九年级数学上册 2.5 用三种方法表示二次函数学案(无答案) 鲁教版五四制
九年级数学上册《2.5用三种方式表示二次函数》学案
山东省乳山市南黄镇初级中学九年级数学上册《2.5用三种方式表示二次函数》学案（无答案）学习目标：经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点学习导航：根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面（自变量取值范围、最值、增减性）对函数性质进行研究知识链接：确定下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性。
（1）y=3x2—6x+2 (2)y=-3(x+3)(x+9)探究新知：已知矩形的周长为20cm，设它的一边长xcm,面积ycm2。
y的值随x值的变化而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格、图象出来吗？（1）用函数表达式表示：y=______________________________.(2)用表格表示：(3)用图象表示。
运用新知：例1：两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的？你能分别用函数表达式、表格和图象表示这种变化吗？1、用函数表达式表示：y=______________________.用表格表示：4、根据以上三种表示方式回答下列问题：（1）自变量的取值范围是什么？（2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？（3）如何描述y随x的变化而变化的情况？（4）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？友情提示：根据顶点的坐标判断函数值的变化情况。
巩固新知：用一张长20cm，宽15cm的矩形纸板，在它的四个角各剪去一个大小相等的正方形，做成一个无盖的长方体纸盒。
（1）求纸盒的底面积y（cm2）与所剪去正方形的边长x（cm）之间的关系式（2）用表格描述y与x之间的关系（3）作出这个函数的图象（4）如何描述y值随x值的变化而变化的情况？思考：二次函数的三种表示方式各有什么特点？它们之间有什么关系？回顾反思：二次函数的三种表示方式各有什么特点？它们之间有什么关系？反思：通常思维都有很强的直觉性，若在解题后及时重现一下这个思维过程，分析多次受阻的原因何在，总结审题过程中的思维方法。
九年级数学上册第二章二次函数复习课件鲁教版五四制最新实用版
小结 拓展 回味无穷
函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
(3)对称轴不同:分别是
(4)最值不同:分别是4 3.联系:
ac 4
直 a b线2 x和0.2ba
和 2bya,轴4ac4.ab2
和(0,0).
函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿
想一想 2
yaxb24a
cb2 .
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法
推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求次函数 yax2bxc
y=ax²+bx+c的对 称轴和顶点坐标．
ax2 bxc a c
提取二次项系数 配方:加上再
1.配方:
做一做 5
顶点坐标公式 ?
yaxb24a
cb2 .
2a 4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
它的对称轴是 :x直线 b . 2a
它的顶 点 2ba,4是 a4ca b2.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1 .y2x2 1x2 1;32.y 5x28x0 31 ; 9
第二章 二次函数
想一想 1
回顾与思考
1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言 或图形进行描述. 2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴 交流. 3.小结一下作二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方 向,对称轴和顶点坐标?请用具体例子进行说明. 5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函 数的表达式,表格和图象刻画变量之间的关系. 6.用自己的语言描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方 程ax2+bx+c=0的根之间的关系.
鲁教版(五四制)数学九年级上册第三章《二次函数教学设计》大单元教学课件
定的创新意识。
①、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
②、能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二
次函数系数与图象形状和对称轴的关系；
③、会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，
能解决相应的实际问题；
④、知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的
即为学生积累常见的基础模型，教学中增强题目的变式
训练，教学中引导学生积极探索、发散思维，教学中注
重数学抽象与建模的培养。
《二次函数》是鲁教版九年级第三章的内容，是前面学过的一次函数和反
比例函数的延续，是对函数及其应用知识学习的深化和提高，也是中考考察
的重点、热点和难点，同时又是高中数学学习的基础，是解决现实问题的重
例3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的
解集是（ ）A.-1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜-1且x＞5
D.x＜-1或x＞5
学习活动设计
典例精讲
例4：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴
的交点在（0，2）和（0，3）之间（包含端点），下列结论:①3a＋b＜0；②-1≤a≤- ；
2
2
③对于任意实数m，a＋b≥am ＋bm总成立；④关于的方程ax ＋bx＋c＝n-1有两个不
相等的实数根。其中正确结论的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
例5: 已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为 ，求二次函数的解
析式．
2019-2020学年九年级数学上册 二次函数应用学案(1)鲁教版五四制.doc
2019-2020学年九年级数学上册 二次函数应用学案（1）鲁教版五四制一、学习目标：1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.二、自学文本：看课本72页——73页，回答课本中提出的问题。
学习过程: 三、预习检查：1．抛物线2y ax bx c =++，当a ＞0时，在x=_______时，取得最_______值为_______；当a ＜0时，在x=_______时，取得最_______值为_______．2．二次函数21226555y x x =---的最大值为（ ）．A ．265- B ．265 C ．5 D ．-5 四、交流学习：（30分钟）探究一：商品销售问题：某商店经营一种小商品，已知成批购进时单价是2.5元 .根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件. 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？ 设销售单价为x （0＜x ≤13.5），那么（1）销售量可以表示为______；（2）销售额可以表示为______；（3）所获利润可以表示为_____；（4）当销售单价为_____元时，可以获得最大利润，最大利润是________. 探究二：“种多少棵橙子数”的问题：我们得到表示增种橙子数的数量x （棵）与橙子总产量y （个）的函数表达式2(6005)(100)510060000y x x x x =-+=-++. 我们还曾经利用列表的方法得到一个猜想，现在验证一下你的猜测是否正确.你是怎么做的？与同伴交流. Ox/棵201510560600605006040060300601006020060000y/个练习：1．某商店以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么半月内可售出400件.根据销售经验，销售单价每提高1元，半月内的销售量相应减少20件.如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？2．在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如，在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位：cm ）是：6.5 5.9 6.0 6.7 4.5 那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数22222( 6.5)( 5.9)( 6.0)( 6.7)( 4.5)y x x x x x =-+-+-+-+-为最小值的x 值.整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度.五、知识梳理: 这节课你的收获有哪些？（2分钟） 六、达标训练:（8分钟）1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日售量就增加一个，为获得最大利润，应降价（ ）．A ．5元 B ．10元 C ．15元 D ．20元2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的收费就降低10元．请你帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？七、技能迁移（5分钟）某玩具厂计划生产一种玩具，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具的成本为P 元，每只售价为Q 元，且P ，Q 与x 之间的关系为：50030P x =+，1702Q x =-．（1）若每日获得利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式；（2）请你利用（1）中的二次函数表达式对每天的生产情况和利润之间的关系进行分析．教(学)后记:议一议：（1）利用函数图象，描述橙子的总产量与增种橙子数的棵数之间的关系.（2）增种多少棵橙子数，可以使橙子的总产量在60400个以上？。
数学：2.5用三种方法表示二次函数同步练习(鲁教版九年级上)
数学：2.5用三种方法表示二次函数同步练习〔鲁教版九年级上〕2.5用三种方法表示二次函数1. 函数的三种表示方法是2 、2 、．．2. 点(m?1，m)在函数y?x?2x的图像上，那么m?3. 有三个点坐标A(?1，-1)，B(0，?2)，C(11)，．〔1〕求经过此三个点的抛物线的函数表达式；〔2〕用列表法表示此抛物线；〔3〕由图像法表示此抛物线．4. 抛物线y?ax?bx?c与y?x的形状相同，对称轴是直线x?2，且顶点在直线y?用函数表达式表示此抛物线．221x?3上． 25. 11个人到书店去为单位买书，每人都买了假设干本，其中买书最多的人买了100本书，证明这11人中必有两人，他们买的书相差不到10本． 6. 有这样的算式7. 二次函数y?x?bx?c的图像过点A(c，0)，且关于直线x?2对称，那么这个二次函数的函数表达式可能是〔只要写出一个可能的表达式〕．28. 完成下表：x y 0.1 0.01 0.2 0.3 0.4 0.16 9. 两个数的和为8，这两个数的面积的最大值是． 10. 根据表格写出y与x的函数关系式,并作出图像．x y ?3 9 ?2 4 ?1 1 0 0 1 1 2 4 23 9 11. 一块矩形木板长5cm，宽4cm，假设长，宽各锯去xcm后，剩下的木板的面积为ycm，那么y与x之间的函数关系式是什么？当剩下的木板的面积为8.75cm时，长，宽各锯去多少？12. 抛物线y?ax?bx?c的顶点坐标为(4，〔1〕求这条抛物?1)，与y轴交于点C(0，3)，O是原点，线的解析式；〔2〕设此抛物线与x轴的交点为A，B〔A在B的左边〕，问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为用心爱心专心- 1 -22顶点的三角形与△AOC相似？假设存在，请求出点P的坐标：假设不存在，请说明理由． 13. 有一个二次函数的图像，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x?2；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式：14. 二次函数y?ax?2的图像经过点〔1，?1〕．求这个二次函数的表达式，并判断该函数图像与x轴的交点的个数．15. 抛物线的对称轴是x?1，它与直线y?以下问题：〔1〕求k的值；〔2〕求抛物线的函数表达式；〔3〕求抛物线的顶点坐标．16. 目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南京市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一局部〔如图1〕，在正常情况下，位于水平上的桥拱跨度为350m，拱高为85m．〔1〕在所给的直角坐标系中〔如图2〕，假设抛物线的表达式为y?ax?b，请你根据上述数据求出a，b的值，并写出抛物线的表达式〔不要求写自变量的取值范围，a，b的值保存两个有效数字〕．〔2〕七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度有多少大〔结果保存整数〕？17. 一个长方形的周长是8cm，一边长是xcm，那么这个长方形的面积y与边长x的函数关系用图像表示为〔〕用心爱心专心- 2 -221?1)，与y轴相交于点B(0，3)，求解x?k相交于点A(1，2y C 85m 350m 图1图2A OB xy 4 y 4 ＯＡ 4 x ＯＢ 4 x y 4 y 4 Ｏ 2 C x Ｏ 2 D x cm2．18. 一个三角形的一边长和这边上的高的和为20cm，那么这个三角形的面积最大可到达 19. 用长为100m的金属丝制成一个矩形框子，那么该框子的最大面积是 20. 〔1〕作出下面每个图形的对角线，并完成表格：边的条数对角线的条数 3 4 5 6 7 8m2．〔2〕如果用n表示多边形的边数，m表示这个多边形的对角线条数，那么m 和n的关系如何？ 21. 二次函数图象如下图，试写出它的代数表达式．22. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，P为BC上一点，Q在CD上，AP⊥PQ，BP?xcm，用心爱心专心- 3 -y (1，4) (?1，0) Ｏ (3，0) xＡＤCQ?ycm．求y与x的函数关系式，以及线段CQ的长最大可到达多长．23. 试写出一个开口向上，对称轴为直线x?2，并且与y轴的交点坐标是(0，3)的抛物线的函数表达式．224. 抛物线y?x?6x?5的局部图象如图，那么抛物线的对称轴为直线x= ，满足y＜0的x的取值范围是，将抛物线y?x?6x?5向平移个单位，可得到抛物线y?x?6x?9．25. A1、A2、A3是抛物线y?22yx12x上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂 2足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C．〔１〕如图11－1，假设A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长；〔２〕如图11－2，假设将抛物线y?121A1、A2、A3三点 x改为抛物线y?x2?x?1，22的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长；用心爱心专心- 4 -〔３〕假设将抛物线y?12A1、A2、A3三点的横坐标为 x改为抛物线y?ax2?bx?c，2连续整数，其他条件不变，请猜测线段CA2的长〔用a、b、c表示，并直接写出答案〕．图11－1 图11－2 答案： 1.解析式 2.?列表法图像法O C y y A3 A2 C A3 A2 A1 A1 O B1 B2 B3 x B1 B2 B3 x3 4，?a?b?c??1?23.〔1〕设所求抛物线的函数式为y?ax?bx?c，由?c??2，?a?b?c?1，??a?2，21?17??2，y?2x?x?2?2?x???．得?b?14?8??c??2，?〔2〕略．〔3〕略．24.抛物线的形状与y?x相同，a??1．又抛物线对称轴是直线x?2，顶点在y?1x?3上，顶点为2(2，4)．?所求抛物线为y??(x?2)2?4，即y?x2?4x?8或y??x2?4x． 5.因买书买得最多的人买了100本，所以每人买书不多于100本．把1到100这100个数分成如下的91组：2，?，10?，?2，3，?，11?，?3，4，?，12?，?4，5，?，13?，?，?91，92，?，100?，因共有11人，故至少有两?1，个人买书的本数在上面的同一个数组中，这两个人所买的书相差不到10本． 6.解：11111111?1??11??1???11??????????????1????????????????2612901?22?33?49 ?10?2??23??34??910?19?1??.1010用心爱心专心- 5 -。
鲁教版(五四制)九年级数学二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质优秀教学案例
此外，我还鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此的学习心得和经验。通过小组合作学习，学生可以相互借鉴、相互启发，从而提高学习效果。在课堂结束时，我对学生的学习情况进行总结和评价，及时反馈学生的学习成果，提高学生的学习积极性。
3.讲解二次函数的性质：顶点式、对称性、单调性等，并结合实际例子进行解释。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论。如：“如何求解使得抛物线与x轴有两个不同交点的a、h、k的取值范围？”
2.引导学生运用数形结合思想，将实际问题转化为二次函数问题。如：“如何利用二次函数的性质解决篮球架安装问题？”
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图像，使学生更直观地了解二次函数的性质。
3.设计具有针对性的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
4.鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此的学习心得和经验，提高学生的合作学习能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的内在动力。
2.组织学生进行自我评价和同伴评价，提高学生的自我认知能力。如，让学生评价自己在课堂上的表现，以及同伴在小组合作中的贡献。
3.教师对学生的学习情况进行总结和评价，给予学生反馈。如，教师应及时评价学生的学习成果，指出学生的优点和不足，鼓励学生继续努力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入：以篮球架的安装为例，提出问题：“如何安装篮球架才能使投篮更容易？”引导学生思考二次函数在实际生活中的应用。
【新编】九年级数学上册 2.2 二次函数导学案(无答案) 鲁教版五四制
2.2 二次函数学习目标：1.通过解决具体实例,理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式,能够求出实际问题中存在的二次函数关系式,并运用所求的关系式解决简单的实际应用问题. 2.经历由具体到抽象、由特殊到一般的知识发生发展过程，感受数学与实际生活的密切联系。
教学过程: 一.自主探究:1.预习课本43页并回答下列问题: (1) 问题中有哪些变量?_________________.其中哪个是自变量?______________. 哪个是因变量?_________________.(2) 假设增种x 棵橙子树,那么果园里共有多少棵橙子树?__________________.这时平均每棵树结多少个橙子?______________________.(3)如果橙子的总产量为y 个,请你写出y 与x 之间的关系式._________________________________.2.想一想：在上述问题中,果园里种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量最多?我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况.利用计算器完成下表,你能根据表格中的数据猜测这一问题的答案吗?试一试.x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个你从上面的表格中发现的规律是____________________ 二.合作交流,成果展示: 1.交流上面的问题. 2.讨论[做一做].3.点拨: 一般地,形如y=ax 2+bx+c(a,b, c 是常数, a ≠0)的函数叫做x 的二次函数. 例如,函数y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系A=a 2,圆面积S 与半径r 的关系S= πr 2等也都是二次函数的例子. 讨论:上述二次函数的一般形式可能有哪些变化？三.应用规律,巩固新知:1.初步应用: 下列函数中(x,t 是自变量),哪些是二次函数?(1) y=-21+3x 2, (2) y=21x 2- x 3+25 (3) y= 22+2x, (4)s=1+t+5t 2. 2.拓展运用: (1)函数122)1(-+-=m mx m y 是二次函数，则m=_______(2)函数y=( m-1) x2+2x是二次函数吗？为什么？(3) 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2.(1)写出y与x之间的关系式;(2)当圆的半径分别增加1cm,2 cm ,2cm时,圆的面积增加多少?四.自我评价,检测反馈:(一)学习体会:1.本节课你有哪些收获?你还有哪些疑惑?2.预习时的疑难解决了吗?(二)当堂检测:1.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2.(1)写出y与x之间的关系式;(2)当圆的半径分别增加1cm,2 cm ,2cm时,圆的面积增加多少?2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,已知长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.(1)如果长方体的长和宽用x(m)表示,那么长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示?(2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元,油漆每个长方体所需费用为y(元),那么y与x之间的关系式是什么?五.课后作业:1.如图，在Rt△ABC的内部作一个矩形ADEF，其中AD和AF分别在两直角边上，设矩形的一边AD=x ，矩形的面积为y ，求y 与x 之间的关系式。
九年级数学上册 二次函数应用学案(2)(无答案) 鲁教版五四制
1二次函数应用学习目标： 1. 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数，运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值.学习重点：目标2 学习难点：目标1. 学习过程: 二、探究学习 【1】．如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ．其中AB 和AD 分别在两直角边上．(1)设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示?(2)设长方形的面积为y m 2．当x 取何值时，y 的值最大?最大值是多少?思考:如果设AD 的长为xm,那么问题的结果又会怎样?你是怎样知道的?【变式】:如果把矩形改为如图所示的位置,其它条件不变,那么矩形的最大面积是多少?【2】某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m ，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多?此时，窗户的面积是多少?【3】巩固练习: 课本67页，随堂练习1。
三、课堂小结：本节课你学了哪些知识点？ 四、自我检测1．矩形的周长为10cm ，面积为y （cm 2）与一边的长为x （cm ）之间的关系式为y=____________________，当x=________时面积最大。
2.周长为16的矩形的最大面积为_____,此时矩形的边长为____,实际上此时矩形是___3.如图,Rt △ABC,∠A=090,AB=4,AC=3,D 在BC 上 运动(不与B,C 重合),过D 点分别向AB,AC 作垂线, 垂足分别为E,F 则矩形AEDF 的面积的最大值是多少?五、知识拓展： 用8m 的铝合金条制成如图所示的矩形的窗框， (1)求窗户的透光面积S 与宽x 的函数关系式. (2)求自变量x 的取值范围.(3)求如何设计才能使透光面积最大?最大透光面积是多少? 教(学)后记:40m 30m E BDFACDB。
九年级数学上册 2.5用三种方式表示二次函数教案 鲁教版
用三种方式表示二次函数[教学目标]1．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与不同的特点；2．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题；3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
[重点和难点]重点：能够分析和表示变量之间的二次函数关系，解决用二次函数所表示的问题，并根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
难点：能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
[教学过程]一、创设情境，揭示课题1．例1．用一根20cm长的铁丝弯成一个矩形（没有余料）。
问题：如何表示矩形的面积随着边长的变化而变化的规律呢？2．揭示课题二、比较探索，感悟发现1．三种方式之间的联系（1）例1：①你认为怎样得到三种表示形式？②学生完成；③全班交流；④想一想：这个函数图象只能在第一象限吗？为什么？（2）例2：如图是某段河床横断面的示意图，查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：①请你以上表中的各数据（x，y）作为点的坐标，尝试在如图所示的坐标系中画出y关于x 的函数图象；②填写下表：根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数的表达式：_________________ （3）议一议：表示二次函数的三种方式之间的联系是什么？ 2．根据不同的方式特点，从不同的侧面对函数性质进行研究。
（1）例1 根据以上三种表示方式回答下列问题： ①自变量x 的取值X 围是什么？②当x 取何值时，长方形的面积最大？它的面积是多少？ ③如何描述y 随x 而变化的情况？ a 学生思考；b 全班交流 三、巩固练习，拓展应用1．做一做 两个数相差2，设其中较大的一个数为x ，它们的积为y ，请用三种表示方式表示y 与x 的变化关系，并回答下列问题： （1）自变量x 的取值X 围是什么？ （2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？ （3）如何描述y 随x 而变化的情况？（4）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？2．议一议：三种二次函数表示方式的特点是什么？你选择不同方式解决问题的体会是什么？ 3．想一想：如图是某抛物线的部分图像．(1)根据图中所提供的信息,请写出抛物线再次与x 轴相交时的坐标；10 20 30 40 50 60(2)判断点（-1,9)是否在抛物线上?4．例2．当水面宽度为36m时，一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为的货船能否安全在这个河？为什么？四、总结归纳，布置作业1．通过本节课的学习，你有何收获？2．作业：习题2.5：1，2。
九上5确定二次函数的表达式鲁教版五四制
6．【中考·广州】已知抛物线y1＝－x2＋mx＋n，直 线y2＝kx＋b，y1的对称轴与y2交于点A(－1，5)， 点A与y1的顶点B的距离是4.
解(1：)求由y题1的意表得达B式(－；1，1)或(－1，9)，∴－2×（m－1）＝－1，
4×（4×－（1－）1·n）－m2＝1 或 9.解得 m＝－2，n＝0 或 8.
②当 y1＝－x2－2x＋8 时，解－x2－2x＋8＝0，得 x＝－4 或 2， ∴抛物线与 x 轴的交点是(－4，0)和(2，0)．∵y2 随着 x 的增 大而增大，且过点 A(－1，5)，∴y1 与 y 2 都经过 x 轴上的同 一点(－4，0)．把(－1，5)，(－4，0)的坐标代入 y2＝kx＋b， 得－－k4＋k＋b＝b＝5，0，解得kb＝＝5323，0，∴y2＝53x＋230.综上，y2 的表达 式为 y2＝5x＋10 或 y2＝53x＋230.
解：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A(2，0)，B(0，
－1)和
4a＋2b＋c＝0，
C(4，5)三点，∴c＝－1，
解得
16a＋4b＋c＝5，
a＝12，b＝
－12，c＝－1.∴二次函数的表达式为 y＝12x2－12x－1.
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D
的坐标； 解：当 y＝0
解：∵Rt△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 Rt△COD，
∴CD＝AB＝1，OA＝OC＝2，则点 B(2，1)，D(－1，2)，代
入表达式，得：－130＋2b＋c＝1，解得b＝12，
－56－b＋c＝2，
c＝130.
∴二次函数的表达式为 y＝－56x2＋12x＋130.
(2)连接 BD，点 P 是抛物线上一点，直线 OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分，求点 P 的坐标．
鲁教版-数学-九年级上册- 二次函数 复习教案
二次函数一、考试说明的要求：二、 复习目标认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念，掌握其函数关系式以及自变量的取值范围.能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题.能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.三、知识点回顾1、二次函数的概念：形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数. 2、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是(a b ac a b 44,22--)；对称轴是直线a bx 2-=.3、当a ＞0时抛物线的开口向上；当a ＜0时抛物线的开口向下.a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大.a相同的抛物线，通过平移(或旋转、轴对称)一定能够重合.4、A.b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧；A.b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的右侧.抛物线与y 轴的交点坐标是(0，C).5、二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：)0(2≠++=a c bx ax y (2)顶点式：k h x a y +-=2)( (3)交点式：))((21x x x x a y --=，抛物线与x 轴的交点坐标是(0,1x )和(0,2x ).6、抛物线的平移规律：从2ax y =到k h x a y +-=2)(，抓住顶点从(0，0)到(h ，k). 7、(1)当ac b 42-＞0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A(0,1x )和B(0,2x )。
(2)当ac b 42-=0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根(或说一个根)a bx x 221-==，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点在x 轴上，其坐标是(0,2a b -). (3)当ac b 42-＜0时，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有实数根，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点.8、二次函数的最值问题和增减性：四、例题精析例1：函数22x y =、22x y -=、221xy =的图象的共同特征是( )(A)开口都向上，且都关于y 轴对称 (B)开口都向下，且都关于x 轴对称 (C)顶点都是原点，且都关于y 轴对称 (D)顶点都是原点，且都关于x 轴对称 分析：C.【回顾】研究二次函数的图象与性质，一般从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点、最值等来观察和探究。
鲁教版(五四制)初中数学九年级上册_《确定二次函数的表达式》学习指导
《确定二次函数的表达式》学习指导一、学习目标导航1、会利用待定系数法求二次函数，并能正确的求出函数关系式。
2、能选择合理简便的方法求函数关系式。
重点：能选择合理简便的方法求函数关系式。
难点：正确的求出函数关系式。
二、学习引导回顾思考我们已经了解了二次函数的图象和性质，那么如何确定二次函数的表达式呢？我们先来回顾确定一次函数或反比例函数的表达式的步骤是什么？探究新知某建筑物屋顶的横截面形状为一段抛物线，它的拱宽AB为6米，拱高CO为0.9m，试建立适当的直角坐标系，求出抛物线所对应的二次函数的表达式。
知识链接：抛物线的解析式的形式一共有三种：一般式y=ax2+bx+c (a≠0)顶点式y=a(x-h)2+k (a≠0)交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)友情提示1：解答上面的问题，你运用了什么数学方法？运用这种数学方法的一般步骤是什么？你想到了吗？①先建立适当的直角坐标系②设抛物线的表达式③写出相关点的坐标④列方程(组)，解方程(组)求待定系数，写出函数的表达式。
友情提示2：(待定系数法)的一般步骤：①写出函数解析式的一般形式②把自变量与函数的对应植代入函数解析式中，得到方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式。
你来做一做例1：已知一个二次函数的图象的对称轴为x=－2，与y轴交点的纵坐标为2，且经过点（－3，－1），求这个二次函数的表达式。
提示：要求二次函数的表达式，可设y=ax2+bx+c，再根据3个条件，列出三元一次方程组，求出a,b,c。
例2：已知二函数的顶点坐标(-1，-6)，并且经过(2，3)，求这个二次函数的表达式。
思考：这道题当然也可以设二次函数的一般式来求解，但是，它给出了一个特殊点的坐标，我们可不可以将二次函数设为其他形式呢？提示：已知顶点坐标(h,k)故可设y=a(x-h)2+k，只剩一个待定系数，只需一个点，将(2，3)带入，解方程即可。
九年级数学上册 2.3 二次函数y=ax2的图象和性质(第1课时)导学案(无答案) 鲁教版五四制
九年级数学上册 2.3 二次函数y=ax2的图象和性质（第1课时）导学案（无答案）鲁教版五四制学习目标：1.能够利用描点法作出函数y=x²和y=-x²的图象,并能根据图象认识和理解y=x²和y=-x²的性质.2.经历探索二次函数y=x²与y=-x²的图象的作法和性质的过程;获得利用图象研究函数性质的经验.教学过程:一、自主探究:1.用描述法作函数图象一般分那几个步骤：_____________________________________________________________________________.2.描点法画y=x²图象前想一想列表时如何合理取值?以什么数为中心?当x取互为相反数的值时，y的值如何？①3.自行解决P45至P46议一议环节②4.预习疑难摘要_______________________________________二.合做交流,成果展示:1.分组交流第1,2,3题③2.二次函数y=x²图象是____它开口向_____且关于____对称,顶点是____它是图象的最___点.3.做一做P47,做一做环节并回答问题④三.应用规律,巩固知识:1,填表2.P47.随堂练习.3.已知点(a,4)在抛物线y=x²上.则a的值为____________.四.自我评价,检测反馈:(一)学习体会:本节课学习你有那些收获;还有那些疑惑?(二)当堂检测:1.若某个二次函数的图象与抛物线y=x²关于X轴对称,则这个二次函数的关系式是_________________________________________2.点A(-4,m)在y=x²上,①求m的值;②点(4,m)在y=x²上吗?(三)课外自评:1.(必做)在坐标系中画出函数y=x²图象.2.（必做）对于抛物线y=x²与y=-x²,下列命题错误的是( )A.两条抛物线关于X轴对称B.两条抛物线关于原点对称C.两条抛物线各自关于Y轴对称D.两条抛物线有公共点3.（选做）已知a<-1,点(a-1,m) (a,n) (a+1,z)都在函数y=x²图象上,则 ( )A.m<n<zB.z<n<mC.m<z<nD.n<m<z。
九年级数学上册 2.3 二次函数y=ax2的图像和性质学案(5
二次函数y=ax2的图像和性质学习目标：1、会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象2、会用公式或通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
一、学前准备：1.抛物线y =－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.2.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______. 3.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.4.在同一坐标系中，二次函数y =－21x 2，y =x 2，y =－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 5.抛物线y =－41x 2+1，y =－41(x +1)2与抛物线y =－41(x 2+1)的_____相同，_____不同.6.已知抛物线y =－2(x +1)2－3，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是______. 7.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____. 8.如图所示的抛物线：当x =_____时，y =0；当x <－2或x >0时， y _____0；当x 在_____范围内时，y >0；当x =_____时，y 有最大值_____.xy-1 -2O学习目标：1、会用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象2、会用公式或通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
导学过程： 一、自主学习： 自学课本60—61页小结：怎么样比较简单地求出一个二次函数的对称轴和顶点坐标。
二、对应训练：课本62页1、2、3题。
三、达标测试： 1、函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－12、抛物线y =21x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是 A.y =21(x +3)2－2 B.y =21(x －3)2+2C.y =21(x －3)2－2D.y =21(x +3)2+23、抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四4、已知抛物线y =ax 2+bx +c ，其中a <0，b >0，c >0，则抛物线的开口方向______；抛物线与x 轴的交点是在原点的______；抛物线的对称轴在y 轴的______. 5、下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－0.5x 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 四、深化提高：1、试分别说明将抛物线：(1)y =(x +1)2；(2)y =(x －1)2；(3)y =x 2+1；(4)y =x 2－1的图象通过怎样的平移得到y =x 2的图象.2、已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是A.43B.－43 C.45D.－453、若二次函数y =x 2－2x +c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于A.－1B.1C.21D.24、小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为 A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1 五、学后记：1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x2、函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠03、函数y =ax 2(a ≠0)的图象与a 的符号有关的是A.顶点坐标B.开口方向C.开口大小D.对称轴4、函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为A.±2B.－2C.2D.3 5、下列结论正确的是A.y =ax 2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数6、在下图中，函数y =－ax 2与y =ax +b 的图象可能是BxyxyxyxyA C DO OOO7、已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？8、先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：(1)函数y =3x 2的最小值是多少？(2)函数y =－3x 2的最大值是多少？(3)怎样判断函数y =ax 2有最大值或最小值？与同伴交流.四、拓展提高： 1、二次函数y =－41x 2，当x 1<x 2<0时，y 1与y 2的大小为______. 2、二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当b =0，c ≠0时，函数表达式为______；当b ≠0，c =0时，函数表达式为______；当b =c =0时，函数表达式为______.3、在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______. 五、学后记：一、 学前准备：1、①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).2、函数y =622--a a ax是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开口向下.3、函数y =2x 2的图象对称轴是______，顶点坐标是______.4、直线y =x +2与抛物线y =x 2的交点坐标是______.5、设一圆的半径为r ，则圆的面积S =______，其中变量是_____.6、有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm 和6 cm ，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x <6)的纸条(如图1)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y =______，其中_____是自变量，_____是因变量.68x二、自主学习，展示交流：1、自学课本52内容，按课本要求完成做一做，并找出疑惑点，组内交流。
九年级数学上册 2.3 二次函数y=ax2的图像和性质学案(4
二次函数y=ax2的图像和性质课题： 2.3二次函数y=ax2的图像和性质（2）学习目标：1、会画二次函数y=ax2的图像，能利用图象理解y=ax2的性质；2、体会二次函数是某些实际问题的数学模型，理解实际问题中的函数；3、理解a对图像的影响，并体会数形结合的重要性。
学习重点：结合图像理解二次函数y=ax2的性质学习难点：结合图像理解二次函数y=ax2的性质学习过程：一、学前准备：在下面坐标系中作出函数2xy=与2xy-=的图像，并写出它们的相同点和不同点。
二、前置自学：自学内容：课本P.48-49议一议上面部分要求：（1）独立阅读P.48内容（2）先独立完成“做一做”的列表，后组内交流达成共识。
（3）在图2-6中完成2501vs=的图像三、展示交流，合作探究：课本P49页议一议。
四、知识应用：在学前准备的坐标系中作出二次函数22xy=的图像。
先独立思考，后组内交流：（1）二次函数22xy=的图像是什么形状？它与二次函数2xy=的图像有什么相同点和不同点？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）二次函数22xy-=的图像是什么形状？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？作出它的图像验证一下。
五、课堂总结：二次函数y=x2的性质：一般地，二次函数)0(2≠=aaxy的图像是。
我们把二次函数)0(2≠=a ax y 的图像叫做 。
抛物线)0(2≠=a ax y 的对称轴是 ，它的顶点是 。
当a 〉0时，抛物线的开口 ，顶点是它的最 ；当a 〈 0时，抛物线的开口 ，顶点是它的最六、达标测试：1、函数y=5x 2的图像的顶点坐标为 ，是图像的最 点，对称轴为 ；若点A （-3，b ）在其图像上，则b 的值是 。
2、若二次函数y=ax 2经过点（2，-10）.则函数表达式为 ；与该图像关于x 轴对称的图像的表达式为 。
3、如图，是二次函数222,,cx y bx y ax y ===在同一直角坐标系中的图像，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a 〉〉 B. c a b 〉〉 C. b a c 〉〉 D. a c b 〉〉拓展提高：已知一次函数b ax y +=与二次函数231x y =的图像 都经过点A （3，m ）B （-1，n ）两点。
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用三种方法表示二次函数
学习目标:1经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。
2、能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
3、能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
学习重点:分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题
难点:掌握二次函数的三种表示方式、特点及联系
学习过程：
一、前置自学
1、函数的表示方法：、、。
2、自学课本P61——P63页，按要求完成议一议的内容。
二、展示交流
三、合作探究：
如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm, BC=12 cm, 点P从点A出发沿AB边向B以1m/s的速度运动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2m/s的速度运动，P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止运动，设经过t (s)时的面积为ycm2则:
⑴用函数表达式表示为：
⑵用表格表示为：
t /s
⑶在下面的坐标系中画出图象。
四、小结：
三种表示方式各有什么特点？
七、达标测试：
1、课本P63随堂练习
课本P64习题2.9
2、已知函数1
2
1
2
1
2+
+
-
=x
x
y。
⑴用配方法求抛物线对称轴和顶点坐标。
⑵画出函数的图象。
⑶观察图像，指出0
≤
y时x的取值范围。
拓展提高：
已知函数8
6
2+
-
=x
x
y与x轴交于A、B两点，与直线3
=
y交于C、D两点。
⑴画出函数的图象。
⑵求A、B、C、D四点的坐标。
⑶求梯形ABCD的面积。
教（学）后记
1。