八年级数学初二数学几何难题

1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．
2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N
AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．
A
P
C
D
B
B
F
3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE
和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．
5、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．
E
6、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF． D
7、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
8、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．
9、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
10、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝a2，PC=a3，求正方形的边长．
11、如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，BE=EC，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，连接DE交AB于点F，试探究线段DF与EF的数量关系，并加以证明。

12、如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
(1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
(2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直
F
接写出构成图形的类型和相应的条件.
E
D
A
B C
13、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，
连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。

（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

14、如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，
D∥BC交AC于点F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．
15、在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．
(1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋
3
3
PQ ； (2)若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
(3)在(2)的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长。

16、如图,矩形纸片ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的E 点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积.
(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图(2).证明四边形BGEF 为菱形,并求出折痕GF 的长.
H
A B
C
D F G
A
B
C
D
E F G
图（1）
图（2）
A
B
C
D
E F
G H (A)
(B)
17、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重
合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①PE=PD ；②PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值A
B C
P
D
E
18、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=1
2
，求22
BE DG
+的
值．
19、如图10，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，
线段BE与CD相交于点O，连结OA．
（1）求证：BE = DC；
（2）求∠BOD的度数；
（3）求证：OA平分∠DOE．
20、如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A B
，重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE DF
，．
（1）求证：ADP EPB
∠=∠；
（2）求CBE
∠的度数；
（3）当AP
AB
的值等于多少时，PFD BFP
△∽△？并说明理由。

O
E
D
C
B
A
图10
21、某天然气供应站根据实际情况，每天从零点开始至凌晨4点，只打开进气
阀,在以后
的16小时(4：00—20：00),同时打开进气阀和供气阀, 20：00—24：00只打开供气阀．已知气站每小时的进气量和供气量是一定的，图11反映了气站某天的储气量y (米3)与x(小时)之间的关系．
（1）①0：00—4：00之间气站每小时增加的储气量为________米3，
3；
②4：00—20：00
（2）求20：00—24：00时，y与x
画出函数图象．
22、已知：如图，Rt ABC ∆中，=90ACB ∠o ，AC=BC ，将直角三角板中45o 角的顶点放在点C 处．并将三角板绕点C 旋转，三角板的两边分别交AB 边于D 、E 两点(点D 在点E 的左侧，并且点D 不与点A 重合，点E 不与点B 重合)，设AD=m,DE=x,BE=n.
(1)判断以m 、x 、n 为三边长组成的三角形的形状，并说明理由； (2)当三角板旋转时，找出AD DE BE 、、三条线段中始终最长的线段，并说明理由．
23、直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°,AC≤BC,如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D,设折痕与AB、AC边，分别交与点E、点F.
探究：如果折叠
后的△CDF与BDE
均为等腰三角形，那
么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后
．．．的图形。

24、已知如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分仙于D，交BC于E点．求证：CE=2BE．
25、如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b 交x 轴正半轴于A(-1,0),交y 轴正半轴于B,C 是x 轴负半轴上一点，且CA=4
3
CO,△ABC 的面积为6。

（1）求C 点的坐标。

（2）求直线AB 的解析式。

（3）D 是第二象限内一动点，且OD ⊥BD,直线BE 垂直射线CD 于额，OF ⊥CD 交直线BE 于F .当线段OD,BD 的长度发生改变时，∠BDF 的大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请证明并求出其值。

26、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶
点绕着矩形ABCD （AB ＜BC ）的对角线交点O 旋转（如图①→②→③），
图中M 、N 分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD 的边CD 、BC 的交点.
（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD 重合）中，BN 2＝CD 2＋CN 2；在图③（三角板的一直角边与OC 重合）中，CN 2＝BN 2＋CD 2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一．．．．说明理由. （2）试探究图②中BN 、CN 、CM 、DM 这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由.
→
图①
图②
图③
→
27、已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100 ,E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由；
F
E
C B。