2020全国高考理科数学冲刺试题及答案
2020届百师联盟高三冲刺卷(三)全国I卷理科数学试卷(解析版)
2020届高三冲刺考（三）全国卷理科数学试卷注意事项：1、答卷关，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1i1ia z -=+是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1-C. 0D. ±1【答案】A 【解析】 【分析】将复数化简为z m ni =+的形式，若复数z 为纯虚数，则0m =，且0n ≠，可解得a 的值. 【详解】()()()()1i 1i 1i 11i 1i 1i 1i 22a a a az ----+===-++-， 因为复数z 是纯虚数，故102a-=，102a +-≠， 解得1a =. 故选：A.【点睛】本题考查复数的分母实数化运算和纯虚数的定义，考查了学生的运算求解能力和理解辨析能力，是基础题.2.已知集合{}22|1A x x y =+=，集合{|B y y ==，则A B =I （ ）A. []1,1-B. []0,1C. []1,0-D. ()1,1-【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质，函数的值域，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】集合{}{}22|1|11A x x y x x =+==-≤≤，集合{}{}||0B y y x y y ===≥，所以[]0,1A B =I . 故选：B【点睛】本题考查了函数的值域，考查了集合的交集运算，运算数学运算能力. 3.在等比数列{}n a 中，561a a =，899a a =，则410a a 等于（ ） A. 9 B. 3± C. 3-D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的下标的性质进行求解即可【详解】由等比数列性质，得()256894109a a a a a a ⋅==，因为2641040a a a q ⋅=⋅>，解得4103a a =.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的下标性质，考查了数学运算能力. 4.函数()e ln xf x x x =在[)(]1,00,1-⋃上的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】本题可通过排除法找函数图像，先判断原函数是否具有奇偶性，再利用特殊值法可得出正确的选项. 【详解】因为()()f x f x ≠-，()()f x f x ≠--， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除选项B ，C ；又因为1eln 2022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，若特值法无法选出正确选项，则考查利用导数求函数的单调性判断函数图像，着重考查推理论证和运算求解的能力，是基础题.5.刘徽是我国古代伟大的数学家，他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝，他创立的“割圆术”理论上能把π的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，如图，从正六边形开始，依次将边数增倍，使误差逐渐减小，当圆内接正三百六十边形时，由“割圆术”可得圆周率π的近似值为（ ）A. 360cos1︒B. 180cos1︒C. 360sin1︒D. 180sin1︒【答案】D 【解析】 【分析】圆内接正三百六十边形可以看成由360个顶角为1︒的等腰三角形构成，腰长与圆的半径相等，利用圆内接正三百六十边形的面积与圆的面积近似相等，计算π的近似值. 【详解】设圆的半径为1，当圆内接正三百六十边形时，每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1，顶角为1︒的等腰三角形， 则圆内接正多边形的面积为111sin1360180sin12S =⨯⨯⨯︒⨯=︒， 圆的面积为π，用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积， 即有180sin1π︒=. 故选：D.【点睛】本题利用“割圆术”计算圆周率π的近似值，需要仔细阅读题干，理解“割圆术”的概念，考查学生的理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.6.实数x ，y 满足不等式组210,230,30x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则22z x y=+最小值为（ ）A. 1 4B.355C.5D.15【答案】D【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，根据目标函数的几何意义，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】作出可行域如图中阴影部分所示，22z x y=+的几何含义为过原点到阴影区域内的点距离的最小值的平方，易知原点到直线210x y-+=的距离()()2202011521d⨯+⨯-+==+-，即原点到阴影区域的最小值，而215d=，则22z x y=+的最小值为15.故选：D【点睛】本题考查了利用几何意义求目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 7.若双曲线()222104y xaa-=>的渐近线与抛物线2112y x=+相切，则a=（）A. 22B. 2C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】可以设切点为2001,12x x⎛⎫+⎪⎝⎭，由y x'=，所以切线方程为()2000112y x x x x⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即200112y x x x=-+．因为已知双曲线的渐近线为2a ay x xb=±=±，所以2110,22xax⎧-+=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩解得22a=故选：A【点睛】本题考查了抛物线的切线问题，考查了数学运算能力.8.二项式62x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ） A. 80 B. 60 C. 30 D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的通项公式366221662C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 令36042r r -=⇒=，所以常数项4256C 260T =⋅=. 故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式的通项公式的应用，考查了数学运算能力. 9.在平面直角坐标系中，x 轴负半轴上有4个点，y 轴负半轴上有3个点，将x 轴负半轴上这4个点和y 轴负半轴上这3个点连成12条线段，这12条线段在第三象限内的交点最多有（ ） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形的构造方法，结合组合的知识进行求解即可.【详解】易知x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点在第三象限，适合题意．而这样的四边形共有2243C C 18⋅=个，于是最多有18个交点.故选：C【点睛】本题考查了组合的应用，考查了数学运算能力.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，2BC =，点P 为BC 中点，现有一只蚂蚁欲从点P 沿长方体的表面爬行到点1A 觅食，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A. 2B. 3C.5 D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体展开的方式，结合勾股定理分类讨论求解即可.【详解】如图，将长方体1111ABCD A B C D -展开，由于两点之间线段最短，故点P 到点1A 应取直线段，图中路线①的长度221125d =+=，路线②的长度2224117d =+=，路线③的长度223215d =+=，路线④的长度224125d =+=，所以蚂蚁爬行的最短距离为5d =.故选：C【点睛】本题考查了长方体表面上路径最短问题，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力和空间想象能力. 11.已知)2,0P，曲折C ：4216x y =与直线l ：x a =（0a >且2a ≠A ，B 两点，则PAB△的周长的最小值为（ ） A. 22 B. 32C.31D.21【答案】B 【解析】 【分析】化简曲线的方程，可利用抛物线定义将长度进行转化，得出PAB △的周长的最小值. 【详解】易知曲线C 是由两抛物线24x y =和24x y =-构成， 如图，设AB 与x 轴交于点D ，抛物线24x y =的焦点为F ，连接AF ，PF ，则()0,1F ，PAB △的周长()()())22121231c AP AD AP AF PF =+=+-≥-=，当F ，A ，P 的三点共线时取等号.故选:B.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，抛物线的性质，考查数形结合和求解运算的能力，是中档题. 12.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c 若sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C--=++且3ab =则ABC V 面积的最大值为（ ）A. 1B.34C.12D.3 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可【详解】因为sin sin sin sin sin sin sin sin A C C BB C A C --=++，由正弦定理得，a c c bb c a c--=++，即2222a b c +=，由余弦定理 222222222212cos 22442a b a b a b c a b ab C ab ab ab ab ++-+-+===≥=， 当且仅当2223a b c ===0,3C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，3sin C ≤， 则1133sin 3224ABC S ab C =≤=△， 所以ABC V 面积的最大值34.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分．13.已知向量()1,1a =-r，n ⎛= ⎝⎭r b ，若a b ⊥r r，则+=r a b __________.【答案】2 【解析】 【分析】利用两向量垂直数量积等于0得出b r的坐标，再计算出()a +r的坐标，最后利用坐标计算+r a .【详解】因为a b ⊥r r0n n -=⇒=()0,2a =r ，所以2a =r .故答案为：2.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算和向量的模的坐标运算，考察了学生的求解运算能力，是基础题.14.若关于x 的不等3a x -<成立的必要不充分条件是25x -≤≤，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[]1,2 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义，结合集合间的关系、绝对值的不等式解法进行求解即可. 【详解】由3a x -<得，33a x a -<<+，依题意有集合{}|33x a x a -<<+是集合{}|25x x -≤≤的真子集，所以满足32,35,a a -≥-⎧⎨+≤⎩解得12a ≤≤，则实数a 的取值范围是[]1,2．故答案为：[]1,2【点睛】本题考查了已知必要不充分条件求参数取值范围问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了数学运算能力.15.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，其一个对称中心为5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x =__________；把()y f x =的图象向左平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()()y f x g x =+最小值为__________．（第1空2分，第2空3分） 【答案】 (1). sin 26x 骣琪+琪桫p(2). 1- 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式和对称性可以求出()f x 的解析式，再利用正弦型函数图象的变换性质可以求出()y g x =的解析式，最后利用余弦型函数的性质，结合两角和的正弦公式和余弦公式求出最值. 【详解】由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， 得22T T ππ=⇒=，所以220,2T πωωω==>∴=Q ，()()sin 2f x x ϕ=+， 又其一个对称中心5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即有5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，则56πk πϕ=-+，k Z ∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()5sin 2cos 263ππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()()sin 2cos 263ππy f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos21x =≥-．故答案为：sin 26x 骣琪+琪桫p；1-． 【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，考查了正弦型函数的图象变换性质，考查了两角和的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力. 16.己知函数()ex af x -=，1x ∃，2x R ∈，使()()()222121221,2F x x x f x x f x =-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)0,+∞ 【解析】 【分析】利用换元法，根据两点距离公式，导数的几何意义，结合存在性的定义、反函数的性质进行求解即可. 【详解】令()2f x t =，则()2ln 0x t a t =+>，则()12,F x x 即为两点()()11,x f x ，(),ln t t a +距离．设点(),1A a ，()1,B a ，因为()x af x e-'=，则函数()x af x e-=在点A 处的切线斜率为()1f a '=，设函数()ln g x x a =+，则()1g x x'=，函数()g x 在点B 处的切线斜率为()11g '=，且1AB k =-，所以结合反函数的知识可得，AB 为()12,F x x 的最小值，所以由题意：当1a ≥时，函数()f x 与函数()g x 图象有交点，满足题意；当1a <时，函数()f x 与函数()g x)1AB a ≥=-，解得01a ≤<；综上0a ≥．故答案为：[)0,+∞．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了反函数的性质，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 4B =. （1）求2sinsin 22A CB ++的值； （2）若b =ABC V 面积的最大值.【答案】（1）58；（2）6. 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数基本关系式求出sin B ，再用降幂公式和正弦倍角化简结果，最后 代入求值；（2）利用余弦定理列出边的等量关系，再用基本不等式得出ac 的最大值. 【详解】（1）因为1cos 4B =，所以sin B ==， 222sin sin 2sin 2sin cos cos 2sin cos 222A C πB BB B B B B +-+=+=+ 1cos 2sin cos 2B B B +=+1114224+=+=； （2）由余弦定理知，22222132cos 22b ac a B a c ac ac =+-=+-≥， 所以22433ac b ≤=，当且仅当233a c ==时取“=”， 则ABC V 的面积1141515sin 22346ABC S ac B =≤⨯⨯=△， 即ABC V 面积的最大值为15. 【点睛】本题考查三角恒等变换，余弦定理解三角形，考查运算求解的能力，是基础题.18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111111122A B A D B C C D ====，1113B D DD ==，点E ，F 分别1CC ，1A D 中点．（1）证明：EF ∥平面1111D C B A ； （2）求二面角111F A B D --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2377【解析】 【分析】（1）取11A D 中点G ，连接FG ，1C G ，根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理的逆定理，结合直棱柱的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：如图，取11A D 中点G ，连接FG ，1C G ， 因为点F ，为1A D 中点， 所以11FG DD CC P P ，且112FG DD =， 因为点E 为1CC 中点， 所以1111122EC CC DD FG ===，即1FG EC ∥，1FG EC =， 所以四边形1FGC E 为平行四边形， 所以1EF C G P ，因为1C G ⊂平面1111D C B A ，EF ⊄平面1111D C B A ， 所以EF P 平面1111D C B A（2）因为111C D =，11B D =112B C =，所以222111111C D B D B C +=，即111B C D △为直角三角形，所以1111B D C D ⊥，因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱， 所以111DD B D ⊥，111DD C D ⊥，以1D 为坐标原点，分别以11D B ，11D C ，1D D 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 可得，()10,0,0D，1,022A ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，)1B，(D ，所以442F ⎛- ⎝⎭，1122A B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r，1,442A F ⎛=- ⎝⎭u u u u r易知平面111A B D 的一个法向量()0,0,1m =，设平面11FA B 的一个法向量(),,n x y z =，则11100A B n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v即0,0,x y x y +=⎨⎪+=⎪⎩可取x ==n ，以1D 为坐标原点，分别以11D B ，11D C ，1D D 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由图可知二面角11F A B -为锐角，设二面角111F A B D --大小为θ，则cos 29θ⋅==⋅m n m n ．【点睛】本题考查了线面平行的证明，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.19.已知点33,2P ⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且椭圆C 的离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若椭圆C 的弦AB 中点在线段OP （不含端点O ，P ）上，求OA OB ⋅u u u r u u u r取值范围． 【答案】（1）22143x y +=（2）3915,124⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 （1）把点33,P ⎭的坐标代入椭圆的标准方程中，根据椭圆离心率公式，结合 222a b c =+进行求解即可；（2）设出点,A B 的坐标，运用点差法求出直线AB 的斜率，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，结合平面向量数量积的坐标表示公式和一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解即可. 【详解】（1）由条件知223314a b+=，12c a =，结合222a b c =+解得2a =，3b =C 的方程为22143x y +=．（2）设点A ，B 的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OP 上，且12OP k =，所以()12122x x y y +=+，又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得，()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，易知120xx -≠，120y y +≠，所以()()121212123342x x y y x x y y +-=-=--+，即32AB k =-．设AB 方程为32y x m =-+，代入22143x y +=并整理得223330x mx m -+-=．由()23120m ∆=->解得212m <，又由(1222x x m+=∈，所以0m << 韦达定理得12x x m +=，21233m x x -=，故121212123322OA OB x x y y x x x m x m ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r()222121239373934212m m x x m x x m --=+-++=．而0m <<OA OB ⋅u u u r u u u r的取值范围是3915,124⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了椭圆离心率公式，考查了平面向量数量积的取值范围，考查了点差法的应用，考查了数学运算能力. 20.已知函数()()11e e 2xx f x a x a -=-∈R ． （1）若0x =为函数()f x 的极值点，求函数()f x 的值域；（2）是否存在a 值，使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）2a e =；函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）2(0,)21e -. 【解析】 【分析】（1）根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可；（2）对原不等式进行变形，构造新函数，根据a 的正负性结合导数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）()()1'1111e e e e e 22x x x x x f x a x f x a x ---=-⇒=-+，由题意可知： ()'100e 022f a a e =⇒-=⇒=，()'11112e e e (1)x x x x x f x x e e x +---=-+=-+，令2'2()1()210xx g x ex g x e =-+⇒=+>，所以()g x 是单调递增函数，而(0)0g =，因此当0x >时，'()(0)0()0,()g x g f x f x >=⇒>单调递增，当0x <时，'()(0)0()0,()g x g f x f x <=⇒<单调递减，所以函数()f x 的最小值为()0f e =，因此函数()f x 的值域为：[),e +∞；（2）()1211e e 1(e )22(1)02xx x x f x ae a x ae a ex ae e ->-⇒->-⇒--->， 设2()(e )22(1)x x g x a ex ae e =---，问题转化为当0x ≥时，()0>g x 恒成立. 当0a =时，()22x g x ex e =-+，显然有(1)220g e e =-+=，不符合题意； 当0a <时，当x →+∞时，22()(e )22(1)[2(1)],()x x x x xexg x a ex ae e e ae ae g x e =---=---∴→-∞Q ，不符合题意； 当0a >时，'2()2(e )22(1)2(e 1)(e 1)x xxxg x a e ae e a =---=+-，当0x ≥时，'()0g x ≥，因此函数()g x 是单调递增函数，因此由0x ≥，可得()(0)(12)2g x g a e ≥=-+，所以当0x ≥时，函数()g x 的最小值为(12)2a e -+，要想在0x ≥时，()0>g x 恒成立，只需22(12)20,002121a e a a a e e -+>⇒<>∴<<--Q ，综上所述：存在a 值，使得不等式()1f x ae >-对任意0x ≥恒成立，取值范围为：2(0,)21e -. 【点睛】本题考查了函数极值的定义，考查了利用导数求函数的最值，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.21.2020年春节即将来临，某市一商家为了在春节期间更好地推销某种商品，决定分析2019年春节期间的销售情况以进行反馈调整，已知该商品去年日营销费用和日销售量的关系如下表所示：并随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查，得到的部分数据如下表所示：（1）求出相关系数r 的大小，并判断去年日销售量y 与日营销费用x 具有哪种线性相关．（规定：若0.4r <为低度线性相关；若0.40.7r <<为显著性相关；若0.71r ≤<线性相关；若0r =为无线性相关．） （2）判断是否有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性． （3）该商家为了在今年春节期间吸引更多的顾客，设计了一个小游戏：顾客可以根据抛一张只有正反面的卡片出现的结果，操控一枚棋子在方格纸上行进，若小棋子最终停在“幸运格”，则可获得购物优惠券2千元，已知卡片出现正，反面的概率分别为23，13，方格纸上标有第0格，第1格，第2…第30格．棋子开始在第0格，顾客每抛一次卡片，棋子向前移动一次．若抛出正面，棋子向前移动一格（从k 到1k +）；若抛出反面，棋子向前移动两格（从k 到2k +），直到棋子移到第29格（“幸运格”）或第30格（“无缘格”）时，游戏结束．设棋子移到第n ()129n ≤≤格的概率为n p ． （ⅰ）试求n p 的通项公式；（ⅱ）并求参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值．参考公式：()()niix x y y r --=∑，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：2.236≈．【答案】（1）线性相关；（2）有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性；（3）（ⅰ）311()(,129)443n n p n N n =+⋅-∈≤≤；（ⅱ）1500元. 【解析】 【分析】（1）利用所给的公式进行计算，结合已知所给的规定进行求解即可；（2）根据题意补全列联表，根据题中所给的公式求出2K 的值，并根据临界值进行判断即可；（3）（ⅰ）先求123,,p p p 的值，再求出数列的递推公式，然后对递推公式进行变形，结合累和法和等比数列前n 项和公式进行求解即可； （ⅱ）运用数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）2345617202423264,2255x y ++++++++====，()()1(24)(1722)(34)(2022)(44)(2422)(54)(2322)(64)(2622)21;niii x x y y =--=--+--+--+--+--=∑===Q因此0.93950r ==≈，所以有0.71r ≤<成立，因此去年日销售量y 与日营销费用x 具有线性相关；（2）因为随机抽取了200名老顾客进行了2020年购买意愿调查，所以根据表中数据所知女性顾客中不愿意继续购买的人数为200100503020---=，因此列联表如下：因为22200(502010030)11.1180120150510.8028K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性； （3）（ⅰ）由题意可得；11232212271222220,,333393333327p p C p ==+⨯==⋅⨯+⨯⨯=，由题意经过分析得：1221(,329)33n n n p p p n N n --=+∈≤≤，变形为： 1121()3n n n n p p p p ----=--，因此数列{}1n n p p --是以32127p p -=-为首项，13-为公比的等比数列，因此3111()(,329)273n n n p p n N n ---=-⋅-∈≤≤， 所以有：1122343()()()()n n n n n n n p p p p p p p p p -----=-+-+-+-L3451111111120()[()][()][()]27327327327327n n n ---=-⋅-+-⋅-+-⋅-++-⋅-+L 3451111120[()()()()]27333327n n n ---=--+-+-++-+L311()[1()]12033127271()3n --⨯--=-⨯+--311()443n =+⋅- 1,2,3n =也适合，因此311()(,129)443n n p n N n =+⋅-∈≤≤；（ⅱ）由题意可知：小棋子最终停在“幸运格”，可获得购物优惠券2千元，而第29格是“幸运格”，所以参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值为：292931120002000[()]1500443p =+⋅-≈元.【点睛】本题考查了线性相关系数的计算，考查了2K 的计算，考查了数学建模能力，考查了累和法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数学期望的计算，考查了数学运算能力.（二）选考题：10分．请考生第22、23题中任选一题．．．．作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请写清题号． 【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,21,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，单位长度相同，曲线C 的极坐标方程为23cos 2ρθρ-=. （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C 的参数方程；（2）已知点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅. 【答案】(1) 10y -+=,12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；(2) 2.【解析】 【分析】（1）利用代入消参的方法的出线l 的直角坐标方程，利用公式转化得出曲线C 的参数方程； （2）点M 在直线l 上，可用直线参数方程参数的几何意义计算MA MB ⋅. 【详解】（1）由已知可得直线l 10y -+=，∵23cos 2ρθρ-=，∴22cos 3ρρθ+=， ∴2223x y x ++=，∴曲线C 的直角坐标方程为()2214x y ++=，∴曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）∵点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭∴点M 的直角坐标为()01，，点M 在直线l 上，设11112A t ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，22112B t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得221142t ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴)2120t t +-=，有韦达定理可得122t t =-， ∴122MA MB t t ⋅==.【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程和极坐标方程的相互转化，直线参数方程参数的几何意义，考查求解运算的能力，是中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()21f x x x =++-，()1g x x a =-+. （1）解不等式()4f x ≥；（2）当2a ≥时，若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，，；（2）[]24，. 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论去绝对值的方法解绝对值不等式；（2）若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值域的子集，以此求实数a 的取值范围. 【详解】（1）①2x <-时()214f x x x =---+≥，得52x ≤-，∴52x ≤-，②21x -≤≤时()214f x x x =+-+>，得34>，∴无解， ③1x >时()214f x x x =++-≥，得32x ≥， ∴32x ≥， 综上所述，原不等式的解集为5322⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，，； （2）∵2a ≥，[]2,2x ∈- ()21f x x x =++-，()1g x x a =-+，∴()3212112x f x x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩，，，即()35f x ≤≤， ()1g x x a =-++，若对任意[]12,2x ∈-，都存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则有()()()22152213g a g a ⎧-=--++≥⎪⎨=-++≤⎪⎩得24a ≤≤，且2a ≥∴实数a 的取值范围[]24，. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，考查了运算求解的能力、转化与化归思想，是中档题.。
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
专题20 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国I卷)(理)(解析版)
第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,1,2,3,4,5}A =-，{|(1)(5)0}B x x x =∈--<N ，则AB =（ ）．A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-【答案】D 【解析】{|(1)(5)0}{2,3,4}B x x x =∈--<=N ，所以{1,1,5}A B =-.故选：D.2．设i 为虚数单位，复数z 满足()25z i -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为()25z i -=，所以()()()5252222i z i i i i +===----+， 由共轭复数的定义知，2z i =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（ ）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度； ③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%-=，故错误； ②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确； ③影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确；④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85% 1.15%-=，故正确. 故选：C . 4．函数()()1ln 1xxe xf x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】()()1ln 1xxe xf x e -=+,其定义域为:(,0)(0,)-∞+∞,又()()()1ln 1ln ()11x xx xe x e xf x f x e e ------===-++,所以()f x 为奇函数,故排除A,C 选项,又当12x =时,1(1)ln 12()021e f e ⨯=<+, 所以排除D 选项, 故选:B.5．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．21232c k q x x RB ．21232c k q x x R - C ．2123c k q x x R D ．2123c k q x x R- 【答案】B 【解析】根据题意，221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪+--⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R ≈-， 故选：B6．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ）A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 【答案】A 【解析】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .7．据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有ABC 满足“勾3股4弦5”，其中3AC =，4BC =，点D 是CB 延长线上的一点，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．9D ．不能确定【答案】C 【解析】因为3,4,5AC CB AB ===，所以222AC CB AB +=， 所以AC CB ⊥，所以0AC CB ⋅=，所以0AC CD ⋅=， 所以2()AC AD AC AC CD AC AC CD ⋅=⋅+=+⋅909=+=. 故选：C8．一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403πB ．56πC ．1843πD ．104π【答案】C 【解析】由题意可知该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为332=6， 设球的半径为R ，可得(()22236R R =+-，解得4R =，所以该几何体的体积为(2341184236333R π⨯π⨯-⨯⨯π=. 故选：C ．9．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）A ．0.5米B ．1米C ．1.5米D ．2米【答案】B 【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处， 如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22x py = 集光板端点()1,0.25A ，代入抛物线方程可得24p =， 所以抛物线方程24x y =， 故焦点坐标是()0,1F.所以容器灶圈应距离集光板顶点1m . 故选：B10．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．11．已知函数()14sin cos f x x x =-，现有下述四个结论： ①()f x 的最小正周期为π；②曲线()y f x =关于直线4πx =-对称； ③()f x 在5,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④方程()2f x =在[],ππ-上有4个不同的实根. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④ B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】D 【解析】()112sin 2,sin 2214sin cos 12sin 212sin 21,sin 22x x f x x x x x x ⎧-<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≥⎪⎩， 作出()f x 在[],ππ-上的图象（先作出2sin 2y x =-的图象，再利用平移变换和翻折变换得到12sin 2y x =-的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.故选:D.12．三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 6P ABC -的外接球的体积是（ ） A ．2π B ．4πC ．83πD ．43π 【答案】D 【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，PA PB PC，，互相垂直，AMP∴∠就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM BC⊥时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大.此时6 APPM=，6PM=，在直角PBC中，2612PB PC BC PM PC PC PC⋅=⋅⇒=+⨯⇒=. 三棱锥P ABC-扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122++=.∴三棱锥P ABC-的外接球的半径为1R=，∴三棱锥P ABC-的外接球的体积为34433Rππ=.故选：D.第II卷非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x，y满足约束条件24010220x yx yx y-+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y=+的最大值为______．【答案】5【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+， 当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大． 此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3x =，4y =-，即()3,4A -，所以目标函数的最大值为3345z =⨯-=． 故答案为：514．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，425S S =，则此数列的公比q =____________. 【答案】1-或2± 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a ≠，公比为q ，425S S =，∴1q ≠， ∴()()421115111a q a q qq--=--，化简可得()()22140qq--=，解得1q =-或2q =±. 故答案为：1-或2±.15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.【答案】13【解析】根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A =⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13， 故答案为：13． 16．过双曲线2221(0)x y a a -=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a-=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据点M 在双曲线2221x y a -=上，得()()22121222144x x x x a a +--=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠= 222sin cos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以5c =，离心率5e =.故答案为：5 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．平面四边形ABCD ，点,,A B C 均在半径为2的圆上，且6BAC π∠=.（1）求BC 的长；（2）若3BD =，2DBC BCD ∠=∠，求BCD ∆的面积. 【答案】（1）2；（2）352【解析】（1）设外接圆半径为2R =， 在ABC 中，6BAC π∠=，由正弦定理得12sin 422BC R BAC =∠=⨯=， 即2BC =； （2）在BCD 中，2DBC BCD ∠=∠，sin sin 22sin cos DBC BCD BCD BCD ∴∠=∠=∠∠则由正弦定理可得2cos CD BD BCD =⋅∠，又由余弦定理知222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，222()BD BC CD BD CD BC CD+-∴=⋅，又2BC =，3BD =， 解得215CD =，由余弦定理2222232151cos 22326BD BC CD CBD BD BC +-+-∠===-⋅⨯⨯，则35sin 6CBD ∠=， BCD ∴△的面积135sin 22BCDSBC BD CBD =⋅⋅∠=. 18．如图1，在多边形ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，1AB AF BC ===，2AD DE ==，四边形ADEF 为直角梯形，//AF DE ，90DAF ∠=︒．以AD 为折痕把等腰梯形ABCD 折起，使得平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图2所示．（1）证明：AC ⊥平面CDE ．（2）求直线CF 与平面EAC 所成角的正切值． 【答案】（1）详见解析；（2）1919． 【解析】（1）证明：取AD 的中点M ，连接CM ，如下图所示：1AB AF BC ===，//BC AM ，由四边形ABCM 为菱形，可知12AM AD =， 在ACD 中，在90ACD ∠=︒， 所以AC DC ⊥．又平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD 平面ADEF AD =，//AF DE ，90DAF ∠=︒，所以DE AD ⊥，DE ⊂平面ADEF ，所以DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DE AC ⊥，又因为DE DC D ⋂=， 所以AC ⊥平面CDE ．（2）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，如图取AD 的中点为O ，以O 为原点，以OA 为x 轴，其中y 轴，z 轴分别在平面ADEF 平面ABCD 中，且与AD 垂直，垂足为O 建立空间直角坐际系O xyz -．因为()1,1,0F ，13,0,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,2,0E -，()1,0,0A ，33,0,22CA ⎛=- ⎝⎭，()2,2,0AE =-，33,1,2CF ⎛= ⎝⎭． 设平面CAE 的法向量(),,n x y z =，则00CA n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即330220x z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令1x =，得(1,1,3n =．设直线CF 与平面EAC 所成的角为θ，则331522sin 1045CF n CF nθ+-⋅===⨯⋅， 所以19tan θ=．19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22221x ya b+=（0ab>>）的离心率是e，定义直线bye=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为23y=±，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：223x y+=的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.【答案】（1）22143x y+=；（2）在，证明见解析.【解析】（1）由题意得：23b abe c==，24a=，又222a b c=+，联立以上可得：24a=，23b=，21c=.∴椭圆C的方程为22143x y+=；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为23y=±，不妨取23y=，设(),23P x（x≠），则23OPk=，∴过原点且与OP垂直的直线方程为023y x=，当3=x时，过P点的圆的切线方程为3x=过原点且与OP垂直的直线方程为12y x=-，联立312xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得：33,2A⎫-⎪⎪⎭，代入椭圆方程成立；同理可得，当0x =时，点A 在椭圆上；当0x ≠时，联立223412y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1A ⎛⎫，2A ⎛⎫⎝， 1PA所在直线方程为()()20060x x y --=.此时原点O 到该直线的距离d ==∴说明A 点在椭圆C 上；同理说明另一种情况的A 也在椭圆C 上. 综上可得，点A 在椭圆C 上.20．已知函数()()2ln 1f x x a x =+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()0g x kx b k =+>，当0a =时，若对任意的()0,x ∈+∞，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立，求k 的最小值.【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】（1）()()212120ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a<时，若()0f x '>，解得0x <<若()0f x '<，解得x >所以函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）因为()2g x x ≤，所以20x kx b --≥，0k >，故240k b ∆=+≤，即24k b ≤-，又因为()()21ef x g x -≤，所以2ln 10e x kx b ---≤. 设()2ln 10x e x kx b ϕ=---≤，()2ex k xϕ'=-， 当20,e x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 当2,e x k ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减. 故()max 2222ln 212ln 10e ex e e b e b k k k ϕϕ⎛⎫==---=--≤ ⎪⎝⎭，所以22ln 1e b k -≤，所以有222ln 14k e b k -≤≤-. 由题知，存在实数k ，b 使得关于x 的不等式()()221ef x g x x -≤≤恒成立的充要条件是不等式222ln 14k e k -≤-有解，将该不等式化为222ln 104k e k--+≥，令2kt =，则22ln 10t e t -++≥有解. 设()22ln 1h t t e t =-++，()22e h t t t'=-+，可知()h t 在区间(上单调递增，在区间)+∞单调递减，又()10h =，10h=>，()2210h e e e =-++<，所以()22ln 1h x t e t =-++在区间)e 内存在唯一零点0t，故不等式22ln 10t e t -++≥的解集为01t t ≤≤，即012kt ≤≤，故k 的最小值为2. 21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响.（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②116177i i i p p p +-=+，11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，(1)()P X P AB =-=121()()(1)233P A P B ==-⨯=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232=⨯+-⨯-=， 121(1)()()()(1)236P X P AB P A P B ====⨯-=，∴X 的分布列为：（2）由（1）16p =， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117()2662636=⨯+⨯+=，同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--：记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==由此得甲的得分Y 的分布列为：∴3()()3362636636636216p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=+， ∴111()6i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11()6nn n p p --=．∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-111111()()(1)66656n n n -=+++=-． （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）由1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x += 又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：2103m n ++. 【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)32103m n m n +=-+-++，当且仅当1m =，2n =时取“=”， 原不等式得证.。
2020最新全国各省市高考理科数学模拟冲刺卷答案
２ｘ＋
π ３
，将 ｆ（ｘ） 的图象向
[ ] 左平移 φ（φ＞０）个单位后得到 ｇ（ ｘ） ＝ ２ｓｉｎ
２（ｘ＋φ） ＋
π ３
＝
( ) ２ｓｉｎ
２ｘ＋２φ＋
π ３
的图象，因为 ｘ ＝
π ６
是
ｇ（ｘ） 的图象的对称
轴，所以 ２×
π ６
＋ ２φ＋
π ３
＝
２φ
＋
２π ３
＝
π ２
＋ｋπ（ ｋ∈Ｚ），解得 φ ＝
＝
８ ２４
＝
１ ３
，故选 Ｂ．
８．Ｂ
∵
ｆ（ －ｘ）＝
（ －ｘ） ３ ｅ－ｘ －ｅｘ
＝ ｘ３ ｅｘ －ｅ－ｘ
＝ ｆ（ｘ），∴
ｆ（ ｘ） 为偶函数，图象关
于 ｙ 轴对称，排除 Ａ，Ｄ，当 ｘ→＋∞ 时，ｆ（ ｘ） →０，排除 Ｃ，故选 Ｂ．
９．Ｂ 根据 ＡＢ ＝ ３，ＢＣ ＝ ３ ，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，可得 ＡＣ ＝ ２ ３ ，△ＡＢＣ
得 ｔ ＝ ５．
[ ] １１
１５．答案
，１５ ４
( ) 解析
建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系， 则 Ａ
－ ３ ，０ ２
，
三、解答题
( ) １７．解析
（１） ｆ（ ｘ） ＝ ４ｓｉｎ ωｘｓｉｎ
ωｘ＋
π ６
( ) ＝ ４ｓｉｎ ωｘ
３ ２
ｓｉｎ
ωｘ＋
１ ２
ｃｏｓ
ωｘ
＝ ２ ３ ｓｉｎ２ ωｘ＋２ｓｉｎ ωｘｃｏｓ ωｘ ＝ ｓｉｎ ２ωｘ－ ３ ｃｏｓ ２ωｘ＋ ３
｜ ２ｅ－ｅ－４ ｜
＝
４－ｅ ，所以 ｜ ＡＢ ｜
2020年高考三轮冲刺卷理数答案
)!.! 命 题
立
意
考
查
充
分条
件
必
要
条
件
的判
定
一
元
二-
观 想 象 数 学 运 算 等 核 心 素 养 !
次不等式恒成立问题!体现了逻辑推理的核心素养! - 试题解析由约束条件作出可行域 如 图 中 阴 影 部 分 所
试题解析不 等 式 $" '$*E+# 在 0 上 恒 成 立#则 "-
8 4
#"#J8#"4#
J 半 焦 距5#
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5 4
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参 考 答 案 槡%
,9!故选 $! !"!.! 命 题 立 意 考 查 空 间 几 何 体 的 折 叠 问 题 线 面
的性 质!体 现 了 逻 辑 推 理直 观 想 象数 学 运 算 等
垂 核
直心----!%!推命试理题题立解数
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题
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2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷) 数学(理)含答案
2020年全国高考冲刺压轴卷(样卷)数学(理科)注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|2x>6}，B＝{x|2x<32}，则A∩B＝A.(3，4)B.(4，5)C.(3，＋∞)D.(3，5)2.复数2iii--(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“2a>8”是“a2>9”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π＋6，则x等于A.4B.5C.6D.75.若函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－2π<φ<2π)的图象关于点(3π，0)对称，则f(6π)的值是 A.－12 B.32 C.－32 D.126.已知a ＝10，a ·b ＝510，且(b －a)·(b ＋a)＝15，则向量a 在b 方向上的投影为 A.12B.2C.5D.10 7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A.2B.3C.4D.58.从0，1，2，3，4，5这6个数字中，任取3个组成一个无重复数字的三位数，则这样的三位数中偶数个数与奇数个数的比值为A.1B.32C.1312D.27239.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝l ，c 3，且2sin(B ＋C)cosC ＝1－2cosAsinC ，则△ABC 的面积是A.3B.12C.3或3D.14或1210.设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点，若MF 2＝F 1F 2，且2MF 1＝NF 1，则双曲线C 的离心率是A.53B.32C.2D.5411.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O 的球面上，且球O 的表面积为20π，则该正方体的棱长为A.5B.25C.26D.612.设函数f(x)的定义域为R ，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式f(x)>e －3x 的解集是 A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密★启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（） A ．5 B ．34C ．41D ．526．()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（） A ．14B ．15 C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b bb b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
专题06 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(全国III卷)(理)(解析版)
1第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【答案】C1【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB 1146=++=．∴该阳马的外接球的表面积：264()6ππ⨯=． 故选C ．4．若3sin()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．2425C ．725-D ．2425-【答案】C 【解析】 由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．5．二项式812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A ．448B ．900C ．1120D ．1792【答案】C 【解析】该二项展开式通项为()888288122rrrr r rC C x x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令820r -=，则4r =，常数项等于44821120C =.故选：C.6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案
2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $z=1+i$，则 $z^2-2z=$A。
0B。
1C。
2D。
22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq 0\}$，且 $AB=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。
$-4$B。
$-2$C。
2D。
43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。
$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$B。
$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$C。
$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$D。
$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。
2B。
3C。
6D。
95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2.20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。
$y=a+bx$B。
$y=a+bx^2$C。
$y=a+be^x$D。
$y=a+b\ln x$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。
$y=-2x-1$B。
$y=-2x+1$C。
$y=2x-3$D。
专题07 2020年全国普通高等学校统一招生考试数学冲刺试卷(江苏卷)(解析版)
数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{1,2,3}A =-，{|23}B x x =-<<，则A B =I __________.【答案】{}12-，【解析】因为集合{}1,2,3A =-，{}23B x x =-<<，所以由交集的定义可得{}12A B ⋂=-，， 故答案为{}12-，2．已知复数z 满足13iz i =+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 【答案】3i + 【解析】22133331i i i i z i i i ++-+====--3z i ∴=+.故答案为：3i +3．下图是一个算法流程图，则输出S 的值是_______．【答案】25 【解析】S 的初值为0，n 的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S ＝1，n ＝3，满足进行循环的条件， 经过第二次循环得到的结果为S ＝4，n ＝5，满足进行循环的条件， 经过第三次循环得到的结果为S ＝9，n ＝7，满足进行循环的条件， 经过第四次循环得到的结果为S ＝16，n ＝9，满足进行循环的条件， 经过第五次循环得到的结果为S ＝25，n ＝11，不满足进行循环的条件， 退出循环，故输出的S 值为25 故答案为：25 4．函数()()ln 12f x x x=+-的定义域为_________________________ 【答案】(-1,2) . 【解析】由1020x x +⎧⎨-⎩＞＞，解得﹣1＜x ＜2．∴函数f （x ）2x-+ln （x+1）的定义域为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．5．已知一组数据7、9、8、11、10、9，那么这组数据的平均数为__________. 【答案】9 【解析】由题意可知，数据7、9、8、11、10、9的平均数为7981110996+++++=.故答案为：9.6．从2名男同学和1名女同学中任选2名同学参加社区服务，则选中的2人恰好是1名男同学和1名女同学的概率是__________． 【答案】23【解析】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为a .所有可能情况有：{},x y ，{},x a ，{},y a ，共3种.合题意的有{},x a ，{},y a ，2种.所以23p =. 故答案为：237．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．【答案】223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，73673S S -=，则5a =__________． 【答案】13 【解析】设2n S an bn =+，则nS an b n=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差是d ，其中111,1a S == 由73673S S -=知，346,2d d == 所以()33111222n n n n S =+-⨯=-553157,35522S S =⨯-==，4431114,224222S S =⨯-== 554352213a S S =-=-= 故答案为：139．已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2AB BC ==，2AC =，若该三棱锥体积的最大值为43，则这个球的表面积为__________. 【答案】28916π【解析】设ABC V 的外接圆的半径为r ， 因为2AB BC ==，2AC =，所以222AB BC AC +=，AB BC ⊥.112ABC S AB BC =⨯⨯=V .设D 到平面ABC 的距离为h ， 因为三棱锥体积的最大值为43，即max max 14133V h =⨯⨯= 所以max 4h =.设球体的半径为R ，则222(4)1R R -+=，解得178R =. 221728944()816S R πππ==⨯=.故答案为：28916π10．若函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________． 【答案】[，]【解析】函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则h （t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．11．若函数()21x f x e mx =-+的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线1ey x =平行的切线，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】1,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭【解析】()2x f x e m '=-，若曲线C 存在与直线1y x e=平行的切线， 即12xe m e -=有解，所以12xm e e =-，因为0x e >，所以1,m e ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.12．已知1AB AC ==u u u r u u u r ，AB u u u r 与AC u u u r 所成角为60︒，点P 满足1AP AC -≤u u u r u u u r ，若AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则x y+的最大值为______. 【答案】231+ 【解析】由题,如图建系,()0,0A ,()10B ,,13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则()1,0AB =u u ur ,13,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,因为1AP AC CP -=≤u u u r u u u r u u u r,则点P 在以点C 为圆心,半径为1的圆内（包括边界）,则设1cos sin 2P θθ⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭, 因为AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以11cos 22sin x y y θθ⎧+=+⎪⎪=,所以()cos 1133x y θθθϕ+=++=++, 因为R θ∈,所以()max sin 1θϕ+=, 所以x y +的最大值为1+, 故答案为:1+13．若(,)612ππθ∈-，且212sin 25θθ+=-，则tan(2)12πθ+=__________．【答案】17【解析】212sin 1cos212sin 2?65πθθθθθ⎛⎫+=-=+-=- ⎪⎝⎭，3sin 2?65πθ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭.又θ2θ061262ππππ-∴--，，，，òò4cos 2θ65π∴-=，3tan 2θ64π-=-， tan 2tan 2θ1264πππθ⎛⎫⎡⎤∴+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=314314+---（）（）=17，故答案为17.14．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-+.当01x <≤时，2020()log f x x =-，则1()(2019)(2020)2020f f f ++=__________. 【答案】1 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，且(0)0f =.又因为(1)(1)f x f x +=-+，所以(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-， 可得(4)()f x f x +=，所以奇函数()f x 的周期为4， 所以202011()(2019)(2020)log (1)(0)20202020f f f f f ++=-+-+ 20201(1)(0)1log 101f f =-+=++=.故答案为：1.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若2a =，3c =，求()sin A C -的值. 【答案】（1）3π （2）53【解析】（1）2sin sin 3b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q ，∴由正弦定理得：2sin sin sin sin 3A B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()0,A π∈Q ，sin 0A ∴≠，2sin sin 3B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 31sin sin 2B B B ∴=+，即31cos sin 22B B =，tan 3B ∴=， ()0,B π∈Q ，3B π∴=.（2）由余弦定理得：2222cos 4912cos73b ac ac B π=+-=+-=，7b ∴=，由正弦定理得：sin 21sin a B A b ==a c<Q ，A ∴为锐角，7cos 7A ∴=，43sin 22sin cos 7A A A ∴==，21cos 22cos 17A A =-=.A B C π++=Q ，233C A A πππ∴=--=-， ()222sin sin 2sin 2cos cos 2sin 333A C A A A πππ⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭431135327⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭. 16．在三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB BB =，且160ABB ∠=︒，D 为AC 的中点.（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求证：1AB B C ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】（1）连接1AB ，交1AB 于点E ，连接DE ．在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是平行四边形， 因为11AB A B E =I ，所以E 是1AB 的中点，所以1//DE B C ． 又DE ⊂面1A BD ，面1B C ⊄面1A BD ． 所以1//B C 平面1A BD ．（2）取AB 的中点Q ，连接QC 、1QB ．囚为1AB BB =，160ABB ∠=︒．所以1ABB △是正三角形，11BB B A =． 因为Q 是AB 的中点，所以1AB B Q ⊥．因为CA CB =，Q 是AB 的中点，所以AB CQ ⊥． 又1B Q CQ Q =I ，1B Q ，CQ ⊂面1CQB ， 所以AB ⊥面1CQB ． 因为1B C ⊂面1CQB ， 所以1AB B C ⊥．17．如图，曲线C 由左半椭圆()2222:10,0,0x y M a b x a b+=>>≤和圆()22:25N x y -+=在y 轴右侧的部分连接而成，A ，B 是M 与N 的公共点，点P ，Q （均异于点A ，B ）分别是M ，N 上的动点． （Ⅰ）若PQ 的最大值为45+，求半椭圆M 的方程；（Ⅱ）若直线PQ 过点A ，且0AQ AP +=u u u v u u u v v ，BP BQ ⊥u u u v u u u v，求半椭圆M 的离心率．【答案】(Ⅰ)()22104x y x +=≤；(Ⅱ)104. 【解析】（Ⅰ）由已知得：当P 为半椭圆与x 轴的左交点，Q 为圆与x 轴的右交点时，PQ 会取得最大值，即5245a +=+解得2a =，由图像可得()0,1A ，即1b =，故半椭圆M 的方程为()22104x y x +=≤． （Ⅱ）设直线PQ 方程为1y kx =+，(),P P P x y ，(),Q Q Q x y ，联立()22125y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得()()221240k x k x ++-=，故2421A Q k x x k -+=+，2421Q k x k -∴=+，22411Q k k y k -++=+，又0AQ AP u u u v u u u v v +=， 且(),1Q Q AQ x y =-u u u v ，(),1P P AP x y =-u u u v ，故02Q P QP x x y y +=⎧⎨+=⎩，2241P k x k -∴=+，223411P k k y k -+=+， 又BP BQ ⊥u u u v u u u v，且(),1Q Q BQ x y =+u u u v ，(),1P P BP x y u u u v =+，()()()()()()()()()222222224134124112111612011P Q P Q k k k k k x x y y kk kk-++-+--+++=+++=+-=++，解得34k =，故81,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入2221x y a +=解得283a =，故22101b e a =-=． 18．为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE V 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC V 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即20057sin 60100193m AB ⨯︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED V 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '， 则20040032sin sin 60AD R E '===︒，则40032sin ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++()()sin sin 200sin sin 12020033EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎡⎤⎣⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭， 则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m . 19．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x x F x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】（1）由题意，得()'ln 1f x x =+， 故()()22ln 1g x ax a x x =-+++，故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=， 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a == ①当02a <<时，112a >，()1'002g x x >⇐<<或1x a>；()11'02g x x a<⇐<<,所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②当2a =时，112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； ③当2a >时，112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<<,所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值ln24a --，在1x a =处取极小值1ln a a --；当2a =时，不存在极值；2a >时，()g x 在1x a =处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--.（2）()ln x xF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞，()1'1ln x x F x x e-=++，而()1,2x ∈，故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<，()2222ln20F e=->， 且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e=-=， 且当01x x <<时，()x x f x e<； 当0x x >时，()x x f x e>， 所以()00,1,xxlnx x x m x xx x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 当01x x <<时，()ln m x x x =，由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当当0x x >时，()x x m x e=， 由()1'0x xm x e-=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <） 则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞.要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-， 又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x x x xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =记()t t t e φ=，则()1't tt eφ-=，当()0,1t ∈时，()'0t φ>； 当()1,t ∈+∞时，()'0t φ<， 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<， 而021x x ->，所以002210x x x x e e---<-<， 因此()00022211'1ln 10x x x x x x h x x e e e---=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=， 即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>，得证.20．已知由n （n ∈N *）个正整数构成的集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }（a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥3），记S A ＝a 1+a 2+…+a n ，对于任意不大于S A 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （1）求a 1，a 2的值；（2）求证：“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()12A n n S +=”；（3）若S A ＝2020，求n 的最小值，并指出n 取最小值时a n 的最大值.【答案】（1）a 1＝1，a 2＝2；（2）证明见解析；（3）n 最小值为11，a n 的最大值1010 【解析】（1）由条件知1≤S A ，必有1∈A ，又a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，a 1＝1， 2≤S A ，由S A 的定义及a 1＜a 2＜…＜a n 均为整数，必有2∈A ，a 2＝2； （2）证明：必要性：由“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”及a 1＝1，a 2＝2， 得a i ＝i （i ＝1，2，…，n ）此时A ＝{1，2，3，…，n }满足题目要求， 从而()112312A S n n n =++++=+L ； 充分性：由条件知a 1＜a 2＜…＜a n ，且均为正整数，可得a i ≥i （i ＝1，2，3，…，n ）， 故()112312A S n n n ≥++++=+L ，当且仅当a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ）时，上式等号成立. 于是当()112A S n n =+时，a i ＝i （i ＝1，2，3，…，n ），从而a 1，a 2，…，a n 成等差数列. 所以“a 1，a 2，…，a n 成等差数列”的充要条件是“()112A S n n =+”；（Ⅲ）由于含有n 个元素的非空子集个数有2n -1，故当n ＝10时，210﹣1＝1023， 此时A 的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m ，不符合要求.而用11个元素的集合A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元素之和 可以表示1，2，3，…，2046，2047共2047个正整数. 因此当S A ＝2020时，n 的最小值为11.记S 10＝a 1+a 2+…+a 10，则S 10+a 11＝2020并且S 10+1≥a 11.事实上若S 10+1＜a 11，2020＝S 10+a 11＜2a 11，则a 11＞1010，S 10＜a 11＜1010， 所以m ＝1010时无法用集合A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是2020＝S 10+a 11≥2a 11﹣1，得1120212a ≤，*11a N ∈，所以a 11≤1010. 当a 11＝1010时，A ＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意，所以当S A ＝2020时，n 的最小值为11，此时a n 的最大值1010.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 【答案】12332133⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．【解析】由题意：11Ae e λ=u v u v ，∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1213,221a a A ⎡⎤⇒+=⇒=⇒=⎢⎥⎣⎦， ∴30A =-≠，∴11212333321213333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦B. [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心极坐标为(2,)4π，且圆C 经过极点，求圆C 的极坐标方程.【答案】4cos()4πρθ=- 【解析】因为2,4C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，半径2r =，所以圆C的直角坐标方程为22((4x y -+=，即220x y +--=，故圆C 的极坐标方程为24cos()04πρρθ--=，即4cos()4πρθ=-． C. [选修4-5：不等式选讲]解关于x 的不等式：（1）2123x x -+-≤.（2）242x k <+. 【答案】（1）{}02x x ≤≤.（2）答案见解析 【解析】（1）解：由2123x x -+-≤，可得12333x x ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，或12213x x ⎧≤<⎪⎨⎪+≤⎩，或2333x x ≥⎧⎨-≤⎩， 解求得102x ≤<，解求得122x ≤<，解求得2x =，综上可得，不等式的解集为{}02x x ≤≤.（2）当420k +>，即12k >-时，原不等式化为：()42242k x k -+<<+， 解得：2121k x k --<<+， 当420k +≤，即12k ≤-时，原不等式无解， 综上所述，当12k >-当时，原不等式的解集为{}2121x k x k --<<+，当12k ≤-时，原不等式的解集为∅. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++L（1）求122018a a a +++L 的值；（2）求20181k ka =∑的值． 【答案】（1）1-；（2）20191010【解析】 （1）由2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++L令0x =，得01a =，令1x =，得01220180a a a a ++++=L ， 所以1220181a a a +++=-L .（2）由二项式定理可得()20181,0,1,2,2018,kkk a C k =-=L所以()()201820182018020120080181111k k k k k k kk C C a ===--==∑∑∑ ()2018123201820182018201820182018111111C C C C C =-+-++-L ，因为()()()2018!2018!!2018!20182120192018!20202019!k k k k k C --⨯+==⨯()()()120192019!2019!1!2018!201911120202019!2019!2k k k k k k n n C C +-+-⎡⎤⎛⎫+=⨯+=⨯+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 所以20181k k a =∑()2018011220182019201920192019201920192019111201920201111C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦L 0201920192019210191201910102020C C ⎛⎫+= ⎝⎭=⨯⎪ 23．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为12，市民之间选择意愿相互独立.（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）（i ）若从问卷市民中随机抽取(N )m m +∈人，记总分恰为m 分的概率为m A ，求数列{}m A 的前10项和；（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B （比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，N n +∈），试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【答案】（1）分布列见解析，6；（2）（i ）10231024；（ⅱ）1112n n B B -=-+，211()332n n B =+-. 【解析】（1）ξ的可能取值为4，5，6，7，8，04411(4)C (),216P ξ=== 1134111(5)C (),24(2)P ξ=== 2224113(6)C ,2()()28P ξ===，3314111(7)C ,2()()24P ξ===4404111(8)C 2()()216P ξ=== 所有ξ的分布列为所以数学期望1()4567861648416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）（i ）总分恰为m 分的概率为1()2mm A =，所以数列{}m A 是首项为12，公比为12的等比数列，前10项和101011(1)1023221102412S -==-. （ii ）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为1111,22n B B -=. 因为1112n n B B -+=，即1112n n B B -=-+，所以1212()323n n B B --=--，则{23}n B -是首项为12136B -=-，公比为12-的等比数列，所以1211()362n n B --=--， 所以211()332nn B =+-.。
全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(二)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（二）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，则A B =U （ ） A.{}1,2,3,4,5B.{}0,1,4,5C.{}2,3D.{}0,1,2,3,4,52.i 是虚数单位，2z i =-，则z =（ ）A.B.2C.3.已知向量()1,2a =r ，(1,)b λ=-r ，若a b r r∥，则实数λ等于（ ）A.-1B.1C.-2D.24.“22x -<≤”是“22x -≤≤”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221x y a b -= （0a >，0b >）的离心率为53，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.45y x =±B.54y x =±C.43y x =±D.34y x =±6.第18届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（ ）A.第一场得分的中位数为52B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若5b =，22625c c a ---，则cos A =（ ）A.45 B.35C.310D.258.函数1())1x xe f x x e-=+的图象大致为（ ）A BC D9.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.152πB.12πC.112π D.212π10.图为祖冲之之子祖晒“开立圆术”中设计的立体模型.祖晒提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于323d （d 为球的直径），并得到球的体积为316V d π=，这种算法比外国人早了一千多年.人们还用过一些类似的近似公式，根据3.1415926π=⋅⋅⋅，判断下列公式中最精确的一个是（ ）A.d ≈B.d ≈C.d ≈D.d ≈11.已知32cos cos 2αβ-=，2sin sin 2αβ+=，则cos()αβ+等于（ ） A.12 B.12-C.14D.14-12.已知A B C ，，为椭圆2214x y +=上三个不同的点，若坐标原点O 为ABC △的重心，则ABC △的面积为（ ）A.B.2C.2D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设()f x 是定义在R 上的函数，若()()g x f x x =+是偶函数，且()24g -=-，则()2f =___________.14.已知数列()*(}n f a n ∈N 是等差数列，其前n 项和为n S ，若66nS =，则4a =___________.15.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，则ω=___________.16.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E F ，分别为111AB AC ，的中点，平面a 过点1C ，且平面a ∥平面11A B C ，平面a I 平面111A B C l =，则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是2015~2019年全国硕士研究生报考人数趋势图（单位：万人）的折线图.（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预测2021年全国硕士研究生报考人数. 参考数据：()()51311iii t t y y =--=∑.回归方程$$y abt =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别：()()()121ii i ni i tty y b t t ∞==--=-∑∑，$a y bt=-$. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()21112,4,314,(1)log n n nn n n n S aS a b a -++==-=-⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥ ，BC AD ∥，2222AD BC PA AB ====，点E F G ，，分别为线段AD DC PB ，，的中点.（1）证明：直线AG ∥平面PEF.（2）求多面体 ACCPEF 的体积.20.已知函数2()e ,x f x ax x a =--∈R ，()g x 为函数()f x 的导函数.（1）若函数()gx 的最小值为0，求实数a 的值；（2）若0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x --++…恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知点()(),80Pt t <是抛物线2(:20)C x py p =>上一点，点F 为抛物线C 的焦点，||10PF =.（1）求直线PF 的方程； (2)若直线l 过点()0,4，与抛物线相交于M N ，两点，且曲线C 在点M 与点N 处的切线分别为m n ，，直线m n ，相交于点G ，求||PG 的最小值.（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ay α=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以坐标原点为极点,，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 3m πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）若直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，求实数m 的取值范围；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且A B ，的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知a b ，为正实数，222a b +=. （1）证明：2a b ab +≥. （2）证明：442a b +….2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.D 本题考查集合的运算因为{0,1,2,3}, {2,3,4,5}A B ==，所以{}0,12,3,4,5A B =U .2C 本题考查复数的模.因为2z i =-，所以||z ==3.C 本题考查向量的平行.因为a b r r∥，所以20λ--=，解得2λ=-.4.A 本题考查充分、必要条件“22x -<≤”是“22x -≤≤”的充分不必要条件.5.C 本题考查双曲线的渐近线.22225161199b e a =-=-=，即43b a =，故双线的渐近线方程为43y x =±. 6.C 本题考查茎叶图.由茎叶图可知第一场得分的中位数为52，众数为0，极差为19，第二场得分的众数为 0，平均数为193，极差为2，所以选项C 的说法是错误的. 7.B 本题考查解三角形.因为225625b c c a =⋅---，所以2226b c a c +-=，所以62cos c bc A =⋅， 所以3cos 5A =. 8.B 本题考查函数的图象.因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，排除CD 项，又因为)1(1)ln 101cf e-=>+，所以排除A 项.9.A 本題考查三视图.根据三视图可知，该几何体是由14个圆锥和18个球组成的， 如图所示，其中球的半径为3，圆锥的底面半径也为3，高为4，故该几何体的体积为2311119153433438322x ππππ⨯⨯⨯+⨯⨯-+=.10.C 本题考查数学史与立体几何.由316V xd =，解得36V x d =，选项A 化简得3916V d ≈， 所以69 3.37516π⨯≈=；选项B 化简得212V d ≈，所以632π≈=；选项C 化简得3157300V d ≈， 所以6157 3.14300π⨯≈=；选项D 化简得2815V d ≈，所以683.215π⨯≈=；所以选项C 的 公式最精确.11.A 本题考查三角恒等变换.因为32cos cos 2αβ-=，2sin sin αβ+-，所以2294cos 4cos cos cos 4ααββ-+=，2234sin 4sin sin sin 4ααββ++=， 两式相加得54(cos cos sin sin )3αβαβ--=，解得1cos()2αβ+=. 12.B 本题考查直线与椭圆的位置关系.不妨设直线AB 的方程为y kx m =+代人椭圆方程得()()222148410k xkmx m +++-=.设()11,Ax y ，()22,B x y ，则122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k-=+. 设()33,Cx y ，因为O 为ABC △的重心，所以()2122814kmxx x k=-+=+， ()()2121222214my y y k x x m k =-+=-++=-⎡⎤⎣⎦+，代入椭圆方程得22441m k -+，12|||AB x x -， 点O 到直线AB的距离d -，所以OMB △的面积111||||22S AB d m =⨯⨯-⨯因为22441m k -+，所以1S =， 因为O 为ABC △的重心，所以ABC △的面积132S S ==. （另解：不妨设()2,0A，因为O 为ABC △的重心，所以BC 横坐标为1-，可得||BC =ABC△的面积为1322S =⨯=.） 13.6本题考查函数的性质，由题知，(2)(2)2(2)4g f g -+--=-，解得()26f =-.14.6本题考查等差数列基本量的求解设等差数列{}n a 的公差为d ，因为66n S =，所以41166a =，解得a6.15.2本题考查三角函数的性质因为点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象上相邻的两个对称中心，所以是72632wππππ=--，解得2ω=.16.4本题考在异面直线所成角.因为平面a ∥平面11A B C ， 平面a I 平面111A B C l =，平面11A B C I 平面11111A B C A B =，所以11l A B ∥，取11A B ，11B C 的中点分别为H G ，，连接EH BG GH GF AC ，，，，，如图所示，则11GF A B ∥， 所以GF l ∥所以异面直线EF 与所成的角为GFE ∠或其补角，又因为AB =12AA =，所以14AC =，1EH =，HP GP ==所以2EG EF -=，所以22cos 24GF GFE RP ∠==.【解题方法】本题以三棱柱为载体，综合考查异面直线所成角的概念.解答的基本方法是通过平移直线，把异面直线平移到两条相交直线上，明确异面直线所成角的概念，应用三角函数知识求解，充分利用图形特征，则可事半功倍.例如本题利用图形易得11D A B ∥，这是本题的题眼. 17.解：本题考查线性回归方程. （1）由题中数据计算得1(12345)35t =++++=， ()2223215(2)(1)01210i i i a t =---+-+++=∑，由参考数据知，()()51311iii t t y y =--=∑，所以()()()532131131.110iiiii tty y b tt=--=-=-∑∑，$214.2-31.13120.9ay bt --=⨯=$， 故所求回归方程为31.1120.9yt =+.（2）将2021年对应的7t =代人回归方程得31.17120.9338.6y =⨯+=， 所以预测2021年全国硕士研究生报考人数约为338.6万人. 18.解：本题考查数列通项公式及前n 项和 （1）因为()1311n nn S a+=-，所以当2n ≥时，所以()1314n n n S a +--，所以()11314(14)nn n n n a aa ++-=--，整理得()()11440nn n aa +--=，所以14,(2)n n a a n +=>，当1n =时，()12314nS a--，14a =，所以216a =，所以24a a =，所以数列{}n a 是首项和公比均为4的等比数列，所以1444n n a +=⨯=，即4n n a =.（2）由（1）知4n na =，所以()()221121222(1)log 4(1)log 24(1)n n n n n n b n +++=-⋅--⋅--⋅22222241234(21)(2)4[37(41)]4(21)n T n n n n n ⎡⎤=-+-++--=-----=-⋅+⎣⎦L L ，故数列{}n b 的前2n 项和24(21)n T n n =-+.【名师点睛】等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和问题，是高考的常考内容，解题过程中要注意应用函数与方程思想，构建方程（或方程组）求基本量，例如此题，从已知出发，构建1,a d 的方程组求数列通项公式，利用前后项合并，构造等差数列，求数列的前n 项和. 19.解：本题考查线面平行及多面体的体积.（1）证明：因为2BC AD AD BC E =∥，，为线段AD 的中点，所以BC AE ∥，连接EC ，因为AB AD ⊥，所以四边形ABCE 为矩形，连接BE 交AC 于点O ，连GO ，因为G 为线段PB 的中点，所以OG PE ∥，因为GO ⊄平面PEF ，PBC 平面PEF ， 所以GO ∥平面PEF ，由题易知，AC ∥平面PEF ， 又因为GC ⊂平面GAC ，AC ⊂平面GAC .AC GO O =I ，所以平面PEF ∥平面GAC ，又因为AGC 平面GMC ，所以直线AC ∥平面PEF .（2）因为22 2 AD BC PA ===，1AB =，所以四棱锥P ABCD -的体积111(12)11322S =⨯⨯+⨯⨯=，三棱锥G ABC -的体联11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，棱锥P DEF -的体积 11111132212S =⨯⨯⨯⨯=，故所求多面体AGCPEF 的体积为1111212123--=.20.解：本题考查函数最值及恒成立求参数范围. （1）()21x f x e ax '=--，所以()21xg x eax =--，()2x g x e a '=-，①当0a ≤时，()0g x '>，所以()21x g x e ax =--在R 上单词递增，不合题意；②当0a >时，(,ln 2)x a ∈-∞，()0g x '<，(ln 2,)x a ∈+∞，()0g x '>， 所以函数()gx 在区间(,ln 2)a -∞上单调递减，在区间(ln 2,)a +∞上单调递增，()(ln 2)2(1ln 2)10g x g a a a ----…，令()ln 1x x x x μ'---，则()ln x x μ'=-，所以()x μ在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以()()10x μμ≤=，所以由2(1ln 2)10a a --=，解得12a =， 即实数a 的值为12. （2）因为0x ∀>，2()(1)(1)1f x a x a x >--++恒成立，所以210x e x ax -+-≥，即21x e x a x ---<对任意0x >恒成立，令21()x e x x xϕ---，则()2(1)1()x x e x x x ϕ---'=，由（1）知，10x e x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()x ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间(1,)+∞上单词递增，所以()(1)2x e ϕϕ=-…，所以2a e -≤-，即2a e ≥-. 所以实数a 的取值范围为[2,)e -+∞. 21.解：本题考查抛物线的性质. （1）因为||10PF =，所以8102p+-，解得4p =，所以()0,2F ， 因为288t =⨯，且0t <，所以8t =-，所以()8,8P -，故直线PF 的方程为822(0)80y x ------， 化简得3480x y +-=.（2）由（1）知，抛物线方程为28x y =，点()0,2F .设()()1122,,,Mx y N x y ，又因为14y x '=， 所以直线m 的方程为()11114y y x x x -=- 整理得1114y x x y =-， 同理可得直线n 的方程为1214y x x y =-，设()33,G x y ， 联立311332321414y x x y y x x y⎧--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得直线l 的方程为3314y xx y =-，又因为直线l 过点()0,4，所以4y =-，即点G 在定直线4y =-上，所以PG 的最小值为()8412--=.【解题思路】解决直线与抛物线的综合问题时，需要注意：（1）观察、应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22.解：本题考查坐标与参数方程： （1）由题知，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，直线l20y m -+=，因为直线l 与曲线C||2m =≥， 所以实数m 的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞U . （2）设()()1122,,,,(,)Ax y B x y P u v ，由（1）知，(2,2)m ∈-，由22204y m x y -+=+=⎪⎩，解得224440x m ++-=，所以122u x x -+-=，)121224v y y x x m m -+++=，所以2u =-，即u =，故点P的轨迹方程为0(11)x y +=-<<.23.解：本题考查不等式证明.（1）因为222a b +=所以1ab ≤，所以1ab ≤≤，2a b +≤，所以2a b ab +≤， 即2a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， （2）()244222222242a b a b a b a b +-+-=-， 由（1）知1ab ≤，所以221a b ≤，所以2242422a b -≥--，即442a b +≥，当且仅当a b =时等号成立.。
普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(四)理科数学含解析【精】.doc
1 普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(四)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】()1i 2i z -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，213i z =+，13i 22z =+，13i 22z =-，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D ．2．设集合{}2=36M x x <，{}2,4,6,8N =，则M N =（ ）A ．{}24，B ．{}46，C ．{}26，D ．{}246，，【答案】A【解析】()6,6M =-，故{}2,4MN =．3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）2A ．12B ．13C ．41-πD ．42-π【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S π-π-===-ππ，故选C ． 4．将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种 C ．54种 D ．60种【答案】A【解析】最左端排甲时，有44A 24=种排法；最左端排乙时，有333A 18= 种排法，所以共有241842+=种排法，选A ．5．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，3故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为2r =， 由棱柱高为4，可得22OO =，故外接球半径为R ==故外接球的体积为(3433V =π⨯=π．选D ． 6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y -+= C ．230x y --= D ．230x y -+=【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），AB =﹣2， ∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=12（﹣1），即﹣2y +3=0． ∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：﹣2y +3=0．故选：D ． 7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．4097B ．9217C ．9729D ．204814【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：0129122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯，则123102122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯，以上两式作差可得：10191012012222210210212S --=++++-⨯=-⨯-，则：109219217S =⨯+=．本题选择B 选项．8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0A >，0ω>，2ϕπ<）的部分图象如图所示，若()32f α=，则sin 26απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．34-B ．18-C ．18D ．13【答案】B【解析】由函数图象可知：2A =，函数的最小正周期：724263T ππ⎛⎫=⨯-=π ⎪⎝⎭， 则21T ωπ==，当23x π=时，()212,2326x k k k ωϕϕϕπππ+=⨯+=π+∴=π-∈Z ，令0k =可得6ϕπ=-，函数的解析式：()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由()32f α=可得：332sin ,sin 6264ααππ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则：2π91sin 2sin 2cos 212sin 1263236168ααααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．本题选择B 选项． 9．已知实数ln22a =，ln33b =，ln55c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】B5 【解析】∵ln3ln22ln33ln2ln9ln803266b a ---=-==>，∴b a >； 又ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010a c ---=-==>，∴a c >， ∴b a c >>，即c a b <<．选B ．10．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且AP ∥平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ ）A．2B ．1 CD．【答案】D【解析】由题意可得，点P 位于过点A 且与平面EFDB 平行的平面上， 如图所示，取1111,A D A B 的中点,G H ，连结,,,GH AH AG GE ，由正方形的性质可知：EF GH ∥，由ABEG 为平行四边形可知AG BE ∥， 由面面平行的判定定理可得：平面AGH ∥平面BEFD ， 据此可得，点P 位于直线GH 上，如图所示，由1AA ⊥平面1111A B C D 可得11AA A P ⊥， 则111tan AA APA A P∠=，当1tan APA ∠有最大值时，1A P 取得最小值， 即点P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时1tan APA ∠的值是．本题选择D 选项．611．已知双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B、两点，若1ABF △是等腰三角形，120A ∠=︒．则1ABF △的周长为（ ） A．)21B．43+ C．43+ D．83+ 【答案】C【解析】双曲线的焦点在x 轴上，则1,22a a ==；设2AF m =，由双曲线的定义可知：1222AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：22BF =，又1212,4BF BF BF -=∴=，1ABF △由正弦定理有：11sin120sin30BF AF =︒︒，则11BF =，即：)42m +，解得：23m =-， 则△ABF 1的周长为：()42242433m ++=+⨯=+． 本题选择C 选项．12．已知函数()23e x f x -=，()1ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．1ln22+B ．ln2C ．12ln22+D ．2ln2【答案】A【解析】设()()f m g n t ==，()23e x f x -=，()1ln 42x g x =+，()231e ln 042m xt t -∴=+=>，1423ln e2t n m t -∴-==，，ln 32t m +∴=，142e t n -=，()14ln 32e 02t t n m t -+-=->， 令()()14ln 32e02t t h t t -+=->，则()()1412e 02t h t t t --'=>，()1'4212e 02t h t t-⎡⎤∴=+>⎣'⎦， ()h t ∴'在()0+∞，上为增函数，且104h ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当14t >时，()0h t '>，当104t <<时，()0h t '<，7 ()h t ∴在104⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，∴当14t =时，()h t 取得最小值， 此时11441ln 31142eln 2422h -+⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 22+，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()12,a k =，()1,14b k =-，若a b ⊥，则实数k =__________． 【答案】6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k =-．14． ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________． 【答案】75︒【解析】由)cos cos a C c A b -=)sin cos sin cos sin A C C A B -=，即()2A C -=，()1sin 2A C -=，1306A C -=π=︒，又180120A CB ︒-=︒+=，2150A ∴=︒，75A =︒，故答案为75︒．15．已知直线:l (0)x my n n =+>过点()A，若可行域0 0x my nx y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥的外接圆直径为20，则n =_____．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得(),0,B n AB =，又tan 3AOB ∠=，则∠AOB =30°，由正弦定理得2sin 20sin3010AB R AOB =∠=⨯︒=，解得n =816． “求方程34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的解”有如下解题思路：设()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________． 【答案】()(),12,-∞-⋃+∞【解析】不等式6﹣（+2）＞（+2）3﹣2变形为，6+2＞（+2）3+（+2）；令u =2，v =+2，则6+2＞（+2）3+（+2）⇔u 3+u ＞v 3+v ； 考查函数f （）=3+，知f （）在R 上为增函数， ∴f （u ）＞f （v ），∴u ＞v ；不等式6+2＞（+2）3+（+2）可化为2＞+2，解得＜﹣1或＞2； ∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且2a ，5a ，10a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若151n n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）25n a n =+；（2）214541449n n nT n +=+．【解析】（1）当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，9 当1n =时，111a S p ==+，也满足21n a n p =-+，故21n a n p =-+， ∵2510,,a a a 成等比数列，∴()()()23199p p p ++=+， ∴6p =．∴25n a n =+． （2）由（1）可得()()155511111252722527n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭，∴2511111151454279911252714491449n n n nT n n n n n n +⎛⎫=+-+-+⋯+-=+= ⎪++++⎝⎭． 18．某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款手机软件，记录每人每天走路消耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了40人（男女各20人），记录他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题中数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选2人，其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有X 人，超过210千卡的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．10参考数据：【答案】（1）有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关；（2）8．【解析】（1）由题意完成2×2列联表如下：则()224015155510>6.63520202020K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，故有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关．（2）任选一人，由题知：每日走路消耗卡路里不超过120千卡的概率为18，超过210千卡的概率为14， 所以ξ的分布列为：则数学期望为：()0126464648E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．如图，已知AB BC ⊥，BE CD ∥，90DCB ∠=︒，平面B C D E ⊥平面ABC ，2AB BC BE ===，4CD =，F 为AD 中点．（1）证明：EF ⊥平面ACD ；（2）求直线CE 与平面ABD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：设AC 中点为G ，连,FG BG ，∵F 为AD 中点，∴1,2FG DC FG DC =∥， 又由题意BE CD ∥，12BE CD = ∴EB FG ∥，且EB FG =， ∴四边形BEFG 为平等四边形，∴，EF BG ∥∵90DCB ∠=︒ ∴DC BC ⊥，又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE平面ABC BC =，DC ⊂平面BCDE ， ∴DC ⊥平面ABC ．又BG ⊂平面ABC ，∴DC BG ⊥，∴DC EF ⊥，又AB BC =，∴AC BG ⊥，∴AC EF ⊥，∵AC DC C =，AC ⊂平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，∴EF ⊥平面ACD ．（2）以点B 为原点，以BA 方向为x 轴，以BC 方向为y 轴，以BE 方向为z 轴，建立如图所示坐标系()0,0,0B ，()0,0,2E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,4D ，设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，则0 0n BA n BD ⋅=⋅⎧⎨⎩=，∴20 240x y z =+=⎧⎨⎩取1z =，()021n =-，，，()0,2,2CE =-，∴cos ,CE nCE nCE n ⋅〈〉== =，设直线CE 与平面ABD 所成角为θ，则sin θ=，∴cos θ=，即直线CE 与平面ABD ．20．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点1,⎛ ⎝⎭，焦距为 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线():l y m m =+∈R 与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交y 轴交于点M，若tan AMB ∠=-m 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1m =或1m =-． 【解析】（1）由题意得2c =c =又点1,⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以：22223141 3a b b a +==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 整理得：42419120a a -+=，解得：24a =或234a =（舍），∴21b =， ∴椭圆的标准方程为：2214x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点坐标()()330,,0,C x y M y ，由22 1,4y m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩整理得：229440x m ++-=，∴()()2224944144160m m ∆=-⨯⨯-=->，∴29m <，又12x x +=212449m x x -⋅=，∴1232x x x +==∴339m y m =+=， ∴线段AB 的中点C坐标为9m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭又12AB x =-=∴AC =又09MC m y k -==，∴03m y =-， ∴点M 坐标为0,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴MC==， ∵CM 垂直平分AB ，∴2AMB AMC ∠=∠，又22tan tan 1tan AMC AMB AMC∠∠==--∠ 解得tanAMC ∠=或tan 2AMC ∠=-（舍）， ∴在Rt AMC ∆中，AC AMC MC ∠==2m =，=，∴2298m m -=， ∴1m =或1m =-．21．已知函数()()223e x f x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-；（2）[)e 2,0--．【解析】（1）由()()223e x f x x ax a =+--可得：()()()()222e 23e 23e x x x f x x a x ax a x a x a ⎡⎤=+++--=++--⎣⎦'，∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴()20f '=，∴()25e 0a +=，计算得出5a =-．代入()()()()()31e 21e x x f x x a x x x =++=--'-，当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>，∴2x =是()f x 的极值点．∴5a =-．（2）当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方，等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立，即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立，由（1）知，()()()31e x f x x a x =++-'，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，①当5a -≤时，32a --≥，∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a --≥与5a -≤矛盾，舍去．②当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()max f x 在()1f 或()2f 处取到，()()12e f a =--，()22e f =，∴只要()()212e e f a =--≤，计算得出e 24a --<-≤．③当40a -<≤时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()2max 2e f x f ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为12 (x t y =-⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，点()1,0P ，求11PA PB+的值． 【答案】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2． 【解析】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=； （2）将12 x y ⎧⎪==⎨-⎪⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程，得23=0t +-，12t t ∴-==，1212113t t PA PB t t -∴+==． 23．已知函数()2121f x x x =-++．（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b满足11a b +=，求证：2212m a b+≥． 【答案】（1）2；（2）见解析． 【解析】（1）()()212121212x x x x -++--+=≥当且仅当1122x -≤≤时，等式成立． （2）2221211112a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥则22122a b +≥， 当且仅当2b a =时取，等号成立．。
2020年衡水中学高三冲刺联考理科数学试题(含答案和解析)
2020届高三冲刺联考理数试卷本试卷共4页忆3题（含选考题）。
全卷满分150分a考试用时120分钟。
注章事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑A写在试题卷、草告岛纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直按写在答题卡上对应的答题区域内。
写柱试翅卷、草犒维和咎题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答;先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交©第I卷一•选择题；本题共12小题■每小题5分■在每小题给出的四个选项中■只有一项是符合题目要求的O1•设集合A={A | r x-62r-7<0）,B=% | I A〜1 I >2） ,ra*合AnB=A. {工13VGV7} E —7VzV — 1} C. （玄I — IVHV3} D. （nr I —3V 工VI}2.设复数上满足人=i（L为虚数单位），则厂=A. i B< —i C. 1 D e L3.平行四边形ABCD中，E是AE的中点tBF=2FC,若E?=M AB+nAD，贝lj w + n=A必气％D-I4.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现占椭1G>6>O）相切的两条垂直切线的交点轨迹为『+V = 三，这个阿亦被称为蒙日@ 1 .现将质点F随机投人椭RC三y +尸1所对应的蒙日冏内’则质点落在椭圆外部的概率为（附:椭圆£+石=1的面积公式为、=如A 女匾B —C 1 —呃D 1 —A. §比3 J ± 9u，i 35-已知斜三角形如iC中，角A、F、C所对的边分别为］、b、_若ex = 4,C=6（r,6GN・,且。