3.1 两角和与差的余弦课件(人教B版必修4)

1－cos
2
β α－ 2
＝
1 4 5 1－81＝ 9 . 1－sin
2
α cos2－β＝
α －β＝ 2
4 5 1－9＝ 3 .
α＋β β α ∴cos 2 ＝cosα－2－2－β β α β α ＝cosα－2cos2－β＋sinα－2· 2－β sin
2 5 在△ABC 中，由 cosB＝－3，可得 sinB＝ 3 ，由
求 ห้องสมุดไป่ตู้osA.
[误解]
4 3 sin(A＋B)＝ 可得 cos(A＋B)＝ . 5 5 cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝ 3 2 4 5 4 5－6 － ＋ × 5× 3 5 3 ＝ 15 .
• 2．情感目标 • 通过公式的推导，了解它们的内在联系和
知识的发展过程，体会一般与特殊的关系 与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物 主义观点去分析问题的能力． • ●学法探究 • 1．本章涉及的重要思想方法是数形结合 思想方法、坐标思想方法、等价转化思想 方法等．其中数形结合是高中数学中最基 本、最常用、最重要的方法，针对具体的 条件，准确地画出相应的图形是解决问题 的关键．而等价转化思想在本章中用到的
(2)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cosy； (3)原式＝cos[(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos60° . ＝ 2
• 计算：(1)cos26°cos34°－cos64°sin34°； • (2)cos(16°＋α)cos(14°－α)－sin(16°＋
[辨析]
首先确定角的范围，再求值，误解的错误在于
2 没有从 cosB＝－ <0 发掘出 B 为钝角， 3 3 ∴A＋B 为钝角，∴cos(A＋B)＝－ . 5
[正解]
2 在△ABC 中，∵cosB＝－3<0，
5 ∴B 为钝角，且 sinB＝ 3 ， 4 ∴A＋B 为钝角，由 sin(A＋B)＝5， 3 得 cos(A＋B)＝－5， ∴cosA＝cos[(A＋B)－B] ＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB 3 2 4 5 6＋4 5 ＝－5×－3＋5× 3 ＝ 15 .
α)cos(76°＋α)．
[解析]
(1)原式＝cos26° cos34° －sin26° sin34°
1 ＝cos(26° ＋34° )＝cos60° 2. ＝ (2)原式＝cos(16° ＋α)cos(14° －α)－sin(16° ＋α)sin(14° 3 －α)＝cos[(16° ＋α)＋(14° －α)]＝cos30° ＝ . 2
• [答案] B 4， ∴cos(α－β)＝－ 5
3π 3 ，2π，sin(α＋β)＝－ ， ∵α＋β∈ 2 5
4 ∴cos(α＋β)＝ ， 5 cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)， 4 4 3 3 ＝5×－5＋5×－5＝－1.
[例 3]
设
α β 1 2 α－ ＝－ ，sin －β ＝ ，其中 cos 2 9 3 2
π π α∈2，π，β∈0，2，求
α＋β cos 2 .
[解析]
注意到条件中的角与待求结论中的角存在着 α＋β cos ， 2
β α α＋β 以下关系：α－2－2－β＝ ，因此可以求出 2 π π ∵α∈2，π，β∈0，2， α π π β π ∴α－ ∈4，π， －β∈－4，2， 2 2 β ∴sinα－2＝
• 3．1 和 角 公 式
• 3．1.1 两角和与差的余弦
cosαcosβ－sinαsinβ
• 两角和与差的余弦公式 • cos(α＋β)＝ • cos(α－β)＝
cosαcosβ＋sinαsinβ
，(Cα＋β) .(Cα－β)
• 重点：两角和与差的余弦公式的推导及应
用． • 难点：两角差的余弦公式的灵活运用．
• 用向量数量积探索两角差的余弦公式时，
• • • •
应注意： (1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系 向量知识，体会向量方法的作用． (2)结合有关图形，完成运用向量方法推导 公式的必要准备． (3)探索过程不应追求一步到位，应先不去 理会其中的细节，抓住主要问题及其线索 进行探索，然后再反思，予以完善． (4)补充完善的过程，既要运用分类讨论的 思想，又要回到诱导公式．预习时尽量先
• 2．牢记公式并能熟练进行左、右互化 • 如化简cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ时，不
要将cos(α＋β)、sin(α＋β)展开，而应就整个 式 子直接用公式化为cos[(α＋β)－β]．
• 3．常见的角变换有 • α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝
[(β＋ α)－(β－α)]，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β ＋α)－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． • 4．应用公式易出现的错误有两点 • ①cos(α－β)＝cosα－cosβ； • ②cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ. • 第①点是认识上的错误，只凭想当然认识 公式；第②点是公式记忆错误．
π 3 3 3．已知 sin(α－β)＝5，sin(α＋β)＝－5，α－β∈2，π， 3π α＋β∈ 2 ，2π，则
cos2β 等于 ( )
A．1 24 C.25
B．－1 4 D．－5
[解析]
π 3 ，π，sin(α－β)＝ ， ∵α－β∈ 2 5
• 2．学习本章内容时要熟悉各公式及其推
导过程，并熟悉它们之间的内在联系．对 众多的三角公式，既要用心去记忆，又要 掌握公式推导的规律，不断总结公式应用 的技巧． • 3．在运用本章公式解题时，需经常对已 知条件和结论进行适当的变换，包括角的 变换和函数的变换等，通过本章知识的学 习，熟悉化未知为已知及等价转化的思想 方法，培养良好的数学思维习惯．
• ●课程目标 • 1．双基目标 • (1)经历用向量的数量积推导出两角差的余
弦公式的过程，进一步体会向量法的作 用． • (2)能用两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
• (3)能运用上述公式进行简单的恒等变换，
会推导半角公式，积化和差、和差化积公 式(公式不要求记忆)，进一步提高运用联 系的观点，化归的思想方法去处理问题的 自觉性，体会一般与特殊的思想、换元的 思想、方程的思想等数学思想在三角恒等 变换中的作用．
3π · sin 4 ＋β
π 3π π 又∵4<α< 4 ，0<β<4， π ∴4<α＋β<π. ∴sin(α＋β)＝ 1－cos α＋β＝
2
16 1－－652
63 ＝ . 65
[例 4]
4 2 已知△ABC 中，sin(A＋B)＝5，cosB＝－3，
• 1．两角差的余弦公式 • 这个公式的推导实际上运用的是解析
法．在推导时，首先将角放在平面直角坐 标系中，并相应作出两个角α和β，其终边 分别与单位圆相交于点P、Q，用α、β的正 余弦表示出P、Q两点的坐标，利用向量的 数量积运算推出了用α、β的正余弦表示的 公式．这个公式是推导两角和的余弦、两 角和与差的正弦、正切公式的基础．关于 这个公式要注意：α、β是任意角，故点P、 Q可以在任何象限或坐标轴上，也就是两 角差的余弦公式具有一般性，这个公式为
• [ 例 2]
计 算 (1)cos15°cos105° ＋ sin15°sin105°； • (2)sinxsin(x＋y)＋cosxcos(x＋y)； • (3)cos(α － 35°)cos(25° ＋ α) ＋ sin(α － 35°)sin(25°＋α)．
[解析]
(1)原式＝cos(15° －105° )＝cos(－90° )＝0；
一、选择题 1．cos75° cos15° －sin435° sin15° 的值是( A．0 3 C. 2 1 B. 2 1 D．－ 2 )
• [答案] A • [解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° • ＝ cos75°cos15° － sin(360° ＋
75°)sin15° • ＝cos75cos15°－sin75°sin15° • ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.
π 3 [例 1] 已知 sinx＝ ，x∈(0，π)，求 cosx＋3. 5 3 [分析] 由 sinx＝ 求 cosx 时，结果有两种，因此所 5 求结果要讨论，分两种情况讨论．
3 [解析] ∵sinx＝5，x∈(0，π)， π 4 ∴当 x∈0，2时，cosx＝ 1－sin2x＝ . 5 π 4 当 x∈2，π时，cosx＝－ 1－sin2x＝－5. π π ∴当 x∈0，2时，cosx＋3 π π ＝cosxcos －sinxsin 3 3 4 1 3 3 4－3 3 ＝5×2－5× 2 ＝ 10 ； π π 当 x∈2，π时，cosx＋3 π π ＝cosxcos －sinxsin 3 3 4＋3 3 4 1 3 3 ＝－ × － × ＝－ . 5 2 5 2 10
π π 4 3 cos4＋α＝－5，∴sin4＋α＝5.
π 3π 3π ∵0<β<4，∴ 4 < 4 ＋β<π，
3π 3π 5 12 ＋β＝ ，∴cos ＋β＝－ . 又∵sin 4 13 13 4
∴cos(α＋β)＝－cos[π＋(α＋β)]
• 2 ． 在 △ ABC 中 ， 若 sinAsinB<cosAcosB ，