2.1 1.参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)
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2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
半径为 r
为参数)．其中参数
t 的物理意义是： 质点做匀速圆周运动的时间 ．
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(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半 径为 r
x＝rcos θ 的圆的参数方程为y＝rsin θ (θ
为参数)．其中参数 θ
的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 转到
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＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
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4．已知圆
x＝cos θ， C y＝－1＋sin
θ
与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，
求实数 a 的取值范围．
x＝cos θ， 解：法一：∵ y＝－1＋sin
φ，
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
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1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
x＝1＋cos 参数方程为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y＝sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
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2．已知点 P(2,0)，点 Q
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
半径为 r
为参数)．其中参数
t 的物理意义是： 质点做匀速圆周运动的时间 ．
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(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半 径为 r
x＝rcos θ 的圆的参数方程为y＝rsin θ (θ
为参数)．其中参数 θ
的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 转到
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＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
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4．已知圆
x＝cos θ， C y＝－1＋sin
θ
与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，
求实数 a 的取值范围．
x＝cos θ， 解：法一：∵ y＝－1＋sin
φ，
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
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1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
x＝1＋cos 参数方程为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y＝sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
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2．已知点 P(2,0)，点 Q
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
2.1.1《参数方程的概念、圆的参数方程》 课件(人教A版选修4-4)
)
【解析】选D. 当x=t-1=0时，t=1,y=t+2=3;当y=t+2=0时， t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为（0，3），
（-3，0）.
x=sin 2.下列各点在方程 (θ 为参数)所表示的曲线上的是 y=cos2
(
（B） ( 1 , 2 )
3 3
)
（A）(2,-7) （C） ( 1 , 1 )
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的
参数方程； (2)若点P(x,y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
【解析】(1)由 2 -4 2cos(- )+6=0得
4
ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0, 即x2+y2-4x-4y+6=0为所求,
由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2,
【解析】设飞机在点H将物资投出机 舱，记此时刻为0 s，设在时刻t s 时的坐标为M（x,y）,如图,建立平 面直角坐标系，由于物资做平抛运 动，依题意，得
x=100t x=100t 1 2 ,即 y=h- gt y=h-5t 2 2
令x=100t=1 000,得t=10(s), 由y=h-5t2=h-500=0,得h=500 m. 答案:500 m
∴x=sin 2θ= - 3 .
4
1 4
x=3+cos 6.曲线 (θ 为参数)上的点到坐标轴的最近距离为 y=4+sin
( (A)0 (B)1 (C)2
y=4+sin
)
(D)3
【解析】选C.曲线 x=3+cos (θ为参数) 即(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心为C（3,4），半径为1的圆，圆 上的点到坐标轴的最近距离为2.
人教A版高中数学选修4-4课件第二章第一节《参数方程》
,(为
参数)的右
顶点,
则常数a的值为________ .
*高考链接*
1.(2013年高考湖南卷(理))在平面直
角
坐标系xOy中,
若l
:
x y
t t
,
(t为 a
参数)
过椭圆C
:
x y
3 2
cos sin
,(为
参数)的右
顶点,
则常数a的值为____3____ .
*练习1* 曲线y x2的一种参数方程是( )
A.
x
t
2
y t 4
B.
x
sin
t
y sin2 t
C
.
x
t
y t
D.
x
t
y t 2
练习2* 参数方程
x y
|
cos
2 1 (1 2
sin
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线
上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数
x f (t),
(2)
y g(t),
并且对于t的每一个允许值，由方程组(2)所确
定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(2)
就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y
的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数
x
sin
t
y sin2 t
(2)
x
1 2
(et
et
)
y
选修4-4曲线的参数方程最新版本ppt课件
为 参.数
这 也 是 圆O 心 ,半在 径 r的 原 为圆 点的 参 .其数 中方 参
数 的 几 何O 意M 0绕 义O 点 是 逆 时 针O 旋M 的 转位 到
置,时 OM 0转 过 的 . 角 度
由 于 选 取 的 参,数 圆不 有同 不 同 的 参 数 .一方 般程 ,地 同
一 条 曲,可 线以 选 取 不 同 的参变数数 ,因为 此 得 到 的 参
cotsx,si nty, 即
r
r
x rcost, y rsint.
t为参数
最新版整理ppt
13
这是圆心O 在 ,半原 径点 r的 为圆的参.其 数中 方 t有程 明
确的物理 质意点义作匀速圆时周刻 .运动的
考 虑 t,到 也 可 为 以 参 ,于 取 数 是 有
x r cos, y r sin.
置为点 Mx, y,则x表示物资的水平 , y表位示移
物资距地面的 .由高水度平位x与移高度 y是由两
种不同的运动,得 所到 以的 建x立 , y所要满足的
关系式并不. 容最易 新版整理ppt
6
换个角度看问题 . 由物理知识, 物资投出机
y 500
A
v100m/s
舱后,它的运动是下列两
M
种运动的合成:
7
在t的取值范围内,给定t 一个 值,由①可以惟一确定x, y 的
y 500
A
v100m/s
值.也就是说,当t 确定时,点
M
M x, y的位置就惟一确定了.
比,如 当 t6s时 ,x60m 0,y O 图22
x
32m 4,即物资水平 60 位 m 0,高 移度 量3约 为 2m 4为 . 救援物,应 资 y有 落 0,即 5地 01 2 0时 g2t0, 解 t 1 . 得 1 s 0 ,把 0 t 1 .1 代 0 0 ① ,得 入 x 1 到 m 0 . 1
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-3第二讲-参数方程
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
称为标准形式，其中参
数t的几何意义是：|t|表示参数t对应的点M到________，t就是有向 → 线段 M0M 的数量．当点M在点M0的上方时，________；当点M在 点M0的下方时________；当点M与点M0重合时，________.
4 x ＝ 1 ＋ 5t， 的方程为 y＝3t 5
(t为参数)．代入椭圆方程x2＋9y2＝9，并
整理得：97t2＋40t－200＝0. 由t的几何意义，知所求的弦长为
|t2－t1|＝ t2＋t12－4t2t1 ＝ －200 60 40 2 － －4 ＝ 22. 97 97 97
3．直线参数方程的应用 直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线 相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运 算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
【例1】
典例剖析 x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(u为参数)．
规律程，只要用代入法消去参
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α<π)的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα，
其中参数t有几何意义，t＝M0M，即t表示有向线
→ 段 M0M 的数量，其中M(x，y)为直线上任意一点，因为倾斜角α∈ [0，π)，所以sinα≥0，再化参数方程的标准形式时应注意这一 点．
(t为参数)．
规律技巧
本题可使用直线的普通方程求解．也可以使用参
数方程求解，但是使用普通方程求解，计算量大，如果设出直线 的倾斜角，写出直线的参数方程求解．就可以转化为三角函数求 最值问题，计算简便．
称为标准形式，其中参
数t的几何意义是：|t|表示参数t对应的点M到________，t就是有向 → 线段 M0M 的数量．当点M在点M0的上方时，________；当点M在 点M0的下方时________；当点M与点M0重合时，________.
4 x ＝ 1 ＋ 5t， 的方程为 y＝3t 5
(t为参数)．代入椭圆方程x2＋9y2＝9，并
整理得：97t2＋40t－200＝0. 由t的几何意义，知所求的弦长为
|t2－t1|＝ t2＋t12－4t2t1 ＝ －200 60 40 2 － －4 ＝ 22. 97 97 97
3．直线参数方程的应用 直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线 相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运 算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
【例1】
典例剖析 x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(u为参数)．
规律程，只要用代入法消去参
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α<π)的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα，
其中参数t有几何意义，t＝M0M，即t表示有向线
→ 段 M0M 的数量，其中M(x，y)为直线上任意一点，因为倾斜角α∈ [0，π)，所以sinα≥0，再化参数方程的标准形式时应注意这一 点．
(t为参数)．
规律技巧
本题可使用直线的普通方程求解．也可以使用参
数方程求解，但是使用普通方程求解，计算量大，如果设出直线 的倾斜角，写出直线的参数方程求解．就可以转化为三角函数求 最值问题，计算简便．
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
逆 时针旋
OM
的位置时，OM0 转过的角度．
(3)若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方程 为
x＝x ＋Rcos θ 0 y＝y0＋Rsin θ
(0≤θ＜2π) ．
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[例1]
圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，
以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程． [思路点拨]
φ，
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
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1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x 的标准方程为(x－1)2＋y2＝1， 设 x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
x＝1＋cos 参数方程为 y＝sin θ
θ，
(0≤θ＜2π)．
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2．已知点 P(2,0)，点 Q
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
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4．已知圆
x＝cos θ， C y＝－1＋sin
θ
与直线 x＋y＋a＝0 有公共点，
求实数 a 的取值范围．
x＝cos θ， 解：法一：∵ y＝－1＋sin
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第二讲《参数方程》小结
第二讲 参数方程
本讲小结
知识结构
知识要点
方法技巧
本讲主要介绍了参数方程的概念，以及常用曲线的参数方程和 它们的应用． 1．曲线参数方程的定义 一般地，在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变量t的函数
x＝ft， y＝gt.
(1)
并且对于t的每一个允许值，由方程(1)所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程(1)就叫作这条曲线的参数方程， 联系x，y之间关系的变数叫作参变数，简称参数．参数方程的 参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显的意义．
(t为参数)．
代入圆的方程x2＋y2＝7，得 3 2 1 2 (－4＋ t) ＋( t) ＝7，化简得 2 2 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设点A，B所对应的参数分别为t1和t2，由韦达定理，得t1＋ t2＝4 3，t1· t2＝9. ∴|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4 32－4×9＝2 3. (2)设过P0作圆的切线为P0T. 由切割线定理及参数t的几何意义得 |P0T|2＝|P0A|· |P0B|＝|t1t2|＝9. ∴切线长|P0T|＝3.
在互化后某个变量的范围扩大了(或缩小了)，则必须注明，将 扩大(或缩小)的部分去掉(或补上)．由于选取参数不同，同一 曲线的参数方程也不一样．因此，一般曲线的参数方程不唯 一．另外，不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程 的． 化参数方程为普通方程，常用的方法有：代入法、三角恒 等式消参数法、代数恒等式消参数法等．
(φ 为参数)．
【答案】
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)
x＝2φ－sinφ， y＝21－cosφ
本讲小结
知识结构
知识要点
方法技巧
本讲主要介绍了参数方程的概念，以及常用曲线的参数方程和 它们的应用． 1．曲线参数方程的定义 一般地，在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变量t的函数
x＝ft， y＝gt.
(1)
并且对于t的每一个允许值，由方程(1)所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程(1)就叫作这条曲线的参数方程， 联系x，y之间关系的变数叫作参变数，简称参数．参数方程的 参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显的意义．
(t为参数)．
代入圆的方程x2＋y2＝7，得 3 2 1 2 (－4＋ t) ＋( t) ＝7，化简得 2 2 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设点A，B所对应的参数分别为t1和t2，由韦达定理，得t1＋ t2＝4 3，t1· t2＝9. ∴|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4 32－4×9＝2 3. (2)设过P0作圆的切线为P0T. 由切割线定理及参数t的几何意义得 |P0T|2＝|P0A|· |P0B|＝|t1t2|＝9. ∴切线长|P0T|＝3.
在互化后某个变量的范围扩大了(或缩小了)，则必须注明，将 扩大(或缩小)的部分去掉(或补上)．由于选取参数不同，同一 曲线的参数方程也不一样．因此，一般曲线的参数方程不唯 一．另外，不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程 的． 化参数方程为普通方程，常用的方法有：代入法、三角恒 等式消参数法、代数恒等式消参数法等．
(φ 为参数)．
【答案】
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)
x＝2φ－sinφ， y＝21－cosφ
2.1 1.参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)
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在 Rt△QBP 中， |BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜ )． 2
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求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任
转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、
斜率、截距等也常常被选为参数． 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
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1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动， π 角速度为 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨 60 迹的参数方程．
(t 为参数)．
(1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的
参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲 线上．
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[解]
(1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，
解：选 t＝x，则 y＝2t＋3
x＝t， 由此得直线的参数方程为 y＝2t＋3，
(t 为参数)．
也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1.
x＝t－1， 参数方程为： y＝2t＋1.
(t 为参数)
返回
[例 2]
x＝3t 已知曲线 C 的参数方程是 y＝2t2＋1
答案：D
返回
4．已知某条曲线 C
x＝1＋2t， 的参数方程为 y＝at2
(其中 t 为参
数，a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
人教A版高中数学选修4-4课件参数方程的概念ppt
意义。
2. 2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样 3. 3.在实际问题中要确定参数的取值范围
变式:
一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重 力加速g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ （精确到1m）
例1:已知曲线C的参数方程是
B
( 25 , 0); 16
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上 y cos 2
的一个点的坐标是 () C
A、(2,7)B、(1 , 1)，C、(1 , 1), D(1,0)
32
22
训练2：
已知曲线C的参数方程是
x y
1 2t at 2.
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(t为参数,a
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
训练1
1、曲线与xx轴的1 交t 2点, (坐t为标参是数(）) y 4t 3
A、（1，4）；B、(12C65、, 0D)、; (1, 3);
小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x，y都是某个变数t的函数 x f (t),
y
g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y) 那都么在方这程条（曲2线）上就，叫做这条曲线的参数方程， 联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
2
思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的 速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨 迹参数方程。
第二讲 参数方程知 识归纳 课件(人教A选修4-4)
x＝1＋tcos α， 设直线方程为 y＝1＋tsin α
(t 为参数)，代
入椭圆方程得(cos2α＋4sin2α)t2＋(2cos α＋8sin α)t＋1＝0. ∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－4(cos2α＋4sin2α)＞0， 2 ∴tan α＜－ ，或 tan α＞0. 3
返回
1 |PP1|· 2|＝t1· ＝ 2 |PP t2 . cos α＋4sin2α sin2α＋cos2α ＝ 2 cos α＋4sin2α 1＋tan2α ＝ 1＋4tan2α 1 3 ＝ ＋ 4 4＋16tan2α 1 tan α→＋∞时，(|PP1|· 2|)min＝ |PP 4
2
π 此时 α＝ . 2 |PP1|· 2|无最大值． |PP
(t 为 参 数 ) 与 曲 线
(α 为参数)的交点个数为________．
解析：直线的普通方程为 x＋y－1＝0，圆的普通方程为 2 x ＋y ＝3 ， 圆心到直线的距离 d＝ ＜3， 故直线与圆的 2
2 2 2
交点个数是 2.
答角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极 π 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝ 与 4
5 5 答案：( ， ) 2 2
返回
3．(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆
x＝5cos φ， y＝3sin φ x＝4－2t， y＝3－t
(φ 为 参 数 ) 的 右 焦 点 ， 且 与 直 线
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
返回
解：由题设知，椭圆的长半轴长 a＝5，短半轴长 b＝3，从 而 c＝ a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数 方程化为普通方程：x－2y＋2＝0. 1 故所求直线的斜率为 ， 2 1 因此其方程为 y＝ (x－4)，即 x－2y－4＝0. 2
(t 为参数)，代
入椭圆方程得(cos2α＋4sin2α)t2＋(2cos α＋8sin α)t＋1＝0. ∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－4(cos2α＋4sin2α)＞0， 2 ∴tan α＜－ ，或 tan α＞0. 3
返回
1 |PP1|· 2|＝t1· ＝ 2 |PP t2 . cos α＋4sin2α sin2α＋cos2α ＝ 2 cos α＋4sin2α 1＋tan2α ＝ 1＋4tan2α 1 3 ＝ ＋ 4 4＋16tan2α 1 tan α→＋∞时，(|PP1|· 2|)min＝ |PP 4
2
π 此时 α＝ . 2 |PP1|· 2|无最大值． |PP
(t 为 参 数 ) 与 曲 线
(α 为参数)的交点个数为________．
解析：直线的普通方程为 x＋y－1＝0，圆的普通方程为 2 x ＋y ＝3 ， 圆心到直线的距离 d＝ ＜3， 故直线与圆的 2
2 2 2
交点个数是 2.
答角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极 π 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝ 与 4
5 5 答案：( ， ) 2 2
返回
3．(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆
x＝5cos φ， y＝3sin φ x＝4－2t， y＝3－t
(φ 为 参 数 ) 的 右 焦 点 ， 且 与 直 线
(t 为参数)平行的直线的普通方程．
返回
解：由题设知，椭圆的长半轴长 a＝5，短半轴长 b＝3，从 而 c＝ a2－b2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数 方程化为普通方程：x－2y＋2＝0. 1 故所求直线的斜率为 ， 2 1 因此其方程为 y＝ (x－4)，即 x－2y－4＝0. 2
人教A版高中数学选修4-4课件：第二讲 参数方程 (共5份打包)
善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和自信，而勇气和 自信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有翼，为何一生 匍匐前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚搏，才是充 实的生活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一颗石子。 最凄美的爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想的那么 美好，但也不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的过程， 而不是一步到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出路， 气度决定高度，细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 有一切宇宙智慧。所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以 希望为哨兵。如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才 在道路上设下重重的障碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。 真正的心理健康，是不设防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成 功，我可以拼命！我会努力站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己 本身之主人者，将永远成不了他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋 斗。眼泪的存在，是为了证明悲伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最 大原因，是对自己的能力缺乏充分的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的， 有很多东西飘然于我们的视野与心灵之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有 不甘和怨气来源于你的不自信和没实力。你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 平静的湖面锻炼不出精悍的水手；安逸的生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在 于一念之差。人生就像一个动物园，当你以为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。 如果不想被打倒，只有增加自身的重量。如果你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是 欺骗不了的，一个人要生活得光明磊落。生活真象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪 里。世上最累人的事，莫过于虚伪的过日子。当你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾， 而错过则是永远的遗憾！很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改 变，解决之道在于改变自己。积极向上的心态，是成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进； 即使江河波涛汹涌，船只也航行。经验是由痛苦中粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别 人为你做了什么，而要问你为别人做了什么。要有最遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中， 就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦停止了喧哗，浩浩大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去， 曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实我们往往失败不是在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。强者征服 今天，懦夫哀叹昨天，懒汉坐等明天。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。 人们总是在努力珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。时间是个常数，但也是个变数。勤奋的人无穷多，懒惰的人无穷少。手莫伸,伸手必被捉。 党与人民在监督,万目睽睽难逃脱。汝言惧捉手不伸,他道不伸能自觉,其实想伸不敢伸,人民咫尺手自缩。思考是一件最辛苦的工作，这可能是为什么很少人愿意思考的原因。我们不能成为贵 族的后代，但我们可以成为贵族的祖先。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在 努力。无人理睬时，坚定执着。万人羡慕时，心如止水。无志者常立志，有志者立常志，咬定一个目标的人最容易成功。心随境转是凡夫，境随心转是圣贤。学会以最简单的方式生活，不 要让复杂的思想破坏生活的甜美。要无条件自信，即使在做错的时候。一个人能走多远，要看他有谁同行；一个人有多优秀，要看他有谁指点；一个人有多成功，要看他有谁相伴。成功在 优点的发挥，失败是缺点的累积。从绝望中寻找希望，人生终将辉煌。当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下！当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。贫穷本身并不 可怕，可怕的是贫穷的思想，以及认为自己命中注定贫穷。一旦有了贫穷的思想，就会丢失进取心，也就永远走不出失败的阴影请享受无法回避的痛苦。人的一生就是体道，悟道，最后得 道的过程。人生就是一万米长跑，如果有人非议你，那你就要跑得快一点，这样，那些声音就会在你的身后，你就再也听不见了。人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起 来却有久久不会退去的余香。人生可如蚁而美如神。人生是各种不同的变故、循环不已的痛苦和欢乐组成的。那种永远不变的蓝天只存在于心灵中间，向现实的人生去要求未免是奢望。是 我们不认识自己的智慧，不明白自己拥有全宇宙的力量。最巨大的遗憾，是被命运安排！做好自己其他的让别人说去吧！成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践成功就是简单的事情不
2.1.曲线的参数方程PPT课件
6
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考 虑 到 ＝ t ， 也 可 以 取 为 参 数 ，
y
于 是 有{xy rrcso ins(为 参 数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其 中 参 数 的 几 何 意 义 是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？
？ 救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？ 设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程
人教A版高中数学选修4-4课件：第二讲 参数方程 (共5份打包)
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以 抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工 作的时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去 自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山 的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道 将来要得到什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门， 成长的地方；一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己， 才能战胜困难！1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔， 然后放下。“雁渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得 起打击；丢得起面子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则， 坚持守底气；淡泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心 想要事事求顺意，反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。 我们的梦想在哪里？在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊 的宽道上！珍惜每一分钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的， 不要感叹你失去或未得到；学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 处困境之人，不做苟且之事，则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳 光的心态，得失了无忧，来去都随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满 是阳光，才是永恒的美。意逐白云飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸 福，够用即可；累时，闲是幸福，够畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有 多大。很多时候限制我们的，不是周遭的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是 笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢； 田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。 为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份 责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精 进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距， 实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距，实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内 心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人， 会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多； 最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事 业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉 得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最 惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业 不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世， 而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。 时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦， 等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧， 痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口，错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会 导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦尽量充实自己。不要停止学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说， 即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了你生命，同时也是爱你爱的最无私的人。
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(t 为参数)．
(1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的
参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲 线上．
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[解]
(1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，
转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、
斜率、截距等也常常被选为参数． 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
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1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动， π 角速度为 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨 60 迹的参数方程．
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2．参数的意义 参数 是联系变数x，y的桥梁，可以是有 物理 意义或 几何 意义的变数，也可以是 的变数．
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[例1]
如图，△ABP是等腰直角三角形，
∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、 y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程． [思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由
答案：D
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4．已知某条曲线 C
x＝1＋2t， 的参数方程为 y＝at2
(其中 t 为参
数，a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，
5＝1＋2t， ∴ 4＝at2， t＝2， 解得： a＝1.
∴a 的值为 1.
解：选 t＝x，则 y＝2t＋3
x＝t， 由此得直线的参数方程为 y＝2t＋3，
( 为参数)．
也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1.
x＝t－1， 参数方程为： y＝2t＋1.
(t 为参数)
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[例 2]
x＝3t 已知曲线 C 的参数方程是 y＝2t2＋1
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1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是 某个变数
x＝ft t(θ，φ，…)的函数： y＝gt
①，并且对于每一
个 t 的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上， 那么方程组①就叫这条曲线的 参数方程 ，t 叫做参数，相对 于参数方程而言， 直接给出坐标间关系的方程叫 普通方程 ．
位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
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3．曲线(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为( A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
)
B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
解析：将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．
0＝3t， 得： 1＝2t2＋1.
解得：t＝0.∴点 M1 在曲线 C 上． 同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M3(6，a)在曲线 C 解得：t＝2，a＝9. ∴a＝9.
6＝3t， 上，∴ a＝2t2＋1.
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参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线
解：如图，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t＝0，设动点 M(x，y)对应时刻 π 又 θ＝ · t， 60 π x＝2cos60t， 故参数方程为： y＝2sin π t. 60
x＝2cos θ， t，由图可知： y＝2sin θ，
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2．选取适当的参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．
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在 Rt△QBP 中， |BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜ )． 2
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求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任
于A、B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，
或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．
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[解]
法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过 P 点作 x 轴
的垂线交 x 轴于 Q. 如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)． ∵|OA|＝ a2－t2， ∴|BQ|＝ a2－t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝t＋ y＝t，
a2－t2，
(0＜t＜a)．
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法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P 作 x 轴的垂线 交 x 轴于点 Q，如图所示． 取∠QBP＝θ， π θ 为参数(0＜θ＜ )， 2 π 则∠ABO＝ －θ. 2 在 Rt△OAB 中， π |OB|＝acos( －θ)＝asin θ. 2
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意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的
位置，以利于发现变量之间的关系．
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第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列 出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋