2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(二)数学理科

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II)第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B=球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)．设i 为虚数单位，复数121,21z i z i =+=-，则复数21Z Z ∙在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．设(1)xy a =-与1()xy a =（1a >且a ≠2）具有不同的单调性，则13(1)M a =-与31()N a=的大小关系是 （ ）A ．M<NB ．M=NC ．M>ND ．M ≤N（3）.若实数x ，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z的取值范围是 （ ）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23C ．[3，11]D ．[)11,3（4）．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．15（5）．已知)(x f 是R 上的增函数，点A （－1，1）,B （1，3）在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log|21<-x f的解集是 （ ）A ．（1，3）B ．（2，8）C ．（－1，1）D ．（2，9）（6）．2011年哈三中派出5名优秀教师去大兴安 岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 （ ） A ．80 B ．90 C ．120 D ．150 （7）．已知函数a x f x x x f =∈=)(),3,2(,cos )(若方程ππ有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值可能是 （ ） A ．21 B ．22 C ．21-D ． -22（8）ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为 （ ）A ．1 BC ．D ．3（9）．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为（ ）A ．36πB ．6C ．9π D ．6π（10）．设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）. 定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是（ ）A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（12）.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ( )(A)2(B)2第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2．本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. （13）在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos 2B =_______．（14）某中学2000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N （120，100），则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为 。

（注：正态总体2(,)N μσ在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率约为0.954） （15）若直线:0l tx y -+=与曲线22:2C x y -=有两个不同交点，则实数t 的取值范围是 。

（16）给出下列关于互不相同的直线m ，n ，l 和平面,αβ的四个命题： ① ,,,m l A A m l m αα⊂=∉ 则与不共面；② l 、m 是异面直线，//,//,,,l m n l n m n ααα⊥⊥⊥且则； ③ 若,,,//,//,//l m l m A l m ααββαβ⊂⊂= 则； ④ 若//,//,//,//l m l m αβαβ则 其中假命题是 。

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）如图1，ABC ∆中，,AB ,ABC sin2332==∠点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD（Ⅰ）求BC 的长； （Ⅱ）求DBC ∆的面积.（18）、（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ．且1452a a a ，，分别是等比数列}{n b 的432b b b ，，．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）设数列}{n c 对任意自然数n 均有：12211+=+++n nn a b c b c b c 成立．求2010321c c c c ++++ 的值。

（19）、（本小题满分12分）如图所示，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA=AD=2, E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点 (1)求异面直线EF 与AG 所成角的余弦值； (2)求证：BC ∥面EFG ； (3)求三棱锥E-AFG 的体积。

（20）、（本小题满分12分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为21，乙投篮命中的概率为32．(1)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得1-分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．（21）、（本小题满分12分）BD设椭圆:C )0(12222>>=+b a by ax 的离心率为e =22,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.（22）、（本小题满分12分） 已知函数)1ln()ln(1)ln()(++-+=x ax x ax x f , ),0(R a a ∈≠（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当a >0时，若存在x 使得()ln(2)f x a ≥成立，求a 的取值范围.2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II)参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题二、填空题（本题共4个小题。

每小题5分，共20分，将答案填在答题卡的相应位置） 13．31 14．4615．（—2，—1）∪—1，1）∪（1,2） 16．④三、解答题（本题共6小题，总分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为332sin=∠ABC ，所以313121=⨯-=∠ABC cos . ······ 2分在ABC ∆中，设b AC a BC 3,==， 则由余弦定理可得a a b 344922-+= ① ··············· 5分在ABD ∆和DBC ∆中，由余弦定理可得bb ADB 331643164cos 2-+=∠， ba b BDC 338316cos 22-+=∠． ····················· 7分因为BDC ADB ∠-=∠cos cos ，所以有ba b bb 338316331643164222-+-=-+，所以6322-=-a b ②由①②可得1,3==b a ，即3=BC ． ·················· 9分（Ⅱ）由（Ⅰ）得ABC ∆的面积为223223221=⨯⨯⨯，所以DBC ∆的面积为322． ···················· 12分（注：也可以设b BC a BA ==,，所以b a BD3231+=，用向量法解决；或者以B 为原点，BC 为x轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过A 作BC 平行线交BD 延长线于E ，用正余弦定理解答．具体过程略）（18）、解：（1）∵a 2=1+d ，a 5=1+4d ，a 14=1+13d ，且a 2、a 5、a 14成等比数列∴ 2)131)(1()41(2=++=+d d d d 即 ∴122)1(1-=⋅-+=n n a n…………3分又∵9,35322====a b a b . ∴113,1,3-===n n b b q …………………6分（2）∵12211+=+++n n n a b C b C b C① ∴211a b C = 即3211==a b C又)2(112211≥=+++--n a b C b C b C nn n ② ①－②：21=-=+n n nn a a b C∴)2(3221≥⋅=⋅=-n b C n n n ∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n C n n …………10分∴(19)、(1)cos 552=θ(2)略 (3)V E-AFG =V G-AEF =61（20）、解：（1）设“甲至多命中2个球”为事件A ，“乙至少命中两个球”为事件B ，由题意得， 1611)21()21()21()21()21()(222431144=⋅+⋅+=C C A P 98)32(31)32()31()32()(43342224=+⨯+⨯=C C B P∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为 1811981611)()(=⨯=⋅B P A P（2）12,8,4,0,4-=η，分布列如下：η 4- 0 4 8 12P811 818 8124 8132 8116320811612813288124481808114=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=ηE（21）、解:(1)依题意知,24, 2.a a =∴= ∵22==a c e ,2,222=-==ca b c .∴所求椭圆C 的方程为12422=+yx.（2）∵ 点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+-=⨯--.222,1210101010x x y y x x y y解得：001435y x x -=，001345y x y +=.∴011543x y x -=-.1220101123201020091232009201032323233(13)32(3333)32313C C C C -++++=+⋅+⋅++⋅-=+⋅++++=+⋅=-∵ 点P ()00,y x 在椭圆C :12422=+yx上,∴220≤≤-x , 则105100≤-≤-x .∴1143y x -的取值范围为[]10,10-. （22）、解：（Ⅰ）当0>a 时函数()f x 的定义域为),0(+∞； 当0<a 时函数()f x 的定义域为)0,1(-（Ⅱ）111)1()ln(1)(2++-+-+='x xx ax xx x f222)1()ln()1()1()1()ln()1(+-=++++--+=x ax x x x x x ax x x令()0f x '=时，得ln 0ax =即1x a=，①当0a >时，1(0,)x a∈时()0f x '>，当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<， 故当0a > 时，函数的递增区间为1(0,)a，递减区间为1(,)a+∞②当10a -≤<时，10ax -<<，所以()0f x '>， 故当10a -≤<时，()f x 在(1,0)x ∈-上单调递增．③当1a <-时，若1(1,)x a∈-，()0f x '<;若1(,0)x a∈，()0f x '>，故当1a <-时，()f x 的单调递增区间为1(,0)a;单调递减区间为1(1,)a-．（Ⅲ）因为当0a >时，函数的递增区间为1(0,)a;单调递减区间为1(,)a+∞若存在x 使得()ln(2)f x a ≥成立，只须1()ln(2)f a a≥，即011ln()ln 2201112a a a a a a aaa >⎧++⎪≤⇒≥⇒⇒<≤⎨-≤≤⎪⎩。