝1，s ＝100－5＝95；i ＝2，s ＝95－10＝85；i ＝3，s ＝85－15＝70；i ＝4，s ＝70－20＝50；i ＝5，s ＝50－25＝25；i ＝6，退出循环．此时输出的s ＝25.结合选项知，选C.7．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 根据题意可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π2－π3(k ∈Z)，又φ＞0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B.8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里解析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S ＝14×⎣⎡⎦⎤132×152－⎝⎛⎭⎫132＋152－14222＝84(平方里)．故选C.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6解析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6.10．已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23 B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤13，1解析：选B ∵函数f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋1＋b ＝0，∴b ＝1，函数f (x )的定义域为[－2,2]， 又函数f (x )在[－2,0]上单调递增，∴函数f (x )在[0,2]上单调递减，∵f (x －1)≤f (2x )，∴f (|x －1|)≤f (|2x |)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，|x －1|≥|2x |，解得－1≤x ≤13.11．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝81，则1a 6＋4a 8的最小值是( )A.73 B ．9 C ．1D ．3解析：选C 因为{a n }为等比数列，所以a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝81，又因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 6＋a 8＝9， 所以1a 6＋4a 8＝19(a 6＋a 8)⎝⎛⎭⎫1a 6＋4a 8＝195＋a 8a 6＋4a 6a 8≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 8a 6×4a 6a 8＝1， 当且仅当a 8a 6＝4a 6a 8，a 6＋a 8＝9，即a 6＝3，a 8＝6时等号成立，所以1a 6＋4a 8的最小值是1.12．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若 △ABC 为正三角形，则其边长为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 设线段AB 的中点为M ，则M (2k,2k 2＋1)， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)(16k 2＋16)＝4(1＋k 2)． 设C (m ，－1)，连接MC ， ∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m＝－1k ，m ＝2k 3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |， ∴|km ＋2|1＋k2＝32×4(1＋k 2)， 即2k 4＋4k 2＋21＋k 2＝23(1＋k 2)， 解得k ＝±2， ∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝2x ＋1，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以f ′(1)＝2，又因为点M (1，f (1))也在直线y ＝2x ＋1上，所以f (1)＝2×1＋1＝3，所以f (1)＋f ′(1)＝3＋2＝5.答案：514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．解析：由F (－c,0)，A (0，b )， 得直线AF 的方程为y ＝bc x ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba x 相交，联立得⎩⎨⎧y ＝bcx ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B ＝bc c －a. 由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ，所以bcc －a＝4b ，化简得3c ＝4a ， 所以离心率e ＝43.答案：4316．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．解析：记该直角三角形为△ABC ，且AC 为斜边． 法一：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 取AC 的中点O ，连接BO ， ∴BO ＝12AC ，∴AC 取得最小值即BO 取得最小值，即点B 到平面ADEF 的距离． ∵△AHD 是边长为2的正三角形， ∴点B 到平面ADEF 的距离为3， ∴AC 的最小值为2 3.法二：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 设BH ＝m (m ≥0)，CD ＝n (n ≥0)，∴AB 2＝4＋m 2，BC 2＝4＋(n －m )2，AC 2＝4＋n 2. ∵AC 为Rt △ABC 的斜边， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即4＋m 2＋4＋(n －m )2＝4＋n 2， ∴m 2－nm ＋2＝0，∴m ≠0，n ＝m 2＋2m ＝m ＋2m，∴AC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫m ＋2m 2≥4＋8＝12，当且仅当m ＝2m ，即m ＝2时等号成立， ∴AC ≥23，故AC 的最小值为2 3. 答案：2 3“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a ，b ∈R ，复数a ＋b i ＝2i1－i，则a ＋b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2解析：选C 因为a ＋b i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，所以a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.2．设集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2. 3．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32B.12C ．－32D ．－12解析：选C 因为sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝ －32， 所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1， 所以sin α＝－32. 4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．根据该统计图判断，下列结论正确的是()A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差D．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值解析：选D由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于()A.33 B.233C. 3 D．2解析：选D由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P-ABCD，如图，该四棱锥的高h＝3，底面ABCD是边长分别为2，3的矩形，所以该四棱锥的体积V＝13S四边形ABCD×h＝13×2×3×3＝2.故选D.6．在如图所示的程序框图中，如果输入a＝1，b＝1，则输出的S＝()A．7 B．20C ．22D ．54解析：选B 执行程序，a ＝1，b ＝1，S ＝0，k ＝0，k ≤4，S ＝2，a ＝2，b ＝3；k ＝2，k ≤4，S ＝7，a ＝5，b ＝8；k ＝4，k ≤4，S ＝20，a ＝13，b ＝21；k ＝6，不满足k ≤4，退出循环．则输出的S ＝20.7．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )A ．3＋6或3－ 6B ．3＋26或3－2 6C ．9或－3D ．8或－2解析：选A 由题知圆C 的圆心为C (0,3)，半径为6，取AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，在△ACD 中，|AC |＝6，∠ACD ＝60°，所以|CD |＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m |(3)2＋1＝62，解得m ＝3±6. 8．若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 解析：选B 由正切函数的图象知，直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象没有公共点时，a ＝12，所以tan x ≥2a ，即tan x ≥1，其解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z. 9．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( )A.4 0352 018B.4 0332 017C.2 0172 018D.2 0162 017解析：选B 由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，所以b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2.当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ， 所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x ＜1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5]解析：选C 法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e.由方程f (x )＝2有两个解知，当x ＜1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x ＜1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)＜0，得a ＜5，故选C.法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x ＜1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图象知，要使f (x )＝2有两个解，则 a －3<2，得a <5.11．已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|Q F |，且∠PF Q ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A.13 B.12C.33D.22解析：选C 设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，Q F 1.根据对称性，线段FF 1与线段P Q 在点O 处互相平分，所以四边形PF Q F 1是平行四边形，|F Q |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PF Q ＝60°，根据椭圆的定义得|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|Q F |，所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos 60°，化简得c 2a 2＝13， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.12．已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 24 B.⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(0,2] D ．[2，＋∞)解析：选A f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋k (2－x )x ＝(x －2)(e x －kx 2)x 3(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x ＝kx 2(x ＞0)．由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立或e x ≤kx 2(x ＞0)恒成立， 由y ＝e x (x ＞0)和y ＝kx 2(x ＞0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立． 当x ＞0时，由ex≥kx 2，得k ≤e xx2. 设g (x )＝e xx2，则k ≤g (x )min .由g ′(x )＝e x (x －2)x 3，得当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e 24.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|2a ＋b |＝22，则|b |＝________. 解析：法一：因为|2a ＋b |＝22， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又|a |＝1，所以4×1＋4×0＋b 2＝8，所以|b |＝2. 法二：如图，作出OA ―→＝2a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝2a ＋b ， 因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ，因为|a |＝1，|2a ＋b |＝22， 所以|OA ―→|＝2，|OC ―→|＝22，所以|OB ―→|＝|b |＝2.法三：因为a ⊥b ，所以以O 为坐标原点，以a ，b 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a |＝1，所以a ＝(1,0)，设b ＝(0，y )(y ＞0)，则2a ＋b ＝(2，y )，因为|2a ＋b |＝22，所以4＋y 2＝8，解得y ＝2，所以|b |＝2.答案：214．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x －y ＋4≥0，2x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋3y ＝0，并平移该直线，当直线经过点A (0，4)时，目标函数z ＝x ＋3y 取得最大值，且z max ＝12.答案：1215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝bcos B，则△ABC 的面积等于________． 解析：由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，得sin A cos A ＝sin Bcos B ，即tan A ＝tan B ，所以A ＝B ，即a ＝b .由cos C ＝14且c ＝3，结合余弦定理a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，得a ＝b ＝6，又sin C ＝1－cos 2 C ＝154，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3154. 答案：315416．如图，等腰三角形PAB 所在平面为α，PA ⊥PB ，AB ＝4，C ，D 分别为PA ，AB 的中点，G 为CD 的中点．平面α内经过点G 的直线l 将△PAB 分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点P ′(P ′∉平面α)．若点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段P ′H 的长度的取值范围是________．解析：在等腰三角形PAB 中，∵PA ⊥PB ，AB ＝4， ∴PA ＝PB ＝2 2.∵C ，D 分别为PA ，AB 的中点， ∴PC ＝CD ＝2且PC ⊥CD .连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上， ∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ，∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12，∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102.又P ′H ＝⎝⎛⎭⎫1022－HG 2， ∴0＜P ′H ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤0，32“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝2＋i1－i的共轭复数对应的点在复平面内位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 复数z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋3i 2＝12＋32i ，则复数z 的共轭复数为z ＝12－32i ，所以复数z 的共轭复数对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫12，－32，该点位于第四象限． 2．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≥1，N ＝{}y |y ＝1－x 2 ，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]解析：选B 由2x ≥1得x －2x ≤0，解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}； 函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( )A ．52B ．78C ．104D ．208解析：选C 依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，选C. 4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝ －2x ，则f (1)＋f (4)等于( )A.32 B ．－32C ．－1D ．1解析：选B 由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数， 又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( ) A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5， 因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5.6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 A ．07 B ．25 C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.7．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A .34 B.23C .12D.14解析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示， 故所求概率P (y ≤2x)＝12×12×11×1＝14.8．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，23，4，则其外接球的表面积为( )A ．48πB ．32πC ．20πD ．12π解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R ，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R ＝1222＋(23)2＋42＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝32π.9．已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233B.153 C ．2D.102解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，所以⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2，因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB ＝y 1－y 2 x 1－x 2·－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a 2＝ 1＋13＝233. 10．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.32B.12C ．－12D ．－32解析：选D 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32. 11．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )A .12 B.24 C .22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 12．已知函数f (x )＝x 3－3x ，则方程f [f (x )]＝1的实根的个数是( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3解析：选A 依题意得f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x>1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝f (2)＝2，f (1)＝－2，f (±3)＝f (0)＝0.在平面直角坐标系内画出直线y ＝1与函数y ＝f(x )的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，记这三个交点的横坐标由小到大依次为x 1，x 2，x 3， 则－3<x 1<－1<x 2<0，3<x 3<2.再画出直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3，结合图象可知，直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3与函数y＝f (x )的图象的交点个数均为3，且这些交点的横坐标各不相同，所以方程f [f (x )]＝1的实根个数是9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________. 解析：因为当x <0时，f (x )＝2x ，令x >0，则－x <0，故f (－x )＝2－x ，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－2－x ，又因为log 49＝log 23>0，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1314．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________. 解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件； 由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151615．已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交准线于B ，C 两点，若△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积为1283，则抛物线的方程为________．解析：如图，可得|BF |＝2p3，则由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3，又△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x16．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n＋b n )，所以a n ＋1＋b n ＋1a n ＋b n＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n ， 将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘，得a n ＋1b n ＋1a nb n＝2，所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n＋1b n，所以c n ＝a n ＋b n a n b n＝2n2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036. 答案：4 036。
高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：小题练速度“12+4”限时提速练(一)含答案
一、小题练速度——“12＋4”限时提速练（每练习限时40分钟）“12＋4”限时提速练(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝( ) A ．[2，3] B ．(2，3)C ．[1，＋∞)D ．[1，2)∪[3，＋∞)解析：选C A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2，3)，故A ∪∁R B ＝[1，＋∞)，选C.2．已知复数z 满足z ＋i ＝1＋i i (i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i 解析：选D 由题意可得z ＝1＋i i －i ＝1＋i ＋1i ＝（2＋i ）（－i ）i （－i ）＝1－2i ，故z ＝1＋2i ，选D.3.已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 0 12 0 1 2 43 1 3 5 5 7 84 3 3 356789 5 0 1 2 2 5 6 8 6267A ．44，45，56B ．44，43，57C ．44，43，56D ．45，43，57解析：选B 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.4．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋(y ＋3)2＝16相交于A ，B 两点，则“k ＝22”是“|AB |＝43”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3＋3|1＋k 2＝61＋k 2，弦长的一半为|AB |2＝23，故d ＝42－12＝2＝61＋k2，解得k 2＝8，可得k ＝22或k ＝－22，故“k ＝22”是“|AB |＝43”的充分不必要条件，故选A.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，ω＞0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin(2×π6＋φ)＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，选C. 6.某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15，60)B ．(15，60]C ．[12，48)D ．(12，48]解析：选B 根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x 3－2＞3，13⎝⎛⎭⎫x3－2－3≤3，解得15＜x ≤60，故选B.7．已知P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2 2D ．6解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1变形可得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，a ≤x ≤a ＋1，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S ＝12(2a ＋2a ＋2)×1＝3，解得a ＝1，平移直线y ＝2x ，得z ＝2x －y 在点(2，－2)处取得最大值6，故选D.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6>0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2>0，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，所以满足条件的正整数n 为12，选B.9．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：选C 设B ⎝⎛⎭⎫x ，－ba x ，OA ⊥FB ，可知点O 在线段FB 的垂直平分线上，可得|OB |＝x 2＋⎝⎛⎭⎫－b a x 2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A ⎝⎛⎭⎫c －a 2，b 2，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意实数x ，都有f [f (x )－e x ]＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)＝( )A ．1B ．e ＋1C ．3D ．e ＋3解析：选C 设t ＝f (x )－e x ，则f (x )＝e x ＋t ，则f [f (x )－e x ]＝e ＋1等价于f (t )＝e ＋1，令x ＝t ，则f (t )＝e t ＋t ＝e ＋1，分析可知t ＝1，∴f (x )＝e x ＋1，即f (ln 2)＝e ln 2＋1＝2＋1＝3.故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.76B.73C.53D.56解析：选B 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以体积为1×1×1－13×12×1×1×1＋12×1×(1＋2)×1＝73，故选B.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c 且sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，若△ABC 的面积为24，c ＝13，则a 的值为( )A ．8B ．14 C.145 D ．12解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，∴22sin A －22cos A ＝7226，∴sin A －cos A ＝713， 与sin 2A ＋cos 2A ＝1联立可得cos 2A ＋713cos A －60169＝0，解得cos A ＝513 或cos A ＝－1213，故⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝513，或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213，∵0＜A ＜π，∴⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213舍去，由12bc sin A ＝24，得12×13×b ×1213＝24，得b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋132－2×4×13×513＝16＋169－40＝145，∴a ＝145，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k 的值是________．解析：根据题意可知，向量a －2b ＝(1，4)，又(a －2b )⊥c ，则k －8＝0，解得k ＝8. 答案：814．在区间[0，1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为________． 解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.答案：1415.如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径r ＝1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则球的半径R ＝________．解析：根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且AB ⊥O 1C ，所以OO 1＝R 2－1，因此体积较小的圆锥的高AO 1＝R －R 2－1，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋R 2－1，故AO 1BO 1＝R －R 2－1R ＋R 2－1＝13，化简得R ＝2R 2－1，即3R 2＝4，得R ＝233.答案：23316．若函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点等价于方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]内有唯一的实数解，又x ＞0，所以m ＝ln xx －1，要使方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]上有唯一的实数解，只需m ＝ln x x －1有唯一的实数解．令g (x )＝ln xx －1(x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2，由g ′(x )＞0得0＜x ＜e ，由g ′(x )＜0得x ＞e ，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，e 2]上是减函数．又g (1)＝－1，g (e)＝1e －1，g (e 2)＝2e 2－1，故－1≤m ＜2e 2－1或m＝1e－1. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，2e 2－1∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e－1。
高考数学二轮复习小题提速练6“12选择+4填空”80分练文
小题提速练(六) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·江西上饶中学月考)若集合A ＝{x |x 2－7x ＜0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈A中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 8等于( )A ．8B ．9C ．10D ．11 [答案] B3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图1中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169B.367 C ．36 D.677[答案] B4．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C5．(2016·全国卷Ⅰ)如图2，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图2A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[答案] A6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－13B ．－23C.13D.23 [答案] D7．(2015·全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )图3A ．0B ．2C ．4D ．14[答案] B8．若将一个质点随机投入如图4所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )图4A.π2B.π4C.π6D.π8[答案] B9．已知A (2,5)，B (4,1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8[答案] C10．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1－2x，则y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] A11．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图5所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于( )图5A ．2＋ 3 B. 3 C.33D ．2－ 3[答案] B12．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________．[解析] 公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－52＝4 5.[答案] 4 514．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.[解析] f ′(x )＝e x－2，可得f ′(x )＝0的根为x 0＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，可得函数在区间(－∞，ln 2)上为减函数，当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，可得函数在区间(ln 2，＋∞)上为增函数，∴函数y ＝f (x )在x ＝ln 2处取得极小值f (ln 2)＝2－2ln 2＋a ，并且这个极小值也是函数的最小值．由题设知函数y ＝f (x )的最小值要小于或等于零，即2－2ln 2＋a ≤0，可得a ≤2ln 2－2，故答案为(－∞，2ln 2－2]． [答案] (－∞，2ln 2－2)15．已知△PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90°，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于________． [解析] 如图在Rt △PAD 中，AD ＝4＋4＝22，过△PAD 的外心M 作垂直于平面PAD 的直线l ，过四边形ABCD 的外心O 作垂直于平面ABCD 的直线m ，两线交于点O ，则点O 为四棱锥P ABCD 的外接球球心，2R ＝AC ＝4＋8＝23(R 为四棱锥P ABCD 外接球的半径)，即R ＝3， ∴四棱锥P ABCD 外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π. [答案] 12π16．已知△ABC 中的内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA →＋3sin B ·GB →＋3sin C ·GC →＝0，则cos B ＝________.[解析] 设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2aGA →＋3bGB →＋3cGC →＝0，则2aGA →＋3bGB →＝－3cGC →＝－3c (－GA →－GB →)，即(2a －3c )GA →＋(3b －3c )GB →＝0，又因为GA →，GB →不共线，则2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，即2a ＝3b ＝3c ， 所以a ＝3b 2，c ＝3b3， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.[答案]112。
高考文科数学二轮复习练习小题提速练2
小题加速练 (二 )“ 12选择＋ 4 填空 ” 80分练(时间： 45 分钟 分值： 80 分 )一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．已知会合 A ＝ { x|x ≥ 4}， B ＝ { x|－ 1≤2x － 1≤ 0}，则 ( ?R A) ∩B ＝ ()A ． (4，＋ ∞)B ． 0，121， 4D ． (1,4]C. 21[由于 A ＝ { x|x ≥ 4}，因此 ?R A ＝ { x|x ＜ 4} ，又 B ＝ { x|－ 1≤2x －1≤ 0}＝ x 0≤x ≤ ，因此 (? 21A) ∩B ＝ x 0≤x ≤，应选 B.]R25＋3i对应的点在复平面的 ()2．复数 4－ iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5＋ 3i ＝＋ ＋ ＝17＋17i＝ 1＋ i ，因此该复数对应的点为 (1,1) ，应选 －＋ A [ 由于 4－ i17A.]3．已知命题 p ：x ＋ y ≥2xy ，命题 q ：在△ ABC 中，若 sin A ＞ sin B ，则 A ＞ B.则以下命题为真命题的是()A ． pB ．﹁ qC ． p ∨ qD ． p ∧ qC [当 x ， y 中起码有一个负数时， x ＋y ≥2xy 不建立，因此命题 p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．因此 p ∨ q 是真命题． ]4.已知向量 a ＝ (2，－ 1)， b ＝ ( －1,3)，则以下向量与 2a ＋ b 平行的是 () A ． (1，－ 2) B ． (1，－ 3) C. 2，2D ． (0,2)32[由于 a ＝ (2，－ 1)， b ＝ ( －1,3)，因此 2a ＋ b ＝ (3,1)，而 1×2－ 3× ＝ 0，应选 C.] 3x ≥1，y5．若 x ， y ∈ R ，且 y ≥x ， 则 z ＝ x 的最大值为 ()x －2y ＋ 3≥0，【导学号： 04024176】A ． 3B ． 21 C ． 1D. 2B [作出不等式组表示的平面地区，以下图，y的几何意义是地区内(包含界限 )的点 P(x ，xy)与原点连线的斜率，由图可知，当P 挪动到点 y获得最大值 2.]B(1,2) 时， x6．已知函数 f(x)＝sin 2x ＋π，则以下结论中正确的选项是 ()4A ．函数 f(x)的最小正周期为 2πB ．函数 f(x)的图象对于点π 对称，04πy ＝ sin 2x 的图象C ．将函数 f(x)的图象向右平移8个单位长度能够获得函数 π 5πD ．函数 f(x)在区间，上单一递加88π2，故函数 f(x)C [由题知， 函数 f(x)的最小正周期为，求得 f(x)＝π，故 A 不正确；令 x ＝ 4 2的图象不对于点 π B ；将 f(x)的图象向右平移 π， 0 对称，故清除 个单位长度，获得函数y4 8＝sin π ＋ π π 5π π π 3π2 x －84 ＝ sin 2x 的图象，应选 C ；当 x ∈ ， 时， 2x ＋ ∈ ， ，函数 f(x)8842 2单一递减，故清除 D.]7．履行图 1 中的程序框图 (此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数 )，则输出的 S 值为 ()图 1A ． 5B ． 7C ． 9D ． 12C [ 程序运转以下：(1)S ＝ 0＋[ 0 ] ＝ 0， n ＝ 0＜ 5； (2)S ＝ 0＋[1 ＝ 1， n ＝ 1＜ 5； (3) S ＝ 1]＋ [ 2]＝ 2， n ＝ 2＜5； (4)S ＝ 2＋ [ 3]＝ 3， n ＝ 3＜ 5； (5)S ＝ 3＋[ 4]＝ 5， n ＝ 4＜ 5； (6) S ＝5＋[ 5]＝ 7， n ＝5； (7)S ＝ 7＋ [ 6]＝ 9， n ＝6＞ 5，循环结束，故输出S ＝ 9.]8．某几何体的三视图如图2 所示，则该几何体的体积为()【导学号：04024177】图 24 5 A. 3 B.27 5 C.3D. 3A [由三视图知，该几何体为一个由底面同样的三棱锥与三棱柱构成的组合体，其体积V＝1 1 1 4× ×2×1×1＋×2×1×1＝ .]3 2239．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有以下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？ ”其意思为 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得同样， 且甲、乙、丙、丁、戊所得挨次成等差数列， 问五人各得多少钱？ ”(钱“”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为 ()A. 5钱B.4钱43C. 3钱D. 5钱2 3B [设所成等差数列的首项为 a 1，公差为 d ，则依题意有5×4a 1＝ 4，5a 1 ＋2 d ＝ 5，解得3]a 1＋ a 1＋ d ＝ a 1＋ 2d ＋a 1＋ 3d ＋ a 1＋4d ，1d ＝－ 6.10．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 a ，b ，c 成等比数列．若 sin Asin C221 )＋ sin C － sin A ＝ sin Bsin C ，则 sin A ＝(213 A. 4B.41115C. 4D. 4D[由已知得2 221 22 2 1 bc ，因此 cos A ＝ 1 ，因此 sin A b ＝ ac ，ac ＋ c － a ＝ bc ，因此 b ＋ c－ a ＝422＝15 4 .]22x y11．过双曲线 C ：a 2 － b 2 ＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的左焦点 F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点 A.若 |OF |＝ |OA |(O 为坐标原点 )，则 C 的离心率 e 为 ( )【导学号： 04024178】A. 2 B ． 2 C. 5D ． 5C [不如设一条渐近线为bx，作 FA ⊥ l 于点 B(图略 )，由于 |OF|＝ |OA|，因此 B 为线l ： y ＝ a段 FA 的中点．设双曲线的右焦点为 F ′，连结 F ′A ，由于 O 为线段 FF ′的中点，因此 F ′A ⊥abFA.易得直线 FA ，F ′A 的方程分别为 y ＝－ b (x ＋ c) ，y ＝ a (x － c)，解方程组可得点 A 的坐标为2 22ab2222 2b － a，－.由于该点在双曲线C 上，因此b － a－4a b22 2cc2 22c 2 ＝ 1，联合 c＝ a ＋b ，整a cb22c理得 5a ＝ c ，即5a ＝ c ，因此 e ＝a ＝ 5.]π12．如图 3 所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ A ＝ ，AC ＝ 1， BC 边在 x 轴上，有一个半径为21 的圆 P 沿 x 轴向△ ABC 转动，并沿△ ABC 的表面滚过，则圆心 P 的大概轨迹是 (虚线为各段弧所在圆的半径 )()图 3D [当圆在点 B 的左边转动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段 AB 上转动时，圆心 P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点 A 接触而且绕过点 A 时，圆心 P 的轨迹是以点A 为圆心， 1 为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点 C 右边转动时，与在线段AB 上和点 B的左边转动时的状况同样．联合各选项中的曲线知，选项D 正确．]二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13．如图 4 所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(此中 m为数字 0～ 9 中的一个 )，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的均匀数分别为 a 1 ， a 2，则 a 1， a 2 的大小关系是 ________．图 4[分析 ]由题意可知 a 1＝ 80＋1＋5＋5＋ 4＋ 5＝ 84， a 2＝ 80＋4＋4＋6＋ 4＋ 7＝ 85，因此 a 255＞a 1 .[答案 ]a 2＞a 1x ＋ y＝ 1 与 x 轴、 y 轴分别订交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的内切圆14．若直线 l ： 4 3的方程为 ________．[分析 ]由题意，设圆心为 (a ，a)，则有|3a ＋4a －12|＝ a ，解得 a ＝ 1 或 a ＝ 6(舍去 )，因此所5求圆的方程为 (x －1)2＋( y －1) 2＝ 1. [答案 ](x － 1)2＋ (y － 1)2＝ 115．已知函数xC ，若曲线 C 不存在与直线1 f(x)＝ e － mx ＋ 1 的图象为曲线y ＝－ x 平行的切线， 则e实数 m 的取值范围为 ________.【导学号： 04024179】[分析 ]由已知得 f ′(x)＝e x－ m ，由曲线 C 不存在与直线 y ＝－ 1x 平行的切线， 知方程 e x － me＝－ 1无解，即方程 m ＝ e x＋ 1无解．由于 e x ＞ 0，因此 e x＋ 1＞ 1，因此 m 的取值范围是－ ∞，1eee ee.[答案 ]－∞，1e16．已知 A ， B ， C ， D 是同一球面上的四个点，此中△ABC 是正三角形， AD ⊥平面 ABC ， AD ＝4，AB ＝2 3，则该球的表面积为 ________．[分析 ]依题意，把三棱锥D -ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点 O 与A 之间的距离为球的半径(图略 )．设△ ABC 的中心为 E ，由于 AD ＝ 4， AB ＝ 2 3，△ ABC 是正三角形，因此 AE ＝ 2，OE ＝2，因此 AO ＝ 2 2，因此该球表面积S ＝ 4π× (22)2＝ 32π.[答案 ] 32π。
高三数学二轮复习 高考小题标准练(六)理 新人教版(2021年整理)
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高考小题标准练(六)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。
已知集合M=｛x｜x2-2x-3〈0},N=｛x｜x>a｝,若M⊆N,则实数a的取值范围是（）A.(—∞,—1] B。
(—∞，-1)C。
［3，+∞）D。
（3，+∞）【解析】选A。
M={x|x2-2x—3〈0}=｛x｜—1〈x〈3｝，又M⊆N，故a≤-1。
2。
如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B,则=( ）A。
i B.1+i C。
1—i D.1+2i【解析】选C.由图形可得：z1=i,z2=1+i,则==1—i。
3。
若△ABC外接圆的圆心为O,半径为4，+2+2=0,则在方向上的投影为( ）A.4 B. C.D。
1【解析】选C.如图所示，取BC的中点D,连接AD，OD,则由平面向量加法的几何意义得+=2.又由条件得+=-=，所以2=，即4=，所以A，O，D共线，所以OA⊥BC，所以CD为在方向上的投影。
因为｜|=｜|=4，所以｜|=3，所以||==.4。
对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a,据此模型来预测当x=20时,y 的估计值为（）A。
湖南高考数学二轮备考专项练习(含答案)
湖南高考数学二轮备考专项练习（含答案）数学的温习离不开多做题，下面是2021年湖南高考数学二轮备考专项练习，希望对考生有所协助。
题型一、频率散布直方图的运用例1：某校100名先生期中考试语文效果的频率散布直方图如下图，其中效果分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]。
(1)求图中a的值;(2)依据频率散布直方图，估量这100名先生语文效果的平均分;(3)假定这100名先生语文效果某些分数段的人数(x)与数学效果相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学效果在[50,90)之外的人数。
分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90) x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5破题切入点：(1)依据样本频率之和为1，求出参数a的值。
(2)依据频率散布直方图战争均值的计算公式，求出样本平均值。
(3)由直方图可计算语文效果在每分段上的频数，再依据语文和数学效果在同一段上的人数比，便可计算数学效果在[50,90)之间的人数，进而求解。
解：(1)由频率散布直方图知(2a+0.02+0.03+0.04)10=1，解得a=0.005。
(2)由频率散布直方图知这100名先生语文效果的平均分为550.00510+650.0410+750.0310+850.0210+950.00510=73(分)。
(3)由频率散布直方图知语文效果在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.00510100=5,0.0410100=40,0.0310100=30,0.0210100=20。
由题中给出的比例关系知数学效果在上述各分数段的人数依次为5,40=20,30=40,20=25。
故数学效果在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10。
题型二茎叶图的运用例2：从甲、乙两个城市区分随机抽取16台自动售货机，对其销售额停止统计，统计数据用茎叶图表示(如下图)。
[配套K12]2018版高考数学二轮复习 小题提速练2“12选择+4填空”80分练 理
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小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练(时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x ∈N |x 2－1≤0}，则(∁N B )∩A ＝( )A ．{2}B ．{0,2}C ．{－1,0,2}D ．{－1,0,1}A [因为B ＝{x ∈N |x 2－1≤0}＝{x ∈N |－1≤x ≤1}＝{0,1}，∁N B ＝{x ∈N |x ≠0且x ≠1}，又A ＝{－1,0,1,2}，所以(∁N B )∩A ＝{2}， 故选A.]2．已知复数z 满足z (1－i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为( )【导学号：07804205】A ．10B ．10C ．－10D ．±10 B [由z (1－i)＝2＋4i ，得z ＝2＋4i 1－i ＝＋＋2＝－1＋3i ，所以|z |＝|－1＋3i|＝－2＋32＝10.故选B.]3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2k,3)，且a ⊥(2a ＋b )，则实数k 的值为( )A ．－8B ．－2C ．1.5D ．7A [法一：(先坐标运算再数量积求解)因为2a ＋b ＝(2,4)＋(2k,3)＝(2＋2k,7)，又a ⊥(2a ＋b )，a ＝(1,2)，所以2＋2k ＋14＝0，解得k ＝－8.法二：(先数量积运算再坐标运算)因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a·b ＝10＋2k ＋6＝0，所以k ＝－8.故选A.]4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为( )A ．2B ．2 2 C.233D ．322C [依题意可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，b a ＝tan 30°＝33，故b 2a 2＝13，离心率为e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43＝233，选C.] 5．从1至9共9个自然数中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为( )A.23 B ．13 C.19D ．18C [1至9共9个自然数中任取七个不同的数的取法共有C 79＝9×82＝36种，因为1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选三组，则有C 34＝4，故这七个数的平均数是5的概率为436＝19，选C.]6．某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为( )图4A ．24 3B ．8 3 C.833D ．1033B [如图，该几何体是一个放倒的四棱锥S ABCD ，底面是直角梯形，面积为(2＋4)×4÷2＝12，四棱锥的高为23，所以该四棱锥的体积为13×12×23＝8 3.故选B.]7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，a ＝(cos α)cos α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)sin α，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bD [因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，故22＜sin α＜1,0＜cos α＜22，故cos α＜sin α，a ＝(cos α)cos α＞c ＝(cos α)sin α，即a ＞c ；又a ＝(cos α)cos α＜b ＝(sin α)cos α，故c ＜a ＜b ，选D.]8．如图5所示的程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m＝( )图5A．0 B．5 C．45 D．90C[该程序框图是求495与135的最大公约数，由495＝135×3＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m＝45，故选C.] 9．10．已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n，若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为( ) A．9 B．3－2 3C ．3＋2 3D ．3＋ 6C [因为等比数列{a n }的公比q ＞1，S 4＝2S 2＋1，所以a 1－q41－q＝2·a 1－q 21－q＋1，即a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－q 41－q－－q 21－q＝1，a 1＝1－q －－q 22，所以S 6＝1－q－－q22·1－q61－q＝1－q6－－q22＝q 4＋q 2＋1－－q2＝q 2－2＋q 2－＋3q 2－1＝q 2－1＋3q 2－1＋3.因为q ＞1，所以q 2－1＞0，所以q 2－1＋3q 2－1＋3≥23＋3，当且仅当q 2－1＝3q 2－1，即q 2＝1＋3时取等号，故S 6的最小值为23＋3.故选C.]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x ＞0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，e)时有3个实根，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D [由题意得f (0)＝0，g (0)＝－1，则x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的实数根， 又f (x )－g (x )＝0，所以f (x )－kx ＋1＝0，即k ＝f x ＋1x(x ≠0)． 令h (x )＝fx ＋1x ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x ＞0，故方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，e)时有3个实数根，即直线y ＝k 与h (x )的图象在x ∈(－2，e)上有3个交点．函数h (x )在(－2，e)上的图象如图7所示，可得k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.故选D.]12．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P (异于原点O )为y 轴上的一个定点，若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为( )A. 3B. 6 C ．3 D ．6A [设以AB (点B 在点A 的右侧)为直径的圆的圆心为(a,0)，半径为r (0＜r ＜a )，OP ＝b (b ＞0，且b 为常数)， 因为tan∠OPA ＝a －rb ，tan∠OPB ＝a ＋rb， 所以tan∠APB ＝tan(∠OPB －∠OPA )＝a ＋r b －a －rb 1＋a ＋r b ·a －r b＝2rbb 2＋a 2－r 2.因为以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，所以a 2＋4＝r ＋1， 即a 2＝(r ＋1)2－4，可得a 2－r 2＝2r －3，所以tan∠APB ＝2rb b 2＋a 2－r 2＝2rbb 2－3＋2r＝2b b 2－3r＋2(r 为变量，b 为常数)，又tan∠APB 的大小恒为定值，所以b 2－3＝0，即b ＝3，故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1,0)的切线方程是________．[解析] 由题意，得f ′(x )＝2x ，点P 不在曲线上， 设直线与曲线相切于点(x 0，y 0)， 则所求切线方程的斜率k ＝2x 0， 所以切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， 由(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上， 得y 0＝x 20，将(x 0，x 20)代入切线方程得x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，所以所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0. [答案] y ＝0或4x ＋y ＋4＝014．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝2，BC ＝23，则球O 的表面积为________.【导学号：07804207】[解析] 法一：(直接法)由题意知，S ，A ，B ，C 是如图所示三棱锥S ABC 的顶点，且SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AC ＝22＋32＝4，SC ＝22＋42＝2 5.如图9所示，取AC 的中点E ，SC 的中点F ，连接EF ，EB ，BF ，FA ，则FS ＝FC ＝FA ＝12SC ＝5，BE ＝12AC＝2，FB ＝BE 2＋EF 2＝22＋12＝5，故FS ＝FC ＝FA ＝FB ，即点F 就是三棱锥的外接球的球心，且其半径为5，故球的表面积S ＝4π·(5)2＝20π.法二：(还原几何体法)由题意可知，S ，A ，B ，C 为如图所示长方体的四个顶点，连接SC ，且SA ＝AB ＝2，BC ＝23，则2R ＝SC＝SA 2＋AB 2＋BC 2＝25(设球O 的半径为R )，即R ＝5，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π. [答案] 20π15．已知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1，则x ＋yx 2＋y 2的取值范围为________． [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)．设A (1,1)，向量OA →，OP →的夹角为θ， ∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP →|＝x 2＋y 2，∴cos θ＝OA →·OP→|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋yx 2＋y 2， 由图可知∠AOC ≤θ＜∠AOB ， 即45°≤θ＜180°， ∴－1＜cos θ≤22， 即－1＜22×x ＋y x 2＋y 2≤22， ∴－2＜x ＋yx 2＋y 2≤1. [答案] (－2，1]16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n，…，n －1n，…，若S k ＝14，则a k ＝________. [解析] 因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14， 解得n ＝7， 所以a k ＝78.[答案] 78。
配套K12高考数学二轮专题复习小题提速练一文
小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.优解：设m 2＋i 1＋m i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D. 3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B ．54 C.43D ．53解析：选D.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ，所以根据一条渐近线经过点(3，－4)，可知3b ＝4a ∴b a ＝43.∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53. 5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c 通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x为增函数，y ＝2－x为减函数，所以y ＝2x －2－x为增函数，又y ＝2x－2－x为奇函数，所以选C.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.4 33π B ．12π C.33π D ．36π 解析：选D.由三视图可知该几何体为一个半圆锥，其中圆锥的底面半圆的半径为1，母线长为2，所以圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13×12π×12× 3＝36π，故选D.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－3 3πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－6 3r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B. 10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x 2，则l AM ∶y －y A ＝x A 2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM ：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x Ax －y A，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A＋x B2，x A·x B4.设lAB为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D ．2＜x 0＜ 3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x ，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故 2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________．解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，2 2)，所以直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－ 2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝5 3，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD ＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos∠ADC ＝－cos∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5.答案：5。
高考数学二轮专题复习小题提速练六文
小题提速练(六)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(1，2)D ．(1，2]解析：选C.由log 2(x －1)＜0可得log 2(x －1)＜log 21，再由函数的定义域和单调性可得0＜x －1＜1，即1＜x ＜2，从而A ＝(1，2)，A ∩B ＝A ＝(1，2)，选C.2．若复数z 满足z －i1＋i＝3＋i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由z －i1＋i＝3＋i ，可得z －i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即z ＝2＋5i ，其在复平面内所对应的点(2，5)位于第一象限．3．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π，故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分而不必要条件，选A.4．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“2x 2－3x ≤0”发生的概率为( ) A.23 B ．34 C.13D ．14解析：选B.由2x 2－3x ≤0，得0≤x ≤32，故所求概率P ＝32－02－0＝34，选B.5．cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D.解法一：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63° sin(90°＋87°)＋sin(180°＋63°)sin 87°＝cos 63°cos 87°－sin 63°sin 87°＝cos(63°＋87°)＝cos 150°＝－32. 解法二：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63°sin(180°－3°)＋sin(180°＋63°)sin(90°－3°)＝cos 63°sin 3°－sin 63°cos 3°＝sin(3°－63°)＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 6．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的顶点到渐近线的距离为125，且其一个焦点坐标为(5，0)，则双曲线Γ的方程为( )A.x 216－y 29＝1B ．x 219－y 26＝1 C.x 213－y 212＝1 D ．x 221－y 24＝1 解析：选A.双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个顶点坐标为(a ，0)，由题有|ba －a ·0|a 2＋b 2＝125，而c 2＝a 2＋b 2且c ＝5，于是ab ＝12，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，a 2＋b 2＝25，且注意到a ＞b ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.所以双曲线Γ的方程为x 216－y 29＝1.7．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝40，则输出的i 的值是( )A ．0B ．3C ．4D ．5解析：选D.运行该程序，i ＝0，n ＝40，n 不是奇数，则n ＝20，i ＝1，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝10，i ＝2，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝5，i ＝3，n ≠1；n 是奇数，则n ＝5－12＝2，i ＝4，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝1，i ＝5，此时n ＝1，循环结束．故输出的i 的值是5.8．已知椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a ＞b ＞0)的中心为坐标原点O ，一个焦点为F ，若以O 为圆心，|OF |为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：选A.由于以O 为圆心，以b 为半径的圆内切于椭圆，则根据题意可得c ≥b ，c 2≥b 2＝a 2－c 2，2c 2≥a 2，e ≥22，又0＜e ＜1，所以22≤e ＜1，故选A. 9．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．10 cm 2B ．272cm 2C.3172cm 2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋133＋612cm 2解析：选D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，其中底面是底边长为4，高为3的等腰三角形，后侧面是底边长为4，高为2的三角形，左边一个侧面是等腰三角形，还有一个侧面是非特殊三角形，所以表面积S ＝12×4×3＋12×4×2＋12×14×382＋12×5×13×6165＝10＋133＋612(cm 2)． 10．若函数f (x )＝ln x －ax 2－4x (a ≠0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，则实数a 的最大值为( )A.32B ．－32C ．－12D ．12解析：选B.解法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x －2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x(x ＞0)．①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a ，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a 上单调递增，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13，无解，故a 不存在； ②当－2＜a ＜0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a 或x ＞－4＋2a －22a， 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋2a －22a ，＋∞上单调递增， 因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13或－4＋2a －22a ≤14，所以－2＜a ≤－32；③当a ≤－2时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 综上所述，a ≤－32，即实数a 的最大值为－32.解法二：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x－2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x (x ＞0)．依题意，得f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，即2ax 2＋4x －1≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，所以a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－4x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22－4在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，因为1x ∈(3，4)，所以a ≤－32，即实数a 的最大值为－32.11．某土木工程建筑公司有A ，B 两种型号的工程车，A ，B 两种型号的工程车的载重分别为32吨和48吨，该公司承建的工程项目需要将工地的土石从甲地运到乙地．已知A ，B 两种型号的工程车每次从甲地去乙地的营运成本分别为2 000元/辆和2 500元/辆，公司拟组建一个不超过25辆车的车队，并要求B 型车不多于A 型车10辆，若车队每次运送土石不少于880吨，且使公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小，那么应配备A 型车的辆数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.设应配备A ，B 型车分别为x ，y 辆，公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本为z 元，则z ＝2 000x ＋2 500y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25，y ≤x ＋10，32x ＋48y ≥880，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，15)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫152，352，R (20，5)．作出直线4x ＋5y ＝0，平移该直线，当直线经过点P (5，15)时，z 最小．又5，15恰为整数，故应配备A 型车5辆，B 型车15辆，可以满足公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小．12．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上有A ，B 两点满足OA ⊥OB ，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为( )A.5＋12 B ． 5C.1＋32D ． 3通解：选A.显然直线OA ，OB 的斜率均存在，且不为0，过点O 向AB 作垂线，垂足为H .设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，与双曲线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝k 21a 2－k 2b 2，则x 2＝11a 2－k 2b 2，因而|OA |2＝1＋k21a 2－k 2b2，同理|OB |2＝1＋1k 21a 2－1k 2b 2＝1＋k 2k 2a 2－1b2，由|OA |×|OB |＝|AB |×|OH |及|OA |2＋|OB |2＝|AB |2可得，|OH |＝|OA ||OB ||OA |2＋|OB |2，即1|OH |2＝1|OA |2＋1|OB |2， 因而1c 2＝1a 2－k 2b 21＋k 2＋k 2a 2－1b 21＋k 2，即1c 2＝1a 2－1b 2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A.优解：设|OA |＝m ＞0，|OB |＝n ＞0，直线OA 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则直线OB 的倾斜角为π2＋α，不妨取A (m cos α，m sin α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，因为A ，B 均在双曲线上，所以m 2cos 2αa 2－m 2sin 2αb 2＝1，n 2sin 2αa 2－n 2cos 2αb 2＝1，所以1m2＋1n2＝1a 2－1b 2，又m 2＋n 2×c ＝mn ，所以1c 2＝1m 2＋1n 2＝1a 2－1b2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，n ＝(1，0)，若m ⊥(m －λn )，则实数λ＝________．解析：解法一：由m ⊥(m －λn )可得m ·(m －λn )＝0，即m 2＝λm ·n ，而m 2＝1，m·n ＝12，所以λ＝2.解法二：易知m ，n 都是单位向量，故可将其放在单位圆中，如图所示，设OM →＝m ，ON →＝λn ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，m ，n 的夹角为60°，则要使m ⊥(m －λn )，只需∠OMN ＝90°，此时λ＝2.答案：214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3ax ，x ＞1，3x ＋1，x ≤1，若f (f (1))＞4a 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知f (1)＝3＋1＝4，f (f (1))＝f (4)＝16＋12a ，若f (f (1))＞4a 2，则16＋12a ＞4a 2，即a 2－3a －4＜0，解得－1＜a ＜4，故实数a 的取值范围为(－1，4)．答案：(－1，4)15．过抛物线C：y 2＝8x 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点Q (－2，2)，则直线l 的方程为________．解析：易得抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l ：my ＝x －2，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －16＝0，其中Δ＝64m 2＋64＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，依题意得QA →＝(x 1＋2，y 1－2)，QB →＝(x 2＋2，y 2－2)，则QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(4m －2)(y 1＋y 2)＋20＝－16(m 2＋1)＋(4m －2)×8m ＋20＝4(2m －1)2，易知QA →⊥QB →，则QA →·QB →＝0，即4(2m －1)2＝0，解得m ＝12，所以直线l 的方程为2x －y －4＝0.答案：2x －y －4＝016．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则sin B sin C ＝________．解析：由题意可得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(cos A ＋2)(2cos A －1)＝0，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.由S ＝12bc sin A ＝534c ＝53，得c ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋42－2×5×4cos π3＝21⇒a ＝21，由正弦定理可得sin B ＝sin Aab ，sin C ＝sin A ac ，所以sin B sin C ＝sin 2Aa2bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×5×4＝57.答案：57。
高考数学(文)新思维二轮练习： 题型专项练 “12+4”小题综合提速练(六)
“12＋4”小题综合提速练(六)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·广州调研)设集合A ＝{x |x 2－x －6＜0，x ∈Z}，B ＝{z |z ＝|x －y |，x ∈A ，y ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2}解析：由题意可得：A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{0,1,2,3} ，则集合A ∩B ＝{0,1,2}． 答案：B 2．设复数z 满足1＋z 1＋i＝2－i ，则|1z |＝( ) A. 5 B.15 C.55D.525解析：由题意可得：1＋z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ， ∴z ＝2＋i ，|1z |＝|12＋i |＝|1||2＋i|＝55.答案：C3．(2018·昆明适应检测)若cos(α＋π4)＝13，α∈(0，π2)，则sin α的值为( ) A.4－26 B.4＋26C.718D.23解析：∵α∈(0，π2)，∴α＋π4∈(π4，3π4)， 又因为cos(α＋π4)＝13，∴sin(α＋π4)＝1－(13)2＝223，故sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋π4)－π4＝sin(α＋π4)cos π4－cos(α＋π4)sin π4＝223×22－13×22＝4－26， 故选A.答案：A4．(2018·南昌摸底检测)已知直角坐标原点O 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，F 1、F 2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝a 2－b 2没有交点”的概率为( ) A.24 B.4－24 C.22D.2－22解析：满足题意时，椭圆上的点P (a cos θ，b sin θ)到圆心O (0,0)的距离的平方： d 2＝(a cos θ－0)2＋(b sin θ－0)2＞r 2＝a 2＋b 2，整理可得b 2a 2＞sin 2θ1＋sin 2θ，∴e 2＝1－b 2a 2＜1－sin 2θ1＋sin 2θ＝11＋sin 2θ≤12， 据此有：e 2＜12，0＜e ＜22， 题中事件的概率p ＝22－02－0＝24.答案：A5．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90˚的正角．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，当其离心率e ∈[2，2]时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( ) A ．[0，π6] B ．[π6，π3] C ．[π4，π3]D ．[π3，π2]解析：由题意可得：e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2∈[2,4]，∴b 2a 2∈[1,3]， 设双曲线的渐近线与x 轴的夹角为θ， 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，则θ∈[π4，π3]，结合题中相交直线夹角的定义可得双曲线的渐近线的夹角的取值范围为[π3，π2]． 答案：D6．(2018·武汉模拟)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋2，则它的表面积是( )A ．(3132＋3)π＋22＋2 B ．(3134＋32)π＋22＋2 C.132π＋22 D.134π＋22解析：由三视图可知，该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体，其中：V 圆锥＝34×13×πa 2×3＝34πa 2，V 三棱锥＝12a 2×3×13＝12a 2. 由题意：34πa 2＋12a 2＝3π＋2，∴a ＝2，据此可知：S 底＝a 2π×34＋12×2×2＝3π＋2，S 圆锥侧＝34π×13×2＝3132π， S 棱锥侧＝12×22×11＝22， 它的表面积是(3132＋3)π＋22＋2. 答案：A7．(2018·长沙模拟)函数y ＝sin x ＋ln|x |在区间[－3,3]的图象大致为( )解析：设f(x)＝sin x＋ln|x|，当x＞0时，f(x)＝sin x＋ln x⇒f′(x)＝cos x＋1 x，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0,1)上为单调递增函数，排除B；由当x＝1时，f(1)＝sin 1＞0，排除D；因为f(－x)＝sin(－x)＋ln|－x|＝－sin x＋ln|x|≠±f(x)，所以函数f(x)为非奇非偶函数，排除C，故选A.答案：A8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是()A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了解析：若乙的说法错误，则甲丙的说法都正确，而两人的说法互相矛盾，据此可得，乙的说法是正确的，即甲被录用了．答案：C9．(2018·南宁模拟)执行如图的程序框图，若输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出的p的值为()A ．81 B.812 C.814D.818解析：依据流程图运行程序，首先初始化数值， x ＝0，y ＝1，n ＝1，进入循环体：x ＝n x ＝1，y ＝y ＋n2＝1，满足条件 y 2≥x ，执行n ＝n ＋1＝2 ，进入第二次循环，x ＝n x ＝2，y ＝y ＋n 2＝32，满足条件y 2≥x ，执行n ＝n ＋1＝3，进入第三次循环，x ＝n x＝9，y ＝y ＋n 2＝94，不满足条件y 2≥x ，输出p ＝xy ＝814.答案：C10．(2018·开封模拟)已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( ) A ．2 016×1 010－1 B ．1 009×2 017 C ．2 017×1 010－1 D ．1 009×2 016解析：由递推公式可得：当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a 2n －1}是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016) ＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2 ＝2 017×1 010－1. 答案：C11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中不正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π－π12(k ∈Z) B ．函数g (x )的最大值为2 2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x －1平行D ．方程g (x )＝2的两个不同的解分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|最小值为π2解析：由函数的最值可得A ＝2，函数的周期T ＝4×(2π3－π6)＝2π＝2πω，∴ω＝1， 当x ＝π6时，ωx ＋φ＝1×π6＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z)， 令k ＝0可得φ＝π3，函数的解析式f (x )＝2sin(x ＋π3)，则： g (x )＝f (x )＋f ′(x ) ＝2sin(x ＋π3)＋2cos(x ＋π3) ＝22sin(x ＋π3＋π4) ＝22sin(x ＋7π12)．结合函数的解析式有g ′(x )＝22cos(x ＋7π12)∈[－22，22]，而3∉[－22，22]， 选项C 错误，依据三角函数的性质考查其余选项正确． 答案：C12．(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在三个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2,2) C ．(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：很明显a ≠0，由题意可得：f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)， 则由f ′(x )＝0可得x 1＝0，x 2＝2a ，由题意得不等式：f (x 1)f (x 2)＝8a 2－12a 2＋1＜0， 即：4a 2＞1，a 2＜4，－2＜a ＜2， 综上可得a 的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上) 13．向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,2)，若向量a ，b 共线，且|a |＝2|b |，则mn 的值为________．解析：由题意可得：a ＝2b ＝(－2,4)或a ＝－2b ＝(2，－4)， 则：mn ＝(－2)×4＝－8或mn ＝2×(－4)＝－8. 答案：－814．(2018·湘东五校联考)设点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若△PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为________． 答案：6－22＜e ＜5－1215．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y －3≥0x －2y ＋2≥02x －y －2≤0，则yx 的取值范围为________．解析：画出不等式组表示的可行域如图所示，目标函数yx 表示可行域内的点(x ，y )与坐标原点(0,0)之间连线的斜率，目标函数在点A (45，75)处取得最大值74，在点B (54，12)处取得最小值25，则y x 的取值范围为[25，74]．答案：[25，74]16．在平面五边形ABCDE 中，已知∠A ＝120˚，∠B ＝90˚，∠C ＝120˚，∠E ＝90˚，AB ＝3，AE ＝3 ，当五边形ABCDE 的面积S ∈[63，93)时，则BC 的取值范围为________．答案：[3，33)。
高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：小题练速度“12+4”限时提速练(四)含答案
“12＋4”限时提速练(四)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4解析：选D 依题意，复数2i －a i1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i 2是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－2解析：选A f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a ＞0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1，故选A.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪3x ＜1，集合B ＝{y |y ＝t －2t －3}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．(3，＋∞)C ．[2，3)D ．(0，3)解析：选B 由3x ＜1，得x －3x ＞0，因而x ＞3或x ＜0，即A ＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，设m ＝t －3≥0，则t ＝m 2＋3，因而y ＝m 2＋3－2m ＝(m －1)2＋2，所以B ＝[2，＋∞)，从而A ∩B ＝(3，＋∞)，故选B.4．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 016的值为( ) A ．3 B ．1 C.13D ．32 015解析：选C 由已知，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 1a 3＝a 2，从而a 3＝3，又a 2a 4＝a 3，∴a 4＝1，同理a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，那么数列{a n }为周期数列，且周期为6，∴a 2 016＝a 6＝13，故选C.5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0.则目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫12x ×4y的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 通过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)，B ⎝⎛⎭⎫0，53，求z ＝⎝⎛⎭⎫12x×4y ＝22y －x 的最小值，可转化为求2y －x 的最小值，当x ＝y ＝0时，2y －x 取得最小值0，则z ＝⎝⎛⎭⎫12x×4y的最小值为1，故选A.6．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝2cos 2x 的图象，那么φ可以取的值为( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选C 将y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1的图象，此时y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1＝2cos 2x ，即sin[2(x ＋φ)]＝cos 2x ，因而2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，那么，由选项可知φ可以取的值为π4，故选C.7．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝ln x ＋x ＋2D ．f (x )＝x 2解析：选C 当输入f (x )＝sin x 时，由于是奇函数，因而执行输出“是奇函数”，然后结束；当输入f (x )＝e x 时，f (x )＝e x 不是奇函数，但恒为正，因而输出“非负”，然后结束；当输入f (x )＝ln x ＋x ＋2时，f (x )＝ln x ＋x ＋2既不是奇函数，又不恒为非负，因而输出该函数；而当输入f (x )＝x 2时，由于f (x )＝x 2是偶函数，且非负，因而输出“非负”．故选C.8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π3B.23 C ．π D.4π3解析：选C 由已知三视图，可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体，即如图所示的下半部分，则其体积为圆柱的一半，因而V ＝12×π×12×2＝π.故选C.9．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 过点(1，0)且与直线x －y ＋1＝0垂直．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0.圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为12， 所以S △OAB ＝12×22×12＝1.10．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.56解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.11．已知A 1，A 2分别为双曲线x 24－y 29＝1的左、右顶点，P 为双曲线上第一象限内的点，直线l ：x ＝1与x 轴交于点C ，若直线P A 1，P A 2分别交直线l 于B 1，B 2两点，且△A 1B 1C 与△A 2B 2C 的面积相等，则直线P A 1的斜率为( )A.33 B.12 C.32 D.13解析：选B 法一：由已知，显然直线P A 1的斜率存在，故可设直线P A 1的方程为y ＝k (x ＋2)，由已知k ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24－y 29＝1得(9－4k 2)y 2－36ky ＝0，易知9－4k 2≠0，因而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋8k 29－4k 2，36k 9－4k 2，所以kP A 2＝94k ，则直线P A 2的方程为y ＝94k (x －2)，直线P A 1，P A 2与直线l 分别交于B 1(1，3k )，B 2⎝⎛⎭⎫1，－94k ，因而12×3×3k ＝12×1×94k ，得k ＝12. 法二：由已知，P 为双曲线x 24－y 29＝1上的点，则kP A 1·kP A 2＝94，又直线P A 1的方程为y＝kP A 1(x ＋2)，交直线l 于B 1(1，3kP A 1)，直线P A 2的方程为y ＝kP A 2(x －2)，交直线l 于B 2(1，－kP A 2)，由于P 为第一象限内的点，因而kP A 1＞0，则12×3×3kP A 1＝12×1×kP A 2，即9k2P A 1＝kP A 1kP A 2，从而kP A 1＝12，故选B.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，若f (0)＝1，则函数f ′（x ）f （x ）的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x ，得e x f ′(x )＋e x f (x )＝2x ，∴[e x f (x )]′＝2x ，设e x f (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1， ∴f (x )＝x 2＋1e x ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2e x，∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2xx 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1， 当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x ∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 解析：将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53.答案：－5314．为了了解某校2016年高考报考体育特长生的学生体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则该校报考体育特长生的学生人数为________．解析：由频率分布直方图可得前3个小组的频率之和为1－(0.013＋0.037)×5＝0.75，又它们的频率之比为1∶2∶3，所以第2小组的频率为13×0.75＝0.25，已知第2小组的频数为12，所以该校报考体育特长生的学生人数为120.25＝48.答案：4815．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．解析：由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 20＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. 答案：4316．设f 1(x )＝21＋x ，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2，则a 2 017＝________. 解析：由题意得f 1(0)＝21＋0＝2，a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14＝122；f 2(0)＝f 1(f 1(0))＝f 1(2)＝23，a 2＝f 2（0）－1f 2（0）＋2＝－18＝－123；f 3(0)＝f 1(f 2(0))＝f 1⎝⎛⎭⎫23＝65，a 3＝f 3（0）－1f 3（0）＋2＝116＝124；同理可推出a 4＝－125，a 5＝126，a 6＝－127，…，由此可得a n ＝(－1)n ＋112n ＋1(n ∈N *)，所以a 2 017＝122 018.答案：122 018。
高考数学(文)新思维二轮练习： 题型专项练 “12+4”小题综合提速练(二)
“12＋4”小题综合提速练(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |3x 2－4x ＋1≤0}，B ＝{x |y ＝4x －3}，则A ∩B ＝( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，34 解析：求解不等式：3x 2－4x ＋1≤0可得：A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13≤x ≤1，函数y ＝4x －3有意义，则：4x －3≥0，则B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥34，据此可得：A ∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫34≤x ≤1.答案：B2．复数2i1＋i ＝( )A ．1－iB ．－1－iC ．1＋iD ．－1＋i解析：2i1＋i ＝2i (1－i )2＝1＋i ，选C.答案：C3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25＝( ) A.1452 B ．145 C.1752D ．175 解析：由题意可得：2a 11＝a 9＋a 13，∴a 13＝7， 结合等差数列前n 项和公式有：S 25＝a 1＋a 252×25＝2a 132×25＝25a 13＝25×7＝175.故选D. 答案：D4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝( )A ．4－2 3B ．23－4C ．4－4 3D ．43－4解析：由题意可得：－sin α＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即：sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π12， 结合两角和与差的正弦公式有： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π12，整理可得：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－2×tan π4－tan π61＋tan π4tan π6＝23－4.故选B. 答案：B5．(2018·漯河模拟)已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为( ) A ．2 3 B.14 C ．5D ．6解析：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，由题意可知，4(a ＋b ＋c )＝24，①2ab ＋2bc ＋2ac ＝11.②由①的平方减去②可得a 2＋b 2＋c 2＝25， 这个长方体的一条对角线长为5， 故选C. 答案：C6．执行如图所示的程序框图，如果输出S ＝49，则输入的n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：该程序框图表示的是通项为a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1的前n项和，S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1，∵输出结果为49，∴n 2n ＋1＝49，得n ＝4，故选B.答案：B7．函数y ＝e x (2x －1)的图象是( )解析：y ′＝2e x ＋e x (2x －1)＝e x (2x ＋1)，令y ′＞0，得函数y ＝e x (2x －1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上递增，令y ′＜0，得函数y ＝e x (2x －1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上递减，又∵x ＝0时，y ＝－1，∴排除B ，C ，D ，故选A.答案：A8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinπ6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.136 B.118C.112 D.19解析：设大圆的半径为R，则：R＝T2＝12×2ππ6＝6，则大圆面积为：S1＝πR2＝36π，小圆面积为：S2＝π×12×2＝2π，则满足题意的概率值为p＝2π36π＝118.故选B.答案：B9．已知△ABC的边BC的垂直平分线交BC于Q，交AC于P，若|AB→|＝1，|AC→|＝2，则AP→·BC→的值为()A．3 B.32C. 3D.32解析：因为BC 的垂直平分线交BC 于Q ，所以QP →·BC →＝0，AP →·BC →＝(AQ →＋QP →)·BC →＝AQ →·BC →＋QP →·BC →＝12(AC →＋AB →)(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝32，故选B. 答案：B10．(2018·陕西名校联考)某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断： 甲说胡老师不是上海人，是福州人； 乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师不是福州人，也不是广州人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师( ) A ．一定是南昌人 B ．一定是广州人 C ．一定是福州人D ．可能是上海人解析：若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对；若胡老师是广州人，则甲全不对，乙全不对；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙全错；若胡老师是上海人，则甲全错，乙对一半，丙全对；故选择D. 答案：D11．(2018·湖南两市九月调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.203解析：如图：过点A 作AD ⊥l 交l 于点D .由抛物线定义知：|AF |＝|AD |＝4.由点F 是AC 的中点，有|AF |＝2|MF |＝2p . 所以2p ＝4，解得p ＝2.抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，A (3,23)，F (1,0)，k AF ＝233－1＝ 3.直线AF ：y ＝3(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得：3x 2－10x ＋3＝0. x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163. 故选C. 答案：C12．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (－x )＝f (x ＋32)，f (2 014)＝2，则f (－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵函数f (x )满足f (－x )＝f (x ＋32)， 故函数f (x )为周期为3的周期函数． ∵f (2 014)＝2， ∴f (1)＝2，又∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上)13．(2018·广西三校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0x ＋y ≥0x ≤2，则x 2＋y 2的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图阴影所示，x 2＋y 2表示的几何意义是点(x ，y )到(0,0)的距离，由图可知，点A 到原点的距离最远，由⎩⎨⎧ x ＝2x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝5， x 2＋y 2＝22＋52＝29. 答案：2914．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，则B＝________.解析：由正弦定理得cos B cos C ＝－b 2a ＋c ＝－sin B2sin A ＋sin C ，化简得sin(B ＋C )＝－2cosB sin A ，即cos B ＝－12，所以在△ABC 中，B ＝2π3. 答案：2π315．(2018·吉林百校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为________． 解析：如图：∵|NF1|＝2|MF1|，∴M为NF1的中点．又OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM.又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60˚，∴双曲线的渐近线斜率为k＝tan 60˚＝3，故双曲线C的渐近线方程为y＝±3x.答案：y＝±3x.16．在等比数列{a n}中，对于任意n∈N*都有a n＋1a2n＝3n，则a1a2 (6)__________.答案：729。
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小题提速练(六)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(1，2)D ．(1，2]解析：选C.由log 2(x －1)＜0可得log 2(x －1)＜log 21，再由函数的定义域和单调性可得0＜x －1＜1，即1＜x ＜2，从而A ＝(1，2)，A ∩B ＝A ＝(1，2)，选C.2．若复数z 满足z －i1＋i＝3＋i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由z －i1＋i＝3＋i ，可得z －i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即z ＝2＋5i ，其在复平面内所对应的点(2，5)位于第一象限．3．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π，故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分而不必要条件，选A.4．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“2x 2－3x ≤0”发生的概率为( ) A.23 B ．34 C.13D ．14解析：选B.由2x 2－3x ≤0，得0≤x ≤32，故所求概率P ＝32－02－0＝34，选B.5．cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D.解法一：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63° sin(90°＋87°)＋sin(180°＋63°)sin 87°＝cos 63°cos 87°－sin 63°sin 87°＝cos(63°＋87°)＝cos 150°＝－32. 解法二：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63°sin(180°－3°)＋sin(180°＋63°)sin(90°－3°)＝cos 63°sin 3°－sin 63°cos 3°＝sin(3°－63°)＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 6．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的顶点到渐近线的距离为125，且其一个焦点坐标为(5，0)，则双曲线Γ的方程为( )A.x 216－y 29＝1B ．x 219－y 26＝1 C.x 213－y 212＝1 D ．x 221－y 24＝1 解析：选A.双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个顶点坐标为(a ，0)，由题有|ba －a ·0|a 2＋b 2＝125，而c 2＝a 2＋b 2且c ＝5，于是ab ＝12，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，a 2＋b 2＝25，且注意到a ＞b ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.所以双曲线Γ的方程为x 216－y 29＝1.7．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝40，则输出的i 的值是( )A ．0B ．3C ．4D ．5解析：选D.运行该程序，i ＝0，n ＝40，n 不是奇数，则n ＝20，i ＝1，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝10，i ＝2，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝5，i ＝3，n ≠1；n 是奇数，则n ＝5－12＝2，i ＝4，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝1，i ＝5，此时n ＝1，循环结束．故输出的i 的值是5.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的中心为坐标原点O ，一个焦点为F ，若以O 为圆心，|OF |为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：选A.由于以O 为圆心，以b 为半径的圆内切于椭圆，则根据题意可得c ≥b ，c 2≥b 2＝a 2－c 2，2c 2≥a 2，e ≥22，又0＜e ＜1，所以22≤e ＜1，故选A. 9．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．10 cm 2B ．272cm 2C.3172cm 2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋133＋612cm 2解析：选D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，其中底面是底边长为4，高为3的等腰三角形，后侧面是底边长为4，高为2的三角形，左边一个侧面是等腰三角形，还有一个侧面是非特殊三角形，所以表面积S ＝12×4×3＋12×4×2＋12×14×382＋12×5×13×6165＝10＋133＋612(cm 2)． 10．若函数f (x )＝ln x －ax 2－4x (a ≠0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，则实数a 的最大值为( )A.32B ．－32C ．－12D ．12解析：选B.解法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x －2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x(x ＞0)．①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a ，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a 上单调递增，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13，无解，故a 不存在； ②当－2＜a ＜0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a 或x ＞－4＋2a －22a， 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋2a －22a ，＋∞上单调递增， 因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13或－4＋2a －22a ≤14，所以－2＜a ≤－32；③当a ≤－2时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 综上所述，a ≤－32，即实数a 的最大值为－32.解法二：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x－2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x (x ＞0)．依题意，得f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，即2ax 2＋4x －1≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，所以a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－4x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22－4在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，因为1x ∈(3，4)，所以a ≤－32，即实数a 的最大值为－32.11．某土木工程建筑公司有A ，B 两种型号的工程车，A ，B 两种型号的工程车的载重分别为32吨和48吨，该公司承建的工程项目需要将工地的土石从甲地运到乙地．已知A ，B 两种型号的工程车每次从甲地去乙地的营运成本分别为2 000元/辆和2 500元/辆，公司拟组建一个不超过25辆车的车队，并要求B 型车不多于A 型车10辆，若车队每次运送土石不少于880吨，且使公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小，那么应配备A 型车的辆数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.设应配备A ，B 型车分别为x ，y 辆，公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本为z 元，则z ＝2 000x ＋2 500y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25，y ≤x ＋10，32x ＋48y ≥880，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，15)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫152，352，R (20，5)．作出直线4x ＋5y ＝0，平移该直线，当直线经过点P (5，15)时，z 最小．又5，15恰为整数，故应配备A 型车5辆，B 型车15辆，可以满足公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小．12．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上有A ，B 两点满足OA ⊥OB ，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为( )A.5＋12 B ． 5C.1＋32D ． 3通解：选A.显然直线OA ，OB 的斜率均存在，且不为0，过点O 向AB 作垂线，垂足为H .设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，与双曲线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝k 21a 2－k 2b 2，则x 2＝11a 2－k 2b 2，因而|OA |2＝1＋k21a 2－k 2b2，同理|OB |2＝1＋1k 21a 2－1k 2b 2＝1＋k 2k 2a 2－1b2，由|OA |×|OB |＝|AB |×|OH |及|OA |2＋|OB |2＝|AB |2可得，|OH |＝|OA ||OB ||OA |2＋|OB |2，即1|OH |2＝1|OA |2＋1|OB |2， 因而1c 2＝1a 2－k 2b 21＋k 2＋k 2a 2－1b 21＋k 2，即1c 2＝1a 2－1b 2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A.优解：设|OA |＝m ＞0，|OB |＝n ＞0，直线OA 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则直线OB 的倾斜角为π2＋α，不妨取A (m cos α，m sin α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，因为A ，B 均在双曲线上，所以m 2cos 2αa 2－m 2sin 2αb 2＝1，n 2sin 2αa 2－n 2cos 2αb 2＝1，所以1m2＋1n2＝1a 2－1b 2，又m 2＋n 2×c ＝mn ，所以1c 2＝1m 2＋1n 2＝1a 2－1b2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，n ＝(1，0)，若m ⊥(m －λn )，则实数λ＝________．解析：解法一：由m ⊥(m －λn )可得m ·(m －λn )＝0，即m 2＝λm ·n ，而m 2＝1，m·n ＝12，所以λ＝2.解法二：易知m ，n 都是单位向量，故可将其放在单位圆中，如图所示，设OM →＝m ，ON →＝λn ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，m ，n 的夹角为60°，则要使m ⊥(m －λn )，只需∠OMN ＝90°，此时λ＝2.答案：214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3ax ，x ＞1，3x ＋1，x ≤1，若f (f (1))＞4a 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知f (1)＝3＋1＝4，f (f (1))＝f (4)＝16＋12a ，若f (f (1))＞4a 2，则16＋12a ＞4a 2，即a 2－3a －4＜0，解得－1＜a ＜4，故实数a 的取值范围为(－1，4)．答案：(－1，4)15．过抛物线C：y 2＝8x 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点Q (－2，2)，则直线l 的方程为________．解析：易得抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l ：my ＝x －2，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －16＝0，其中Δ＝64m 2＋64＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，依题意得QA →＝(x 1＋2，y 1－2)，QB →＝(x 2＋2，y 2－2)，则QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(4m －2)(y 1＋y 2)＋20＝－16(m 2＋1)＋(4m －2)×8m ＋20＝4(2m －1)2，易知QA →⊥QB →，则QA →·QB →＝0，即4(2m －1)2＝0，解得m ＝12，所以直线l 的方程为2x －y －4＝0.答案：2x －y －4＝016．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则sin B sin C ＝________．解析：由题意可得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(cos A ＋2)(2cos A －1)＝0，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.由S ＝12bc sin A ＝534c ＝53，得c ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋42－2×5×4cos π3＝21⇒a ＝21，由正弦定理可得sin B ＝sin Aab ，sin C ＝sin A ac ，所以sin B sin C ＝sin 2Aa2bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×5×4＝57.答案：57。