高中数学苏教版必修4教案：第二章平面向量第3课时2.2向量的减法
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
§ 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．的起点无关．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点)B（终点）aO ABaaab b b§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作= =，则+=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）aABCa +ba +baa bbaｂｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a b ) + b = a + (b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ， 作OA = a ， AB = b则BA = a b 即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a.O abBa ba b２）若a ∥b ， 如何作出ab§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量a bAABBB ’Oa baa b bOAOBa ba bBA Ob§2.3.2—§ 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=二、讲解新课：a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中bρa ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵bρ0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (bρ)01221=-=⇔y x y x λ§平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (bρ0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ， 使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F ||s |cos ，是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos 有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c 如右图：a b = |a ||b |cos = |b ||OA|，bc = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但a c(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4 cos =||||b a ba ⋅5 |ab | ≤ |a ||b |C二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos ； 2 ab a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4cos =||||b a ba ⋅ ；5|ab | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律1．交换律：a b = b a 证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，ba = |b ||a |cos ∴a b = b a 2．数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) = a (λb ) 证：若λ> 0，(λa )b =λ|a ||b |cos， λ(a b ) =λ|a ||b |cos ，a (λb )=λ|a ||b |cos ，若λ< 0，(λa )b =|λa ||b |cos() =λ|a ||b |(cos ) =λ|a ||b |cos ，λ(a b ) =λ|a ||b |cos ，a (λb ) =|a ||λb |cos() =λ|a ||b |(cos ) =λ|a ||b |cos .C3．分配律：(a + b )c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos1 + |b | cos2 ∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos 2， ∴c (a + b ) = c a + c b即：(a + b )c = a c + b c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２ 三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||4 cos =||||b a b a ⋅ ；5|a b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a b = ba 数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) = a (λb ) 分配律：(a + b )c = a c + b c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s =||||b a b a ⋅⋅。
江苏省宿迁市高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法教案2 苏教版必修4
× （1）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（2）若 a和b都是单位向量，则 a = b; (3)任一向量与它的相反向量都不相等；
× ×
× （4）共线的向量，若起点不 同，则终点也不同；
（5）若AB//CD，则直线AB//CD；
×
（6）若直线AB//CD，则AB//CD；
√
（7）a与 b共线，b 与 c 共线，则 a与 c也共线；×
(2) CB AB _C_A________ 0 (3)AB AC BD CD ____
例题讲解 例题1：化简
(1) AB AD DC ; (2) ( AB CD) ( AC BD)
(3) AB DC DF CB AF
巩固练习:
1.(1)化简 AB AC BD CD
小结
1、理解向量减法的定义. 2、掌握向量减法的三角形法则并 能加以运用.
作业:
1.P63:练习4;
2.P65:练习6;
3.P68:习题4.
(2).化简 OA OC BO CO
例题讲解
例题2：如图O是平行四边形ABCD的对角
线的交点，若 AB a, DA b, OC c, 试证明：b c a OA
D
C
b
c
O
A
B
a
练习: 平行四边形ABCD中，AB= a ，AD = b ，用
a , b 表示向量AC,DB
度向东流,渡船若以10 3km/h实际航行的速 度按垂直与河岸的方向航行,那么,如何确定渡 船自身的速度?
DC
AB
2.2 向量的减法
如何作两个向量的差？
如图，已知a,
高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法 苏教版必修4
[预习导引] 1.向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的 差 ，记为a－b，求两个 向量差的运算，叫做 向量的减法 .
2.向量减法的平行四边形法则 以向量A→B＝a，A→D＝b 为邻边作 平行四边形ABCD ，则对角 线的向量B→D＝b－a，D→B＝a－b. 3.向量减法的三角形法则 在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b，即 a －b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.
＝0.
(2)B→D＋D→C＋A→B－A→C. 解 B→D＋D→C＋A→B－A→C ＝(B→D＋D→C)＋(A→B－A→C) ＝B→C＋C→B
＝0.
要点二 用已知向量表示其他向量 例2 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； 解 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，
D→E＝d，E→A＝e，则 D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a.
(2)用 b，c 表示D→B； 解 D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)用 a，b，e 表示E→C； 解 E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝e＋a＋b. (4)用 d，c 表示E→C. 解 E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
规律方法 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利 用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤： ①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形 或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.
＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋E→A)＋(A→B＋D→C).
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C. 方法二 如图，在平面内取点O，连结AO、 EO、DO、CO、FO、BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，
苏教版高中数学必修4教学课件第二章 2.2.2 向量的减法精选ppt课件
3. 由例1让学生总结成减法作图规律 4. （1）相反向量的概念复习
5．那我们现在解决向量的减法有几种手段？请 你用你总结( A B 的 C D 方) ( 法A C 来B D ) 解决化
简：
-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，
数学必修4
2.2.2 向量的减法
一、问题情境
1．向量的加法定义、法则和运算律．
2．实数的减法：
（1）实数a，x，b,已知a+x=b, 则x =
,x叫
做
.
二、学生活动
由数的减法定义来类比推广到向量的减法运算．
三、建构数学
1．引导学生抽象概括出向量减法的定义 由 O B B A O A 根 据 减 法 定 义 得 出 B A ， 你 能 得 到 减 法 的 作 图 方 法 ？ 能 写 出 你 的 想 法 的 步 骤 ？
四、数学运用
1.例2（教材第62页例2） （多种思路，请学生自行解决，并表述出自己的
解法）
思考：任意一个非零向量是否一定可以表示为两
五、回顾小结
1．理解向量减法概念并知道向量的减法的定义 是建立在向量加法的基础上的；
2．会作两向量的差向量； 3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量
表示其它向量.
六、作业
教科书第66页习题2.2第 4,7,8,10（2）题.
再见
2019/12/5
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.A(起点) B （终点）aO A B a a a b b b §2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）aA B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b -a. O ab B a b a -b２）若a ∥b ， 如何作出a - b§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量a -b A A B B B’ O a -b a a b b O A O B a -b a -b B A O -b§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ§2.4平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.C4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0C3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
新课标数学必修4第2章平面向量教案
第二章平面向量第1课时平面向量的实际背景及基础概念【知识与技能】1.理解平面向量、有向线段的概念，掌握向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量共线向量等概念3.会辨认图形中的相等向量;4.清楚认识现实生活中的向量和数量两个不同概念，把握其本质区别，提高辨识能力. 【过程与方法】向量的概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量关系的运算.向量不同于数量，它是一种新的量，既有大小又有方向，关于数量的运算在向量范围内不一定适用.因此，本章在介绍向量概念时，说明了向量与数量的区别.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形来区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.一、教学目标1．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义，并能用数学符号表示向量；2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3．了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义，并会判断向量的平行、相等、共线；4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生进行唯物辩证思想.二、教学重点⑴向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示．⑵向量是一种新的量，其特征有两个:既有大小,又有方向.让学生认识到方向性的存在是认识向量概念的关键，还要让学生理解向量和数量的区别联系，建立一种新的量的思维体系．⑶相等向量只与方向、大小有关，与位置没有关系，进一步理了解学习的向量是自由向量，为以后运用向量解决平面数形问题奠定基础．三、教学难点⑴向量概念的理解．由于向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；⑵引入向量概念之后,随之带来一系列相关概念是比较多的,如零向量,单位向量,相等向量,平行向量,共线向量.对于它们要抓住本质特征,让学生在比较中找出相近概念的区别与联系,而且由于向量同时具有几何图象的特征,在学习时还要在图形中辩清它们相等、平行,且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份、地位和作用.四、教学具准备直尺、投影仪．五、教学过程㈠设置情境问：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？答：不能，因为没有给定发射的方向．问：现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？答：力、速度、加速度等有大小也有方向，温度和长度只有大小没有方向．㈡向量的概念：力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．数学中用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量．在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向．（1）意义：既有大小又有方向的量叫向量。
苏教版数学高一必修4教案 向量的减法
2．2.2向量的减法●三维目标1．知识与技能(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．(2)能结合图形进行向量计算．2．过程与方法由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想．3．情感、态度与价值观通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．●重点难点重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系．难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义．●教学建议1．关于相反向量的教学教学时，建议教师类比相反数的定义，结合向量的特征，由学生自主给出“相反向量的概念”，并会画出某具体向量的相反向量．2．关于向量减法的教学教学时，建议教师结合相反向量的表示及向量加法的几何意义，师生共同完成向量的减法及其几何意义的推导，并让学生会用向量减法的几何意义作图、化简、求值．●教学流程创设问题情境，引入相反向量概念.⇒引导学生结合向量加法的几何意义，探究向量减法的几何意义，并强调用向量减法的几何意义作图时注意问题.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握作已知向量的和差的作图方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握向量加减法的基本运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握结合图形，用已知向量表示其他向量的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解相反向量的概念．2.了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系．(重点)3.掌握向量减法运算，并理解其几何意义．(难点)向量的减法【问题导思】若a ＋b ＝0，则a 与b 有何关系？ 【提示】 由a ＋b ＝0，得a ＝－b ， ∴a 是b 的相反向量．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b .求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量作和(差)向量图2－2－13如图2－2－13，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【思路探究】 先将a ，b 首尾相连，作出a ＋b ，然后根据向量减法的定义作a ＋b 与c 的差向量．【自主解答】 作法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .作法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，过点B 作CB →＝c ，则OC →＝a ＋b －c .1．求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用．2．求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连结两个向量的终点，并指向被减向量．3．作图时一定要注意箭头的方向．用本例所示的向量，作出向量a －b ＋c .【解】 如图，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，再过A 作AC →＝c ，则BC →＝a －b ＋c .向量加减法的基本运算化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．【思路探究】 思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如AB →＝OB →－OA →等．【自主解答】 法一 (利用相反向量) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二 (利用向量减法的几何意义)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD → ＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0. 法三 (利用AB →＝OB →－OA →)设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.1．向量减法运算的常用方法：2．注意满足下列两种形式可以化简： (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．(1)化简：(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝________.(2)化简：(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝________. 【解析】 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0.【答案】 (1)DA →(2)0用已知向量表示其他向量图2－2－14如图2－2－14，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【思路探究】 根据图形特点，正确运用向量加法、减法的几何意义即可将要求的向量表示出来．【自主解答】 由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC →＝DC →－DE →＝－CD →－DE →＝－c －d .用已知向量表示某向量的四个步骤： 第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果．图2－2－15如图2－2－15，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →； (2)AD →； (3)AD →－AB →； (4)AB →＋CF →； (5)BF →－BD →.【解】 (1)AC →＝OC →－OA →＝c －a . (2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d . (3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →－OC →＋OF →＝b －a －c ＋f . (5)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝f －d .向量减法运算法则运用出错致误图2－2－16如图2－2－16所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C的向量分别为r 1，r 2，r 3，求OD →.【错解】 因为OD →＝OC →＋CD →， 且CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1. 【错因分析】 错误使用了向量的减法法则．【防范措施】 注意运用三角形法则时，两向量的差等于以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，即AB →＝OB →－OA →，防止出现AB →＝OA →－OB →的错误．【正解】 OD →＝OA →＋AD →＝r 1＋BC →＝r 1＋OC →－OB →＝r 1＋r 3－r 2.向量减法的运算法则(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC →)，而差向量是另一条对角线(DB →)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.1．△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝________. 【解析】 AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b . 【答案】 －a －b2．下列各式：①OA →＋OC →＋BO →＋CO →；②OA →－OD →＋AD →；③(AB →＋MB →)＋OM →＋BO →， 其中结果为0的有________．【解析】 ①OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OA →＋OC →＋CO →＝BA →； ②OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0；③(AB →＋MB →)＋OM →＋BO →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 【答案】 ②3．下列四式中，不能化简为PQ →的是________．①QC →－QP →＋CQ →；②AB →＋(PA →＋BQ →)；③(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)；④PA →＋AB →－BQ →. 【解析】 QC →－QP →＋CQ →＝PC →＋CQ →＝PQ →； AB →＋(PA →＋BQ →)＝AB →＋BQ →＋PA →＝AQ →＋PA →＝PQ →； (AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝PC →－QC →＝PQ →； PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →≠PQ →，故填④. 【答案】 ④图2－2－174．已知不共线的两个非零向量a ，b (如图2－2－17所示)，求作向量－a －b . 【解】 法一 如图①，作OA →＝－a ，OB →＝b ，则BA →＝－a －b .法二 如图②，作OA →＝a ，OB →＝b ，再以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则CO →＝－a －b .一、填空题1．下列命题中，正确的个数是________． ①在平行四边形中，BA →＋AD →－BD →＝AB →＋CD →； ②a ＋b ＝a ⇔b ＝0； ③a －b ＝b －a ；④AB →－CB →＋CD →－AD →的模为0.【解析】 由向量的加法与减法法则知①④正确．由a ＋b ＝a ⇔a ＋b －a ＝0⇔(a －a )＋b ＝0⇔b ＝0知，②正确．由a －b ＝a ＋(－b )＝－(b －a )知，③是不正确的． 【答案】 32．已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中a ＝OF →，b ＝OA →，c ＝OB →，则EF →等于________．【解析】 由正六边形性质知：EF →＝CB →＝OA →＝b ＝a ＋c . 【答案】 a ＋c3．已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →. ∴BA →＝CD →，∴BA 綊CD. ∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 平行四边形4．化简(AB →＋CD →－EB →)＋(BC →－BD →＋EF →)－AF →＝________.【解析】 原式＝(AB →＋BE →)＋(CD →＋DB →)＋BC →＋(EF →＋FA →)＝AE →＋CB →＋BC →＋EA →＝0. 【答案】 0图2－2－185．如图2－2－18，在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →，则OD →＝________.【解析】 因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，所以BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋c －b .【答案】 a ＋c －b 6．给出以下五个说法： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②任一非零向量的方向都是惟一的； ③|a |－|b |＜|a ＋b |；④若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0；⑤已知A ，B ，C 是平面上任意三点，则AB →＋BC →＋CA →＝0. 其中正确的说法有________．【解析】 由|a |＝|b |，得不到a ＝b ，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b ＝0时，|a |－|b |＝|a ＋b |，故③不正确．【答案】 ②④⑤7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝5，|OB →|＝12，且∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】 如图，在矩形OACB 中，OA →＋OB →＝OC →，即|a ＋b |＝|OC →|＝|a |2＋|b |2＝52＋122＝13.同理|a －b |＝13.【答案】 13 138．如图2－2－19，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA→＋OD →＝________.图2－2－19【解析】 法一 BA →－BC →－OA →＋OD →＝BA →＋CB →＋AO →＋OD →＝(CB →＋BA →)＋(AO →＋OD →)＝CA →＋AD →＝CD →.法二 BA →－BC →－OA →＋OD →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＝CA →－DA →＝CA →＋AD →＝CD →.【答案】 CD →二、解答题9．已知菱形ABCD 边长都是2，求向量AB →－CB →＋CD →的模．【解】 ∵AB →－CB →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∴|AB →－CB →＋CD →|＝|AD →|＝2.10．如图2－2－20，在五边形ABCDE 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e .图2－2－20【解】 a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e )＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →)＝AC →－CA→＝AC →＋AC →.连结AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF →＝AC →.∴AF →＝AC →＋AC →即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .如图．11．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．【解】 由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，如图，且OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3.已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，求|a ＋b |的值．【思路探究】 解答本题可先由|a |，|b |及|a －b |出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a ＋b |的值.【自主解答】 如图，OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA →|＝|a －b |，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42.故|OA →|2＋|OB →|2＝|BA →|2，所以△AOB是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC →|＝|BA →|＝4，即|a ＋b |＝4.向量在平面几何中的应用一般有两种题型：(1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题；(2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用．解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|a |＝|b |＝4，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |，|a －b |.【解】 以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，∵|OA →|＝|a |＝4，|OB →|＝|b |＝4，∴四边形OACB 为菱形．∵a ＋b ＝OA →＋OB →＝OC →，a －b ＝OA →－OB →＝BA →，∠AOB ＝60°，∴|a ＋b |＝|OC →|＝43，|a －b |＝|BA →|＝4.。
(完整版)高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．. A(起点)B（终点）aOABaaa bb b7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到A BCa +ba +baa b b aｂｂ ａan 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = aOabBa ba -b作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λO ABa B’b-b bBa + (-b )a b a -bA ABBB’Oa -b a a bbO AOBa -ba -b BA O-ba ρ=2．运算定律结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ；分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ， λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ3. 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e . 探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ.由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ.2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角. 二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. ⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两C个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |. 4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a ba ⋅5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |第8课时二、平面向量数量积的运算律一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 二、讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )C证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | C5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+= 又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=。
高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法教学设计 苏教版必修4(2021年整理)
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2．2.2 向量的减法错误!教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数），首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法（减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想,并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神,培养学生的数学人文价值观．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时错误!导入新课思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入）数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法；向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢?引导学生去探究、发现．推进新课新知探究向量的减法运算及其几何意义．数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考,类比数的减法运算,我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－(－a)＝a.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a＋（－a)＝(－a）＋a＝0。
苏教版高中数学4教学案：第二章平面向量第3课时向量的减法
第3课时向量的减法【学习目标】1.理解向量减法的概念；2.会做两个向量的差;3.会进行向量加、减得混合运算4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点：三角形法则难点：三角形法则,向量加、减混合运算【自主学习】1。
向量的减法：①a与b的差：若__________________,则向量x叫做a与b的差,记为__________②向量a与b的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。
2。
向量a b-的减法的作图方法：作法:①_______________________________②________________________________③________________________________则BA a b=-3。
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量a b a b-=+-()4。
关于向量减法需要注意一下几点：①在用三角形法则做向量减法时,只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可。
②以向量,==为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向AB a AD b量为,=+BD b aAC a b=-这一结论在以后应用还是非常广泛，=-，DB a b应加强理解；③对于任意一点O，AB OB OA=-，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住。
【例题讲解】例1.已知向量,,,a b c d ，求作向量:,a b c d --；思考：如果//a b ，怎么做出a b -？例2.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若,,,AB a DA b OC c ===试证明：b c a OA +-=本题还可以考虑如下方法：1。
(1）OA OC CA OC CB CD =+=++（2）c a OC AB OC DC OD OA AD -=-=-==+2。
任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和. 例3.化简下列各式（1)()AB BC BD AD -+-（2）AB DA BD BC CA ++--（3）()()AB DC AC BD ---【课堂练习】1。
2020-2021学年苏教版必修4 2.2.2 向量的减法 教案
2.2.1向量的加法（教学设计）一、学习目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力。
3、通过向量的运算和熟悉的数学运算进行类比，使学生掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算，渗透类比的数学方法。
二、学习重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量。
难点：理解向量加法的定义和几何意义。
三、教法、学法教法：本着“以教师为主导，以学生为主体，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法．通过创设问题情境，使学生对向量加法有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。
采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提高教学质量。
四、学习过程 （一）知识储备 1、向量的有关概念（1）零向量的方向是___________，规定_________________。
（2）相等向量应满足__________________________________。
相反向量应满足___________________________________。
（3）共线向量是指____________________________________。
2、平行四边形对边____________________________________。
（二）自主先学 1、向量加法的定义已知向量a 和b ,在平面内任取一点o ，作,OA a AB b ==,则向量OB 叫做a 与b 的_____,记作_________,即a b OA AB OB +=+=. 如下图，分别作出a 与b 的和(1) （2） (3) （4）向量的加法：求两个向量____的运算叫做向量的加法。
2018-2019学年苏教版高中数学必修4教案：第二章 平面向量 第3课时 2.2向量的减法
第3课时 §2.2 向量的减法【教学目标】一、知识与技能1．掌握向量减法及相反向量的的概念；2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；3．能用向量运算解决一些具体问题。
二、过程与方法通过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟数学发展的过程及其思想.三、情感、态度与价值观（1）在学完向量加法后再学习向量减法指导学生辨证的看待和解决问题。
（2）数学与生活的联系能够引导学生注意用联系的观点看问题【教学重点】向量减法定义和法则【教学难点】向量减法法则的应用【教学过程】一、复习：1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算二、讲解新课：1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：()a a --=； ()()0a a a a +-=-+=．2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
表示()a b a b -=+-．3．向量减法的法则：已知如图有a ，b ，求作a b -． （1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-．b a B A a b - O ba说明：a b -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =-，则BA BO OA a b =+=-．思考：若//a b ，怎样作出a b -？ 四、例题分析： 例1、如图,o 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若AB a =,DA b =,OC c =试证明.b c a OA +-=.例2、用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形例3、试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+．B B OaAC五、课时小结：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的减法教案 苏教版必修4(2021年整理)
江苏省建湖县高中数学第二章平面向量2.2 向量的减法教案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省建湖县高中数学第二章平面向量2.2 向量的减法教案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2 向量的减法教学思想：通过与实数的减法，与向量的加法的类比得到向量的减法的定义及运算法则学习目标:(1）知识与技能：理解向量减法的概念,掌握向量的几何表示，掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
（2)过程与方法：在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合,并能利用向量运算完成简单的几何证明(3）情感态度与价值观：通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算,可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化,相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．教学重点：向量的加减法的运算法则及其应用教学难点：向量减法的概念的理解教学方法：探究、讲练结合教学过程：（一）复习回顾：1，向量加法的运算法则2,向量加法运算规律3，相反向量（二）情景创设：已知两个力的合力是，其中一个力是1F则求另一个力2F（如果同样的情景运算对象是实数而不是向量，我们又是怎样解决的呢？)实数b,x,a，已知b+x=a，则x= ，x叫做求两个实数差的运算叫做尝试：类比数的减法，给出向量减法的定义（三）建构数学:定义：若a x b =+，则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法 探究一：类比实数中)(b a b a -+=-，请问向量有怎样的结论?你能用学过的知识证明吗？ 探究二:如图，已知两个不共线向量a 与b ，如何根据向量差的定义和向量加法的三角形法则，作出b a -小结： 探究三:如果非零向量a 与b 共线，怎么作出b a -？例1：已知a 与b ，求作b a - a a a a b b b b 例2：平行四边形ABCD 中，a AB =,b AD =，用b a ,表示向量DB AC , 变：已知向量=，=， 120=∠DAB ,3==b a b a b a 例3：（教材67,例2） 探究四：b a b a b a ≤≤, b a b a +b a),(为非零向量的大小关系吗？例4．已知|错误!|＝10，｜错误!|＝7,｜则｜错误!|的取值范围为（四）课堂反馈1．化简+-+2。
2018版高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量的减法学案 苏教版必修4
2.2.2 向量的减法学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一 相反向量思考 实数a 的相反数为－a ，向量a 与－a 的关系应叫做什么？梳理 (1)定义：如果两个向量长度__________，而方向________， 那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0. ③零向量的相反向量仍是________． 知识点二 向量的减法思考 根据向量的加法，如何求作a －b ?梳理 (1)向量减法的定义若____________，则向量x 叫做a 与b 的差，记为________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)向量的减法法则以O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从________的终点指向________的终点的向量就是a －b .类型一 向量减法的几何作图例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量．跟踪训练1 如图所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .类型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．类型三 向量减法几何意义的应用例3 已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．反思与感悟 (1)如图所示，平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(2)在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同，且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.跟踪训练3 在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状一定是________．1．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是______．2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于________．3．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为_____，|a －b |的最大值为_____． 4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________.5．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝________.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连结两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．答案精析问题导学 知识点一 思考 相反向量．梳理 (1)相等 相反 (2)③零向量 知识点二思考 先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )． 梳理 (1)b ＋x ＝a a －b (2)b a 题型探究例1 解 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .引申探究解 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .跟踪训练1 解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .则a －b ＝BA →，c －d ＝DC →.例2 解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0. 跟踪训练2 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.例3 解 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15.当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]． 跟踪训练3 矩形 当堂训练 1．a ＋b 和b －a2.OQ →3.7 174.25.10。
高中数学 第2章 平面向量 3 向量减法教学案(无答案)苏教版必修4 教学案
某某省泰兴中学高一数学教学案(54)必修4_02 向量减法班级 某某目标要求1．理解向量减法的含义，会作两个向量的差，理解向量加法与减法的逆运算关系 2．通过类比的方法学习向量的减法运算，再次感受数形结合的思想 重点难点 重点：向量减法的三角形法则和平行四边形法则难点：向量加、减法的混合运算教学过程： 一、问题情境二、建构数学1. 向量减法的定义：2. 向量减法的三角形法则：三、典例剖析例1 如图，已知向量,a b 不共线，求作向量a b -．例2 化简：（1）AB AD BC -+；（2）OA OC OB CO +-+；（3）MN QP NP QM --+．ab例3 如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若AB a =，DA b =，OC c =，试证明：b c a OA +-=．例4 设向量a , b 都不是零向量，若（1）向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向，且||b a +||||b a +． （2）向量a 与b 反向，且||||b a >，则向量b a +与a 的方向，且||b a +||||b a -．（3）向量a 与b 反向，且||||b a =，则||b a +||||b a -．（4）向量a 与b 反向，且||||b a <，则向量b a +与b 的方向，且||b a +||||a b -．例5已知非零向量,a b 满足a b =及a b a b +=-，若作,,OA a OB b OC a b ===+， 试判定四边形OACB 的形状，并证明．四、课堂练习1、在ABCD 中，,AB a AD b ==，用,a b 表示向量,AC DB ．2、已知ABC ∆中，090,C AC BC ∠==，则下列哪几个等式是成立的？ （1）||||CA CB CA CB -=+； （2）||||AB AC BA BC -=-；（3）||||CA BA CB AB -=-； （4）222||||||CA CB AB AC BA CA +=-+-A3、若非零向量a b 和互为相反向量，则下列说法中错误的是____________．（1）//a b （2）a b ≠ （3）||||a b ≠ （4）b a =- 4、ABC ∆中，D 是BC 的中点，设,,,AB c AC b BD a AD d ====，则d a -=，d a +=．5、已知向量,a b 的模分别为3，4，则a b -的取值X 围为．五、课堂小结1、向量减法的定义是建立在向量加法的基础上的，可以结合图形进行向量计算，以及用两个向量表示其它向量2、在作减法运算（图形）时，要将两向量平移到“共起点”3、在解决问题时，向量的加法、减法要结合图形灵活选择某某省泰兴中学高一数学作业(54)班级 某某得分1、已知a OA =，b OB =，且||a =||b =4，︒=∠60AOB ，则||b a +=，||b a -=，ba +与a 方向的夹角是，b a -与a 方向的夹角是．2、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ，当a , b 满足时，b a +与b a -互相垂直；当a , b 满足时，=+||b a ||b a -．3、设OA 表示“向东走4m ”，BC 表示“向西走3m ”，DE 表示“向东走2m ”，FG 表示“向东走3m ”，分别指出下列向量的意义： （1）OA BC -：；（2）BC OA -：； （3）DE FG -：；（4）FG DE -：；4、已知12,5,90OA OB AOB ==∠=，则OA OB -=．5、已知,a b 均为非零向量，则下列结论中，正确结论的序号是______________． （1）若0a b -=，则a b = （2）若a b =-，则,a b 所在直线平行或重合 （3）若,a b 同向，则a b a b +=+ （4）若a b =，则,a b 所在直线重合6、若向量,a b 反向，且1a b ==，则||b a - = ．7、如图1所示，用两根绳子把重100N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，已知︒=∠150AOW ，︒=∠120BOW ，则A 和B 处所受力的大小分别是（绳子的质量忽略不计）．8、在边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a BC b AC c ===，则||a b c +-=________，||a b c -+=__________．9、在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上，取两点E 、F 使BE = DF （如图），用向量方法证明四边形AECF 也是平行四边形．10、一辆汽车向东行驶30km ，然后改变方向向北行驶30km ，求汽车行驶的路程及两次位移和．C11、已知6,8,10a b a b ==-=，求a b +．12、如图所示，已知,,,,,OA a OB b OC c OE e OD d OF f ======，试用,,,,,a b c d e f 表示：（1）AD AB -； （2）AB CF +； （3）BF BD -．AO FEDCB。
高中数学第二章向量的减法运算及其几何意义教案新必修4
第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中， =++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量. a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = bA BD O a b B a ba -b则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究： １） 如果从向量a 的终点指向向量 b -２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？三、 例题例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ， 则BA = a -b ， DC = c -d例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB .解：由平行四边形法则得： B a b A B DC A BCba d cDO a AAB B B ’O a a a b b O A O B aaB A O-AC = a + b ， DB = AD AB - = a -b变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直）变式三：a +b 与a -b对角线方向不同） 练习：Ｐ98四、 小结：向量减法的定义、作图法|五、 作业：P103第4、５题六、 板书设计（略）七、 备用习题：1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则AB 等于A.a +bB.-a +(-b a -b b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则A.a +b +c +d =0B. a -b +c -d a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =0３.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空：a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d =４、如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =DC ，并画出b -c 和a +d .。
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第3课时§2.2 向量的减法
【教学目标】
一、知识与技能
1．掌握向量减法及相反向量的的概念；
2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；
3．能用向量运算解决一些具体问题。
二、过程与方法
通过知识发生发展过程教学使学生感受和领悟数学发展的过程及其思想
. 三、情感、态度与价值观
（1）在学完向量加法后再学习向量减法指导学生辨证的看待和解决问题。
（2）数学与生活的联系能够引导学生注意用联系的观点看问题
【教学重点】向量减法定义和法则
【教学难点】向量减法法则的应用
【教学过程】
一、复习：
1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算
二、讲解新课：
1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a 。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：()a a ；()()0a a a a ．
2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
表示
()a b a b ．3．向量减法的法则：
已知如图有a ，b ，求作a b ．（1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA
a ，OB
b ，则BA a b ．b a
B A
a
b O b
a
说明：a b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a ，BO b ，
则BA BO OA a b ．
思考：若//a b ，怎样作出a b ？四、例题分析：例1、如图,o 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若AB a ,DA b ,OC c 试证明.b c a OA .
例2、用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形
例3、试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b ．
A
D B B
O a
A
C
五、课时小结：
1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则。