2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(天津卷,含解析)
2015高考数学真题 天津理科
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð（ ）.A.{}2,5B.{}3,6C.{}2,5,6D.{}2,3,5,6,82. 设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩……… ，则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）.A. 3B. 4C. 18D. 403. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）. A.10- B.6 C.14 D.184. 设x ∈R ，则“21x -< ”是“220x x +->”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若2CM =，4MD =，3CN = ，则线段NE 的长为（ ）.A.83B.3C.103D.526. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）.A.2212128x y -= B.2212821x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= O NM E D CBA.7. 已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<8. 已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩… 函数()()2g x b f x =-- ，其中b ∈R ，若函数 ()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）.A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.9. i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11. 曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .12. 在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 . 13. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为 . 14. 在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠= ，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且BE BC λ=，19DF DC λ=，则AE AF ⋅的最小值为 .正视图侧视图俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分13分）已知函数()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1BC 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD . （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），*n ∈N ，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列. （1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项19. （本小题满分14分）已知椭圆()2222+=10x y a b a b >>的左焦点为(),0F c -，，点MN MA 1B 1C 1D 1DBA在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，=3FM .（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数(),nf x nx x x =-∈R ，其中*n ∈N ，2n ….（1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x …；（3）若关于x 的方程()f x a =（a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：2121ax x n-<+-.。
15年高考真题——理科数学(天津卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津）卷数学（理科） 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U AB =ð ( ) （A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）403．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为( )（A ）10- （B ）6 （C ）14 （D ）18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5．如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N 。
若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ） （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）526．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()||21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f = ，()2log 5b f =，()2c f m =，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<8．已知函数()()()()22||222x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）()74,+∞ （B ）(),74-∞ （C ）()0,74 （D ）()74,2二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 。
2015高考试题—— 数学理(天津卷)Word版
绝密★启封前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：∙如果时间A，B互斥，那么∙如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B)∙柱体的体积公式V=Sh，∙椎体的体积公式V=13Sh其中S表示柱体的地面面积，其中S表示椎体的地面面积 H表示柱体的高 . h表示椎体的高.一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，集合A=｛2，3，5，6｝，集合B=｛1，3，4，6，7｝，则集合A CUB=（A）{2,5} (B)｛3，6｝（ C）｛2，5，6｝（D）｛2，3，5，6，8｝（2）设变量x,y满足约束条件则目标函数Z=x+6y的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40(3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(A)-10 (B)6 (C)14 (D)18(4)设x=R，则“| x-2 |<1”是“x²+x-2>0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2,MD=4，CN=3，则线段NE的长为（A）（B）3 （C）（D）（6）已知双曲线—=1 （a>0,b>0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的个焦点在抛物线=4x的准线上，则双曲线的方程为（A）—=1 （B）—=1（C）—=1 （C）—=1（7）已知定义在R上的函数f（x）=2|1-m|-1（m为实数）为偶函数，记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f（2m），则a，b，c的大小关系为(A) a＜b＜c (B ) a＜c＜b (C) c＜a＜b (D)c＜b＜a（8）已知函数F(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R，若函数y=f(X)-g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是（A）（74， +∞）（B）（-∞，74）（C）（0，74）（D）（74，2）第II卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2015年高考理科数学天津卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+.·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A UB =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x x f x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（） D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________. 13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为3152b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为0F c （-,）,3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM .（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 2OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.3 / 142015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图． 4.【答案】A【解析】|2|12113x x x -<⇔-<-<⇔<<1；数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 24833CM MD CN ⨯===，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出45 / 14数学试卷 第16页（共42页） 数学试卷 第17页（共42页）数学试卷 第18页（共42页）18【解析】19DF DC λ=，ABC ∠，12DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-== AE AB BE AB BC λ=+=+，1919AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ-+=++=++=+，22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 1179218921818λλλ+=92λ3时，AE AF 有最小值，最小值为18数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， MN ⊄平面ABCD 平面ABCD ．（Ⅱ）(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即220y z +==，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =9 / 14设(,n x y =2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又(0,1,2)AB =不妨设1z =，可得(0,n =-12210,10||||n n n n n n ==-310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设AE A B λ=，其中从而(1,2,1)NE =-，又(0,0,1)n =为平面由已知得cos ,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，个法向量与MN 的数量积为（Ⅱ）通过计算平面（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有22c a =试卷 第35页（共42页）数学试卷 第36页（共42页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝23c ，2b =13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。
普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =I ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为 （A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . （14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =, 12,5AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面；(II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。
2015天津高考数学(理科)试题(卷)与图片版答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合 为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。
全国高考理科数学试题word详解答案版天津卷
2015年全国高考理科数学试题word详解答案版-天津卷2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么·如果事件 A，B 相互独立，P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积，h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集，集合，集合，则集合A∩C u B=（A）（B）（C）（D）（2）设变量x,y 满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）3（B）4（C）18（D）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）（B）6 （C）142（D）18 （4）设，则是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，M,N 是弦AB 的三等分点，弦CD,CE分别经过点M,N .若，则线段NE 的长为（A）8 3 （B）3 （C）10 3（D）5 2x2y2（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为x2y2x2y2（B）（A）28212128x2y2x2y2（D）（C）3443（7）已知定义在R 上的函数（m 为实数）为偶函数，记，则a,b,c 的大小关系为（A） c （B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则b的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m. 3（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（12）在的展开式中，的系数为（13）在中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知ABC的面积为，6则a 的值为4（14）在等腰梯形ABCD 中,已知动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且，EAF的最小值为 . 则三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求f(x)最小正周期；(II)求f(x)在区间上的最大值和最小值16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱底面2，且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(I)求证：MN∥平面ABCD(II)求二面角D1-AC-B1的正弦值；(III)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段A1E的长 318. （本小题满分13分）已知数列{an}满足为实数，且，，且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(I)求q的值和{an}的通项公式；(II)设log2a2n的前n项和，求数列｛bn｝x2y219. （本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点为F（-c,0）,离心率为，点ab3b4M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，. 422(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FPOP（O为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数，其中(I)讨论f(x)的单调性；(II)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有；(III)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1，x2，求证：|x2-x1|<a+2. 1-n绝密★启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
2015年高考理科数学天津卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试天津理科数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B ). 如果事件A ,B 相互独立,那么P (AB )=P (A )P (B ).柱体的体积公式V=Sh ,其中S 表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高.锥体的体积公式V=1Sh ,其中S 表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015天津,理1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A ∩∁U B= ( ) A .{2,5} B .{3,6} C .{2,5,6} D .{2,3,5,6,8} 答案:A解析:由题意可知∁U B={2,5,8},则A ∩∁U B={2,5}.故选A .2.(2015天津,理2)设变量x ,y 满足约束条件 x +2≥0,x −y +3≥0,2x +y −3≤0,则目标函数z=x+6y 的最大值为( )A .3B .4C .18D .40 答案:C解析:画出题中约束条件满足的可行域,如图中阴影所示,将目标函数化为y=-16x+z 6,结合图象可知,当目标函数线平移到过点A (0,3)时,z 取得最大值,最大值为18.故选C .3.(2015天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A .-10B .6C .14D .18答案:B解析:第一次循环,i=2,S=20-2=18,不满足判断框条件,进入循环体;第二次循环,i=4,S=18-4=14,不满足判断框条件,进入循环体;第三次循环,i=8,S=14-8=6,满足判断框条件,结束循环,输出S.因此,输出S 的值为6. 4.(2015天津,理4)设x ∈R ,则“|x-2|<1”是“x 2+x-2>0”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案:A解析:因为|x-2|<1等价于1<x<3,x 2+x-2>0等价于x<-2或x>1,所以“|x-2|<1”是“x 2+x-2>0”的充分而不必要条件. 5.(2015天津,理5)如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE 的长为( ) A .83 B .3C .103D .52答案:A解析:由相交弦定理,得CM ·MD =AM ·MB ,CN ·NE =AN ·NB .因为M ,N 是弦AB 的三等分点, 所以AM=MN=NB ,MB=AN. 所以AM ·MB=AN ·NB. 所以CM ·MD=CN ·NE ,即2×4=3·NE ,解得NE=83.6.(2015天津,理6)已知双曲线x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( ) A .x 221−y 228=1 B .x 228−y 221=1 C .x 2−y 2=1 D .x 2−y 2=1 答案:D解析:因为双曲线x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b x ,所以2b = 3. ① 又因为抛物线y 2=4 x 的准线为x=- ,所以c= a 2+b 2= 7. ②由①②,得a 2=4,b 2=3.故所求双曲线的方程为x 2−y 2=1.7.(2015天津,理7)已知定义在R 上的函数f (x )=2|x-m|-1(m 为实数)为偶函数.记a=f (log 0.53),b=f (log 25),c=f (2m ),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a<b<c B .a<c<b C .c<a<b D .c<b<a 答案:C解析:因为函数f (x )=2|x-m|-1为偶函数,所以对任意的x ∈R ,都有f (-x )=f (x ),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1对∀x ∈R 恒成立,所以m=0,即f (x )=2|x|-1.所以f (x )在[0,+∞)上为增函数.又f (log 0.53)=f (-log 23)=f (log 23),f (2m )=f (0), 且0<log 23<log 25,所以f (0)<f (log 23)<f (log 25),即f (2m )<f (log 0.53)<f (log 25).所以c<a<b.8.(2015天津,理8)已知函数f (x )= 2−|x |,x ≤2,(x −2)2,x >2,函数g (x )=b-f (2-x ),其中b ∈R ,若函数y=f (x )-g (x )恰有4个零点,则b 的取值范围是( ) A . 74,+∞ B . −∞,74C . 0,74D . 74,2答案:D解析:由f(x)=2−|x|,x≤2,(x−2)2,x>2,得f(x)=2+x,x<0,2−x,0≤x≤2,(x−2)2,x>2,f(2-x)=2+2−x,2−x<0,2−(2−x),0≤2−x≤2,(2−x−2)2,2−x>2=x2,x<0,x,0≤x≤2,4−x,x>2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0, 2,0≤x≤2,x2−5x+8,x>2.因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.由图可知,当b∈74,2时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2015天津,理9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案:-2解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2.10.(2015天津,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.答案:8π3解析:由题中三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱组成,其体积V=2×1×π×12×1+π×12×2=8π.11.(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案:1解析:在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由y=x2,y=x,得x=0,y=0或x=1,y=1.故所求面积S=10(x-x2)d x=12x2−13x31=16.12.(2015天津,理12)在 x −14x 6的展开式中,x 2的系数为 .答案:1516解析:由题意知T r+1=C 6r x 6-r· −14xr=C 6r ·x 6-2r· −14r .令6-2r=2,可得r=2.故所求x 2的系数为C 62−142=1516. 13.(2015天津,理13)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知△ABC 的面积为3 ,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为 . 答案:8解析:∵S △ABC =12bc sin A=12bc 1−cos 2A =12bc×154=3 15,∴bc=24.又b-c=2,∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A=(b-c )2+2bc-2bc× −1=4+2×24+1×24=64. ∵a 为△ABC 的边,∴a=8.14.(2015天津,理14)在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE=λBC ,DF =1DC ,则AE ·AF 的最小值为 . 答案:29解析:由题意作图如图,则AE =BE −BA =λBC −BA ,AF =DF −DA =DC9λ−DA .∵四边形ABCD 是等腰梯形,易知DC=1AB=1,AD=BC=1,∠ABC=60°,∴∠DCB=120°,且λ>0.∴AF ·AE = DC9λ−DA ·(λBC −BA )=DC ·BC9−DC ·BA9λ-λDA ·BC +DA ·BA=19×1×1×cos 120°-19λ×1×2×cos 180°-λ×1×1×cos 120°+1×2×cos 60°=-1+2+λ+1 =17+2+λ≥17+2 2×λ=29, 当且仅当λ=23时等号成立.故应填2918.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)(2015天津,理15)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2 x −π,x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间 −π,π 上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有f (x )=1−cos2x −1−cos 2x−π3 =1 1cos2x + 3sin2x −1cos 2x= 3sin 2x-1cos 2x=1sin 2x −π.所以,f (x )的最小正周期T=2π=π.(2)因为f (x )在区间 −π,−π6 上是减函数,在区间 −π,π 上是增函数,f −π =-1,f −π =-1,f π= 3.所以,f (x )在区间 −π,π 上的最大值为 3,最小值为-1.16.(本小题满分13分)(2015天津,理16)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解:(1)由已知,有P (A )=C 22C 32+C 32C 32C 84=6. 所以,事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=k )=C 5k C 34−k C 84(k=1,2,3,4).所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=1×1+2×3+3×3+4×1=5.17.(本小题满分13分)(2015天津,理17)如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,AB ⊥AC ,AB=1,AC=AA 1=2,AD=CD= 5,且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点. (1)求证:MN ∥平面ABCD ;(2)求二面角D 1-AC-B 1的正弦值;(3)设E 为棱A 1B 1上的点,若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1,求线段A 1E 的长. 解:如图,以A 为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A (0,0,0),B (0,1,0),C (2,0,0),D (1,-2,0),A 1(0,0,2),B 1(0,1,2),C 1(2,0,2),D 1(1,-2,2).又因为M ,N 分别为B 1C 和D 1D 的中点,得M 1,12,1 ,N (1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量.MN= 0,−5,0 . 由此可得MN ·n =0,又因为直线MN ⊄平面ABCD ,所以MN ∥平面ABCD.(2)AD 1 =(1,-2,2),AC=(2,0,0). 设n 1=(x 1,y 1,z 1)为平面ACD 1的法向量,则 n 1·AD 1 =0,n 1·AC=0,即 x 1−2y 1+2z 1=0,2x 1=0.不妨设z 1=1,可得n 1=(0,1,1).设n 2=(x 2,y 2,z 2)为平面ACB 1的法向量, 则 n 2·AB 1 =0,n 2·AC=0,又AB 1 =(0,1,2),得 y 2+2z 2=0,2x 2=0.不妨设z 2=1,可得n 2=(0,-2,1). 因此有cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=- 1010, 于是sin <n 1,n 2>=3 1010.所以,二面角D 1-AC-B 1的正弦值为3 10.(3)依题意,可设A 1E =λA 1B 1 ,其中λ∈[0,1],则E (0,λ,2),从而NE=(-1,λ+2,1).又n =(0,0,1)为平面ABCD 的一个法向量,由已知,得cos <NE ,n >=NE·n|NE|·|n |= (−1)+(λ+2)+1=13,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ= 7-2.所以,线段A 1E 的长为 7-2.18.(本小题满分13分)(2015天津,理18)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式; (2)设b n =log 2a 2na 2n−1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由已知,有(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3,所以a 2(q-1)=a 3(q-1).又因为q ≠1,故a 3=a 2=2,由a 3=a 1·q ,得q=2.当n=2k-1(k ∈N *)时,a n =a 2k-1=2k-1=2n−12;当n=2k (k ∈N *)时,a n =a 2k =2k =2n2.所以,{a n }的通项公式为a n = 2n−12,n 为奇数,2n2,n 为偶数. (2)由(1)得b n =log 2a 2n a 2n−1=n2n−1.设{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12n−2+n×12n−1,1S n =1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12n−1+n×1n , 上述两式相减,得12S n =1+12+122+…+12n−1−n 2n=1−12n1−12−n 2n =2-22n −n2n, 整理得,S n =4-n +22n−1.所以,数列{b n }的前n 项和为4-n +22n−1,n ∈N *.19.(本小题满分14分)(2015天津,理19)已知椭圆x 22+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F (-c ,0),离心率为 3,点M 在椭圆上且位于第一象限,直线FM 被圆x 2+y 2=b2截得的线段的长为c ,|FM|=4 3.(1)求直线FM 的斜率; (2)求椭圆的方程;(3)设动点P 在椭圆上,若直线FP 的斜率大于 2,求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围. 解:(1)由已知有c 22=1,又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=3c 2,b 2=2c 2.设直线FM 的斜率为k (k>0),则直线FM 的方程为y=k (x+c ).由已知,有 k +12+ c 2 2= b 22,解得k= 33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2+y 22c 2=1,直线FM 的方程为y= 33(x+c ),两个方程联立,消去y ,整理得3x 2+2cx-5c 2=0,解得x=-5c ,或x=c.因为点M 在第一象限,可得M 的坐标为 c ,2 3c .由|FM|= (c +c )2+2 3c −0 2=4 3,解得c=1,所以椭圆的方程为x 2+y 2=1. (3)设点P 的坐标为(x ,y ),直线FP 的斜率为t ,得t=y,即y=t (x+1)(x ≠-1),与椭圆方程联立 y =t (x +1),x 2+y 2=1,消去y ,整理得2x 2+3t 2(x+1)2=6.又由已知,得t=6−2x 23(x +1)2> 2,解得-32<x<-1,或-1<x<0.设直线OP 的斜率为m ,得m=y x,即y=mx (x ≠0),与椭圆方程联立,整理可得m 2=2x 2−23. ①当x ∈ −3,−1 时,有y=t (x+1)<0,因此m>0,于是m= 22−2,得m ∈ 2,2 3 .②当x ∈(-1,0)时,有y=t (x+1)>0,因此m<0,于是m=- 22−2,得m ∈ −∞,−2 3. 综上,直线OP 的斜率的取值范围是 −∞,−2 33 ∪ 23,2 33. 20.(本小题满分14分)(2015天津,理20)已知函数f (x )=nx-x n ,x ∈R ,其中n ∈N *,且n ≥2.(1)讨论f (x )的单调性;(2)设曲线y=f (x )与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为y=g (x ),求证:对于任意的正实数x ,都有f (x )≤g (x );(3)若关于x 的方程f (x )=a (a 为实数)有两个正实数根x 1,x 2,求证:|x 2-x 1|<a+2.(1)解:由f (x )=nx-x n,可得f'(x )=n-nx n-1=n (1-x n-1),其中n ∈N *,且n ≥2.下面分两种情况讨论:①当n 为奇数时,令f'(x )=0,解得x=1,或x=-1.当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:所以,f (x )在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增. ②当n 为偶数时,当f'(x )>0,即x<1时,函数f (x )单调递增; 当f'(x )<0,即x>1时,函数f (x )单调递减.所以,f (x )在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)证明:设点P 的坐标为(x 0,0),则x 0=n 1n−1,f'(x 0)=n-n 2.曲线y=f (x )在点P 处的切线方程为y=f'(x 0)(x-x 0),即g (x )=f'(x 0)(x-x 0).令F (x )=f (x )-g (x ),即F (x )=f (x )-f'(x 0)(x-x 0),则F'(x )=f'(x )-f'(x 0).由于f'(x )=-nx n-1+n 在(0,+∞)上单调递减,故F'(x )在(0,+∞)上单调递减.又因为F'(x 0)=0,所以当x ∈(0,x 0)时,F'(x )>0,当x ∈(x 0,+∞)时,F'(x )<0,所以F (x )在(0,x 0)内单调递增,在(x 0,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x ,都有F (x )≤F (x 0)=0,即对于任意的正实数x ,都有f (x )≤g (x ). (3)证明:不妨设x 1≤x 2.由(2)知g (x )=(n-n 2)(x-x 0).设方程g (x )=a 的根为x'2,可得x'2=a2+x 0. 当n ≥2时,g (x )在(-∞,+∞)上单调递减.又由(2)知g (x 2)≥f (x 2)=a=g (x'2),可得x 2≤x'2.类似地,设曲线y=f (x )在原点处的切线方程为y=h (x ),可得h (x )=nx.当x ∈(0,+∞),f (x )-h (x )=-x n <0,即对于任意的x ∈(0,+∞),f (x )<h (x ).设方程h (x )=a 的根为x'1,可得x'1=an.因为h (x )=nx 在(-∞,+∞)上单调递增,且h (x'1)=a=f (x 1)<h (x 1),因此x'1<x 1.由此可得x 2-x 1<x'2-x'1=a+x 0.因为n ≥2,所以2n-1=(1+1)n-1≥1+C n−11=1+n-1=n ,故2≥n 1n−1=x 0.所以,|x 2-x 1|<a+2.。
2015年高考理数真题试卷(天津卷)
第1页，总15页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2015年高考理数真题试卷（天津卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)1. （2015·天津）已知全集，集合，集合，则集合( ) A . B .C .D .2. （2015·天津）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2015·天津）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A .B .C .D .4. (2015·天津)如图，在圆中，，是弦的三等分点，弦,分别经过点,.若，则线段的长为()答案第2页，总15页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B . 3C .D .5. （2015·天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A . -10B . 6C . 14D . 186. （2015·天津）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A . 3B . 4C . 18D . 407. （2015·天津）设，则“”是“”的( )A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件。
普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U AB =ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 （2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52ED O A B MN C（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为 （A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m.（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . （14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =, 12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD 平面；(II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(天津卷) word版
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩C u B=（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE的长为（A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（C ）70,4⎛⎫⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .（12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC和DC上,1,,9BE BC DF DC AE AF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g 且则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证： MN ∥平面ABCD(II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+-.2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
2015年高考真题——理科数学(天津卷)(含答案解析)
2015年高考真题——理科数学（天津卷）（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习2015年高考真题——理科数学（天津卷）（含答案解析）1 已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）【答案解析】 A试题分析：,所以，故选A.考点：集合运算.2 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案解析】 C试题分析:不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值18.考点：线性规划.3 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（A）（B）6 （C）14 （D）18【答案解析】 B试题分析：模拟法：输入；不成立；不成立成立输出,故选B.考点：程序框图.4 设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案解析】 A试题分析：,或，所以“”是的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件与必要条件.5 如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点 .若，则线段的长为（A）（B）3 （C）（D）【答案解析】 A试题分析：由相交弦定理可知，，又因为是弦的三等分点，所以，所以，故选A.考点：相交弦定理.6 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案解析】 D试题分析：双曲线的渐近线方程为由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，所以，由此可解的，所以双曲线方程为，故选D.考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.7 已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案解析】 C试题分析：因为函数为偶函数，所以，即，所以所以，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.8 已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案解析】 D试题分析：由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.9 是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 .【答案解析】试题分析：是纯度数，所以，即.考点：1.复数相关定义；2.复数运算.10 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为 .【答案解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为，高为的圆柱，两端是底面半径为，高为的圆锥，所以该几何体的体积. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.11 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 .【答案解析】试题分析：两曲线的交点坐标为，所以它们所围成的封闭图形的面积.考点：定积分几何意义.12 在的展开式中，的系数为 .【答案解析】试题分析：展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.考点：二项式定理及二项展开式的通项.13 在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 .【答案解析】试题分析：因为，所以，又，解方程组得，由余弦定理得，所以.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.14 在等腰梯形中,已知 ,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为 .【答案解析】试题分析：因为，，，，当且仅当即时的最小值为.考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.15 已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.【答案解析】 (I); (II) ,.试题分析：(I)利用两角和与差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化简函数的解析式，由三角函数性质可求最小正周期，(II)先写出函数的单调区间，即可求函数的最大值与最小值。
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输出 6 ,故选 B.
（4）设 x R ，则“ x 2 1 ”是“ x2 x 2 0 ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：充分条件与必要条件.
（ 5 ） 如 图 ， 在 圆 O 中 ， M , N 是 弦 AB 的 三 等 分 点 ， 弦 CD,CE 分 别 经 过 点 M , N . 若
2 2 x (x 2)2, x 2
x2 x 2, x 0
即 y f (x) f (2 x) 2,
0 x 2
x2
5x
8,
x
2
y f (x) g(x) f (x) f (2 x) b ,所以 y f x g x 恰有 4 个零点等价于方程
f (x) f (2 x) b 0 有 4 个不同的解，即函数 y b 与函数 y f (x) f (2 x) 的图象的 4 个公共点， 由图象可知 7 b 2 .
18
18
AE AF
AB BC
1 9 18
AB
BC
1 9 18
2
AB
BC 2
1
1 9 18
AB
BC
1 9 4 19 9 2 1 cos120 2 1 17 2 2 1 17 29
18
18
9 2 18 9 2 18 18
当且仅当 2 1 即 2 时 AE AF 的最小值为 29 .
（ 13 ） 在 ABC 中 ， 内 角 A, B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b, c ， 已 知 ABC 的 面 积 为 3 1 5 ，
b c 2,cos A 1 , 则 a 的值为
.
4
【答案】 8
【解析】
试题分析：因为 0 A ，所以 sin A 1 cos2 A 15 ， 4
y f x g x 恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是
（A）
7 4
,
（B）
,
7 4
（C）
0,
7 4
（D）
7 4
,
2
【答案】D
【解析】
试题分析：由
f
x
2 x ,
x 22
x ,
2, x 2,
得
f
(2
x)
2
x2
,
2
x
,x x
0
，
0
2 x x2,
x0
所以 y f (x) f (2 x) 4 x 2 x , 0 x 2，
中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生
的概率； (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【答案】(I) 6 ; 35
(II) 随机变量 X 的分布列为
1 3 1 2,
b f log2 5 2log2 5 1 4,c f 2m f (0) 20 1 0
所以 c a b ，故选 C.
考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
（8）已知函数
f
x
2 x ,
x 22
x 2, , x 2
,
函
数
g
x
b
f2
x
， 其 中 bR ， 若 函 数
.
【答案】 2
【解析】
试题分析： 1 2ia i a 2 1 2ai 是纯度数，所以 a 2 0 ，即 a 2 .
考点：1.复数相关定义；2.复数运算.
（ 10 ） 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 （ 单 位 ： m ）， 则 该 几 何 体 的 体 积 为
m3 .
.
【答案】 1 6
【解析】
试题分析：两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1) ，所以它们所围成的封闭图形的面积
S
1 0
x x2
dx
1 2
x2
1 3
x3
1 0
1 6
.
考点：定积分几何意义.
（12）在
x
1 4x
6
的展开式中， x2 的系数为
.
【答案】 15 16
考点：二项式定理及二项展开式的通项.
BC 和 DC 上,且, BE BC, DF 1 DC, 则 AE AF 的最小值为
.
9
【答案】 29 18
【解析】
试题分析：因为 DF 1 DC, DC 1 AB ，CF DF DC 1 DC DC 1 9 DC 1 9 AB ，
9
2
9
9
18
AE AB BE AB BC ， AF AB BC CF AB BC 1 9 AB 1 9 AB BC ，
9 2
3
18
DF C E
A
B
考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.
（本小题满分 13 分）已知函数
f
x sin2
x
sin
2
x
6
，
x
R
(I)求 f (x) 最小正周期；
(II)求 f (x) 在区间[- p , p ] 上的最大值和最小值. 34
(II)求二面角 D1-AC - B1 的正弦值；
(III)设
E
为棱
A1B1
上的点，若直线
NE
和平面
ABCD
所成角的正弦值为
1 3
，求线段
A1E
的长
【答案】(I)见解析； (II) 3 10 ； (III) 7 2 . 10
【解析】
试题分析：以 A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法向量，两个向 量的乘积等于 0 即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦 值即可；(III) 设 A1E A1B1 ，代入线面角公式计算可解出 的值，即可求出 A1E 的长. 试题解析：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0), B(0,1,0),C(2,0,0), D(1, 2,0) ，
A1(0,0,2), B1(0,1,2),C1(2,0,2), D1(1, 2,2) ，又因为 M , N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，得
M
1,
1 2
,1
,
N
(1,
2,1)
.
(I)证明：依题意，可得
n
(0, 0,1)
为平面
ABCD
的一个法向量，
MN
0,
5 2
,0
，
由此可得， MN n 0 ，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 MN // 平面 ABCD
（1）已知全集U 1, 2,3, 4,5,6,7,8 ，集合 A 2,3,5,6 ，集合 B 1,3, 4,6,7 ，则集合 A ðU B
（A）2,5 （B）3,6 （C）2,5,6 （D）2,3,5,6,8
【答案】A 【解析】
试题分析： ðU B {2,5,8},所以 A ðU B {2,5} ，故选 A.
又
SABC
1 2
bc sin
A
15 bc 3 8
15,bc
24
，解方程组
b c bc
2 24
得
b
6,
c
4
，由余弦定理得
a2
b2
c2
2bc cos
A
62
42
26
4
1 4
64
，所以
a
8
.
考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.
（14）在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / /DC, AB 2, BC 1,ABC 60 ,动点 E 和 F 分 别在线段
(II)随机变量 X 的所有可能取值为1,2,3,4
PX
k
C5kC34k C84
(k
1,2,3,4)
所以随机 变量 X 的分布列为
X 1 23 4
1 33 1 P
14 7 7 14
所以随机变量 X 的数学期望 E X 1 1 2 3 3 3 4 1 5
14 7 7 14 2
考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望.
EX 5
2
【解析】
X 1 23 4 P 1 33 1
14 7 7 14
试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量 X 的所有可能值，求出其相应的概
率，即可求概率分布列及期望.
试题解析：(I)由已知，有
P(A)
C22C32 C32C32 C84
6 35
所以事件 A 发生的概率为 6 . 35
(II) AD1 (1, 2,2), AC (2,0,0) ，设 n1 (x, y, z) 为平面 ACD1 的法向量，则
34
43
【答案】D
考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.
（ 7 ） 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 2xm 1 （ m 为 实 数 ） 为 偶 函 数 ， 记
a f (log0.5 3),b f log2 5,c f 2m ，则 a,b, c 的大小关系为
CM 2, MD 4,CN 3 ，则线段 NE 的长为
（A） 8 3
D
（B）3
（C） 10 3