2018秋湘教版数学九上2.4《一元二次方程根与系数的关系》同步练习

*2.4 一元二次方程根与系数的关系
要点感知 如果ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1x 2= .即：两根的和等于一次项系数与二次项系数的 ，两根的积等于常数项与二次项系数的 . 注意：一元二次方程的根与系数的关系前提条件是：①a ≠0；② ≥0.
预习练习1-1 (2018·武汉)若x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，则x 1·x 2的值是( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
1-2 (2018·泉州)已知一元二次方程x 2-4x+3=0的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=( )
A.4
B.3
C.-4
D.-3
1-3 (2018·眉山)若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是( )
A.-7
B.7
C.3
D.-3
知识点1 利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
1.(2018·雅安)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x=0的两根，则x 1+x 2的值是( )
A.0
B.2
C.-2
D.4
2.(2018·天门)如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2-2x 1-2x 2-5=0，那么a 的值为( )
A.3
B.-3
C.13
D.-13
3.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x 1，x 2的和与积.
(1)2x 2-4x-3=0； (2)x 2-4x+3=7； (3)5x 2-3=10x+4.
4.已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根，试求下列代数式的值：
(1)x 12+x 22； (2)21x x +12
x x ； (3)(x 1+1)(x 2+1).
知识点2 利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题
5.已知一元二次方程x 2-6x+c=0有一个根为2，求另一根及c 的值.
知识点3 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系的综合运用
6.已知关于x 的方程kx 2+(k+2)x+
4
k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围；
(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根的和等于0？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.
7.(2018·南通)若3是关于方程x 2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A.-2
B. 2
C.-5
D.5
8.(2018·株洲)已知关于x 的一元二次方程x 2-bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=-2，则b 与c 的值分别为( )
A.b=-1，c=2
B.b=1，c=-2
C.b=1，c=2
D.b=-1，c=-2
9.(2018·湖北)已知α，β是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为
( )
A.-1
B.9
C.23
D.27
10.(2018·攀枝花)设x 1，x 2是方程2x 2-3x-3=0的两个实数根，则12x x +21
x x 的值为 . 11.(2018·眉山)已知关于x 的一元二次方程x 2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)= .
12.(2018·玉林)已知关于x 的方程x 2+x+n=0有两个实数根-2，m.求m ，n 的值.
13.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根.求(x 1+x 2)2÷12
11(
)x x 的值.
14.关于x 的一元二次方程(x-2)(x-3)=m 有两个实数根x 1、x 2.
(1)求m 的取值范围；
(2)若x 1、x 2满足等式x 1x 2-x 1-x 2+1=0，求m 的值.
15.(2018·孝感)已知关于x 的一元二次方程x 2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x 1，x 2是原方程的两根，且|x 1-x 2
，求m 的值和此时方程的两根.
挑战自我
16.(2018·菏泽)已知：关于x 的一元二次方程kx 2-(4k+1)x+3k+3=0(k 是整数).
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中x 1＜x 2)，设y=x 2-x 1-2，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.
参考答案
课前预习
要点感知 -b a c a
比的相反数 比 预习练习1-1 B
1-2 B
1-3 B
当堂训练
1.B
2.B
3.(1)x 1+x 2=-42-=2，x 1x 2=32-=-32
. (2)原方程整理为x 2-4x-4=0，∴x 1+x 2=4，x 1x 2=-4. (3)原方程整理为5x 2-10x-7=0，x 1+x 2=2，x 1x 2=-
75. 4.∵x 1，x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根，∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=3.
(1)x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-6)2-2×3=30； (2)21x x +12x x =222112x x x x +=303
=10； (3)(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=3+(-6)+1=-2.
5.设x 2-6x+c=0的另一根为x 2，则2+x 2=6，解得x 2=4.
由根与系数的关系，得c=2×4=8.
因此，方程的另一根为4，c 的值为8.
6.(1)由Δ=(k+2)2-4×k ×4
k >0，得k>-1.又∵k ≠0，∴k 的取值范围是k>-1且k ≠0. (2)不存在符合条件的实数k.理由：
设方程kx 2+(k+2)x+
4k =0的两根分别为x 1，x 2，由根与系数的关系有x 1+x 2=2k k
+-， 假设存在，则有-2k k +-=0，解得k=-2. 由(1)知k=-2时，Δ<0，原方程无实数根，∴不存在符合条件的实数k.
课后作业
7.B 8.D 9.D 10.-72
11.9 12.∵关于x 的方程x 2+x+n=0有两个实数根-2，m ，
∴2,2 1.
m n m -=⎧⎨-+=-⎩解得1,2.m n =⎧⎨=-⎩
即m ，n 的值分别是1、-2.
13.∵x 1、x 2是方程x 2-4x+1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=4，x 1·x 2=1.
∴原式=42÷1212
x x x x +=42÷4=4. 14.(1)原方程整理为x 2-5x+6-m=0，∵Δ=b 2-4ac=(-5)2-4×1×(6-m)=1+4m ≥0，∴m ≥-
14. (2)∵x 1+x 2=5，x 1·x 2=6-m ，∴x 1x 2-x 1-x 2+1=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=6-m-5+1=0，∴m=2.
15.(1)∵b 2-4ac=(m+1)2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1+x 2=-(m+3)，x 1·x 2=m+1.
∵|x 1-x 2
(x 1-x 2)2
2，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8，
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，即m 2+2m-3=0，解得m 1=-3，m 2=1.
当m=-3时，原方程化为x 2-2=0，解得x 1
x 2
当m=1时，原方程化为x 2+4x+2=0，解得x 1
x 2
16.(1)根据题意得k ≠0.
∵Δ=(4k+1)2-4k(3k+3)=4k 2-4k+1=(2k-1)2，而k 为整数，
∴2k-1≠0，∴(2k-1)2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)y 是变量k 的函数.
∵x 1+x 2=
41k k +，x 1·x 2=33k k +， ∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=22222(4k 1)1212(2k 1)1(2)k k k k k
++--==-. ∵k 为整数，∴2-
1k
＞0，而x 1＜x 2， ∴x 2-x 1=2-1k ，∴y=2-1k -2=-1k (k ≠0且k 为整数)， ∴y 是变量k 的函数.。