初升高数学衔接课程——绝对值(练习)
【绝对经典】绝对值拓展练习30题含详细答案
【解析】
【分析】
先分别求出a、b的值，然后代入a+b计算即可.
【详解】
∵ ， 是2的相反数，
∴ 或 ， ，
当 时， ；
当 时， ；
综上， 的值为-1或-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义、相反数的意义及求代数式的值，熟练掌握绝对值和相反数的意义是解答本题的关键.绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系.
21．－3
【解析】
解：由|x+1|+|y﹣2|=0，得
x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2．
D、b＜c＜a，则有|c﹣b|﹣|a﹣b|=c﹣b﹣a+b=c﹣a≠|a﹣c|．故错误．
故选：A．
【点睛】
熟记数轴定义以及运用有理数的运算规则是解决本题关键.更应该理解掌握验证等式是否成立的方法，若等式成立则必须左边运算结果等于右边运算结果.
9．B
【解析】
【分析】
知识点是代数式求值及绝对值，根据a的取值范围，先去绝对值符号，再计算求值．
三、解答题
24．已知： 为实数，且 ，化简： ．
25．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4﹣1|=；表示5和﹣2两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|=|5+2|=；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a=．
18．3，6．
【解析】
分析:直接利用绝对值的性质分析得出答案.
详解:
式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，
当m=3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是：6．
2019年初升高数学衔接之数与式的运算
01数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：. 高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如，等等．一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2-【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：+＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(2a ba b-+-ba b-)÷a2ba b-+，其中高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x+++-÷--+，其中x满足x2+x﹣1＝0．【变式训练】化简：22442x xy yx y-+-÷（4x2－y2）【能力提升】已知：112a b-=，则abbababa7222+---的值等于多少？专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a22．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x34．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a65．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a 3÷a ﹣1＝a 2②（2a 3）2＝4a 5③（12ab 2）3＝16a 3b 6④2﹣5＝132⑤（a +b ）2＝a 2+b 2 A ．2道 B ．3道C ．4道D ．5道 6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．57．下列计算中，正确的是A ．24±=B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a9．下列运算正确的是（ ）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a -= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ）①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．411．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________．13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______．14．已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a 2﹣b 2＝_____． 15．已知关于x 、y 的方程组31223x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x •9y ＝___． 16．计算：（x ﹣y ）2•（y ﹣x ）3+（y ﹣x ）4•（x ﹣y ）＝_____．17．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝319．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值． 20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n 个等式，并证明该等式成立．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
绝对值应用(习题及答案)
例题示范
例 1：已知有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，化简： c cb ac ba ．
思路分析 ①看整体，定正负：
c cb ac ba
②根据绝对值法则，去绝对值，留括号：
原式= (
) (
)(
)(
)
③去括号，合并．
过程示范
解：如图，由题意，
c 0，cb 0，ac 0，ba 0，
∴原式 (c) (c b) (a c) (b a)
c c b a c b a c
巩固练习
1. 若 a a ， b b ，则 b 2a ________．
2. 若 ab ab ，则必有（ ）
A． a 0 ， b 0
B． a 0 ， b 0
C． ab ≥ 0
思考小结
1. ①正负；②括号；③合并． 2. 2 或 0 或 2
思路分析
法则；比大小．
②1； 1．1，-1．③ 2 或 0 或 2
4
D． ab ≤ 0
3. 已知有理数 a，b 在数轴上的对应点如图所示，化简：
a b a 1 2 b a ．
1
4. 已知 a＜0＜c， b b ，且 b c a ，化简： ac bc ab ．
5. 若 x 2 3 ， y 2 1，则 x y 的值为_____________． 6. 若 a 2 ， b 1 3 ，且 a b b a ，则 a+b 的值是多少？
7. 若 ab 0 ，则 a b 的值为____________． ab
8. 若 mn 0 ，则 m n 2 m n 的值为____________． m n mn
9. 已知 x 为有理数，则 x 3 x 2 的最小值为___________．
绝对值练习题及答案
绝对值练习题及答案绝对值练习题及答案绝对值是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种与数值相关的问题。
在这篇文章中，我们将探讨一些绝对值的练习题，并给出相应的答案。
通过这些练习题的训练，我们可以更好地理解和应用绝对值的概念。
一、基础练习题1. 计算以下数的绝对值：-5, 0, 7, -2, 10.答案：5, 0, 7, 2, 10.2. 求解以下方程：|x| =3.答案：x = 3 或 x = -3.3. 如果|x - 2| = 4, 求解x的可能值。
答案：x = 6 或 x = -2.4. 求解以下不等式：|2x - 3| ≤5.答案：-1 ≤ x ≤ 4.二、进阶练习题1. 已知|x - 4| = 2x + 1，求解x的值。
答案：x = -3.解析：将方程两边平方，得到(x - 4)² = (2x + 1)²，展开化简后得到x² - 10x - 15 = 0，解这个方程可以得到x = -3 或 x = 5，但是只有x = -3满足原方程。
2. 若|3x - 2| = 5x + 1，求解x的值。
答案：x = -1 或 x = 1.解析：将方程两边平方，得到(3x - 2)² = (5x + 1)²，展开化简后得到4x² + 14x -3 = 0，解这个方程可以得到x = -1 或 x = 1，均满足原方程。
三、挑战练习题1. 若|2x - 3| < 4x + 1，求解x的值。
答案：-1 < x < 2/3.解析：对于绝对值不等式，我们可以将其转化为两个不等式，即2x - 3 < 4x +1 和 2x - 3 > -(4x + 1)，解这两个不等式可以得到-1 < x < 2/3，满足原不等式。
2. 若|3x - 4| > 2x + 1，求解x的值。
答案：x < -1 或 x > 3.解析：同样地，我们将绝对值不等式转化为两个不等式，即3x - 4 > 2x + 1 或3x - 4 < -(2x + 1)，解这两个不等式可以得到x < -1 或 x > 3，满足原不等式。
初高中衔接知识点的专题强化训练
初高中衔接知识点的专题强化训练★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即||a =． [2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式：； [2]完全平方和公式：； [3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2=；=；=；=．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做a 的平方根，记作0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做a 的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1）； （2）．[2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x + （2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x+的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3）（4）例6设x y ==33x y +的值．例7 化简：（1）11xx x x x-+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1） 解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1． 解不等式327x x ++-<2． 设x y ==22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4． 设x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1)3÷(2)(4) ÷+★ 专题二 因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 1．公式法常用的乘法公式： [1]平方差公式：； [2]完全平方和公式：； [3]完全平方差公式：． [4]2()a b c ++=[5]33a b +=(立方和公式) [6] 33a b -=(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式 3．十字相乘法（1）2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵2()x p q x pq +++2()()()()x px qx pq x x p q x p x p x q =+++=+++=++， ∴2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． （2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法【例题选讲】例1 （公式法）分解因式：(1) 34381a b b -；(2) 76a ab -例2 （分组分解法）分解因式：（1）2222()()ab c d a b cd --- （2）2222428x xy y z ++-例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 2524x x +- (2) 2215x x -- (3) 226x xy y +- (4) 222()8()12x x x x +-++解：（1） 24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+ （2）15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+（3）分析：把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．解：222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(4) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+- 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 21252x x --；(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 例5 （拆项法）分解因式3234x x -+【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b -+-(2) 22484x mx mn n -+-(3) 464x +(4) 32113121x x x -+-(5) 3223428x xy x y y --+2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值．3．现给出三个多项式，1212-+x x ，13212++x x ，x x -221，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++-+=．★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠， 用配方法将其变形为：．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ0时，方程有两个不相等的实数根：； [2]当Δ0时，方程有两个相等的实数根：； [3]当Δ0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,x x x x +==说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．【例题选讲】例1 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．例2 已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例3 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．例4 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <． ∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 【巩固练习】1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12D ．922．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( ) A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ．5．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．6．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．★ 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1．平面直角坐标系[1]组成平面直角坐标系。
初高衔接课程1 绝对值、二次根式、分式运算
(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．1A 0 C |x －1||x －3|图1．1－1练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________ 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-（二）二次根式（1）0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b212x ++，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)解法二：(3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（11===，1110=，>（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，.练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1（22．3．（三）二次根式（2）例4 化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空题：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __．(5)=成立的条件是 。
初高中衔接01绝对值
课题：《初高中衔接01绝对值》一、引入新课① 初中学习了数的绝对值，例如：3|3|,0|0|,3|3|=-==。
② 对于任意数a ，其绝对值呢？为此，我们先研究绝对值的几何意义。
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
由图可知：当0>a 时，点P 到原点的距离就是a ，所以a a =||；当0=a 时，点P 到原点的距离就是0，所以0||=a ；当0<a 时，点P 到原点的距离就是a -，所以a a -=||；绝对值的代数意义：绝对值等于本身的数是 ； 绝对值等于它的相反数的数是 . 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离. 绝对值的性质：⑴ 0a ≥ ⑵ ab a b =⋅ ⑶ ||||a a b b = ⑷ 222||||a a a == 二、例题精讲例1 ① 已知24x -=，求x 的值.② 已知33x x -=-，求x 的取值范围.例2 已知5x >，化简下列各式.① 5x - ② 46x x -+- ③46x x --- ④ 46x x --- 例3 化简下列函数，并分别画出它们的图象.① y x = ② 23y x =--例4 已知a 为有理数，那么代数式|4||3||2||1|-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求这个最小值；如果没有，请说明理由.三、课堂小结P Oa ||a P a O||,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩即《初高中衔接01绝对值》作业班级 学号 姓名1. 若5=x ，则x =_________；2. 若4-=x ，则x =_________.3. 若21=-c ，则c ＝________.4. 如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；5. 已知5||=a ，3||=b ，且a b b a -=-||，那么=+b a __________.6. 若有理数y x ,满足0|112|)1(2=+-+-y x x ，则=+22y x ____________.7. 已知数轴上的三点C B A ,,分别表示有理数1,1,-a ，那么|1|+a 表示 ( )A.B A ,两点的距离B.C A ,两点的距离C.B A ,两点到原点的距离之和D.C A ,两点到原点的距离之和8. 下列叙述正确的是（ ） A .若a b =，则a b = B .若a b >，则a b >C .若a b <，则a b <D .若a b =，则a b =±9. 化简：|2||3|++-x x10. 已知C C B B A A =-=-=||,1||,||，化简||||||C B C A B A -+-++.11. 化简函数3y x =-，并分别画出它们的图象.【高考链接】例题1（08年浙江理科15题）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0,3]上的最大值为2，则t = .解法一：本小题主要考查二次函数问题。
衔接教材01 绝对值及其几何意义(解析版)
2021-2022新高一 初高中衔接辅导课程 （解析版）衔接点01 绝对值及其几何意义知识点讲解1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．经典例题解析例1 解不等式：|x |1≥ 例2 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗? 例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．实时训练1．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B1A Bx4C D xP |x －1||x －3| 图1．1－1【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率24213P C ==； 解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故13P =. 2.下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 【答案】D3．关于x 的方程()2224170x m x m --++=的两根之差的绝对值小于2，则实数m 的取值范围为____.【答案】5,2⎡⎣【解析】由题知：()()22161870m m ∆=--+≥，即2450m m --≥，解得5m ≥或1m ≤-.又因为()1221x x m +=-，21272m x x +=，所以122x x -==<，化简得2470mm --<，解得22m<， 综上52m ≤<故答案为：5,2⎡+⎣ 4．填空题：（1）若5=x ，则x =___5______；若4-=x ，则x =__4____.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝__4___；若21=-c ，则c ＝___1或3_____ 5．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． 解：当1352x时，化简结果为318x ；当132x 时，化简结果为8x ；6．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥ （2）解不等式2123x x ++-≥.解：（1）3233x x ++-≥等价于333x x ≤-⎧⎨-≥⎩或33263x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+≥⎩或3233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，解得该解集为全体实数。
专题01 绝对值-走进新高一之2022年暑假初升高数学完美衔接课(原卷版)
专题01：绝对值1、绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：②绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．③一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2、绝对值的性质①0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．②互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.③绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．3、数轴上两点之间的距离、x2，则A、B两点之间的距离为.若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x4、含绝对值的方程与函数①含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值；②绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数.例1、利用绝对值的性质化简如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且，那么等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解答】C【解析】由已知可得，不妨设，∵，∴a－c与b－c互为相反数，即a－c＝－（b－c），a＋b＝2c，，∴，∵，∴b－c与d－b相等，即b－c＝d－b，2b＝c＋d，∵，∴，∴，∴，同理，若设，可得，∴C选项正确.例2、化简求最值已知实数x、y、z满足，则代数式的最大值是.【解答】24【解析】∵当时，，当时，，当时，，故的最小值为4，同理可得，当时，最小值为3；当时，最小值为9，则4×3×9＝108，故x、y取最大值，z取最小值时，代数式的值最大，最大值为.例3、绝对值方程【解答】【解析】计算步骤如下：∴.例4、绝对值函数作出函数的图像.【解答】见解析【解析】由题意可得，函数图像如图所示：巩固练习一．选择题1．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．112．设x为有理数，若|x|＝x，则（）A．x为正数B．x为负数C．x为非正数D．x为非负数3．已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（）A．2B．C D．04．已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，，则x2019的值为（）A．1B．﹣1C．32019D．﹣320195．能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（）A．0B．1C．2D．36．已知x，y都是整数，若x，y的积等于8，且x﹣y是负数，则|x+y|的值有（）个．A．1B．2C．3D．47．定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（）A．2018≤t≤2019B．2019≤t≤2020C．2020≤t≤2021D．2021≤t≤20228．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题9．，则x＝．10．若x＝|x﹣|x﹣2017||，则x＝．11．若对于某一范围内的x的任意值，|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣10x|的值为定值，则这个定值为．12．已知|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a﹣2b的值为．13．若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则m+n＝．=0有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的14．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x−m24绝对值，则m的取值范围是．15．已知a，b为实数，且√2a+6+|b−√2|＝0，则a+b的绝对值为．三．解答题16．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|．17．计算：已知x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．18．设a＜0，且|x+1|﹣|x﹣2|的值．19．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝﹣2，abc＝﹣4．（1）求a，b，c中的最小者的最大值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．20．四个数分别是a，b，c，d，满足|a﹣b|+|c﹣d|＝|a﹣d|，（n≥3且为正整数，a＜b＜c＜d）．（1）若n＝3．①当d﹣a＝6时，求c﹣b的值；②对于给定的有理数e（b＜e＜c），满足|b﹣e|＝|a﹣d|，请用含b，c的代数式表示e；（2）若e＝b﹣c|，f＝a﹣d|，且|e﹣f|＞|a﹣d|，试求n的最大值．21．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|+|﹣2y|﹣|3y﹣2x|﹣2y．22．已知：b是最大的负整数，且a，b，c满足|a+b|+（4﹣c）2016＝0，试回答问题：（1）请直接写出a，b，c的值；（2）若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1），请化简式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|．23．已知a，b，c都不等于零，且m，最小值为n，求的值．24．再看绝对值（1）当x＝3，|x﹣2|＝；当x＝2，|x﹣2|＝；当x＝﹣1，|x﹣2|＝；（2）化简：|x﹣2|；（3）在|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|中．当x＝．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值，最小值为；（4）在|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|中，若x1＜x2＜x3＜…＜x n（其中：x1，x2，x3，…，x n为常数），试回答：当x为何值时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣x n|有最小值，最小值为多少？25．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，则A，B两点间的距离表示为AB|＝|a﹣b|．根据以上信息解答下列问题：（1）若数轴上A，B两点表示的数分别为x，﹣1：①A，B之间的距离可用含x的式子表示为；②若连接两点之间的距离为2，则x值为．（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值范围是．（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值和最小值．26．同学们都知道：|6﹣（﹣3）|表示6与﹣3之差的绝对值，实际上，也可以理解为：6与﹣3两数在数轴上所对应的点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）7与﹣4在数轴上所表示的点之间的距离为；x与2在数轴上所表示的点之间的距离为；（2）若|x﹣2|＝5，则x＝；（3）同理，|x+3|+|x﹣1|表示有理数x在数轴上的对应点与﹣3和1所对应的点的距离之和．请求出所有符合条件：|x+3|+|x﹣1|＝4的整数。
新高考 初高中衔接第5讲 绝对值和绝对值不等式的解法(原卷版+解析版)
【第5讲】 绝对值和绝对值不等式的解法【基础知识回顾】知识点1 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识点2 绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【合作探究】探究一 绝对值的性质【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【例1-2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例1-3】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能．归纳总结：【练习1】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc +++的值 探究二 绝对值的应用【例2】若42a b -=-+，则_______a b +=．归纳总结：【练习2-1】练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________【练习2-2】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 探究三 零点分段法去绝对值【例3】化简代数式24x x ++-归纳总结：【练习3】化简代数式122y x x =-+-探究四 绝对值函数【例4-1】画出1y x =-的图像【例4-2】画出122y x x =-+-的图象【例4-3】画出函数223y x x =-++的图像【例4-4】画出函数232y x x =-+的图像归纳总结：探究五 解绝对值不等式【例5-1】解不等式 1x <．归纳总结：【练习5-1】解不等式：（1）3x <； （2）3x > （3）2x ≤【例5-2】解不等式 21x -<．归纳总结：【练习5-2】解不等式：（1）103x -<；（2）252x ->；（3）325x -≤；【例5-3】解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩． 【练习5-3】解不等式1215x ≤-<．【例5-4】解不等式：4321x x ->+归纳总结：【练习5-4】解不等式：431x x -≤+．【例5-5】解不等式：215x x ++-<【练习5-5】解不等式：13x x -+-＞4．1．35-=________；3π-=________；3.1415π-=_____； 2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________．3．若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数4．若x x >，那么x 是________数．5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________6．已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象8．化简523x x ++-．9.画出23y x =+的图像10.画出223y x x =-++的图像1.已知6a <-，化简6( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -2.不等式23x +<的解是 ，不等式1211<-x 的解是______________. 3.不等式830x -≤的解是______________. 4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--= ___ .5.解不等式329x ≤-<6.解不等式124x x ++-<7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-<8.解不等式3412x x ->+9．解不等式：122x x x -+-<+a 0b c【第5讲】 绝对值和绝对值不等式的解法【基础知识回顾】知识点1 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识点2 绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【合作探究】探究一 绝对值的性质【例1-1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2B ．2C ．-2D ．4【答案】A【例1-2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【答案】C【例1-3】已知：abc ≠0，且M =a b c a b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M 有 ____种不同可能．【答案】4【解析】当a 、b 、c 都是正数时，M = 3；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M =1；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = -1；当a 、b 、c 都是负数时，M =-3．归纳总结：【练习1】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc +++的值 【解析】：由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正， （1）当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=；（2）当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=． 原式0=．探究二 绝对值的应用【例2】若42a b -=-+，则_______a b +=． 【解析】424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=．归纳总结：绝对值具有非负性，即若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =．【练习2-1】练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________【解析】1,2a b =-=．【练习2-2】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 【解析】由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋． 探究三 零点分段法去绝对值【例3】化简代数式24x x ++-【解析】⑴当2x ≤-时，原式()()2422x x x =-+--=-+；⑴当24x -<<时，原式()()246x x =+--=；⑴当x ≥4时，原式2422x x x =++-=-．综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．归纳总结：【练习3】化简代数式122y x x =-+-【解析】当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．综上讨论，原式()()()531312352x x x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．探究四 绝对值函数【例4-1】画出1y x =-的图像【解析】（1）关键点是1x =，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-．（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到【例4-2】画出122y x x =-+-的图象【解析】（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．（3）图象如右图所示．【例4-3】画出函数223y x x =-++的图像【解析】（1）关键点是0x =（2）去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++；当0x <时，223y x x =--+（3）可作出图像如右图【例4-4】画出函数232y x x =-+的图像【解析】（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+；当12x <<时，232y x x =-+-（3）可作出图像如右图归纳总结：探究五 解绝对值不等式【例5-1】解不等式 1x <．【解析】x 对应数轴上的一个点，由题意，x 到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：1-和1，自然只有在1-和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x 的解集是{|11}x x -<<．归纳总结：（1）(0)x a a <>的解集是{|}x a x a -<<，如图1．（2）(0)x a a >>的解集是{|}x x a x a <->或，如图2．【练习5-1】解不等式：（1）3x <； （2）3x > （3）2x ≤【答案】（1）{|33}x x -<< （2）{|33}x x x <->或 （3）{|22}x x -≤≤【例5-2】解不等式 21x -<．【解析】：由题意，121x -<-<，解得13x <<，所以原不等式的解集为{|13}x x <<． 归纳总结：（1）(0)ax b c c c ax b c +<>⇔-<+<．（2）(0)ax b c c ax b c +>>⇔+>或ax b c +<-【练习5-2】解不等式：（1）103x -<；（2）252x ->；（3）325x -≤；【解析】：（1）由题意，3103x -<-<，解得713x <<，所以原不等式的解集为{|713}x x <<．（2）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <，，所以原不等式的解集为73{|}22x x x ><或． （3）由题意，5325x -<-≤，解得【例5-3】解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩． 【解析】：由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤，⑴ 由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<，⑴ 由⑴⑴得，4233x -<<，所以原不等式的解集为42{|}33x x -<<． 【练习5-3】解不等式1215x ≤-<． 【解析】：方法一：由215x -<，解得23x -<<；由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥， 联立得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或． 方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或．【例5-4】解不等式：4321x x ->+【解析】：方法一：（零点分段法）（1）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <； （2）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >；综上所述，原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 方法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >，所以原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 归纳总结：（1）()()()ax b f x f x ax b f x +<⇔-<+<．（2）()()ax b f x ax b f x +>⇔+>或()ax b f x +<-．【练习5-4】解不等式：431x x -≤+．【解析】：由431x x -≤+得(1)431x x x -+≤-≤+，解得2453x ≤≤，原不等式的解集为24{|}53x x ≤≤． 【例5-5】解不等式：215x x ++-< 方法1：利用零点分区间法（推荐） 【分析】:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x ．2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．【解析】：当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ；当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩， 解得：12≤≤-x ；当1>x 时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ．综上，原不等式的解集为{}23<<-x x ．方法2：利用绝对值的几何意义【解析】：215x x ++-<的几何意义是数轴上的点x 到1和2-的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35--=<，易知当3x =-或2x =时，215x x ++-=，所以x 位于3-和2之间（不含端点），所以32x -<<，所以原不等式的解集为{}23<<-x x ．【练习5-5】解不等式：13x x -+-＞4．【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ⑴若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ⑴x ＜0；⑴若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，⑴不存在满足条件的x ；⑴若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3，⑴x ＞4．综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．13A B x0 4C D xP |x －1||x －3| 图1．5－51．35-=________；3π-=________；3.1415π-=_____； 2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________． 3．若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 4．若x x >，那么x 是________数．5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________6．已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______． 7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象 8．化简523x x ++-． 9.画出23y x =+的图像 10.画出223y x x =-++的图像1.已知6a <-，化简6( ) A. 6a - B. 6a --C. 6a +D. 6a -2.不等式23x +<的解是 ，不等式1211<-x 的解是______________. 3.不等式830x -≤的解是______________.4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--= ___ .5.解不等式329x ≤-<6.解不等式124x x ++-<7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-< 8.解不等式3412x x ->+9．解不等式：122x x x -+-<+ab c【参考答案1】1．35；3π-； 3.1415π- 2．2或1- 3．C 4．负 5．-4 6．37．23,21,2123,1x x y x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如下8．32,538,52332,2x x y x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩9．如图所示 10．如图所示【参考答案2】1.B2. {|51}x x -<<；{|04}x x <<3. 3{}84.05. {|71511}x x x -<≤-≤<或6. 35{|}22x x -<< 7. {|1124}x x x -<≤≤<或 8. 3{|5}5x x x <>或 9．1{|5}3x x <<。
初高中数学衔接 (2)
初高中数学衔接(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1、 解不等式：|x |1≥例2、 解不等式：|1|2x -≤例3、 解不等式：13x x -+-＞4．练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式：（1）3233x x ++-≥ （2）134x x +-->-(二)乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练习：1．填空题：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 )2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．（4）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （5）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+与0的大小关系?（三）二次根式（1）一般地，0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，与，等等． 一般地，与，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （2）0)a ≥； （30)x <．例2 (3-．例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2和练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1 （22．3．（四）二次根式（2）例4 化简：20042005⋅-．例 5 化简：（1 （21)x <<．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．练习1．填空题：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若x ==______ __．(5)=成立的条件是 。
初高中衔接教材第1课时：绝对值和绝对值函数(教师版)
第1课时：绝对值和绝对值函数一、知识准备：一、知识准备：1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是_____，负数的绝对值是___，零的绝对值仍是__．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪−<⎩2、绝对值的几何意义：a 表示______，b a −表示_________．3、一次函数()0y ax b a =+≠的图象是____，其中a ，b 的值对函数图象有何影响？___.二、典例分析：1、在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：⑴21y x =+；⑵1y x =+；⑶1y x =−+.你能从中发现什么结论？______________.2、在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：⑴21y x =+；⑵21y x =−；⑶23y x =+.你能从中发现什么结论？______________.3、在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：⑴21y x =+；⑵1y x =+；⑶1y x =−+.你能从中发现什么结论？______________.4、在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：⑴21y x =+；⑵21y x =−；⑶23y x =+.你能从中发现什么结论？______________.5、在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：⑴21y x =+；⑵211y x x =+++；⑶2111y x x x =++++−+.你能从中发现什么结论？______________.6、求绝对值函数的最大值和最小值：⑴（2014年高考安徽文理9）若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为A.5或8B.1−或5C.1−或4−D.4−或8⑵（2014年江西理11⑴）对任意,x y R ∈,111x x y y −++−++的最小值为A.1B.2C.3D.4⑶（2012年四川省预赛）函数()1357f x x x x x =−+−+−+−的最小值为________.7、解下列不等式：⑴13x x −+−＞4；⑵213x −<；⑶24x x ++−<；⑷131x x −−−>.⑴解法1：①当1x ≤时，134x x −+−>，0x <；②当13x <<时，134x x −+−>，无解；③当3x ≥时，134x x −+−>，4x >.综上：0x <或4x >.⑴解法2：1x −表示数轴上点x 与点1之间的距离，3x −表示数轴上点x 与点3之间的距离，得0x <或4x >.42,1x x −≤⎧故由134x x −+−>得0x <或4x >.⑵解：12x −<<；⑶解：5322x −<<；⑷解：52x >.8、求下列函数的最大值和最小值：⑴21y x =−（其中110x −≤≤）；⑵2y x=−（其中110x ≤≤）；⑶231y x x =−−（其中110x ≤≤）.解：⑴最小值为0，最大值为19.⑵由110x ≤≤得1225x≤≤，故最大值为1，最小值为0.⑶由110x ≤≤得293704x x −≤−≤，故最大值为69，最小值为0.9、根据已知条件求参数t 的值：⑴已知函数2y x t =−（其中110x ≤≤，t 为常数）的最大值为9，则t =____.⑵已知函数2y t x=−（其中110x ≤≤，t 为常数）的最小值为9，则t =____.⑶已知函数23y x x t =−−（其中24x ≤≤，t 为常数）的最大值为4，则t =____.解：⑴由110x ≤≤得2220x ≤≤，故11t =.⑵由110x ≤≤得1225x ≤≤，故485t =−或11t =.⑶由24x ≤≤得2234x x −≤−≤，故0t =或2t =.10、（2008年浙江高考理15）已知t 为常数，函数t x x y −−=22（其中03x ≤≤）的最大值为2，则t =__________.解：由03x ≤≤得2123x x −≤−≤，故1t =.11、解下列绝对值不等式：⑴（2014年高考广东理9）不等式52≥++−x x 的解集为.⑵（2007年浙江高考理13）不等式211x x −−<的解集是．⑶解不等式：()2110x ax a −≤+>.12、和绝对值有关的嵌套问题：⑴（2006年浙江高考理12）对a,b ∈R,记max{a,b }=⎩⎨⎧≥ba b b a a ＜,,函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是.⑵（2014年1月浙江省学业水平考试30）设ave{a ,b,c}表示实数a ,b,c 的平均数，max{a ,b,c}表示实数a ,b,c 的最大值.设A=ave{112,,122x x x −++}，M=max{112,,122x x x −++}，若M=3|A －1|，则x 的取值范围是解：由题意易得A=113x +，故3|A-1|=|x|={,0,0x x x x −<≥,M=12,1211,122,2x x x x x x ⎧−+<⎪⎪+≤<⎨⎪≥⎪⎩∵M=3|A －1|∴当x<0时，－x=122x −+，得x=－4当0<x<1时，x=122x −+，得x=43，舍去当1<x<2时，x=112x +，得x=2，舍去当x≥2时，x=x ，恒成立综上所述，x=－4或x≥2注：此题数形结合更好得解。
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3.1绝对值⑴
一．基础知识巩固
1.绝对值定义:|a|=_____________.
2.绝对值的几何意义:____________________________________.
3.⑴|x|=a(a>0)⇔________________;⑵|f(x)|=a(a>0)⇔________________;
4.⑴|x|<a(a>0)⇔____________; |x|>a(a>0)⇔______________.
⑵|f(x)|<a(a>0)⇔____________; |f(x)|>a(a>0)⇔_________________;
5.⑴|f(x)|=|g(x)|⇔________________.
⑵|f(x)|<|g(x)|⇔______________; |f(x)|>|g(x)|⇔_______________. 二．检测提高
1.解下列方程或不等式:
⑴|2x－1|=x+3; ⑵|x+1|－|2x－1|=0;
⑶|x|≤3; ⑷|x－1|>2
⑸|2x－1|<3; ⑹|x－3|<|2x+1|
3.1绝对值⑴答案
一．基础知识巩固
1.绝对值定义:|a|=⎩⎨⎧
a ，a ≥0－a ，a<0. 2.绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示这个数的点到原点的距离.
3.⑴|x|=a(a>0)⇔ x=a 或x=－a ;
⑵|f(x)|=a(a>0)⇔ f(x)=a 或f(x)=－a ; 4.⑴|x|<a(a>0)⇔ －a<x<a ;
|x|>a(a>0)⇔ x<－a 或x>a . ⑵|f(x)|<a(a>0)⇔ －a<f(x)<a ;
|f(x)|>a(a>0)⇔ f(x)<－a 或f(x)>a ;
5.⑴|f(x)|=|g(x)|⇔ [f(x)]2=[g(x)]2 .
⑵|f(x)|<|g(x)|⇔ [f(x)]2<[g(x)]2 ;
|f(x)|>|g(x)|⇔ [f(x)]2>[g(x)]2 . 二．检测提高
1.解下列方程或不等式:
⑴|2x －1|=x+3;
解:(平方法)等式两边平方得 (2x －1)2=(x+3)2
整理得 3x 2－10x －8=0
解得 x 1=4, x 2=－23
经检验,这两个数都是原方程的根.
⑵|x+1|－|2x －1|=0;
解:(平方法)原等式化为|x+1|=|2x －1|
两边平方得 (x+1)2=(2x －1)2
整理得 3x 2－6x=0
解得 x 1=0, x 2=2
⑶|x|≤3;
解:(几何法)由绝对值的几何意义知 －3≤x ≤3
⑷|x －1|>2
解:(几何法)由绝对值的几何意义知 x －1<－2或x －1>2
即 x<－1或x>3 ⑸|2x －1|<3;
解:(几何法)由绝对值的几何意义知 －3<2x －1<3
整理得 －1<x<2 ⑹|x －3|<|2x+1|
解:(平方法)不等式两边平方得 (x －3)2=(2x+1)2
整理得 3x 2+10x －8>0
解得x<－4或x>23。