精品2019八年级数学下册 专题突破讲练 平行四边形性质专题试题 (新版)青岛版
2019-2020初中数学八年级下册《平行四边形》专项测试(含答案) (133)
浙教版初中数学试卷八年级数学下册《平行四边形》测试卷学校：__________一、选择题1．(2分)下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）2．(2分)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则图中全等三角形的对数有（）A．2 B．4 C．6 D．83．(2分)如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）A．2倍B．3倍C．4倍D．无法确定4．(2分)三角形三边长分别为21n+（n为自然数），这样的三角形是（）n-，2n，21A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或锐角三角形5．(2分)已知平行四边形的一条边长为l4，下列各组数中能作为它的两条对角线长的是（）A．10与16 B．10与17 C．20与22 D．10与186．(2分)下列多边形中不能够镶嵌平面的是（）A．矩形B．正三角形C．正五边形D．正方形二、填空题7．(3分)如图，在□ABCD中，CM⊥AD于M，CN⊥AB于N，若∠B=50°，则∠MCN=_____．△的周长为．8．(3分)如图，□ABCD的周长为20，对角线AC的长为5，则ABC9．(3分)四边形的内角和等于_______，外角和等于_______．10．(3分)已知平行四边形的面积是144cm2，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，则这个平行四边形的周长为．11．(3分)在□ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B、∠C的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是_______．12．(3分)如果平行四边形的周长为180cm，相邻两边的长度比为5∶4，那么它的较长边为 cm．13．(3分)定理“到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的逆定理是．14．(3分)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，D，F分别是三边中点，则AD EF(填“=”或“>”或“<”)．15．(3分)如图所示，在四边形ABCD中．对角线AC，BD互相平分且交于点0，MN经过点O，若AB=8 cm，AD=6 cm，ON=4 cm，则四边形BCMN的周长是 cm．16．(3分)平行四边形的一边长为6 cm，其长度恰是周长的2，则此平行四边形的另一边长9为．17．(3分)如图所示，图形①与图形成轴对称，图形①与图形成中心对称(填写所对应的序号)．18．(3分)正五边形每个内角是，正六边形每个内角是，正n边形每个内角是．评卷人得分三、解答题19．(6分)观察下图中的图形，并阅读图形下面的相关文字：AB C D E F123通过分析上面的材料，十边形钓对角线有多少条？n 边形的对角线有多少条？20．(6分)如图，已知：在□ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长.21．(6分)如图所示，在平面直角坐标系中，A(-3，4)，D(0，5)，点B 与点A 关于x 轴对称，点C 与点A 关于原点对称．求四边形ABCD 的面积．22．(6分)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是B0，0D 的中点，且四边形AECF 是平行四边形，试判断四边形ABCD 是不是平行四边形。
2019-2020初中数学八年级下册《平行四边形》专项测试(含答案) (26)
浙教版初中数学试卷八年级数学下册《平行四边形》测试卷学校：__________一、选择题1．(2分)下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．正方形C．正三角形D．线段AB2．(2分)一个多边形内角和是1080o，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形3．(2分)如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2分)下列说法正确的是（）A．一组邻角互补的四边形是平行四边形B．两组邻边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形5．(2分)下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角相等，另一组对角互补6．(2分)下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）A．平行四边形B．正三角形C．正方形D．线段AB二、填空题7．(3分)如果点M（m，-2）和点N（1，n）关于原点对称，那么m=_______，n=______．8．(3分)如图，四边形的四条边AB、BC、CD和DA，它们的长分别是2、 5 ．5、4，其中∠B＝90°，那么四边形ABCD的面积为 .9．(3分)如图，已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，若ABE△的面积为1，则点E的准确位置是．10．(3分)设将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成右边四个图形，则其中是中心对称图形的是 (填序号)．11．(3分)当行边形的边数增加l边时，其内角和增加．12．(3分)点A(5，2)关于直角坐标系原点对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是，关于x轴对称的点的坐标是．13．(3分)平行四边形绕对角线的交点旋转后能与原图形重合．14．(3分)如图所示，AD∥BC，△ABC的面积为25cm2，则△BDC的面积为．15．(3分)如图所示，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE= ．16．(3分)在□ABCD中，∠A的外角与∠B互余，则∠D的度数为．17．(3分)如图所示，已知在□ABCD中，∠DBC=30°，∠ABD=45°，那么∠BDA= ．∠BCD= ．18．(3分)如图所示，在□ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于点E，则∠A B CD E F DAE= ．19．(3分)在□ABCD 中．AC 与BD 相交于点0，AB=3 cm,BC=4 cm ，AC=6 cm ，BD=8 cm ，则△AOB 的周长是 ，△80C 的周长是 ．20．(3分)从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．21．(3分)如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到A ，B 的点C ，•找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为15m ，则A ，B 两点间的距离为_____m ． 评卷人得分 三、解答题22．(6分)写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，•这个逆命题是真命题吗？请证明你的判断．23．(6分)如图，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线AC 上，且AE ＝CF.请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等.(1）连结： ；（2）猜想： ＝ ；(3）证明：24．(6分)如图，△ABC中,A(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).(1）将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；(2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；(3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；(4）在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△与△成轴对称，对称轴是；△与△成中心对称，对称中心的坐标是．25．(6分)求证：三角形的三个内角的平分线交于一点．26．(6分)写出下列命题的逆命题，并判断真假：(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；(2)在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；(3)等腰三角形的两个底角相等；(4)正多边形的各边相等．27．(6分)如图①所示，已知AE是△ABC的高，F是AE上的任意一点，G是E点关于F 的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于点H，与AC交于点I，连结IF并延长交BC 于点J，连结HF并延长交BC于点K．(1)请你在图②中再画出一个满足条件的四边形HJKI(点F的位置与图①不同)；(2)请你判断四边形HJKl是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明(图②供思考用)．28．(6分)在□ABCD中，AE，AF分别是BC，CD边上的高，AF与BC交于点G，AE=2 cm，AF=5 cm，∠EAF=30°，求□ABCD各内角的度数和AB，AD的长．29．(6分)如图所示．在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O．求证：2222+=+AB CD AD BC30．(6分)仔细观察下面的六幅图案，研究它们分别是用哪两种正多边形镶嵌的，并指出同一顶点处有几个正多边形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．A2．C3．C4．C5．C6．A评卷人得分二、填空题7．-1,28．6＋ 59．AD的中点或CB的中点10．②11．180°12．(-52，(-5，2，(5213．180°14．25 cm215．40°16．45°17．30°，l05°18．20°19．10 cm，1l cm20．()() 22a b a b a b -=+-21．30评卷人得分三、解答题22．逆命题：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，是真命题．证明如下：如图，已知△ABC中，CD是AB边上的中线，CD=12 AB．求证：△ABC是直角三角形．证明：∵CD是AB边上的中线，CD=12 AB，•∴CD=AD=BD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∴∠1+∠2=90°，•即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形23．提示：连结DF或BF，则DF＝BE或BF＝DE，证明△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF．24．解：图略（4）△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2,0)．25．略26．(1)若一个三角形的两锐角互余，则这个三角形是直角三角形．是真命题；(2)角平分线上的点到角两边的距离相等．是真命题；(3)有两个角相等的三角形是等腰三角形．是真命题；(4)各边都相等的多边形是正多边形．是假命题27．(1)作图与①类似；②四边形HJKI为平行四边形，证略28．30°，150°，30°，l50°，AB=4 cm， AD=10cm29．证明222AB AO OB=+，222CD OC OD=+，222BC BO OC=+，222AD AO OD=+，则2222AB CD BC AD+=+30．图①：l个正方形，2个正八边形图②和图③：3个正三角形，2个正方形图④：4个正三角形，l个正六边形图⑤：2个正三角形，2个正六边形图⑥：l个正三角形，2个正十二边形。
八年级平行四边形专题练习(含答案)
中考专题复习平行四边形知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题：【例1】已知如图：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，点E 、F 分别在BC 和AD 边上，AF ＝CE ，EF 和对角线BD 相交于点O ，求证：点O 是BD 的中点。
分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO ＝DO 略证：连结BF 、DE在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ，AD ＝BC 又∵AF ＝CE∴FD ∥BE ，FD ＝BE ∴四边形BEDF 是平行四边形∴BO ＝DO ，即点O 是BD 的中点。
【例2】已知如图：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
分析：欲证四边形EFGH 是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E 、F 、G 、H 分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC 后，EF 和GH 的关系就明确了，此题也便得证。
（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。
变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。
娈式6图娈式7图变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。
例1图 O F E D CB A 例2图探索与创新：【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。
八年级数学下册专题突破讲练不等式组的解题技巧试题(新版)青岛版
八年级数学下册专题突破讲练不等式组的解题技巧试题（新版）青岛版一、一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的一般步骤是：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴确定它们的公共部分；（3）表示出这个不等式组的解集。
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可划分为以下四种情形：（以下假设a<b）叙述小用数轴表示不等式（组）的解集为中考考点之一，具有直观的特点，是数形结合的具体体现。
在数轴上表示不等式的解集的方法：先确定边界点（无等号时为空心圈，有等号时为实心点），再确定方向（大向右，小向左）。
三、求不等式组的特殊解求不等式（组）的特殊解也是中考热点之一，不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先是确定不等式（组）的解集，然后再找到相应的答案。
注意应用数形结合思想。
例题1求不等式组的整数解。
解析：先求出一元一次不等式组的解集，再根据x是整数得出整数解。
答案：解：解① 得 x＞.解② 得x≤4.原不等式组的整数解为3和4.点拨：此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键。
求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了。
例题2 如果x=1，y=2是关于x、y的方程（ax+by-12）2+|ax-by+8|=0的解，求不等式组的解集。
解析：先将x=1，y=2代入方程（ax+by-12）2+|ax-by+8|=0，然后由非负数的性质求得a，b的值，再代入不等式组求解集即可。
答案：解：∵x=1，y=2是方程（ax+by-12）2+|ax-by+8|=0的解，-a+2b∴12（），-2b+8|=02+|a，∴a+2b=12-a8-2b=，a=2解得b=5，，代入不等式组得解第一个不等式得x＜-3，解第二个不等式得x＜6，∴不等式组的解集为x＜-3。
点拨：本题考查的知识点有方程解的定义、非负数的性质和不等式组的解法。
北师大版八下数学《平行四边形的性质》典型例题(含答案)
《平行四边形的性质》典型例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长．例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由．例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F 。
求证：.DC AF =例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ∆的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ∆与OAB ∆的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______.例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=. 求这个平行四边形的面积.例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，若︒=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=.求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.参考答案例1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长．解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB ===60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB∴.11,19====AD BC CD AB答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm ．说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ∆≅∆∆≅∆∆≅∆,,，从而可说明.OF OE =证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO =CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,，∴)(AAS CFO AEO ∆≅∆，∴.OF OE =例4 分析 观察图形，AFD ∆与DCE ∆都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。
八年级初二数学 平行四边形知识点及练习题含答案
八年级初二数学 平行四边形知识点及练习题含答案一、解答题1．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．2．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '．独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．3．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=132，DB=5，则△ABC的面积为．（直接写出答案）4．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE=AD，作DF⊥AE于点F．（1）求证：AB＝AF；（2）连BF并延长交DE于G．①EG＝DG；②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．5．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH；（2）若3，AE=2，试求线段PH的长；（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CPPQ的值．6．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E 处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时，（如图2），求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．7．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。
八年级数学下册《平行四边形》专题复习测试试卷及答案解析(精品)
专题18.1 平行四边形一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2019·厦门市湖里中学初二月考）一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°2．（2020·全国初二课时练习）下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等3．（2019·贵州初二期末）如图，EF为△ABC的中位线，若AB=6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．54．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（）A．B．C．D．5．（2020·陕西西北工业大学附属中学初三月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A ．6B ．12C ．18D ．246．（2020·全国初二课时练习）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种7．（2017·湖北初二期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③8．（2020·广东初三期末）如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．16B ．13C ．11D ．109．（2019·河南初二期中）在ABCD 中，已知76A C ∠+∠=︒，则下列正确的是（ ）A ．28A ∠=︒B ．142B ∠=︒C ．48C ∠=︒D ．152D ∠=︒10．（2019·河北初二期末）如图，在▱ABCD 中，∠BAD ＝120°，连接BD ，作AE ∥BD 交CD 延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，且CF ＝1，则AB 的长是( )A ．2B ．1C D11．（2019·曲阜师范大学附属实验学校初二月考）如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为（）．A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm212．（2019·浙江初二期末）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2019·河北金华中学初三开学考试）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试了一种辅助线，如图1，图2所示，其中辅助线做法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线做法都可以B．小丽和小亮的辅助线做法都不可以C．小丽的辅助线做法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线做法可以，小丽的不可以14．（2020·山东省东营市河口区义和镇中心学校初二期末）如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为l cm，AB＝2cm，∠B＝60°，则拉开部分的面积（即阴影面积）是（）A ．1cm 2B ．2cm 2C 2D ．2二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·民勤县新河乡中学初二月考）已知ABCD 中一条对角线分A ∠为35°和45°，则B ∠=________度．16．（2019·厦门市湖里中学初二月考）如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的角平分线交CD 于E ，若DE ：EC=3：1，AB 的长为8，则BC 的长为______17．（2019·福建初三）如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F ，若BF ＝10，则AB 的长为____．18．（2020·全国初二课时练习）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，点E 是BC 的中点．点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的两点，其中点P 以每秒个1单位长度的速度从点A 运动到点D 后再返回点A ，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发向点B 运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t 为_____秒时，以点A 、P ，Q ，E 为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·全国初二课时练习）已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 中BD 上的点，且BE ＝DF ，试说明，四边形AECF是平行四边形。
平行四边形的性质专项提升训练(重难点培优)-八年级数学下册尖子生培优必刷题(原卷版)【北师大版】
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题6.1平行四边形的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•南海区校级月考）下面性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．邻角互补B．邻边相等C．对边平行D．对角线互相平分2．（2022春•隆安县期中）在▱ABCD中，∠B＝60°，那么下列各式中成立的是（）A．∠A+∠C＝180°B．∠D＝60°C．∠A＝100°D．∠B+∠D＝180°3．（2022春•曹妃甸区期末）平行四边形相邻两角中，其中一个角的度数y与另一个角的度数x之间的关系是（）A．y＝x B．y＝90﹣x C．y＝180﹣x D．y＝180+x4．（2022春•淇滨区校级期末）如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AC＝8，BD ＝4，那么BC的长度为（）A．6B．5C．4D．35．（2022春•辉县市期末）在▱ABCD中，AC，BD交于点O，△OAB的周长等于5.5cm，BD＝4cm，AB+CD ＝5cm，则AC的长为（）A．3cm B．2.5cm C．2cm D．1.5cm6．（2022春•宁都县期末）将平行四边形ABCD放在平面直角坐标系中，顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（4，0），（5，2），则顶点D的坐标是（）A．（4，3）B．（1，3）C．（1，2）D．（4，2）7．（2021秋•平阳县校级月考）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（）A．22B．18C．22或20D．18或228．（2021秋•宁阳县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（）A．B．4C．D．89．（2022秋•永嘉县校级月考）在平行四边形ABCD中，五块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，如图所示，则下列选项中的关系正确的是（）A．S1+S2+S3＝S4+S5B．S2+S3＝S1+S4+S5C．S3+S4＝S1+S2+S5D．S2+S4＝S1+S3+S510．（2022春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒3个单位的速度向下平移，经过多少秒该直线可将▱OABC的面积平分（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•姑苏区校级月考）平行四边形ABCD中，∠B：∠C＝3：2，则∠C＝°．12．（2022秋•任城区校级月考）▱ABCD中，∠A＝45°，BC＝，则AB与CD之间的距离是；若AB＝3，四边形ABCD的面积是，△ABD的面积是．13．（2022•襄汾县一模）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为．14．（2022春•遂溪县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝6，BC＝4，则平行四边形ABCD的面积为．15．（2022秋•九龙坡区校级月考）如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，若▱ABCD的面积为16，且AH：HD＝1：3．则图中阴影部分的面积为．16．（2022•景德镇模拟）在▱ABCD中，AB＝4，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与直线AD交于点E，F，当点A，D，E，F相邻两点间的距离相等时，BC的长为．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•自贡期末）如图，在▱ABCD中，AF∥CE；求证：BE＝DF．18．（2022春•新化县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，BD＝14，CD＝5.2，求△AOB的周长．19．（2022春•望城区期末）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，∠ABC＝70°，△ABO的周长是20．（1）求∠ADC的度数；（2）求AB的长．20．（2022春•社旗县月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O．有以下三个条件：①AE＝CF；②EO＝OF；③O为BD中点．从中选取一个作为题设，余下的两个作为结论，组成一个正确的命题，并加以证明．21．（2021春•玉林期中）如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．求证：AE平分∠DAF．李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明．22．（2021春•拱墅区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AP，BP分别平分∠DAB和∠CBA，交于DC 边上点P，AD＝5．（1）求线段AB的长．（2）若BP＝6；求△ABP的周长．23．（2021秋•东平县期末）如图①，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：BE＝DF；（2）若图中的条件都不变，将EF转动到图②的位置，那么上述结论是否成立？说明理由．24．（2022春•成华区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF、EG、AG．（1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长；（2）若∠CEG＝∠AGE，那么：①判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由；②求证：∠1＝∠2．。
2019-2020初中数学八年级下册《平行四边形》专项测试(含答案) (18)
浙教版初中数学试卷 八年级数学下册《平行四边形》测试卷 学校：__________题号一 二 三 总分 得分评卷人得分 一、选择题1．(2分)平行四边形中一边的长为10cm ，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）A ．4cm 和6cmB ．20cm 和30cmC ．6cm 和8cmD ．8cm 和12cm2．(2分)已知O 为□ABCD 对角线的交点，且△AOB 的周长比△BOC 的周长多23，则CD-AD•的值为（ ）A ．23B ．32C ．2D ．33．(2分)n 边形所有对角线的条数是（ ）A ．n （n －1）2B ．n （n －2）2C ．n （n －3）2D ．n （n －4）24．(2分)下列各组点中，关于坐标原点对称的是（ ）A ．（-3，-4）和（-3，4）B ．（-3，-4）和（3，-4）C ．（-3，-4）和（3，4）D ．（-3，-4）和（4，3）5．(2分)已知□ABCD 的周长是8 cm ，△ABC 的周长是7 cm ，则对角线AC 的长是（ ）A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm6．(2分)□ABCD 的周长为20 cm ，两邻边之比为3：2，则较长边为（ ）A ．6 cmB ．4 cmC ．2 cmD ．3 cm7．(2分)如图所示，0为□ABCD 对角线AC ，BD 的交点，EF 经过点O ，且与边AD ，BC 分别交于点E ，F ，若BF=DE ，则图中的全等三角形有（ ）A ．2对B ．3对C ．5对D ．6对8．(2分)如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，如果沿图中虚线剪去∠C ，那么∠l+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°9．(2分)在下列汽车商标图案中，是中心对称图形的是（）评卷人得分二、填空题10．(3分)4根火柴可以摆成一个平行四边形，7根火柴可以摆成两个平行四边形，10根火柴可以摆成三个平行四边形，按此规律摆下去……，那么摆n个平行四边形需要火柴根.解答题11．(3分)从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式．12．(3分)如果平行四边形的周长为180cm，相邻两边的长度比为5∶4，那么它的较长边为 cm．13．(3分)设将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成右边四个图形，则其中是中心对称图形的是 (填序号)．14．(3分)定理“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是，它是命题(填“真或假”)．15．(3分)四边形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AB，CD的中点，AD=4，BC=6，则MN= ．16．(3分)如图所示，四边形ABCD的对角线交于点0，OA=OC，OD=OB，过O作EF分别交AB，CD于F，E，则图中全等三角形有对．A B CD F E17．(3分)如图所示，在□ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，以图中的点为顶点，最多能画 个平行四边形(不含□ABCD)18．(3分)平行四边形的一边长为6 cm ，其长度恰是周长的29，则此平行四边形的另一边长为 ．19．(3分)线段是中心对称图形，它的对称中心是这条线段的 ．评卷人得分 三、解答题20．(6分) 如图，在□ABCD 中，E F ，分别是边BC 和AD 上的点且BE DF ，则线段AE 与线段CF 有怎样的数量关系．．．．和位置关系．．．．？并证明你的结论．21．(6分)写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，•这个逆命题是真命题吗？请证明你的判断．22．(6分)已知：如图，在△ABC 中，AB ∥DE ∥FG ，BE=CG.求证：DE+FG=AB.AB CDEF12323．(6分)如图，已知：在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长.24．(6分)试用两种方法将已知平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分（要求用文字简述你所设计的两种方法，并画出示意图）．25．(6分)如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12．AD=13，求四边形ABCD的面积．26．(6分)写出“等腰三角形的顶角平分线垂直于底边”的逆命题，若逆命题为真，请给出证明，若为假，请举反例说明理由．27．(6分)如图所示，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0，且OA=0C，BA⊥AC，DC⊥AC，垂足分别为A，C．求证：四边形ABCD是平行四边形．28．(6分)如图所示，□ABCD 中，E，F分别是CD，AB上的点，且AF=CE．求证：∠BFD=∠BED．29．(6分)作一个任意的三角形ABC，以A为对称中心，画出它的对称三角形．30．(6分)如图所示，平行四边形内有一圆，请你画一直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分(只需保留画图痕迹)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B2．A3．C4．C5．C6．A7．D8．C9．C二、填空题n10．3111．a2－b2＝（a＋b）（a－b）12．5013．②14．有两角相等的三角形是等腰三角形真15．516．617．918．7．5 cm19．中点三、解答题20．AE 与CF 相等且平行，可证明△ABE ≌△CDF ．21．逆命题：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，是真命题． 证明如下：如图，已知△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，CD=12AB ． 求证：△ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是AB 边上的中线，CD=12AB ，• ∴CD=AD=BD ，∴∠1=∠A ，∠2=∠B ， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=180°，∴∠1+∠2=90°，•即∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形22．提示：过点E 作EH ∥AC 交AB 于H ，证明△BHE ≌△GFC ．23．3cm ．24．两条对角线；两条对边中点的连线，一组对边四等分连线等等，图略．25．连结AC ，根据勾股定理得∠ACD=90°，S 36ABCD S 四边形26．逆命题：若一个三角形的一个角的平分线垂直于这个角的对边，则这个三角形是等腰三角形，命题为真命题，证略27．证明△AOB ≌△COD ，得OB=0D ，即四边形ABCD 为平行四边形28．先证明DE ∥BF ，DE=BF ，四边形DFBE 为平行四边形，则∠BFD=∠BED29．略30．要把□ABCD 二等分，直线只需经过对角线交点，要把圆二等分，只需经过圆心，所以，过圆心与□ABCD 对角线交点的直线即为所求作直线。
八年级数学下册《平行四边形》专题复习讲练试卷及答案解析(精品)
专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）. ；2）. ；3）. ；2、三角形中位线定理3、平行四边形的判定1）.边的判定；；；2）. 从角的判定；；3）.从对角线判定二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019·陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE ＝∠ADC．（1）若∠AFE ＝70°，∠DEC ＝40°，求∠DAF 的大小；（2）若DE ＝AD ，求证：△AFD ≌△DCE方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理. 巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD=5cm ，AB=3cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则EC 等于 （ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm2．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，若AB ＝6，EF ＝2，则BC 的长为( )A ．8B ．10C ．12D ．143．（2020·广东初三期末）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若CDE V 的周长为10，则▱ABCD 的周长为( )A ．14B ．16C ．20D ．184．（2018·山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ．（1）求证：CD=BE ；（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．5．（2019·河北初二期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC 分别相交于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF．考点2：平行四边形的判定典例：（2020·湖南初三期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，（1）求证：AE＝CE；（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为．方法或规律点拨本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．巩固练习1．（2018·广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A ．AB//CD ，AD=BCB ．A BCD ∠∠∠∠==， C ．AO=OC ，DO=OB D ．AB=AD ，CB=CD2．（2020·全国初二课时练习）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ＝DC ，AD ＝BCB ．AD ∥BC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OD ＝OB3．（2019·商南县富水初级中学初三）如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出的条件中，不能．．判定四边形ABCD 一定是平行四边形的是（ ）A ．AB=CD ，AD=BCB ．AB//CD ，AD=BC C ．AB//CD ，AB=CD D ．AB//CD ，AD//BC 5．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD 中，G 是边CD 上一点，BG 的延长线交AD 的延长线于点E ，AF ＝CG ．（1）求证：四边形DFBG 是平行四边形．（2）若∠DGE ＝105°，求∠AFD 的度数．考点3：平行四边形存在性判定典例：．（2019·温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （-1，-3），P 是x轴上的一点，Q 是y 轴上的一点，若以点A ，B ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．方法或规律点拨此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB 的长分别确定P ，Q 的位置是解决问题的关键．巩固练习1．（2020·山东初三期末）点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）A ．8cm 和3cmB ．8cm 和4cmC ．8cm 和5cmD ．8cm 和20cm3．（2019·河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）A ．8和16B ．10和16C ．8和14D ．8和124．（2019·广东省英德市英城街中学初二期末）如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)、B(﹣6，0)、C(﹣1，0).(1)画出把△ABC 向下平移4个单位后的图形．(2)画出将△ABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90°后的图形．(3)写出符合条件的以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．考点4：三角形中位线性质典例：．（2020·南通市启秀中学初二期末）()1如图，在已知ABC V 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证12DE BC =.()2利用第()1题的结论，解决下列问题:如图，在四边形ABCD 中，90,3A AB AD ∠===o ，点,M N 分别在,AB BC 上，点,E F 分别为,MN DN 的中点，连接EF ，求EF 长度的最大值.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒2．（2018·山东初二期末）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．33．（2018·广东初二期中）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 ．4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为_____．考点5：平行四边形与折叠问题典例：．（2018·浙江初二期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是BC 边上的动点，已知4AB =，6BC =，60B ∠=︒，现将ABE ∆沿AE 折叠，点'B 是点B 的对应点，设CE 长为x .（1）如图1，当点'B 恰好落在AD 边上时，x =______；（2）如图2，若点'B 落在ADE ∆内（包括边界），则x 的取值范围是______.方法或规律点拨 本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1（2019·广西初三）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o2．（2019·郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点 E 、F 分别是边 AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．3．（2020·山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在'C 处，'BC 与AD 相交于点E .（1）求证：EB ED =；（2）连接'AC ，求证：'//AC BD .专题18.1 平行四边形一、知识点1、平行四边形的性质1）.平行四边形的边：对边平行且相等；2）.平行四边形的角：对角相等、邻角互补；3）.平行四边形的对角线互相平分；2、三角形中位线定理三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3、平行四边形的判定1）.边的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2）. 从角的判定邻角互补的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；3）.从对角线判定对角线互相平分的四边形是平行四边形；二、考点点拨与训练考点1：应用平行四边形的性质进行计算求解典例：（2019·陕西初三）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上的一点，F在线段DE上，且∠AFE＝∠ADC．（1）若∠AFE＝70°，∠DEC＝40°，求∠DAF的大小；（2）若DE＝AD，求证：△AFD≌△DCE【答案】（1）∠DAF＝30°；（2）见解析．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC＝40°．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∴∠AFD＝180°﹣∠AFE＝110°，∴∠DAF＝180°﹣∠AD F﹣∠AFD＝30°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠ADC，∴∠AFD＝∠C，在△AFD和△DEC中，ADF DECAFD CAD DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFD≌△DCE（AAS）．方法或规律点拨此题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【解析】解：如图，∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC-BE=5-3=2．故选B．2．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为()A．8B．10C．12D．14【答案】B【解析】根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.3．（2020·广东初三期末）如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，且AB AD ≠，过点O 作OE BD ⊥交BC 于点E ，若CDE V 的周长为10，则▱ABCD 的周长为( )A ．14B ．16C ．20D ．18【答案】C【解析】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，BC AD =，OB OD =，OE BD ⊥Q ，BE DE ∴=，CDE QV 的周长为10，DE CE CD BE CE CD BC CD 10∴++=++=+=，∴平行四边形ABCD 的周长()2BC CD 20=+=；故选：C ．4．（2018·山东初二期末）如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ．（1）求证：CD=BE ；（2）若AB=4，点F 为DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，且DG=1，求AE 的长．【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD//AB ，∴∠DAE=∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∴∠EAB=∠E，∴CD=BE.（2）∵CD//AB.∴∠BAF=∠DFA.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAF=∠DFA.∴DA=DF.∵F为DC中点，AB=4，∴DF=CF=AD=2，∵DG⊥AE，DG=1，∴AG=GF=，∵∠DAF=∠E，∠ADF=∠FCE，DF=CF.∴△ADF≌△ECF.∴AF=EF.∴AE=2AF=4.5．（2019·河北初二期中）已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC 分别相交于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）连接BE，DF，求证：BE=DF．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AD ∥BC ，∴∠OAF=∠OCE ，在△OAF 和△OCE 中，OAF OCE OA OCAOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴OE=OF ；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD ，∵OE=OF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴BE=DF ．考点2：平行四边形的判定典例：（2020·湖南初三期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点E ，点E 是BD 的中点，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AF ，（1）求证：AE ＝CE ；（2）求证：四边形ABDF 是平行四边形；（3）若AB ＝2，AF ＝4，∠F ＝30°，则四边形ABCF 的面积为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解析】解：（1）证明：∵点E 是BD 的中点，∴BE ＝DE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBE ，在△ADE 和△CBE 中ADE CBE DE BEAED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CBE （ASA ），∴AE ＝CE ；（2）证明：∵AE ＝CE ，BE ＝DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵DF ＝CD ，∴DF ＝AB ，即DF ＝AB ，DF ∥AB ，∴四边形ABDF 是平行四边形；（3）解：过C 作CH ⊥BD 于H ，过D 作DQ ⊥AF 于Q ，∵四边形ABCD 和四边形ABDF 是平行四边形，AB ＝2，AF ＝4，∠F ＝30°，∴DF ＝AB ＝2，CD ＝AB ＝2，BD ＝AF ＝4，BD ∥AF ，∴∠BDC ＝∠F ＝30°，∴DQ ＝12DF ＝122⨯＝1，CH ＝12DC ＝122⨯＝1， ∴四边形ABCF 的面积S ＝S 平行四边形BDFA +S △BDC ＝AF×DQ+1BD CH 2⨯⨯＝4×1+1412⨯⨯＝6， 故答案为：6．方法或规律点拨 本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 巩固练习1．（2018·广东初二期中）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A ．AB//CD ，AD=BCB ．A BCD ∠∠∠∠==， C ．AO=OC ，DO=OBD ．AB=AD ，CB=CD【答案】C【解析】 解：A 、由AB ∥CD ，AD=BC 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、由∠A=∠B ，∠C=∠D 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、由OA=OC ，OD=OB 能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、AB=AD ，BC=CD 不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故选：C ．2．（2020·全国初二课时练习）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是( )A ．AB ＝DC ，AD ＝BCB ．AD ∥BC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BCD ．OA ＝OC ，OD ＝OB【答案】C【解析】A. AB ＝DC ，AD ＝BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意；B. AD ∥BC ，AD ＝BC ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意；C. AB ∥DC ，AD ＝BC ，一组对边平行，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故符合题意；D. OA ＝OC ，OD ＝OB ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD 是平行四边形，故不符合题意，故选C.3．（2019·商南县富水初级中学初三）如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，∴S△PEB＝S△BGP，同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB，∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，即S四边形AEPH＝S四边形PFCG．∵CG＝2BG，S△BPG＝1，∴S四边形AEPH＝S四边形PFCG＝4×1＝4，故选：B．4．（2019·江阴市敔山湾实验学校初三期中）在下列给出的条件中，不能．．判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB//CD，AD=BC C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD//BC【答案】B【解析】A、AB=CD，AD=BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B、AD=CB，AB∥DC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；C、AB=CD，AB∥CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB∥CD，AD∥BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B．5．（2020·全国初二课时练习）如图，在▱ABCD中，G是边CD上一点，BG的延长线交AD的延长线于点E，AF＝CG．（1）求证：四边形DFBG是平行四边形．（2）若∠DGE＝105°，求∠AFD的度数．【答案】（1）见解析;（2）105°.【解析】证明：（1）∵ABCD 是平行四边形，∴//,AB CD AB CD =又AF ＝CG ，∴BF DG =∴四边形DFBG 是平行四边形（2）∵四边形DFBG 是平行四边形//,//DE BG BF DG ∴∴∠AFD ＝∠ABE ＝∠DGE ＝105°考点3：平行四边形存在性判定典例：．（2019·温州市第八中学初二月考）如图，在平面直角坐标系中，点A （4，2），B （-1，-3），P 是x 轴上的一点，Q 是y 轴上的一点，若以点A ，B ，P ，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．【答案】符合题意的点Q 的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）．【解析】如图所示，当AB为边，①即当四边形ABQ2P2是平行四边形，所以AB=P2Q2，AP2=BQ2，∵点A（4，2），B（-1，-3），∴，则OP2=OQ2=5，∴Q2点的坐标是：（0，-5），②当四边形QPBA是平行四边形，所以AB=PQ，QA=PB，∴Q点的坐标是：（0，5），③当AB为对角线，即当四边形P1AQ1B是平行四边形，所以AP1=Q1B，AQ1=BP1，∴Q1点的坐标是：（0，-1）．综上所述：符合题意的点Q的坐标为：（0，-5）或（0，-1）或（0，5）．方法或规律点拨此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，结合AB的长分别确定P，Q的位置是解决问题的关键．巩固练习1．（2020·山东初三期末）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C由题意画出图形，在一个平面内，不在同一条直线上的三点，与D点恰能构成一个平行四边形，符合这样条件的点D有3个．故选C．2．（2019·武胜县乐善镇二中初二期中）平行四边形的一条边长为6cm，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．8cm和3cm B．8cm和4cm C．8cm和5cm D．8cm和20cm【答案】C【解析】如图：四边形ABCD是平行四边形，AB=6cm，A、∵AC=8cm，BD=3cm，∴OA=12AC=4cm，OB=1.5cm，∵4+1.5=5.5＜6，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、∵AC=8cm，BD=4cm，∴OA=12AC=4cm，OB=2cm，∵4+2=6，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、∵AC=8cm，BD=5cm，∴OA=12AC=4cm，OB=2.5cm，∵4+2.5=6.5＞6，∴能组成三角形，故本选项正确；D、∵BD=8cm，AC=20cm，∴OB=12BD=4cm，OA=10cm，∵4+6=10∴不能组成三角形，故本选项错误．故选C．3．（2019·河北初二期末）平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（）A．8和16B．10和16C．8和14D．8和12【答案】B【解析】A、两对角线的一半分别为4、8，∵4+8=12，∴不能组成三角形，故本选项错误；B、两对角线的一半分别为5、8，∵5+8>12，∴能组成三角形，故本选项正确；C、两对角线的一半分别为4、7，∵4+7=11<12，∴不能组成三角形，故本选项错误；D、两对角线的一半分别为4、6，∵4+6=10<12，∴不能组成三角形，故本选项错误，故选B．4．（2019·广东省英德市英城街中学初二期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)、B(﹣6，0)、C(﹣1，0).(1)画出把△ABC向下平移4个单位后的图形．(2)画出将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后的图形．(3)写出符合条件的以A、B、C、D为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)D 1(3，3)、D 2(-7，3)、D 3(-5，-3).【解析】（1）如图所示，△A B C '''即为所求作；（2）如图所示，△DEF 即为所求作；（3）D 1(3，3)、D 2(-7，3)、D 3(-5，-3).考点4：三角形中位线性质典例：．（2020·南通市启秀中学初二期末）()1如图，在已知ABC V 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证12DE BC =.()2利用第()1题的结论，解决下列问题:如图，在四边形ABCD 中，90,3A AB AD ∠===o ，点,M N 分别在,AB BC 上，点,E F 分别为,MN DN 的中点，连接EF ，求EF 长度的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】(1)延长DE 到F,使得EF=DE,连接CF.∵D 、E 是AB 、AC 的中点,∴AD=BD,AE=CE.∵∠AED=∠CEF,EF=DE,∴△ADE ≌△CFE(SAS)∴CF=AD,∠DAE=∠FCE∴BD=CD,AB ∥CF,∴四边形DBCF 为平行四边形,∴DF=BC, ∵12DE DF =∴12DE BC =. (2)连接DM,∵点E,F 分别为MN,DN 的中点,∴EF=12DM, ∴DM 最大时,EF 最大,∵M 与B 重合时DM 最大,此时6=,∴EF 的最大值为3.方法或规律点拨本题考查中位线有关的三角形性质、勾股定理的应用,关键在于根据题意构造三角形中位线.巩固练习1．（2020·山东初二期末）如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【答案】C【解析】∵P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴PF=12BC ，PE=12AD ， ∵AD BC =，∴PF=PE ，∵136EPF ∠=︒，∴∠EFP=∠PFE=180136222︒-︒=︒ ． 故选C ．2．（2018·山东初二期末）如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=12DE=52．故选：C．3．（2018·广东初二期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．【答案】11．【解析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=1 2AD，EF=GH=12BC，然后代入数据进行计算即可得解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC5===．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=12AD，EF=GH=12BC．∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．【答案】1【解析】在△AGF和△ACF中，{GAF CAFAF AF AFG AFC∠=∠=∠=∠，∴△AGF ≌△ACF ，∴AG=AC=4，GF=CF ，则BG=AB−AG=6−4=2.又∵BE=CE ，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF=12BG=1. 故答案是：1考点5：平行四边形与折叠问题典例：．（2018·浙江初二期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是BC 边上的动点，已知4AB =，6BC =，60B ∠=︒，现将ABE ∆沿AE 折叠，点'B 是点B 的对应点，设CE 长为x .（1）如图1，当点'B 恰好落在AD 边上时，x =______；（2）如图2，若点'B 落在ADE ∆内（包括边界），则x 的取值范围是______.【答案】（1）2；（2）22x ≤≤【解析】解：（1）∵折叠，∴'BAE B AE ∠=∠.∵AD BC ∥，∴'B AE AEB ∠=∠，∴BAE AEB ∠=∠，∴4AB BE ==，∴2CE BC BE =-=.（2）当'B 落在DE 上时，过点A 作AH DE ⊥于点H .∵'60AB H B ∠=∠=︒，'4==AB AB ， ∴1''22HB AB ==，∴AH =在Rt ADH ∆中，DH =，∴''2DB DH HB =-=.∵AD BC ∥，∴DAE AEB AED ∠=∠=∠，∴6DE AD ==.∴()'628EB BE ==-=-，∴(682EC BC BE =-=--=，∴22x ≤≤.方法或规律点拨本题考查翻折变换、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1（2019·广西初三）如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o【答案】B【解析】AD //BC Q ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=，DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=o Q ，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===o ，又ABD 48∠=o Q ，ABD ∴V 中，A 1802048112∠=--=o o o o ，E A 112∠∠∴==o ，故选B ．2．（2019·郑州枫杨外国语学校中考模拟）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点 E 、F 分别是边 AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕 EF 翻折，使点 A 落在边 BC 的三等分点处，则 AE 的长为 ．【答案】143或285【解析】设点A 落在BC 边上的A′点．①如图1，当A′C=13BC=2时，A′B=4，设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′M 垂直于AB ，交AB 延长线于M 点，在Rt △A′BM 中，∠A′BM=60°，∴BM=2，在Rt △A′EM 中，利用勾股定理可得：x 2=（10-x ）2+12，解得x=285． 即AE=285； ②如图2，当A′B=13BC=2时， 设AE=x ，则A′E=x ，BE=8-x ．过A′点作A′N 垂直于AB ，交AB 延长线于N 点，在Rt △A′BN 中，∠A′BN=60°，∴BN=1，．在Rt △A′EN 中，利用勾股定理可得：x 2=（9-x ）2+3，解得x=143． 即AE=143； 所以AE 的长为5.6或143． 故答案为5.6或143． 3．（2020·山东初二期末）已知，如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在'C 处，'BC 与AD 相交于点E .（1）求证：EB ED =；（2）连接'AC ，求证：'//AC BD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】证明：（1）由折叠可知：CBD EBD ∠=∠∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC∴CBD EDB ∠=∠∴EBD EDB ∠=∠∴EB ED（2）如图，由（1）知BE=DE，∴AE=C'E，∴∠DAC'=12（180°-∠AEC'）=90°-12∠AEC'，同理：∠ADB=90°-12∠BED，∵∠AEC'=∠BED，∴∠DAC'=∠ADB，∴AC'∥BD.31/ 31。
八下 平行四边形的性质 (解答题)含答案
《平行四边形的性质》1．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．证明：FD=AB．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．3．已知：E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：∠CDF=∠ABE．4．四边形ABCD是平行四边形，AF=CE，求证：∠1=∠2．5．如图，已知▱ABCD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接DE、BF，求证：DE=BF．6．如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB 相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．7．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F．求证：OE=OF．8．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、9．如图，已知ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．10．在▱ABCD中，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．11．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：DF=BE．12．已知：如图，在▱ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，BE，DF分别交AD，BC于点E，F，求证：DE=BF．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（2）若BC=2，∠ABC=120°，求DE的长．14．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC 于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．15．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．16．如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．18．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，证明：DE=BF．19．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且ED=BF．求证：AE=CF．20．如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF．21．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：BF=CF；（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四边形ABCD的面积．22．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交与点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE=DF．23．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．24．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：EB=DF（写出主要的证明依据）．25．如图，在▱ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD、BC及CD 的长．26．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），求D点的坐标．27．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC 于点E，F．求证：AE=CF．28．如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求：（1）线段AC、OA的长；（2）平行四边形ABCD的面积．29．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．请你猜想：线段AF与线段EC有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．30．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．则∠EBF=∠FDE吗？为什么？参考答案1．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．证明：FD=AB．【分析】由在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，易证得△ABE≌△DFE （AAS），继而证得FD=AB．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∵E是AD边上的中点，∴AE=DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD=AB．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意平行四边形的对边平行．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．已知：E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：∠CDF=∠ABE．【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠DCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得结论．【解答】证明：∵AF=CE．∴AE=CF，∵在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠CDF=∠ABE．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，理解平行四边形的对边平行且相等，是解答本题的关键．4．四边形ABCD是平行四边形，AF=CE，求证：∠1=∠2．【分析】由已知条件可得AE=FC，∠ABE=∠DCF，由SAS证明△BAE≌△DCF，从而得出结论．【解答】证明：∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；证得△BAE ≌△DCF是解决问题的关键．5．如图，已知▱ABCD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接DE、BF，求证：DE=BF．【分析】利用平行四边形的性质得出AD=BC，∠DAE=∠BCA，进而利用全等三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠DEA=∠BFC在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ADE≌△CBF是解题关键．6．如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB 相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；（2）证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）解：∵OE=OF，OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BD=EF，∴OD=OB=OE=OF=BD，∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F．求证：OE=OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，即可得OA=OC，又由OE⊥AD，OF⊥BC，易证得△AEO≌△CFO，由全等三角形的对应边相等，可得OE=OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF．【点评】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用是解此题的关键．8．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，∠BAD=∠BCD，证出∠DAE=∠AEB，由已知条件得出∠DAE=∠FCB=∠AEB，证出AE∥FC，得出四边形AECF为平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC∠BAD=∠BCD，∴AF∥EC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠DAE=∠BAD，∠FCB=∠BCD，∴∠DAE=∠FCB=∠AEB，∴AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF=CE．【点评】本题主要考查平行四边形的性质与判定；证明四边形AECF为平行四边形是解决问题的关键．9．如图，已知ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易证得△ABE≌△CDF（ASA），即可得BE=DF，又由AD=BC，即可得AF=CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，∴∠EAB=∠FCD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE=DF．∵AD=BC，∴AF=EC．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．10．在▱ABCD中，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．【分析】连接BD、MD、BN，根据平行四边形的性质证明OM=ON，然后再证明四边形BNDM是平行四边形，从而可得BM∥DN．【解答】证明：连接BD、MD、BN，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM=CN，∴OA﹣AM=OC﹣CN，即OM=ON，∴四边形BNDM是平行四边形．∴BM∥DN．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相平分得四边形是平行四边形．11．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：DF=BE．【分析】由ASA证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠BAE=∠BAD，∠DCF=∠BCD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF=BE．【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及平行线的性质与判定；证明三角形全等是解决问题的关键．12．已知：如图，在▱ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，BE，DF分别交AD，BC于点E，F，求证：DE=BF．【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得AB=AE，CF=CD，即可得出结论．【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理CF=CD，又AB=CD，∴CF=AE，∴DE=BF．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质问题，要熟练掌握，并能够求解一些简单的计算、证明问题．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（1）求证：BC=CE；（2）若BC=2，∠ABC=120°，求DE的长．【分析】（1）利用平行四边形ABCD得出AD=BC，AD∥BC，进一步证得△ADF≌△ECF，得出AD=CE，证得结论；（2）连接FM、BF，证得四边形AMFD是菱形，得出AN=NF，求得M是AB的中点，利用勾股定理求得AN，进一步得出NE，进一步利用勾股定理求得DE的长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠FEC，∠ADF=∠ECF，∵点F为边DC的中点，∴DF=CF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AD=CE，∴BC=CE．（2）解：如图，连接FM，∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC，∴∠DAF=∠BAF=DFN，∠ADM=∠FDM=∠AMD，∴AD=DF=AM，∴四边形AMFD是菱形，∴AM=AD=AD=BC=2，AF⊥DM，DN=MN=DM，AN=FN，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∴△ADM是等边三角形，∴DM=AD=2，∴DN=1，∴FN=DN==，∴AF=2，∵AD=CE，AD∥CE，∴EF：AF=CE：AD=1：1，∴EF=AF=2，∴EN=FN+EF=3，在Rt△DEN中，DE===．【点评】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形判定与性质，勾股定理的运用，正确分析条件与所求问题之间的联系，理清思路解决问题．14．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC 于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠BCE，∵AF∥CE，∴∠BCE=∠AFB，∴∠1=∠AFB，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE=∠1=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．15．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE=∠ODF．在△OBE与△ODF中，∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴BO=DO．（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．∴AE=GE∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°．∴∠GOD=∠G=45°．∴DG=DO，∴OF=FG=1，由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3，∴AE=3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．16．如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，证出∠BAE=∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME=FN，证出四边形MENF是平行四边形，即可得出结论∴FM=EN．【解答】解：FM=EN，FM∥EN；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠DCB，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠BCF，∴AE∥CF，∵点M、N分别为AE、CF的中点，∴ME∥FN，ME=FN，∴四边形MENF是平行四边形，∴FM=EN，FM∥EN．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．【分析】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE=CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．18．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，证明：DE=BF．【分析】首先连接BE，DF，由四边形ABCD是平行四边形，AE=CF，易得OB=OD，OE=OF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，继而证得DE=BF．【解答】证明：∵连接BE，DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且ED=BF．求证：AE=CF．【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠EDA=∠FBC，再加上条件ED=BF可利用SAS判定△AED≌△CFB，进而可得AE=CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EDA=∠FBC，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（SAS），∴AE=CF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．20．如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF．【分析】利用平行四边形的性质得出∠BAC=∠DCF，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵AF=CE，∴AE=FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠BAC=∠DCF，在△ABE和△CDF中∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABE=∠CDF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CDF是解题关键．21．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：BF=CF；（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得出四边形ABEC是矩形，得出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，即可得出平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，BC=AD，∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF=CF；（2）解：∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∵BC=AD=4，∴AC===2，∴平行四边形ABCD的面积=AB•AC=2×2=4．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．22．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交与点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE=DF．【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，则该全等三角形的对应边相等：BE=DF．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F分别是OA、OC的中点，∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质的运用．此题运用了平行四边形的对角线互相平分的性质和全等三角形对应边相等的性质．23．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．【分析】将结论涉及的线段BE和DF放到△AEB和△CFD中，证明这两个三角形全等，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC．∴∠BAE=∠DCF．在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS）．∴BE=DF．【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，一般以考查三角形全等的方法为主，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件，是中考的热点．24．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：EB=DF（写出主要的证明依据）．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AB∥CD，AB=CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FCD=∠EAB，由已知AE=CF，可证得△FCD≌△EAB（SAS），所以EB=DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠FCD=∠EAB（两直线平行，内错角相等），∵AE=CF，∴△FCD≌△EAB（SAS），∴EB=DF．【点评】此题考查了平行四边形的性质（平行四边形的对边平行且相等）与全等三角形的判定与性质．25．如图，在▱ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD、BC及CD 的长．【分析】根据平行四边形的性质可得CD=AB=12cm，AO=AC，再根据勾股定理可计算出BO长，进而得到BD长，再在Rt△ABD中利用勾股定理可得AD长，进而得到BC长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=12cm，AO=AC=26cm×=13cm．∵BD⊥AB，∴∠ABD=90°．在Rt△ABO中，OB==5cm．∴BD=2OB=2×5cm=10cm．在Rt△ABD中，AD==2cm，∴BC=AD=2cm，所以AD=BC=2cm，BD=10cm，CD=12cm．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对边分别相等．26．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），求D点的坐标．【分析】设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=6，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．【解答】解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，﹣3），∴C的坐标为（7，3），∴CH=3，CE=6，∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC=6，∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D点的坐标是（5，0）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．27．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC 于点E，F．求证：AE=CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．28．如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求：（1）线段AC、OA的长；（2）平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD=BC=8，OA=OC=AC，根据勾股定理求出AC的长，（2）根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=8，AB=CD=10，OA=OC=AC，∵AB=10，BC=8，由勾股定理得：AC==6，∴OA=3；（2）▱ABCD的面积是BC×AC=8×6=48．答：OA的长是3，▱ABCD的面积是48．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC的长度是解此题的关键．29．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．请你猜想：线段AF与线段EC有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．【分析】由在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用SAS即可判定：△BEC ≌△DFA，利用全等三角形的性质即可得到AF=CE．【解答】解：猜想：AF=CE，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∵在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（SAS），∴AF=CE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．30．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．则∠EBF=∠FDE吗？为什么？【分析】通过三角形全等得出DE=BF与BE=DF，即四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：∠EBF=∠FDE，证明：在平行四边形ABCD中，则AD=BC，∠DAE=∠BCF，又AE=CF，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF，同理BE=DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴∠EBF=∠FDE．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．第31页（共31页）。
精品试题北师大版八年级数学下册第六章平行四边形专题攻克试题(含答案解析)
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为（）A．2＋B．2＋C．2＋D．52、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足222222+，则这++=+a b c d ab cd个四边形是（）A．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形D．对角线垂直的四边形3、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）.若直线l经过点（2，0），且直线l将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（）A．y＝x－2 B．y＝3x－6 C．332y x=-D．2433y x=-4、平行四边形ABCD中，60A∠=︒，则C∠的度数是（）A．30B．60︒C．90︒D．120︒5、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（）A．9条B．8条C．7条D．6条6、如图，正五边形ABCDE点D、E分别在直线m、n上．若m∥n，∠1＝20°，则∠2为（）A．52°B．60°C．58°D．56°7、如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到A B C'''．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E D''．已知2E D''=，则BC的值是（）A．1 B．2 C．4 D．58、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（）A．180°B．360°C．540°D．不能确定9、如图，点O是▱ABCD的对称中心，l是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（）A．甲大B．乙大C．一样大D．无法确定10、如图，一张含有80°的三角形纸片，剪去这个80°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数是（）A．200°B．240°C．260°D．300°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=___________（用含S的代数式表示）2、如图，为了测量池塘两岸A，B两点之间的距离，可在AB外选一点C，连接AC和BC，再分别取AC、BC的中点D，E，连接DE并测量出DE的长，即可确定A、B之间的距离．若量得DE=15m，则A、B之间的距离为__________m3、如果一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为________；正八边形的每个内角为_________度．4、一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正_____边形．5、若某多边形从一个顶点所作的对角线为4条，则这个多边形共有________条对角线．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在Rt ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝α，O为AC的中点，将点O沿BC翻折得到点O'，将ABC绕点O'顺时针旋转，使点B与C重合，旋转后得到ECF．（1）如图1，旋转角为．（用含α的式子表示）（2）如图2，连BE ，BF ，点M 为BE 的中点，连接OM ，①∠BFC 的度数为 ．（用含α的式子表示）②试探究OM 与BF 之间的关系．（3）如图3，若α＝30°，请直接写出OM BE的值为 ．2、ABC 和AED 都是等腰直角三角形，90BAC EAD ∠∠==．（1）如图1，点B 在线段AE 上，点C 在线段AD 上，请直接写出线段BE 与线段CD 的数量关系：________；（2）如图2，将图1中的ABC 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α（0360α<<），请判断并证明线段BE 与线段CD 的数量关系；（3）将图1中的ABC 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α（0360α<<），若2DE AC =，在旋转的过程中，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出旋转角α的度数．3、已知CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C ＝∠BAE4、如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方旋转90°，得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB ≌AGC（2）如图2，连接HG 和GF ，其中HG 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有∠HFG ＝90°；②若AB ＝AC ＝4，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？5、四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线与边BC 交于点E ；ADC ∠的平分线交直线AE 于点O ．（1）若点O 在四边形ABCD 的内部．①如图1，若AD BC ∥，50B ∠=︒，70C ∠=︒，则DOE ∠=______．②如图2，试探索B 、C ∠、DOE ∠之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．（2）如图3，若点O 在四边形ABCD 的外部，请探究B 、C ∠、DOE ∠之间的数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、B【详解】解：如图作点O 关于直线AB 的对称点O’，作OC MN 且2OC MN ==，连接O’C 交AB 于点D ，连接ON ，MO ，∴四边形MNOC 为平行四边形，∴O M OM '=，=ON CM ，∴'+=+OM ON O M MC ，在ΔΔ′ΔΔ中，'O M CM O C '+>，即'OM ON O C +>，当点M 到点D 的位置时，即当O’、M 、C 三点共线，OM ON +取得最小值，∵30BAO ∠=︒，6AO =，设OB x =，则2AB x =，()22262x x +=，解得：x =即：BO =AB =1122=⨯⨯=⨯⨯AOBS BO AO AB OF ， 解得：3OF =，∴6O O '=，∵'OO MN ⊥，∴90FMO MOF ∠+∠=︒，∵OC MN ，∴FMO MOC ∠=∠，∴90FMO MOC FOC ∠+∠=∠=︒，在'Rt O OC 中，'=O C即：OM ON +=∴2MN OM ON ++=+故选：B ．【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，30角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．2、B【分析】根据完全平方公式分解因式得到a=b ，c=d ，利用边的位置关系得到该四边形的形状．【详解】解：222222a b c d ab cd ++=++，2222022a ab b c cd d -++-+=，22()0)c d a b +--=（，0,0c d a b --==，∴a=b ，c=d ，∵四边形四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，b 为对边，∴c、d 是对边，∴该四边形是平行四边形，故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．3、C【分析】根据直线l 将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，可得直线l 过OB 的中点，又根据中点公式可得OB 的中点为()4,3，然后设直线l 的解析式为()0y kx b k =+≠，将点（2，0），()4,3 代入，即可求解．【详解】解：∵直线l 将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，∴直线l 过平行四边形的对称中心，即过OB 的中点，∵顶点B 的坐标为（8，6）， ∴86,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()4,3， 设直线l 的解析式为()0y kx b k =+≠，将点（2，0），()4,3 代入，得：2043k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线l 的解析式为332y x =-， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了求一次函数解析式，平行四边形的性质，明确题意，得到直线l 过平行四边形的对称中心是解题的关键．4、B【分析】根据平行四边形对角相等，即可求出C ∠的度数．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C ∠=∠，∴60A ∠=︒，∴60C ∠=°．故：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．5、A【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．6、D【分析】延长AB 交直线n 于点F ，由正五边形ABCDE ，可得出五边形每个内角的度数，再由三角形外角的性质可得128EGB ∠=︒，根据平行线的性质可得52GFH ∠=︒，最后再利用一次三角形外角的性质即可得．解：如图所示，延长AB 交直线n 于点F ，∵正五边形ABCDE ，∴108A ABC C D AED ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∵120∠=︒，∴1128EGB A ∠=∠+∠=︒，∵m n ∥，∴18052GFH EGB ∠=︒-∠=︒，∴256GBH GFH ∠=∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】题目主要考查正多边形的内角，平行线的性质，三角形外角的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这几个性质是解题关键．7、C【分析】先根据旋转的性质可得ED ＝E 'D '＝2，再根据三角形的中位线定理求解即可．解：∵△ABC 以点O 为旋转中心，旋转180°后得到△A ′B ′C ′，ED 是△ABC 的中位线，经旋转后为线段E 'D '，∴ED ＝E 'D '＝2，∴BC ＝2ED ＝4，故选C ．【点睛】本题考查旋转的性质、三角形的中位线定理，掌握旋转的性质是解题的关键．8、B【分析】设BE 与DF 交于点M ，BE 与AC 交于点N ，根据三角形的外角性质，可得,BMD B F CNE A E ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．【详解】解：设BE 与DF 交于点M ，BE 与AC 交于点N ，∵,BMD B F CNE A E ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，∴A B C D E F BMD CNE C D ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠ ，∵360BMD CNE C D ∠+∠+∠+∠=︒，∴360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，多边形的内角和，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键．9、C【分析】如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N H 则O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥再证明,ANO CHO ≌ ,,DNO BHO AOB COD ≌≌ 可得,ANHB CHND S S 四边形四边形 从而可得答案.【详解】解：如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N HO 为▱ABCD 的对称中心，O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥,,NAO HCO ANO CHO,ANO CHO ≌同理：,,DNO BHO AOB COD ≌≌,ANHB CHND S S 四边形四边形所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的，故选C【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，随机事件发生的可能性的大小，几何概率的意义，理解几何概率的意义是解本题的关键.10、C【分析】三角形纸片中，剪去其中一个80°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．【详解】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°-80°=100°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2=360°-100°=260°．故选：C．【点睛】本题主要考查四边形的内角和，解题的关键是掌握四边形的内角和为360°及三角形的内角和为180°．二、填空题S1、2【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【详解】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，∴S =BC •EF ，S 1=•2AD PE ，S 2=•2BC PF ， ∵EF =PE +PF ，AD =BC ，∴S 1+S 2=()••••22222BC PE PF AD PE BC PF BC EF S ++===， 故答案为：2S ． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2、30【分析】根据三角形中位线的性质解答即可．【详解】解：∵点D ，E 分别是AC ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AB =2DE =30m ．故填30．【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．3、10 135【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．当n=8时，利用2?180 nn-︒（）即可得到正八边形的每个内角的度数．【详解】解：根据题意，得：（n-2）•180=1440，解得：n=10．所以此多边形的边数为10；正八边形的每个内角为82?1808-︒=（）135°．故答案为：10；135．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决．4、五【分析】根据多边形的外角和等于360°进行解答即可得．【详解】解：360725︒÷︒=，故答案为：五．【点睛】本题考查了多边形的外角和，解题的关键是熟记多边形的外角和等于360°．5、14【分析】根据对角线的概念，知一个多边形从一个顶点出发有（n −3）条对角线，求出n 的值，再根据多边形对角线的总数为12n （n −3），即可解答．【详解】解：∵从某个多边形的一个顶点出发一共画出4条对角线，∴n −3＝4，∴n ＝7， 那么这个多边形对角线的总条数为：12×7×（7−3）＝14．故答案为：14．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记对角线条数的公式．三、解答题1、（1）2α；（2）①α；②12OM BF =；（3 【分析】（1）连接OB ，O B '，O C '，由=90ABC ∠，O 为BC 的中点，得到12OB OA OC AC ===， 则OBA A α∠=∠=，90CBO ABC OBA α∠=∠-=-∠，再由旋转的性质可得=O B O C ''，90BCO CBO α''∠==-∠，由此求解即可；（2）①连接O C '，O F '，由（1）可知=2CO F α'∠（因为CO F '∠也是旋转角），由旋转的性质可得O C O F ''=，BC FC =，则90O CF O FC α''==-∠∠，可以得到1802BCF O CB O CF α''∠=∠+∠=-，再由BC FC =可以得到()1==1802BFC FBC BCF -∠∠∠，由此即可求解； ②连接OB ，OE 延长OM 交EF 于N ，由①得BFC FBC A α∠=∠=∠=，由旋转的性质可得CFE BCA =∠∠，AC EF =，然后证明90BFC CFE BFE ∠+∠=∠=，=90CBF OBC OBF ∠+∠=∠，得到OB EF ∥，则OBM NEM ∠=∠，再证明△OBM ≌△NEM 得到EN BO =，12OM MN ON ==，1122EN AC EF ==从而推出MN 为△BFE 的中位线，得到12MN BF =，则12OM BF =； （3）连接O C '与BF 交于H ，由=90O CF O CB α''=-∠∠，BC FC =，可得CH BF ⊥，2BF HF =，由含30度角的直角三角形的性质可以得到2CF CH ===，2EF CF ==，再由勾股定理可以得到BE ===，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，连接OB ，O B '，O C '， ∵=90ABC ∠，O 为BC 的中点，∴12OB OA OC AC ===， ∴OBA A α∠=∠=， ∴90CBO ABC OBA α∠=∠-=-∠，∵将点O 沿BC 翻折得到点O '，∴==90CBO CBO α'-∠∠，由旋转的性质可得=O B O C ''，90BCO CBO α''∠==-∠，∴1802BO C BCO CBO α'''=-∠-=∠∠，∴旋转角为2α，故答案为：2α；（2）①如图所示，连接O C '，O F '，由（1）可知=2CO F α'∠（因为CO F '∠也是旋转角），由旋转的性质可得O C O F ''=，BC FC =， ∴()1=180902O CF O FC CO F α'''=-=-∠∠∠， ∴1802BCF O CB O CF α''∠=∠+∠=-，∵BC FC =， ∴()1==180=2BFC FBC BCF α-∠∠∠， 故答案为：α；②如图所示，连接OB ，OE 延长OM 交EF 于N ，由①得BFC FBC A α∠=∠=∠=，由旋转的性质可得CFE BCA =∠∠，AC EF =，∵=90ABC ∠，∴90A BCA ∠+∠=，∴90BFC CFE BFE ∠+∠=∠=，∵OC OB =，∴OBC BCA ∠=∠，∴90A OBC ∠+∠=，∴=90CBF OBC OBF ∠+∠=∠，∴OB EF ∥，∴OBM NEM ∠=∠∵M 为BE 的中点，∴BM ME =，在△OBM 和△NEM 中，OBM NEM BM EMOMB NME ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OBM ≌△NEM （SAS ），∴EN BO =，12OM MN ON ==， ∴1122EN AC EF ==， ∴N 为EF 的中点，∴MN 为△BFE 的中位线， ∴12MN BF =， ∴12OM BF =；（3）如图所示，连接O C '与BF 交于H ，∵=90O CF O CB α''=-∠∠，BC FC =，∴CH BF ⊥，2BF HF =，∴OM HF =，∴=30BFC ∠，∴2FC CH =，∵222FC CH HF =+，∴2CF CH ===， ∵===30CEC A α∠∠，90FCE CBA ∠=∠=，∴2EF CF ==，∵BE ===，∴OM BE ==． 故答案为：14．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质．2、（1）BE CD =；（2）BE CD =，证明见详解；（3）角α的度数是45°或225°或315°．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB AC =，AE AD =，再根据等量关系可得线段BE 与线段CD（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB AC =，AE AD =，根据旋转的性质可得BAE CAD ∠=∠，根据全等三角形的判定定理可证BAE CAD ≌，根据全等三角形的性质即可求解；（3）根据平行四边形的性质可得45ABC ADC ∠=∠=︒，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 和AED 都是等腰直角三角形，90BAC EAD ∠=∠=︒，∴AB AC =，AE AD =，∴AE AB AD AC -=-，∴BE CD =，故答案为：BE CD =；（2）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，90BAC EAD ∠=∠=︒，∴AB AC =，AE AD =，由旋转的性质得，BAE CAD ∠=∠，在BAE 与CAD 中===AB AC BAE CAD AE AD ⎧⎪⎨⎪∠⎩∠， ∴BAE CAD ≌，∴BE CD =；（3）如图，∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，ABC 和AED 都是等腰直角三角形， ∴45ABC ADC ∠=∠=︒，∵2ED AC =，∴AC CD =，∴①当C 点旋转于1C 位置时45α=︒，②当C 点旋转于2C 位置时3609045225α=︒-︒-︒=︒，③当C 点旋转于3C 位置时36045315α=︒-︒=︒，∴角α的度数是45°或225°或315°，故答案为：45°或225°或315．【点睛】题目主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些性质是解题关键．3、见解析【分析】取AC 的中点F ，连接DF ，则DF 为ABC 的中位线，进而可得,DF BE B FDC ∠∠=＝，证明ABE △≌CDF 即可证明∠C ＝∠BAE ．【详解】证明：如图，取AC 的中点F ，连接DF ，∵BDA BAD ∠=∠∴BA BD =∵CD ＝AB ，∴BD DC =DF AB ∴∥，12DF AB =， B FDC ∴∠=∠ ∵AE 是△ABD 的中线， ∴1122BE BD AB == DF BE ∴=在ABE △与CDF 中AB CD B FDC BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE △≌CDF∴∠C ＝∠BAE【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形中位线的性质，三角形全等的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．4、（1）见详解；（2）①见详解；②EH 2；【分析】（1）根据等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，可得AB =AC ，根据线段AH 绕点A 逆时针方旋转90°，得到AG ，可得AH =AG ，∠HAD =90°，可证∠BAH =∠CAG ，即可证△ABH ≌△ABG （SAS ）；（2）①根据点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，可得AE =12AB ，AF=12AC ，EF∥BC ，可得AB =AC ，∠BAC =90°，可得AE =AF ，∠EAF =90°，可求∠AEF =∠AFE =()1180452EAF ︒-∠=︒，再证△AEH ≌△AFG （SAS ），可得∠AEH =∠AFG =45°，可求∠HFG =∠AFE +∠AFG =45°+45°=90°；②根据AB ＝AC ＝4，∠BAC =90°，利用勾股定理BC ==E ，F 分别为AB ，AC 的中点，可求EF =1122BC =⨯=AQG 为等腰三角形，分三种情况，当AQ =GQ 时，根据AH =AG ，∠HAG =90°，可求∠QAG =∠QGA =45°，可证HG ⊥AC ，再证AH 平分∠EAF ，AE =AF ，可得EH =HF =1122EF =⨯=AG =GQ =AH ，∠AGQ =45°，可求∠GAQ =∠GQA =()118067.52AGQ ︒-∠=︒，可求∠EAH =∠EHA =67.5°，可得EH =AE =114222AB =⨯=；当AQ =QG 时，根据∠AQG 是△AQM 的外角，得出∠AQG ＞∠AMQ =90°＞∠AGQ =45°，AQ =AG 不成立．【详解】（1）证明：∵等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，∴AB =AC ，∵线段AH 绕点A 逆时针方旋转90°，得到AG ，∴AH =AG ，∠HAD =90°，∴∠BAH +∠HAF =∠HAF +∠CAG =90°，∴∠BAH =∠CAG ，在△ABH 和△ABG 中，AB AC BAH CAG AH AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABH ≌△ABG （SAS ），（2）①证明：∵点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =12AB ，AF=12AC ，EF∥BC ， ∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AE =AF ，∠EAF =90°，∴∠AEF =∠AFE =()1180452EAF ︒-∠=︒， 在△AEH 和△AFG 中，AE AF EAH FAG AH AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEH ≌△AFG （SAS ），∴∠AEH =∠AFG =45°，∴∠HFG =∠AFE +∠AFG =45°+45°=90°，∴∠HFG ＝90°；②解：∵AB ＝AC ＝4，∠BAC =90°，根据勾股定理BC ==∵点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF =1122BC =⨯= ∵AQG 为等腰三角形分三种情况当AQ =GQ 时，∵AH =AG ，∠HAG =90°，∴∠AHG =∠AGH =()1180452HAG ︒-∠=︒， ∴∠QAG =∠QGA =45°，∴∠AQG =180°-∠QAG -∠QGA =90°，∴HG ⊥AC ，∴∠HAQ =90°-∠QAG =90°-45°=45°，∴∠EAH =90°-∠HAQ =90°-45°=45°，∴AH 平分∠EAF ，AE =AF ，∴EH =HF =1122EF =⨯=当AG =GQ =AH ，∠AGQ =45°，∴∠GAQ =∠GQA =()118067.52AGQ ︒-∠=︒， ∴∠EAH =∠QAG =67.5，∴∠AHE =180°-∠AEH -∠EAH =180°-45°-67.5°=67.5°∴∠EAH =∠EHA =67.5°∴EH =AE =114222AB =⨯=；当AQ =QG 时，过A 作AM ⊥HG 于M ，∵∠AQG 是△AQM 的外角，∴∠AQG ＞∠AMQ =90°＞∠AGQ =45°，∴AQ =AG 不成立．综合得EH 2．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思想，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思想是解题关键．5、（1）120°；（2）1118022DOE B C ︒∠=-∠-∠；（3）1122DOE B C ∠=∠+∠ 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可求∠BAE ，∠CDO ，再根据三角形外角的性质可求∠AEC ，再根据四边形内角和等于360°可求∠DOE 的度数；②根据三角形外角的性质和角平分线的定义可得∠DOE 和∠BAD 、∠ADC 的关系，再根据四边形内角和等于360°可求∠B 、∠C 、∠DOE 之间的数量关系；（2）根据四边形和三角形的内角和得到∠BAD +∠ADC =360°-∠B -∠C ，∠EAD +∠ADO =180°-∠DOE ，根据角平分线的定义得到∠BAD =2∠EAD ，∠ADC =2∠ADO ，于是得到结论．【详解】解:（1）①∵//AD BC∴180,180B BAD C ADC ∠+∠=∠+∠=又∵∠B =50°，∠C =70°∴∠BAD =130°，∠ADC =110°∵AE 、DO 分别平分∠BAD 、∠ADC∴∠BAE =65°，∠ODC =55°∴∠AEC =115°∴∠DOE =360°-115°-70°-55°=120°故答案为：120°②1118022DOE B C ︒∠=-∠-∠，理由如下： AE ∵平分BAD ∠12DAE BAD ∴∠=∠ DO 平分ADC ∠12ADO ADC ∠= DAE ADO ∴∠+∠ 1122BAD ADC =∠+()12BAD ADC =∠+∠ 360B C BAD ADC ︒∠+∠+∠+∠=360BAD ADC B C ︒∴∠+∠=-∠-∠DAE ADO ∴∠+∠ ()13602B C ︒=-∠-∠1118022B C ︒=-∠-∠ ()180AOD DAE ADO ︒∴∠=-∠+∠1122B C =∠+∠ 180DOE AOD ︒∴∠=-∠1118022B C ︒=-∠-∠ 即1118022DOE B C ︒∠=-∠-∠ （2）1122DOE B C ∠=∠+∠，理由如下： AE ∵平分BAD ∠12DAE BAD ∴∠=∠ DO 平分ADC ∠12ADO ADC ∠= DAE ADO ∴∠+∠ 1122BAD ADC =∠+()12BAD ADC =∠+∠ 360B C BAD ADC ︒∠+∠+∠+∠=360BAD ADC B C ︒∴∠+∠=-∠-∠DAE ADO ∴∠+∠ ()13602B C ︒=-∠-∠ 1118022B C ︒=-∠-∠ ()180AOD DAE ADO ︒∴∠=-∠+∠1122B C =∠+∠ 即：1122DOE B C ∠=∠+∠. 【点睛】本题考查多边形内角与外角平行线的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握四边形内角和等于360°，这是解题的重点．。
2019八年级数学下册 专题突破讲练 平行四边形性质专题试题 (新版)青岛版
平行四边形性质专题一、平行四边形的性质1. 平行四边形的性质2. 扩展性质平行四边形的面积法使用①如图A B C DS=A B D E B C⋅=⋅也就是ABCDS ah=，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
如图：平行四边形ABCD与平行四边形EBCF有公共边BC，则ABCDS=EBCFS。
拓展知识：两条平行线间的距离处处相等。
总结：（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。
（2）平行四边形中对角线是常用辅助线。
平行四边形对边相等，如：AD＝CB，AB＝CD；平行四边形对角相等，如：∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD；平行四边形对角线互相平分，如：AO＝CO，BO＝DO。
平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四个小三角形，如：AOBS∆＝BOCS∆＝COD AODS S∆∆=；平行四边形对角线把平行四边形分成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差，如：AOB BOCc c AB BC∆∆-=-（c表示周长）；平行四边形对角线的一半和大于任意一边长，如：1122AC BD AB+>；过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分。
例题1 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为（ ）A. 4B. 3C.25D. 2解析：根据平行四边形性质得出AB ＝DC ，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出DE ＝DC ＝AB ，得出AD ＝2DE 即可。
答案：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝DC ，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE， ∵CE 平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC ＝AB ，∵AD＝2AB ＝2CD ，CD ＝DE ，∴AD＝2DE ，∴AE＝DE ＝3，∴DC＝AB ＝DE ＝3，故选B 。
2020八年级数学下册 专题突破讲练 平行四边形性质专题试题 (新版)青岛版
平行四边形性质专题一、平行四边形的性质1. 平行四边形的性质2. 扩展性质二、平行四边形的面积法使用① 如图ABCD S =AB DE BC DF ⋅=⋅也就是ABCD Sah =，其中a可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。
② 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
如图：平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 有公共边BC ，则ABCD S =EBCF S 。
平行四边形对边相等，如：AD ＝CB ，AB ＝CD ；平行四边形对角相等，如：∠B ＝∠D ，∠BAD ＝∠BCD ；平行四边形对角线互相平分，如：AO ＝CO ，BO ＝DO 。
平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的四个小三角形，如：AOB S ∆＝BOC S ∆＝COD AOD S S ∆∆=；平行四边形对角线把平行四边形分成四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差，如：AOB BOC c c AB BC ∆∆-=-（c 表示周长）；平行四边形对角线的一半和大于任意一边长，如：1122AC BD AB +>； 过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分。
拓展知识：两条平行线间的距离处处相等。
总结：（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。
（2）平行四边形中对角线是常用辅助线。
例题1 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为（ ）A. 4B. 3C. 25D. 2解析：根据平行四边形性质得出AB ＝DC ，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出DE ＝DC ＝AB ，得出AD ＝2DE 即可。
答案：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝DC ，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE， ∵CE 平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC ＝AB ，∵AD＝2AB ＝2CD ，CD ＝DE ，∴AD＝2DE ，∴AE＝DE ＝3，∴DC＝AB ＝DE ＝3，故选B 。
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平行四边形性质专题一、平行四边形的性质 1. 平行四边形的性质2. 扩展性质法使用①如图ABCS=A BD EB⋅=⋅ 也就是ABCDSah =，其中a可以是平行四边形的任何一边，h 必须是a 边到其对边的距离，即对应的高。
② 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
如图：平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 有公共边BC ，则ABCDS=EBCFS。
拓展知识：两条平行线间的距离处处相等。
总结：（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。
（2）平行四边形中对角线是常用辅助线。
三角形周长差等于边长差，如：例题1 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为（ ）A. 4B. 3C.25D. 2解析：根据平行四边形性质得出AB ＝DC ，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出DE ＝DC ＝AB ，得出AD ＝2DE 即可。
答案：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝DC ，AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE， ∵CE 平分∠DCB，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC ＝AB ，∵AD＝2AB ＝2CD ，CD ＝DE ，∴AD＝2DE ，∴AE＝DE ＝3，∴DC＝AB ＝DE ＝3，故选B 。
点拨：本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE ＝AE ＝DC 。
例题2 如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD，交BC 于点E ，且AB ＝AE ，延长AB 与DE 的延长线交于点F 。
下列结论中：①△ABC≌△E AD ；②△ABE 是等边三角形；③AD＝AF ；④S △ABE ＝S △CDE ；⑤S △ABE ＝S △CEF 。
其中正确的是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①②⑤D. ①③④解析：由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD∥BC，AD ＝BC ，又因为AE 平分∠B AD ，可得∠BAE＝∠DAE，所以可得∠BAE＝∠BEA，得AB ＝BE ，由AB ＝AE ，得到△ABE 是等边三角形，则∠ABE＝∠EAD＝60°，所以△ABC≌△E AD （SAS ）；因为△FCD 与△ABD 等底（AB ＝CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），所以S △FCD ＝S △ABD ，又因为△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC ＝S △DEC ，所以S △ABE ＝S △CEF 。
答案：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD ＝BC ，∴∠EAD＝∠AEB， 又∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE ，∵AB＝AE ， ∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵AB＝AE ，BC ＝AD ，∴△ABC≌△EAD（SAS ）；①正确；∵△F CD 与△ABC 等底（AB ＝CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD ＝S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC ＝S △DEC ，∴S △ABE ＝S △CEF ；⑤正确。
∵AD 与AF 不一定相等，∴③不一定正确； ∵BE 不一定等于CE ，∴④不一定正确。
故选C 。
点拨：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质。
此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析。
平行四边形的面积问题例题 如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连接AC 、CE ，使AB ＝AC 。
（1）求证：△BAD≌△AC E；（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积。
解析：（1）根据平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定方法得出即可；（2）首先根据勾股定理得出BG＝3x，进而利用BG－DG＝BD求出AG的长，进而得出平行四边形ABDE的面积。
答案：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。
又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE＝BD，∴∠ACB ＝∠CAE＝∠B，在△DBA和△E AC中，AB CAB EACBD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DBA≌△E AC（SAS）；（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G。
设AG＝x，在Rt△AGD中，∵∠ADC＝45°，∴AG＝DG＝x，在Rt△AGB中，∵∠B＝30°，∴BG＝3x，又∵BD＝10。
∴BG－DG＝BD，即3x−x＝10，解得AG＝x＝1310-＝53＋5，∴S平行四边形ABDE＝BD•AG＝10×（53＋5）＝503＋50。
平行四边形中的折叠例题如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边DC、AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B、C分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG、B′G。
求证：（1）∠1＝∠2；（2）DG＝B′G。
解析：（1）根据平行四边形得出DC∥AB，推出∠2＝∠FEC，由折叠得出∠1＝∠FEC＝∠2，即可得出答案；（2）求出EG＝B′G，推出∠DEG＝∠EGF，由折叠求出∠B′FG＝∠EGF，求出DE＝B′F，再证△DEG≌△B′FG即可。
答案：证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠2＝∠FEC，由折叠得：∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2，∴EG＝GF，∵AB∥DC，∴∠DEG＝∠EGF，由折叠得：EC′∥B′F，∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠DEG＝∠B FG'，∵DE＝BF＝B′F，∴DE＝B′F，在△DEG 和△B FG '中，GE GF DEG B FG DE B F =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴△DEG≌△B′FG（SAS ），∴DG＝B′G。
（答题时间：45分钟）一、选择题1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB ＝5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（ ）A. 18B. 28C. 36D. 462. 如图，在Rt△AB C 中，∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5*3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＞AD ，按以下步骤作图：以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、AD 于E 、F ；再分别以E 、F 为圆心，大于21EF 的长为半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H 。
则下列结论：①AG 平分∠DAB，②CH＝21DH ，③△ADH 是等腰三角形，④S △ADH ＝21S 四边形ABCH 。
其中正确的有（ ）A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③**4. 如图，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝3：2，∠DAB＝60°，E 在AB 上，且AE ：EB ＝1：2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP⊥AF 于P ，DQ⊥CE 于Q ，则DP ：DQ 等于（ ）A. 3：4B.13:25C. 13:26D. 23: 13**5. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC，CF 平分∠BCD，BE 、CF 交于点G 。
若使EF ＝41AD ，那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（ ）A. ∠ABC＝60°B. AB ：BC ＝1：4C. AB ：BC ＝5：2D. AB ：BC ＝5：8**6. 如图，在平行四边形ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF 、EF ，①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF 是等边△；④CG⊥AE。
则四个结论一定正确的是（ ）A. 只有①②B. 只有①②③C. 只有③④D. ①②③④二、填空题*7. 如图，过平行四边形ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的平行四边形AEMG 的面积S 1与平行四边形HCFM 的面积S 2的大小关系是 。
**8. 在平行四边形ABCD 中，∠DAB 的平分线分对边DC 为3cm 和5cm 两部分，则平行四边形ABCD 的周长为 。
**9. 如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB＝45°，BD ＝2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为 。
三、解答题*10. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F。
（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE。
试判断CE和DF的位置关系，并说明理由。
**11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝32°。
分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF。
（1）求证：△ABE≌△FDA；（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数。
**12.（黑龙江）在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB 交BC于点D，交AC于点F。
若点P在BC边上（如图1），此时PD＝0，可得结论：PD＋PE＋PF＝AB。
请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明。
1. C 解析：∵四边形ABC D 是平行四边形，∴AB＝CD ＝5，∵△OCD 的周长为23，∴O D ＋OC ＝23－5＝18，∵BD ＝2DO ，AC ＝2OC ，∴平行四边形ABC D 的两条对角线的和＝BD ＋AC ＝2（DO ＋OC ）＝36，故选C 。
2. B 解析：∵在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC＝22BC AB +＝5。
∵四边形ADCE 是平行四边形，∴OD＝OE ，OA ＝OC ＝2.5。
∴当OD 取最小值时，DE 线段最短，此时OD⊥BC。
∴OD＝21AB ＝1.5，∴ED＝2OD＝3。