椭圆抛物面
高等代数与解析几何7.6
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,
椭球面----双曲面---抛物面
椭球面 双曲面 抛物面§7.9 二次曲面三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。
相应地，将平面叫做一次曲面。
一般的三元方程F x y z (,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，那未怎样了解它的形状呢?利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。
一、椭球面由方程x a y b z c 2222221++=(1)所表示的曲面叫做椭球面。
1、由(1)可知： 这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为 其中常数 a b c ,,叫做椭球面的半轴。
2、为了进一步了解这一曲面的形状， 先求出它与三个坐标面的交线 这些交线都是椭圆。
3、用平行于xoy 坐标面的平面z z z c =≤11()去截椭球面，其截痕(即交线)为这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 212-与b c c z 212-，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1由0渐增大到c 时， 椭圆的截面由大到小，最后缩成一点。
4、以平面 y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与上述类似的结果。
综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。
5、特别地，若a b =，而a c ≠，则 (1) 变为这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22221+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因此，称此曲面为旋转椭球面。
它与一般椭球面不同之处在于 如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z 轴上的圆 其半径为a c c z 212-。
6、若 a b c ==，那未(1)变成这是球心在原点，半径为a 的球面。
二、抛物面由方程x p y q z p q 2222+=()与同号(2) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。
抛物面椭圆抛物面
一、椭圆抛物面
z
x2 y2 2z
p2 q2
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
椭圆抛物面方程
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
xo
y
p 0, q 0
p 0, q 0
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕 z 轴旋
转而成的）
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于 z 轴.
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
图形如下：
z
o
y
x
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
第一章空间解析几何与向量代数考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系建立过空间定点O作三条垂直的数轴，以O为原点，具有相同单位长度，三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，统称坐标轴。
三条坐标轴的任意两条都可确定一个平面，称为坐标面。
分别是x和y确定的Oxy平面，y和z确定的Oyz平面,x和z确定的Oxz平面。
三个相互垂直的坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦象。
2．空间中两点间的距离公式设空间两点（）,（）,他们两点之间的距离为：||==。
特别地，点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离|OP|=。
考点二：向量代数1.向量的概念由数值决定大小的量，如：质量，温度，面积，密度等，称之为标量（数量）。
有大小还有方向，如：力，加速度，速度等，称之为向量。
空间中以A为起点，B为终点的线段称为有向线段，记为，简记为，将向量的长度记为||或||，称为向量的模。
如果向量的模为零，称为零向量。
定义1：如果两个向量与的长度相等且方向相同，则称这两个向量是相等的向量，记作=。
一个向量在空间中平移到任何位置而得到的向量与原向量相等，称为自由向量。
将若干个向量起点平移到同一个点后，它们的起点和终点都位于同一直线上，则称向量是共线的；起点和终点都位于同一个平面上，则称这些向量是共面的。
不论长度大小，两向量与的方向相反或相同，称与平行，记为。
2.向量的加法平行四边形法则：给定两个向量与，平移到同一个O点，设它们终点为A和B，则=，=，以，为邻边构造一个平行四边形OBCA。
以O为起点C为终点的向量=称为向量与的和，记为+=，即+=。
三角形法则：给定两个向量与，将平移，使其起点平移到的终点，此时的终点与用平行四边形法则确定的点C重合，从而=，于是与的和为+=。
零向量起点与终点重合，对于任何向量，三角形法则可得+0=。
向量加法的逆运算称为向量减法。
给定向量与，如存在使得=，则称是向量与的差，记为-=。
设=，=，有三角形法则可知=+，于是-=。
表面变形计算的椭圆抛物面法
表面变形计算的椭圆抛物面法AbstractIn the field of surface deformation calculation, the ellipsoid-paraboloid method has gained increasing attention over the last few years. In this paper, a thorough investigation of this method will be presented, including principles, implementation, and performance evaluation.The ellipsoid-paraboloid method calculates surface deformation by fitting an ellipsoid and a paraboloid to the pre- and post-displacement data, respectively. The displacement vector at each point is then determined by the intersection of the two surfaces. The method offers several advantages over other methods, including its ability to model complex deformation patterns and its robustness to outliers.Implementation of the method involves a few key steps, such as data preprocessing, determining the ellipsoid and paraboloid parameters, and calculating the intersection. The optimization process for determining the surface parameters is critical to achieving accurate results, and various techniques can be employed to ensure convergence.Performance evaluation of the method was conducted using both synthetic and real-world data. The results demonstrate that the method is capable of accurately modeling a variety of deformation patterns, and is particularly useful for monitoring subsidence, landslides, and volcano deformation. Comparisons to other methods show that the ellipsoid-paraboloid method outperformstraditional methods such as the least squares method and the Okada model.Overall, the ellipsoid-paraboloid method has proven to be a reliable and effective approach for surface deformation calculation. Its ability to accurately capture complex deformation patterns and its robustness to outliers make it a valuable tool in geodetic and remote sensing applications.Keywords: surface deformation, ellipsoid-paraboloid method, optimization, performance evaluation.IntroductionSurface deformation calculation has become an important research topic in the fields of geodetic and remote sensing applications. Understanding deformation patterns is critical for assessing potential natural hazards such as subsidence, landslides, and volcanic activity. Many different methods have been developed for surface deformation calculation, such as the least squares method, the Okada model, and the finite-element method.In recent years, the ellipsoid-paraboloid method has gained increasing attention as a robust and effective approach for surface deformation calculation. The method fits an ellipsoid and a paraboloid to pre- and post-displacement data, respectively, and calculates the displacement vector at each point as the intersection of the two surfaces. The method offers several advantages over other methods, such as its ability to model complex deformation patterns and its robustness to outliers.This paper presents a thorough investigation of the ellipsoid-paraboloid method, including principles, implementation, and performance evaluation. The following section introduces the principles of the method.PrinciplesThe ellipsoid-paraboloid method uses two surfaces to model surface deformation: an ellipsoid to represent the pre-displacement surface and a paraboloid to represent the post-displacement surface. The displacement vector at each point is then calculated as the intersection of the two surfaces.The ellipsoid has the general form:(x^2/a^2) + (y^2/b^2) + (z^2/c^2) = 1 (1)where a, b, and c are the semi-axes of the ellipsoid, and x, y, and z are the Cartesian coordinates of a given point.The paraboloid has the general form:z = Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E (2)where A, B, C, D, and E are the parameters of the paraboloid.To determine the displacement vector at each point, the intersection of the ellipsoid and paraboloid is calculated. This is a non-linear problem, which can be solved through an optimizationprocess.ImplementationThe implementation of the ellipsoid-paraboloid method involves several key steps, including data preprocessing, determination of the ellipsoid and paraboloid parameters, and calculation of the intersection.Data preprocessing involves removing any systematic errors or biases in the data. This can be accomplished through various techniques such as atmospheric correction, phase unwrapping, and filtering.The determination of the ellipsoid and paraboloid parameters involves an optimization process to minimize the difference between the observed data and the model. Various techniques can be employed for this process, such as the Levenberg-Marquardt algorithm or the Gauss-Newton algorithm.Once the parameters of the ellipsoid and paraboloid are determined, the intersection of the two surfaces can be calculated. This is done by solving the system of equations formed by the ellipsoid and paraboloid.Performance EvaluationTo evaluate the performance of the ellipsoid-paraboloid method, both synthetic and real-world data were used. The synthetic data was generated using a known deformation pattern, and the real-world data was acquired from GPS and InSAR measurements.The results show that the ellipsoid-paraboloid method is capable of accurately modeling a variety of deformation patterns, including subsidence, uplift, and horizontal displacement. The method is particularly useful for monitoring subsidence, landslides, and volcano deformation.Comparisons to other methods, such as the least squares method and the Okada model, show that the ellipsoid-paraboloid method outperforms traditional methods. The method is able to handle non-linear deformation patterns more effectively, and is more robust to outliers.ConclusionThe ellipsoid-paraboloid method is a reliable and effective approach for surface deformation calculation. Its ability to accurately capture complex deformation patterns and its robustness to outliers make it a valuable tool in geodetic and remote sensing applications. The method offers several advantages over traditional methods, such as the least squares method and the Okada model. Further research should focus on refining the optimization process and exploring the method's potential for other applications.In addition to its advantages over traditional methods, the ellipsoid-paraboloid method has several other benefits. The method is computationally efficient, requiring only a few iterations of the optimization process to achieve accurate results. This is particularly advantageous for large datasets or real-time monitoring applications.Another benefit of the method is its flexibility in modeling different types of deformation patterns. The ellipsoid and paraboloid surfaces can be adjusted to fit different shapes and magnitudes of deformation, allowing for customized models for specific applications.The ellipsoid-paraboloid method also offers improved accuracy compared to traditional methods. The method reduces the effects of noise and measurement errors through its robustness to outliers, resulting in more accurate displacement estimates.Moreover, the method can be applied to different types of measurement data, such as GPS, InSAR, or optical imagery. This versatility makes it applicable to a wide range of geodetic and remote sensing applications.Despite its advantages, the ellipsoid-paraboloid method has some limitations. The method requires precise knowledge of the location of the pre-displacement surface, which may not be available in all cases. The optimization process also requires some manual intervention or initial guess for the parameters, which can affect the accuracy of the results.In conclusion, the ellipsoid-paraboloid method has emerged as a valuable tool for surface deformation calculation. Its ability to accurately model complex deformation patterns, robustness to outliers, and computational efficiency make it a promising method for a wide range of geodetic and remote sensing applications.A significant advantage of the ellipsoid-paraboloid method is itsability to estimate the magnitude and direction of surface deformation. The method calculates the three principal strains and their corresponding directions along the ellipsoid, providing a comprehensive analysis of the deformation pattern. This information can be used to understand the geophysical processes behind the deformation, such as tectonic plate movements, volcanic activity, or ground subsidence.Furthermore, the ellipsoid-paraboloid method can also detect and quantify spatially varying deformation patterns within a study area. This is particularly useful for studying the behavior of localized deformation phenomena, such as landslides, sinkholes, or fault zones. The method can be applied to multi-temporal data to observe the temporal evolution of these phenomena and provide insights into their mechanisms and hazards.Another potential application of the ellipsoid-paraboloid method is in deformation monitoring and early warning systems. The method's computational efficiency and accuracy make it suitable for real-time or near-real-time analysis of geodetic data. This can help detect and alert authorities to potential hazards, such as earthquakes or volcanic eruptions, before they cause significant damage.In conclusion, the ellipsoid-paraboloid method has several advantages over traditional surface deformation methods, including its accuracy, flexibility, and efficiency. The method can provide valuable insights into the geophysical processes behind deformation patterns and is a promising tool for a range of geodetic and remote sensing applications. Its potential benefits inhazard monitoring and early warning systems also make it a significant contribution to the field of geodesy and geophysics.Another advantage of the ellipsoid-paraboloid method is its ability to detect and quantify surface deformation at different spatial scales. The method is suitable for analyzing data from a variety of sources, including GPS, InSAR, and terrestrial measurements. This enables researchers to study deformation at local, regional, and global scales, providing a more comprehensive understanding of geophysical processes.One prominent application of the ellipsoid-paraboloid method is in the study of volcanic deformation. The method can help researchers to monitor and analyze surface deformation associated with volcanic activity, providing critical information on the behavior of active volcanoes. By understanding how volcanoes deform over time, researchers can forecast volcanic eruptions and assess the associated hazards. The method has been used to study deformation at several volcanoes worldwide, including Mount St. Helens in the United States and Mount Etna in Italy. Moreover, the ellipsoid-paraboloid method can also be used to study the behavior of fault zones and earthquakes. The method can detect and quantify surface deformation associated with seismic activity, providing insights into the mechanisms behind earthquakes and fault movements. This information is crucial for understanding the risks associated with earthquakes and improving seismic hazard assessments. The method has been used to study deformation associated with several earthquakes worldwide, including the 2010 M8.8 earthquake in Chile and the 2011 M9.0 earthquake in Japan.In summary, the ellipsoid-paraboloid method is a powerful tool for analyzing surface deformation associated with geophysical processes. Its ability to detect and quantify deformation at different spatial scales and sources make it suitable for a wide range of geodetic and remote sensing applications. The method's potentialto improve hazard monitoring and early warning systems further highlights its significance in the field of geodesy and geophysics.Yes, that is correct. The ellipsoid-paraboloid method has many significant applications in geodesy and geophysics, particularly in the study of volcanic deformation, seismic activity, and fault movement. Its ability to analyze data from multiple sources at different spatial scales makes it a valuable tool for monitoring and understanding the behavior of various geophysical processes. The method's potential to improve hazard monitoring and early warning systems is also a critical contribution to the field.。
抛物面
a
0
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
3 平面x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图 2
z
3 a 2
a
0
.
a
3 a 2
y
3 a 2
a
x
平面x a, y a, z a, x y z
z
3 a 2
3 a 在第一卦限所围立体图 2
4.主截线
1°用z = 0 截曲面
z
Cz 0： 0,0,0 顶点
2°用y = 0 截曲面
两条主抛物线具 有相同的顶点,对 称轴和开口方向
x 2 2a 2 z， 抛物线 C y 0： y 0.
3°用x = 0 截曲面
y 2 2b 2 z， 抛物线 Cx 0： x 0.
x2 y2 当a b 时, 2 2 2 z x 2 y 2 2a 2 z , a b
课程《几何学》
例 将抛物线
y 2 2 pz : x 0
z
绕它的对称轴旋转
o
y
课程《几何学》
例 将抛物线
y 2 2 pz : x 0
z
绕它的对称轴旋转
o
y
x
Cx＝0
y O
Cy＝0
主抛 物线
x2 y2 2 2 0 b a z 0
————其为点（0，0，0）
x 2 2a 2 z ————xoz 面上的抛物线 y 0
y 2 2b2 z ———— yoz 面上的抛物 线 x 0
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴 z 轴，开口均 向z轴正方向
面积、体积计算公式
用求面积、体积公式
一、平面图形面积
二、多面体的体积和表面积
三、物料堆体积计算
四、壳体表面积、侧面积计算
1、圆球形薄壳（图1-1）
图1-1 圆球形薄壳计算图
2、椭圆抛物面扁壳（图1-2）
图1-2 椭圆抛物面扁壳计算图
3、椭圆抛物面扁壳系数计算
见图1-2，壳表面积（A）计算公式：
A＝S x·S y＝2a×系数K a×2b×系数K b 式中 K a、K b——椭圆抛物面扁壳系数，可按表查得。
椭圆抛物面扁壳系数表
查表说明
［例］已知2a＝24.0m，2b＝16.0m，h x＝3.0m，h y＝2.8m，试求椭圆抛物面扁壳表面积A。
先求出h x/2a＝3.0/24.0＝0.125
h y/2b＝2.8/16.0＝0.175
分别查表得系数K a为1.0402和系数K b为1.0765，则扁壳表面积A＝24.0×1.0402×16.0
×1.0765＝429.99m2
4、圆抛物面扁壳（图1-3）
图1-3 圆抛物面扁壳计算图
5、单、双曲拱展开面积
1．单曲拱展开面积＝单曲拱系数×水平投影面积。
2．双曲拱展开面积＝双曲拱系数（大曲拱系数×小曲拱系数）×水平投影面积。
单、双曲拱展开面积系数见表1-77。
单双曲拱展开面积计算图见图1-4。
图1-4 单、双曲拱展开面积计算图
L-拱跨；F-拱高
单、双曲拱展开面积系数表表1-77
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一椭圆抛物面
§6 抛物面例 ：yoz 面上抛物线()0022>⎩⎨⎧==p x pzy 绕z 轴旋转，所得旋转面为()pz y x 2222=+±，即 ()()z py p x 22222=+。
此曲面称为旋转抛物面，将该曲面推广便有：一 椭圆抛物面：1、定义：在直角系下，由方程 z by a x 22222=+ （a,b>0） （1）所表示的图形称为椭圆抛物面；而（1）称为椭圆抛物面的标准方程。
注：在直角系下，由方程y c z a x 22222=+或x cz b y 22222=+所表示的图形也是椭圆抛物面。
2、性质和形状：（i ）对称性：椭圆抛物面（1）关于z 轴，z y 面，z x 面对称，在ch6中，我们将会知道椭圆抛物面无对称中心。
（ii ）有界性：由（1）知z=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+222221b y a x ≧0，∴椭圆抛物面（1）位于y x 面的上方，且为无界的。
（iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线（1）与三坐标轴均交于原点——顶点； （1）与三坐标面交于 ⎩⎨⎧=0)1(x ，⎩⎨⎧=0)1(y ，⎩⎨⎧=0)1(z ，亦即⎩⎨⎧==0222x z b y （2），⎩⎨⎧==0222y z a x （3），⎪⎩⎪⎨⎧==+02222z b y a x （4）（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z 轴正向。
对称轴均为z轴；而（4）为原点。
（iv ）与平行于坐标面平面的交线：首先，（1）与平行于y x 面的平面交于⎩⎨⎧=kz )1( ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+k z k b y a x 22222 （()0≥k ） （5）当0=k 时，（5）为原点； 当0>k 时，（5）为椭圆，其顶点为（0，±b k 2，k ）∈（2）, （±a k 2，0，k ）∈（3）.可见，椭圆抛物面（1）是由y x 面上方的一系列“平行”椭圆构成，这些椭圆的顶点在抛物线（2）和（3）上变化。
(完整版)一椭圆抛物面
§6 抛物面例 ：yoz 面上抛物线()0022>⎩⎨⎧==p x pzy 绕z 轴旋转，所得旋转面为()pz y x 2222=+±，即()()z py p x 22222=+. 此曲面称为旋转抛物面,将该曲面推广便有：一 椭圆抛物面：1、定义：在直角系下，由方程 z by a x 22222=+ （a,b 〉0) (1）所表示的图形称为椭圆抛物面；而(1）称为椭圆抛物面的标准方程.注：在直角系下，由方程y c z a x 22222=+或x cz b y 22222=+所表示的图形也是椭圆抛物面。
2、性质和形状：（i ）对称性：椭圆抛物面（1)关于z 轴,z y 面,z x 面对称，在ch6中，我们将会知道椭圆抛物面无对称中心。
（ii ）有界性：由（1）知z=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+222221b y a x ≧0，∴椭圆抛物面（1）位于y x 面的上方，且为无界的。
(iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线（1）与三坐标轴均交于原点——顶点； (1）与三坐标面交于⎩⎨⎧=0)1(x ，⎩⎨⎧=0)1(y ，⎩⎨⎧=0)1(z ，亦即⎩⎨⎧==0222x z b y （2），⎩⎨⎧==0222y z a x （3），⎪⎩⎪⎨⎧==+02222z b y a x （4）(2）,（3)均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z 轴正向。
对称轴均为z 轴；而（4）为原点。
(iv ）与平行于坐标面平面的交线:首先，（1)与平行于y x 面的平面交于⎩⎨⎧=k z )1( ,即⎪⎩⎪⎨⎧==+k z k b y a x 22222 (()0≥k ） （5）当0=k 时,（5)为原点; 当0>k 时，（5）为椭圆,其顶点为(0，±b k 2,k)∈（2）, （±a k 2，0，k ）∈(3）.可见，椭圆抛物面(1）是由y x 面上方的一系列“平行”椭圆构成，这些椭圆的顶点在抛物线(2)和(3）上变化.(图4.6）另外，椭圆抛物面(1）与平行于z y 面的平面交于⎩⎨⎧=k x )1( ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=k x a h z b y )2(22222 （6） 对k ∀，(6)均为全等的抛物线,其顶点(k ,0,222ak )∈（3）对称轴∥z 轴,开口方向朝z 轴正向(与(3）的开口方向一致)最后，若用平行于z x 面的平面去截（1)，其截线情况于上类似，由此可得椭圆抛物面的几何特征如下：椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上,开口方向与定抛物线开口方向一致,且它们所在平面始终保持垂直(如图4.6).二 双曲抛物面：1、定义：在直角系下，由方程 z by a x 22222=- （a,b 〉0） (1)所表示的图形称为双曲抛物面；而(1）称为双曲抛物面的标准方程。
椭圆抛物面
椭圆抛物面椭圆抛物面椭圆抛物面是一种特殊的曲面，由一个椭圆绕其长轴旋转而形成。
它是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
首先，我们来看看椭圆抛物面的定义。
椭圆抛物面是一个平面曲线，其定义为到一个定点和一条定直线的距离之比为常数。
椭圆抛物面的形状是一个平滑的曲线，具有对称性和美学上的吸引力。
椭圆抛物面最早由希腊数学家阿波罗尼乌斯在公元前二世纪提出。
他发现了椭圆抛物面的重要性，并研究了它的性质和应用。
椭圆抛物面在天文学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
在天文学中，椭圆抛物面被广泛应用于描述天体运动。
行星的轨道通常是椭圆抛物面，而太阳则位于椭圆抛物面的一个焦点上。
根据行星的质量和速度，可以通过椭圆抛物面的方程来计算其轨道。
在物理学中，椭圆抛物面用于描述物体在地球上自由落体运动的轨迹。
当物体在一个引力场中自由下落时，其轨迹就是一个椭圆抛物面。
这个概念在研究天体运动、物体抛射、空气力学等方面有着重要的应用。
在工程学中，椭圆抛物面也有广泛的应用。
例如，在天线的设计中，椭圆抛物面被用作反射器的形状，以便更好地聚焦无线电波。
此外，椭圆抛物面在光学、声学等领域也有重要的应用。
除了应用领域，椭圆抛物面本身的数学性质也非常有趣。
椭圆抛物面是一个二次曲面，其方程可以用二次方程表示。
它有两个焦点和一个顶点，这些点对于椭圆抛物面的性质和构造非常重要。
椭圆抛物面还具有一些重要的性质。
例如，椭圆抛物面上的每一个点都等于焦点到该点的距离与定直线到该点的距离之比。
此外，椭圆抛物面还具有反射性质，即从一个焦点射入的光线会经过定直线反射到另一个焦点上。
这个性质在望远镜、抛物面反射器等设备中有重要的应用。
总之，椭圆抛物面是一个重要的数学概念，具有广泛的应用。
它在天文学、物理学、工程学等领域都发挥着关键作用，对于研究和解决实际问题具有重要意义。
椭圆抛物面的数学性质和应用值得我们深入研究和探索。
通过理解和应用椭圆抛物面，我们可以更好地理解自然界和优化工程设计，推动科学技术的发展。
旋转抛物面
旋转抛物面
旋转抛物面是指抛物线旋转180°所得到的面。
数学上的抛物线就是同一平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的集合。
抛物面是二次曲面的一种。
抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。
椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：
双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为：
抛物面性质
当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。
它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。
反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。
椭圆抛物面的参数方程为：。
椭圆抛物面
2
z
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o
Q
y
三个坐 标平面 P
第一卦限
x
我们设想用一平行于yoz面的平面来截割它们，
那么截得一矩形ABCD
z 4 x
顶点
2
z
S (0,0,4)
A
B
S (0,0,4)
平面
DHale Waihona Puke o2x y 4
三个坐 标平面 P
Q
C
y
第一卦限
x
我们设想用一平行于yoz面的平面来截割它们，
那么方程变为
x 2 y 2 2a 2 z
曲面就成为旋转抛物面。
例 2 作出曲面 z 4 x 2 与平面 2 x y 4， 三坐标面所围成的立体在第一卦限部分的立体图 形 解
z 4 x
2
为抛物柱面，
准线为 xOz面上的抛物线,
它的母线平行于 y 轴,
抛物线的顶点为 S (0, 0, 4),
下面考虑与xoy面平行的平面的截口
x2 y2 2 2z 2 a b
用坐标平面 xOy 来截曲面 只得一点（0，0，0）, 用平行于xoy面的平面 z h(h 0) 来截曲面, 截线方程
x2 y2 2 2 1 2a h 2b h z h
（3）
为椭圆. 这个椭圆的两对顶点分别为 ( a 2h ,0, h)
x 2 2a 2 z y 0
与 这是抛物线
（1）
y 2 2b 2 z x 0
（2）
这两个抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线.
这两个主抛物线的特点.
椭圆抛物面方程
椭圆抛物面方程椭圆抛物面方程，是描述椭圆抛物面的数学方程。
椭圆抛物面是一种三维几何体，具有特殊的形状和性质。
在本文中，我们将介绍椭圆抛物面的定义、特征以及一些相关的应用。
我们来看一下椭圆抛物面的定义。
椭圆抛物面可以通过以下方程来描述：(x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 2z其中，a和b分别为椭圆抛物面在x轴和y轴上的半径。
可以看出，椭圆抛物面在z轴上的形状是一个抛物线。
而在平面上，椭圆抛物面的截面是一个椭圆。
椭圆抛物面具有一些特殊的性质。
首先，它是一个二次曲面，形状对称。
其次，椭圆抛物面在三个坐标轴上的截面分别是一个抛物线、一个椭圆和一个双曲线。
此外，椭圆抛物面还具有焦点和准线等重要概念。
椭圆抛物面在几何学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述物体的形状。
例如，在建筑设计中，椭圆抛物面常被用来设计拱门和穹顶。
其次，椭圆抛物面还可以用来求解一些物理问题。
例如，在光学中，椭圆抛物面可以用来描述光线在曲面上的反射或折射行为。
此外，在机械工程中，椭圆抛物面可以用来设计一些特殊形状的零件，如齿轮和摆线轮。
除了几何学和物理学应用外，椭圆抛物面还在数学分析中有重要的地位。
例如，在微积分中，椭圆抛物面可以用来求解一些曲线的长度、曲率和曲率半径等问题。
此外，在微分方程中，椭圆抛物面的方程也常常出现。
椭圆抛物面方程是描述椭圆抛物面的数学方程，它具有特殊的形状和性质。
椭圆抛物面在几何学、物理学和数学分析中有广泛的应用。
通过研究和应用椭圆抛物面方程，我们可以更好地理解和利用这一特殊的几何体。
抛物面
§4.6 抛物面一、椭圆抛物面1．在直角坐标系下,由方程+＝2z所表示的曲面叫做椭圆抛物面, 该方程叫做椭圆抛物面的标准方程, 其中a, b为任意正常数.2. 椭圆抛物面的图形（如图4-7）.(1) 曲面的对称性：椭圆抛物面关于yOz, zOx坐标面以及z轴对称, 但它没有对称中心, 它与对称轴交于点(0, 0, 0), 这点叫做椭圆抛物面的顶点.(2) 曲面与坐标轴的交点：椭圆抛物面通过坐标原点, 且除原点外, 曲面与三坐标轴没有别的交点.(3) 曲面的存在范围：椭圆抛物面全部在xOy坐标面的一侧, 即在z≥0的一侧.(4) 被坐标面截得的曲线①②③①表示一点(0, 0, 0), 而②与③分别为xOz与yOz坐标面上的抛物线, 它们有着相同的顶点和相同的对称轴即z轴, 开口都向着z轴的正向,都叫做椭圆抛物面的主抛物线.(5) 被坐标平面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平行平面z＝h(h>0)来截椭圆抛物面, 得截线方程为+＝1. ④椭圆抛物面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在的平面与xOy坐标面平行, 两顶点分别在双曲线②与③上.用平行于xOz坐标面的平面y＝k来截割椭圆抛物面,所截得的曲线为抛物线用平行于yOz坐标面的平面来截椭圆抛物面所得的截线也是抛物线.若a＝b, 则椭圆抛物面就是旋转抛物面.3. 椭圆抛物面的参数方程为(u, v是参数)二、双曲抛物面1. 在直角坐标系下, 由方程－＝2z所表示的曲面叫做双曲抛物面, 如图5-8, 该方程叫做双曲抛物面的标准方程, 其中a, b 为任意正常数.2. 双曲抛物面的图形（如图4-8）.(1) 曲面的对称性：双曲抛物面关于xOz坐标面, yOz坐标面以及z轴都对称, 但它没有对称中心.(2) 曲面与坐标轴的交点：双曲抛物面通过原点, 且除原点外与三坐标轴没有其它交点.(3) 被坐标面所截得的曲线：双曲抛物面被xOy坐标面截得的曲线方程为⑤这是一对相交于原点的直线与被xOz与yOz坐标面截得的曲线方程分别为⑥⑦这两抛物线叫做双曲抛物面的主抛物线, 它们有着相同的顶点与相同的对称轴, 即z轴, 但开口方向相反.(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：用平行于xOy坐标面的平面z＝h来截割双曲抛物面, 得截线方程为⑧这是双曲线, 当h>0时, 双曲线⑧的实轴与x轴平行, 虚轴与y轴平行, 顶点(±a, 0, h)在主抛物线⑥上; 当h<0时,双曲线⑧的实轴与y轴平行, 虚轴与x轴平行, 顶点(0, ±b,h)在主抛物线⑦上.用分别平行于xOz与yOz坐标面的平面y＝k与x＝t来截曲面,其截线都是抛物线, 方程分别为⑨⑩抛物线⑨的对称轴平行于z轴, 且开口方向与z轴正向相同, 顶点(0, k, －)在主抛物线⑦上; 抛物线⑩的对称轴也平行于z轴, 但开口方向与z轴的正向相反, 顶点(t, 0,)在主抛物线⑥上.双曲抛物面也叫做马鞍曲面.椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面, 它们都没有对称中心,所以又都叫做无心二次曲面.3. 双曲抛物面的参数方程为(u, v为参数)例1. 在空间直角坐标系中, 求与直线l1：＝＝和l2：＝＝共面且与平面π：x－y－5＝0平行的直线所组成的轨迹.解：设满足条件的直线方程为＝＝，由直线与l1共面得＝0,或 (4y0＋z0－4)X＋(－4x0＋z0＋4)Y＋(－x0－y0＋z)Z=0. ①由直线与l2共面得＝0,或z0X＋z0Y＋(―x0―y0)Z＝0. ②由直线平行于平面π得X－Y＝0. ③因为X, Y, Z不全为零, 所以由上面①、②、③构成的齐次线性方程组应有非零解, 因而＝0,化简得x02－y02＝z0.其中 (x0, y0, z0) 表示所求直线上的点, 从而满足条件的直线所组成的轨迹是双曲抛物面x2－y2＝z.例2. 适当选取坐标系, 求下列轨迹的方程：(1) 到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹;(2) 与两给定异面直线等距离的点的轨迹,已知两异面直线之间的距离为2a, 夹角为2α.解:(1) 设定点到定平面的距离为h>0, 常数c>0. 取定平面为xOy平面, z轴垂直于定平面并通过定点建立直角坐标系, 设定点坐标为(0, 0, h), 动点坐标为(x, y, z), 依题意有，化简整理得x2+y2+(1－c2)z2－2hz＋h2＝0.讨论：当h＝0时, 方程为x2+y2+(1－c2)z2＝0,(i) c>1时为圆锥面;(ii) c＝1时为z轴;(iii) c<1时为一点(0, 0, 0).当h≠0时,(i) c>1时为旋转双叶双曲面;(ii) c＝1时为旋转抛物面;(iii) c<1时为旋转椭球面.(2) 取两异面直线的公垂线为z轴, 公垂线中点为原点, 并取轴与两异面直线成等角建立空间直角坐标系, 设公垂线与两异面直线的交点分别为E (0, 0, a), F (0, 0, －a).则两异面直线的方向矢量分别为＝{cosα, sinα, 0},＝{cosα,－sinα, 0}.设动点为P(x, y, z), 依题意有＝,即 |{cosα, sinα, 0}×{x, y, z－a}|＝|{ cosα, －sinα, 0}×{x, y, z+a}|,化简整理得2az＋xy sin2α＝0.该曲面表示一个双曲抛物面.例3. 画出下列方程所代表的图形：(1) ++z＝1; (2) z＝xy;解：(1) +＝－(z－1);(2) z不动, 把x, y轴绕z 轴旋转x =,y =,z=z'..则方程化为x'2－y'2＝z'.例4.画出下列各组曲面所围成的立体的图形：(1) y＝0, z＝0, 3x＋y＝6, 3x＋2y＝12, x＋y＋z＝6；(2) x2+y2＝z, 三坐标面, x＋y＝1;(3) x ＝, ＝x, y＝1；(4) x2＋y2＝1, y2＋z2＝1.解：如下图作业题：1. 判断下列方程表示什么曲面, 并画出草图.(1) 4y2＋z2＝4x；(2) 3x2－5y2+15z＝0 .2. 方程＋＝z (a>b>0, k为参数)表示一族无心二次曲，问k取何值时，二次。
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2 2 t 2 x 2a ( z ) 2 2b y t
x a
2 2
y b
2 2
2z
（4）
是抛物线
显然抛物线（4）与主抛物线（1）全等， z 且它所在的平面平行于 主抛物线（1）所在的 平面和有相同的开口方向.
x 2 2a 2 z y 0
0
(1)
y x
2 2 t 2 ) x 2a ( z 2 2b y t
（4）
此外，抛物线（4）的顶点
t
2 2
z
(0, t ,
)
2b
位于主抛物线（2）上，
y 2 2b 2 z x 0
0
(2) x
y
因此我们得到下面得结论：
如果取两个这样的抛物线，它们所在的平面 互相垂直，它们的顶点和轴都重合，而且两抛物 线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于 自己（即与抛物线所在的平面平行）且使其顶点 在另一个抛物线上滑走，那么这一抛物线的运动 轨迹便是一个 椭圆抛物面.
o y
三个坐 标平面
第一卦限
2x y 4
x
z 4 x
2
z
顶点
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o y
三个坐 标平面
第一卦限
x
z 4 x
2
z
顶点
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o y
三个坐 标平面
第一卦限
x
z 4 x
2 2
x y 2a z
曲面就成为旋转抛物面。
例 2 作出曲面 z 4 x 2 与平面 2 x y 4， 三坐标面所围成的立体在第一卦限部分的立体图 形 解
z 4 x
2
为抛物柱面，
准线为 xOz面上的抛物线,
它的母线平行于 y 轴,
抛物线的顶点为 S (0, 0, 4),
6 z
0
.
6
y
2 4
x
6
p173. 作图练习
4(4) x2+y2=1, x2+z2=1 所围成立体（只画出第一卦限部分）
z
0
a a
x
y
p173. 作图练习
(4) x2+y2=1, x2+z2=1 所围成的立体（只画出第一卦限部分）
z
y=0
.
x=0
0
z=0
a
y
a
x
p173. 作图练习
(4) x2+y2=1, x2+z2=1 所围成的立体（只画出第一卦限部分）
相反.
开口方向与z 轴的方向
平面 2 x y 4 平行于 z 轴，它与xoy面的交线
2 x y 4 是一条直线 , z 0 点 P(2, 0, 0), Q(0,4,0)
这条直线与x轴, y轴分别交于
z 4 x
2
z
顶点
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
2 2
y b
2 2
2z
它与对称轴(z轴)交于点（0，0，0）, 这点叫做椭圆抛 物面的顶点.
从方程（1）知
1 x y z ( 2 2)0 2 a b
2 2
所以曲面全部在 xOy 平面的一侧，即在 z 0 的一侧.
平行截割法
x a
2 2
y b
2 2
2z
用坐标面 y 0及 x 0截割曲面， 得方程
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
p173. 作图练习 (1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6 z
x+y+z=6
0
.
6
y
2 4
x
6
p173. 作图练习 (1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
那么截得一矩形ABCD
双曲面
椭球面
抛物面
思考与练习：第173页. 4. （图示见后） 作业：第173页. 1. 5.
p173. 作图练习 4(1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成立体图
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
6
y
2
x
6
p173. 作图练习
x 2 2a 2 z y 0
（1）
与 这是抛物线
y 2 2b 2 z x 0
（2）
这两个抛物线叫做椭圆抛物面的主抛物线.
这两个主抛物线的特点.
x 2 2a 2 z y 0
（1） 开口方向: z 轴的正向一致
与
y 2 2b 2 z x 0
2
z
顶点
S (0,0,4)
S (0,0,4)
平面
2x y 4
o
Q
y
三个坐 标平面 P
第一卦限
x
我们设想用一平行于yoz面的平面来截割它们，
那么截得一矩形ABCD
z 4 x
2
z
顶点
S (0,0,4)
S (0,0,4)
A
B
平面
2x y 4
o
D Q
C
y
三个坐 标平面 P
第一卦限
x
我们设想用一平行于yoz面的平面来截割它们，
0
y x
因此，椭圆抛物面可以看成是由一个椭圆的变动 （大小位置都改变）而产生的.这个椭圆在变动中，
保持所在平面平行于xoy面且两对顶点分别在抛 物线（1）与（2）上滑动. z
x 2 2a 2 z y 0
y 2 2b 2 z x 0
0
y x
如果我们用平行于xoz面的平面
(0,b 2h , h)
这两个顶点在哪些曲线上.
它们分别在主抛物线（1）与（2）上.
2 x2 y 1 顶点 ( a 2h ,0, h) (0,b 2h , h) 2 2 2a h 2b h z z h
x 2 2a 2 z y 0
y 2 2b 2 z x 0
（2）
开口方向: z 轴的正向一致
它们有着共同的轴与相同的开口方向，即开 口方向都与 z 轴的正向一致.
下面看主截口演示
主截口演示
z
图形主框架
x 2 2a 2 z y 0
y 2 2b 2 z x 0
x
y 0
x 0
y 0
下面考虑 与xoy面 平行的平 面的截口
抛物面 1. 椭圆抛物面
定义 1 在直角坐标系下，由方程
x a
2 2
y b
2 2
2z
（1）
所表示的曲面叫做椭圆抛物面，方程（1）叫 做椭圆抛物面的标准方程，其中 a, b 是任意的正 常数。
对称性
显然椭圆抛物面（1）对称于
xOz 与 yOz
坐标面， 也对称于 z 轴，但是它没有对称中心.
x a
z
见下面的演示. x
0
y
两个开口向上、互相垂直的 抛物线，形成椭圆抛物面
z
y 0
x
平行截割法生成椭圆抛物面
x a
2 2
y b
2 2
2z
z
平行截割法
用z = a截曲面 用y = b截曲面
用x = c截曲面
x
y 0
x a
2 2
y b
2 2
2z
在椭圆抛物面方程中，如果
a b
2
那么方程变为
z
简图
a
.
0
a
y
a
x
下面考虑与xoy面平行的平面的截口
x a
2 2
y b
2 2
2z
用坐标平面 xOy 来截曲面 只得一点（0，0，0）, 用平行于xoy面的平面 z h(h 0) 来截曲面, 截线方程
2 x2 y 1 2 2 2a h 2b h z h
（3）
为椭圆. 这个椭圆的两对顶点分别为 ( a 2h ,0, h)
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
y
2
x
6
p173. 作图练习 (1) 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
6 z
x+y+z=6
3x+y=6
3x+2y=12
0
.
6
y
2面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图