【数学】湖南省长沙市2015届高考模拟(理)

2015年长沙市高考模拟试卷（理）说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数满足，则 =（ ） A ．B ．C ．D ．2．设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为（ ）A ．10万元B ．15万元C ．20万元D ．25万元4．执行如右图所示的程序框图,若输出的值为22，那么输入的值等于（ ）A ．6B ．7z i i21=+z z i 2+-i 2--i 2+i 2-,a b 0<⋅b a ,ab snC ．8D ．95．如图，矩形的四个顶点正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F ，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 设函数f （x ）=sin （2）+cos （2），且其图象关于直线x=0对称，则（ ） A ．y =f （x ）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数B ．y =f （x ）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数C ．y =f （x ）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数D ．y =f （x0，）上为减函数7. P 则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D 8. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（ ）ABCD ()(),()0,1,1,,10,1(),A B C D ππ--，()f x sinx=()g x cosx=ABCD ABCD π21+π221+π1π21ϕ+x 3ϕ+x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<2||πϕπ2π2π4ππ2π2π4π()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤()()2x b x b f R -+∈=1234x x x x ，，，A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）。

9. 过圆外一点P 作圆的切线PA(A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C 两点.若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________．10. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为(为参数)．设点P 为曲线C2上的动点，过点P 作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_______．11. 不等式对一切非零实数x ，y 均成立，则实数a 的取值范围为___________________． （二）必做题（12~16题）12. 三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于_____________.122x x +=1219x x <<()()340661x x <--<34925x x <<2cos ρθ=4131x t y t =-⎧⎨=+⎩1|2|siny x a x +≥-+13. 二项式的展开式中常数项为________________（用数字作答）。

14. 已知x ，y 满足约束条件若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 15. 已知数列中，，①b=1时，=12; ②存在，数列成等比数列；③当时，数列是递增数列；④当时数列是递增数列以上命题为真命题的是___________________.（写出所有真命题对应的序号）。

16. 若函数 y =f （x ）在定义域内给定区间上存在xo （a<xo<b ），满足f （xo ）=，则称函数y=f （x ）是上的“平均值函数”，xo 是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，O 就是它的均值点．（1）若函数，f （x ）= x2-mx-1是上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是_______． （2）若f （x ）=㏑x 是区间（b>a≥1）上的“平均值函数”，xo 是它的一个均值点，则㏑xo与 的大小关系是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.5⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x }{n a *11n )0(3,3N b b a a a n n n ∈=+=+＞7S R ∈λ{}n n a b l -(1,)b ??}{2n a (0,1)b Î}{n a ()()f b f a b a --ab 1（Ⅰ）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（Ⅱ）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点．（Ⅰ）求证:平面； （Ⅱ）求证：平面⊥平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）节能减排是现代生活的追求。

长沙地区某一天的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：， 且早上8时的温度为，．S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD SA AB =M SD AN SC ⊥SC N //SB ACM SAC AMN D AC M --C t ()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈24C (0,)8πω∈（Ⅰ）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（Ⅱ）某通宵营业的超市，为节约能源和开支，在环境温度超过时，才开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20．（本小题满分13分）已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．（Ⅰ）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．（ⅰ）求的值； （ⅱ）求数列的通项公式．21．（本小题满分13分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率虚轴长为2. （Ⅰ）求双曲线的标准方程；（Ⅱ）若直线与双曲线相交于，两点（均异于左、右顶点），且28C {}n a n S{}n a n {}n a n ()22n n S S ={}n a n 12{,,,}n a a a 12,,,na a a nS 12,a a {}n a以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．22．（本小题满分13分）已知为常数，在处的切线方程为．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：对任意正整数，有．2015年长沙市高考模拟试卷（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】因为，所以选C.【思路点拨】可结合复数的运算法则先求出复数z ，进而得其共轭复数，解答即可. 2.【答案】B【知识点】向量的数量积；充分条件；必要条件.【解析】因为时，夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.【思路点拨】因为时，夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时， 成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件. 3.【答案】C【知识点】用样本估计总体【解析】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4 ∴11时至12时的销售额为5×4=20【思路点拨】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍． 4.【答案】C【知识点】程序框图的准确阅读与理解.【解析】图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3;(3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.（7）s=16+6=22,i=8,所以若输出的值为22，那么输入的值等于8.故选C.【思路点拨】根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n 值. 5.【答案】B【知识点】定积分 几何概型 【解析】根据题意，可得曲线与围成的区域，其面积为122,2iz i z i i +==-=+0<⋅,a b r r,a b 0<⋅0<⋅,a b 0<⋅,a b r r,a b 0<⋅0<⋅b a ,a b s n y sinx =y cosx=44|1122sinx cosx dx cosx sinx ππππ-=--=-=⎰（）（）（又矩形的面积为，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是：.所以选B.【思路点拨】利用定积分计算公式，算出曲线 与围成的区域包含在区域D 内的图形面积为，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几 何概型公式加以计算即可得到所求概率． 6.【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质【解析】由题意已知函数为，因为其图象关于直线x=0对称，所以，又因为，即函数为，所以的最小正周期为，且在上为减函数，故选择C.【思路点拨】根据其图象关于直线x=0对称以及的范围，可得，即可求得.7.【答案】C【解析】①ABCD 2πy sinx =y cosx =2S π=()2sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭20326k kπππϕπϕ⨯++=+⇒=+||φ6πϕ=()2sin 22cos 263f x x xππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭y f x =（）π02π（，）ϕ6πϕ=C ．考点：椭圆的标准方程，余弦定理的应用. 8.【答案】D【知识点】函数与方程【解析】不妨令b=0,函数f(x)图象与函数的图象如图，则方程的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知，可能大于2，所以A 错误,又，所以，所以B 错误；，所以，则C 错误，综上可知选D.【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. （一）选做题：在9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分. 9.【答案】4【知识点】圆的切线的判定定理的证明2xy -=()()2x b x R f -∈=123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<2x ()122112122lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x----=-=-=<1201x x <<()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦()()34661x x -->。