误区10.1 排列组合中分类、分布不当引起的失误-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)

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排列组合中几个易混淆问题辨析

排列组合中几个易混淆问题辨析文章来源：现代教育报·思维训练作者：王强芳点击数：1583 更新时间：2007-4-12 14:25:58１. 分组问题分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.１.1 非平均分组问题在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.【例１】把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.解：（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.（2）先从１２人中任选７人为一组有种选法，再从余下５人中任选３人有种选法，剩下的２人为一组，共有种不同的方法.【点评】由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（２）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.易错点：误把（１）的结果表示为１.2 平均分组问题上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.【例２】有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.（２）平均分成三份.解：（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有∴＝１５种不同的分法.【点评】上面例子可以看出：两个问题都是分成３堆，每堆２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有种分法.易错点：错把（１）的结论写为错把（２）的结论写为１.3 局部平均分组问题某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？解析：我们先来研究：“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.如果这４个球各不相同，则有种排法，由于白球和红球各有种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的排法有种，下面来解决上述问题.（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有种.（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为种.【点评】两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有种分配方法，然后把它分给４个人.在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？该问题的分法有种分法.易错点：误把（２）中的结论表示为.因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：①分配对象是否明确（组名是否给出）？②是否平均分配？③是否局部平均分配？④分配中有无顺序关系？２. 挡板模型与分组问题挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.【例４】５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？错解：把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.错因：５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有＝１５０种.【点评】类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.3. 挡板模型与双排问题在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.【例５】从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？错解：选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有＝１２６种分法.错因：问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班…正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有种排法.但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法（或）.【点评】当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视.。

2016江苏事业单位考试：学好分类与分步,排列组合及概率不再是难题

2016江苏事业单位考试：学好分类与分步，排列组合及概率不再是难题今天为大家带来事业单位行政职业能力测试备考资料。

希望可以帮助各位考生顺利备考！江苏事业单位招聘考试网为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！排列组合问题，一直是考生朋友们在复习公职类考试过程中的一个难题，其实，为什么会成为大家的难题，主要是存在以下几个方面的误区：1、高中阶段的排列组合知识没有学好2、排列组合类的题太难3、只学习方法，忽略解题思路。

我们一一来解决这三个问题。

1、与高中阶段的知识虽然有关系，但不是主要的，现在开始重新学习没有任何问题。

2、排列组合类的题，确实有比较难的题目存在，但是，在公职考试中，题目一般都不会太难，只是需要每位考生具有运用知识解决实际问题的能力。

3、这一点是最关键，也是我们重点讲解的点。

其实，所有的排列组合问题都会采用分类或分步的解题思路来求解，也是在公职类行测考试中考查这类题的意义所在。

就好比领导交给我们一个任务，我们一定先要思考是分类完成任务，还是分步完成任务。

在分类的过程中，注意分类的合理性，不重复不遗漏;在分步的过程中，注意分步的先后顺序问题。

接下来，我们通过一些具体的题目，来体会分类与分步思想。

【例1】甲和乙两名水平相当的选手打羽毛球，每局每人的胜率都是50%，如果两个人打五场，甲至少连胜三场的概率为多少?A.1/4B.1/8C.1/16D.3/16【解析】至少连胜三场有三种可能的情况：连胜3场、4场、5场，具体的情况如下图的表格所示:答案选A。

【例2】从1-100中，取两个不同的数，使其和是9的倍数，有多少种不同的取法?A.539B.550C.561D.572【解析】设任取的两个数分别为x和y，利用同余特性有以下5种情况。

例1与例2是两道具体的题目，通过这两个例题，我们可以清楚地认识到这种类型的题目重点就在于根据题目的要求分好类别，然后再根据类别计算相应的方法数。

当然也有一些题目是需要分步解决的，在下期的文章中重点来讲解。

《推荐》误区10.1排列组合中分类、分布不当引起的失误-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍Word版含

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍1.排列组合的源头是两个原理，在利用两个原理处理具体应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏.运用分类加法计数原理时，要明确分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．.运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，即各个步骤是相互依存的，且“步”与“步”之间具有连续性.对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析，使问题的分析过程更直观、更明晰，便于探索规律.2.解排列、组合题的基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置.(2)正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉.(3)复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决.在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步.(4)相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.(5)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列.(6)相同元素隔板法：将n个相同小球放入m(m≤n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法，等价于将n个相同小球串成一串，从间隙里选m－1个结点，剪截成m段.这是针对相同元素的组合问题的一种方法.(7)定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.4.解排列组合问题时应注意(1)在解排列组合应用题时，常会遇到“至少”“至多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义.(2)关于几何图形的组合题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或排除法).(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.对于这类问题必须先分组后排列，若平均分m 组，则分法＝取法m ！. 一、至少问题【例1】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，至少有1名队长当选的选法有多少种？【错因】不恰当地采用分步计数：先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C 12·C 412【点评】①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用分类方法或间接法(排除法)；③先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C 12·C 412≠825，错误原因是重复计数，请同学们认真查找错因.【牛刀小试】4名大学毕业生分配到3个岗位实习，每个岗位至少一人，则分配方案有种.【答案】36【解析】先把4名大学毕业生分为3组，有种分法，3组到3个岗位实习有种分法，所以分配方案有=36种.二、分组与分配问题【例2】现有6本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本，有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆，每堆2本，有多少种分堆方法？(3)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中，一人分4本，另两人每人分1本，有多少种不同的分配方法？【错因】①混淆分组与分配；②混淆均分与非均分【点评】平均分配给不同人的分法等于平均分组的分法乘以堆数的全排列.分组到位相当于分组后各组再全排列，平均分组不到指定位置，其分法数为：平均分堆到指定位置堆数的阶乘.对于分组与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分组再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分组时要注意是否均匀.如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组.【牛刀小试】三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有________种.【答案】【解析】若一个人去一个村，则有A 34＝24种分配方法；若有一个村去两个人，另一个村去一个人，则有C 23×A 24＝36种分配方法，故共有60种不同的分配方法.故填60.三、图形涂色问题(一)平面区域涂色【例3】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有 .【错因】分类不准确. 由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【正解】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A 33种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A 33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A 24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A 24×2×1×3＝72种方法，故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．【牛刀小试】有一个圆被两相交弦分成四块，现在用5种不同颜料给这四块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂色方法？【答案】260（二）立体图形中点涂色问题【例4】如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有______________种【错因】不会把分类、分步原计数原理综合运用，认为本题只需要分步就可得到答案.【解析】先涂A、D、E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B、C、F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D 不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．【点评】求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”【牛刀小试】如图，用四种不同的颜色给图中五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______________种.【答案】72（三）立体图形中线涂色问题【例5】将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有_______________种【错因】误认为线段的两端点涂同一色是2种不同的情况.【解析】因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×2×1＝6种涂色方案．【点评】对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．（四）立体图形中面涂色问题【例6】如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有______________种【错因】底面A1B1C1不涂色这一条件容易忽略，分不清是排列问题还是组合问题.【解析】先涂三棱锥的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．【点评】解答排列、组合问题，仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏.【迁移运用】1．【河南百校联考2017届高三9月质检，7】6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为．【答案】48考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.2．【河北邯郸2017届9月联考】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有种．【答案】720.考点：1、涂色问题； 2、排列组合.3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为__________. 【答案】(3！)4【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，三个家庭共有3！×3！×3！＝(3！)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3！种排法，因此不同的坐法种数为(3！)4.故选C.4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_______________种【答案】75【解析】从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种.5．.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有____________种【答案】37【解析】三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共有33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37(种)．6．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有______________种【答案】480【解析】从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，因此不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．7．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有_________种【答案】308．八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好三个连续的小球涂红色，则涂法共有__________种【答案】24【解析】分两步完成，第一步把3个红球当一个，插入3个白球中共有4种方法，第二步把余下的2个红球插入，可分两类，当分开插入时有3种方法，当一起插入时有3种方法，故共种.9．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．【答案】20【解析】“完成这件事”需选出男、女队员各一人，可分两步进行：第一步选一名男队员，有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法，共有5×4＝20(种)选法．10．从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答).【答案】59011． 20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．【答案】120【解析】先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120(种)方法．12．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．【答案】60【解析】分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11 A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．13.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．（1）若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？（2）若为②着色时共有120种不同的方法，求n.【解析】（1）分四步：第1步涂A有6种不同的方法，第2步涂B有5种不同的方法，第3步涂C有4种不同的方法，第4步涂D有4种不同的方法．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种不同的方法．（2）由题意，得，注意到n∈N*，可得＝5.14. 直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？【解法一】第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．【解法二】共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C25A22种涂法；第2类，用五色中三种色，共有C35C13C12A22种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A44种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A22＋C35C13C12A22＋C45A44＝260(种)不同的涂色方法.15．如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则有种不同的涂色方法.【答案】18016. 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.【答案】108。

解排列组合问题常见错误(八大错误)

解排列组合问题常见错误1、没有理解两个基本计数原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即分类计数加法原理和分步计数乘法原理，理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提。

例1、（1995上海卷）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的取法有种。

错解：因为可以取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装，所以只有2种取法。

错因分析：错解的原因在于没有意识到“取2台原装与3台组装或取3台原装与2台组装”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法。

正解：由错因分析知，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装中任意取2台，有26C 种取法；第二步在组装中任意取3台，有35C 种取法。

根据分步计数乘法原理，有2365C C 种取法。

同理，完成第二类办法有3265C C 种取法。

在根据分类计数加法原理，完成任务共有23326565350C C C C +=种取法。

例2、在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种。

A 、34AB 、34C 、43D 、34C错解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A 。

错因分析：错解的原因在于没有理解分步计数乘法原理，盲目地套用公式。

正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由分步计数乘法原理，共有433333⨯⨯⨯=种。

说明：本题还有这样的错解，甲、乙、丙夺冠均有四种情况，由分步计数乘法原理，共有34种。

这种错解的原因在于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有四种夺冠可能。

2、判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列问题还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题。

例3、有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？错解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种排法。

对排列组合中的“分配”问题的探究

对排列组合中的“分配”问题的探究知识整合：一、解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列还是组合问题，牢记排列数和组合数的公式以及组合数的性质，容易产生的错误主要是在分类的过程中，标准不明确，前后不统一，要么重复，要么遗漏，因此在解题时要认真的分析题目的条件，作出正确的分类或分步；二、解决排列组合综合问题时，要注意①把具体问题转化为排列或组合问题。

②通过分析确定是采用分类计数原理还是分步计数原理。

③分析题目的条件，避免选取时重复或遗漏。

④列处计算公式，通过排列数或组合数公式计算结果。

下面对排列组合中的“分配”问题做出简单的探究排列组合中的“分配”问题是排列组合中的一类常见问题，如：教师分配到班级中教学；护士、医生分配的学校给学生查体；小球放置在有标号的盒子里等都是排列组合中的常见“分配问题”；下面通过例题，对常见的几种“分配”问题简单作出探究：1、相同元素的“分配”问题例1、有10名三好学生名额，分配到高三年级的6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？分析：作为10个三好学生名额，可以看成是相同元素，分配到高三年级的6个班中，将是相同元素的分配问题，常用的方法是采用“隔板法”；解：6个班分10个名额，用5个隔板，将10个名额并成一排，O O O O O O O O O，名额之间有9个空隙，将5个隔板插入9个空中，则每种插法对应一种方案，共有59126C=中不同的分配方案；变式练习：将6个相同的小球放进三个不同的盒子，每个盒子都不空，共有多少中不同的放法？2、不同元素的“分配”问题分析：不同元素的“分配”问题，有时比较容易混淆，作为分配问题，可以分两步来完成，先分组后发放的原则，这样就对分配问题有更加明确的理解；例2、有不同的6本书分别分给甲、乙、丙三人，⑴如果甲1本，乙2本，丙3本有多少种方法？⑵如果一人1本，一人2本，一人3本，共有多少种方法？⑶平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？⑷如果每人2本，共有多少种分法？解：⑴先对6本书进行分组，分成1本2本3本的三组，共有12365360C C C⨯⨯=种，后发放给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本、丙得3本，所以共有12365360C C C⨯⨯=种方法。

排列组合中常见错例剖析

例3、有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（）种.
A、1260 B、2025 C、2520 D、5040
错解一：分三步完成：首先从10人中选出4人，有种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有种方法，由乘法原理，不同的选法共有＝5040种，选D.
错因剖析：上解法中将“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义误解为“甲、乙、丙三人互不相邻”的情形.事实上，“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.
例13、两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）种.
错因剖析：分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误.
二、排列、组合问题判断失误.通常是在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误.
例2、有大小形状相同的3个红球和5个白球排成一排，共有种不同的排法.
错解：因为是8个小球的全排列，所以共有种方法.
错因剖析：上解法中没有考虑3个红球（或5个白球）是完全相同的，因而同色球之间互换位置是同一种排法.
正解1：（直接法）第一问中“黑色正方形互不相邻”包含两层意思：一是不涂黑色；二是若涂黑色，则黑色正方形不相邻.可分类四类：①不涂黑色时只有一种方案；②只有一个正方形涂黑色，有6种方案；③有二个正方形涂黑色，采用“插空法”，有种方案；④有三个正方形涂黑色，采用“插空法”，有种方案．故黑色正方形互不相邻的方案共有1＋6＋10＋4=21种.第二问中“至少有两个黑色正方形相邻”可分为五类：①二个黑色正方形时，有5种方案；②三个黑色正方形时，有如图□■■□■□和□■■■□□的两种情形，共有种方案；③四个黑色正方形时，有如图□■■■■□、□■■■□■和□■■□■■的三种情形，共有种方案；④五个黑色正方形时，有如图■■■■■□、■■■■□■和■■■□■■的三种情形，共有种方案；⑤六个黑色正方形相邻时，只有1种方案．故共有5＋16＋15＋6＋1=43种方案.

高中数学教学论文排列组合常见解题错误剖析

排列组合常见解题错误剖析排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。

学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1.“加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类方法，这n 类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）【错解】有))((1464424634C C C C ++＝46575种.【错因】分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.【正解】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）24634C C 种；第二类，有4件次品的抽法同理有14644C C 种，最后由加法原理，不同的抽法共有24634C C +14644C C ＝4186种.【例2】从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（）（A ）140种（B ）84种（C ）70种（D ）35种【错解】有15242514C C C C ＝300种选法.【错因】同例1.【正解】（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有15242514C C C C +＝70种选法.所以选C .2．“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例3】（题目见上例）【错解】有15242514A A A A +＝140种选法，答A .【错因】元素与顺序无关，应是组合问题.【例4】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（）种.(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040【错解一】分三步完成：首先从10人中选出4人，有410C 种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有24A 种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有22A 种方法，由乘法原理，不同的选法共有410C 24A 22A ＝5040种，选D. 【错因】“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应为24C .【错解二】分三步完成，不同的选法共有410C 24C 22C ＝1260种，选A. 【错因】剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应为22A .【正解一】不同的选法有410C 24C 22A ＝2520种. 【正解二】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有1718210C C C ＝2520种.【正解三】从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有28210A C ＝2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.【错解】有34C =4 种.【错因】3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.【分析】对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.【正解】有3334A C ＝24（或34A =24）种植方法. 3、重复计数出增解【例6】（题目同例2）【错解】从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有171415C C C =140种选法.所以选A.【错因】若从甲型机中选出的是a 机和b 机，依错解会出现先取a 机后取b 机和先取b 机后a 取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.【正解一】（注意到错解正好多算一倍）1402171415=C C C . 【正解二】有15242514A A A A +=70种选法,所以选C.【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.【错解一】从4只盒子中取出三只，有34C 种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，有34A 种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有13C 种放法，所以共有34C 34A 13C ＝288种放法. 【错解二】分三步完成.首先取出3个盒子，有34C 种方法；再把球分为三组，有1224C C 种方法；最后把三组球排列后放入盒子，有33A 种方法.由乘法原理，共有34C 1224C C 33A ＝288种方法.【错因】同上题.【正解一】在错解中消除重复，有2C 133434C A ＝144种放法. 【正解二】从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有3424A C ＝144种放法.【正解三】将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），有2444C A ＝144种放法.【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？【错解一】排在排头的有除甲之外的16A 种情形，排在尾的也有除乙之外的16A 种情形，两端排好后余下的排中间有55A 种情形，所以不同的排法有551616A A A =4320种.【错因】排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了555A 种情形.【正解一】减去重复数，应为551616A A A -555A ＝3720种. 【错解二】头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有25A 种排法，余下的人排中间有55A 种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有25A 55A 种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有66A 种，因此不同的排法共有25A 55A +266A ＝3840种. 【错因】甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了55A 种排法.【正解二】减去重复数，应为25A 55A +266A -55A ＝3720种排法. 重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）【例9】（题目同例8）【例10】A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A 、B 可以不相邻），那么不同的站法有（）种.(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120【错解】把A 、B “捆绑”为一个元素（B 在A 的右边），与C 、D 、E 一起全排列，有44A ＝24种站法，答A.【错因】审题不严，未注意到“A 、B 可以不相邻”而漏解.【正解一】按B 的位置分为四类：B 排第一、二、三、四位时的排法数分别是44A 、333A 、233A 、33A ，所以共有44A +333A +233A +33A =60种排法，选B. 【正解二】利用对称关系（注意到A 在B 左边与A 在B 右边的排列情形是对称相同的），有255A =60(种)，选B . 【例11】四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（）种.(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141【分析】考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式410C －446C ＝150而错选A ；若只考虑到情形①、②，就会由算式410C －446C －3＝147而错选B ；若只考虑到情形①、③，就会由算式410C －446C －6＝144而错选C ；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果410C －446C －6－3＝141，选D.（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面【例12】同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种【正解一】A 的卡分给B 、C 、D 三人，有13C 种方法；设B 拿到A 的卡，则B 的卡可分给A 、C 、D 三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有11C 种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法. 【正解二】设A 先拿卡有13C 种方法；然后由A 拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法.或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决，但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.【例13】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.【错解】（应用对称关系）有4355A =90个. 【错因】1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的43，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.【正解】：有2433A A （或55A -4422A A ）＝72个.。

排列组合中的分组分配问题3份

排列组合中的分组分配问题3份排列组合中的分组分配问题[内容摘要] 分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的. 对于后者必须先分组后排列。

分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题. 分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1) 每组两本；(2)一组一本，一组二本，一组三本；(3)一组四本，另外两组各一本.222分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是CCC 642=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6) 与(3，4)(1，2)(5，6) ，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A 33，所以分法是C 6C 4C 2=15(种) 。

3A 33123(2)先分组，方法是CCC 653，那么还要不要除以A 3？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出123现相同的分法，即共有CCC 653=60(种) 分法。

误区9.1 排列组合中分类、分布不当引起的失误-2015届高三数学跨越一本线(解析版)

2015届学科网高三数学跨越一本线精品排列组合是高考必考内容.涂色问题以几何图形为载体考查计数原理、排列及组合等知识的运用，常考题型选择题或填空题，难度容易题或中等题.一.平面图形问题【例1】【2014年济南质检】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有.二．立体图形中点涂色问题【例2】如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种三．立体图形中线涂色问题【例3】将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有()A．1种B．3种C．6种D．9种四．立体图形中面涂色问题【例4】如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有()A．24种B．18种C．16种D．12种1. 如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种2. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，每部分涂一种颜色，有公共边界的两块不能用同一种颜色，如果颜色可以反复使用，则不同的着色方法共有( ) A ．24种 B ．30种 C ．36种D ．48种3.【湖北省部分重点高中2014届高三11月联考】八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好三个连续的小球涂红色，则涂法共有（）A ．24种B ．30种C ．20种D ．36种4.如图，用四种不同的颜色给图中D C B A P ,,,,五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）种.A.72种B.86种C.106种D.120种5.【湖北省荆州中学2014届高三年级第一次质量检测】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有（）A.240种B.300种C.360种D.420种6. 如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则有种不同的涂色方法.7. 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.8. 将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？9.如图.将一个四棱锥的每一个顶点图涂上一种颜色，并使一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可以使用，则不同的涂色的方法数为 .10.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．（1）若n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？（2）若为②着色时共有120种不同的方法，求n.11. 直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？。

高考数学总结归纳点拨跳出排列组合的“误区陷阱”

跳出排列组合的“误区陷阱”排列组合问题虽然种类繁多,稍不注意就会产生这样或那样的错误,但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.下面我们给出一些排列组合问题的一些典型错例解析,以期能够帮助大家起到防微杜渐的作用.1．判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3、有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法？误解:因为是8个小球的全排列,所以共有88A 种方法.错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,由于这3个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样共有:5638=C 排法. 2．没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 3．重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等,这些问题要注意避免重复计数,产生错误。

误区91 排列组合中分类、分步不当引起的失误-2021届高三数学成功在我之优等生提分精品(解析版)

专题九计数原理误区一：排列组合中分类、分步不当引起的失误一、易错提醒排列组合的源头是两个原理,在利用两个原理处理具体应用问题时,必须先分清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么,选择合理、简洁的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏.运用分类加法计数原理时,要明确分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理．.运用分步乘法计数原理时,要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步,即各个步骤是相互依存的,且“步”与“步”之间具有连续性. 对于既要运用分类加法计数原理,又要运用分步乘法计数原理的复杂问题,可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析,使问题的分析过程更直观、更明晰,便于探索规律.二、典例精析一、至少问题课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,至少有1名队长当选的选法有多少种？【错因】不恰当地采用分步计数：先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C 12·C 412【正解】至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种).或采用间接法：C 513－C 511＝825(种).【点评】①分类时不重不漏；②注意间接法的使用,在涉及“至多”“至少”等问题时,多考虑用分类方法或间接法(排除法)；③先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C 12·C 412≠825,错误原因是重复计数,请同学们认真查找错因.【小试牛刀】【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】B【解析】分两步进行分析: 先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624 C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B.二、分组与分配问题【例2】现有6本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本,有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆,每堆2本,有多少种分堆方法？(3)分成三堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中,一人分4本,另两人每人分1本,有多少种不同的分配方法？【错因】①混淆分组与分配；②混淆均分与非均分【点评】平均分配给不同人的分法等于平均分组的分法乘以堆数的全排列.分组到位相当于分组后各组再全排列,平均分组不到指定位置,其分法数为：平均分堆到指定位置堆数的阶乘.对于分组与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分组再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分组时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种【答案】A【解析】试题分析：第一步,为甲地选一名老师,有C 21=2种选法；第二步,为甲地选两个学生,有C 42=6种选法；第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法,故不同的安排方案共有2×6×1=12种,故选A ．三、图形涂色问题(一)平面区域涂色【例3】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有 .【错因】分类不准确. 由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．学+科网【点评】解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.【答案】108【解析】第一步,从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形,涂法有3种；第二步,涂标号为“2、3、6”的小正方形,若“2、6”同色,涂法有2×2种,若“2、6”不同色,涂法有2×1种；第三步,涂标号为“4、7、8”的小正方形,涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样．所以符合条件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(种)．（二）立体图形中点涂色问题【例4】如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有()C．240种D．168种【错因】不会把分类、分步原计数原理综合运用,认为本题只需要分步就可得到答案.【解析】先涂A、D、E三个点,共有4×3×2＝24种涂法,然后再按B、C、F的顺序涂色,分为两类：一类是B 与E或D同色,共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色,共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．【点评】求解排列组合问题的思路：“排组分清,加乘明确；有序排列,无序组合；分类相加,分步相乘．”【小试牛刀】如图,用四种不同的颜色给图中D C B A P ,,,,五个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有（）种.A.72种B.86种C.106种D.120种【答案】A（三）立体图形中线涂色问题A ．1种B ．3种C ．6种D ．9种【错因】误认为线段的两端点涂同一色是2种不同的情况.【解析】因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×2×1＝6种涂色方案．【点评】对限制条件较复杂的排列组合应用题,可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用多种不同的方法求解,看看结果是否相同．（四）立体图形中面涂色问题【例6】如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P －ABC 与正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有( )C ．16种D ．12种【错因】底面A1B1C1不涂色这一条件容易忽略,分不清是排列问题还是组合问题.-的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种【解析】先涂三棱锥P ABC不同的涂法．【点评】解答排列、组合问题,仔细审题,判断是排列问题还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分类；深入分析,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏.三、迁移运用1．【2018届湖南省十四校高三第二次联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A. 48B. 54C. 60D. 72【答案】C2．【内蒙古赤峰市2018届高三上学期期末】把2支相同的晨光签字笔,3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有（）A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】第一类，有一个人分到一支钢笔和一支签字笔，这中情况下的分法有：先将一支钢笔和一支签字笔分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2支钢笔，1支签字笔分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类，有一个人分到两支签字笔，这种情况下的分法有：先将两支签字笔分到一个人手上，有4种情况，⨯=种；将剩余的3支钢笔分给剩余3个人，只有1种分法，那共有：414第三类，有一个人分到两支钢笔，这种情况的分法有：先将两支钢笔分到一个人手上，有4种情况，再将剩⨯=种；余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：3412++=种分法.故选B.综上所述：总共有12412283．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】将3本相同的诗集,2本相同的小说全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种【答案】B4．【2017届河北定州中学高三周练】计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（）A．60种B．42种C．36种D．24种【答案】A【解析】两种情况,第一种情况安排3个场地,每个场地安排1项比赛,方法数有3424A=种；第二种情况,一个场地安排两场,第二个场地安排一场,方法数有223436C A=种；综上所述一共有60种方案.5．【2017届辽宁抚顺重点高中协作校高三上一模】在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为（）A．1200B．2400C．3000D．3600【答案】B【解析】若4人中,有甲电视台1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是1345541200C C A=,若4人中,有甲电视台2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是222255231200C C A A=,若4人中,有甲电视台3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为120012002400+=. 6．【2017届福建闽侯县二中高三上期中】把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法为（）A ．2680种B ．4320种C ．4920种D ．5140种【答案】B7．【2017届福建连城县朋口中学高三上期中】在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是（）学科！网A ．12694C CB ．12699C C C ．3100C 394C -D ．3310094A A -【答案】C【解析】因为从100件产品中任取3件产品共有3100C 种取法,从100件产品中任取3件产品没有次品的取法共有394C 种,所以从100件产品中任取3件产品至少有1件次品的不同取法的种数是3100C 394C -,故选C.8．【2017届安徽师大附中学高三上学期期中】用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色,则不同的染色方法共有（）种A.4080B.3360C.1920D.720【答案】A【解析】四面体的对棱可涂同一种颜色,也可以涂不同的颜色,按照相对棱颜色相同的对数分类：①若所有相对的棱都涂同一种颜色,一共需要三种颜色,不同的涂色方案共有36120A =种；②若相对的棱中有2对涂同一种颜色,一共需要四种颜色,不同的涂色方案共有24361080C A =种；③若相对的棱中有1对涂同一种颜色,一共需要五种颜色,不同的涂色方案共有15362160C A =种；④若所有相对的棱都涂不同颜色,一共需要六种颜色,不同的涂色方案共有66720A =种,所以共有120108021607204080+++=种不同的涂色方案,故选A.9．【2017届黑龙江双鸭山宝清县高级中学高三理段测】有4名优秀大学毕业生被某录用.该公司共有5个科室,由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班,每个科室至少安排一人,则不同的安排方案种数为（）A ．120B ．240C ．360D ．480【答案】C【解析】先将四个大学生分成三份,共有624=C 种可能,再在五个科室在选三个,共有6035=A ,所以共有360606=⨯种,故应选C ．10. 如图,用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( )A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种【答案】C【解析】从A 开始,有6种方法,B 有5种,C 有4种,D 、A 同色1种,D 、A 不同色3种,因此不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．11．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】某科室派出4名调研员到3个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为 .【答案】36【解析】分两步完成:第一步将4名调研员按2,1,1分成三组,其分发有21142122C C C A 种；第二步将分好的三组分配到三个学校,其分发有33A 种,所以不同的分配方案种数211342132236C C C A A =种,故填36. 12. 如图,用5种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则有种不同的涂色方法.【答案】18013.用n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示),要求在A ,B ,C ,D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．（1）若n ＝6,为①着色时共有多少种不同的方法？【解析】（1）分四步：第1步涂A 有6种不同的方法,第2步涂B 有5种不同的方法,第3步涂C 有4种不同的方法,第4步涂D 有4种不同的方法．根据分步乘法计数原理,共有6×5×4×4＝480种不同的方法．（2）由题意,得(1)(2)(3)120n n n n ---=,注意到n ∈N *,可得n ＝5.14. 直线x ＝1,y ＝x ,将圆x 2＋y 2＝4分成A ,B ,C ,D 四个区域,用五种不同的颜色给他们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法？【解法一】第1步,涂A 区域有C 15种方法；第2步,涂B 区域有C 14种方法；第3步,涂C 区域和D 区域：若C区域涂A 区域已填过颜色,则D 区域有4种涂法；若C 区域涂A 、B 剩余3种颜色之一,即有C 13种涂法,则D 区域有C 13种涂法．故共有C 15·C 14·(4＋C 13·C 13)＝260种不同的涂色方法．。

问题10.1 复杂的排列组合问题 -突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(解析版)

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃.解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.一．“相邻”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：（1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．【点评】对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【牛刀小试】某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为______________.【答案】1140【解析】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C63•A44=960种情况；若甲乙两人都参加，有C22•C62•A44=360种情况，其中甲乙相邻的有C22•C62•A33•A22=180种情况；则不同的发言顺序种数960+360﹣180=1140种．二．涂色问题【例2】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_____________.【分析】如何分类是解题的关键.“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种颜色不同”．第一类，含有1张红色卡片，第二类，不含有红色卡片，由分类加法计数原理球结果.【点评】准确理解题意，抓住关键字词的含义，“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求．【牛刀小试】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【解析】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法，故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】（1）解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．三．分配问题【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成每组都是2本的三组；（2）分给甲、乙、丙三人，每人2本．【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.【点评】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．【牛刀小试】某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有______________种【答案】36【解析】由题意，有①甲部门2个电脑编程人员，有3种可能，翻译可能2种，剩下1人有3种可能，故共有18种分配方案；②甲部门1个电脑编程人员，有3种可能，翻译可能2种，剩下2人有3种可能，故共有18种分配方案，由分类计数原理得不同分配方案共有18＋18＝36种．四．排数问题【例4】在某种信息传输过程中，用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息，不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0，1，则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为_______.【分析】信息0110是四个数字，此类“至多”、“至少”类型的问题，可以直接利用分类讨论求解，也可以转化为反面的问题，利用间接法求解.【解析一】（直接法）若0相同，只有1个；若1相同，共有144C=个；若2相同，共有246C=个，故共有14611++=个.【解析二】（间接法）若3个数字相同，共有246C=个，若4个数字相同共4个，二不同排列个数为4216=个，所以共有16(14)11-+=个.【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同，易出现的问题是分类混淆，漏掉各位数字信息均不同的情况，解决此类问题的关键是准确确定分类标准，分类计数时要做到不重不漏.【牛刀小试】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有______________个【答案】120【解析】据题意，万位上只能排4、5．若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个．所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个．五．摸球问题【例5】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l ，2，…，8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种.【分析】注意到4个相同的红球没有区别，4个相同的黑球也没有区别，先求出任意排放的排法7048=C ，编号相等的结果必有四组，其中每组一黑球一白球的编号和为9，则有)8,1(，)7,2(，)6,3(，)5,4(四种，红黑互换编号就有8种，因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样，则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种.【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．【牛刀小试】四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．【答案】42【解析】根据题意，分2步进行分析，①、先在编号为1，2，3的三个盒子中，取出2个盒子，有233C =种取法，②、将4个小球放进取出的2个盒子中，每个小球有2种放法，则4个小球一共有2×2×2×2=24种，其中有1个空盒，即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中，且不能有空盒，其放法数目为（24﹣2）=14种，故四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法为3×14=42种；故答案为：42．六．“至多”、“至少”问题【例6】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【分析】“无序问题”用组合，注意分类处理．【点评】对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准，避免重复遗漏，出现“至少、至多”型问题，注意间接法的运用．【牛刀小试】某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有____________种【答案】150【解析】间接法处理，所有的排法有24335=种，从中减去5人只参加了2个学校考试的排法()90231525=+A C C 种和1个学校考试的排法3种，所以共有243-90-3=150种．七．信息迁移题【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.(*)则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**)【分析】由(*)式，理解“特殊”背景——回文数的含义，借助计数原理计算．结合(**)，可从2位回文数，3位回文数，4位回文数探索求解方法，从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法．共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．由计数原理，共有9×10n种填空．【点评】（1）一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，体现了化归思想，将确定回文数的问题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决．（2）从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确．【牛刀小试】将正整数n 表示成k 个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n 分成k 个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n 划分成k 个部分的不同划分的个数记为P （n,k ），则P （10,3）的值为___________________.【答案】8【解析】由题意知本题是要把10划分成3部分，可以列举出所有的情况（1、1、8）（1、2、7）（1、3、6）（1、4、5）（2、2、6）（2、3、5）（2、4、4）（3、3、4）共有8种结果【迁移运用】1. 【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．【答案】42考点：排列组合．2. 【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为 .【答案】360【解析】试题分析：前排3人有4个空,从甲乙丙3人中选1人插入,有1143C C 种方法,对于后排,若插入的2人不相邻有25A 种,若相邻有1152C C 种,故共有1121143552()360C C A C C +=种.考点：1.排列组合问题；2.相邻问题和不相邻问题.3.【2015-2016学年河北省衡水二中上期中】用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是__________.【答案】304．八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有____________种【答案】4620【解析】第一步分步：由题意把8人可分为以下三组（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），分组的种数为7702236282224483718=++A C C A C C C C 第二步，分配，每一种分法都有633=A 种，根据分步计数原理，共有770×6=4620种．5．【2016届内蒙古赤峰二中高三上12月月考】将甲、乙等5名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有___________种【答案】36【解析】除了甲乙两人外还有两人分配到同一学校实习，所以应分两种情况：①3人到一所学校，另两人各到一所学校，该情况有种；②有1人到一所学校，另两所学校分别有2人，该情况有种，因此所有分配方案共有36种．6．【2016届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考】某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_______________种【答案】24【解析】由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个学生要来自不同的年级，从三个年级中选两个为23C ，然后从选择的两个年级中再分别选择一个学生，为1122C C ，剩下的4人乘坐乙车．故有21132232212C C C =⨯⨯=种；第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选择同一个年级的两名同学在甲车上，为13C ，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人，为1122C C ，这时共有11132232212C C C =⨯⨯=种．因此共有121224+=种不同的乘车方式．7.张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园。

行测技巧：排列组合问题之错位重排.doc

行测技巧：排列组合问题之错位重排公务员行测考试主要是考量大家的数学推理能力和逻辑分析能力，下面由我为你精心准备了“行测技巧：排列组合问题之错位重排”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测技巧：排列组合问题之错位重排公务员考试中虽然数量关系的题目比较难，但是有些特殊的题型是可以直接套用固定公式的。

这些题型解题的关键就在于区分题型以及记住相应结论。

错位重排就是这种题型。

接下来就给大家介绍一下什么是错位重排，以及这类题型该如何作答。

错位重排是一个排列组合问题。

是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

【题型表述】编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法?【解析】这个问题如果数量比较少时还比较简单，比如说n=1时，0种;n=2时，1种。

但是n一旦比较大时就比较麻烦了。

其实对这类问题有个固定的递推公式，如果记n封信的错位重排数为Dn，则D1=0，D2=1，Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1)(n>2)。

其实在考试中n一般不会超过5，也就是说我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。

我们只需要记住结论，进行计算就可以。

我们来看一下考题是如何考察的。

【例1】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。

现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。

问共有几种不同的尝法?A.6种B.9种C.12种D.15种【解析】答案：B。

记住结论D4=9。

直接锁定答案。

【例2】办公室工作人员一共有8个人，某次会议，已知全部到场。

问：恰好有3个人坐错位置的情况一共有多少种?A.78B.96C.112D.146【解析】答案：C。

8个人有3个坐错了，我们首先得确定哪3个坐错了。

即C(8，3)=56。

3个人坐错相当于3个人都没有坐在他原来的位置上，也就说相当于三个元素的错位重排，一共有2种。

再用分步相乘得到一共有56X2=112种。

行测数量关系：排列组合分堆与分配问题研究

行测数量关系：排列组合分堆与分配问题研究排列组合当中的异素分堆均分问题很容易出错，为大家提供行测数量关系：排列组合分堆与分配问题研究，一起来学习一下吧！行测数量关系：排列组合分堆与分配问题研究排列组合，是行测考试当中的常见题型，这种题型难度较高，具有极易出错的特点。

所以考生在考场当中面对这样的问题，基本是两种状况，要么束手无策，要么出错，因此排列组合题是考生非常头疼的题型。

而排列组合当中的异素分堆与分配问题，又是排列组合当中的最容易出错的题型，现在带大家一起来分析分析排列组合当中的异素分堆均分问题。

一、异素均分的分堆与分配概念的理解是非常简单的，所谓的异素，就是指被分的元素是不相同的，有区别的，所谓均分，则是指分完后每一份数量一样，比如说四个不同颜色的小球，分作两份，每份两个，这就是个异素均分的问题。

而分堆与分配，是有区别的，分堆就是把元素按照要求分开就行，分配则是在分堆的基础上需要将分好的堆再分配给相应的对象。

比如说把四个不同的弹珠分成两堆，每堆两个，这叫分堆。

而把四个弹珠分给小张和小王，每人两个，则是分配。

二、实际应用中的具体计算方法我们通过一个例题来理解两种不同的分堆分配方式的具体计算。

例1：将标有A、B、C、D的四本书分作两组，每组两本，有多少种分法?行测数量关系：巧用特值法在公务员考试中，行测数量关系是最难的一个专项。

难点在于缺乏解题思想，不知道用什么样的方法可以解题。

解题思想是有很多的，但最重要、使用的最多的还是特值比例法。

今天跟大家一起来学习下一下特值法的应用。

在很多的数学题目中，某个数据是未知的但它到底是多少并不影响最后的结果。

我们称这个数据具有任意性。

特值法指的是将具有任意性的数据设为特值，以利于计算。

然而，特值法含义易于理解却是很多人不敢用的，因为在这题目没有解决之前，我们很难判定某个量是否具有任意性。

所以学习特值法的关键在于掌握特值法的具体应用类型。

一、如果题干表述或明或暗具有任意性时，可以使用特值法。

人教版数学高二选修2-3 1.2扫描排列组合六个误区

扫描排列组合六个误区排列组合问题类型繁多、解法灵活、富于变化，许多同学知道“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”的法则，但在解题过程中还是因概念不清、忽视条件、考虑不周等原因导致思维混乱，最终解题出错．本文就排列组合问题中的六个常见误区作一扫描，希望能对大家的学习有所帮助．误区一、“加法”与“乘法”原理混淆例１．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C错解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .剖析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.评注：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.误区二、“排列”与“组合”概念混淆例2．有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，则不同的选法有（）A 1260种B 2025种C 2520种D 5040种错解1：分三步完成：首先从10人中选出4人，有410C 种方法；再从这4人中选出2人承担任务甲，有24A 种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有22A 种方法，故不同的选法共有42210425040C A A =种，选D ．剖析：排列”、“组合”概念混淆，承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应是24C ．错解2：分三步完成：不同的选法共有42210421260C C C =种，选A ．剖析：剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应是22A ．正解：方法1：不同的选法共有42210422520C C A =种，应选C ．方法2：先从10人中选出2人承担任务甲，再从余下的8人中选出2人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法共有221082520C A =种．误区三、重复计数而增解例３．某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种.（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）630错解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：1260332527=A C C ，选B . 剖析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了. 正解：6302332527=A C C 种. 误区四、思维不严密而漏解例４．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是_____．（用数字作答）错解：将两个奇数数字排好有22A 种方法，有三个空挡，由于0不能在首位，∴ 偶数数字的排法有222A 种，∴不同的五位数有222228A A ⋅=个．剖析：对相邻问题的一般解法不熟悉，错解中的8个符合题意，但是遗漏了很多情况．正解：分两种情况：（1）若0夹在两个奇数之间，将这三个数字看成一个整体与剩下的两个偶数一起排列有33A 种，考虑到1与3可以交换位置，所以这种情况共有323212A A ⋅=个；（2）若2、4中一个夹在奇数数字之间，同上的想法，共有1122222216C C A A ⋅⋅⋅=个．∴ 满足条件的五位数的个数是121628+=个．误区五、审题不清致使分类讨论有误例５．从集合{,,,,}O P Q R S 与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法数是_____．错解：根据O 、Q 和数字0出现与否分为三类：① 每排中只有0的排法有：124934C C A ； ② 每排中只有O 的排法有：124394C C A ；③ 每排中只有Q 的排法有：124394C C A ；∴ 共有不同的排法 12121249339394()5832C C C C C C A ++=种．剖析：由于对“每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个”理解不透，从而导致分类出错，即少了第四类：O 、Q 和数字0都不含有的情况，有224394C C A 种．正解：分四类，两大步完成．121212224933939394()8424C C C C C C C C A +++=种．误区六、解题策略有误致使算法失当例６．在100件产品中，有3件次品，97件正品，从中任取3件，至少抽取一件次品的不同方法有多少种？错解：从3件次品中任选一件，有13C 种方法，再从余下的99件产品中任选2件，有299C 种方法，于是至少有一件次品的抽取方法有1239914601C C =种．剖析：上述解法从表面上看似乎正确，实际上是错误的，不妨设3件次品为1a 、2a 、3a ，97件正品为1b 、2b 、…、97b ，从3件次品中任选一件后再从余下的99件产品中任选2件的选法包含了如下情形：1a 、2a 、1b 和2a 、1a 、1b ，这只能算是一种抽取方法．因抽取的三件产品是不考虑顺序的．正解：方法1：按抽取次品数分类：①恰有一件次品，有12397C C 种方法；②恰有2件次品，有21397C C 种方法；③恰有3件次品，有33C 种方法；故符合条件的抽取方法共有12213397397314260C C C C C ++=种．方法2：从反面考虑用间接法．抽取3件正品的方法为397C 种，故至少有一件次品的抽取方法为331009714260C C -=种．归纳小结：每一种失误的后面都隐藏着一定的根源，在学习过程中，要做有心人，敏锐地洞察出原因所在，从而避免错误的发生．。

高中数学排列组合题型总结与易错点提示

摆列合复稳固1. 分数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n 法，在第 1 法中有m1种不一样的方法，在第2 法中有m2种不一样的方法，⋯，在第n 法中有m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2m n种不一样的方法．2. 分步数原理（乘法原理）达成一件事，需要分红n 个步，做第1步有 m1种不一样的方法，做第 2步有m2种不一样的方法，⋯，做第n 步有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2m n种不一样的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成件事。

分步数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个段，不可以达成整个事件．一. 特别元素和特别地点先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够成多少个没有重复数字五位奇数.解: 因为末位和首位有特别要求 , 先安排 , 免得不合要求的元素占了两个地点. 先排末位共有C13而后排首位共有C41最后排其余地点共有A43131 C4 A 4C3由分步数原理得C41C31A43288:7 种不一样的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中，也不种在两头的花盆里，有多少不一样的种法？二. 相元素捆策略例 2. 7人站成一排, 此中甲乙相且丙丁相,共有多少种不一样的排法.解：可先将甲乙两元素捆成整体并当作一个复合元素，同丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素行摆列，同相元素内部行自排。

由分步数原理可得共有A55A22A22480 种不一样的排法甲乙丙丁要求某几个元素必排在一同的,能够用捆法来解决 .马上需要相的元素归并一个元素,再与其余元素一同作摆列 ,同要注意归并元素内部也必摆列 .: 某人射 8 ，命中 4 ， 4 命中恰巧有 3 在一同的情况的不一样种数20三. 不相插空策略例 3. 一个晚会的目有 4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈目不可以出, 目的出序有多少种？解: 分两步行第一步排2个相声和3个独唱共有 A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6 个元素中包括首尾两个空位共有种A 64不一样的方法,由分步数原理,目的不一样序共有 A 55A 64种元素相离可先把没有地点要求的元素行排再把不相元素插入中和两头：某班新年会原定的 5 个目已排成目，开演前又增添了两个新目. 假如将两个新目插入原目中，且两个新目不相，那么不一样插法的种数30四. 定序倍空位插入策略例 4. 7 人排 , 此中甲乙丙 3 人序必定共有多少不一样的排法解:( 倍法 ) 于某几个元素序必定的摆列, 可先把几个元素与其余元素一同行摆列, 而后用摆列数除以几个元素之的全摆列数 , 共有不一样排法种数是：A77/ A33(空位法 )想有 7把椅子除甲乙丙之外的四人就坐共有 A 74种方法，其余的三个地点甲乙丙共有1种坐法，共有A74种方法。

排列组合中的易错问题

排列组合中的易错问题
张小松
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)011
【摘要】排列组合问题通常涉及多种情况,需要进行分类讨论,解题过程中若分类或分步不正确,容易重复或者遗漏,从而导致出错;特殊元素特殊位置比较多时,考虑不全面也易导致计算不正确;本文结合例题,分析了排列组合问题的易错点.
【总页数】1页(P112-112)
【作者】张小松
【作者单位】青海师范大学数学系,青海西宁810008
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.排列组合问题易错点透视
2.数学排列组合问题中的易错点探研
3.排列组合中的易错问题鉴赏
4.初学排列组合两个基本原理时的两类易错问题
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