2017-2018年安徽省江淮名校高二(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s22．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0 5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．39．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++ 12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s2【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都乘以a，所以平均数变，方差也变．【解答】解：由题意知，原来的平均数为，新数据的平均数变为a，（a=2）原来的方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2]，现在的方差S′2=[（ax1﹣a）2+（ax2﹣a）2+（ax3﹣a）2]=[a2（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=a2s2，∴求得新数据的方差为4s2．故选：C．【点评】本题说明了当数据都乘以一个数a时，方差变为原来的a2倍．2．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同【分析】根据抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化．【解答】解：有抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化，将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是，故选：A．【点评】本题考查三种抽样方法和函数的值域，本题解题的关键是理解三种抽样方法在抽样过程中，每个个体被抽到的概率是相等的，这和选择的方法无关，只与样本容量和总体个数有关．3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，由此2个人在不同层离开的概率．【解答】解：2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，则2个人在不同层离开的概率为=，故选：D．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，求出2个人在不同层离开的方法数为9×8，是解题的关键，属于中档题．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选：A．【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．【分析】一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=，和球的体积公式V=πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积，V1==ctgθ半球的体积V2=∵V1=V2解得ctgθ=2，∵ctgθ==2，sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=．故选：C．【点评】考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．3【分析】根据题意画出相应的图形，连接CN，由PQ与圆C相切，利用切线的性质得到CN垂直于PQ，且CN等于圆C半径，可得出CN为CP的一半，得到∠CPQ为30°，进而求出直线PQ的斜率，确定出直线PQ的解析式，由M 为直线PQ上的点，将M（m，n）代入直线方程，用m表示出n，将所求式子利用基本不等式变形后，得到取等号时m与n的关系，将表示出的n代入求出m的值，进而得到n的值，即可确定出所求式子的最小值．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：连接CN，∵PQ与圆C相切，∴CN⊥PQ，且CN=1，又P（0，2），即CP=2，∴在Rt△PCN中，CN=PC，∴∠CPN=30°，∴直线PQ的倾斜角为120°，即斜率k=﹣，故直线PQ解析式为y=﹣x+2，∴M（m，﹣m+2），又≥2，当且仅当，即m=n时取等号，∴m=（﹣m+2）=﹣3m+2，即m=，n=，则的最小值为2=4．故选：A．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查直线方程、圆等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x ﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=±1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=±1}，集合是两条平行线，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．【点评】本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA ⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．PC=2，PB=，BC=．∴S==．△PBC该几何体的表面积S=++++=6+．故选：C．【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M 和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可．【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2 由半径是，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，可得出圆心到AB的距离是，再由（﹣1，0），（1，0）和D点构成的直角三角形中可知过（﹣1，0）的直线与x轴成45°当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°所以概率为：．故答案为：．【点评】本题主要考查集合概型，属于基础题．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【分析】设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解答】解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．【分析】过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当时，AB′取得最小值．【解答】解：过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，在△AEC中，由余弦定理得：=9+4cos2α﹣12sinαcosα，在Rt△AEB′中，由勾股定理得：AB'2=AE2+B′E2=9+4cos2α﹣12sinαcosα+4sin2α=13﹣6sin2α，∴当时，AB′取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．【分析】（1）根据所给数据，可得散点图．（2）利用公式，计算出b，a，即可得出y对x的线性回归方程．【解答】解：（1）散点图如下：由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近．（2）列出下表并用科学计算器进行有关计算．=550，57于是可得b==≈0.05886．a=﹣b=57﹣0.05886×550=27.57．因此所求的回归直线的方程为：=0.05886x+27.57．【点评】本题考查散点图，考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．（2）r==，由此能求出r max=，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r max=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AD的中点N，连结MN、NF，推导出四边形MNFE是平行四边形，从而EM∥FN，由此能证明EM∥平面ADF．（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，由BD⊥AB，BD⊥EB，得BD⊥平面ABF，从而∠BQD是二面角D﹣AF ﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AF﹣B的大小．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结MN、NF，在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=AB，又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN EF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴EM∥FN，∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF．解：（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，∵BD⊥AB，BD⊥EB，∴BD⊥平面ABF，BQ是DQ在平面ABF内的射影，∴DQ⊥AF，∴∠BQD是二面角D﹣AF﹣B的平面角，在△BQD中，QD==，BQ=，∴cos，∴∠BQD=60°，∴二面角D﹣AF﹣B的大小为60°．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．理由如下：只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．在△DAQ和△CEP中，cos，cos，∵，，∴∠DAQ和∠CEP都大于30°，∴在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l1的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），再利用圆C2的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（3）设出过P点的直线l4与l5的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，可得⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y ﹣2k=0．圆心到直线的距离为=2，∴k=，∴直线l1的方程y=（x﹣2）；直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，综上所述，直线l1的方程为y=（x﹣2）或x=2；（2）解：设直线l2的方程为y=k（x﹣4），被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的圆心到l的距离为1．由点到直线l的距离公式得d==1，解得k=0或﹣，所以直线l的方程为y=0或y=﹣（x﹣4）；（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l4的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l5方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），∵⊙C1的圆心坐标为（4，5），半径r1=2，⊙C2的圆心坐标为（﹣3，1），半径为r2=2，圆心距O102=3，∵直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，∴=整理得k（3﹣a+b）+b+a﹣2=0或（5﹣b﹣a）k﹣a+b﹣8=0，∵k的取值有无穷多个，∴或∴或∴直线l3的方程是x=，直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．。
2017-2018学年安徽省江淮名校高二上学期期中考试化学试题 解析版
安徽省江淮名校2017-2018学年高二期中考试化学试题一、选择题（本题共16小题，每小题3分，共48分）1. 下列有关能量叙述不正确的是A. 活化能的大小对化学反应前后的能量变化不产生影响B. 化学键的断裂和形成是物质在化学变化中发生能量变化的主要原因C. 盐酸和NaOH(aq)反应的中和热OH=-57.3kJ/mol,则H2SO4(aq)和Ca(OH)2(aq)反应的中和热ΔH=2×(-57.3)kJ/molD. CO(g)的燃烧热是283.0kJ/mol,则反应2CO2(g)=2CO(g)+O2(g)的反应热ΔH=+2×283.0kJ/mol【答案】C【解析】试题分析：中和热为稀的强酸和强碱溶液反应，生成1mol水时的反应热。
可以表示为H+（aq）+OH-(aq)=H2O(l) △H=－57．3kJ/mol，C项还生成微溶的CaSO4，错误。
考点：化学反应中的能量变化。
2. 甲醇质子交换膜燃料电池中将甲醇蒸气转化为氢气的两种反应原理是①CH3OH(g)+H2O(g)=CO2(g)+3H2(g)；△H= +49.0 kJ·mol－1②CH3OH(g)+1/2O2(g)=CO2(g)+2H2(g)；△H= -192.9 kJ·mol－1下列说法正确的是A. CH3OH的燃烧热为192．9 kJ·mol－1B. 反应①中的能量变化如图所示C. CH3OH转变成H2的过程一定要吸收能量D. 根据②推知反应： CH3OH(l)+1/2O2(g)=CO2(g)+2H2(g)的△H>－192．9kJ·mol－1【答案】D【解析】试题分析：A、根据盖斯定律将，②×3-①×2可得：CH3OH(g)+O2(g)=CO2(g)+2H2O(l) △H=-192.9kJ/mol×3-49kJ/mol×2=-676.7kJ/mol，所以甲醇的燃烧热为676.7kJ/mol，故A 错误；B、反应①的△H＞0，而图示的△H=生成物总能量-反应物总能量＜0，故B错误；C、由已知可知，反应①为吸热反应，而反应②为放热反应，故C错误；D、同物质的量的同种物质，气态能量最高，其次液态能量，固态能量最低，由②推知反应：CH3OH(l)+O2(g)=CO2(g)+2H2(g)的△H＞-192.9kJ•mol-1，故D正确；故选D。
安徽省江淮名校20172018学年高二上学期期中考试试题数学理含
江淮名校高二年级（上）期中联考数学（理科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1. 如果直线与直线垂直，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线与直线垂直，所以，故选B.2. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．3. 直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，故选B.4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据斜二测的画法，直观图等腰直角三角形，还原为一条直角边长为、另一条直角边为的直角三角形，由三角形面积公式可得这个平面图形的面积是，故选A.5. 与两直线和的距离相等的直线是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】直线平行于直线到两平行直线距离相等的直线与两直线平行，可设直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，故选A.6. 已知，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确命题的序号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C【解析】①，，，则可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正确；②，则与相交、平行或异面，故②不正确；③若，则，③正确；④，，可知与共线的向量分别是与的法向量，所以与所成二面角的平面为直角，，故④正确，故选C.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 7. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】如图所示，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时，，即；当斜率为负时，，即，直线的斜率的取值范围是或，故选B.8. 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是（）A. B. C. D. 是棱的中点【答案】B【解析】因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.9. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有个，故选D.10. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则由（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A...............11. 正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（）A. B. 异面直线，所成角为定值C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】在正方体中，平面平面，故正确；平面平面平面平面，故正确；的面积为定值，，又平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，故选D.12. 如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，故选C.【方法点晴】本题主要考查正四棱锥的性质与体积公式、异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13. 若直线经过原点和，则直线的倾斜角大小为__________．【答案】【解析】原点的坐标为原点与点的斜率，即为倾斜角），又点在第二象限，，故答案为.14. 直线过和的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为__________．【答案】或【方法点睛】本题主要考查待定系数法求直线方程以及直线截距式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一般步骤是：（1）判断，根据题设条件判断出用那种形式的直线方程参数较少；（2）设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；（3）求参数，根据条件列方程求出参数；（4）将参数代入求解；（5）考虑特殊位置的直线方程，因为除一般式外，其他四种标准方程都有局限性.15. 已知圆，直线：，当圆上仅有个点到直线的距离为，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离满足，由于，即，解得，故答案为.16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使得；④存在某个位置，使平面其中正确的命题是__________．【答案】①②④【解析】解：取CD中点F，连接MF,BF，则MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，所以为定值，所以①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17. 已知圆：.（1）若直线与圆相切且斜率为，求该直线的方程；（2）求与直线平行，且被圆截得的线段长为的直线的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】试题分析：（1）设切线方程为：,根据圆心到切线的距离等于半径，列方程可得的值，从而求得直线方程；（2）设所求直线方程为，根据点到直线距离公式及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程.试题解析：（1）设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即，∴，即或.∴切线方程为或.（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为，即：，∴或.∴所求直线方程为或18. 如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得，可得平面，由线面垂直的性质及线段长度可证明而四边形四边形为平行四边形为平行四边形，从而可得出平面，从而可得结论；（2）取的中点，连接，，先证明，再证明平面，可得平面，从而平面平面.试题解析：（1）∵平面，平面∴.又∵为的中点，.∴四边形为平行四边形.∴.而为的中点，为的中点，∴，又.∴平面平面（2）取的中点，连接，，由（1）知，且，∴为平行四边形，∴，而为等边三角形，为的中点，所以，又，所以平面，所以平面，从而平面平面.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明线面平行后，再证明面面平行的.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：因为平面，直线平面，所以，又因为，所以，而，所以平面.（2）过点作的平行线交于点，连接，则与平面所成的角等于与平面所成的角，因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角，由于，.故.由已知得，，又，故，在中，可得，在中，可得.所以，直线与平面所成的角的正弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求矩形的外接圆的方程；（2）已知直线：（），求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：由且点在边所在的直线上得直线的方程，联立直线方程得交点的坐标，则题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；（２）由可知恒过点，求得，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经检验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．试题解析：（1）∵且，∴，点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是，即．由得．∴，∴矩形的外接圆的方程是．（2）证明：直线的方程可化为，可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，由知点在圆内，所以与圆恒相交，设与圆的交点为（为到的距离），设与的夹角为，则，当时，最大，最短．此时的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．考点：圆的标准方程；直线与圆相交．21. 已知在四棱锥中，底面为矩形，且，，平面，，粪分别是线段，的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为.【答案】（1）见解析；（2）当为的一个四等分点（靠近点）时，平面；（3）【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 2分不妨令∵，∴，即． 4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴． 6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求． 8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得， 9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为． 12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴ 平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求． 8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角 10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）过作，交于点，可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：（1）∵，，∴又平面平面，平面平面∴平面.（2）过作，交于点，∴平面∴（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角∵，，且为，∴.∴.即二面角的正弦值为。
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷(含答案)
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有．．一个．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1．下列语句中，是命题的个数是①|x＋2|=0；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．42．设P是椭圆22+=12516x y上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于A．4 B．5 C．8 D．103．现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼干中抽取2盒进行质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取学生的意见，需要请32名学生进行座谈.③某学校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在教学改革方面上的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是A.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30， 则输入的n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．56．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则 点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 A .π4 B . 14 C . 1－π4D .π37．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为A . 15B . 25C . 35D . 458．一个小孩任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 A . 29 B . 9100 C . 350 D . 31009．椭圆22+=14x y 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为 A . 4 B . 72 C . 3 D . 3210．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为A.63B .53C.32D.2211．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2＋y2＝2(x≠±2)12．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知椭圆22+=120x yk的焦距为4，则k的值为．14．命题p：∀x∈R， x2＋x＋1>0，则 p为．15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．16．在区间[－3,3]上随机取一个数x，则使得lg(x－1)＜lg2成立的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2 .从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.18. (满分12分)某汽车厂生产A，B，C三类小汽车，每类小汽车均有豪华型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按A、B、C50辆，其中A类小汽车抽取10辆.(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法在C类小汽车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆标准型小汽车的概率；19．(满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．20．(满分12分)已知椭圆C 的两条对称轴分别为x 轴和y 轴,左焦点为F 1(－1,0)，右焦点为F 2，短轴的两个端点分别为B 1、B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⋅F 1Q → 0=，求直线l 的方程．21．(满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)p q ∧是真命题；(2)p q ∨为真命题且p q ∧为假命题．22．(满分12分)在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两点1F (0，、2F (0)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C . (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA ⊥OB ？此时|AB |的值是多少？高二半期考试理科数学参考答案二、选择题13、16或24 14、2000,10x R x x ∃∈++≤15、9 16、13三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n ,由题意可知：1112n n=++，解得n ＝2,不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以()P A ＝412＝13.18、解：(1)设该厂这个月共生产小汽车n 辆，由题意得5010100300n =+， 解得n ＝2000.则x ＝2000－(100＋300)－(200＋400)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型小汽车，由题意得40010005a=，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆豪华型小汽车，3辆标准型小汽车.用A 1，A 2表示2辆豪华型小汽车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型小汽车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆标准型小汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3).事件E 包含的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)， (A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共9个.故9()10P E =，即所求概率为910.19、解：设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴1F A ·2F A ＝0，而1F A ＝(－4＋c ，3)，2F A ＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y+=.20、解：(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22421k k +，x 1x 2＝222(1)21k k -+，1F P ＝(x 1＋1，y 1)，1F Q ＝(x 2＋1，y 2)因为1F P ·1F Q ＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋12271021k k -==+，解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.21、解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜12- .(1) ∵p q ∧是真命题，∴p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上面两个范围的交集， ∴a 的取值范围是{a |a ＜－1或a ＞1}．(2) p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，有两种情况：p 真q 假时，13＜a ≤1，p 假q 真时，－1≤a ＜12-，∴p 、q 中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．22、解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，(0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b1，故曲线C 的方程为2214y x +=.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝224k k -+，x 1x 2＝234k -+.∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2234k =-+2234k k -+22214k k -+=+22414k k -++. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |而 (x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB |＝54×43×13172＝46517.。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
安徽省“江淮十校”2017-2018学年高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案
“江淮十校”2017-2018学年高三第一次联考数 学（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案写在答题卡上。
必须在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
3.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题号的题目涂黑。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题满分5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若将集合{}4321，，，=A ，{})3(log 2x y x B -==，则=B A ( ) A.{}21， B.{}321，， C,{}4,3,2,1 D.{}42.如果一根无弹性绳子的长度为3米，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于的1米的概率是（ ） A.32 B.31 C.41D.不能确定 3.将函数x y 2sin =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（ ） A.1)62sin(++=πx y B.1-)6-2sin(πx y =C.1)32sin(++=πx yD.1)32sin(--=πx y4.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A.34π B.35πC.π2D.32+π5.执行下面的程序框图，若8.0=p ，则输出的=n （ ）A.3 B,4 C.5 D.66.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥=+-=-+10103y y x y x ，则x y x z 2+=的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.37.已知{}n a 为等差数列，156531=++a a a ，147642=++a a a ，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ）A.19B.20C.21D.22 8.设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，有下列四个：①如果βα//，α⊂m ，那么β//m ②如果α⊥m ，αβ⊥，那么β//m③如果n m ⊥，α⊥m ，那么βα⊥ ④如果β//m ，α⊂m ，n =⋂βα，那么n m //其中正确的是( )A.①②B.①③C.①④D.③④ 9.已知函数⎩⎨⎧≥+-++=1,221,1)1()(2x ax x x x a x f ＜是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.11-＜＜a B,11-≤a ＜ C.311-＜＜a D.311-≤a ＜ 10.设0＞＞b a ，1=+b a ，且bax )1(=，ab y ab1log =，a z b1log =，则z y x ,,的大小关系是（ ）A.x z y ＜＜B.x y z ＜＜ C,z y x ＜＜ D,z x y ＜＜ 11.已知B A 、是球O 的球面上两点，且∠A0B=120°，C 为球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积最大值为332，则球O 的表面积为（ ） A.π4 B.π332C.π16D.π32 12.设函数)(x f 、)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且xx g x f 2)()(=+,若对[]2,1∈x ，不等式0)()(≥+x g x af 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.[)∞+，1-B.[)∞+，22- C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，617- D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，60257-第II 卷（非选题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省淮北市高二数学上学期期中试题理(new)
2017—2018学年度第一学期期中考试高 二 数学（理) 试 题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.两条直线0,0222111=++=++C y B x A C y B x A 互相垂直的充分必要条件是( ） A 。
12121-=B B A A B.12121=B B AA C.02121=+B B A A D 。
02121=-B B A A 2。
数列{}n a 是等差数列，19,472==a a ，则=31a （ ） A.91 B 。
88C 。
94D 。
853.下列命题中，正确的是 （ ） A 。
若,,d c b a >>则bd ac > B.若,22cbc a <则b a < C.若bd ac >,则b a < D.若,,d c b a >>则d b c a ->- 4.在ABC ∆中，若),())((c b b c a c a +=+-则=∠A （ ） A 。
090 B.060C.0120 D 。
01505.已知非零实数b a ,满足b b a a ,,422+成等比数列，则ab 的取值范围是( ） A.B 。
C.D.6。
不等式0)(2>--=c x ax x f 的解集为{}12|<<-x x ，则函数)(x f y -=的图象为图中的（ )7。
已知实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-+≥+-079017701y x y x y x ,则y x z 64-=的最小值为 （ ）A 。
33-B 。
10- C.8- D 。
10 8.设数列{}n b 满足：)1(11,2111≥-+==+n b b b b nnn ，则=2018b （ ) A.3 B 。
7 C 。
2018 D.2017 9。
设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值为（ ）A 。
2017-2018届安徽省江淮十校高三8月联考理科数学试题及答案
安徽省江淮十校2017-2018届高三8月联考数学理试题（WORD 版）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，时间120分钟．2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}|3213A x x =-≤-≤，集合(){}lg 1B x y x ==-，则A B =（ ）A.（1，2）B.[1，2]C.[ 1，2）D.（1，2 ]2. 已知i 是虚数单位，a R ∈，则“1a =”是“2()2a i i +=”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则实数=a （ ）A. 2B.26C.25D. 14. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6第4题图5. 已知直线()()12:120,:2130l a x ay l ax a y -+-=+++=，若12l l ⊥,则a 的值为 A ．0 B ．2- C ．2-或0 D ．0或26. 设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<总成立．则实数a 的取值范围是( )A ．0a >B ．12a >C ．14a > D ．012a a ><-或7. 设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ． c b a >> 8. 已知直线:0l Ax By C ++=（220A B +≠不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++<++，则直线l ( ) A ．与直线12PP 不相交 B ．与线段21P P 的延长线相交 C ．与线段12PP 的延长线相交 D ．与线段12PP 相交9. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cmD ．84cm 310. 在面积为6的Rt △ABC 中，90C ︒∠=,AB 在AC上的投影为3，P为线段AB 上的动点，且满足 ,||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅uu r uuruur uu r uur 则xy 的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.11. 若将函数()sin cos f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于原点对称，则ϕ的最小正值是第9题图12.定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在[]2,0上的解析式为()⎩⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f 13.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若51020,,a a a 三项成等比数列，则此等比数列的公 比为 .14. 已知变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为_____．15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱1DD ，AB 上的点．下列说法正确的是__________.（填上所有正确命题的序号） ①1AC ⊥平面1B EF ； ②在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③1B EF △在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；④当,E F 为中点时，平面1B EF 截该正方体所得的截面图形是五边形；⑤当,E F 为中点时，平面1B EF 与棱AD 交于点P ，则23AP =．三、解答题：本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡的相应位置. 16. 如图，点A ,B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 轴的交.点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转3π（Ⅰ）若点A 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点B 的横坐标； （Ⅱ）求BC 的取值范围.第15题图17.（本小题12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列.（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率.18.（本小题12分）如图，E是以AB为直径的半圆上异于点A、B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2.（Ⅰ）求证：EA EC（Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ，EF=1， 求三棱锥E-ADF 的体积.19.（本小题12分）已知数列{}n a 满足：12a =，23a =，1123(2)n n n a a a n +-=-≥， （Ⅰ）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列； （Ⅱ）求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m n 、的值．20. （本小题13分）如图，已知圆22:1O x y +=与x 轴交于A 、B 两点、与y 轴交于点C ，M 是圆O 上任意一点（除去圆O 与坐标轴的交点）.直线AM 与BC 交于点P ，CM 交x 轴于点N ，设直线PM 、PN 的斜率分别为m 、n ， （Ⅰ）试求点M 、N 坐标（可用m 、n 表示） （Ⅱ）求证：2m n -为定值.21. （本小题14分）设关于x 的方程210x mx --=有两个实根,()αβαβ<，函数22()1x mf x x -=+. （Ⅰ）求证：不论m 取何值，总有()1f αα=；（Ⅱ）判断()f x 在区间(,)αβ的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若,λμ均为正实数，证明：|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++.安徽省江淮十校教育研究会2017-2018年高二联考数学（理科）答案第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. D2.A3. D4. B5. C6. B7. A8. B9. B 10. C.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 4π 12.516 13. 2 14. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15. ②③④⑤三、解答题:本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16. （I ）由三角函数定义知， 34cos ,sin .55αα== ………………………（2分）,3COB πα∠=+cos()cos cos sin sin 333πππααα∴+=-= ………（5分） 所以点B 的横坐标………………………（6分） （II ）222cos()3BC πα=-+， ………………………（9分)02πα<<Q ，5336πππα∴<+<， 1cos()()32πα∴+∈，2(1,2BC ∴∈+，BC ⎛∴∈ ⎝⎭. …………………（12分）17.（本小题12分）（Ⅰ）由图象可知第五组为:0.02530030⨯⨯=人， 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30分为首项，总和为300的等差数列,所以第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人,45人,60人,75人,90人. 则绘制的频率分布直方图如右图所示.………….6分（Ⅱ）第四组中抽取人数：660490⨯=人，第五组中抽取人数：630290⨯=人，所以两组共6人.设第四组抽取的四人为1234,,,A A A A ，第五组抽取的2人为12,B B ，这六人分成两组有两种情况，情况一：12,B B 在同一小组：123412(,,),(,,)A A A A B B ；124312(,,),(,,)A A A A B B ；134212(,,),(,,)A A A A B B ；234112(,,),(,,)A A A A B B ，共有4种可能结果，情况二：12,B B 不在同一小组：112234(,,),(,,)B A A B A A ；113224(,,),(,,)B A A B A A ；114223(,,),(,,)B A A B A A ；123214(,,),(,,)B A A B A A ；124213(,,),(,,)B A A B A A ；134212(,,),(,,)B A A B A A ，共有6种可能结果，两种情况总共10种可能结果，所以两人被分在一组的概率为42105=. ….12分 另解：两人被分在一组的概率为1433632225C P C C A ==.（此法亦可相应给分）18.（本小题12分）(Ⅰ)证明：Q 矩形ABCD ⊥面ABE ， CB ⊂面ABCD 且CB ⊥AB∴CB ⊥面ABE ，从而AE ⊥BC ①………3.分又Q 在半圆ABE 中，AB 为直径，∴90AEB ∠=o 即AE ⊥BE ②由①②知：AE ⊥面BCE ，故有：EA EC ⊥， ……………………….…6分 (Ⅱ) Q AB//CD, ∴ AB//面DCE. 又Q 面DCE I 面ABE=EF,∴AB//EF在等腰梯形ABEF 中，EF=1，AF=1，120AFE ∠=o ，………………….…9分∴1sin1202S EF AF =⨯⨯⨯=o ，11133E ADFD AEF AEF AD VV S --∆==⨯⨯==. …………………12分19.（本小题12分）解：（Ⅰ）由1123(2)n n n a a a n +-=-≥得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥， 则1{}n n a a +-是以211a a -=为首项，以12为公比的等比数列 .... ……… .........4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：211()2n n n a a ---=，累加可得214()2n n a -=-.........................8分则123n n a m a m +-<-即为：2114()22134()2n n m m ----<--，显然4m ≥时无解，则易求得123,,11 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩..................................................12分注：若由123n n a m a m +-<-得到()()132n n a m a m +-<-即1n m a ->亦即3142n m -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，从而得出结果*4312,,1112m m m m n n n n N ≥===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===∈⎩⎩⎩⎩，或可酌情给分.20. （本小题13分）解：（I ） 直线AM 的方程为：(1)(0,1)y m x m =+≠±与 22:1O x y += 联立得22212(,)11m m M m m-++………………………………………………………………….3分 由22212(0,1),(,),(,0)11m mC M N x m m -++三点共线，得出1(,0)1m N m +-……………......…6分（Ⅱ）.将直线BC 的直线方程1x y +=与(1)(0,1)y m x m =+≠± 联立得12(,)11m m P m m-++…………………………………………………………………...8分 故有22202(1)1111(1)(1)211PN mm m m m n k m m m m m m---+====-+--+-+-………………………….11分 即：21m n -=………………………………………………………………………….13分 21. （本小题14分）解: (Ⅰ)∵,αβ是方程210x mx --=的两个根， ∴,1m αβαβ+==-，∴2222()1()1()m f αααβαβααααβααβα--+-====+-- ， ∴()1f αα=……………………………………………………… （4分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)x mx x x f x x x αβ----'=-=-++， 当(,)x αβ∈时，()0f x '>，∴()f x 在(,)αβ上单调递增．（此处用定义证明亦可）…（8分）（Ⅲ）∵()0λαμβμβααλμλμ+--=>++，同理可证：λαμβαβλμ+<<+ ∴由（Ⅱ）可知：()()()f f f λαμβαβλμ+<<+，()()()f f f μαλβαβλμ+<<+，∴|()()||()()|f f f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++， ……………………………（12分）由（Ⅰ）可知，1()f αα=，1()f ββ=，1αβ=-，∴11|()()|||||||f f βααβαβαβαβ--=-==-，∴|()()|||f f λαμβμαλβαβλμλμ++-<-++．……………………………………（14分）。
安徽省江淮名校2017-2018学年高二期中考试数学理试题 含答案 精品
江淮名校高二年级（上）期中联考数学（理科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1.如果直线1ax y +=与直线320x y +-=垂直，则a 等于（ ）A ．3B ．13-C ．13D ．3-2.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．3.直线21y kx k =-+恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为（ ） A ．22(2)(1)5x y -+-= B ．22(2)(1)25x y -+-= C ．22(2)(1)25x y ++-= D ．22(2)(1)5x y +++=4.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰长为1的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（ ）A ． D 5.与两直线3240x y +-=和3280x y ++=的距离相等的直线是（ ）A ．3220x y ++=B ．3220x y +-= C.3220x y +±= D ．以上都不对6.已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥； ②αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥；③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③ C.③④ D ．②④7.已知两点(23)M -，，(32)N --，，直线l 过点(11)P ，且与线段MN 相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）A ．344k -≤≤B ．4k -≤或34k ≥ C.344k ≤≤ D ．344k -≤≤8.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为菱形，M 是PC 上的一个动点，若要使得平面MBD ⊥平面PCD ，则应补充的一个条件可以是（ ） A ．M D M B ⊥ B ．MD PC ⊥ C.AB AD ⊥ D ．M 是棱PC 的中点 9.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）个 A ．3个 B ．4个 C.6个 D ．7个10.光线沿着直线3y x b =-+射到直线0x y +=上，经反射后沿着直线3y ax =-+射出，则由（ ）A ．13a =，9b =-B ．13a =-，9b = C.3a =，19b =- D ．3a =-，19b =11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且EF =列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线AE ，BF 所成角为定值 C.EF ∥平面ABCD D ．三棱锥A BEF -的体积为定值12.如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面面积为3，，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（ ）A ．30︒B ．45︒ C.60︒ D ．90︒ 二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13.若直线l 经过原点和(11)-，，则直线l 的倾斜角大小为 ．14.直线l 过250x y ++=和70x y -+=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．15.已知圆224440x y x y +--+=，直线l ：y x b =+，当圆上仅有2个点到直线l 的距离为1，则b 的取值范围为 ．16.如图，矩形ABCD 中，24AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻转成1A DE △.若M 为线段1A C 的中点，则ADE △翻折过程中：①||BM 是定值；②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使得1DE AC ⊥； ④存在某个位置，使MB ∥平面1A DE 其中正确的命题是 ．三、解答题 （本大题包括6小题，共70分） 17. 已知圆C ：22(1)1x y -+=.（1）若直线与圆C 相切且斜率为1，求该直线的方程；（2）求与直线10x y +-=平行，且被圆C . 18. 如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD △为等边三角形，2AD D E AB ==，F 为CD 的中点，G 为ED 的中点.（1）求证：平面AFG ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE .19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（1）求证：PD ⊥平面PBC ；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.20. 已知矩形ABCD的对角线交于点(20)--=，点x yP，，边AB所在直线的方程为360-，在边AD所在的直线上.(11)（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：(12)(1)540∈），求证：直线l与矩形ABCD的外接-++-+=（k Rk x k y k圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.21. 已知在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，且2AB=，PA⊥平面ABCD，AD=，1E，F粪分别是线段AB，BC的中点.（1）证明：PF DF⊥；（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD？若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由.（3）若PB与平面ABCD所成的角为45︒.22.如图（1），在矩形ABCD中，24△沿AE折起，使==，E为CD的中点，将ADEAB BC平面ADE⊥平面ABCE，如图（2）所示.（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）求三棱锥B CDE-的体积；（3）求二面角B CE D--的正弦值.江淮名校高二年级（上）期中联考数学参考答案一、选择题1-5:BDBAA 6-10:CBBDA 11、12：BC 二、填空题 13.34π14.340x y +=或10x y ++=15.((23-， 16.①②④ 三、解答题17.（1）设所求的切线方程为：y x b =+，由题意可知：圆心(10)C ，到切线的距离等于半径1，即1d ==∴|1|b +=1b =或1b =.∴切线方程为1y x =或1y x =.（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为0x y k ++=.由所截得的线段弦长，圆C 的半径为1，可知圆心C .即：d ==∴0k =或2k =-.∴所求直线方程为0x y +=或20x y +-= 18.（1）∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ∴AB DE ∥.又∵G 为ED 的中点，2DE AB =. ∴四边形ABEG 为平行四边形.∴AG BE ∥.而F 为CD 的中点，G 为ED 的中点，∴FG CE ∥，又AG FG G =.∴平面AFG ∥平面BCE（2）取CE 的中点H ，连接BH ，FH ，由（1）知，AB DE ∥且12AB DE =， ∴ABHF 为平行四边形，∴AF BH ∥而ACD △为等边三角形，F 为CD 的中点，所以AF CD ⊥，又A F D E ⊥，所以AF ⊥平面CDE ，所以BH ⊥平面CDE ，从而平面BCE ⊥平面CDE .19.（理数）（1）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD PD ⊥.又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，而PD PB ⊥，所以PD ⊥平面PBC .（2）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD ⊥平面PBC ，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 与平面PBC 所成的角.由于AD BC ∥，DF AB ∥.故1BF AD ==.由已知得，2CF BC BF ===.又AD DC ⊥，故BC DC ⊥，在Rt DCF △中，可得DF =Rt DPF △中，可得sin PD DFP DF ∠==.所以，直线AB 与平面PBC . 20.（1）∵直线AB ：360x y --=且AD AB ⊥∴3AD k =-.∵点(11)-，在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是 13(1)y x -=-+，即320x y ++=.由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩得(02)A -，.∴AP =即矩形ABCD 的外接圆的方程是22(2)8x y -+=.（2）直线l 的方程可化为(24)(5)0k x y x y -++++-=.l 可看作是过直线240x y -++=和50x y +-=的交点(32)，的直线系，即l 恒过定点(32)Q ，.由222||(32)258QP =-+=<可知点Q 在圆P 内，∴直线l 与圆P 恒相交. ∵20232PQ k -==-，∴当相交的弦长最短时，直线l 的斜率为12-. ∴直线l 的方程为12(3)2y x -=--，即270x y +-=21.（1）连接AF ，则AF =DF =又2AD =，∴222DF AF AD +=，∴DF AF ⊥ 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴DF PA ⊥.又PA AF A =.∴DF ⊥平面PAF .∵PF ⊂平面PAF ，∴DF PF ⊥.（2）过点E 作EH FD ∥交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有14AH AD =. 再过点H 作HG DP ∥交PA 于点G ，连接EG ，则HG ∥平面PFD 且14AG AP =. ∴平面EHG ∥平面PFD .∴EG ∥平面PFD .∴当G 为PA 的一个四等分点（靠近点A ）时，EG ∥平面PFD（3）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，且45PBA ∠=︒，∴1PA AB ==.取AD 的中点M ，连接FM ，则FM AD ⊥，FM ⊥平面PAD ，∴FM PD ⊥.在平面PAD 中，过点M 作MN PD ⊥于点N ，连接FN 则PD ⊥平面FMN ，则MNF ∠为二面角A PD F --的平面角. ∵Rt MND Rt PAD △∽△，∴MN MDPA PD=∵1PA =，1MD =，PD =，且90FMN ∠=︒，∴MN =FN =，∴cos MN MNF FN ∠==故二面角A PD F --22.（1）∵AE BE ==4AB =，∴BE AE ⊥ 又平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =∴BE ⊥平面ADE .（2）过D 作DF AE ⊥，交AE 于点F ，∴DF ⊥平面ABCE∴11122332S CDE D BCE ABCE V V DF S --==⋅=⨯⨯=（3）由（2）可知DF ⊥平面ABCE ，过F 点作FG CE ⊥，交CE 的延长线于G ，连接DG ，则DGF ∠为二面角B CE D --的平面角∵DF =112FG BC ==，且DFG △为Rt △，∴DG =∴sin DF DGF DG ∠===.即二面角B CE D--。
2017_2018学年高二数学上学期期中试题理
安徽省宿州市汴北三校联考2017-2018学年高二数学上学期期中试题理（试卷分值：150分考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 一个圆台D. 两个圆锥2. 下列说法不正确的．．．．是（）A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.3. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C. 2D. 不存在4. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. 2πB.3πC.4πD.5π5.下列命题正确的是A. 四边形确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 经过三点确定一个平面D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面6. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是 A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ C. 若m α⊥，n α⊥，则//m n D. 若//m α，//m β，则//αβ7. 已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为8. 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有（ ）条.A.2B.4C.6D.8 9. 直线20x y -+=的倾斜角为A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 135︒10. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知点(1,3)P 与直线l ：10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为（ ） A. (3,1)-- B. (2,4) C. (4,2)--D. (5,3)--12. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c=0上，则m+c 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0D .-1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）答题卡一、选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 15. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程13. 已知圆C ：222220x y x y +++-=和直线l ：20x y -+=，则圆心C 到直线l 的距离为.14. 在正方体1111ABCD A B C D -的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有条.16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的球，则正方体1111ABCD A B C D -的体积为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题10分，第18~22题每题12分）17. （本小题满分10分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长.18. （本小题满分12分）四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面BDE ； （2）求证：BD PC ⊥．19. （本小题满分12分）已知动圆C 经过点(1,2)A -，(1,4)B -. （1）求周长最小的圆的一般方程；（2）求圆心在直线240x y --=上的圆的标准方程.20. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDE 中，//BE CD ，BE BC ⊥，AB AC =，平面BCDE ⊥平面ABC ，M 为BC 的中点．（1）若N 是线段AE 的中点，求证：//MN 平面ACD ； （2）若1BE =，2BC =，3CD =，求证：DE ⊥平面AME ．。
安徽省淮南市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理201712290110
安徽省淮南市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题（每题5分，共12题）1.椭圆22125169x y +=的焦点坐标是（ ） A.(5,0)±B.(0,5)±C.(0,12)±D.(12,0)±2.已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊥，b β⊂，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在直角坐标系中，方程||1x y ⋅=的曲线是（ ）ABCD4.将图1所示正方体截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）A.B.C.D.5.椭圆221:1169x y C +=和222:1(09)916x y C k k k+=<<--有（ ） A.相等的焦距B.等长的长轴C.相等的离心率D.等长的短轴6.有关下列命题，其中说法错误的是（ ）A.命题“若2340x x --=，则4x =”的否命题为“若2340x x --≠，则4x ≠”B.“0x >”是“5x >”的必要不充分条件C.若p q ∧是假命题，则p ，q 都是假命题D.命题“若1x >且3y <-，则4x y ->”的等价命题是“若4x y -≤，则1x ≤或3y ≥-”7.已知直线y x c =+过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个顶点，则离心率为（ ）A.B.2C.12D.48.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11C D ，1CC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.9.中心为(0,0)，一个焦点为F 的椭圆，截直线32y x =-所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程是（ ）A.222217525x y += B.2217525x y += C.2212575x y += D.222212575x y += 10.在体积为43的三棱锥S ABC -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，SA SC =，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ）A.B.92π C.272πD.12π11.设12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得1212PA PA k k >-，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A.1(0,)2B.C.1(,1)2D. 12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为11A B 的中点，则下列五个命题：①点E 到平面11ABC D 的距离为12； ②在空间与1DD ，AC ，11B C 都相交的直线有无数条；③空间四边形1ABCD 在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为12； ④过1CC 的中点与直线1BC 所成角为40︒并且与平面11BB D 所成角为50︒的直线有3条。
安徽省江淮名校高二上学期期中考试试题数学(理)---精校解析Word版
江淮名校高二年级（上）期中联考数学（理科）试卷一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1. 如果直线与直线垂直，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线与直线垂直，所以，故选B. 2. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形，故该几何体上部分是一个三棱柱，下部分是三个矩形，故该几何体下部分是一个四棱柱．考点：三视图．3. 直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直线，化为，时，总有，即直线直线过定点，圆心坐标为，又因为圆的半径是，所以圆的标准方程是，故选B.4. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰长为的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据斜二测的画法，直观图等腰直角三角形，还原为一条直角边长为、另一条直角边为的直角三角形，由三角形面积公式可得这个平面图形的面积是，故选A.5. 与两直线和的距离相等的直线是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】直线平行于直线到两平行直线距离相等的直线与两直线平行，可设直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，故选A.6. 已知，表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确命题的序号为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C【解析】①，，，则可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正确；②，则与相交、平行或异面，故②不正确；③若，则，③正确；④，，可知与共线的向量分别是与的法向量，所以与所成二面角的平面为直角，，故④正确，故选C.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】如图所示，直线的斜率为；直线的斜率为，当斜率为正时，，即；当斜率为负时，，即，直线的斜率的取值范围是或，故选B.8. 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是（）A. B. C. D. 是棱的中点【答案】B【解析】因为四边形是菱形，，又平面，，又平面，即有，故要使平面平面，只需或.9. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】D【解析】空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有个，故选D.10. 光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则由（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A...............11. 正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（）A. B. 异面直线，所成角为定值C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】在正方体中，平面平面，故正确；平面平面平面平面，故正确；的面积为定值，，又平面为棱锥的高，三棱锥的体积为定值，故正确；利用图形设异面直线所成的角为，当与重合时；当与重合时异面直线所成角不是定值，错误，故选D.12. 如图所示，正四棱锥的底面面积为，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连接交于点，连接正四棱锥的底面是正方形，是中点，是中点，与所成的角为正四棱锥的底面积为，体积为，，在中，，，故选C.【方法点晴】本题主要考查正四棱锥的性质与体积公式、异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13. 若直线经过原点和，则直线的倾斜角大小为__________．【答案】【解析】原点的坐标为原点与点的斜率，即为倾斜角），又点在第二象限，，故答案为.14. 直线过和的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为__________．【答案】或【方法点睛】本题主要考查待定系数法求直线方程以及直线截距式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一般步骤是：（1）判断，根据题设条件判断出用那种形式的直线方程参数较少；（2）设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；（3）求参数，根据条件列方程求出参数；（4）将参数代入求解；（5）考虑特殊位置的直线方程，因为除一般式外，其他四种标准方程都有局限性.15. 已知圆，直线：，当圆上仅有个点到直线的距离为，则的取值范围为__________．【答案】【解析】由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离满足，由于，即，解得，故答案为.16. 如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使得；④存在某个位置，使平面其中正确的命题是__________．【答案】①②④【解析】解：取CD中点F，连接MF,BF，则MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，所以为定值，所以①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17. 已知圆：.（1）若直线与圆相切且斜率为，求该直线的方程；（2）求与直线平行，且被圆截得的线段长为的直线的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】试题分析：（1）设切线方程为：,根据圆心到切线的距离等于半径，列方程可得的值，从而求得直线方程；（2）设所求直线方程为，根据点到直线距离公式及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程.试题解析：（1）设所求的切线方程为：，由题意可知：圆心到切线的距离等于半径，即，∴，即或.∴切线方程为或.（2）因为所求直线与已知直线平行，可设所求直线方程为.由所截得的线段弦长的一半为，圆的半径为，可知圆心到所求直线的距离为，即：，∴或.∴所求直线方程为或18. 如图的几何体中，平面，平面，为等边三角形，，为的中点，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得，可得平面，由线面垂直的性质及线段长度可证明而四边形四边形为平行四边形为平行四边形，从而可得出平面，从而可得结论；（2）取的中点，连接，，先证明，再证明平面，可得平面，从而平面平面.试题解析：（1）∵平面，平面∴.又∵为的中点，.∴四边形为平行四边形.∴.而为的中点，为的中点，∴，又.∴平面平面（2）取的中点，连接，，由（1）知，且，∴为平行四边形，∴，而为等边三角形，为的中点，所以，又，所以平面，所以平面，从而平面平面.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明线面平行后，再证明面面平行的.19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由平面，得，由，得，再由，得到平面；（2）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角，由平面，得到为直线和平面所成的角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：因为平面，直线平面，所以，又因为，所以，而，所以平面.（2）过点作的平行线交于点，连接，则与平面所成的角等于与平面所成的角，因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角，由于，.故.由已知得，，又，故，在中，可得，在中，可得. 所以，直线与平面所成的角的正弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.（1）求矩形的外接圆的方程；（2）已知直线：（），求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：由且点在边所在的直线上得直线的方程，联立直线方程得交点的坐标，则题意可知矩形外接圆圆心为，半径，可得外接圆方程；（２）由可知恒过点，求得，可证与圆相交，求得与圆相交时弦长，经检验，时弦长最短，可得，进而得，最后可得直线方程．试题解析：（1）∵且，∴，点在边所在的直线上，∴所在直线的方程是，即．由得．∴，∴矩形的外接圆的方程是．（2）证明：直线的方程可化为，可看作是过直线和的交点的直线系，即恒过定点，由知点在圆内，所以与圆恒相交，设与圆的交点为（为到的距离），设与的夹角为，则，当时，最大，最短．此时的斜率为的斜率的负倒数，即，故的方程为，即．考点：圆的标准方程；直线与圆相交．21. 已知在四棱锥中，底面为矩形，且，，平面，，粪分别是线段，的中点.（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.（3）若与平面所成的角为.【答案】（1）见解析；（2）当为的一个四等分点（靠近点）时，平面；（3）【解析】试题分析：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．试题解析：解法一：（1）∵平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 2分不妨令∵，∴，即． 4分（2）设平面的法向量为，由，得，令，得：．∴． 6分设点坐标为，，则，要使∥平面，只需，即，得，从而满足的点即为所求． 8分（3）∵，∴是平面的法向量，易得， 9分又∵平面，∴是与平面所成的角，得，，平面的法向量为10分∴，故所求二面角的余弦值为． 12分解法二：（1）证明：连接，则，，又，∴，∴2分又，∴，又，∴4分（2）过点作交于点，则∥平面，且有5分再过点作∥交于点，则∥平面且，∴ 平面∥平面7分∴∥平面．从而满足的点即为所求． 8分（3）∵平面，∴是与平面所成的角，且．∴9分取的中点，则，平面，在平面中，过作，连接，则，则即为二面角的平面角 10分∵∽，∴，∵，且∴，，∴12分考点：1、直线与直线垂直的判定；2、直线与平面垂直的判定；3、二面角的余弦值．22. 如图（1），在矩形中，，为的中点，将沿折起，使平面平面，如图（2）所示.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面；（2）过作，交于点，可得平面，利用及棱锥的体积公式可得结果；（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角，在直角三角形中求出，从而可得结果.试题解析：（1）∵，，∴又平面平面，平面平面∴平面.（2）过作，交于点，∴平面∴（3）由（2）可知平面，过点作，交的延长线于，连接，则为二面角的平面角∵，，且为，∴.∴.即二面角的正弦值为。
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2017-2018学年安徽省江淮名校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）如果直线ax+y=1与直线3x+y﹣2=0垂直，则a等于（）A．3 B．C．D．﹣32．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．3．（5分）直线y=kx﹣2k+1恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25 C．（x+2）2+（y﹣1）2=25 D．（x+2）2+（y+1）2=54．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰长为1的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．5．（5分）与两直线3x+2y﹣4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线是（）A．3x+2y+2=0 B．3x+2y﹣2=0 C．3x+2y±2=0 D．以上都不对6．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n；③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α；④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．②④7．（5分）已知两点M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是（）A．B．k≤﹣4或C．D．8．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点9．（5分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个10．（5分）光线沿着直线y=﹣3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=﹣ax+3射出，则由（）A．，b=﹣9 B．，b=9 C．a=3，D．a=﹣3，11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值12．（5分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD的底面面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．（5分）若直线l经过原点和（﹣1，1），则直线l的倾斜角大小为．14．（5分）直线l过2x+y+5=0和x﹣y+7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为．15．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0，直线l：y=x+b，当圆上仅有2个点到直线l的距离为1，则b的取值范围为．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中：①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．其中正确的命题是．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=1．（1）若直线与圆C相切且斜率为1，求该直线的方程；（2）求与直线x+y﹣1=0平行，且被圆C截得的线段长为的直线的方程．18．（12分）如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点，G为ED的中点．（1）求证：平面AFG∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（1）求证：PD⊥平面PBC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．21．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．22．（12分）如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为CD的中点，将△ADE 沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图（2）所示．（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积；（3）求二面角B﹣CE﹣D的正弦值．2017-2018学年安徽省江淮名校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）如果直线ax+y=1与直线3x+y﹣2=0垂直，则a等于（）A．3 B．C．D．﹣3【解答】解：∵直线ax+y=1与直线3x+y﹣2=0垂直，∴﹣a•（﹣3）=﹣1，解得a=﹣．故选：B．2．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形故该几何体上部分是一个三棱柱下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱故选：A．3．（5分）直线y=kx﹣2k+1恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25 C．（x+2）2+（y﹣1）2=25 D．（x+2）2+（y+1）2=5【解答】解：直线y=kx﹣2k+1恒过定点C（2，1），则以C为圆心，5为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25．故选：B．4．（5分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰长为1的等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，∴直观图的面积S=，则原图的面积S′=2S=，故选：A．5．（5分）与两直线3x+2y﹣4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线是（）A．3x+2y+2=0 B．3x+2y﹣2=0 C．3x+2y±2=0 D．以上都不对【解答】解：设与两直线3x+2y﹣4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线上的任意一点P（x，y），则=，化为：3x+2y+2=0．故选：A．6．（5分）已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n；③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α；④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．③④D．②④【解答】解：①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β不一定成立，进而α⊥β不一定成立，故错误；②令α，β，γ为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面，且α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n，即m⊥n不一定成立，故错误；③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α，故正确；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α，或n⊂α，又由n⊥β，则α⊥β，故正确；故选：C．7．（5分）已知两点M（2，﹣3），N（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是（）A．B．k≤﹣4或C．D．【解答】解：k PM==﹣4，k PN==，直线L过点P（1，1）且与线段MN 相交，则直线L的斜率k的取值范围是：k≥或k≤﹣4．故选：B．8．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD．而PC属于平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选：B．9．（5分）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．7个【解答】解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D﹣ABC，①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有7个，故选：D．10．（5分）光线沿着直线y=﹣3x+b射到直线x+y=0上，经反射后沿着直线y=﹣ax+3射出，则由（）A．，b=﹣9 B．，b=9 C．a=3，D．a=﹣3，【解答】解：在直线y=﹣3x+b上任意取一点A（1，b﹣3），则点A关于直线x+y=0的对称点B（﹣b+3，﹣1）在直线y=ax+2上，故有﹣1=a（﹣b+3）+2，即﹣1=﹣ab+3a+2，∴ab=3a+3，结合所给的选项，故选：A．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF 的距离为，故V A为定值．D正确；﹣BEF故选：B．12．（5分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD的底面面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结OP，则OP⊥平面ABCD，∵正四棱锥P﹣ABCD的底面面积为3，体积为，∴AB=，OA===，==，解得OP=，以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），A（，0，0），B（0，，0），C（﹣，0，0），E（﹣，0，），=（，0，﹣），=（﹣，﹣，），设PA与BE所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴PA与BE所成的角为60°．故选：C．二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．（5分）若直线l经过原点和（﹣1，1），则直线l的倾斜角大小为．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∴tanθ==﹣1，解得．故答案为：．14．（5分）直线l过2x+y+5=0和x﹣y+7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为3x+4y=0或x+y+1=0．【解答】解：联立，解得交点P（﹣4，3）．直线l经过原点时直线l的方程为：y=x，化为：3x+4y=0．直线l不经过原点时直线l的方程设为：x+y=a，把点P代入可得：﹣4+3=a，解得a=﹣1．直线l的方程为：x+y+1=0．综上可得直线l的方程为：3x+4y=0或x+y+1=0．故答案为：3x+4y=0或x+y+1=0．15．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0，直线l：y=x+b，当圆上仅有2个点到直线l的距离为1，则b的取值范围为（﹣3，﹣）∪（，3）．【解答】解：圆的圆心为（2，2），半径为2，圆心到直线l的距离d=，∵圆上仅有2个点到直线l的距离为1，∴1＜d＜3，即1＜＜3，解得﹣3＜b＜﹣或＜b＜3．故答案为（﹣3，﹣）∪（，3）．16．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中：①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．其中正确的命题是①②④．【解答】解：取A1D的中点N，连结MN，EN，则MN为△A1CD的中位线，∴MN CD，∵E是矩形ABCD的边AB的中点，∴BE CD，∴MN BE，∴四边形MNEB是平行四边形，∴BM EN，∴BM为定值，M在以B为球心，以BM为半径的球面上，故①正确，②正确；又NE⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴BM∥平面A1DE，故④正确；由勾股定理可得DE=CE=2，∴DE2+CE2=CD2，∴DE⊥CE，若DE⊥A1C，又A1C∩CE=C，∴DE⊥平面A1CE，又A1E⊂平面A1CE，∴DE⊥A1E，而这与∠AED=45°矛盾．故③错误．故答案为：①②④．三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=1．（1）若直线与圆C相切且斜率为1，求该直线的方程；（2）求与直线x+y﹣1=0平行，且被圆C截得的线段长为的直线的方程．【解答】解：（1）设所求的切线方程为：y=x+b，∴圆心C（1，0）到切线的距离，∴，即或．∴切线方程为或．（2）设所求直线方程为x+y+k=0．∴圆心C到所求直线的距离为=．即：，∴k=0或k=﹣2．∴所求直线方程为x+y=0或x+y﹣2=0．18．（12分）如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点，G为ED的中点．（1）求证：平面AFG∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】证明：（1）∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD∴AB∥DE．又∵G为ED的中点，DE=2AB．∴四边形ABEG为平行四边形．∴AG∥BE．而F为CD的中点，G为ED的中点，∴FG∥CE，又AG∩FG=G．∴平面AFG∥平面BCE（2）取CE的中点H，连接BH，FH，由（1）知，AB∥DE且，∴ABHF为平行四边形，∴AF∥BH，而△ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AF⊥CD，又AF⊥DE，所以AF⊥平面CDE，所以BH⊥平面CDE，从而平面BCE⊥平面CDE．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（1）求证：PD⊥平面PBC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（理数）（1）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD ⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，而PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．（2）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF与平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB．故BF=AD=1．由已知得，CF=BC=BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得，在Rt△DPF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成的角的正弦值为．20．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．【解答】解：（1）由l AB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=当θ=90°时，d最大，|MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3）即x+2y﹣7=021．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．【解答】解法一：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．…2分不妨令P（0，0，t）∵，，∴，∴PF⊥FD．…4分（2）解：设平面PFD的法向量为，由，得，令z=1，解得：．∴．…6分设G点坐标为（0，0，m）（0≤m≤t），，则，要使EG∥平面PFD，只需，即，得，从而满足的点G即为所求．…8分（3）解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，由题意得，…9分又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为…10分∴，故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．…12分解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则，，又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF…2分又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴…4分（Ⅱ）解：过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有…5分再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且，∴平面a1=1∥平面PFD…7分∴EG∥平面PFD．从而满足的点G即为所求．…8分（Ⅲ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1…9分取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角…10分∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴．…12分．22．（12分）如图（1），在矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为CD的中点，将△ADE 沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图（2）所示．（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）求三棱锥B﹣CDE的体积；（3）求二面角B﹣CE﹣D的正弦值．【解答】（1）证明：∵，AB=4，∴BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面ADE．（2）解：过D作DF⊥AE，交AE于点F，∴DF⊥平面ABCE，∴．（3）解：由（2）可知DF⊥平面ABCE，过F点作FG⊥CE，交CE的延长线于G，连接DG，则∠DGF为二面角B﹣CE﹣D的平面角，∵，，且△DFG为Rt△，∴．∴．即二面角B﹣CE﹣D的正弦值为．第23页（共23页）。