用公式法求解一元二次方程同步试卷含答案解析
10道公式法解一元二次方程练习题及答案
10道公式法解一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。
公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。
2.3用公式法求解一元二次方程课时训练含答案
第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程 班级：__________ 姓名：__________ 一、填空题1.配方法解一元二次方程的基本思路是：（1）先将方程配方；（2）如果方程左右两边均为非负数，则两边同时开平方，化为两个__________；（3）再解这两个_________。
2.用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)时：∵a ≠0,方程两边同时除以a 得__________________，移项得__________，配方得_________，即（x +__________）2=__________，当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________和__________， ∴x 1=__________,x 2=____________3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________，求得方程的解.4.方程3x 2－8=7x 化为一般形式是_______，a =__________,b =__________,c =__________,方程的根x 1=__________,x 2=__________.二、选择题1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是A.x 1、2=24312122⨯-± B.x 1、2=24312122⨯-±- C.x 1、2=24312122⨯+± D.x 1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±-- 2.方程x 2+3x =14的解是A.x =2653± B.x =2653±- C.x =2233± D.x =2233±- 3.下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5A.0个B.1个C.2个D.3个 4.方程x 2+(23+)x +6=0的解是A.x 1=1,x 2=6B.x 1=－1,x 2=－6C.x 1=2,x 2=3D.x 1=－2,x 2=－3三、用公式法解下列各方程1. 5x 2+2x －1=02. 6y 2+13y +6=03. x 2+6x +9=7四、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？参考答案一、1.一元一次方程 一元一次方程2.x 2+0=+a c x a b x 2+ac x a b -= 222222222442 04 44 2 4)2(a ac b a b x ac b a ac b a b a b a c a b x a b x -=+≥--+-=++ a ac b b a ac b b a ac b a b x 24 24 4422222----+---=+ 3.一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 b 2－4ac ≥0 aac b b 242-±- 4.3x 2－7x －8=0 3 －7 －861457 61457-+ 二、1.D 2.B 3.B 4.D三、1.解：a =5,b =2,c =－1∴Δ=b 2－4ac =4+4×5×1=24＞0∴x 1·2=56110242±-=±-∴x 1=561,5612--=+-x 2.解：a =6,b =13,c =6∴Δ=b 2－4ac =169－4×6×6=25＞0 ∴x 1·2=12513122513±-=±- ∴x 1=－23,x 2=－32 3.解：整理，得：x 2+6x +2=0∴a =1,b =6,c =2∴Δ=b 2－4ac =36－4×1×2=28＞0 ∴x 1·2=2286±-=－3±7 ∴x 1=－3+7,x 2=－3－7四、解：若A =13，即4x 2+2x －1=3x 2－2 整理，得x 2+2x +1=0∴(x +1)2=0,∴x 1=x 2=－1∴当x =－1时，A =13.。
公式法解一元二次方程练习题及答案
公式法解一元二次方程练习题一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜03．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．m C．mD．m6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或27．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．49．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠010．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜011．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？公式法解一元二次方程练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：x2+x﹣1＝0由题意可得，a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵，∴，即，故选：B．2．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0B．p2﹣4q≤0C．p2﹣4q＞0D．p2﹣4q＜0【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．3．当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k ＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根【解答】解：x2+4x﹣k＝0，Δ＝42+4k＝4（4+k），∵﹣1＜k＜0，∴4+k＞0，∴Δ＞0，∴该方程有两个不等的实数根．故选：B．4．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣2m＝0（其中m）的根的情况是（）A．没有实数根B．有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根【解答】解：由题意，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣2m）＝4m2﹣4m+1+8m＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．∵m，∴（2m+1）2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．5．如果一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m的取值为（）A．m B．mC．m D．m 【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝32﹣4×2m＝9﹣8m＝0，解得：m．故选：C．6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，则关于x的方程ax2+x+2＝0的实根的个数是（）A．0B．1C．2D．1或2【解答】解：∵直线y＝﹣2x+a不经过第一象限，∴a≤0，∵ax2+x+2＝0，当a＝0，方程ax2+x+2＝0为一元一次方程，即x+2＝0，解得x＝﹣2；方程有一个实数根，当a＜0时，方程ax2+x+2＝0为一元二次方程，∵Δ＝1﹣8a＞0，∴方程有2个实数根．故选：D．7．关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．k D．k【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，解得k；当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；综上，k的取值范围是k，故选：D．8．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故选：A．9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k B．kC．k且k≠0D．k且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，∴k≠0，∵方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，解得k，∴k的取值范围是k且k≠0，故选：D．10．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2﹣4ac≥0B．b2﹣4ac≤0C．b2﹣4ac＞0D．b2﹣4ac＜0【解答】解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选：A．11．下列各项中，以x为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0【解答】解：利用公式法可知：A．x，故不符合题意．B．x，故不符合题意．C．x，故不符合题意．D．x，故符合题意．故选：D．二．填空题（共2小题）12．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m 的取值范围是m且m≠2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x ﹣1＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m﹣2≠0，∴9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，∴m 且m≠2．故答案为：m且m≠2．13．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为．【解答】解：根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，整理，得：x2﹣x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，则x，∴x1，x2，∵点A在数轴的负半轴，∴2x﹣1＜0，即x，∴x，故答案为：．三．解答题（共5小题）14．已知关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为a，b，c，其中a ＝1，并且b，c恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k ＝0，∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣12k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，则无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，k＝3，方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，此时三边长为1，3，3，周长为1+3+3＝7；当a＝b＝1或a＝c＝1时，把x＝1代入方程得：1﹣（k+3）+3k＝0，解得：k＝1，此时方程为：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1，当x'＝1时，此时三边长为1，1，3，不能组成三角形，当x＝3时，此时三边长为1，3，3，周长为3+3+1＝7，综上所述，△ABC的周长为7．15．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【解答】解：（1）[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，所以x 1，x2＝1；（2）x 1，由于m为整数，所以当m﹣1＝1或2时，x为正整数，此时m＝2或m＝3，所以m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．16．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根为正整数．【解答】解：（1）当k＝0时，方程有根x＝1；当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；（2）当k＝0时，方程有根x＝1，符合题意；当k≠0时，∵kx2﹣（k+2）x+2＝0，∴（kx﹣2）（x﹣1）＝0，∴x 1，x2＝1，∵方程的两个实数根都是正整数，∴k＝1或2．综上，k的整数值为0、1、2．17．（1）解方程（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；（2）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a ﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．①如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；③如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）（x﹣3）2＝2x（3﹣x）；移项得，（x ﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴（x﹣3）（3x﹣3）＝0，∴x1＝3，x2＝1；（2）①△ABC为等腰三角形；理由如下：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；②△ABC为直角三角形；理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；③∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．18．已知关于x 的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k）＝4（k）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．∴4（k）2＝0，解得：k．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，求得k，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．。
10道公式法解一元二次方程练习题及答案
10道公式法解一元二次方程练习题及答案公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二?b?2?4ac2次方程ax?bx?c?0的求根公式：x?。
公式法2a2的步骤：就是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c1．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，它的根是_____ 当b-4ac 2．方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则有____ ____ ，?若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．不解方程，判断方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有个4．已知一个矩形的长比宽多2cm，其面积为8cm，则此长方形的周长为________．1?x2x2?x?15．当x=_____ __时，代数式与的值互为相反数．426．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a的值为________．7．若方程3x2+bx+1=0无解，则b应满足的条件是________．8．用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x1=_____，x2=________．9．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=． A．0B．1C．-1D．±110．用公式法解方程4y2=12y+3，得到A．B．y= C．D．11．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a+2bx-c=0的两根相等，则△ABC为A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形12. 用公式法解下列方程：112x2-3x-5=02t2+3=7t x2+x-=03222x??2?0 x?6x?12?0 x=4x+222－3x＋22x－24＝0 x=x－ x+5=02=44x-2=0x+x-35=013. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4?×2?×6=48求3※5的值；求x※x+2※x-2※4=0中x的值；若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用公式法解一元二次方程练习题姓名______________一．填空题。
北师大版初三上册用公式法解一元二次方程同步练习(含解析)
北师大版初三上册2一、选择题1.用公式法解方程x2-2=-3x时，a ，b ，c的值依次是（）A.0，-2，-3B.1，3，-2C.1，-3，-2D.1，-2，-32.用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（）A.52B.32C.2D.-123.方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a ，b ，c的值，正确的是（）A.a=-1，b=3，c=-1B.a=-1，b=3，c=1C.a=-1，b=-3，c=-1D.a=1，b=-3，c=-14.假如一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A.b2-4ac≥0B.b2-4ac≤0C.b2-4ac＞0D.b2-4ac＜05.方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是（）A.1B.2C.D.46.方程（x-1）（x-2）=1的根是（）A.x1=1，x2=2B.x1=-1，x2=-2C.x1=0，x2=3 D.以上都不对7.已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0较大的实数根，则对a的值估量正确的是（）A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜4二、填空题8.一元二次方程x2-3x-2=0的解是________9.写出方程x2+x-1=0的一个正根________10.当x=________时，代数式x2-8x+12的值是-4．11.利用解一元二次方程的方法，在实数范畴内分解因式x2﹣2x﹣1=__ ______．12.已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于________．13.假如关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为________14.关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范畴是_______ _．三、解答题15.用公式法解方程：（1）；（2）（3）（4）16.已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．（1）求k的值；（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．17.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，求那个直角三角形的斜边长18.已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m 的值．19.已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2 ，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直截了当写出三个，不需说明理由）20.定义新运算：关于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．依照以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判定方程：2x2﹣bx+a=0的根的情形．答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】整理得：x2+3x-2=0，那个地点a=1，b=3，c=-2．故选B．【分析】方程整理为一样形式，找出a ， b ，c的值即可2.【答案】C【考点】公式法解一元二次方程【解析】【解答】∵（x+2）2=6（x+2）-4∴x2-2x-4=0∴a=1，b=-2，c=-4∴b2-4ac =4+16=20．故选C．【分析】此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时第一把方程化简为一样形式，然后找a、b、c ，最后求出判别式的值3.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】将-x2+3x=1整理为一样形式得：-x2+3x-1=0，可得出a=-1，b=3，c=-1．故选A【分析】将一元二次方程整理为一样形式，找出二次项系数a ，一次项系数b及常数项c即可．4.【答案】A【考点】解一元二次方程-公式法【解析】【解答】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，则b2-4ac≥0；故选A．【分析】若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判定出正确的选项．5.【答案】A【考点】一元二次方程的求根公式及应用【解析】【解答】解：x2-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，x1=1或x2=2，因此方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是1，故答案为：A．【分析】观看方程右边为0，左边能够分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解，再求出方程的解中较小一个根的倒数。
21.2.2解一元二次方程之公式法 同步练习(含答案)
21.2.2 解一元二次方程（公式法）一、 单选题（共10小题)1．已知关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 1m >B ．1mC ．1m <-D ．1m ≤-2．一元二次方程2210x x +-=根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个正实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个负实数根3．（2019·娄底市娄星区小碧中学初三期末）关于x 的方程22x 2(1m)x m 0--+=有两实根α.β，则α+β的取值范围是（ ）A ．α+β ≥12 B ．α+β ≤12 C ．α+β ≥1 D ．α+β ≤14．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围在数轴上可以表示为（） A ．B ．C ．D ． 5．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k ≤B ．54k ＞ C ．514k k ≠＜且 D ．514k k ≤≠且 6．（2019·河南中考真题）一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7． 关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+= 无实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．m 1≥C ．1mD ．1m8．（2018·湖南广益实验中学初二期中）方程210x -+=的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定根的个数9．若关于x 的一元二次方程2420kx x --+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．2k >-B ．2k <-C ．2k <且0k ≠D ．2k >-且0k ≠10．（2019·河南省实验中学初二期末）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ． x 2+6x +9=0B ．x 2=xC ．x 2+3=2xD ． (x −1)2+1=011.已知关于x 的一元二次方程（a+1)x 2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，则下列说法正确的是（ ）A. 1一定不是方程x 2+bx+a=0的根B. 0一定不是方程x 2+bx+a=0的根C. -1可能是方程x 2+bx+a=0的根D. 1和-1都是方程x 2+bx+a=0的根二、填空题（共5小题)11．关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值是 ． 12．（2019·山东中考真题）一元二次方程2342x x =-的解是______．13．（2019·宁夏中考真题）已知一元二次方程2340x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围_____． 14． 若关于x 的一元二次方程()23x c +=有实数根，则c 的值可以为________（写出一个即可）． 15． 已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．二、 解答题（共2小题)16．已知关于x 的一元二次方程2(1)(21)10m x m x m ---++=（m 为常数）有两个实数根，求m 的取值范围.17．已知 x = -2 是方程 2x + mx - 6 = 0 的一个根，求 m 的值及方程的另一根 x 的值。
人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题(解析版)
第 1 页人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题（解析版）一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．利用求根公式求5x 2+12=6x 的根时，此中a=5，则b、c 的值分别是（ ） A ． 12、6 B ． 6、12 C ． 、6、12 D ． 、6、、122．方程x 2﹣9=0的解是（ ）A ． x=3B ． x=﹣3C ． x=±9D ． x 1=3，x 2=﹣33．已知a 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣5=0的较小的根，则下面对a 的预计正确的是（ ）A ． ﹣2＜a ＜﹣1B ． 2＜a ＜3C ． ﹣3＜a ＜﹣4D ． 4＜a ＜54．方程2x 2、√5x、3=0的两根是（ ）A ． x=√5±√112B ． x=√5±√292C ． x=−√5±√292D ． x=−√5±√2945．若3（x +1）2﹣48=0，则x 的值即是（ ）A ． ±4B ． 3或﹣5C ． ﹣3或5D ． 3或56．若※是新准则的某种运算标记，设a※b=b 2 -a ，则-2※x=6中x 的值（）A ． 4B ． 8C ．2 D ． -2二、填空题7．根的鉴别式内容：△=b 2﹣4ac ＞0⇔一元二次方程_____；△=b 2﹣4ac=0⇔一元二次方程_____；此时方程的两个根为x 1=x 2=_____．△=b 2﹣4ac ＜0⇔一元二次方程_____．△=b 2﹣4ac ≥0⇔一元二次方程_____．8．用求根公式解方程x 2+3x=﹣1，先求得b 2﹣4ac=_____，则 x 1=_____，x 2=_____．9．用公式法解一元二次方程﹣x 2+3x=1时，应求出a ，b ，c 的值，则：a=_____；b=_____；c=_____．10．把方程（x +3）（x ﹣1）=x （1﹣x ）整理成ax 2+bx +c=0的形式_____，b 2﹣4ac 的值是_____．三、解答题11．解方程：3x 2−2x −2=0、12．选择适当的要领解方程:、1、2(x 、3)2、8、、2、x2-6x-4、0.13．解方程：（1、(2x+1)2=(x-1)2;、2、x2+4x-7=014．已知关于x的方程mx2+(3、m)x、3=0(m为实数，m≠0)、(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 要是此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.参考答案1．C【剖析】【剖析】把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．【详解】=0、5x2、6x+12、所以a=5、b=、6、c=12故选：C、【点睛】考察明白一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的要领是公式法．2．D【剖析】【剖析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平要领解方程．【详解】x2=9，x=±3，所以x1=3，x2=-3．故选D．【点睛】本题考察明白一元二次方程-直接开平要领：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采取直接开平方的要领解一元二次方程．3．A【剖析】【剖析】利用公式法表示出方程的根，再举行估算即可．【详解】一元二次方程x2-3x-5=0，第 1 页∵a=1，b=-3，c=-5，∴△=9+20=29，∴x=3±√292，则较小的根a=3−√292，即-2＜a＜-1，故选A．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算准则是解本题的要害．4．B【剖析】【剖析】利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程.【详解】方程：、√5x、3=0中b=-√5,a=2,c=-3.∴x=b±√b2+4c2、√5±√292.故选：B.【点睛】考察用公式法解一元二次方程，利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程时，一定要弄明白该公式中的字母a、b、c所表示的意义．5．B【剖析】【剖析】先移项，再系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】3（x+1）2-48=0，3（x+1）2=48，（x+1）2=16，第 3 页x+1=±4，x=3或-5，故选：B ．【点睛】考察明白一元二次方程，解此题的要害是能把一元二次方程转化成一元一次方程．6．C【剖析】解：由题意得： 226x +=，∴24x =，∴x =±2．故选C ．7． 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 ﹣b 2a 无解 有实数根【剖析】【剖析】利用根的鉴别式与解的干系鉴别即可得到终于．【详解】△=b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b 2-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x 1=x 2=-b 2a ．△=b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程无解．△=b 2-4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；-b 2a ；无解；有实数根．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握根的鉴别式与解的干系是解本题的要害．8． 5 −3+√52 −3−√52【剖析】【剖析】将已知方程化为一般形式，找出a ，b 及c 的值，谋略出b 2-4ac ，发觉其值大于0，得到方程有两个不相等的实数根，故将a ，b 及c 的值代入求根公式，即可求出原方程的解．【详解】x 2+3x=-1整理为一般形式得：x 2+3x+1=0，∵a=1，b=3，c=1，∴b 2-4ac=32-4=5＞0，∴x=−3±√52， ∴x 1=−3+√52，x 2=−3−√52．故答案为：5；−3+√52；−3−√52.【点睛】 此题考察了利用公式法求一元二次方程的解，利用此要领解方程时，应先将方程化为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，然后谋略出根的鉴别式，当根的鉴别式大于即是0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式可得出方程的解；当根的鉴别式小于0时，原方程无解．9． -1 3 -1【剖析】【剖析】先移项，将方程变形为一元二次方程的一般形式，然后再找出各项系数即可．【详解】-x 2+3x=1，-x 2+3x-1=0，a=-1，b=3，c=-1，故答案为：-1，3，-1．【点睛】本题考察明白一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着火线的标记．10． 2x 2+x ﹣3=0 25【剖析】【剖析】将方程整理为一般形式，谋略出根的鉴别式的值即可．【详解】方程（x+3）（x-1）=x （1-x ）整理得：2x 2+x-3=0，b 2-4ac=25．故答案为：2x 2+x-3=0；25．第 5 页【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的要害．11．x 1=1+√73、x 2=1−√73. 【剖析】【剖析】先找出a、b、c ，再求出b 2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．【详解】a=3、b=-2、c=-2、b 2-4ac=、-2、2-4×3×、-2、=28>0、∴x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−2)+√282×3=1±√73、 ∴x 1=1+√73、x 2=1−√73.【点睛】本题考察明白一元二次方程，解一元二次方程的要领有提公因式法、公式法，因式分化法等，根据方程的系数特点灵敏选择适当的要领举行求解是解题的要害.12．、1、x 1、5、x 2、1、、2、x 1、3+√13、 x 2、3-√13、【剖析】剖析：（1）方程用直接开平要领即可求解；、2）用公式法即可求解方程.详解：（1、2(x、3)2、8、(x、3)2、4、开方，得x、3、2或x、3、-2、解得x 1、5、x 2、1、、2、x 2-6x -4、0a=1、b=-6、c=-4、△=b 2-4ac=52>0、∴方程有两个不相等的实数根x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−6)±√522×1=3±√13、 ∴x 1、3+√13、 x 2、3-√13点睛：此题考察明白一元二次方程的要领-直接开平要领和公式法，根据给出的方程的布局，选择适当的要领举行求解是要害.13．(1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+√11，x2=-2-√11.谋略即【剖析】剖析：（1）用直接开平要领求解即可；（2）根据求根公式：x=−b±√b2−4ac2a可.详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,、2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),、2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,、2x-x=--1或2x+1=-x+1,、x=-2或x=0、即x1=0、x2=-2、（2）x2+4x-7=0∵a=1,b=4,c=-7,=−2±√11,∴x=−4±√42−4×1×(−7)2、x1=-2+√11、x2=-2-√11.点睛：本题主要考察的知识点是一元二次方程的解法－直接开平要领和求根公式法．熟练掌握直接开平要领和求根公式法是解答本题的要害，本题属于一道基础题，难度适中．14．(1)b2−4ac=(m+3)2≥0、(2)m=-1,-3.【剖析】剖析: （1）先谋略鉴别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据鉴别式的意义即可得到结论；、x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．、2）利用公式法可求出x1=3m详解: （1）证明：∵m≠0，∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；，（2）解：∵x=−(3−m)±(m+3)2m，x2=1，∴x1=-3m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0、a≠0）的根的鉴别式、=b2-4ac：当、、0，方程有两个不相等的实数根；当、=0，方程有两个相等的实数根；当、、0，方程没有实数根．也考察明白一元二次方程．第 7 页。
公式法解一元二次方程试题附答案
30题搞定一元二次方程计算易错点公式法日期:________时间:________姓名:________成绩:________一、单选题（共10小题）1.用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（）A．0，﹣2，﹣3B．1，3，﹣2C．1，﹣3，﹣2D．1，﹣2，﹣32..x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0B．2x2﹣4x+1＝0C．2x2﹣4x﹣1＝0D．2x2+4x﹣1＝03.方程x2+x﹣1＝0的一个根是（）A．1﹣B．C．﹣1+D．4.一元二次方程4x2﹣x＝1的解是（）A．x＝0B．x1＝0，x2＝4C．x1＝0，x2＝D．x1＝，x2＝5.用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝6.以x＝为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝07.用公式法解方程4x2﹣12x＝3所得的解正确的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝8.方程x2+3x＝14的解是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝9.用公式法解方程x2﹣3x﹣1＝0正确的解为（）A．x1，2＝B．x1，2＝C．x1，2＝D．x1，2＝10.x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1＝0B．3x2﹣5x+1＝0C．3x2﹣5x﹣1＝0D．3x2+5x﹣1＝0二、填空题（共8小题）11.一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是：．12.用公式法解一元二次方程，得：x＝，则该一元二次方程是．13.观察算式×，则它的计算结果为．14.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝，x2＝，那么a＝．15.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．16.用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝，x1＝，x2＝．17.方程x2﹣2x＝2x+1的根为．18.方程3x2+x﹣1＝0的解是．三、解答题（共12小题）19.用公式法解方程：x2﹣5x﹣7＝0．20.用公式法解方程解方程：12x2+x﹣1＝021.用公式法解方程：3x2﹣（x﹣2）2＝5．22.用公式法解方程：3x2﹣6x+1＝2．23.用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．24.用公式法解方程：3y2﹣4y+2＝0．25.用公式法解方程：3x2+5x＝1．26.用公式法解方程：x2+2x+10＝0．27.用公式法解方程：2x（x﹣3）＝9﹣x．28.用公式法解方程：3x（2x+1）＝2+4x29.用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝030.用公式法解方程：8x2﹣2x﹣3＝0．公式法解二次方程参考答案偶尔部分有错误，仅供参考一、单选题（共10小题）1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】D二、填空题（共8小题）11.【答案】x＝（b2﹣4ac≥0）．12.【答案】3x2+5x+1＝013.【答案】14.【答案】115.【答案】四；平方根的定义．16.【答案】41，，．17.【答案】x1＝2+，x2＝2﹣．18.【答案】x＝．三、答案题（共12小题）19.【答案】x1＝，x2＝．20.【答案】x＝或x＝21.【答案】x1＝，x2＝．22.【答案】x1＝，x2＝．23.【答案】x1＝3+2，x2＝3﹣2．24.【答案】x1＝，x2＝．25.【答案】x1＝，x2＝．26.【答案】方程无解．27.【答案】x1＝，x2＝．28.【答案】．29.【答案】x＝30.【答案】x1＝，x2＝﹣．。
九年级数学上册用公式法求解一元二次方程的实际应用同步练习及答案
公式法的实际应用——典型题专项训练知识点公式法在实际生活中的应用1．在一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm2．如图2－3－2所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19 m)，另外三边利用学校现有总长38 m的铁栏围成．(1)若围成的自行车车棚的面积为180 m2，试求出自行车车棚的长和宽．(2)能围成面积为200 m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．图2－3－23．当x满足不等式组2x<4x－4，112)（x－6）时，方程x2－2x－5＝0的根是( ) A．1±6 B.6－1 C．1－6 D．1＋64．一幅长20 cm、宽12 cm的图案如图2－3－3所示，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm.(1)求图案中三条彩条所占的面积；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．图2－3－35．在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上建造一座花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．图2－3－4(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的知识说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图2－3－5中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．图2－3－51．D2．解：(1)设AB＝x m，则BC＝(38－2x)m，根据题意列方程，得x(38－2x)＝180，解得x1＝10，x2＝9.当x＝10时，38－2x＝18；当x＝9时，38－2x＝20，而可利用的墙长为19 m，不合题意，舍去．答：若围成的自行车车棚的面积为180 m2，则自行车车棚的长和宽分别为18 m，10 m.(2)不能．理由：根据题意列方程，得x(38－2x)＝200，整理，得x2－19x＋100＝0，Δ＝b2－4ac＝(－19)2－4×100＝－39＜0，故此方程没有实数根．因此不能围成面积为200 m2的自行车车棚．3．D4．解：(1)根据题意，可知横彩条的宽度为32x cm.∴图案中三条彩条所占的面积为20×32x＋2×12×x－2×32x×x＝(－3x2＋54x)cm2. (2)根据题意，得－3x2＋54x＝25×20×12.整理，得x2－18x＋32＝0，解得x1＝2，x2＝16(不合题意，舍去)．∴32x＝3.答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm.5．解：(1)不符合．理由：设符合条件的小路的宽度均为x m，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12，解得x1＝2，x2＝12(不合题意，舍去)，∴x＝2.∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m.(2)答案不唯一，如图：左图中取上边的中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半；右图中有横、竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4 m时，除去小路剩下的面积为矩形面积的一半．。
公式法解一元二次方程及答案详细解析
.公式法一．选择题（共 5小题）1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（）A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣22．用公式法求一元二次方程的根时，第一要确立 a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，以下表达正确的选项是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3D．a=4，b=﹣5，c=﹣33．（2011春?招远市期中）一元二次方程2实数解的条件是（）x+c=0A．c≤0B．c＜0C．c＞0D．c≥04．（2012秋?建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c= （）A．1 B．2 C．3 D．45．（2013?下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（）A．﹣1B．2 C．﹣1或2D．0或2..二．填空题（共3小题）6．（2013秋?兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=．7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得△，此方程式的根为．8．已知对于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．三．解答题（共12小题）9．（2010秋?校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积．10．（2009秋?五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值．..11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是对于x的一元二次方程，求a与b的值．12．（2012?西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0．13．（2013秋?海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1．14．（2011秋?江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1．..15．（2014秋?藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0；（2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x．16．（2013秋?市校级月考）解一元二次方程：1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；2）2x2﹣2=3x（用公式法解）．17．（2013?）用配方法解对于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．..18．（2014?泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．19．（2011秋?南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5（2）解对于x的一元二次方程：．..20．（2011?西城区二模）已知：对于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．1）求k的取值围；（2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解．..21．公式法答案一．选择题（共5小题）1．C考解一元二次方程-公式法．全部点：专计算题．题：分运用公式法，第一确立a，b，c的值，而后判断方程能否有解，若有解代析：入公式即可求解．解解：∵x2﹣5x=62答：∴x﹣5x﹣6=0∵a=1，b=﹣5，c=﹣622∴b﹣4ac=（﹣5）﹣4×1×（﹣6）=49x=∴x1=6，x2=﹣1．应选C．点解一元二次方程时要注意解题方法的选择，配方法和求根公式法合用于任评：何一元二次方程，可是麻烦．还要注意题目有无解题要求，要按要求解题．2．B考解一元二次方程-公式法．全部..点：专计算题．题：分用公式法求一元二次方程时，第一要把方程化为一般形式．析：解解：∵﹣4x2+3=5x答：∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．应选B．点本题考察了公式法解一元二次方程的应用条件，第一要把方程化为一般形评：式．3．A考根的鉴别式．全部点：专计算题．题：分由一元二次方程有实数根，获得根的鉴别式大于等于0，列出对于c的不析：等式，求出不等式的解集即可获得c的围．解解：∵一元二次方程x2+c=0有实数解，2答：∴△=b﹣4ac=﹣4c≥0，解得：c≤0．..应选A点本题考察了一元二次方程根的鉴别式，根的鉴别式的值大于0，方程有两评：个不相等的实数根；根的鉴别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的鉴别式小于0，方程没有实数根．4．B考一元二次方程的解．全部点：分依据方程的解的定义，把x=1代入已知方程能够求得c的值，而后把c的析：值代入所求的代数式进行求值．解解：依题意，得答：12+1+c=0，解得，c=﹣2，则c2+c=（﹣2）2﹣2=2．应选：B．点本题考察了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的评：未知数的值是一元二次方程的解．又由于只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，因此，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．C考解一元二次方程-因式分解法．全部点：..专计算题．题：分先移项获得x（x﹣2）+x﹣2=0，再把方程左侧方程获得（x﹣2）（x+1）=0，析：元方程转变为x﹣2=0或x+1=0，而后解一次方程即可．解解：∵x（x﹣2）+x﹣2=0，答：∴（x﹣2）（x+1）=0，x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．应选C．点本题考察认识一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右侧变形为0，而后评：把方程左侧进行因式分解，这样把一元二次方程转变为两个一元一次方程，再解一次方程可获得一元二次方程的解．二．填空题（共3小题）6．a=﹣1；b=3；c=﹣1．考解一元二次方程-公式法．全部点：分先移项，找出各项系数即可．析：解解：﹣x2+3x=1，答：﹣x2+3x﹣1=0，..a=﹣1，b=3，c=﹣1，故答案为：﹣1，3，﹣1．点本题考察认识一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项评：的系数带着前方的符号．7．△=13，x1=，x2=．考解一元二次方程-公式法．全部点：分找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的鉴别式的析：值为13大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．解解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，答：∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x=，∴原方程的解为x=，x2=．1故答案为：13，x1=，x2=．点本题考察了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程评：时，第一将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的鉴别式，当根的鉴别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．8．（x﹣1）2=m+1．..考解一元二次方程-配方法．全部点：分把常数项﹣m移项后，应当在左右两边同时加前一次项系数﹣2的一半的平析：方．解解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常数项移到等号的右侧，获得x2﹣2x=m，答：方程两边同时加前一次项系数一半的平方，获得x2﹣2x+1=m+1，配方得（x﹣1）2=m+1．故答案为（x﹣1）2=m+1．点本题考察了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：评：（1）把常数项移到等号的右侧；2）把二次项的系数化为1；3）等式两边同时加前一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．三．解答题（共12小题）9．考一元二次方程的应用．全部点：专几何图形问题．题：.分由长与宽之比为4：3，可设长为4x，则宽为3x，依据勾股定理可得：（4x）析：2+（3x）2=302；得出x后，即可求出显示屏的面积．解解：由题意可设长为4x，则宽为3x，答：依据三角形性质，得：（4x）2+（3x）2=302解得：x=6，x=﹣6（舍去）因此长为24cm，宽为18cm2该液晶显示屏的面积为24×18=432cm．2即该液晶显示屏的面积为432cm．点本题主要考察一元二次方程的应用，依据三角形性质，列出方程即可．面评：积=长×宽．10．．考一元二次方程的解；根与系数的关系．全部点：专计算题．题：分一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个析：数取代未知数所得式子仍旧建立；亦可利用根与系数的关系去做．解（解法一）答：解：当x=1时，代入原方程得：21+m+3=0，.解得m=﹣4；当m=﹣4时，原方程可化为：x2﹣4x+3=0，上式可化简为（x﹣1）（x﹣3）=0，∴方程的另一个根为x=3．（解法二）解：假定方程的另一个根为x0，x=1由根与系数关系可知：x0×1=3，∴x0=3；又由根与系数关系可知：x0+1=﹣m，即3+1=﹣m；∴m=﹣4．点本题解法灵巧，选择自己喜爱的一种解法即可．评：11．考一元二次方程的定义．全部点：分本题依据一元二次方程的定义求解．分5种状况分别求解即可．析：..解解：∵x2a+b2x a+b+3=0是对于x的一元二次方程，答：∴①，解得；②，解得；③，解得；④，解得；⑤，解得．上所述，，，，．点本主要考了一元二次方程的观点．解的关是分5种状况x的：指数．12．考解一元二次方程-公式法．菁网全部点：算．：分找出方程中二次系数a，一次系数b及常数c，算出根的判式的析：8大于0，将a，b及c的代入求根公式即可求出原方程的解．解解：∵a=1，b= 4，c=2，⋯（1分）答：∴△=b24ac=（4）24×1×2=8，⋯（3分）∴x==2±，⋯（4分）∴原方程的解x1=2+，x2=2．⋯（6分）点此考了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程..评：时，第一将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的鉴别式，当根的鉴别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．13．考解一元二次方程-公式法．全部点：分移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．析：解解：原方程可化为x2+4x﹣1=0，答：a=1，b=4，c=﹣1，b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣1）=20＞0，x=，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．点本题考察认识一元二次方程的应用，主要考察学生的计算能力．评：14．考解一元二次方程-公式法．全部点：专计算题．题：.分将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的鉴别式的值大于析：0，代入求根公式即可求出解．解解：方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，答：这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．点本题考察认识一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，第一将方程评：整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的鉴别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．15．考解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．全部点：分（1）利用求根公式x=解方程；析：2）将常数项移到等式的右侧，含有未知数的项移到等式的左侧，而后在等式的两边同时加前一次项系数一半的平方，组成完整平方公式形式；最后直接开平方即可．解解：（1）∵方程x2﹣6x+1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣6，常数答：项c=1，∴x===3±2，.∴x1=3+2，x2=3﹣2；（2）由原方程，得x2﹣3x=﹣1，等式的两边同时加前一次项系数一半的平方，得x2﹣3x+=﹣1+，∴（x﹣）2=，x=±，∴x1=，x2=．点本题考察认识一元二次方程﹣﹣公式法、配方法．利用公式法解方程时，评：需熟记求根公式．16考解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．全部点：分（1）依据配方法的步骤先把常数项移到等号的右侧，一次项移到等号的右析：边，再在两边同时加前一次项系数的一半，配成完整平方的形式，而后开方即可；（2）第一找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式x=求解即可．..解解：（1）4x2﹣1=12x，答：4x2﹣12x=1，x2﹣3x=，x2﹣3x+=+，（x﹣）2=，x﹣=±，x1=+=，x2=﹣=；2）2x2﹣2=3x，2x2﹣3x﹣2=0，∵a=2，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，x1=2，x2=﹣．点本题考察了配方法和公式法解一元二次方程，重点是娴熟掌握配方法的步评：骤和公式法的步骤，公式法解题时要注意将方程化为一般形式，确立a，b，的值，而后查验方程能否有解，若有解，代入公式即可求解．17．考解一元二次方程-配方法．全部点：分本题考察了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用，析：把左侧配成完整平方式，右侧化为常数．..解解：∵对于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，答：∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+ =±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．点本题考察了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：评：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右侧；第二步配方，左右两边加前一次项系数一半的平方；第三步左侧写成完整平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，而后配方．18．..考解一元二次方程-公式法；配方法的应用．全部点：专计算题．题：分由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右侧，方程析：左右两边都加前一次项系数一半的平方，左侧化为完整平方式，右侧通分并利用同分母分式的减法法例计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．解解：ax2+bx+c=0（a≠0），答：方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+ =±=±，∴x=．点本题考察了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时2评：注意b﹣4ac≥0这个条件的运用．19．考解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．全部..点：分（1）先把方程化为一般形式：2x2+x﹣5=0，则a=2，b=1，c=﹣5，△=12﹣析：4×2×（﹣5）=41，再代入求根公式计算即可；（2）先把方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，再利用因式分解法求解即可．解解：（1）方程化为一般形式为：2x2+x﹣5=0，答：∴a=2，b=1，c=﹣5，∴△=12﹣4×2×（﹣5）=41＞0，∴x=，∴x1=，x2=；2）方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，左侧分解因式，得[x﹣（a+2b）][x+（a﹣2b）]=0，∴x1=a+2b，x2=﹣a+2b．点本题考察的是解一元二次方程，依据题目的要乞降构造特色，选择适合的评：方法解方程．20．考根的鉴别式；解一元二次方程-公式法．全部点：2分（1）依据一元二次方程x+4x+2k=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，析：即可得出k的取值围；..2）依据k的取值围，得出切合条件的最大整数k=1，代入方程求出即可．解解：（1）∵对于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，答：∴△=16﹣4×2k＞0．解得k＜2．2）∵k＜2，∴切合条件的最大整数k=1，此时方程为x2+4x+2=0．∴a=1，b=4，c=2．22∴b﹣4ac=4﹣4×1×2=8．代入求根公式，得．∴．点本题主要考察了一元二次方程根的鉴别式以及一元二次方程的解法，本题评：比较典型同学们应娴熟掌握．.。
一元二次方程解法————公式法(含答案)
一元二次方程解法————公式法1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝02．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，∴x2+2x＝5，∴x2+2x+1＝6，∴（x+1）2＝6，∴x＝﹣1±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝6，c＝5，∴Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程无实数根；（2）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，则2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝2.5，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）根据公式法即可求出答案（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵3x2﹣6x＝2，∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴△＝36+24＝60＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x+4＝2，∴（x﹣2）2＝2，∴x﹣2＝±，∴；（2）∵（x﹣1）（x+2）＝4，∴x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y+2＝0或2y﹣1＝0，∴y＝﹣2或y＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．【分析】（1）确定a，b，c的值，然后代入求根公式计算即可；（2）先将方程整理成一般形式，然后用因式分解法解答即可．【解答】解：（1）2x2+3x﹣4＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41，x＝＝，∴x1＝，x；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，整理得，x2+2x﹣8＝0，因式分解得，（x+4）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．【分析】（1）先确定a，b，c的值，然后利用公式法解答即可；（2）先化简方程，然后确定【解答】解：（1）x2﹣3x﹣9＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣9，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣9）＝45，x＝＝，x1＝，x2＝；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1，整理得，2x2+x﹣3＝0，a＝2，b＝1，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣3）＝25，x＝＝＝，。
解一元二次方程(公式法)同步培优题典(解析版)
专题1.3解一元二次方程（公式法）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞4D．k≤14且k≠0【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+2k）≥0，解得：k≤1 4．故选：B．2．（2019秋•沈河区期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2﹣2x+1＝0C．2x2﹣x﹣1＝0D．2x2﹣x+1＝0【分析】根据判别式即可求出答案．【解析】（A）△＝4，故选项A有两个不同的实数根；（B）△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；（C）△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；（D）△＝1﹣8＝﹣7，故选项D有两个不同的实数根；故选：D．3．（2020•武侯区模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞3B．k≥﹣3C．k＞﹣3且k≠﹣2D．k≥﹣3且k≠﹣2【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解析】由题意可知：△＝4+4（k+2）≥0，∴解得：k≥﹣3，∵k+2≠0，∴k≥﹣3且k≠﹣2，故选：D．4．（2020•英德市模拟）关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．2B．﹣2C．0D．±2【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣2m）2﹣4×4＝0，然后解关于m的方程即可．【解析】根据题意得△＝（﹣2m）2﹣4×4＝0，解得m＝±2．故选：D．5．（2020•武汉模拟）关于x的方程2x2+3x﹣7＝0的根的情况，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解析】由题意可知：△＝9+4×2×7＞0，故选：A．6．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1＝2x B．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．【解析】A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．故选：A．7．（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解析】∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．（2019秋•富平县期末）若关于x的一元二次方程x（x﹣1）+bx＝0有两个相等的实数根，则实数b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2或2D．﹣3或1【分析】先将方程整理为一般式，再由方程有两个相等的实数根得出△＝（b﹣1）2﹣4×1×0＝0，解之可得答案．【解析】将方程整理为一般式可得x2+（b﹣1）x＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴△＝（b﹣1）2﹣4×1×0＝0，解得b＝1，故选：B．9．（2020•鹿邑县二模）关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣3）﹣p2＝0的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．条件不足，无法计算【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△＝16+4p2＞0，然后根据判别式的意义进行判断．【解析】原方程整理为：x2﹣2x﹣（3+p2）＝0，∵△＝（﹣2）2+4（3+p2）＝16+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．10．（2020•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（）A．﹣1B．−14C．0D．1【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m 的值．【解析】∵关于x 的方程x 2﹣x ﹣m ＝0没有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m ）＝1+4m ＜0，解得：m ＜−14，故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•二道区一模）一元二次方程x 2﹣2x +1＝0根的判别式的值为 0 ．【分析】把a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1代入△＝b 2﹣4ac 中计算即可．【解析】∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0．故答案为0．12．（2019秋•新安县期中）方程3x 2+x ﹣1＝0的解是 x =−1±√136 ． 【分析】根据公式法即可求出答案．【解析】∵3x 2+x ﹣1＝0，∴a ＝3，b ＝1，c ＝﹣1，∴△＝1+12＝13，∴x =−1±√136故答案为：x =−1±√136． 13．（2019春•高邑县期末）若非零实数a 、b 满足a 2+4b 2＝4ab ，则a b 的值为 2 ． 【分析】由已知等式得出（a ﹣2b ）2＝0，据此知a ＝2b ，再代入计算可得．【解析】∵a 2+4b 2＝4ab ，∴a 2﹣4ab +4b 2＝0，则（a ﹣2b ）2＝0，∴a ＝2b ，则a b =2b b =2，故答案为：2．14．（2020•丹东）关于x 的方程（m +1）x 2+3x ﹣1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是 m ≥−134且m ≠﹣1．【分析】根据方程有两个实数根，得到此方程为一元二次方程且根的判别式大于等于0，确定出m的范围即可．【解析】∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，解得：m≥−134且m≠﹣1．故答案为：m≥−134且m≠﹣1．15．（2020•龙岗区校级模拟）关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，则m的取值范围是m≥−12．【分析】分m≠0和m＝0分别求解可得．【解析】当m≠0时，∵关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥−1 2；当m＝0时，方程为2x＝0，解得x＝0；综上，m≥−1 2；故答案为：m≥−1 2．16．（2018春•开福区校级期中）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①√2*√3=2−√6；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1=−5+√52，x2=−5−√52．【分析】根据运算法则为a*b＝a2﹣ab，一一判断即可；【解析】√2*√3=（√2）2−√2×√3=2−√6，①正确；若a+b＝0，则a＝﹣b，∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，解得x1=−5+√52，x2=−5−√52，④正确．故答案为：①②④17．（2019秋•肥城市期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，请写出一个满足条件的m 值5（答案不唯一）．【分析】根据方程没有实数根得到其根的判别式小于0，据此得到m的取值范围，然后从中找到一个值即可．【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＜0，解得：m＞4，∴满足条件的m值5（答案不唯一）．故答案为：5（答案不唯一）．18．（2019春•萧山区期末）当0＜m＜3时，一元二次方程x2+mx+m＝0的根的情况是无实数根．【分析】写出一元二次方程的判别式△，由已知m的范围，得出△＜0，从而问题可解．【解析】∵a＝1，b＝m，c＝m∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4m＝m（m﹣4）∵0＜m＜3∴m﹣4＜0∴m（m﹣4）＜0∴△＜0∴一元二次方程x2+mx+m＝0没有实数根．故答案为：无实数根．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•昌图县校级一模）请用合适的方法解方程：（1）4x2﹣8x+1＝0（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）整理为一般式后，利用因式分解法求解可得．【解析】（1）∵a＝4，b＝﹣8，c＝1，∴△＝（﹣8）2﹣4×4×1＝48＞0，则x=8±4√38=2±√32；（2）方程整理为一般式，得：x2﹣5x﹣6＝0，则（x﹣6）（x+1）＝0，∴x﹣6＝0或x+1＝0，解得：x＝6或x＝﹣1．20．（2019秋•云梦县期末）解方程：（1）x2﹣10x+15＝0（2）x2+3√5x﹣9＝0【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解析】（1）∵x2﹣10x＝﹣15，∴x2﹣10x+25＝﹣15+25，即（x﹣5）2＝10，则x﹣5＝±√10，∴x＝5±√10；（2）∵x2+3√5x﹣9＝0，∴a＝1，b＝3√5，c＝﹣9，∴△＝（3√5）2﹣4×1×（﹣9）＝45+36＝81＞0，则x=−3√5±92．21．（2020•怀柔区模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m．∵12﹣4m≥0，∴m≤3，m≠2．（2）∵m≤3且m≠2，∴m＝1或3，∴当m＝1时，原方程为﹣x2﹣2x+1＝0．x1＝﹣1−√2，x2＝﹣1+√2．当m＝3时，原方程为x2﹣2x+1＝0．x1＝x2＝1．22．（2019秋•叙州区期末）已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0；（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．【分析】（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣2）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可；（2）m的最小正整数为1，此时方程化为x2﹣x﹣1＝0，然后利用求根公式法解方程．【解析】（1）根据题意得m≠0且△＝（2m﹣1）2﹣4m（m﹣2）＞0，解得m＞−14且m≠0；（2）根据题意得m＝1，此时方程化为x2﹣x﹣1＝0，△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，x=1±√5 2，所以x1=1+√52，x2=1−√52．23．（2020春•海淀区校级月考）关于x的方程x2﹣4x+3m﹣2＝0有两个不等实根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】利用判别式的意义得到m＜2，则m＝1，原方程变形为x2﹣4x+1＝0，然后利用求根公式解方程即可．【解析】根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（3m﹣2）＞0，解得m＜2，而m为正整数，所以m＝1，原方程变形为x2﹣4x+1＝0，解得x1＝2+√3，x2＝2−√3．24．（2020春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1＝4，m2＝6．故m的值为4或6．。
三公式法与分解因式法求解一元二次方程同步练习(附答案)
三公式法与分解因式法求解一元二次方程同步练习（附答案）班级：___________________________姓名：___________________________作业导航1.一元二次方程的求根公式2.因式分解法解一元二次方程 一、填空题1.关于x 的方程(m －3)x72 m －x =5是一元二次方程，那么m =_________.2.2x 2－2x －5=0的二根为x 1=_________，x 2=_________.3.当x =______时，代数式x 2－3x 的值是－2.4.方程x 2－5x +6=0与x 2－4x +4=0的公共根是_________.5.y =x 2+x －6，当x =_________时，y 的值等于0；当x =_________时，y 的值等于24.6.2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，那么b =_________，另一个根是_________.7.方程ax 2+bx +c =0的一个根是－1，那么a －b +c =___________.8.x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 的关系是_________.9.方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0的解是x 1=_________，x 2=_________. 10.方程x 2=x 的两根为___________. 二、选择题11.以下方程中不含一次项的是〔 〕 A.3x 2－8=4x B.1+7x =49x 2 C.x (x －1)=0D.(x +3)(x －3)=012.2x (5x －4)=0的解是〔 〕A.x 1=2，x 2=54B.x 1=0，x 2=45 C.x 1=0，x 2=54D.x 1=21，x 2=5413.假定一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0的常数项是0，那么m 为〔 〕A.2B.±2C.－2D.－10 14.方程2x 2－3=0的一次项系数是〔 〕 A.－3 B.2 C.0 D.3 15.方程3x 2=1的解为〔 〕 A.±31B.±3C.31 D.±3316.以下方程中适宜用因式分解法解的是〔 〕 A.x 2+x +1=0 B.2x 2－3x +5=0 C.x 2+(1+2)x +2=0D.x 2+6x +7=017.假定代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，那么x 的值为〔 〕 A.x 1=－1，x 2=－5 B.x 1=－6，x 2=1 C.x 1=－2，x 2=－3 D.x =－118.y =6x 2－5x +1，假定y ≠0，那么x 的取值状况是〔 〕A.x ≠61且x ≠1 B.x ≠21 C.x ≠31D.x ≠21且x ≠3119.方程2x (x +3)=5(x +3)的根是〔 〕A.x =25B.x =－3或x =25 C.x =－3D.x =－25或x =3 三、解以下关于x 的方程 20.x 2+2x －2=0 21.3x 2+4x －7=0 22.(x +3)(x －1)=5 23.(3－x )2+x 2=924.x 2+(2+3)x +6=0 25.(x －2)2+42x =026.(x －2)2=327.随着城市人口的不时添加，美化城市，改善人们的寓居环境已成为城市树立的一项重要内容，某城市方案到2021年末要将该城市的绿空中积在2021年的基础上添加44%，同时要求该城市到2021年末人均绿地的占有量在2021年的基础上添加21%，当保证明现这个目的，这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.〔准确到1%〕三、公式法与分解因式法参考答案一、1.－3 2.4422+ 4422- 3.1或2 4.2 5.2或－3 5或－6 6.23 －2－3 7.0 8.x =3y 或x =4y 9.22 53 10.0或1 二、11.D 12.C 13.C 14.C 15.D 16.C 17.A 18.D 19.B 三、20.x =－1±3721.x1=1，x2=－322.x1=2，x2=－423.x1=3，x2=024.x1=－2，x2=－325.x1=x2=－226.x=2±327.9% (1+21%)(1+x)2=1+44%。
九年级数学上册用公式法解一元二次方程同步练习及答案
用公式法解一元二次方程——典型题专项训练知识点 1 一元二次方程的求根公式1．用公式法解－x2＋3x＝1时，需先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为( ) A．－1，3，－1 B．1，－3，－1C．－1，－3，－1 D．－1，3，12．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )A．x＝122－3×4)2×3B．x＝122－4×3×4)2C．x＝122＋4×3×4)2D．x＝（－12）2－4×3×4)2×3知识点 2 用公式法解一元二次方程3．方程x2＋3x－14＝0的解是( )A．x＝65)2 B．x＝65)2C．x＝23)2 D．x＝23)24．方程2x2－4x＋1＝0的根是( )A．x1＝1＋2，x2＝1－2B．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2C．x1＝1＋2)2，x2＝1－2)2D．x1＝2＋2，x2＝2－25．用公式法解方程：(1)x2－2x＝1；(2)4x2－3＝12x.知识点 3 一元二次方程根的判别式6．方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．两根异号7．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( ) A．0 B．－1C．2 D．－38．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是________．9．若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．10．已知关于x的方程x2＋2 kx－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k≥0 B．k＞0C．k≥－1 D．k＞－111．关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A．14 B．12C．12或14 D．以上都不对13．2017·通辽若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )A．12步 B．24步C．36步 D．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为( )A．x＝－2B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝3)2，x2＝3)2D．x1＝5)2，x2＝5)216．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)为m选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．1．A .2．D ．3．B4．C [5．解：(1)x2－2x－1＝0，x＝（－2）2－4×1×（－1）)2×1＝1±2，∴x1＝1＋2，x2＝1－2.(2)4x2－12x－3＝0，x＝（－12）2－4×4×（－3）)2×4＝3)8＝3)2，∴x1＝32＋3，x2＝32－3.6．B7．D .8．49．k≤1且k≠010．A11．A．12．B13．A 14．A15．D16．解：∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，∴2m－1＝±4，∴m＝52或m＝－32.17．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即[－2(m＋1)]2－4m2＞0，解得m＞－12.(2)∵m＞－12，∴可取m＝0，此时方程为x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.(答案不唯一)18．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2＋2b×(－1)＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，即a＝b，∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，即a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．(3)当△ABC是等边三角形时，(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.。
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用公式法求解一元二次方程一、选择题（共17小题）1．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12 B．16 C．20 D．242．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜13．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥14．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠05．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠27．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠08．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠29．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2 C．﹣＜m＜2 D．＜m＜210．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤11．关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥ B．m≤ C．m≥D．m≤12．下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=013．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=014．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根15．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥116．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根17．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3二、填空题（共10小题）18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．19．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于．20．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．21．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．22．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为．23．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是．24．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是．25．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．26．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=，b=．27．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题）28．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．29．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）30．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．用公式法求解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题（共17小题）1．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12 B．16 C．20 D．24【考点】根的判别式．【分析】根据题意得到△=64+4a，然后把四个选项中a的值一一代入得到是正整数即可得出答案．【解答】解：∵一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0的两个根均为整数，∴△=64+4a，△的值若可以被开平方即可，A、△=64+4×12=102，=，此选项不对；B、△=64+4×16=128，，此选项不对；C、△=64+4×20=144，=12，此选项正确；D、△=64+4×24=160，，此选项不对，故选：C．【点评】本题考查了利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，得出△=16﹣4（5﹣a）≥0，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a）≥0，∴a≥1．故选A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．3．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，解得：a＞1．故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣12k＞0，解得：k＜．故选A．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．【考点】根的判别式；一次函数的图象．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0【解答】解：依题意列方程组，解得k＜1且k≠0．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m＞B．m≤且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．【解答】解：根据题意得，解得m≤且m≠2．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是（）A．m＞B．m＞且m≠2 C．﹣＜m＜2 D．＜m＜2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，再利用根与系数的关系得到﹣＞0，则m﹣2＜0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为＜m＜2．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（2m+1）2﹣4（m﹣2）（m﹣2）＞0，解得m＞且m≠2，设方程的两根为a、b，则a+b=﹣＞0，ab==1＞0，而2m+1＞0，∴m﹣2＜0，即m＜2，∴m的取值范围为＜m＜2．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．10．若关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】先根据判别式的意义得到△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解关于k的一元一次不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，解得k≤．故选D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．11．关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥ B．m≤ C．m≥D．m≤【考点】根的判别式．【分析】方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：由题意知，△=1﹣4m≥0，∴m≤，故选D．【点评】本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=0【考点】根的判别式．【分析】由方程有两个相等的实数根，得到△=0，于是根据△=0判定即可．【解答】解：A、方程x2+x+1=0，∵△=1﹣4＜0，方程无实数根；B、方程4x2+2x+1=0，∵△=4﹣16＜0，方程无实数根；C、方程x2+12x+36=0，∵△=144﹣144=0，方程有两个相等的实数根；D、方程x2+x﹣2=0，∵△=1+8＞0，方程有两个不相等的实数根；故选C．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根13．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=0【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．【解答】解：A、△=0，方程有两个相等的实数根；B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数 D．无实数根【考点】根的判别式．【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，是解决问题的关键．15．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于a的不等式，通过解不等式即可求得a的值．【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，所以△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，解之得a≤1．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．16．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．17．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．【解答】解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，则k的非负整数值为1或0．∵k≠0，∴k=1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根二、填空题（共10小题）18．若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＞﹣且a≠0．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣且a≠0．故答案为：a＞﹣且a≠0．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．19．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于3．【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，据此可列出关于k的等量关系式，即可求得k的值．【解答】解：∵关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=144﹣4×3k×（k+1）=0，解得k=﹣4或3，∵k＞0，∴k=3．故答案为3．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k≥1．【考点】根的判别式．【分析】根据二次根式有意义的条件和△的意义得到，然后解不等式组即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴，解得k≥1，∴k的取值范围是k≥1．故答案为：k≥1．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式有意义的条件．21．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＜2且k≠1．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得：k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．22．关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m的值为3．【考点】根的判别式．【分析】根据题意可知△=0，即42﹣4×2×（m﹣1）=0，解得m=3，【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，即42﹣4×2×（m﹣1）=0，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△=0⇔方程有两个相等的实数根．23．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是a＜﹣1．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，∴a≠0且△=22﹣4×a×（﹣1）＜0，解得a＜﹣1，∴a的取值范围是a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．24．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞．【考点】根的判别式．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故答案为：m＞．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．25．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1．【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．26．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=4，b=2．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满足条件的数据即可．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，∴a=b2，当b=2时，a=4，故b=2，a=4时满足条件．故答案为：4，2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．27．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为：a≤1【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．三、解答题（共3小题）28．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，求m的值．【考点】根的判别式．【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0即可得到关于m的方程，解方程求出m的值即可．【解答】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，解得m=﹣或m=．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m的方程是解答此题的关键．29．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【考点】根的判别式．【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）要使方程有整数解，那么为整数即可，于是p可取0，4，10时，方程有整数解．【解答】解：（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；，（2）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，∵方程有整数解，∴为整数即可，∴p可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．30．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．。