6-1走向高考数学章节

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高考数学总复习 6-1数列的概念课件新人教B版

点评：根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是唯一的．其中常用方法是观察法．观察 an 与 n 之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法．
(文)写出下列数列的一个通项公式： (1)1，85，175，294，…，an＝________. (2)－1，32，－13，34，－15，12，…，an＝________.
3 ．已知 {an} 的前 n 项和 Sn 求 an 时，用 an ＝
S1
n＝1，
Sn－Sn－1 n≥2.
求解应注意分类讨论．an＝Sn－Sn－1 是在
n≥2 条件下求出的，应检验 a1 是否适合．如果适合，则合写
在一块，如果不适合，则分段表示．
思想方法技巧
一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1．已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④ 综合写出项与项数的关系．
●命题趋势主要命题热点： 1．an 与 Sn 的关系 2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、求和公式． 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题．
4．数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何综合问题． 5．数列应用题． 6．探究性问题．
●备考指南 1．数列是一种特殊的函数，要善于利用函数的思想来解决数列问题． 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q)，常通过“设而不求，整体代入” 来简化运算．
(5)将数列统一为32，55，170，197，…，分子 3,5,7,9，…，是等差数列，通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，… 联想到数列 1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn ＝n2＋1，

2023版高考数学一轮总复习6-1数列的概念及表示课件

an
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列递减数列常数列摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.

2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第6章 §6

Sn an
等于
A.2n－1
√B.2－21－n
C.2－2n－1
D.21－n－1
方法一设等比数列{an}的公比为 q，则 q＝aa65－－aa43＝2142＝2. 由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1. 所以an＝a1qn－1＝2n－1， Sn＝a111－－qqn＝2n－1，所以Sann＝22n－n－11＝2－21－n.
＋a6＝8，则S12等于
A.40
√B.60
C.32
D.50
数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列， ∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
教师备选
1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若SS63＝3，则SS96＝__73___.
则a＋aq＋aq＝13， a·qa·aq＝27，
a＝3，解得q＝13
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
或 aq＝＝33，，
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一等比数列基本量的运算
例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6
－a4＝24，则
方法二设等比数列{an}的公比为q，
则aa34qq22－－aa34＝＝1224，，
① ②
②①得aa34＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4. 所以 a1＝aq32＝1，下同方法一.
(2)(2019·全国Ⅰ)记 121
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1＝31，a24＝a6，则
S5
＝___3_____.

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学6-1

人教
A
版
第6章不等式
高考数学总复习
2．要加强对本章一些常用思想方法的复习．①等价转化的思想：解不等式的过程实质上就是利用不等式的性质进行等价转化的过程．许多数学问题要依据题设与结论的结构特点、内在联系选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．②分类讨论思想：对含有参数的不等式问题，一般要对参数进行分类讨论，要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．③函数与方程思想：不等式、函数与方程三者密不可分、相互联系、相互转化，如求参数的取值范围问题，
第6章第一节
高考数学总复习
5．写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式结合起来．当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的情形． 6．解对数不等式时，莫忘定义域的限制． 7．换元法解不等式时，要注意把求得的新元的范围等价转化为原来未知数的取值范围． 8．解不等式的每一步变形要保持等价，慎用去分母法和两边约去同一个因式．
人教
Δ＝b2－4ac
A
版
不等式解集为
不等式解集为
－b＋ Δ {x|x<x1或x>x2} ____________ _____________ {x|x1<x<x2} x2＝ 2a
第6章
第一节
高考数学总复习
二次函数
Δ 的符号一元二次பைடு நூலகம்程
一元二次不等式不等式解集
Δ＝0 图象与解 Δ<0
{x|x≠ b 为_________ 不等式解集 x1＝x2＝－ 2a 为___ ∅ b －，x∈R} 2a ___________
人教
A
版
第6章不等式

(新课标)高考数学一轮复习-第二章函数、导数及其应用第4讲指数与指数函数课件

[答案] (1)A (2)b∈[－1,1] [解析] (1)由已知得0＜a＜1，b＜－1，故选A. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x ＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1].
指数函数的性质及应用
(1)(2015·山东)设 a＝0. 60. 6，b＝0. 61. 5，c＝1. 50.
m
an
＝___n _a____(a＞0，m，n∈N＋，n＞1).
②正数的负分数指数幂的意义是
1
m
a－ n
m
＝___a_n____＝ n
1 (a＞0，m，n∈N＋，n＞1). am
③0 的正分数指数幂是___0_____,0 的负分数指数幂无意义.
(2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋__s ________(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)sa＝rs__________(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)ra＝rb_r _________(a＞0，b＞0，r∈Q). (3)无理指数幂一般地，无理指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个___确__定_的实数，有理指数幂的运算法则____同__样__适__用于无理指数幂.
(1)(2015·安庆模拟)已知函数 f(x)＝ (x－a)·(x－b)(其中 a＞b)，若 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b 的图象是导学号 25400269 ( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________. 导学号 25400270
值域
_(_0_，__＋__∞_)__
性单调性在R上_____递__减___
在R上____递__增____

新高考数学第6章第1讲数列的概念与简单表示法

(5)将原数列改写为59×9，59×99，59×999.…，易知数列 9,99,9(10n－1)．
第六章数列
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MING SHI DIAN BO
由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化
通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式___a_n_＝__f_(n_)___ 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝__a_1_＋__a_2_＋__…_＋__a_n__叫做数列{an}的前n 项和
第六章数列
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知识点二数列的表示方法
第六章数列
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当 n＝6 时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得 a6＝－32；所以 S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63. 解法二：因为 Sn＝2an＋1，所以当 n＝1 时，a1＝2a1＋1，解得 a1＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以 an＝2an－1，所以数列{an}是以－1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an＝－2n－1，所以 S6＝－1×1－12－26＝－63.
第六章数列
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4．(选修2P9T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝__5_n_－__4_.
第六章数列
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题组三走向高考
5．(2020·浙江，11,4 分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-3等比数列新人教A版

6-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5，a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q＝a 2a 1＝32，故a n ＝4×(32)n －1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D[解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1，即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q＝15，∴q n＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 12，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n－1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q >1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q >1，∴a 4＝2，a 6＝3，∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1，令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3；令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)，即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)，且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝10.n ≥2此时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k ＋1的等比数列．综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列；当k ≠－1时，{a n }是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A 0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a 0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q2n －6＝22n ，即a 21·q2n－2＝22n⇒(a 1·qn －1)2＝22n⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12·n ＝n 2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．15．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.16．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n＝3n ln2，又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋1ln22即T n ＝3n n ＋12ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n－1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)． 2．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16. 4．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1) ＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论．5．(2012·广州一模)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________.[答案] 35 10[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，观察图形可得，数列{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a 5－a 4＝13，所以a 5＝35，a n －a n －1＝3n －2(n ≥2，n ∈N *)，应用累加法得a n －a 1＝4＋7＋10＋…＋(3n －2)＝n －13n ＋22，所以a n ＝n －13n ＋22＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝145时，n －13n ＋22＋1＝145，解得n ＝10.6．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列．所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 7．已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得， T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6 ＝(7－2n )×2n ＋1－14.。

2025版高考数学一轮总复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和pptx课件

[解析] 因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.
7．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3， S5＝－10，则a5＝___0___，Sn的最小值为___－__1_0____.
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵a2＝－3，S5＝－10，
知识点二等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和. 1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝ an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝___a_p＋__a_q___. 2．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____kd____. 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
4．等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列.
(2)前 n 项和：当公差 d≠0 时，Sn＝d2n2＋a1－d2n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.显然当 d<0 时，Sn 有最大值，d>0 时，Sn 有最小值.
如{an}为等差数列，Sn为前n项和，d>0，若S5＝S13，则当n＝9时， Sn最小，S18＝0.
5．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a ＋2d.
双基自测题组一走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an ＋an＋2.( √ )

高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第6节-课件

1 高考目标导航
3 课堂典例讲练
2 课前自主导学
4 课时作业
第二章函数与基本初等函数
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高考目标导航
第二章函数与基本初等函数
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考纲要求
1.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
∴2a＋1b＝2log363＋log364＝log3636＝1.
第二章函数与基本初等函数
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[方法总结] 对数式化简求值的基本思路： (1)利用换底公式及 logamNn＝mn logaN 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算； (3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．提醒：对数的运算性质以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成立．
第二章函数与基本初等函数
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(理)设 f(x)＝2lo－gx8，1xx，∈x∈－∞1，，＋1]∞，，则满足 f(x)＝14的 x 值为__________．
[答案] 3 [解析] 当 x≤1 时，令 2－x＝14，则 x＝2，不合题意；
当
x>1
时，令
log81x＝14，则
第二章函数与基本初等函数
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[规范解答]
2×5 5
(1)lgl2g＋50l－g5l－g4l0g8＝lglg54800
＝lg45＝1. lg4
(2)由 3a＝36,4b＝36 得 a＝log336，b＝log436.

《走向高考》2013高三数学(北师大版)一轮总复习教师备课平台3 52

四、全面把握函数单调性 1．某区在个间 (a，b)上若 f′(x)0 ， > ，则 f(x)在这个区间
上单调递增；若 f′(x)0 ，则 f(x)在个间单递； < 这区上调减若 f′(x)＝0 恒成立，则 f(x)在这个区间上为常数函数；若 f′(x) 的符号不确定，则 f(x)不是单调函数．
第三章教师备课平台
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[例 2]
已函知数
f(x)中，f′() ＝2，求 1
f1－2Δx－f1 lim . Δx Δx→0 [分析] 当 Δx→0 时，－2Δx→0，
f1－2Δx－f1 只需将lim 变形为 Δx Δx→0 f1－2Δx－f1 －2lim ，即可用导数的定义解决．－2Δx Δx→0
本题如果没有定义域优先的意识，单从 f′(x)＝
3 －∞，－和 2
22x＋1x＋1 来，易单减间成看极把调区写 2x＋3
1 －1，－ . 2
第三章教师备课平台
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二、清晰理解导数的定义从三个方面理解导数的定义： 1．函数 f(x)在某一点 x0 处的导数： fx0＋Δx－fx0 f′(x0)＝lim . Δx Δx→0
[解析]
3 f(x)的定义域为－2，＋∞.
4x2＋6x＋2 2 f′(x)＝＋2x＝ 2x＋3 2x＋3 22x＋1x＋1 ＝ . 2x＋3 3 当－2<x<－1 时，f′(x)0 ； > 1 当－1<x<－2时，f′(x)0 ； < 1 当 x>－2时，f′(x)0 >.
2 切线的斜率为－2x0＋2x0＋4，

2020届高考数学(理)二轮专题复习：专题六解析几何 1-6-1 Word版含答案.doc

限时规范训练十五直线与圆限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·山东省实验中学二诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C.由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ·y ＋sin C＝0的斜率k 2＝bsin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.2．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：选D.点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.3．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选 C.圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 4．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线的条数为( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选 B.C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4.圆心距d ＝|C 1C 2|＝＋2＋＋2＝13.|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，∴两圆C 1与C 2相交，有两条公切线，故选B.5．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0被抛物线y 2＝4x 的准线截得的弦长为( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12解析：选B.依题意，圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(2，－4)，半径为5，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，故弦长为252－＋2＝8，故选B.6．(2017·吉林长春三模)直线kx －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长的最小值为( )A ．2 5 B. 5 C ．210D.10解析：选A.由题意易知直线kx －3y ＋3＝0恒过圆内的定点(0,1)，则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为5，当圆心到直线kx －3y ＋3＝0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离)，所得弦长最小，因此最短弦长为2×10－5＝2 5.故选A.7．若两直线l 1：3x ＋4y ＋a ＝0与l 2：3x ＋4y ＋b ＝0都与圆x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0相切，则|a －b |＝( )A. 5 B ．2 5 C ．10D ．20解析：选D.由题意知直线l 1与l 2平行，且它们间的距离等于d ＝|a －b |5；又直线l 1，l 2均与题中的圆相切，因此它们间的距离等于该圆的直径4，即有|a －b |5＝4，即|a －b |＝20，故选D.8．(2017·山东潍坊模拟)圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A ．1013B ．921C ．1023D ．911解析：选C.因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为P (2，－1)是该圆内一点，所以经过P 点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝－2＋－2＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.9．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，A 是切点，若线段PA 长度最小值为2，则k 的值为( )A ．3B.212C ．2 2D ．2解析：选D.圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)，半径r ＝1，圆心到直线的最小距离d ＝5k 2＋1＝22＋12，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)，故选D.10．(2017·河北石家庄二检)若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)解析：选B.因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4＜r ＜6，故选B.11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：x (y －mx －m )＝0有三个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(－3，0)∪(0，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：选D.由x (y －mx －m )＝0可知x ＝0，y ＝m (x ＋1)，当直线y ＝m (x ＋1)与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切时，m ＝±33，当m ＝0时，只有两个公共点，因此m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33，故选D. 12．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，若直线y ＝k (x －2)上存在点P ，使得PM ⊥PN ，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．[－5,5]解析：选B.因为直线y ＝k (x －2)上存在点P ，使PM ⊥PN ，即以MN 为直径的圆x 2＋y 2＝1与y ＝k (x －2)相交或相切，即|－2k |k 2＋1≤1且k ≠0，解得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则该圆的标准方程是________．解析：根据题意，设圆的方程为(x －2)2＋(y －a )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－4－a 2＝r 2，－2＋－2－a2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝514．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：如图，易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )半径为r ，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y－4＝0的距离减去圆A 的半径2，即2r ＝62－2＝22⇒r ＝2，即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于2，故有|2c －4|2＝2⇒c ＝3或c ＝1，当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝215．(2017·山东威海模拟)抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，△FPM 的外接圆的方程为________．解析：据题意知，△PMF 为等边三角形，PF ＝PM ，∴PM ⊥抛物线的准线，F (3,0)．设M (－3，m )，则P (9，m )，等边三角形边长为MP ＝2MA ＝2×6＝12，如图．在直角△APF 中，PF ＝12，FQ ＝23FA ＝23×PF 2－PA 2＝23×122－62＝43，外心Q 的坐标为(3，±43)，则△FPM的外接圆的半径为FQ ＝4 3.∴△FPM 的外接圆的方程为(x －3)2＋(y ±43)2＝48. 答案：(x －3)2＋(y ±43)2＝4816．(2017·山东青岛模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需保证圆心C 到y ＝kx －2的距离小于等于2即可，∴|4k －2|1＋k2≤2⇒0≤k ≤43. ∴k max ＝43.答案：43。

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-6

人教
答案：C
A
版
第1章
第六节
高考数学总复习
(理)(1)lg25＋lg2· lg50＋(lg2)2； (2)(log32＋log92)· 43＋log83)． (log
人教
A
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第1章
第六节
高考数学总复习
解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5 ＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.
人教
A
版
第1章
第六节
高考数学总复习
A．0<a－1<b<1 C．0<b－1<a<1
x
B．0<b<a－1<1 D．0<a－1<b－ 1<1
人教
解析： ∵t＝2 ＋b－1 单调增， f(x)单调增， ∴a>1. 由图知－1<f(0)<0，∴－1<logab<0， ∴a 1<b<1，故选 A.
－
A
版
答案：A
lg2 lg2 lg3 lg3 (2)原式＝＋ · ＋ lg3 lg9 lg4 lg8 lg2 lg2 lg3 lg3 3lg2 5lg3 5 · ＝＝＋＋ · ＝ . lg3 2lg3 2lg2 3lg2 2lg3 6lg2 4
第1章
第六节
高考数学总复习
对数函数的单调性
[例 3] 若 0<x<y<1，则( A．3 <3
y x
)
人教
B．logx3<logy3
1 1 D. x< y 4 4

高考数学(文)一轮对点训练：6-1-2数列的通项公式答案解析

1．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案 2011解析由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，则1a n ＝2n n ＋＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝2·3n －1－1 解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1. 3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2. 4.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝nn ＋.5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．解因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n 取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n 2＋4n －⎣⎡⎦⎤－12n －2＋n －＝92－n . 当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-2等差数列新人教A版

6-2等差数列基础巩固强化1.(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24[答案] B[解析] 本题考查等差数列的性质．由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确． [点评] 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质．(理)(2013·浙江金华一中12月月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( ) A ．7 B ．8 C.152 D.172[答案] D[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋45d ＝110.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴S n ＝n 2＋n ，a n ＝2n .∴S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋12＋32n ≥12＋2n 2·32n ＝172.等号成立时，n 2＝32n，∴n ＝8，故选D.2．(文)(2011·福州模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对[答案] C[解析] 由a 2＋a 6＋a 7＝3a 1＋12d ＝3a 5＝18，得a 5＝6. 所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝54.(理)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] 由等差数列性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8. ∴m ＝8.故选B.3．(2011·西安五校一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．9[答案] C[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.令a n >0得n >6.5，即在数列{a n }中，前6项均为负数，自第7项起以后各项均为正数，因此当n ＝6时，S n 取最小值，选C.4．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )A ．3B ．－1C ．2D ．3或－1[答案] D[解析] 由x 2－2x －3<0及x ∈Z 得x ＝0,1,2. ∴a 4＝3或－1.故选D.5．(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100D.101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15，∴5a 1＋a 52＝15，即a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1.则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 故选A.[点评] 本题亦可利用等差数列的性质，由S 5＝15得5a 3＝15，即a 3＝3，再进一步求解．6．(文)在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝4x 2C ．f (x )＝log 3xD ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x[答案] D[解析] 对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 上的点列(x n ，y n )，有y n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34xn ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x n ＋1－x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34d，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.[点评] 根据指数与对数运算的性质知真数成等比(各项为正)，其对数成等差，指数成等差时，幂成等比．(理)已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 2014＝( )A.20134029 B.20144029 C.40174029D.40184029[答案] B[解析] 依题意，将(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0化为(x ＋y －4)＋m (3x －y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝03x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，∴直线(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0过定点(1,3)， ∴a 1＝1，a 2＝3，公差d ＝2，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T 2014＝12×[(11－13)＋(13－15)＋…＋(14027－14029)]＝12×(1－14029)＝20144029.故选B.7．(2011·洛阳部分重点中学教学检测)已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．[答案] 20 [解析] 依题意得①⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，b 2＝ac .或②⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a 2＝bc .或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab .由①得a＝b ＝c ，这与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾；由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，因此a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b 2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.8．(文)(2011·天津文，11)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案] 110[解析] 由题意，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×20－12d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20，d ＝－2.∴S 10＝10a 1＋1010－12d ＝110. (理)设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，则a 11＋a 12＋a 13＝________.[答案] 75 [解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝105，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 1a 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1a 1＋2d ＝21，∵d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝3，∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 1＋33d ＝75. 9．(文)将正偶数按下表排成5列：[答案] 252 2[解析] 通项a n ＝2n ，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．(理)已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (31,12)＝________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9… … … … … … … … … …[答案] 912[解析] 由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n 行有2n －1个数，故前n 行有S n ＝n [1＋2n －1]2＝n 2个数，因此前30行共有S 30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，即A (31,12)＝912.10．(文)(2011·济南模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f (x )＝3x 2－2x 的图象上，可得S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －3(n －1)2＋2(n －1)＝6n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也适合上式，∴a n ＝6n －5. (2)b n ＝3a n a n ＋1＝36n －56n ＋1＝12(16n －5－16n ＋1)， ∴T n ＝12(11－17＋17－113＋…＋16n －5－16n ＋1)＝12(1－16n ＋1)＝12－112n ＋2. (理)(2011·重庆文，16)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . [解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍)，∴q ＝2， ∴a n ＝a 1·qn －1＝2·2n －1＝2n.(2)数列b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， ∴S n ＝2×1－2n1－2＋[n ×1＋n n －12×2]＝2n ＋1＋n 2－2.能力拓展提升11.(文)已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( )A ．－2或－3B ．2或3C ．－2D ．3[答案] A[解析] 由2a 5＝a 2＋a 8＝12，得a 5＝6，由S 15＝m 得a 8＝m15.又因为a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的根，解之得m ＝0，或m ＝－45，则a 8＝0，或a 8＝－3.由3d ＝a 8－a 5得d ＝－2，或d ＝－3. (理)如表定义函数f (x )：n 1n n －12014A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] 本题可通过归纳推理的方法研究数列的规律．由特殊到一般易知a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，…，据此可归纳数列{a n }为以4为周期的数列，从而a 2014＝a 2＝1.12．(2011·烟台诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( ) A.S 15a 15 B.S 9a 9 C.S 8a 8D.S 1a 1[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧S 15>0，S 16<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d >0，a 1＋152d <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 8>0，a 9<0.∴0<S 1<S 2<…<S 8>S 9>S 10>…>S 15>0>S 16，a 1>a 2>…>a 8>0>a 9， ∴S 8a 8最大．故选C.13．(文)(2011·湖北文，9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3L ，下面3节的容积共4L ，则第5节的容积为( )A ．1L B.6766L C.4744L D.3733L [答案] B[解析] 设该数列为{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，所以第5节的容积为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋766×4＝6766.(理)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联合模拟)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．1[答案] A[解析] S 21＝S 4000⇒a 22＋a 23＋…＋a 4000＝0⇒a 2011＝0，又P (1，a n )，Q (2011，a 2011)，则OP →＝(1，a n )，OQ →＝(2011，a 2011)，∴OP →·OQ →＝(1，a n )·(2011，a 2011)＝2011＋a n a 2011＝2011，故选A.14．(文)(2011·哈尔滨六中模拟)若数列{x n }满足x n －x n －1＝d ，(n ∈N *，n ≥2)，其中d 为常数，x 1＋x 2＋…＋x 20＝80，则x 5＋x 16＝________.[答案] 8[解析] 由x n －x n －1＝d 知{x n }为公差为d 的等差数列， ∴x 1＋x 2＋…＋x 20＝80⇒10(x 1＋x 20)＝80⇒x 1＋x 20＝8， ∴x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝8.(理)(2011·莱阳模拟)数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，S k ＋S k ′＝k k －12d ＋k k －12d ′－4k ＝k k －1d ＋d ′2－4k ＝0，∵k 是正整数，∴(k －1)(d ＋d ′)＝8， ∴a k ＋b k ＝(k －1)d －4＋(k －1)d ′ ＝(k －1)(d ＋d ′)－4＝4.15．(文)(2011·杭州质量检测)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .[解析] (1)由2S n ＝a n ＋1，n ＝1代入得a 1＝1，两边平方得4S n ＝(a n ＋1)2①①式中n 用n －1代替得4S n －1＝(a n －1＋1)2(n ≥2)②①－②，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2,0＝(a n －1)2－(a n －1＋1)2， [(a n －1)＋(a n －1＋1)]·[(a n －1)－(a n －1＋1)]＝0， ∵{a n }是正数数列，∴a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，裂项相消得B n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝n2n ＋1.(理)(2011·河南郑州质量检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b n a n，求数列{c n }的前n 项和T n . [解析] (1)由题意S n ＝2－a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝2－a n －1，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n ＝12a n －1，又a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n ＝12n －1；由b n －1＋b n ＋1＝2b n (n ≥2)知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则b 5＝12(b 3＋b 7)＝9，所以d ＝b 5－b 14＝2，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝2n －1.综上，数列{a n }和{b n }的通项公式为a n ＝12n －1，b n ＝2n －1.(2)c n ＝b n a n＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，③2T n ＝1×21＋3×22＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，④③－④得：－T n ＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2×2－2n1－2－(2n －1)·2n ＝－(2n －3)·2n－3.∴T n ＝(2n －3)·2n＋3.16．(2012·湖北文，20)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．[分析] (1)利用等差数列的通项公式，及相关关系求出首项和公差．(2)先确定数列的通项公式，由于首项a 1<0需判断从哪一项开始a n >0，将{|a n |}前n 项和写为分段函数的形式．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7， n ＝1，2.3n －7， n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，32n 2－112n ＋10， n >1.1．(2011·郑州一测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18 B.13 C.19D.310[答案] D[解析] 设a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝A 1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝A 2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝A 3，a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝A 4，∵数列{a n }为等差数列，∴A 1、A 2、A 3、A 4也成等差数列，S 4S 8＝A 1A 1＋A 2＝13，不妨设A 1＝1，则A 2＝2，A 3＝3，A 4＝4，S 8S 16＝A 1＋A 2A 1＋A 2＋A 3＋A 4＝1＋21＋2＋3＋4＝310，故选D.2．(2011·济宁模拟)将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组．A ．30B ．31C ．32D ．33[答案] C[解析] 因为第n 组有2n 个正偶数，故前n 组共有2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 个正偶数.2010是第1005个正偶数．若n ＝31，则n 2＋n ＝992，而第32组中有偶数64个，992＋64＝1056，故2010在第32组．3．(2011·黄冈3月质检)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则a b 1＋a b 2＋…＋a b 10＝( )A ．1033B ．2057C ．1034D ．2058[答案] A[解析] 依题意得a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，a b n ＝b n ＋1＝2n －1＋1，因此a b 1＋a b 2＋…＋a b 10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝1×210－12－1＋10＝210＋9＝1033，故选A.4．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i <4?B ．i <5?C ．i ≥5?D ．i <6?[答案] D[解析] 由题意知S ＝11×2＋12×3＋…＋1i i ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1i ＋1＝ii ＋1，故要输出S ＝56，i ＝5时再循环一次，故条件为i ≤5或i <6，故选D. 5．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n |＝( )A ．1 B.34 C.12 D.38[答案] C[解析] 设x 2－2x ＋m ＝0的根为x 1、x 2且x 1<x 2，x 2－2x ＋n ＝0的根为x 3、x 4且x 3<x 4，且x 1＝14，又x 1＋x 2＝2，∴x 2＝74，又x 3＋x 4＝2，且x 1、x 3、x 4、x 2成等差数列， ∴公差d ＝13(74－14)＝12，∴x 3＝34，x 4＝54.∴|m －n |＝|14×74－34×54|＝12，故选C.6．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18[答案] B[解析] ∵3d ＝(a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5)＝99－105＝－6，∴d ＝－2，由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39，∴a n ＝39－2(n －1)＝41－2n ，由a n ≥0，n ∈N 得，n ≤20，∴a 20>0，a 21<0，故选B.7．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.[答案] 14[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0. ∵{a n }为等差数列且d ≠0，∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧， ∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.8．(2011·南京一模)已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．[答案] 4[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4，又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为4. 9．(2012·东北三校二模)公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n ＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，a 24＝a 2·a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d 2＝a 1＋d ·a 1＋8d ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3.∴a n ＝3n －2.(2)由条件知，b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n －1 ＝1＋n －11＋3n －52＝3n 2－7n ＋62，∴b n ＝3n 2－7n ＋62.10．已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．[分析] 第(1)问是求等差数列的通项公式，需要知道首项a 1和公差d 的值，由条件a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18建立方程组不难求得；第(2)问是构造一个等差数列{b n }，可考虑利用等差数列的定义，研究使b n ＋1－b n (n ∈N *)为一个常数时需要满足的条件．[解析] (1)由题设知{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n n －12n ＋c，因为c ≠0，所以可令c ＝－12，得到b n ＝2n .因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，所以数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．11．(2012·东北三省四市第二次联考)已知等差数列{a n }满足a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }各项均为正数，其前n 项和T n ，若a 3＝b 2＋2，T 3＝7，求T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，∵a 4＝6，a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝6，a 1＋5d ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2.∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q >0)． ∵a n ＝2n －2，∴a 3＝2×3－2＝4. ∵a 3＝b 2＋2，∴b 2＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1q ＝2，b 11＋q ＋q 2＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，q ＝12.∴T n ＝b 11－q n 1－q ＝1×1－2n1－2＝2n－1，或T n ＝4[1－12n]1－12＝8－(12)n －3.。

2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念

2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念基础巩固强化一、选择题1．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝2n 2＋3n －1B ．a n ＝n 2＋5n －5C ．a n ＝2n 3－3n 2＋3n －1D ．a n ＝2n 3－n 2＋n －2 [答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝1，否定A 、D.当n ＝3时，a 3＝35，否定B ，故选C. 2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4 n ＝1，2n －1 n ≥2.D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.[答案] D[解析] a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.3．(文)(2013·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] B[解析] ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)<0，∴193≤k <223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. (理)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－10n )－[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11，令b n ＝na n ，则b n ＝n (2n －11)＝2(n －114)2－1218，∵n ∈N *，∴n ＝3时，b n 取最小值．4．(文)(2012·西安模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38[答案] C[解析] ∵a n a n －1＝a n －1＋(－1)n ， ∴a 2a 1＝a 1＋1， a 3a 2＝a 2－1， a 4a 3＝a 3＋1， a 5a 4＝a 4－1，∵a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23，∴a 3a 5＝34. (理)(2013·德州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a 2012等于( )A.45B.35C.25D.15 [答案] C[解析] ∵a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n≤1，又a 1＝45，∴a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45，∴数列{a n }以4为周期， ∵20124＝503，∴a 2012＝a 4＝25.5．(文)(2012·佛山质检)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B.72C.92D.132[答案] B[解析] ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×(－32)＋10×2＝72.(理)(2013·池州一模)数列{a n }的通项公式a n ＝2n ·sin(n π2－π3)＋3n cos n π2，前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A ．1007B ．－1007C ．2013D ．－2013[答案] B[解析] a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2＝n sin n π2.由函数y ＝sin π2x 的周期是4，且a 1＝1，a 2＝2×0＝0，a 3＝3×(－1)＝－3，a 4＝4×0＝0，归纳可知数列{a n }从第一项开始依次每相邻四项之和是一个常数－2，即a i ＋a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3＝－2(i ＝4k ＋1，k ∈N )，所以S 2013＝2013－14×(－2)＋2013＝－1007，故选A.6．(文)已知x 与函数f (x )的对应关系如下表所示，数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝f (a n )，则a 2014＝( )A.3 B ．2 C ．[答案] A[解析] ∵a 1＝3，∴a 2＝f (a 1)＝f (3)＝1，∴a 3＝f (a 2)＝f (1)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝3，∴数列{a n }为周期数列，周期T ＝3，∴a 2014＝a 1＝3，故选A.(理)若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2014等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23[答案] C[解析] a 1＝2，a 2＝3，a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，依次可得a 5＝13，a 6＝23，a 7＝2，a 8＝3，a 9＝32…，可见{a n }是周期为6的周期数列．∴a 2014＝a 4＝12，故选C.[点评] 数列是函数，故可用研究函数的方法加以讨论，由a n ＝a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)知，a n ＋1＝a na n －1＝a n －1a n －2a n －1＝1a n －2，∴a n ＋3＝1a n (n ∈N *)，∴a n ＋6＝a n ，故{a n }周期为6.二、填空题7．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，则S 2014＝________.[答案] 1[解析] 依题意得，数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，注意到2014＝4×503＋2，因此S 2014＝0×503＋a 1＋a 2＝1.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：b 2012是数列{a n }中的第________项．[答案] 5030[解析] 由前四组可以推知a n ＝n (n ＋1)2，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，依次可知，当n ＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，a n 能被5整除，由此可得，b 2k ＝a 5k (k ∈N *)，∴b 2012＝a 5×1006＝a 5030.8．(文)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 2014＝________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a 2014＝a 1＝12.(理)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] 2n ＋1－3[解析] 依题意得，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，a 1＋3＝4，因此数列{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，于是有a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，则a n ＝2n ＋1－3.9．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于________．[答案] 2010[解析] 由题意a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，a n ＋a n ＋2＝a n ＋1，两式相加得a n ＋2＝－a n －1， ∴a n ＋3＝－a n ，∴a n ＋6＝a n ，即{a n }是以6为周期的数列．∵2014＝335×6＋4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝335×0＋a 2011＋a 2012＋a 2013＋a 2014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2010. 三、解答题10．(文)(2013·江西)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).(理)(2013·广州调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a 2n2n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n2n ＝2n －12n ，于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，所以S n ＝3－2n ＋32n .能力拓展提升一、选择题11．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)()A ．4nB ．4n ＋1C ．4n －3D ．4n ＋8[答案] D[解析] 第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.12．(文)(2012·东城模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80[答案] C[解析] ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.(理)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)[答案] A[解析] 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n (n －43)，选A.13．(文)由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－nB ．n 2－n ＋1C ．n 2＋nD ．n 2＋n ＋1[答案] B[解析] 前n －1组共有1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)2个奇数，故第n 组的首项为2×n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋1.[点评] 可直接验证，第2组的首项为3，将n ＝2代入可知A 、C 、D 都不对，故选B. (理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是( )A ．(3,61)B ．(3,60)C ．(61,3)D ．(61,2)[答案] C[解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n ＋1的有n 项，由n (n ＋1)2≤2014得n ≤62，且n ＝63时，n (n ＋1)2＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．二、填空题14．(文)(2013·北京东城区综合练习)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20.(理)(2013·大连测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 3n[解析] a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .15．(2013·江苏调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n，从而S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题16．(文)(2013·河北质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1.当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2，…b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0.∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.考纲要求了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数．了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)．补充说明1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．要特别注意以下数列特点： ①自然数列，自然数的平方列． ②奇数列，偶数列．③a n ＝(－1)n ，a n ＝12[1＋(－1)n ]．④a n ＝sin n π2，a n ＝cos n π2.⑤a n ＝k9(10n －1)(k ＝1,2，…，9)．要注意理顺其大小规律如：2，－83，4，－325，…先变化为：42，－83，164，－325，….(2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．(3)已知数列的前n 项和求通项公式，用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解． 2．注意数列的两个性质(1)单调性——若a n ＋1>a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性——若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零常数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期． 3．数列求和方法 (1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式求． ②了解一些常见的数列的前n 项和． 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．(2)倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和可用“乘公比，错位相减”法进行，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的，其一般步骤是：第一步，将数列{c n }写成c n ＝a n ·b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q . 第二步，写出S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .第三步，乘公比q 得，qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1. 第四步，错位相减，用等比数列求和公式求和得(q －1)S n . 第五步，等式两边同除以q －1得S n .第六步，检查解题过程，看求和公式是否用错，符号是否正确，化简有无错误． (4)裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n 的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法．(5)分组求和法当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．4．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此可用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数11 列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．备选习题1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 3＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1[答案] A[解析] 由S 1＝2(a 1－1)得a 1＝2；由S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4.由S 3＝2(a 3－1)得，a 3＝8.2．如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)等于( ) A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014[答案] D[解析] 令a ＝n ，b ＝1，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，∴f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2， ∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＝2×1007＝2014.。

6-1不等式

总结评述：解这类开放性试题，要求我们在深刻理解不等式的性质的同时，一定要注意它们成立的条件．
( )
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第六章
不等式
(2009· 广东四市摸底)若 a，b 是任意实数，且 a＞b，则下列结论正确的是 ( A．a ＞b
2 2
)
《走向高考》高考总复习 · 数学配统编教材版
3
《走向高考》高考总复习 · ( 数学配统编教材版
或 x＜0，∴“x＞0”是“ x2＞0”的充分不必要条件．
答案：A
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第六章
不等式
3．如果a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选
项中不一定成立的是 ( A．ab＞ac C．cb2＜ab2 B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0 )
《走向高考》高考总复习 · ( ) 数学配统编教材版
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第六章
不等式
解析：∵ac＜0，c＜a，∴c＜0，a＞0.
又b＞c，∴ab＞ac，∴A一定成立；
∵b＜a，∴b－a＜0，又c＜0， ∴c(b－a)＞0，∴B一定成立； ∵c＜a，∴a－c＞0，又ac＜0， ∴ac(a－c)＜0，∴D一定成立；
中不能恒成立的是________．
(
答案：①②③
)
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第六章
不等式
二、利用不等式的性质求取值范围失误 α－β π π 2．已知－2≤α<β≤2，则 2 的范围是________． π α－β 答案：－2≤ 2 ＜0

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-5

人教
－
A
版
第1章
第五节
高考数学总复习
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
人教
A
版
第1章
第五节
高考数学总复习
解析：由图象知 0＜a＜1，又 a0－b＝a－b＜1 ∴－b＞0 ∴b＜0，故选 D.
人教
A
答案：D
版
第1章
第五节
高考数学总复习
(文)(2011· 杭州月考)函数 y＝a|x|(a>1)的图象是(
第1章
第五节
高考数学总复习
解析：∵y＝log1 x 为减函数，log1 b<log 1 a<log1 c
2 2 2 2
∴b>a>c 又 y＝2 为增函数
x
∴2 >2 >2
b
a
c
故选 A.
人教
A
版
答案：A
第1章
第五节
高考数学总复习
1 x 已知集合 M＝{－1,1}，N＝{x| <2 <4，x∈Z}，则 2 M∩N 等于( A．{－1,1} C．{1} ) B．{－1} D．{－1,0}
人教
A
版
第1章
第五节
高考数学总复习
解析：N＝{x|2－ 1<2x<22，x∈Z}＝{1,0}， ∴M∩N＝{1}．
人教
A
答案：C
版
第1章
第五节
高考数学总复习
[例 4] 设函数 f(x)＝|2x－1|的定义域和值域都是[a， b](b>a)，则 a＋b 等于( A．1 C．3 ) B．2 D．4

高考调研高考理科数学总复习6-1

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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
(2)当 n≥2 时，Sn－Sn－1＝an＝3n＋b－3n－1－b＝2·3n－1.
当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b.
∴当 b＝－1 时，a1＝3－1＝2 适合 an＝2·3n－1.
∴an＝2·3n－1.
当 b≠－1 时，a1＝3＋b 不适合 an＝2·3n－1.
思考题 1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3，5，9，17，33，… (2)－1，85，－175，294，…
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
【解析】 (1)观察各项的特点：每一项都比 2 的 n 次幂多 1，所以 an＝2n＋1.
(2)数列的符号规律为(－1)n，由第二、三、四项特点，可将第一项看作－33，这样，先不考虑符号，则分母为 3，5，7，9，…，可归纳为 2n＋1，分子为 3，8，15，24，…，将其每一项加 1 后变成 4，9，16，25，…，可归纳为(n＋1)2，综上，数列的通项公式为 an＝(－1)n·（n＋2n1＋）12－1＝(－1)nn22n＋＋21n.
请注意关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握．
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
课前自助餐
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
数列的概念
按一定次序排成的一列数叫做数列．
数列的通项公式
＝－1，a2＝2，a1＝12.
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高考调研 ·高三总复习·数学（理）
4．(2018·山东师大附月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝ nn＋＋12，则a5＋a6＝________．

考点6-1 等差数列(练习)(含解析)-高考数学二轮复习

考点6-1 等差数列1．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C2．（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}1n a a 为递减数列，则（） A ．0d C ．10a d >D ．10a d <【答案】D 【分析】根据数列{}1n a a 为递减数列列不等式，化简后判断出正确选项. 【详解】依题意，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}1n a a 为递减数列，所以111n n a a a a +>，()11n n a a a a d >+，1111,0n n a a a a a d a d >+<. 故选：D4.．（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+= ∴1025S =.故答案为：25.5.（2021·辽宁·东北师范大学连山实验高中高三阶段练习（文））等差数列{}n a 前n 项和为n S ，281112a a a ++=，则13S =___________.【答案】52 【分析】由281112a a a ++=结合等差数列的性质可得74a =，然后利用等差数列的求和公式可求得结果【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故答案为：526．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin tan f x x x =+，项数为27的等差数列n a 满足(,)22n a ππ∈-，且公差0d ≠，若1227()()()0f a f a f a ++⋯+=，当()0k f a =时，则k 的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．11【答案】A 【分析】根据题意得到()sin tan f x x x =+是奇函数，结合等差数列{}n a 有27项，利用等差数列的性质，即可得到答案. 【详解】由函数()sin tan f x x x =+是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{}n a 有27项，(n a ∈,)22ππ-，若12327()()()()0f a f a f a f a +++⋯+=，则必有14()0f a =，所以14k =．故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，则1232015()()()()f a f a f a f a +++⋯+=（）A ．2-B ．3-C ．2D ．3【答案】B 【分析】根据题意得到函数()f x 的周期为3，且21n a n =-，转化为122015()()()f a f a f a +++(1)(3)(2029)f f f =+++，结合因为()(2)3,(0)0,13f f f -=-==-，即可求解.【详解】因为函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，可得3()()2f x f x -=--，则3(3)()()2f x f x f x -=--=-，即(3)()f x f x -=-，所以()f x 为周期为3的函数，又因为数列{}n a 是等差数列，且23a =，713a =，可得113613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =，所以21n a n =-，所以1232015()()()()(1)(3)(5)(2029)f a f a f a f a f f f f ++++=++++，因为(2)3,(0)0f f -=-=，所以()13f =-，所以(1)(3)(5)0f f f ++=，所以1232015()()()()(1)(2029)(1)(3)3f a f a f a f a f f f f ++++=++=+=-.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知344(1)2012(1)1a a -+-=，320092009(1)2012(1)1a a -+-=-，则下列结论中正确的是（）A ．20122012S =，20094a a C ．20122011S =，20094a a <D ．20122011S =，20094a a >【答案】A先由题设得410a ->，200910a -<，即可得到20094a a <；将两式相加，结合立方差公式化简得出420092a a +=，再由等差数列性质结合求和公式求解即可. 【详解】由题意344(1)2012(1)1a a -+-=，320092009(1)2012(1)1a a -+-=-，显然344(1),1a a --同号，320092009(1),1a a --同号，则410a ->，200910a -<，则200941a a <<，把已知的两式相加可得334420092009(1)2012(1)(1)2012(1)0a a a a -+-+-+-=，整理可得22420094200942009(2)[(1)(1)(1)(1)2012]0a a a a a a +-⋅-+----+=，又42009(1)(1)0a a --<，则224200942009(1)(1)(1)(1)20120a a a a -+----+>，所以420092a a +=，而2012120124200920122012()()201222S a a a a =⋅+=⋅+=. 故选：A ．9.（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足：()()*11N nn n a a n n ++-=∈，则数列{}n a 的前40项和40S =____．【答案】420 【分析】由题意可得出212212242k k k k a a a a k -++∴+++=+，所以取1,3,5,,19k =，由等差数列的前n 项和即可得出答案. 【详解】解：由*1(1)(N )n n n a a n n ++-=∈，∴当2n k =时，有2122k k a a k ++=，∴当21n k =-时，有22121k k a a k --=-，∴ 当21n k =+时，有222121k k a a k ++-=+，∴ ∴-∴得：21211k k a a +-+=， ∴+∴得：22241k k a a k ++=+，212212242k k k k a a a a k -++∴+++=+． 404124324192S ∴=⨯++⨯++⋯+⨯+10(678)4202⨯+==．故答案为：420．10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．【分析】由条件得到1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，再由求和公式得()21103n S n n -=，从而得21749324n n S n ⎡⎤⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦可求解. 【详解】由()112n n n dS na -=+，100S =，1525S =得11104501510525a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1323a d =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()()2121310233n n n S n n n -=-+⋅-=．故()221174973324n n S n n n ⎡⎤⎛⎫+=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由于N n *∈，故当3n =或4时，()min 4n n S +=-. 故答案为：4-11．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，如果关于x 的实系数方程22021202120210x S x T -+=有实数解，那么以下2021个方程()201,2,3,,2021i i x a x b i -+==⋅⋅⋅中，无实数解的方程最多有（）A ．1008个B ．1009个C ．1010个D ．1011个【答案】C 【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到21011101140a b -≥，要想无实根，要满足240i i a b -<，结合根的判别式与基本不等式得到10∆<和2021Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2020Δ0<至多一个成立，……，1010Δ0<和1012Δ0<至多一个成立，且1011Δ0≥，从而得到结论.. 【详解】由题意得：220212021420210S T -⨯≥，其中()1202120211011202120212a a S a +==，()1202120211011202120212b b T b +==，代入上式得：21011101140a b -≥，要想()201,2,3,,2021i i x a x b i -+==⋅⋅⋅方程无实数解，则240i i a b -<，显然第1011个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程2202120210x a x b -+=的判别式分别为1∆和2021Δ，则()()()22221202111202120211202112021ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-≥+-+()()()()2212021101121202110111011101124824022a a ab b b a b +≥-+=-=-≥，等号成立的条件是a 1=a 2021.所以10∆<和2021Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2020Δ0<至多一个成立， ……，1010Δ0<和1012Δ0<至多一个成立，且1011Δ0≥，综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个故选：C12．（2022·全国·高三专题练习）已知{}n a 是等差数列，()sin n n b a =，存在正整数()8t t ≤，使得n t n b b +=，*n N ∈.若集合{}*,n S x x b n N ==∈中只含有4个元素，则t 的可能取值有（）个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【分析】考虑3t ≤不符合题意，4,6,7,8t =时，列举出满足条件的集合，再考虑5t =时不成立，得到答案. 【详解】当3t ≤时，n t n b b +=，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；当4t =时，4n n b b +=，取ππ26n a n =-，此时11,22S ⎫⎪=-⎬⎪⎪⎩⎭，满足条件；当5t =时，5n n b b +=，即()sin 5sin n n a d a +=，2π,5k d k Z =∈，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；当6t =时，6n n b b +=，取ππ36n a n =-，此时11,,1,122S ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，满足条件；当7t =时，7n n b b +=，取2ππ72n a n =-，此时3ππ5πsin ,1,sin ,sin 141414S ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，满足条件；当8t =时，8n n b b +=，取π5π48n a n =-，此时π3ππ3πsin ,sin ,sin ,sin 8888S ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，满足条件；故选：C13．（2021·浙江省杭州学军中学高三期中）已知{an }是公差为d （d ＞0）的等差数列，若存在实数x 1，x 2，x 3，⋯，x 9满足方程组123911223399sin sin sin ...sin 0sin sin sin ...sin 25x x x x a x a x a x a x ++++=⎧⎨++++=⎩，则d 的最小值为（）A ．98B ．89C ．54D ．45【答案】C 【分析】把方程组中的n a 都用1a 和d 表示，求得d 的表达式，根据方程组从整体分析可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值．【详解】解：把方程组中的n a 都用1a 和d 表示得：11121319sin ()sin (2)sin (8)sin 25a x a d x a d x a d x +++++++=，把129sin sin sin 0x x x +++=代入得： 23925sin 2sin 8sin d x x x =+++，根据分母结构特点及129sin sin sin 0x x x +++=可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值为1234025678554---+⨯++=++．故选：C ．14.（2021·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =(1a >)，211n n n n a a a a d +++-=-+(0d >，*n ∈N ).且{}2n a ､{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.【答案】2(1)n S n a =+根据已知条件知数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，可求出11(1)n n a a a n d +-=-+-，再根据已知条件转化求出等差数列{}2n a ､{}21n a -的通项公式，再利用分组求和即可得解. 【详解】2111a a a a -=-=-又211n n n n a a a a d +++-=-+，即211n n n n a a a a d +++---=∴数列{}1n n a a +-是首项为1a -，公差为d 的等差数列，11(1)n n a a a n d +∴-=-+-∴，又{}{}221,n n a a -分别构成等差数列，根据∴式可得221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥∴， 212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥∴， 2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥∴，由∴+∴，得2121[1(21)][1(22)](1)n n a a a n d a n d n +--=±-+-±-+-≥，又{}21n a -是等差数列，所以2121n n a a +--必为常数，所以2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥，或2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥，由∴得321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+， 2a a =，3(1)a a d a ∴=±-++，又11a =，311(1)a a a a d ∴-=-±-+，即31a a d -=-或312(1)a a a d -=-+(舍去)， 2121n n a a d +-∴-=-，{}21n a -∴是首项为1，公差为d -的等差数列，211(1)n a n d -∴=--，同理，由∴+∴得，222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥，所以222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，321a a a d -=-+-，43(12)a a a d -=±-+，421(12)a a a d a d ∴-=-+-±-+，即42a a d -=或42223a a a d -=-+-(舍去)， 222n n a a d +∴-=，{}2n a ∴是首项为a ，公差为d 的等差数列，2(1)n a a n d ∴=+-，从而21221221()k k k k a a a a a k N *-+++=+=+∈，所以2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+.故答案为：2(1)n S n a =+15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 中，22a =，对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，公差为21k +，则101a =__．【答案】5101 【分析】由题意得出21221k k a a k +-=+，222121k k a a k ++-=+，两式相加得22242k k a a k +-=+，从而得出数列{}222k k a a +-是等差数列，首项为6，公差为4，然后利用累加法求出100a ，结合题中定义得出101100100a a -=，可求出101a 的值．【详解】数列{}n a 中，22a =，对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，公差为21k +， 21221k k a a k +∴-=+，222121k k a a k ++-=+，两式相加得22242k k a a k +-=+，所以，数列{}222k k a a +-是等差数列，且首项为6，公差为4，所以，426410098610198a a a a a a -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩，以上等式全部相加得()100261984949982a a +⨯-==，则100249985000a a =+=，由题中定义可得101100101a a -=，则1011001015101a a =+=．故答案为5101．。

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第6章第1节一、选择题1．已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21[答案] C[解析] ∵对任意p 、q ∈N *都有a p ＋q ＝a p ＋a q .∴a 10＝a 8＋a 2＝a 4＋a 4＋a 2＝5a 2＝－30.2．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10200[答案] B[解析] 当n 为奇数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)当n 为偶数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，则a n ＝(－1)n (2n ＋1)，a 1＋a 2＋…＋a 100＝－3＋5－7＋9…－199＋201＝2×50＝100.3．(2011·沈阳一模)将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34950B ．35000C ．35010D ．35050[答案] A[解析] 由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)992＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.4．(2010·陕西理)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] a n ＋1>|a n |，∴－a n ＋1<a n <a n ＋1，即a n ＋1－a n >0，且a n ＋a n ＋1>0，则{a n }为递增数列，反之若{a n }为递增数列，a n ＋1>|a n |不一定成立．5．(2011·济南统考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－(9＋a )n ＋6＋2a (其中a 为常数)，若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[24,36]B ．[27,33]C ．{a |27≤a ≤33，a ∈N *}D ．{a |24≤a ≤36，a ∈N *}[答案] A[解析] 由于数列的定义域为正整数，故由二次函数知识，只需 5.5≤9＋a 6≤7.5⇒24≤a ≤36即可．6．(2011·上饶一模)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2012的值是( )A ．2009×2010B ．2011×2010C ．20112D ．2011×2012[答案] D[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相同两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1 a 2＝1×2 a 3＝2×3 a 4＝3×4猜想a 2012＝2011×2012，故选D.解法2：a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，…a 3－a 2＝2×2，a 2－a 1＝2×1.所有等式左右两边分别相加(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]．∴a n －a 1＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)． ∴a n ＝n (n －1)．故a 2012＝2011×2012.7．若数列{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项的积，且T 8＝T 4，则当T n 取最小值时，n 的值等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 由T 8＝T 4，a 5a 6a 7a 8＝1，又a 5a 8＝a 6a 7＝1，且数列{a n }是正项递增数列，所以a 5＜a 6＜1＜a 7＜a 8，因此T 6取最小值．8．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n 3a n ＋1，a 1＝1，则a 2012等于( ) A.16031B.16034C.16037D.16040[答案] B[解析] ∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋3. ∴{1a n }是以a n ＝1为首项，3为公差的等差数列，故1a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2，a n ＝13n －2， ∴a 2012＝13×2012－2＝16034. 二、填空题9．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为5，T n 为数列{a n }前n 项的积，则T 2005＝________.[答案] 2·51002[解析] T 2005＝a 1(a 2a 3)·(a 4a 5)…(a 2004·a 2005)＝2·51002.10．设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 2n ＋1[解析] ∵4S n ＝a n 2＋2a n －3，∴当n ≥2时，4S n －1＝a n －12＋2a n －1－3.两式相减得4a n ＝a n 2－a n －12＋2a n －2a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.又∵a n >0.∴a n －a n －1＝2.当n ＝1时，由4a 1＝a 12＋2a 1－3，得a 1＝3，故a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.11．已知a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则在数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．[答案] 10 9[解析] a n ＝n －98n －99＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99当1≤n ≤9时，99－98n －99<0，a n 递减．当n ≥10时，99－98n －99>0，a n 递减． ∴最大项为a 10，最小项为a 9.三、解答题12．已知数列{a n }满足：a 1＝1,4n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2) (1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始以后各项均小于11000？ [解析] (1)a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝⎛⎭⎫14n －1·⎝⎛⎭⎫14n －2·…·⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫141＝⎝⎛⎭⎫141＋2＋…＋(n －1)＝⎝⎛⎭⎫14(n －1)n 2＝⎝⎛⎭⎫12n (n －1) ∴a n ＝(12)n (n －1) (2)当n ≤3时，(n －1)n ≤6，a n ＝(12)(n －1)n ≥164当n ≥4时，(n －1)n ≥10，a n ＝(12)(n －1)n ≤11024所以，从第4项开始各项均小于11000. 13．下图是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，记OA 1，OA 2，OA 3，…，OA 7，OA 8的长度所成的数列为{a n }(n ∈N,1≤n ≤8)．(1)写出数列的前4项；(2)求{a n }的通项公式；(3)如果把图中的直角三角形继续作下去，那么OA 9，OA 2012的长分别是多少？[解析] (1)∵a 1＝OA 1＝1，由勾股定理得a 2＝a 12＋1＝2，a 3＝a 22＋1＝3，a 4＝a 32＋1＝4＝2；(2)观察{a n }的前几项，可以发现数列的项恰好是序号的算术平方根，即有通项公式a n ＝n ；(3)OA 9＝a 9＝3，OA 2012＝a 2012＝2012＝2503.[点评] 由归纳法，找出数列的通项公式，或由数列的通项公式写出数列的项，对数列做出某种判断，是高考命题的方向，此类题对逻辑推理能力有较高的要求．14．已知数列{a n }的前n 项和为n 2＋pn ，数列{b n }的前n 项和为3n 2－2n .(1)若a 10＝b 10，求p 的值；(2)取数列{b n }的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的通项公式．[解析] (1)由已知，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋pn )－[(n －1)2＋p (n －1)]＝2n －1＋p (n ≥2)，b n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5 (n ≥2)．∴a 10＝19＋p ，b 10＝55.由a 10＝b 10，得19＋p ＝55.∴p ＝36.(2)b 1＝S 1＝1，满足b n ＝6n －5.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝6n －5.取{b n }中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b 2k －1＝6(2k －1)－5＝12k －11.∴c n ＝12n －11.15．(2010·全国卷Ⅰ理)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n .设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．[解析] 本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了化归与转化思想的考查．a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，取倒数有1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2 即b n ＋1＝4b n ＋2，得b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列， b n ＋23＝－13×4n －1，即b n ＝－4n －13－13.。