2014中考备考数学总复习基础讲练第5讲一元二次方程
中考总复习一元二次方程复习PPT课件
知识回顾
二）、一元二次方程的解和解法 (1). 一元二次方程的解. 满足方程，有根就是两个
(2).一元二次方程的几种解法
①直接开平方法②因式分解法
③配方法
④公式法
.
4
知识回顾 (1)直接开平方法
(2)因式分解法
Ax2=B(A≠0)
因式分解 有哪些方法？
(3) 配方法 (4)公式法
当二次项系数为1的时候， 方程两边同加上一次项系 数一半的平方
• （1） 3x 2 5y 3 • 整式方程中都只
• （2） x2 4
含有一个未知数，
• （3） x2 1 x2
并且未知数的最 高次数是2，这样
x 1
的方程叫做一元
• （4） x24(x2)2 二次方程
２．若方程(k²+2k-3)x²+(k-1)x+4=0是关于x 的一元二次方程，则k.的取值范围是＿＿＿＿3
2)方程x²-3x+6=0与方程x²-6x+3=0 的所有根的积与和分别是____,____
８．等腰三角形ＡＢＣ中，BC=8,AB,AC
的长是关于x的方程x²-10x+m=0的两个根，
则m的值为＿＿＿＿＿.
9
基础闯关
9：用给定的方法解下列方程： (1) －x2＋12x =9（配方法）
2 )x ( 1 )2 3 x 1 2 0 ;（因式分解法）
b b2 4ac
当b-4ac≥0时，x=
2a
.
5
基础闯关
３．若m是方程x2+5x+3=0的根,
则3m2+15m－２的值为 ——
.
４.已知x＝－1是方程x²－ax＋6＝0的一个根，
《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0〕。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a〕2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么 a=0 或b=0。
步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的考前须知：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②假设b2－4ac＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3〔x＋4〕中，不能随便约去 x＋4。
初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料
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初三上册数学《一元二次方程》知识点复习资料等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数;②未知数的次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
《一元二次方程》总复习、练习、中学考试真题【题型解析汇报】
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac 2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
2014年中考数学专题复习课件--一元二次方程
┃ 一元二次方程
探究二 一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法．
┃ 一元二次方程
例 2 [2013· 广州] 解方程：x2－10x＋9＝0.
解 析 解
可用因式分解法或公式法． 解法一：(因式分解法)： (x－1)(x－9)＝0， x－1＝0 或 x－9＝0， 所以 x1＝1，x2＝9. 解法二：(求根公式法)： a＝1，b＝－10，c＝9， b2－4ac＝(－10)2－4×1×9＝64，
┃ 一元二次方程
解 析
本题考查了列一元二次方程解决实际问题的
能力，由于每半年发放的资助金额的平均增长率为 x，则 去年下半年发放的资助金额为 389(1＋x)元，今年上半年 发放的资助金额为 389(1＋x)2 元，根据相等关系“今年上 半年发放了 438 元”，可建立一元二次方程 389(1＋x)2＝ 438，故选 B.
皖考解读
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当堂检测
┃ 一元二次方程
解
(1)Δ ＝b2－4ac＝4－4(2k－4)＝20－8k. ∵方程有两个不相等的实数根， 5 ∴20－8k>0，∴k< . 2 (2)∵k 为正整数， 5 ∴0<k< (且 k 为整数)，即 k 为 1 或 2， 2 由求根公式得 x1，2＝－1± 5－2k. ∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数． 当 k＝1 时，5－2k＝3；当 k＝2 时，5－2k＝1.∴k＝2.
一元二次方程
变式题 [2012· 绵阳] 已知关于 x 的方程 x2－(m＋2)x＋ (2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并 求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
初三一元二次方程复习课
综合练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合练习题是将一元二次方程与其他数学知识进行整合，要求学生能够灵活运用所学知识解决复杂问题。这些题 目可能涉及到一元二次方程与其他方程的联立、函数与一元二次方程的结合等，旨在培养学生的综合运用能力和数学思维能 力。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
01
02
03
详细描述
对于标准形式的一元二次方程$ax^2 = b$，我们可以直接开平方，得到$x = pm sqrt{frac{b}{a}}$。这种方法适用于$a neq 0$且$b geq 0$的情况。
配方法
总结词
通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解 。
详细描述
首先将一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$转化为$x^2 + frac{b}{a}x = -frac{c}{a}$，然后通过配方得到$(x + frac{b}{2a})^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$，最后求得$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
详细描述
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，它的解是满足该方程的未知数 x 的值。根 据解的情况，一元二次方程的解可以分为实数解和虚数解两种。实数解是指未知数 的值是实数的解，虚数解是指未知数的值是复数的解。
03
一元二次方程的解法
直接开平方法
总结词
适用于标准形式$ax^2 = b$的方程，直接开平方法是将方程两边同时开平方， 求得方程的解。
学习重点与难点
学习重点
一元二次方程的解法、根的性质 和判别式。
2014年中考数学一轮复习讲义：一元二次方程
2014年中考数学一轮复习讲义：一元二次方程【考纲要求】1．理解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的解法．3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．4．会列一元二次方程解决实际问题.【命题趋势】结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知识综合命题时常为解答题.【知识梳理】一、一元二次方程的概念：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。
二、一元二次方程的解法：1、解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
2、配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为能直接开平方的形式，再利用直接开平方法求解。
3、公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时，方程有两个实数根。
4、因式分解法：用因式分解法解方程的原理是：若a·b＝0，则a＝0或b=0.三、一元二次方程根的判别式：1．一元二次方程根的判别式是⊿=b2－4ac。
2．(1)b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；(2)b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根；(3)b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根。
四、一元二次方程根与系数的关系：1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式． 2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣,12c x x a五、实际问题与一元二次方程： 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审题；(2)设未知数；(3)找相等关系；(2)(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案． 题型分类 、深度剖析：考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0解析：由一元二次方程的定义可知选项A 不是整式方程；选项B 中，二次项系数可能为0；选项D 中含有两个未知数．故选C.答案：C方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.触类旁通1 已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )A ．－2B ．2C ．5D ．6 考点二、一元二次方程的解法 【例2】解方程x 2－4x ＋1＝0.分析：本题可用配方法或公式法求解．配方法通常适用于二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程．对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解．解：解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12＞0，x ＝4±122＝2± 3.方法总结 此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．触类旁通2 解方程：x 2＋3x ＋1＝0. 考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4± 2D ．0或8解析：b 2－4ac ＝(m －2)2－4(m ＋1)＝0，解得m 1＝0，m 2＝8.故选D. 答案：D方法总结 由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b 2－4ac ＝0，从而得到一个关于m 的方程，解方程求得m 的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．触类旁通3 已知关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋k ＝0(m ≠0)有两个实数根，则下列关于判别式n 2－4mk 的判断正确的是( )A ．n 2－4mk ＜0 B ．n 2－4mk ＝0 C ．n 2－4mk ＞0 D ．n 2－4mk ≥0 考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2. 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1， 即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12，∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②当x 1＋x 2＜0时，则有x 1＋x 2＝－(x 1x 2－1)， 即2(k －1)＝－(k 2－1)．解得k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.综合①②可知k ＝－3.解法二：依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)． 由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0.∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．触类旁通4 若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( ) A ．4 B ．3 C ．－4 D ．－3 考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得 6.4(1＋x )2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2011年的年产量为12.5万辆．方法总结 此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．触类旁通5 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加__________件，每件商品盈利__________元(用含x 的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？。
中考总复习 一元二次方程
（１）增长率
设ａ为原来量，x为平均增长率，ｎ为增长数，b为增长后 的量，则 有 . ；当 ｍ 为平均下降率时，则
（２）利润等量关系： 利润 ＝ 售价 － 成本； ．
（３）面积类问题常见图形归纳如下：
如图①所示的矩形 ＡＢＣＤ 长为 ａ，宽为 ｂ，空白部分 宽为 ｘ，则阴影部分的面积表示为 ________________.
中考考点清单 甘肃三年真题精讲练（精讲，精练）
考点巩固练习
例：1、关于x的方程 x 2 (k 2) x 6 k 0 有两个相等的正实数根，
则k的值是（
2
）
2
2、若啊a，b，c是∆ABC的三边长，且关于x的方程
a( x 1) 2cx b( x 1) 0
∆ABC的形状
命题点4 一元二次方程根与系数的关系 例（’13甘南州22题4分）设m、n是一元二次方程x2+2x-3=0 的两根，则
m 2 n mn 2 m2 n2
的值为________.
命题点5 一元二次方程的实际应用 例（’15甘肃省卷7题3分）近年来某县加大了对教育经费的投 入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元.设该县投入 教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程 正确的是( ) A. 2500x2=3600 B. 2500(1+x)2=3600 C. 2500(1+x%)2=3600 D. 2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
甘肃三年真题精讲练
命题点1 一元二次方程及其相关概念 例（’14甘南州8题4分） 若x=3是方程x2-5mx+6m=0的一个根，则m的值为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )
人教版初三数学：《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解． 【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0， 解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】 【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x=．(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0． ∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ．a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1． 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤．因为y随m的增大而减小，故当12m 时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥CBAO关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯A EB DC F P故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
2014中考数学总复习 一元二次方程(2010-2013年真题集锦)课件 新人教版
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第 九 讲
第 十 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
解: ( 1) 当 x+1≥0, 即 x≥-1 时, x2+x+1-1=0, x2+x=0, 解得 x1=0, x2=-1. ( 2) 当 x+1<0, 即 x<-1 时, x2- ( x+1) -1=0, x2-x-2=0, 解得 x1=-1, x2=2. ∵x<-1, ∴x1=-1, x2=2 都舍去 综上所述, 原方程的解是 x=0 或 x=-1. 依照上例解法, 解方程: x2-2| x-2| -4=0.
2 2
第 七 讲
第 八 讲
第 九 讲
第 十 讲
2. 一元二次方程 ax2+bx+c=0( a≠0) . 当 b2-4ac≥0 时, 方程有两个实数根,
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
设两根为 x1、x2,
第 七 讲
则有: x1+x2=
, x1x2=
.
第 八 讲
【答案】一、1. 一个 2( 二次) 2. ax2+bx+c=0( a≠0)
第 九 讲
第 十 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
第 七 讲
1. 在下列各式中①x2+3=x ③3x2-4x-5 ④ x2= x +2
1
②2x2-3x=2x( x-1) -1
第 八 讲
是一元二次方程的共有( A. 0个 【答案】 B B. 1个
) C. 2个 D. 3个
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
一元二次方程解法讲义
专 题一元二次方程的解法教学目标1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。
2014年中考数学总复习 一元二次方程提能训练课件(含2013年中考真题)
注意：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为 x
b ± b 2 4ac ＝________________. 2a
考点 2 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 1．根的判别式．
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式为Δ＝b2－4ac.
有两个不相等的 实数根． (1)当Δ>0 时，原方程________________ 有两个相等的 实数根． (2)当Δ＝0 时，原方程______________
答：每轮传染中平均 1 个人传染了 7 个人． (2)64×7＝448(人)． 答：第三轮将又有 448 人被传染．
【试题精选】 6．(2013 年山东泰安)某商店购进 600 个旅游纪念品，进价 为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个，第二周若 按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加 销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售 出 50 个，但售价不得低于进价)，单价降低 x 元销售一周后， 商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出， 如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品
的销售价格为多少元？
解：设第二周每个旅游纪念品的销售价格为 x 元，
由题意，得 200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋[(4 －
6)(600－200－(200＋50x)]＝1250， 整理，得 x2－2x＋1＝0， 解得 x1＝x2＝1. ∴10－1＝9. 答：第二周的销售价格为 9 元．
3．(2010 年广东河源)若 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－1 2 ＝0 的两个根，则 x1＋x2 的值等于________ ． 4．(2013 年广东佛山)方程 x2－2x－2＝0 的解是
原创中考数学课堂复习第5讲 一元二次方程
第5讲 一元二次方程☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 一元二次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是_____的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项；叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.☞归纳2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果0n <，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是x =2(40)b ac -≥（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.☞归纳3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 . （1）240b ac -> ⇔ 一元二次方程有两个 实数根，（2）240b ac -= ⇔ 一元二次方程有 相等的实数根，（3）240b ac -< ⇔ 一元二次方程 实数根.☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一 一元二次方程的有关概念【例1】(2017广东) 如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为 ( )A. 1B. 2C. 1-D. 2-【举一反三】1. (2018盐城) 已知一元二次方程230x k +-=有一个根为1，则k 的值为（ ）A. 2-B. 2C. 4-D. 42. (2017新疆) 已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是（ ）A. 3-B. 2- C ．3 D. 63. (2018苏州) 若关于x 的一元二次方程220x mx n ++=有一个根是2，则m n +=☺ 题型二 一元二次方程的解法【例2】(2015广东) 解方程：2320x x -+=【举一反三】4. (2018柳州) 一元二次方程290x -=的解是5. (2016淄博) 解方程：2410x x +-=☺ 题型三 一元二次方程根的判别式的应用【例3】(2018广东) 关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A. 94m < B. 94m ≤ C. 94m > D. 94m ≥ 【举一反三】 6. (2015广东) 若关于x 的方程2904x a x +-+=有两个不相等的实数根， 则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a >D. 2a < 7. (2018湘潭) 若一元二次方程220x x m -+=有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1m ≥ B ．1m ≤ C. 1m > D. 1m <8. (2017广州) 关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根， 则q 的取值范围是（ ）A. 16q <B. 16q >C. 4q ≤D. 4q ≥☺题型四 用一元二次方程解实际问题【例4】(2013广东) 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动. 第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【举一反三】9. (2012广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递 增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？10. (2018沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．☞【巩固提升自我】☜1. (2018长沙) 关于x 的方程230x x a -+=有一个根为1，则方程的另一个根为________2. (2018岳阳) 关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围是________________3. (2018常德) 若关于x 的一元二次方程2230x bx ++=有两个不相等的实数根， 则b 的值可能是 （只写一个）．4. (2018淮安) 若关于x 的一元二次方程2210x k x --+=有两个相等的实数根， 则k 的值是 ( )A. 1-B. 0C. 1D. 25. (2018昆明) 关于x 的一元二次方程20m x -+=有两个不相等的实数根， 则实数m 的取值范围是 ( )A. 3m <B. 3m >C. 3m ≤D. 3m ≥6. (2015广州) 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.(1) 求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2) 根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.7. (2018盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？第5讲 一元二次方程☞【基础知识归纳】☜☞归纳1.一元二次方程：在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ()200ax bx c a ++=≠ 其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数.☞归纳2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x（2）配方法：用配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果0n <，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是x =2(40)b ac -≥（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程， 它们的解就是原一元二次方程的解.☞归纳3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为24b ac -.（1）240b ac -> ⇔ 一元二次方程有两个 不相等 实数根，（2）240b ac -= ⇔ 一元二次方程有 两个 相等的实数根，（3）240b ac -< ⇔ 一元二次方程 没有 实数根.。
中考数学复习教案第5课时 一元二次方程
第5课时 一元二次方程【中考课标要求】【教学重点、难点】重点是一元二次方程的解法 难点是一元二次方程的简单应用【中考题型例析】1、一元二次方程的概念例1（08山东东营）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0 答案：0232=+-m m ，2,121==m m当1=m 时，1,01==-m m 舍去2=∴m 选B说明：本题利用了一元二次方程的有关概念及解法求解，解题中要注意：求得的m 的值必须要使一元二次方程系数01≠-m ，所以1=m 要舍去。
同源题选： 1.（上海2005年）已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）（1=x ）2.（考纲）指出方程13)2)(21(2+=+-x x x 的二次项系数、一次项系数及常数项。
（答案：二次项系数5，一次项系数3及常数项-1.） 3、（2008卢湾模拟）下列方程中，是一元二次方程的是 ………………………………（ ）（A ）35x y +=； （B ）241x y +=； （C ）13x x+=； （D ）251x x +=.（D ）2、一元二次方程的解法：例2 （考纲）选用合适的方法解下列方程：38.002.0)1(2=+x 75)2(3)2(2=-x x x 52)3(2=12)3)(1)(4(=+-x x 32)5(2-=-x x )2(2)12)(6(2+=-x x答案：6.0,6.0)1(21-==x x 3,7)2(21-==x x25,0)3(21==x x 5,3)4(21-==x x （5）方程没有实数根 4213,4213)6(21-=+=x x 说明：一元二次方程的解法中，任何一个一元二次方程都可以用公式法求解。
而要用其他方程解一元二次方程时，就要善于分析化为一般式后的一元二次方程的系数特征，选用合适的方法。
初三上学期复习讲义一元二次方程
初三上学期复习讲义一元二次方程一. 知识归纳1 一元二次方程概念ax 2+bx +c =0(a ≠0)2 解法①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法3 根的判别式⊿△=b 2-4ac4 根与系数关系1x + 2x =a b -, 1x ·2x =ac二. 填空题1方程02=x 的解为__________，方程()()040022≥-≠=++ac b a c bx ax 的解为________若关于x 的二次方程(m +1)x 2-3x +2=0有两个相等的实数根，则m =______. 2设方程0432=-+x x 的两根分别为1x ，2x ，则1x + 2x =______，1x ·2x =________ =+2221x x ________, ()221x x -=________, 121213x x x x ++=___________3 若方程x 2-5x +m =0的一个根是1，则m =________4 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是________5 已知方程2x 2+(k -1)x -6=0的一个根为2，则k =_______6若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为______7方程无实根，则 ______8如果 是一个完全平方公式，则 ______。
9若方程 的两根之差的绝对值是8，则 ______。
10若方程的两根之比为3，则_____。
11在实数范围内分解因式：=-52x ___________，12-+x x =____________122--x x =______________132--x x =____________12若a ，b 为实数，且()0232=-+-+ab b a ，则以a ，b 为根的一元二次方程是_______________13以方程0122=--x x 的两根的相反数为根的一元二次方程是______________ 三. 选择题1下列方程（1）－x 2+2=0 （2）2x 2－3x =0 （3）－3x 2=0 （3）x 2+x1=0 （5）232+x ＝5x （6）2x 2－3=（x －3）（x 2+1）中是一元二次方程的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 2下列配方正确的是（ ）(1) x 2+3x =（x +23）2－23（2）x 2+2x +5=（x +1）2+4（3）x 2－21x +43=（x －41）2+161（4）3x 2+6x +1=3（x +1）2－23方程（x －1）2+（2x +1）2=9x 的一次项系数是（ ） A 、2 B 、5 C 、－7 D 、74方程x 2－3x +2－m =0有实根，则m 的取值范围是（ ）A 、m ＞－41B 、m ≥41C 、m ≥－41D 、m ＞415方程（m +1）x 2－（2m +2）x +3m －1=0有一个根为0，则m 的值为（ ）A 、32B 、31C 、－32D 、－316方程()()1231=+-x x 化为02=++c bx ax 形式后，a 、b 、c 的值为（ ） （A ）1，–2，-15 （B ）1，-2，15（C ）-1，2，15 （D ）–1，2，–15 7方程()()02322=-+x x 的解的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48若方程07532=--x x 的两根为x 1，x 2，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（ ）(A)7,52121-=⋅=+x x x x （B ）37,352121=⋅-=+x x x x（C ）37,352121=⋅=+x x x x （D ）37,352121-=⋅=+x x x x9以215-和215+为根的一元二次方程是（ ） （A ）0152=+-x x （B ）02522=+-x x （C ）0152=++x x （D ）02522=++x x 10如果一元二次方程02=++c bx ax 的两个根是x 1，x 2，那么二次三项式c bx ax ++2 分解因式的结果是（ ）（A ）()()212x x x x c bx ax --=++ （B ）()()212x ax x ax c bx ax --=++ （C ）()()212x x x x a c bx ax ++=++ （D ）()()212x x x x a c bx ax --=++ 11在实数范围内，1842++x x 可以分解为（ ）（A ）()()3232++-+x x （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--232232x x（C ）()()322322++-+x x （D ）()()32232241++-+x x 12已知方程()031222=+--m x m x 的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ） （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m13如果关于x 的方程3ax 2－23（a －1）x +a =0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a <21且a ≠0 B 、a ≥21 C 、a ≤21且a ≠0 D 、a ≤2114若方程2x （kx －4）－x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、415一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（ ）A 、x 2－6x －7=0B 、x 2－6x +7=0C 、x 2+6x －7=0D 、x 2+6x +7=0 16已知方程07822=+-x x 的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角 形的斜边的长是（ ） （A ）9（B ）6（C ）3（D ）317若一元二次方程02=++q px x 的两根之比为3∶2，则q p ,满足的关系式是（ ）（A ）q p 2532= （B ）q p 2562=（C ）q p 3252=(D) q p 6252=18方程x 2-2x-m=0有两个正实根，则m 的取值范围是 （ ） A 、0<m<1 B 、m>0 C 、－１≤m ＜０ Ｄ、m ＜－１19一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根之和为m ，两根平方和为n ，则c bm an ++2121 的值为（ ） A 、0 B 、22n m + C 、2m D 、2n 关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两根21x x 、满足161112221=+x x ，则m 的值为（ ）A 、4B 、－36C 、4或－36D 、－36或－421若一元二次方程的两根21x x 、满足下列关系：=+++22121x x x x 0,05222121=+--x x x x ，则这个一元二次方程（ ）A 、032=++x xB 、032=--x xC 、032=+-x xD 、032=-+x x 四. 解方程1、04)221(2=-+x2、0662=++x x3、06)32(5)32(2=+---x x4、22)3(4)23(-=+x x5、06122=+-x x6、34124)3(2-+=-x x五. 在实数范围内分解因式1、592-x2、3742--x x3、22582y xy x +-六. 解答题1已知方程0132=--x x 的两个根是21,x x ，求代数式 （1）()()1121--x x ；（2）111221+++x xx x 的值。
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第5讲 一元二次方程．会列一元二次方程解决实际问题. 点为题材的解答题中．考点一 一元二次方程的概念 1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 2．一般形式一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 考点二 一元二次方程的解法 1．配方法如果x 2＋px ＋q ＝0且p 2－4q ≥0，则⎝⎛⎭⎫x ＋p 22＝－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22. x 1＝－p 2＋－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22，x 2＝－p 2－－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22. 二次项系数不为1的，先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1. 2．公式法方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b ±b 2－4ac 2a.3．因式分解法 一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0； (2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式； (3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 考点三一元二次方程根的情况1．b 2－4ac ＞0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根． 2．b 2－4ac ＝0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根． 3．b 2－4ac ＜0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根． 考点四 一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)弄清题意，确定适当的未知数； (2)寻找等量关系；(3)列出方程，注意方程两边的代数式的单位要相同； (4)解方程，检验并写出答案．1．写出一个有一根为1的一元二次方程：__________. 2．方程(x －1)2＝4的解是__________．3. 已知x ＝－1是一元二次方程x 2＋mx －5＝0的一个解，则方程的另一个解是( )． A ．1 B ．－5 C ．5 D ．－44．下列一元二次方程没有实数解的是( )． A ．x 2－2x －1＝0 B ．(x －1)(x －3)＝0 C ．x 2－2＝0 D ．x 2＋x ＋1＝0 5．解方程：x －2＝5x (2－x )．6．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．一、一元二次方程的概念【例1】 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( )．A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．1x 2＋1x－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－1解析：一元二次方程必须是有一个未知数，并且是未知数的最高次数是2的整式方程，另外当x 2的系数有字母时，要注意系数不能为零．答案：A判断一元二次方程的方法：一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)是整式方程；(2)化简后只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.这三个条件是判断一个方程是否是一元二次方程的主要依据，缺一不可．二、一元二次方程的解法 【例2】 解方程x (x ＋6)＝16.解法一：x 2＋6x ＝16，∴x 2＋6x －16＝0. ∴(x ＋8)(x －2)＝0.∴x ＋8＝0或x －2＝0，∴x 1＝－8，x 2＝2. 解法二：x 2＋6x ＝16，∴x 2＋6x －16＝0.∵a ＝1，b ＝6，c ＝－16，∴b 2－4ac ＝36＋64＝100.∴x ＝－6±1002，∴x 1＝－8，x 2＝2.解法三：x 2＋6x ＝16，∴x 2＋6x ＋⎝⎛⎭⎫622＝16＋⎝⎛⎭⎫622， ∴(x ＋3)2＝25，∴x ＋3＝±5. ∴x 1＝－8，x 2＝2.解一元二次方程时，应注意以下两点：(1)解一元二次方程要根据题目特点，选择适当的方法，若方程具有(x+m)2=n(n ≥0)的形式可直接开方求解；若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法求解．而公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一般形式，确定a ，b ，c 的值，在b2-4ac ≥0的条件下代入公式求解．(2)解一元二次方程主要有三种解法，任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，除指定外，一般不选用它.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在三种解法中，选择顺序为：分解因式法→公式法→配方法.三、一元二次方程根的判别式【例3】 已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是( )．A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝[－(2k －1)]2－4k 2＝－4k ＋1＞0，k ＜14，它的最大整数值是0.答案：C判断一元二次方程有无实根，就是判断b 2-4ac 的值，看其是否小于0，b 2-4ac 主要应用于不解方程判定根的情况或根据一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围．四、一元二次方程的实际应用【例4】 某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x 元．(1)填表((2) 解：(1)80－x ；200＋10x ；800－200－(200＋10x )． (2)根据题意，得80×200＋(80－x )(200＋10x )＋40[800－200－(200＋10x )]－50×800＝9 000.整理，得x 2－20x ＋100＝0. 解这个方程，得x 1＝x 2＝10. 当x ＝10时，80－x ＝70＞50. 答：第二个月的单价应是70元．1．(2012河北)用配方法解方程x 2＋4x ＋1＝0，配方后的方程是( )． A ．(x ＋2)2＝3 B ．(x －2)2＝3 C ．(x －2)2＝5 D ．(x ＋2)2＝52．(2012江西南昌)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．14D ．－143．(2011山东烟台)方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则(x 1－1)(x 2－1)＝__________.4．(2011江苏宿迁)如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长度是__________m(可利用的围墙长度超过6 m)．5．(2011山东日照)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．1．方程x 2＋x －1＝0的一个根是( )．A ．1－ 5B ．1－52C ．－1＋ 5D ．－1＋522．将一元二次方程x 2－6x －5＝0化成(x ＋a )2＝b 的形式，则b 的值是( )． A ．－4 B ．4 C ．－14 D ．143．解一元二次方程x 2－x －12＝0，结果正确的是( )．A ．x 1＝－4，x 2＝3B ．x 1＝4，x 2＝－3C ．x 1＝－4，x 2＝－3D ．x 1＝4，x 2＝3 4．已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是( )．A ．－2B ．－1C ．0D ．15．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( )． A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝9 6．方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( )． A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．x ＝3或x ＝－1 D ．x ＝3或x ＝0 7．某城市2011年底已有绿化面积300公顷，计划经过两年绿化，使绿化面积逐年增加，到2013年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是( )．A ．300(1＋x )＝363B ．300(1＋x )2＝363C ．300(1＋2x )＝363D ．363(1－x )2＝3008．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )．A ．50(1＋x )2＝182B ．50＋50(1＋x )＋50(1＋x )2＝182C ．50(1＋2x )＝182D ．50＋50(1＋x )＋50(1＋2x )＝1829．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )．A ．k ＞－1B ．k ＞－1且k ≠0C ．k ＜1D ．k ＜1且k ≠010．定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )．A ．a ＝cB ．a ＝bC ．b ＝cD ．a ＝b ＝c11．两圆的半径R ，r 分别是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，且圆心距d ＝3，则两圆的位置关系为__________．12．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为__________． 13．解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)y 2－3y －4＝0； (3)2x 2－3x －1＝0.14．中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率； (2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元？参考答案基础自主导学自主测试1．x 2－1＝0(答案不唯一) 2.x 1＝－1，x 2＝3 3．D 4.D5．解：x －2－5x (2－x )＝0， ∴(x －2)(1＋5x )＝0， ∴x －2＝0或1＋5x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－15.6．解：设该矩形草坪BC 边的长为x 米，根据题意，得x ·32－x2＝120.解得x 1＝12，x 2＝20. ∵20＞16，∴x ＝20不合题意，舍去．答：该矩形草坪BC 边的长为12米．知能优化训练中考回顾1．A 2.B 3.－2 4.15．解：(1)设每年市政府投资的增长率为x ， 根据题意，得2＋2(1＋x )＋2(1＋x )2＝9.5， 整理，得x 2＋3x －1.75＝0，解之，得x ＝－3±9＋4×1.752，∴x 1＝0.5，x 2＝－0.35(舍去)．答：每年市政府投资的增长率为50%.(2)到2012年底共建廉租房面积＝9.5÷28＝38(万平方米)．模拟预测1．D 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.B 10.A 11.外切 12.－313．解：(1)2x 2－3x ＝－1，x 2－32x ＝－12，x 2－32x ＋⎝⎛⎭⎫342＝－12＋⎝⎛⎭⎫342，⎝⎛⎭⎫x －342＝116，∴x －34＝±14∴x 1＝1，x 2＝12.(2)y 2－3y －4＝0，(y －4)(y ＋1)＝0， ∴y 1＝4，y 2＝－1.(3)2x 2－3x －1＝0，a ＝2，b ＝－3，c ＝－1， b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17，∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174.14．解：(1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意得5(1＋x )2＝8.45.解得x 1＝0.3＝30%，x 2＝－2.3(不合题意，舍去)． 答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%.(2)这三年共投资5＋5(1＋x )＋8.45＝5＋5×(1＋0.3)＋8.45＝19.95(亿元)． 答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．。