2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练2章3课时巩固
2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练4章5课时训练
1.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[－3,0] 解析：选B.当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ，此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x <0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ，此时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3]．2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4解析：选A.由题意知T ＝π4 ，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.3．(2009年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11° 解析：选C.∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°， cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.又∵g (x )＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数， ∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．πC ．2π D.π4解析：选A.依题意得T 4＝π8，所以最小正周期为T ＝π2.5．已知函数y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π8解析：选 D.∵y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ＝1－cos(2x ＋π2)－cos2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝1＋2sin(2x －π4)，所以其周期T ＝π，对称轴方程的表达式可由2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，故当k ＝0时的一条对称轴方程为x ＝3π8，故答案为D.6．(2008年高考天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f (sin 2π7)，b ＝f (cos 5π7)，c ＝f (tan 5π7)，则( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A.sin 27π＝sin(π－57π)＝sin 57π. 又π2＜57π＜34π.由三角函数线tan 57π＜cos 57π＜sin 57π且cos 57π＜0，sin 57π＞0.如图．∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π. 又f (x )在[0，＋∞)上递增且为偶函数，∴f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π)，即b ＜a ＜c ，故选A.7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎨⎧sin x >0cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析：由题意知T 4≤π3，T ＝2πω，∴2ω≥3，ω≥32，∴ω的最小值等于32.答案：329．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)解析：画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．答案：③④10.已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．解：(1)令2sin(2x －π3)>0⇒sin(2x －π3)>0⇒2k π<2x －π3<2k π＋π，k ∈Z ⇒k π＋π6<x <k π＋23π，k ∈Z .故函数的定义域为(k π＋π6，k π＋23π)，k ∈Z .(2)∵f (x )＝0，∴sin(2x －π3)＝22⇒2x －π3＝2k π＋π4或2k π＋34π，k ∈Z⇒x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z ，故x 的取值范围是{x |x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z }．11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]．12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]， ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12， ∴π6＋2k π<2x ＋π6<56π＋2k π，k ∈Z ， 由π6＋2k π<2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z . 由π2＋2k π≤2x ＋π6<56π＋2k π得 π6＋k π≤x <π3＋k π，k ∈Z .∴函数g (x )的单调递增区间为(k π，π6＋k π](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋k π，π3＋k π)(k ∈Z )．。
2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练9章2课时训练
1．(2009年高考全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6解析：选A.∵双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，则圆心(3,0)到2y ＋x ＝0的距离为r ，∴r ＝33＝ 3.故选A.2．(2009年高考江西卷)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：选B.由2b c ＝3，令b ＝3，得c ＝2，∴a ＝1，∴e ＝ca＝2.3．设P 是双曲线x 222－y2b2＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：选C.由渐近线方程y ＝32x ，且a ＝2，得b ＝3.∵|PF 1|＝3＜2a ＝4，∴P 点在双曲线左支上． 据定义有|PF 2|－|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝7.4.(2008年高考山东卷)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 解析：选A.在椭圆C 1中，由⎩⎨⎧2a ＝26，c a ＝513，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，c ＝5，椭圆C 1的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，曲线C 2是以F 1、F 2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C 2的标准方程为：x 242－y 232＝1，故选A.5．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1||PF 2|＝2，则双曲线方程是( )A.x 22－y 23＝1B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选C.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|＝|F 1F 2|2，又||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝25，|PF 1|·|PF 2|＝2， ∴(2a )2＋2×2＝(25)2，解得a 2＝4，又c 2＝5，∴b 2＝1，∴双曲线方程为x24－y 2＝1.6．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( )A.10B. 5C.103D.52解析：选A.据题意可设l AB ：y ＝x ＋1，l OC ：y ＝bx ，l OB ：y ＝－bx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝bx解得C 点纵坐标为b b －1，B 点纵坐标为b 1＋b ，因为|AB |＝|BC |，所以b b －1＝2 b b ＋1，解得b ＝3，所以e ＝ca ＝10.7．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．答案：x 24－y 212＝18．(2009年高考湖南卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°，又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2.答案：29．(2008年高考海南、宁夏卷)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5，∴A (3,0)，F (5,0)，不妨设BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B (175，－3215)．∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.答案：321510．已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)，求双曲线的标准方程．解：法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3.∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x24a2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a2＝1，解得a 2＝5.∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x2－y ＝0， ∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0.设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)， ∴424－32＝λ，即λ＝－5. ∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x220＝1. 11.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝2 3. ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.12．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2. 又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋mx 23－y 2＝1整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0， 可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k2， y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2.由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)．整理得3k 2＝4m ＋1②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14∴m 的取值范围是(－14，0)∪(4，＋∞)．。
2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练15章3课时训练
1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确解析：选B.首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1，故选B.2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到() A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2解析：选B.∵n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.故选B.3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C.当n＝1时，左端＝1＋a＋a2.4．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：选A.∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.6．在数列{a n } 中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3， 即13＋115＋a 3＝15a 3.∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C . 7．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k ) ·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)8．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)29．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜想a n ＝n 2.答案：n 210．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．证明：设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1.(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)．∴由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立．11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13. a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为(13，13)∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a k 2(2a k＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上．12．已知正项数列{a n }和{b n }中，a 1＝a (0＜a ＜1)，b 1＝1－a .当n ≥2时，a n ＝a n －1b n ，b n ＝b n －11－a 2n －1. (1)证明：对任意n ∈N *，有a n ＋b n ＝1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1＋b 1＝a ＋(1－a )＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＋b k ＝1，则当n ＝k＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a k b k ＋1＋b k ＋1＝(a k ＋1)·b k ＋1＝(a k ＋1)·b k 1－a k 2＝b k 1－a k＝b k b k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②可知，a n ＋b n ＝1对n ∈N *恒成立．(2)∵a n ＋1＝a n b n ＋1＝a n b n 1－a n 2＝a n (1－a n )1－a n 2＝a n 1＋a n， ∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n＋1， 即1a n ＋1－1a n＝1. 数列{1a n }是公差为1的等差数列，其首项为1a 1＝1a ， 1a n ＝1a ＋(n －1)×1，从而a n ＝a 1＋(n －1)a .。
2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练7章1课时训练
1．已知a <b <|a |，则( )A.1a >1b B ．ab <1C.a b >1 D ．a 2>b 2解析：选D.若b ＝0，可排除A ，C ，无论b >0还是b <0，D 均成立．2．下列命题中的真命题是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若|a |>b ，则a 2>b 2C ．若a >b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2 解析：选D.∵a >|b |≥0，∴a 2>b 2，故选D.3．如果a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：选C.当b ＝0时，b 2＝0，cb 2＝ab 2，故选C.4．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：选C.法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a >－b >b >－a .法二：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a <b <0，∴a >－b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .5．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．符号不能确定解析：选A.法一：因为a <0，ay >0，所以y <0，又x ＋y >0，所以x >－y >0，所以x －y >0.应选A.法二：a <0，ay >0，取a ＝－2得：－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0.应选A.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B.设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2，显然v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2， 而s 1＋s 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2) ＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 7．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A ，B 的大小关系是________．解析：∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)，∵(x －1)2≥0,2x 2＋2x ＋1>0，∴A －B ≥0，即A ≥B .答案：A ≥B8．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b 成立的充分条件有________．解析：1a <1b ⇒b －a ab <0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案：①②④9．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件事实中提炼出一个不等式组是________．解析：依题意47＋47k <1，且三次后全部进入，即47＋47k ＋47k 2≥1，故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1.k ∈N *答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1k ∈N *10．已知：a >b >0，c >d >0，求证：a d >b c .证明：∵c >d >0，∴1d >1c >0，又∵a >b >0，∴a d >b c >0.11.已知a >0，b >0，试比较a b ＋b a 与a ＋b 的大小． 解：(a b ＋b a)－(a ＋b ) ＝a a ＋b b －ab (a ＋b )ab＝a a ＋b b －a b －b a ab＝a (a －b )－b (a －b )ab ＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab. ∵a >0，b >0.∴a ＋b >0，ab >0.又∵(a －b )2≥0(当且仅当a ＝b 时等号成立)，∴(a ＋b )(a －b )2ab≥0. 即a b ＋b a≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时等号成立)． 12．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12000元预订15张下表中球类比赛的门票：订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，得⎩⎪⎨⎪⎧ 800n ＋500n ＋1000(15－2n )≤12000800n ≤1000(15－2n )， 解得427≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.∴可以预订男篮比赛门票5张．。
2013届高考数学基础巩固课件5.3《等比数列》理新人教版
【即时巩固1】 等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1， S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)依题意有： a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． 由于又a1q≠≠0，0，故从2而q2q＋＝q－＝120. .
(2)由已知可得 a1－a1－122＝3，故 a1＝4.
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，
则a7＝
()
A．64
B．81
C．128
D．243
解析：因为{an}是等比数列，所以aa21＋＋aa32＝q＝63＝2，
又因为 a1＋a1q＝3，所以 a1＝1，所以 a7＝a1q6＝26＝
64.故选 A.
பைடு நூலகம்
答案 A
2．等比数列{an}中，a2·a8＝16，则a5＝________. 解析：因为 a2a8＝a25＝16，所以 a5＝±4. 答案：±4 3．若－1，a，b，c，－9成等比数列，则b＝
关键提示：通过条件转化构造以an＋1为整体的数
列．
(1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*， 可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4. 两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1. 即an＋1＝2an＋1.从而an＋1＋1＝2(an＋1)． 当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1 ＋6.
为a与b的等比中项．
4．前n项和：等比数列{an}的公比为q(q≠0)，前n项和
为Sn，Sn
5．等比数列的常用性质 (1)推广公式：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列且k＋l＝m＋n(k、l、m、 n∈N*)，则_a_k_·a_l_＝__a_m_·a_n_. (3)若Sn为等比数列{an}(公比q≠1)的前n项和，则Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…也是_等__比__数__列__．
2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练6章1课时训练
1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( )A ．第18项B ．第19项C ．第17项D ．第20项解析：选B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即a n 2－a n －12＝4，∴a n 2＝3＋(n －1)×4＝4n －1，令4n －1＝75，则n ＝19.故选B. 2．已知数列的通项a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1 (n 为奇数)2n －1 (n 为偶数)，则a 2009－a 2010等于( )A ．2007B ．2008C ．2009D ．2010解析：选C.a 2009＝3×2009＋1＝6028；a 2010＝2×2010－1＝4019.故a 2009－a 2010＝6028－4019＝2009.故应选C.3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1； ③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.①错误，如a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，a 1＝1就无法写出a 2；②错误，a n ＝n ＋1n ＋2；③正确；④两数列是不同的有序数列．故应选A.4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2， ∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 解析：选B.a n ＝⎩⎨⎧ S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)， ＝⎩⎨⎧－8 (n ＝1)，－10＋2n (n ≥2). ∵n ＝1时适合a n ＝2n －10，∴a n ＝2n －10. ∵5<a k <8，∴5<2k －10<8，∴152<k <9，又∵k ∈N ＋，∴k ＝8，故选B.6．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝( )A ．1B ．2C.12 D ．2－987解析：选C.由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，a 9＝2，a 10＝1，a 11＝12，a 12＝12，即a n 的值以6为周期重复出现，故a 17＝12.7.已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c(a ，b ，c 均为正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是________．解析：∵a n ＝na nb ＋c ＝a b ＋c n，c n 是减函数， ∴a n ＝a b ＋c n是增函数，∴a n <a n ＋1.答案：a n <a n ＋18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(对n ≥1恒成立)且a 4＝54，则a 1＝________.解析：法一：由S 4＝S 3＋a 4，得a 1(34－1)2＝a 1(33－1)2＋54， 即a 1(34－33)2＝54，解得a 1＝2. 法二：由S n －S n －1＝a n (n ≥2)可得a n ＝a 1(3n －1)2－a 1(3n －1－1)2＝a 1(3n －3n －1)2＝a 1·3n －1， ∴a 4＝a 1·33，∴a 1＝5427＝2.答案：29．已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝5n 2，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝512＝5；当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝5n 25(n －1)2＝52n －1(n ∈N *)． 当n ＝1时，也适合上式，所以当n ∈N *时，a n ＝52n －1.答案：a n ＝52n －1(n ∈N *)10．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＝38＋12a 2n －1，其中n ≥2，n ∈N ＋，求证：对一切正整数n 都有a n <a n ＋1成立．证明：a n ＋1－a n ＝38＋12a n 2－a n＝12(a n －1)2－18，∵0<a n <12，∴－1<a n －1<－12.∴18<12(a n －1)2<12.∴12(a n －1)2－18>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n <a n ＋1对一切正整数n 都成立．11．(2010年邯郸模拟)已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式；(2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n (n ≥2)，23(n ＝1).(2)∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，∴{c n}是递减数列．12．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2＋pn，数列{b n}的前n项和为T n＝3n2－2n.(1)若a10＝b10，求p的值．(2)取数列{b n}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的通项公式．解：(1)由已知，a n＝S n－S n－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，b n＝T n－T n－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5(n≥2)．∴a10＝19＋p，b10＝55.由a10＝b10，得19＋p＝55，∴p＝36.(2)b1＝T1＝1，满足b n＝6n－5.∴数列{b n}的通项公式为b n＝6n－5.取{b n}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11.∴c n＝12n－11.。
2013年高考数学(理)二轮复习 专题三 第二节 配套课时作业 (解析版)
[配套课时作业]1．数列{an}的通项公式是an ＝1n ＋n －1，若数列的前n 项和为45，则项数n 等于( )A ．45B ．44C ．2 025D ．2 012解析：选C 因为an ＝1n ＋n －1＝n －n －1， 所以Sn ＝(1－0)＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n ，由题意得Sn ＝n ＝45，解得n ＝2 025.2．(2011·安徽高考)若数列{an}的通项公式是an ＝(－1)n·(3n －2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 解析：选A a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.3．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )★★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ … ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★A ．an ＝n2－n ＋1B ．an ＝n n －1 2C ．an ＝n n ＋1 2D ．an ＝n n ＋2 2解析：选C 从图中观察五角星构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…所以an ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋1 2. 4．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n ，an)和Q(n ＋2，an ＋2)(n ∈N*)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由S2＝10，S5＝55得a1＝3，d ＝4，所以kPQ ＝an ＋2－an n ＋2 －n ＝2d 2＝d ＝4. 5．(2012·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n 项和为Sn ，若S1212－S1010＝2，则S2 012的值等于( )A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 010D ．－2 013解析：选B 根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S11＝a1＝－2 012，公差d ＝1，故S2 0122 0122 012＋(2 012－1)×1＝－1， 所以S2 012＝－2 012.6．(2012·浙江高考)设Sn 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d ＜0，则数列{Sn}有最大项B ．若数列{Sn}有最大项，则d ＜0C ．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n ∈N*，均有Sn ＞0D ．若对任意n ∈N*，均有Sn ＞0，则数列{Sn}是递增数列解析：选C A 、B 、D 均正确，对于C ，若首项为－1，d ＝2时就不成立．7．函数y ＝x2(x>0)的图像在点(ak ，a2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为ak ＋1，其中k ∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________. 解析：∵y′＝2x ，∴k ＝y′|x ＝ak ＝2ak ，故切线方程为y －a2k ＝2ak(x －ak )，令y ＝0得x ＝12ak ，即ak ＋1＝12ak. ∴{an}是以16为首项，12即an ＝16·⎝⎛⎭⎫12 n －1. ∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案：218．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an ＋2－an ＝1＋(－1)n(n ∈N*)，则该医院30天入院治疗甲流的人数共有________．解析：由于an ＋2－an ＝1＋(－1)n ，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，且a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a29＋a30＝15＋15×2＋15×142×2＝255. 答案：2559．(2012·山西考前适应性训练)已知向量a ＝(2，－n)，b ＝(Sn ，n ＋1)，n ∈N*，其中Sn 是数列{an}的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an an ＋1an ＋4的最大项的值为________． 解析：依题意得a·b ＝0，即2Sn ＝n(n ＋1)，Sn ＝n n ＋1 2.当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝n n ＋1 2－n n －1 2＝n ；又a1＝S1＝1× 1＋1 2＝1，因此an ＝n.所以an an ＋1an ＋4＝n n ＋1 n ＋4 ＝n n2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n ，n ∈N*，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an an ＋1an ＋4的最大项的值是19. 答案：1910．已知x ，f x 2，3(x≥0)成等差数列．又数列{an}(an>0)中，a1＝3，此数列的前n 项和为Sn ，对于所有大于1的正整数n 都有Sn ＝f(Sn －1)． (1)求数列{an}的第n ＋1项； (2)若bn 是1an ＋1，1an的等比中项，且Tn 为{bn}的前n 项和，求Tn. 解：(1)因为x ，f x 2，3(x≥0)成等差数列， 所以2×f x 2＝x ＋3，整理，得f(x)＝(x ＋3)2. 因为Sn ＝f(Sn －1)(n≥2)，所以Sn ＝( Sn －1＋3)2，所以Sn ＝ Sn －1＋3，即Sn －Sn －1＝3，所以{Sn}是以3为公差的等差数列． 因为a1＝3，所以S1＝a1＝3， 所以Sn ＝S1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝ 3 n.所以Sn ＝3n2(n ∈N*)．所以an ＋1＝Sn ＋1－Sn ＝3(n ＋1)2－3n2＝6n ＋3.(2)因为bn 是1an ＋1与1an的等比中项， 所以(bn)2＝1an ＋1·1an， 所以bn ＝1an ＋1·1an ＝13 2n ＋1 ×3 2n －1＝118×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝118⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝118⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 18n ＋9. 11．(2012·湖北高考)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n 项和．解：(1)设等差数列{an}的公差为d ，则a2＝a1＋d ，a3＝a1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a1＋3d ＝－3，a1 a 1＋d a 1＋2d ＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－4，d ＝3. 所以由等差数列通项公式可得an ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或an ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故an ＝－3n ＋5或an ＝3n －7.(2)当an ＝－3n ＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an ＝3n －7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n≥3.记数列{|an|}的前n 项和为Sn.当n ＝1时，S1＝|a1|＝4；当n ＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；当n≥3时，Sn ＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2 [2＋3n －7 ]2＝32n2－112n ＋10，且当n ＝2时，满足此式． 综上，Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，32n2－112n ＋10，n ＞1. 12．(2012·东城模拟)定义：若数列{An}满足An ＋1＝A2n ，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an ，an ＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x 的图像上，其中n 为正整数．(1)证明：数列{2an ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为Tn ，即Tn ＝(2a1＋1)(2a2＋1)…(2an ＋1)，求数列{an}的通项公式及Tn 关于n 的表达式；(3)记bn ＝21log +n Tn a ，求数列{bn}的前n 项之和Sn ，并求使Sn>2 012成立的n 的最小值． 解：(1)证明：由题意得an ＋1＝2a2n ＋2an ，得2an ＋1＋1＝4a2n ＋4an ＋1＝(2an ＋1)2. 所以数列{2an ＋1}是“平方递推数列”．令cn ＝2an ＋1，所以lg cn ＋1＝2lg cn.因为lg(2a1＋1)＝lg 5≠0，所以lg 2an ＋1＋1 lg 2an ＋1＝2. 所以数列{lg(2an ＋1)}为等比数列．(2)因为lg(2a1＋1)＝lg 5，所以lg(2an ＋1)＝2n －1·lg 5，所以2an ＋1＝52n －1，即an ＝12(52n －1－1)． 因为lg Tn ＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an ＋1)＝lg 5· 1－2n 1－2＝(2n －1)lg 5. 所以Tn ＝52n －1.(3)因为bn ＝lg Tn lg 2an ＋1 ＝2n －1 l g 52n －1lg 5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1，所以Sn ＝2n －⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n 1－122n －2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＝2n －2＋2·⎝⎛⎭⎫12n.由Sn>2 012得2n －2＋2·⎝⎛⎭⎫12n>2 012， 即n ＋⎝⎛⎭⎫12n>1 007， 当n≤1 006时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n<1 007，当n≥1 007时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n>1 007， 所以n 的最小值为1 007.。
2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练8章2课时训练
1．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k ＝( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解析：选 B.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得交点为(－1，－2)，代入x ＋ky ＋k ＋12＝0，得k ＝－12.2．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0. 由l 1∥l 2，－2b ＝1，得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.3.点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3解析：选C.直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0，所以点P (－1,3)到该直线的距离为d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2k k 2＋1，由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32，即距离的最大值等于32，选C.4．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－2,1)解析：选C.设P 点坐标为(a,5－3a )， 由题意知：|a －(5－3a )－1|2＝ 2. 解之得a ＝1或a ＝2，∴P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．故应选C.5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 1与l 2关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B.在l 2上任取一点(x ，y )，关于l ：x －y －1＝0的对称点(x 0，y 0)在l 1上，根据点关于线的对称关系列方程组解出x 0，y 0，代入l 1即可得出方程x －2y －1＝0.6．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1 解析：选C.由l 1∥l 3得k ＝5，由l 2∥l 3得k ＝－5，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10. 故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.7．已知直线l 1：kx －y ＋1－k ＝0与l 2：ky －x －2k ＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________．解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1－k ＝0ky －x －2k ＝0，得⎩⎨⎧x ＝k k －1y ＝2k －1k －1， ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧ k k －1＞02k －1k －1＞0，∴k ＞1或k ＜0. 答案：k ＜0或k ＞18．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为______________．解析：设A (－1,1)，B (2，－1)，当AB ⊥l 时，点B 与l 距离最大，此时l 的方程为：y －1＝－11＋1－1－2(x ＋1)， 即为：3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝09．已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是________(填上所有正确答案的序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x解析：根据题意，看所给直线上的点到定点M 距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32＞4，故直线上不存在点到点M 距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”．答案：②③10．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程．(1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线．解：(1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34.∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在x 轴上截距为b ，则l ′在y 轴上截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·|－43b |＝4，∴b ＝±6.∴直线l ′：y ＝43x ＋6或y ＝43x － 6.(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线，∴l ′与l 关于原点对称．在l 上任取点(x 0，y 0)，则在l ′上对称点为(x ，y )．x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0.∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0.11.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a|，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．光线通过点A (－2,4)，经直线2x －y －7＝0反射，若反射线通过点B (5,8)．求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：如右图，已知直线l ：2x －y －7＝0，设光线AC 经l 上点C 反射为BC ，则∠1＝∠2.再设A 关于l 的对称点为A ′(a ，b )，则∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，则B ，C ，A ′三点共线．∵A ′A ⊥l 且AA ′中点在l 上，∴⎩⎨⎧2·a －22－b ＋42－7＝0，b －4a ＋2·2＝－1.解得a ＝10，b ＝－2，即A ′(10，－2)．∴A ′B 的方程为y ＋2＝8＋25－10(x －10)， 即2x ＋y －18＝0.∴A ′B 与l 的交点为C (254，112)．∴入射光线AC 的方程为y －4＝4－112－2－254(x ＋2)．即2x －11y ＋48＝0.∴入射光线方程为2x －11y ＋48＝0， 反射光线方程为2x ＋y －18＝0.。
2013年高考数学总复习 高效课时作业1-2 文 新人教版
2013年高考数学总复习 高效课时作业1-2 文 新人教版一、选择题1．(2012年黄冈模拟)“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2＝xz ”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 答案：A2．(2011年湖南)“x >1”是“|x |>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵x >1⇒|x |>1，|x |>1⇒/ x >1，∴“x >1”是“|x |>1”的充分不必要条件．答案：A3．(2012年天津卷)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A4．(2012年日照二模)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由l ⊥α，α∥β，得l ⊥β，又m ⊂β∴l ⊥m ；但由l ⊥m ，m ⊂β不能得出l ⊥β， ∴α不一定平行于β.选C.答案：C5．(2011年湖北)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 解析：由a 2＋b 2＝a ＋b ，可得a 2＋b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b2＋2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a ＋b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a ≥0，b ≥0，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．答案：C二、填空题6．(2011年陕西)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝______解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或47．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________．解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23. 答案：－238．已知p ：x ≤1，q ：1x＜1，则綈p 是q 的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选择恰当的一个填写)解析：p ：x ≤1，綈p ：x ＞1，q ：1x＜1，即x ＞1或x ＜0. 綈p ⇒q 但q ⇒/ 綈p .故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要9．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1＜0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．解析：A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2，2)．答案：(－2，2)三、解答题10．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明：(1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 02＋2ax 0＋b 2＝0，x 02＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a ，将此式代入x 02＋2ax 0＋b 2＝0可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°.(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.将此式代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.11．已知命题p: 对m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8 恒成立；命题q ：不等式x2＋ax ＋2<0有解，若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围．解析：∵m ∈[－1，1]，∴ m 2＋8∈[2 2，3]．∵对m ∈[－1，1]，不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8 恒成立，可得a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.又命题q ：不等式x 2＋ax ＋2<0有解，∴Δ＝a 2－8>0.∴a >2 2或a <－2 2.从而命题q 为假命题时，－2 2≤a ≤2 2，∴命题p 为真命题，q 为假命题时， a 的取值范围为－2 2≤a ≤－1.12．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．解析：(1)当x >2或x <－1时，x 2－x －2>0，由4x ＋p <0得x <－p 4，故－p 4≤－1时， “x <－p 4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”． ∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．(2)若“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件，则x2－x－2>0的解集是4x＋p<0的解集的子集，由题知不存在．故不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．。
2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练3章3课时巩固
2．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛a c f (x )d xB ．|⎠⎛acf (x )d x | C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d x D ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛a bf (x )d x 解析：选D.由定积分的几何意义知选项D 正确．3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12C.23D.16解析：选A.由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12 (x 2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56. 4．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于________．解析：本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．由已知得a 4＝(x ＋x 2)|41＝18，故q 3＝1823＝27⇒q ＝3. 答案：35.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.解析：⎠⎛-11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )| 1-1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13.答案：－1或136．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.。
2013届高考数学基础巩固课件11.2《排列与组合》理新人教版
(即时巩固详解为教师用书独有)
» 考点一 排列数、组合数的计算
• 【案例1】 计算下列各式的值：
(1)AA5869－＋AA8945； (2)Cn2n－－13＋C2nn＋－13； (3)C22＋C32＋C24＋…＋C2100.
关键提示：(1)利用公式求解；(2)注意 Cmn 中“n≥m”的限 制；(3)使用组合数性质 Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1.
• 1．用1、2、3、4四个数字中的三个 组成的三位数有________个．
解析：C34A33＝24. 答案：24 2．从全校12位数学老师中选3位担任高一数学授课任 务，则不同的选派方法有________种． 解析：C312＝123××121××110＝220.
答案：220
• 3．从5个不同的白球中选2个，3个不 同的红球中选1个，放入三个不同的盒子 中，使得每个盒子有且只有一球的放法种 数有_解_析__：_C_25_·C_31．·A33＝180.
答案：180 4．用数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数， 若要求1、2相邻，则这样的五位数有________个．
解析：相邻要用捆绑法．A22·(A44－A33)＝36.
答案：36
• 1．排列与组合定义相近，它们的区别在 于是否与顺序有关．
• 2．复杂的排列问题常常通过试验、画简 图、小数字简化等手段使问题直观化， 从而寻求解题途径．因为结果的正确性 难以直接检验，所以常需要用不同的方 法求解来获得检验．
分析：利用排列和组合的公式及意义求解．(2)中注意 n 的 取值范围．
解：(1)方法一：AA8956－＋AA4859＝3398！！！！－＋9484！！！！＝44××89！！＋－89！！＝257. 方法二：AA5869－＋AA8945＝346AA4848＋－A9A48 48＝257AA4848＝257.
2013年高考数学总复习 高效课时作业6-4 理 新人教版
2013年高考数学总复习 高效课时作业6-4 理 新人教版一、选择题1．已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值X 围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：由f (x )＝|lg x |，且a ≠b ，f (a )＝f (b )， 可得lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1. ∴a ＋b ＝a ＋1a≥2a ·1a＝2， ∴a ≠b ，∴a ≠1a，∴a ＋b ＞2.答案：C2．设a ＞b ＞c ＞0，则2a 2＋1ab ＋1a （a －b ）－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5解析：令f (c )＝25c 2－10ac ＋2a 2＋1ab＋1a （a －b ）当c ＝a 5时，f (c )min ＝a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥4，(当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1即a ＝2，b ＝22，c ＝25时取等号．) 答案：B3．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92D.112解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，∴8－(x ＋2y )＝x ·2y ≤（x ＋2y ）24，(当且仅当x ＝2y 时等号成立)．即：(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得：x ＋2y ≤－8或x ＋2y ≥4，又x ＋2y ＞0， ∴x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值为4.答案：B4．(2011年某某)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案：C5．设a ＞0，b ＞0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：由题有(3)2＝3a·3b⇒a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝1＋b a ＋ab＋1≥2＋2b a ·a b ＝4，∴1a ＋1b的最小值为4. 答案：B 二、填空题6．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．解析：∵x ＞0，y ＞0，∴x 3＋y 4＝4x ＋3y 12＝1可化为4x ＋3y ＝12， ∴(4x )·(3y )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋3y 22＝36(当且仅当4x ＝3y 时等号成立)， 即12xy ≤36，∴xy ≤3. ∴xy 的最大值为3. 答案：37．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图 所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为__________．解析：设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b2≥2×(a ＋b2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 答案：128．已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0(a ，b 为正实数)上任意一点关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则1a ＋3b的最小值为__________．解析：由题知，直线x ＋y ＋2＝0经过圆心(－b 2，－a2)，∴a ＋b ＝4，则1a ＋3b ＝（1a ＋3b ）（a ＋b ）4＝4＋b a ＋3a b 4≥4＋2b a ·3ab 4＝1＋32.当且仅当b a＝3ab即b ＝3a 时取等号．答案：1＋329．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________．解析：∵x ＞0，∴x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，∴x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：[15，＋∞)三、解答题10．(1)已知x ，y 为正实数，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知a 、b 为正数，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值以及达到最大值时a 、b 的值．解析：(1)法一：1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝2＋1＋y x＋2xy≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y ，即x ＝1－22时取最小值3＋2 2.法二：1x ＋1y ＝(1x ＋1y)(2x ＋y )＝3＋y x＋2xy≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x y ，即x ＝1－22时取最小值3＋2 2.(2)因为a 、b 都为正数，且a 2＋b 22＝1，所以a 1＋b 2＝2·a ·1＋b22≤2·a 2＋1＋b 222＝324， 当且仅当a ＝1＋b22时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 22＝1a ＝1＋b 22 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝22.故当a ＝32，b ＝22时，a 1＋b 2有最大值324. 11．(2012年某某高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解析：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 3＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 3＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．12．设数列{a n }的首项a 1∈(0，1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2，3，4，….(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，证明b n ＜b n ＋1，其中n 为正整数． 解析：(1)由a n ＝3－a n －12，n ＝2，3，4，…整理得1－a n ＝－12(1－a n －1)．又1－a 1≠0，所以{1－a n }是首项为1－a 1，公比为－12的等比数列，得a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)由(1)可知0＜a n ＜32，a n ≠1.因为a n ＋1＝3－a n2，所以b n ＋1＝a n ＋13－2a n ＋1＝（3－a n ）a n2由a n ≠1可得a n (3－2a n )＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a n 22，即a n 2(3－2a n )＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a n 22·a n两边开平方得a n 3－2a n ＜3－a n2·a n ，即b n ＜b n ＋1，n 为正整数．。
2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练6章5课时训练
1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定解析：选C.依题意A ＝a ＋b 2，G ＝ab ，∴AG －ab ＝a ＋b 2·ab －ab ＝ab (a ＋b 2－ab ) ＝ab ·(a －b )22≥0，∴AG ≥ab .2．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B ．(－13，－43)C ．(－12，－1)D ．(－1，－1)解析：选B.由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有(－13，－43)与(1,4)平行．故选B.4．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )A ．6只B ．5只C ．8只D ．7只错误!解析：选A.依题意除去一只羊外，其余n －1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列，设a 1＝7，d >0，S n －1＝65－10＝55.∴有(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55. 即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， (n －1)[7＋(n －2)d 2]＝55，∵55＝11×5且(n －1)∈Z ，[7＋(n －2)d 2]∈Z .∴⎩⎨⎧ n －1＝5，7＋n －22d ＝11.∴n ＝6.5．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到( )A ．4800元B ．8000元C ．9600元D ．11200元解析：选B.由题意知，5天共捐款10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8000(元)．6．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)解析：选 D.∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，∴λ＞－2n －1对于n ∈N *恒成立．而－2n －1在n ＝1时取得最大值－3，∴λ＞－3，故选D.7．凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于________．解析：由条件得，(n －2)×180°＝120°×n ＋n (n －1)2×5°，∴n ＝9或n ＝16，∵a 16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，∴n ＝16(舍去)，而a 9＝160°<180°，∴n ＝9.答案：98．已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12)，B (3,1)，若记a n ＝log 2f (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是________．解析：将A 、B 两点坐标代入f (x )得⎩⎨⎧ 12＝ab 21＝ab 3，解得⎩⎨⎧a ＝18，b ＝2 ∴f (x )＝18·2x ，∴f (n )＝18·2n ＝2n －3，∴a n ＝log 2f (n )＝n －3.令a n ≤0，即n －3≤0，n ≤3.∴数列前3项小于或等于零，故S 3或S 2最小．S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－2＋(－1)＋0＝－3.答案：－39．某纺织厂的一个车间有n (n >7，n ∈N *)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1,2,3，…，n .定义记号a ij ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a ij ＝1，否则a ij ＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a 17＋a 27＋a 37＋a 47＋…＋a n 7＝________；若a 31＋a 32＋a 33＋a 34＋…＋a 3n ＝2，说明________________________．解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a 17，a 27，a 37，…，a n 7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴a 17＋a 27＋a 37＋…＋a n 7＝1.同理，由a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝2.说明a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0， 即第3号工人操作了2台织布机．答案：1 a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机10．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．11．已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3，….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项．解：(1)证明：a 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋n ，∵a 2＝34，a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又b n ＝a n ＋1－a n －1，b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1＋(n ＋1)2－a n ＋n 2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.b n ＝－34×(12)n －1＝－32×12n ，∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)∵a n ＋1－a n －1＝－32×12n ，∴a 2－a 1－1＝－32×12，a 3－a 2－1＝－32×122，…∴a n －a n －1－1＝－32×12n －1， 将以上各式相加得：∴a n －a 1－(n －1)＝－32(12＋122＋…＋12n －1)， ∴a n ＝a 1＋n －1－32×12(1－12n －1)1－12＝12＋(n －1)－32(1－12n －1)＝32n ＋n －2. ∴a n ＝32n ＋n －2.12.在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n .(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2.当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S n n <0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.。
2013年高考数学二轮复习阶段一专题一第三节配套课时作业理
log 2x x ，
已知函数 f ( x) ＝ － x2－ 4x x
则此函数的“友好点对”有 ( ) ，
A．0 对
B．1 对
C．2 对
D．3 对
解析：选 C 不妨设函数 y＝log 2x 的图像上的点 P( x， log 2x) ， x>0，则其关于坐标原点 对称的点的坐标为 ( － x，－ log 2x) ，如果该点在函数 y＝－ x2－4x 的图像上，则－ log 2x＝－ x2
(2) 由 (1) 知 f ( x) 在 [0,2 m] 上至多有两个零点，当 m>1 时， f ( m) ＝ 1－ m<0. ∵f (0) ＝ e－m>0，f (0) · f ( m)<0 ，∴ f ( x) 在 (0 ，m) 上有一个零点． 又 f (2 m) ＝ em－ 2m，令 g( m) ＝ em－ 2m，∵当 m>1 时，g′（m) ＝ em－ 2>0，∴ g( m) 在 (1 ，＋∞）
足 f ( x2－ 2x－ 1) ＝ f ( x＋ 1) 的所有 x 之和为 (
)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 D 依题意得，方程 f ( x2－ 2x－1) ＝ f ( x＋1) 等价于方程 x2－ 2x－ 1＝ x＋ 1 或 x2
－ 2x－1＝－ x－1，即 x2－3x－ 2＝ 0 或 x2－ x＝ 0，因此所有解之和为 3＋ 1＝4.
5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图．为降低消
耗，开源节流， 现要从这些边角料上截取矩形铁片 ( 如图中阴影部分 )
备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长
x、 y 应为 ( )
A．x＝ 15，y＝ 12
高中数学选修2-3各单元课后巩固及单元测试及答案解析
高中数学选修2-3各单元课后巩固及单元测试及答案解析1-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1课后巩固1．已知集合A且A中至少有一个奇数，则这样的集合有( ) 新人教A版选修2-3新人教A版选修2-3A．2个 C．4个答案 D解析满足题意的集合A分两类；第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1,2}，{3,2}共4个；第二类有两个奇数有{1,3}，所以共有4＋1＝5个．2．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 C．6 答案 D解析第一步，在B中与A中元素a对应的有4种情况；第二步，在B中与A中元素b 对应的有4种情况，在B中与A中元素c对应的有4种情况，根据分步乘法计数原理可得共有：4×4×4＝64种映射．3．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B．81 D．64 B．3个 D．5个B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( )A．3 C．12 答案 C解析确定A*B中元素(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有3种方法；第二步确定y，有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有3×4＝12种不同的方法，故选C.4．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有( )A．6种 C．10种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分两步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．5．如图所示，从A→B→C，有________种不同的走法．从A→C，有________种不同的走法．B．9种 D．12种4B．4 D．163答案 4 61-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理2课后巩固1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A．324 B．328 C．360 答案 B解析若组成没有重复数字的三位偶数，可分为两种情况：①当个位上是0时，共有9×8＝72(种)情况；②当个位上是不为0的偶数时，共有4×8×8＝256(种)情况，综上，共有72＋256＝328(种)情况．2．在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x的项的系数是( ) A．－15 C．－120 答案 A解析根据乘法原理，含x的项是4个因式中取x，余下一个因式取常数项形成的，所以含x的项的系数是(－1－2－3－4－5)，即－15.3．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有( )A．5种 C．3种答案 C4．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．答案 45．电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生________种不同的信息．答案 2565444D．648B．85 D．274B．4种 D．6种解析 8个位置上的每个位置穿孔或不穿孔都可确定一个信息，故应分步完成确定一个信息，由分步乘法计数原理得2＝256.6．由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?思路分析按自然数的位数多少，可以分为以下四类：一位，二位，三位，四位的自然数，而在每一类中，又可以分成几步进行．解析组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为 4＋16＋64＋256＝340(个)．81-2 排列与组合2课后巩固1．5名男生和1名女生排成一排，这名女生不在排头也不在排尾的排法种数有( ) A．720种 C．480种答案 C解析先排女生有A4种，再排5名男生有A5种，共有A4・A5＝480种．2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A．108种 B．186种 C．216种 D．270种答案 B解析可选用间接法解决：A7－A4＝186(种)，故选B.3．用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20 000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有( )A．96个 B．78个 C．72个 D．64个答案 B解析可先考虑特殊位置，分类讨论．331515B．600种 D．240种4．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于( )A．1 543 B．2 543 C．3 542 D．4 532 答案 C解析千位数为1时组成的四位数有A4个，同理，千位数是2,3,4,5时均有A4＝24(个)数，而千位数字为1,2,3时，从小到大排成数列的个数为3A4＝72，即3 542是第72个(最大)．5．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数为( )A．20 B．19 C．10 D．9 答案 B解析五个字母中只要确定e和o的位置，另外三个都是r，故有A5＝20种不同排列．其中只有一种是正确的，所以可能出现的错误有20－1＝19种，选B.6．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．答案 240解析 (位置分析法)第一步：从除去甲乙的4人中选1人从事翻译工作，有A4种方法；第二步：从剩余的5人中选3人从事另外三项工作，有A5种方法．∴共有A4・A5＝240种不同的方案．133123331-2 排列与组合3课后巩固1．4名男歌手和2名女歌手联合进行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )A．6A3种 C．2A3种答案 D2．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是( )A．36个 C．28个答案 A解析将3、4两个数全排列，有A2种排法，当1,2不相邻且不与5相邻时有A3方法，当1,2相邻且不与5相邻时有A2・A3种方法，故满足题意的数有A2(A3＋A2・A3)＝36个．2223222333B．3A3种 D．A2A4A4种2143B．32个 D．24个3．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________．(用数字作答)思路分析本题以工程问题为背景，是带有多个限制条件的排列组合混合问题，对题目中的3个条件可以采用直接法与插空法．解析依题意可分两类，(1)剩余的两个工程不相邻，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的4个空中(丙、丁之间没有空位，因为工程丁必须在工程丙完成后立即进行)，可得有A4种不同排法；(2)剩余的两个工程相邻(捆绑在一起看做一个元素)，有A4A2种不同排法．综上，符合要求的不同排法有A4＋A4・A2＝20(种)．点评对限制条件的理解是解带有多个限制条件的排列组合混合问题的关键，本题中剩余的两项工程，既可以相邻安排，也可以不相邻安排，学生往往将结果写为A5而出错：“工程丁必须在工程丙完成后立即进行”这一条件也容易被忽视，而得到错误的结果A5＋A5A2＝30.所以对于这一类排列组合混合问题必须认真阅读题目，理解题意．4．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法有________种．答案 2 500种解析∵1＋100＝101＞100,2＋99>100,2＋100>100，∴1为被加数的有1种，2为被加数的有2种，同理3为被加数的有3种，……，49为被加数的有49种，观察知(1＋2＋…＋50)＋(49＋48＋…＋1)＝2 500种．5．参加完国庆阅兵的7名女兵，站成一排合影留念，要求甲、乙两人之间恰好隔一人的站法有多少种？2122122122解析甲、乙及间隔的1人组成一个“小团体”，这1人可从其余5人中选，有5种选法．这个“小团体”与其余4人共5个元素全排列有A5种排法，它的内部甲、乙两人有A2种站法，故符合要求的站法共有5A5・A2＝1 200种．52521-2 排列与组合4课后巩固1．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于( )A．01B. 4mn感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2013届高考一轮数学复习理科课时同步2-7
课时作业(十)1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图像重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2 D ．y ＝log 21x ＋1答案 C3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6) 答案 D解析 依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0，的图像大致是( )答案 B解析 当x <0时，函数的图像是抛物线y ＝x 2(x <0)的图像；当x ≥0时，函数的图像是指数函数y ＝2x (x ≥0)的图像向下平移一个单位所得的图像，所以选B.5．(2011·安徽江南十校联考)函数y ＝2|log 2x |的图像大致是( )答案 C解析 当log 2x >0，即x >1时，f (x )＝2 log 2x ＝x ； 当log 2x <0，即0<x <1时，f (x )＝2－log 2x ＝1x .所以函数图像在0<x <1时为反比例函数y ＝1x 的图像，在x >1时为一次函数y ＝x 的图像．6．(2012·温州模拟)当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A 解析依题意得，当x<0时，y＝－x＋(x－2)＝－2；当0≤x≤2时，y＝x＋(x－2)＝2x－2；当x>2时，y＝x－(x－2)＝2.在坐标系下画出该函数的图像，将x轴绕着原点逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线与该函数的图像都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图像都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k的取值范围是(0,1)，选A.7．(2012·南昌一模)定义a*b＝ab－1－ka－2，则方程x*x＝0有唯一解时，实数k的取值范围是()A．{－5，5} B．[－2，－1]∪[1,2]C．[－5，5] D．[－5，－1]∪[1，5]答案 B解析依题意得，关于x的方程x2－1－kx－2＝0，即kx＋2＝x2－1有唯一解．在直角坐标系中画出函数y＝x2－1与y＝kx＋2的图像，注意到函数y＝x2－1的图像是由双曲线x2－y2＝1上除去位于第三、四象限的部分所组成，并且该双曲线的渐近线是y ＝±x ，函数y ＝kx ＋2的图像恒过点(0,2)，结合图像分析可知，当函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像有唯一的公共点时，k 的取值范围是[－2，－1]∪[1,2]，选B.8．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( )A ．f (0)<f (1)<f (5)B ．f (1)<f (5)<f (0)C ．f (5)<f (0)<f (1)D ．f (5)<f (1)<f (0)答案 C解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )． ∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称 又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数 而f (5)＝f (－1)，∴f (5)<f (0)<f (1)，选C.9．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案 －1≤m <0 解析首先作出y ＝(12)|1－x |的图像(如上图所示)，欲使y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.10．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．答案 1≤m < 2解析 曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如图．要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2.11．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且FG .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝(12)x(x ≤0)的图像关于y 轴对称的这部分图像，即可得到偶函数g (x )的图像，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |12．已知x 2>x 13，则实数x 的取值范围是________． 答案 {x |x <0或x >1}解析 分别画出函数y ＝x 2与y ＝x 13的图像，如图所示，由于两函数的图像都过点(1,1)，由图像可知不等式x 2>x 13的解集为{x |x <0或x >1}．点评 本题根据幂函数的图像求解，不等式x 2>x 13的解集即为幂函数y ＝x 2的图像在幂函数y ＝x 13的图像上方部分的所有点的横坐标的集合．13．作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log a |(x －1)|，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)．答案解析 (1)的变换是：y ＝a x →y ＝a |x |→y ＝a |x －1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解析f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出图像如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－34.由图像知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．1．(2012·陕西宝鸡质检)函数f (x )＝ln x －12x 2的图像大致是( )答案 B解析 ∵f ′(x )＝1x －x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数单调递增；故x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数单调递减． 故x ＝1为极大值点，f (1)＝－12<0，故选B.2．设a >1，对于实数x ，y 满足：|x |－log a 1y ＝0，则y 关于x 的函数图像是( )答案 B解析由题意知1y ＝a |x |，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，(1a )－x，x <0.∵a >1，∴函数在[0，＋∞)上是减函数，经过点(0,1)，且函数为偶函数．故图像关于y 轴对称．故选B.3．(2012·福建龙岩模拟)如图，当参数λ分别取λ1，λ2时，函数y ＝x1＋λx(x ≥0)的部分图像分别对应曲线C 1和C 2，则( )A ．0<λ1<λ2B ．0<λ2<λ1C ．λ1<λ2<0D ．λ2<λ1<0 答案 A解析 由图可知，λ显然不为0.当λ分别取λ1、λ2时，x1＋λ1x ≥x1＋λ2x (x ≥0)，则1＋λ1x ≤1＋λ2x ，因为λ1≠λ2，所以λ1<λ2.又x1＋λ1x ≥0(x ≥0)， 则1＋λ1x >0，即λ1>0，故0<λ1<λ2.4．(2011·东营联考)函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增答案 D解析 当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图像的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．5．(2011·浙江金华模拟)M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．πB.2πC.3π D ．2π答案 C解析 当|MN |最小时，点M 、N 必为两曲线的相邻的两个交点， 所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π. 6．已知幂函数y ＝x4－3m －m2(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图像．解析 依题意，其图像与y 轴有公共点，则 4－3m －m 2>0，即m 2＋3m －4<0，解得－4<m <1. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－3，－2，－1,0.当m ＝－3或m ＝0时，函数可化为y ＝x 4，符合题意，其图像如图①.当m ＝－2或m ＝－1时，函数可化为y ＝x 6，符合题意，其图像如图②.7．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值．(2)作出函数f (x )的图像；(3)根据图像指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图像写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎨⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图像如图所示． (3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)由图像可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，由图像知，函数在[1,5]上的值域为[0,5)．8．(2011·济南期末)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围．(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解析 (1)方法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．方法二：作出g (x )＝x ＋e 2x 的图像如图． 可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三：解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图像．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．9．(2012·宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋ 1|. (1)作出y ＝f (x )的图像； (2)解不等式f (x )≤6.解析(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，图像如下图所示：(2)由f(x)≤6得：当x≤－1时，－2x＋2≤6，x≥－2，∴－2≤x≤－1；当－1<x≤3时，4≤6成立；当x>3时，2x－2≤6，x≤4，∴3<x≤4.∴不等式f(x)≤6的解集为[－2,4]．另解：(数形结合)由上图可知，不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．。
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1．(2010年皖南八校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－3)＝－2，则f (3)＋f (0)＝( )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．7
解析：选C.由题意得f (3)＋f (0)＝－f (－3)＋f (0)＝2＋0＝2.故选C.
2．(2009年高考福建卷)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )
A ．f (x )＝1x
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
解析：选A.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，
在A 中，由f ′(x )＝－1x 2＜0得f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减
函数；
在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)＜0得x ＜1，所以f (x )在(－∞，1)上为减函数．
在C 中，由f ′(x )＝e x ＞0知f (x )在R 上为增函数．
在D 中，由f ′(x )＝1x ＋1
且x ＋1＞0知f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．
3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)＜f (1)的实数x 的
取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.∵f (x )在R 上为减函数且f (|1x |)＜f (1)，
∴|1x |＞1，
即|x |＜1且x ≠0，得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.
4．(原创题)已知f (x )＝x 2＋x ，则f (a ＋1a )________f (1)．(填
“≤”“≥”)．
解析：∵a ＋1a ≥2或a ＋1a ≤－2，
f (x )的对称轴为x ＝－12.
∴f (x )在(－12，＋∞)上为增函数，
在(－∞，－12)上为减函数．
又f (2)＝22＋2＝6>2＝f (1)，
f (－2)＝(－2)2＋(－2)＝2＝f (1)，
∴f (a ＋1a )≥f (1)．
答案：≥
5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.
解析：由于f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，
可知b ≠0，∴f (x )为二次函数，
f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )
＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.
∵f (x )为偶函数，
∴其对称轴为x ＝0，∴－2a ＋ab 2b ＝0，
∴2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.
若a ＝0，则f (x )＝bx 2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，
若b ＝－2，又其最大值为4，
∴4b ×2a 2
4b ＝4，∴2a 2＝4，
∴f (x )＝－2x 2＋4.
答案：－2x 2＋4
6.已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．
解：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，
则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.
∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1
)
＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2
＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]， 又f (x )在[12，2]上单调递增，
∴f (12)＝12，f (2)＝2，代入可得a ＝25.。