新课标高考一轮复习训练手册文科第二十七课时A正弦定理和余弦定理必修5

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高考数学一轮复习课时过关检测二十七余弦定理和正弦定理含解析

课时过关检测(二十七) 余弦定理和正弦定理A 级——基础达标1．(2022·泰安模拟)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A ．56 B ．76 C ．53D ．73解析：D 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，因为AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，tan A ＝73，故选D ．2．在△ABC 中，A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，则BC 边上的高的长度为( )A ．2217B ． 2C ． 3D ．213解析：A 由A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，得S △ABC ＝12×4×3×12＝3，由余弦定理得：BC ＝3＋16－2×4×3×32＝7，BC 边上的高的长度为2×37＝2217．故选A ． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝b cos C 且c ＝6，A ＝π3，则△ABC 的面积为( )A ．36 3B ．27C ．20 3D ．18 3解析：D 在△ABC 中，a ＝b cos C ，所以sin A ＝sin B cos C ，又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝0，因为B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以sin C ≠0，所以cos B ＝0，所以B ＝π2，又因为c ＝6，a ＝6tan A ＝63，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ac ＝183，故选D ．4．(2022·耀华模拟)已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形解析：D 依题意△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝14(b 2＋c 2)，2bc sin A ＝b2＋c 2，由于0＜A ＜π，0＜sin A ≤1，所以0＜2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π2，△ABC 是等腰直角三角形．故选D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ＝6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2．△ABC面积为42，则sin C ＝( )A ．16 B ．13 C ．69D ．223解析：B 因为b ＝3c ＝6，△ABC 的面积为42＝12bc sin A ＝6sin A ，解得sin A ＝223，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝13，在△ABC 中，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42，因为42223＝2sin C，所以sin C ＝13．故选B ．6．(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是( ) A ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则△ABC 必有两解 C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＞cos BD ．若cos 2A ＋cos 2B －cos 2C ＜1，则△ABC 为锐角三角形解析：BC 对于A ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°，∴△ABC 为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，a sin B ＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B ＜b ＜a ，∴△ABC 必有两解，故B 正确；对于C ，∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，即π2＞A ＞π2－B ＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B －1＋2sin 2C ＜1，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＞0，即a 2＋b 2－c 2＞0，∴cos C ＞0，即C 为锐角，不能说明△ABC 为锐角三角形，故D 错误．故选B 、C ．7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是( )A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形解析：ACD 因为a sin A ＝4b sin B ，所以a 2＝4b 2，所以a ＝2b ，故A 正确；因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)＝5·(－2bc cos A )，且a ＝2b ，所以2bc ＝－25bc cos A ，所以cos A ＝－55，故B 错误；因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝255，又因为a ＝2b ，所以sin A ＝2sin B ，所以sin B ＝55，故C 正确；由cos A ＝－55＜0可知A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形，故D 正确；故选A 、C 、D ．8．(2021·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．解析：由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π3，根据条件△AFC 与△BDA 全等，所以AF ＝BD ＝1在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，AB 2＝AD 2＋BD 2－2×AD ×BD ×cos∠BDA ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以AB ＝13．答案：139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．解析：由题意得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4．因为A ＝60°，b＋c ＝6，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝24，所以a ＝26，△ABC 的周长为6＋26，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )r ＝12×()6＋26r ＝3，所以r＝3－2．答案：3－ 210．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC 的面积为12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． (1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解：(1)选择①，根据正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )，整理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．选择②，根据正弦定理有sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为C ∈()0，π，所以sin C ≠0，从而有cos C ＝12，故C ＝π3．选择③，因为12ca sin B ＝12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )，所以a sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C ，由正弦定理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ，即b 2＝1＋3－23cos ∠ADC ．在△BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ，即a 2＝1＋3－23cos ∠BDC ．因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC ，所以a 2＋b 2＝8．由C ＝π3及c ＝2，得a 2＋b 2－4＝ab ，所以ab ＝4，从而a 2＋b 2－2ab ＝0，所以a ＝b ＝2．B 级——综合应用11．(多选)(2022·长治模拟)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是( )A ．AB ＝8 B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为374解析：BCD 如图所示，因为AD 是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB ＝α，则∠BAC ＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos 2α－1＝18，且0＜α＜π2，所以cos α＝34，在Rt △ACD 中，AD ＝1，所以AC ＝AD cos α＝34，在Rt △ACB 中，AB ＝ACcos 2α＝34×8＝6，故A 错误，C 正确；根据角平分线定理，CD BD ＝AC AB ＝34×16＝18，故B 正确；因为cos α＝34，且0＜α＜π2，所以sin α＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin α＝12×6×74＝374，故D 正确，故选B 、C 、D ． 12．(2022·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)( )A ．65．46 kmB ．85．09 kmC ．74．35 kmD ．121．12 km解析：A 如图所示，由题意可得AC ＝46 km ，∠ACB ＝16．28°，∠BAC ＝132．57°，由正弦定理可得BCsin A ＝AC sin B ，即BC sin 132.57°＝46sin 31.15°，解得BC ＝46sin 31.15°·sin 132．57°≈460.52×0．74≈65．46．故选A ．13．(2022·淮安模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝12b ，若满足条件的△ABC 有两个，则12b ＜1且1＝a ＜b ，所以1＜b ＜2．答案：32((1,2)内任一数即可)14．(2022·济南模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cosC ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．解析：∵(3b －a )cos C ＝c cos A ，∴利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sinC cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．又∵sin B ≠0，∴cos C ＝13，则C 为锐角，∴sin C ＝223．由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，∴ab ＝9．由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝113ab ＝33，∴a ＋b ＝33．答案：93315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a ＝cos Bcos A ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)已知3b 2c －3a ＝cos Bcos A，则由正弦定理可得3sin B 2sin C －3sin A ＝cos Bcos A ，即3sin B cos A ＝(2sin C －3sin A )cos B ，即3sin(A ＋B )＝2sin C cos B ，即3sin C ＝2sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，则B ＝π6． (2)由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即22＝a 2＋c 2－2ac cos π6，即4＝a 2＋c 2－3ac ≥2ac －3ac ，当且仅当a ＝c 时，等号成立，ac ≤42－3＝4(2＋3)，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ≤12×4(2＋3)×12＝2＋3．∴△ABC 的面积的最大值为2＋3．C 级——迁移创新16．(2022·大庆模拟)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤32，334B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，334C ．⎝⎛⎭⎪⎫34，334D ．⎝⎛⎦⎥⎤34，334解析：A 由于a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，且A ∈(0，π)，所以A＝π3，那么外接圆半径为R ＝12×332＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34·2R sin B ·2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B ⎝⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝32sin B cos B ＋32sin 2B ＝34sin 2B ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos 2B ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2B －12cos 2B ＋34＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋34．由于△ABC 为锐角三角形，所以0＜B＜π2，0<C ＝π－A －B ＝2π3－B <π2，所以π6<B <π2，所以π6＜2B －π6＜5π6，12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，故32＜S △ABC ≤334．故选A ． 17．(2022·济南三模)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋5π6＝－14． (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋5π6＝－14，所以⎝⎛⎭⎪⎫32sin A －12cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin A ＋12cos A ＝－14，即32sin A cos A －34sin 2A －14cos 2A ＝－14，所以34sin 2A －38(1－cos 2A )－18(1＋cos 2A )＝－14，整理可得34sin 2A ＋14cos 2A ＝14，所以可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，因为A ∈(0，π)，可得2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，可得A ＝π3．(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝1，A ＝π3，所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ；所以a ＋b ＋c ＝1＋233(sin B ＋sin C )＝1＋233⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6．因为△ABC 为锐角三角形，所以得⎩⎪⎨⎪⎧0＜B ＜π2，0＜2π3－B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1＋3，3]，即△ABC 周长的取值范围是(1＋3，3]．。

2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理北师大版

正弦定理、余弦定理一、选择题1．(2021·全国卷甲)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( ) A．1 B． C． D．3D　[法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝．又＝，所以BC＝3．故选D．]2．在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝( )A．2 B．2 C．2 D．B　[由S＝ab sin C＝2a×＝2，解得a＝2．由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12，故c＝2．]3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是( )A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为C　[对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，∵sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝，∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形C正确；对于D项，由正弦定理，得sin C＝＝，且AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝AC·AB sin A＝或，D不正确．故选C．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( )A． B． C． D．A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A．]5．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形B　[由cos2＝得＝＋，∴cos B＝，又cos B＝，∴＝，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故选B．]6．(2021·毕节模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a ＝，△ABC的周长为5＋，(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C，则△ABC的面积为( )A． B． C． D．C　[由题意可得：a＝，△ABC的周长为5＋，可得b＋c＝5，因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C，由正弦定理及余弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc＝2bc cos A，因为A∈(0，π)，所以cos A＝，A＝，a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，所以10＝25－2bc－bc，所以bc＝5，所以S△ABC＝bc sin A＝×5×＝，故选C．]二、填空题7．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________．　[∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝．由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝．]8．(2021·全国卷乙)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为．B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．2　[由题意得S△ABC＝ac sin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×＝8，则b＝2．]9．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos∠MAC＝________．2 [法一：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC 的中点，所以BC＝8．在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos∠B ＝4＋64－2×8×2×＝52，所以AC＝2，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝．法二：由∠B＝60°，AB＝2，AM＝2，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8．过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝4．所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝2．在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝＝＝．]三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－．(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×．因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×．解得c＝5．所以b＝7．(2)由cos B＝－得sin B＝．由正弦定理得sin C＝sin B＝．在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cos C＝＝．所以sin(B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝．11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝．(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解]　(1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0．所以＝0，cos A＝．由于0<A<π，故A＝．(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin ．即sin B－cos B＝，sin＝．由于0<B<，故B＝．从而△ABC是直角三角形．1．(2021·南宁模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin 2A＝a sin B，且c＝2b，则等于( )A． B． C． D．D　[由b sin 2A＝a sin B及正弦定理得2sin B sin A cos A＝sin A sin B，又sin A sin B≠0，∴cos A＝．又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，∴＝3，从而＝，故选D．]2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )A． B． C． D．D　[cos A＝＝＝，则sin A＝＝，∴h＝b sin A＝3×＝，故选D．]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinA sin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为．(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解]　(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，又0＜A＜π，∴A＝．由sin A sin B＝cos2，得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，解得C＝，∴B＝．(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B ＋cos2C＝1＋sin A sin C，且sin A＋sin C＝1，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形D　[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin A sin C，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sin A sin C，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sin A sin C，∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cos B＝＝＝－，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sin A sin C．∴变形得＝(sin A＋sin C)2－sin A sin C，又∵sin A＋sin C＝1，得sin A sin C＝，∴上述两式联立得sin A＝sin C＝，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D．]2．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－；条件②：cos A＝，cos B＝．[解]　选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11．(1)在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－，解得a＝8．(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝．在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sin C＝＝＝．∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6．若选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11．(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝．在△ABC中，由正弦定理，可得＝，∴＝＝＝．又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝＝．∴S△ABC＝ab sin C＝×6×5×＝．。

2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-322.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π65.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-32【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cos A= 2+ 2- 22 =-12.2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cos B=74,所以sin B=1-cos2 =34,因为由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin A= ·sin =2×343=12,又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cos C= 2+ 2- 22 =-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cos A= 2+ 2- 22 =2 2 =22,又A∈(0,π),所以A=π4,因为b cos C=a sin B,利用正弦定理可得sin B cos C=sin A sin B,由sin B≠0,可得cos C=sin A=22,又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2- 23,所以cos B= 2+ 2- 22 = 2+ 2-( 2- 23)2 =23 ,故A正确;由cos B=2 3 可得3a cos B=2c,所以3sin A cos B=2sin(A+B),3sin A cos B=2sin A cos B+2cos A sin B,sin A cos B=2cos A sin B,所以tan A=2tan B,故B正确;因为tan C=3,所以tan(A+B)=tan +tan1-2tan2 =3tan 1-2tan2 =-3,1-tan tan =2tan +tan得tan B=-12或tan B=1.因为cos B=2 3 >0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.【解析】因为A=2B,所以sin A=sin2B,故sin A=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,又由余弦定理得a=2b· 2+ 2- 22 ,代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos A,整理得BC=7,所以 sin =2R,解得R=213.答案:2139.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,因为b=3,a-c=2,A=2π3,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,则△ABC的面积为S=12bc sin A=12×3×5×32=1534.答案:153410.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.【解析】(1)因为c=3a sin C-c cos A,所以sin C=3sin A sin C-sin C cos A,又sin C≠0,所以1=3sin A-cos A,即sin(A-π6)=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为a=7,b+c=19,A=π3,所以由a2=b2+c2-2bc cos A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bc sin A=3.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12.又0<A<π,所以A=π3.(2)因为A=π3,所以cos A= 2+ 2- 22 =12,即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,②将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1-sin2∠ '=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314.由正弦定理得 'sin∠ '= 'sin∠ ',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-12,所以 ' '=1+ =5+1故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S △ABC =7S △A'B'C',故D 正确.14.(10分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =23,2sin(2C -π3)=3.(1)若a =22,求角A ;(2)求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C -π3)=3,得sin(2C -π3)=32,因为△ABC 为锐角三角形,所以C ∈(0,π2),则2C -π3∈(-π3,2π3),所以2C -π3=π3,得C =π3.由正弦定理得 sin = sin ,22sin =23sin π3,得sin A =22,因为A ∈(0,π2),所以A =π4;(2)由(1)可知C =π3,在锐角三角形ABC 中,c =23,C =π3,则由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,12=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以ab 的最大值为12,所以12ab sin C ≤12×12×32=33,当且仅当a =b 时取等号,所以△ABC 面积的最大值为33.。

必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新

正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r.3．余弦定理：222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－.余弦定理可以变形为：cos A ＝222b c a2bc+-，cos B ＝222a c b 2ac +-，cos C ＝222a b c 2ab+-.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ 1 .2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.3．在△AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.222sin sin sin a b cR A B C===题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解: 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32.∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则A ＝6π解析 ∵A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12.题型二利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝b2a c-+.（1）求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2A2cos+cos A=02. (1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2A 2cos+cos A=02，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12. ∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bcsin A ＝ 3.题型三正、余弦定理的综合应用例3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边22sin )()sin ,A C a b B -=-已知△ABC 外接圆半径为（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值.解: （1）∵△ABC 22sin )()sin ,A C a b B -=-且22))(,A C a b B -=-即∴由正弦定理得：22(),a c a b b -=-即222,a b c ab +-=由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-=2ab ab =12=，(0,)C π∈Q ，.3C π∴=（2）max 2S =+探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．变式训练3在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．思想方法感悟提高方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．过关精练一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 2．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°3．在ABC ∆中，ABC S bc ABC ∆∆,35,20==的外接圆半径为3，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．234．在ABC ∆中，已知,45,1,2ο===B c b 则a 等于（）A ．226- B ．226+ C1 D ．23-5．在ABC ∆中2,3,3,AB AC BA AC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则A ∠等于（）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150° 6．在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，则这个三角形的最大角为（）A ．ο30 B ．ο90 C ．ο120 D ．ο60 7．在△ABC 中,已知三边之比4:3:2::=cb a ，则=-CB A 2sin sin 2sin （）A ．1B ．2C ．2-D ．21 8．ABC ∆中，边c b a ,,的对角分别为A 、B 、C ，且A=2B ，32a b =，cos B =（）A ．21B ．31C ．32D ．43二、填空题9．在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是三角形10．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________. 11．在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A 、B 、C ，且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅-+。

锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习3.6正弦定理和余弦定理(含答案详析)

,训练手册A 组基础达标（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲2，8，9一、选择题（每题 5 分，共 25 分）1.在△ ABC中，已知 a＝ 2 ，b ＝2，B＝ 45 °，则角A 等于（ D ）A. 30 °或150 °B. 60°120或°C. 60°D. 30°a b a21分析：由正弦定理＝，得 sin A ＝ sin B＝sin45 °＝，sin A sin B b22又 b>a ，故 A ＝ 30 °.2.（ 2013 ·莱州模拟在）△ ABC中，a＋b ＋ 10c ＝2（sin A＋sin B＋10sin C），A ＝ 60 °，则a 等于（ A）A.3B.2 3C. 4D. 不确立a60 °＝ 3，故分析：由已知及正弦定理得＝ 2，a＝ 2sin A＝ 2sinsin A选 A.3.（ 2014 ·聊城模拟）在△中，ABC内角 A，B，C 的对边分别是 a， b， c，若 a2－b 2＝3bc ，sin C＝23sin B，则 A 等于（ A ）A. 30 °B. 60°C. 120 °D. 150 °b c及 sin C＝2 3sin B，得 c＝ 2 3b ，∴cos A 分析：由＝sin B sin Cb 2＋c2－ a2－3bc ＋ 2 3bc3＝＝2bc ＝.2bc2∵A 为△ ABC的内角，∴A ＝ 30 °.4.（2014 ·威海模拟）在△中，ABC内角 A，B， C 对应的边分别是 a，b ，πc.已知 c＝2 ，C＝，S△ABC＝3 ，则△ABC的周长为（A）3A. 6B. 5C. 4D. 4＋231π33 ，得 ab ＝4.分析：由 S△ABC＝ absin＝ab ＝234π依据余弦定理知 4 ＝ a2＋b 2－ 2abcos＝（ a＋b ）2－3ab ，3∴a＋b ＝4.故△ ABC的周长为 a＋ b ＋c＝6，应选 A.5. （ 2013 ·青岛模拟）在△中ABC，＝ 120 °，b ＝ 1 ，面积为 3 ，则b －c－a等于（ C）sin B － sin C －sin A23939A. B.33C. 27D.47分析：∵ A＝ 120 °，sin∴ A ＝313，∴AB＝， S＝× 1 × AB× sinA＝224.依据余弦定理可得，BC2＝AC2＋AB 2－ 2AC · ABcos A＝ 21 ，∴BC＝21. 依据正弦定理可知：b －c－a BC＝＝2 7，应选 C.sin B － sin C －sin A sin A二、填空题（每题 5 分，共 15 分）6.（ 2013 ·铁岭模拟）若△的面ABC积为 3 ，BC＝2，C＝ 60 °，则边AB 的长度等于2.1分析：由正弦定理可知， S△ABC＝ BC· CA· sin 603°，＝2又 BC＝ 2，∴CA＝ 2 ，即 BC＝ CA，又∠ ACB＝ 60 °，∴三角ABC形是正三角形，∴AB ＝2.7.（ 2014 ·日照调研）在锐角△中， aABC，b ， c 分别为角 A，B， C 所对的π边，且 3a＝2csin A ，角 C＝.3a c，由 3a ＝2csin A ，得a c分析：依据正弦定理，＝sin A ＝，sin A sin C32∴sin C＝3π，而角 C 是锐角.∴C.＝238. 在△ ABC中，已知 sin A∶ sin B＝ 2 ∶ 1 ，c2＝b 2＋2bc ，则三内角 A，B，C 的度数挨次是45 °，30 °，105 ° .分析：由题意知， a＝ 2b ， a2＝b 2＋c2－2bccos A ，即 2b 2＝b 2＋ c2－2bccos A ，又 c2＝b 2＋ 2bc ，∴cos212b ＞b ，A＝，A＝ 45 °，sin B＝，∵a＝22∴A ＞B，∴B＝ 30 °，C∴＝ 105 °.三、解答题（共 10 分）9.（ 2014 ·茂名调研）在△中，ABCa， b ，c 分别是角 A ，B，C 的对边，5若 tan A＝3 ， cos C＝.5（1 ）求角 B 的大小；（2 ）若 c＝4 ，求△ ABC的面积 .分析：（1 ）∵ cos C＝525C＝2.，∴sin C＝， tan55tan A ＋ tan C 3 ＋2又 tan B＝－ tan （ A＋C）＝－＝－＝1，1－ tan Atan C1－ 3×2π且 B< π，∴B＝ .（4 分）4b c csin B10，（6 分）（2 ）由正弦定理＝，得 b ＝＝sin B sin C sin C由 sin A ＝sin （B＋C）＝ sin π＋ C ，4得 sin310A ＝，（8 分）101∴△ABC 的面积 S△ABC＝ bcsin A＝6.（10 分）2B 组提优操练（时间： 30分钟满分： 50分）若时间有限，建议选讲3，6，8一、选择题（每题 5 分，共 15 分）C1.（ 2014 ·台州模拟）在△中，ABCsin A· sin B cos＝2，则△ABC的形状一2定是（ B）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形C1＋ cos C 1 － cos （A＋B）1分析：∵2＝＝ [1 －（ cos Acos B－sincos＝2222Asin B ）] ，∴2sin Asin B ＝1－（ cos Acos B －sin Asin B ），∴sin Asin B ＋cos Acos B ＝1 ，∴cos （A －B）＝ 1 ，又 A－ B∈（－π，π），∴A － B＝ 0，∴A＝B，故△ABC 为等腰三角形 .2.（ 2013 ·江南十校联考）在△中，角ABC，B，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知 a＝23，c＝2tan A2c，则C等于（B）2，1＋＝tan B bA. 30°B.45°C. 45 °或135 °D. 60°tan A2c和正弦定理，得 cos Asin B＋sin Acos B 分析：由 1＋＝tan B b＝ 2sin Ccos A ，即 sin C＝2sin Ccos A，∴cos 1A＝，则 A＝60°.由223222，又 c<a ，则 C<60 °，故C＝ 45 °.正弦定理，得＝，则 sin C＝sin A sin C23（. 2013 ·梅州调研已）知△ABC的面积为3，AC＝ 2，∠BAC ＝60 °，则∠ ACB2等于（ A）A. 30 °B. 60°C. 90°D. 150 °1 3分析：由 S △ABC ＝ AB · ACsin ∠ BAC ＝ ABsin 60 ，°得＝ AB ＝1 ，∴BC 2＝2 2AB 2 ＋ AC 2－ 2AB · ACcos ∠ BAC ＝3 ， ∴BC ＝3. 由正弦定理得 BC＝sin ∠ BACABAB · sin ∠ BACsin 60 °1，∴sin ∠ACB ＝ BC ＝＝，又 AB ＜ BC ，∴∠ACB ＜ 60 °，sin ∠ ACB 3 2∴∠ACB ＝ 30 °.二、填空题（每题5 分，共 15 分）4.（ 2014·威海模拟）△ 的内ABC 角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若sinA ， sinB ， sinC 成等比数列，且 c ＝2a ，则 cos3 B ＝.4分析： ∵ sin A ， sin B ，sin C 成等比数列，∴ sin 2B ＝ sinA · sin C ，由正弦定理，得 b 2＝ac ，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋ c 2 －b 2 a 2＋c 2 －ac＝＝2ac2ac a 2＋ 4a 2 －2a 234a2＝ .45.（ 2013·长春调研）△ 的周ABC 长为 20 ，面积为 10 3， A ＝ 60 °，则BC边的长为7 .分析：设三角形三边长分别为a ，b ，c ，1依题意知， a ＋b ＋ c ＝ 20 ， bcsin A ＝10 3 ，2 ∴bc ＝ 40 ，依据余弦定理，得a 2＝b 2 ＋c 2－ 2bccos A ＝（ b ＋c ）2－ 3bc ＝（ 20 －a ）2 －120 ，解得 a ＝7.A ＋B6. 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 4sin 2－ 2cos77 ，则△ABC的面积为332C＝，且 a＋b ＝ 5， c＝.22分析：∵2A＋B72C＋1 4sin－cos2C ＝，∴2[1 － cos （ A ＋B）] －2cos2277＝，即 2 ＋2cos C－2cos 2C＋1 ＝，22∴cos 2C－ cos11C＝3C＋＝0 ，解得 cos C＝ .则 sin，依据余弦定理4221 a2＋b 2－7有 cos C＝＝，∴ab ＝ a2＋b 2－ 7 ，3ab ＝a2＋b 2＋ 2ab －7 ＝（ a＋22ab113 b ）2－7＝25 －7＝18 ，ab ＝6 ，∴△ABC 的面积 S△ABC＝ absin C＝×6×＝222332.三、解答题（共 20 分）7.（10 分）（ 2013 ·北京旭日统考）△的内角ABC，B，C的对边分别为a，b ，c，asin A ＋csin C－2asin C＝bsin B.（1）求 B；（2 ）若 A ＝ 75 °，b＝ 2，求 a，c.分析：（1 ）由正弦定理，得 a2＋ c2－2ac ＝b 2.由余弦定理，得 b 2＝a2＋ c2－2accos B.故 cos B＝2，所以 B＝ 45 ° .4（分）2（2 ）∵ sin A＝ sin（ 30 °＋ 45＝°）sin30 ° cos 45 °＋ cos30 ° sin 45 °2＋ 6，C＝ 180 °－ 75 °－ 45 °＝6 分60）° . （＝4sin A 2 ＋6∴a＝ b ·＝2＝1＋ 3，（8 分）sin Bsin C sin 60°c＝ b ·＝ 2 ·＝ 6.（10 分）sin B sin 45°8.（10分）在△ABC中，内角 A， B，C 所对的边分别为 a，b ，c，已知sin B（tan A＋tan C）＝ tan Atan C.（1 ）求证： a，b ，c 成等比数列；（2 ）若 a＝1 ，c＝2 ，求△ABC的面积 S.分析：（1 ）在△ ABC中，因为sin B（tan A＋tan C）＝ tan Atan C，∴sinsin Acos C ＋cos Asin C sin A sin C B·＝·，cos Acos C cos A cos C即 sin B（ sin Acos C＋cos Asin C）＝ sin Asin C，∴sin Bsin （A ＋C）＝sin Asin C.（2分）又 A＋ B＋C＝π，∴sin （A ＋C）＝ sin B，所以 sin 2B＝sin Asin C.由正弦定理，得 b 2＝ac，即 a， b， c 成等比数列 .（5 分）（2 ）∵ a ＝1，c＝2 ，∴b ＝ 2 ，由余弦定理，得 cosa2＋c2－b 212＋22－2 3B＝＝＝，（7 分）2ac2× 1×2 4∵0<B< π，∴sin B＝ 1 －cos 2 B＝7，41177.（10故△ ABC的面积 S＝ acsin B＝×1×2×＝4分）224。

2023年高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理

【典例】 (2019·西安模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac= 5 (a2-b2-c2). (1)求cos A的值. (2)求sin (2B-A)的值.
【素养立意】
与三角恒等变换相结合,考查正弦定理、余弦定理.
【解析】(1)由asin A=4bsin B及 a ＝得b a=2b.
【易错点索引】
序号 1 2
易错警示
在三角形中,一个正弦值(正数)对应两个角, 一个余弦值对应一个角
忽视三角形内角范围,即0°<A<180°
典题索引考点一、T3 考点二、典例
【教材·基础自测】
1.(必修5P10T4改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= ( )
A.
B.
bcos A,则△ABC为 ( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解析】选A.依题意得sin C<sin Bcos A, 所以sin (A+B)<sin Bcos A, 即sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A<0, 所以cos Bsin A<0. 又sin A>0,于是有cos B<0,B为钝角,△ABC是钝角三角形.
(2)运用方法
适用情形:三边a,b,c,任一内角A(知三求一).
b2 c2 a2
列方程:a2=b2+c2-2bccos A或cos A=_____2_b_c____.
(3)变形:cos
A=
b2 c2 a2 ,
2bc
b2+c2-a2=2bccos A等等.

2023年高考数学(文科)一轮复习——正弦定理和余弦定理

索引
训练 2 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若bc＜cos A，则
△ABC 为 ( A )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
解析由bc＜cos A，得ssiinn CB＜cos A. 又B∈(0，π)，所以sin B＞0，
所以sin C＜sin Bcos A，
索引
2.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝( A )
A.1116
B.1136
C.1114
D.1134
解析由余弦定理知 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝222＋×422×－432＝1116.
索引
3.已知在△ABC 中，A＝π6，B＝π4，a＝1，则 b 等于( D )
A.2
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A 解的个数 __一__解__
bsin A<a<b __两__解__
a≥b _一__解___
a>b __一__解__
a≤b _无__解___
索引
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).
则△ABC 的形状为( A )
A.等边三角形
B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
解析因为a，b，c依次成等差数列，
所以 b＝a＋2 c. 由余弦定理可得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝12，
索引
将 b＝a＋2 c代入上式整理得(a－c)2＝0，所以a＝c. 又 B＝π3，所以△ABC 为等边三角形.

正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公
式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
（1）求∠；
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×

−

= ，解得 = （负值已舍去）.

方法一：由正弦定理，得
∠
=

,即∠
∠

以 =
, = ，所以

△ = ∠ =

− =

−

×

=

− ,所以

+

,所以

= ，即 + − = ,又 = ,所
× ×

=

.

1.已知在△ 中，角,,的对边分别为,,， = , = , = ∘ ，
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
√

解析：选C.由正弦定理得

D.有解但解的个数不确定
=

,所以

所以不存在，即满足条件的三角形不存在.
=

2025届高考数学一轮复习讲义

2022届高考数学一轮复习课时作业：正弦定理、余弦定理

正弦定理、余弦定理1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A．33B．±63C．－63D．632．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝π3，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝()A．27 B．2 3C．2 2 D．73．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是()A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin CB．若A＞B＞C，则sin A＞sin B＞sin CC．a cos B＋b cos A＝cD．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()A．19B．13C．12D．235．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则()A．若2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，则C＝π3B．若2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，则C＝π6C．若边BC的高为36a，则当cb＋bc取得最大值时，A＝π3D．若边BC的高为36a，则当cb＋bc取得最大值时，A＝π66．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为877 7．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos A ＝________，△ABC 的面积为________．10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC 满足________，且b ＝6，A ＝2π3，求sin C 的值及△ABC 的面积．从①B ＝π4，②a ＝3，③a ＝32sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．能力提高1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C ，则△ABC 的最大边长为( )A ．2B ．3C ． 3D ．2 32．(2020·广西桂林模拟)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．扩展应用1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ，且sin A ＋sin C ＝1，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．顶角为120°的等腰三角形2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.正弦定理、余弦定理1．(2020·大连测试)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A ．33 B ．±63 C ．－63D ．63D [由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin 60°3＝33.又AB＜AC ，∴0＜C ＜B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D.]2．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．2 3C ．2 2D ．7B [由S ＝12ab sinC ＝2a ×32＝23，解得a ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.]3．(多选)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，以下四个结论中，正确的是( )A ．若a ＞b ＞c ，则sin A ＞sinB ＞sinC B ．若A ＞B ＞C ，则sin A ＞sin B ＞sin C C ．a cos B ＋b cos A ＝cD ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 是锐角三角形ABC [对于A ，由于a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故A 正确；对于B ，A ＞B ＞C ，由大边对大角可知，a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故B 正确；对于C ，根据正弦定理可得a cos B ＋b cos A ＝2R (sin A cos B ＋sin B cos A )＝2R sin(B ＋A )＝2R sin(π－C )＝2R sin C ＝c (其中R 为△ABC 的外接圆半径)，故C 正确；对于D ，a 2＋b 2＞c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，由C ∈(0，π)，可得C 是锐角，但A 或B 可能为钝角，故D 错误．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( ) A ．19 B ．13 C ．12D ．23A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，AB ＝3，所以cos B ＝9＋9－162×9＝19，故选A.]5．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则( ) A ．若2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，则C ＝π3 B ．若2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，则C ＝π6C ．若边BC 的高为36a ，则当c b ＋b c 取得最大值时，A ＝π3 D ．若边BC 的高为36a ，则当c b ＋b c 取得最大值时，A ＝π6AC [因为在△ABC 中，0＜C ＜π，所以sin C ≠0.对于A ，B ，利用正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，整理得2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C sin[π－(A ＋B )]＝sin C ，即2cos C sin C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3，故A 正确，B 错误．对于C ，D ，由等面积法得12×36a 2＝12bc sin A ，所以a 2＝23bc sin A ，又b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝23bc sin A ＋2bc cos A ，则c b ＋bc ＝b 2＋c 2bc ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤4，当且仅当A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即A ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，c b ＋b c 取得最大值4，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.故C 正确，D错误．]6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为877 ACD [因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设⎩⎨⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x ＞0)，解得⎩⎨⎧a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，所以A 正确．由上可知边a 最短，边c 最长，所以角A 最小，角C 最大．又cos A ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝(6x )2＋(5x )2－(4x )22×6x ×5x ＝34，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(4x )2＋(5x )2－(6x )22×4x ×5x＝18，所以cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos 2A ＝cos C ，由三角形中角C 最大且角C 为锐角，可得△ABC 是锐角三角形，且2A ∈(0，π)，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2A ＝C ，所以B 错误，C 正确．设△ABC 的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2R ＝csin C ，又sin C ＝1－cos 2C ＝378，所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.] 7．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.1 [由a ＝3c 得sin A ＝3sin C ，即sin 2π3＝3sin C ， ∴sin C ＝12，又0＜C ＜π3，∴C ＝π6，从而B ＝π6，∴b ＝c ，因此bc ＝1.]8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b －cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.]9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos A ＝________，△ABC 的面积为________．34 1574 [依题意得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34，所以sin A ＝1－cos 2A ＝74，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝1574.]10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC 满足________，且b ＝6，A ＝2π3，求sin C 的值及△ABC 的面积．从①B ＝π4，②a ＝3，③a ＝32sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．[解] 当选择条件①时， ∵B ＝π4，A ＝2π3，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×22－12×22＝6－24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 32＝622，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝9－334. 当选择条件②时，∵a ＜b ，∴A ＜B ，又A 为钝角，∴无解．当选择条件③时，由题意得B 为锐角．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得32sin B 32＝6sin B ，得sin B ＝22，∴a ＝3，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×22－12×22＝6－24.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝9－334.11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．[解] (1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0，cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A . 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝12. 由于0<B <2π3，故B ＝π2. 从而△ABC 是直角三角形．能力提高1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C ，则△ABC 的最大边长为( )A ．2B ．3C ． 3D ．2 3C [由cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C 得1－sin 2A －1＋sin 2B ＋1－sin 2C ＝1＋3sin A sin C ，即－sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝3sin A sin C ，由正弦定理得b 2－a 2－c 2＝3ac ，即c 2＋a 2－b 2＝－3ac ，则cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32，则B ＝150°，即最大值的边为b ，∵△ABC 的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R ，∴πR 2＝3π，得R ＝3，则b sin B ＝2R ＝23，即b ＝23sin B ＝23×12＝3，故选C.]2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos Cc cos B ，所以cos C cos B ＝b c 或cos C cos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝b c ，由正弦定理，得sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B ，因为B ，C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.扩展应用1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ，且sin A ＋sin C ＝1，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．顶角为120°的等腰三角形D [∵cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ， ∴(1－sin 2A )－(1－sin 2B )＋(1－sin 2C )＝1＋sin A sin C ， ∴可得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝－sin A sin C ， ∴根据正弦定理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝120°，∵sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋sin A sin C .∴变形得34＝(sin A ＋sin C )2－sin A sin C ，又∵sin A ＋sin C ＝1，得sin A sin C ＝14，∴上述两式联立得sin A ＝sin C ＝12，∵0°＜A ＜60°，0°＜C ＜60°，∴A ＝C ＝30°，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故选D.]2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.[解] 选条件①：c ＝7，cos A ＝－17，且a ＋b ＝11.(1)在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(11－a )2＋72－a 22×(11－a )×7＝－17，解得a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝437. 在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c ·sin A a ＝7×4378＝32.∵a ＋b ＝11，a ＝8，∴b ＝3，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×8×3×32＝6 3.若选条件②：cos A＝18，cos B＝916，且a＋b＝11.(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝18，cos B＝916，∴sin A＝378，sin B＝5716.在△ABC中，由正弦定理，可得asin A＝bsin B，∴ab＝sin Asin B＝3785716＝65.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5. (2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B＝378×916＋18×5716＝327128＝74.∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×6×5×74＝1574.。

高考数学一轮复习第五章三角函数、解三角形第27课正弦定理和余弦定理课时分层训练

第五章三角函数、解三角形第27课正弦定理和余弦定理课时分层训练A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________.63 [由正弦定理可得1532＝10sin B，所以sin B ＝33，再由b ＜a ，可得B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝63.] 2．(2016·天津高考改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________.1 [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．]3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为________．34 [依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34.] 4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是________(填“一解”“二解”“不存在”)．不存在 [∵b sin c ＝40×sin 60°＝203，c ＝20， ∴b sin c >c ， ∴△ABC 不存在．]5．(2016·全国卷Ⅲ改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝________.31010 [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a 3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a ，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010.]6．若a cos(π－A )＋b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B ＝0，内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则三角形ABC 的形状为________．等腰三角形或直角三角形 [因为a cos(π－A )＋b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B ＝0，所以－a cos A ＋b cos B ＝0，所以－sin A cos A ＋sin B cos B ＝0，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以三角形ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形．]7．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________. 【导学号：62172149】32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]8．(2017·镇江期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么tan C ＝________.－15 [∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，设a ＝2x ，则b ＝3x ，c ＝4x ， ∴cos C ＝4x 2＋9x 2－16x 22×2x ×3x ＝－14.又c ∈(0，π)，∴sin c ＝154， ∴tan C ＝sin Ccos C＝－15.]9．(2017·盐城模拟)在锐角△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，△ABC 的面积为332，则AC 的长为________．7 [∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×3sin B ＝332，∴sin B ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，故cos B ＝12.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3cos B ＝13－12×12＝7.∴AC ＝7.]10．(2017·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A ＝2tanB ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝________.1 [∵tan A ＝2tan B ，∴sin A cos A ＝2sin Bcos B ，∴a cos B ＝2b cos A ，∴a 2＋c 2－b 22c ＝b 2＋c 2－a 2c，∴3a 2－3b 2＝c 2，又a 2－b 2＝13c ，∴c 2－c ＝0，即c ＝1，或c ＝0(舍去)．] 二、解答题11．(2017·南通一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积. 【导学号：62172150】[解] (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12. 因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2)法一：因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2.所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.法二：由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得a ＝b ，所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.12．(2016·苏北四市期末)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＝35，tan(A －B )＝－12.(1)求tan B 的值；(2)若b ＝5，求c . 【导学号：62172151】[解] (1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝35，得cos A ＝1－sin 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝34.由tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝－12，得tan B ＝2.(2)在锐角三角形ABC 中，由tan B ＝2，得sin B ＝255，cos B ＝55，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝11525，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B ＝112.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________.－43[因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，所以(sin C －2cos C )2＝4， sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．]2．在△ABC 中，tanA ＋B2＝2sin C ，若AB ＝1，则12AC ＋BC 的最大值为________． 213 [因为tan A ＋B2＝2sin C ，所以sinA ＋B 2cosA ＋B 2＝2sin C ，2sinA ＋B2·cosA ＋B22⎝ ⎛⎭⎪⎫cosA ＋B 22＝2sinC ，A ＋B1＋A ＋B＝2sin C . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，所以sin C 1－cos C＝2sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12，sin C ＝32，C ＝π3.因为BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ＝233，所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋233sin A＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋233sin A ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＋2sin A ＝213sin(A ＋φ)，其中0<φ<π2，tan φ＝35，当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值213.]3．(2017·南京模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos Ac＝2cos C .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求边c 的长．[解] (1)由余弦定理知a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c ，∴a cos B ＋b cos Ac ＝1，∴cos C ＝12，又C ∈(0，π)，C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8.又∵a ＋b ＝6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12， ∴c ＝2 3.4．(2016·苏北四市摸底)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且a sin B ＝2 3.(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 的中点，求线段AD 的长． [解] (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，因为b ＝4，a sin B ＝23，所以sin A ＝32，又0<A <π2，所以A ＝π3.(2)由已知得b ＝4，c ＝6，cos A ＝12，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.又因为a sin B ＝23，所以sin B ＝217，从而cos B ＝277因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即AD2＝36＋7－2×6×7×277＝19,所以，AD＝19.。

高三数学一轮复习课时作业27 正弦定理和余弦定理A 新人教A版文

[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝( )A ．5 2B ．10 2 C.1063D ．5 6 2．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( )A ．9B ．18C ．9 3D ．18 34．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( ) A.1665 B ．－1665 C.5665 D ．－5665能力提升5．判断下列说法，其中正确的是( )A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解6．[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 7．[2011·重庆卷] 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 8．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30°9．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. 10．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 11．[2011·东北三校一模] 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，则cos2B 的值是________．12．(13分)[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．难点突破13．(12分)[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos Ccos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．课时作业(二十七)A【基础热身】1．D [解析] 由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝10sin60°sin45°＝5 6. 2．B [解析] 用正弦定理可以将条件：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 化为a 2＝b 2＋c 2.3．C [解析] 由条件易得A ＝B ＝30°，所以b ＝a ＝6，S ＝12ab sin C ＝12×6×6×32＝9 3.4．A [解析] 由已知可得sin A ＝1213，sin A >sin B ，由于在△ABC 中，由sin A >sin B ⇔A >B 知角B 为锐角，故cos B ＝45，所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝2065－3665＝－1665，故cos C ＝1665. 【能力提升】5．B [解析] A 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝14×127＝1，所以B ＝90°，故只有一解，A 错误；B 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝25×1230<1，又A 为钝角，故只有一解，B 正确；C 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝9×226>1，所以角B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝10×329<1，因为b <c ，B ＝60°，且0°<C <180°，所以角C 有两解，D 错误．故选B.6．D [解析] ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.7．A [解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.①由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.故选A. 8．C [解析] 在△ABC 中，由正弦定理：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入sin A a ＝cos B b ＝cos C c 得：sin A 2R sin A ＝cos B 2R sin B＝cos C 2R sin C ，∴sin B cos B ＝sin C cos C＝1. ∴tan B ＝tan C ＝1，∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形． 9.54 [解析] 由正弦定理知，原式＝BC ＋BA AC，又由椭圆定义知BC ＋BA ＝10，AC ＝8，∴原式＝54. 10.π4 [解析] 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)， ∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4. 11．－12[解析] 因为a ∶b ＝1∶3，所以sin A ∶sin B ＝1∶3，又A ∶B ＝1∶2，则B ＝2A ，所以sin A ∶sin B ＝sin A ∶sin2A ＝1∶3，即cos A ＝32，∴A ＝30°，∴B ＝60°.cos2B ＝cos120°＝－12. 12．[解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13. (2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2. 则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. 【难点突破】13．[解答] (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k . 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B. 所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2. (2)由正弦定理及sin C sin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2. 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.。

高考数学一轮复习第五章三角函数、解三角形第27课

第27课正弦定理和余弦定理[最新考纲]内容要求A B C正弦定理、余弦定理及其应用√1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C变形形式(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2Rcos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A .(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是________．钝角三角形 [由正弦定理，得a 2R ＝sin A ，b 2R ＝sin B ，c 2R＝sin C ，代入得到a 2＋b 2＜c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．(2016·全国卷Ⅰ改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝________.3 [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.π3或2π3 [由正弦定理a sin A ＝b sin B ，代入可求得sin B ＝32，故B ＝π3或B ＝2π3.] 5．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．2 3 [由题意及余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋16－122×4×c ＝12，解得c ＝2，所以S ＝12bc sin A ＝12×4×2×sin 60°＝2 3.]利用正、余弦定理解三角形在△ABC 中，∠BAC ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD的长. 【导学号：62172148】[解] 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.[规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．[变式训练1] (1)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sinB ＋sinC )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为________．(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.(1)30° (2)2113 [(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.(2)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.]判断三角形的形状(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为________．(2)(2017·镇江期中)在△ABC 中，若cos A ＝12，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则△ABC 的形状为________．(1)等腰三角形或直角三角形 (2)等边三角形 [(1)∵a cos A ＝b cos B ，由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． (2)∵sin B ＋sin C ＝2sin A ，∴b ＋c ＝2a ，又cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b ＋c ＝2a ，则(b ＋c )2－a 2＝3bc ＝3a 2， ∴a 2＝bc ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，∴(b －c )2＝0，即b ＝c ，∴b ＝c ＝a ，∴△ABC 为等边三角形．][规律方法] 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．[变式训练2] (1)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的________条件．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是________三角形. 【导学号：62172148】(1)充分不必要 (2)等腰 [(1)由A ＋B ＋C ＝π，A ＋B <C ，可得C >π2，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立．(2)法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .]与三角形面积有关的问题a b c ABC A B C 2B AC .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． [解] (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.[规律方法] 三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.[思想与方法]1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .[易错与防范]1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜ba≥b a＞b解的个数一解两解一解一解2.课时分层训练(二十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝__________.6 3[由正弦定理可得1532＝10sin B，所以sin B＝33，再由b＜a，可得B为锐角，所以cos B＝1－sin2B＝63 .]2．(2016·天津高考改编)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________.1[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．]3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC 的面积为________．3 4[依题意得cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，C＝60°，因此△ABC的面积等于12ab sin C＝12×3×32＝34.]4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是________(填“一解”“二解”“不存在”)．不存在[∵b sin c＝40×sin 60°＝203，c＝20，∴b sin c >c ， ∴△ABC 不存在．]5．(2016·全国卷Ⅲ改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC，则sin A ＝________.31010 [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a 3，DC ＝23a ，∴AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝53a ，在△ABC 中，由正弦定理得a sin ∠BAC ＝53a sin 45°，∴sin ∠BAC ＝31010.]6．若a cos(π－A )＋b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B ＝0，内角A ，B 的对边分别为a ，b ，则三角形ABC 的形状为________．等腰三角形或直角三角形 [因为a cos(π－A )＋b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋B ＝0，所以－a cos A ＋b cos B ＝0，所以－sin A cos A ＋sin B cos B ＝0，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以三角形ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形．]7．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________. 【导学号：62172149】32 [由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3＞0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB ＞BC ，所以A ＜C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.]8．(2017·镇江期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么tan C＝________.－15 [∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，设a ＝2x ，则b ＝3x ，c ＝4x ， ∴cos C ＝4x 2＋9x 2－16x 22×2x ×3x ＝－14.又c ∈(0，π)，∴sin c ＝154， ∴tan C ＝sin Ccos C＝－15.]9．(2017·盐城模拟)在锐角△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，△ABC 的面积为332，则AC 的长为________．7 [∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×3sin B ＝332，∴sin B ＝32. 又△ABC 为锐角三角形，故cos B ＝12.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3cos B ＝13－12×12＝7.∴AC ＝7.]10．(2017·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A ＝2tanB ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝________.1 [∵tan A ＝2tan B ，∴sin A cos A ＝2sin Bcos B ，∴a cos B ＝2b cos A ，∴a 2＋c 2－b 22c ＝b 2＋c 2－a 2c，∴3a 2－3b 2＝c 2，又a 2－b 2＝13c ，∴c 2－c ＝0，即c ＝1，或c ＝0(舍去)．] 二、解答题11．(2017·南通一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a＋b ＋c )＝ab .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积. 【导学号：62172150】[解] (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12. 因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2)法一：因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2.所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×s in 2π3＝ 3.法二：由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得a ＝b ，所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.12．(2016·苏北四市期末)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＝35，tan(A －B )＝－12.(1)求tan B 的值；(2)若b ＝5，求c . 【导学号：62172151】[解] (1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝35，得cos A ＝1－sin 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝34.由tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝－12，得tan B ＝2.(2)在锐角三角形ABC 中，由tan B ＝2，得sin B ＝255，cos B ＝55，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝11525，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B ＝112. B 组能力提升(建议用时：15分钟)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________.－43[因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．]2．在△ABC 中，tan A ＋B2＝2sin C ，若AB ＝1，则12AC ＋BC 的最大值为________．213 [因为tan A ＋B2＝2sin C ，所以sin A ＋B2cos A ＋B2＝2sin C ，2sin A ＋B 2·cos A＋B22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ＋B22＝2sin C ，sin A ＋B1＋cos A ＋B ＝2sin C .因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，所以sin C1－cos C ＝2sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12，sin C ＝32，C ＝π3.因为BCsin A ＝ACsin B ＝ABsin C ＝233，所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋233sin A ＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋233sin A ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＋2sin A ＝213sin(A ＋φ)，其中0<φ<π2，tan φ＝35，当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值213.] 3．(2017·南京模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A c＝2cos C . (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求边c 的长．[解] (1)由余弦定理知a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c ， ∴a cos B ＋b cos A c ＝1，∴cos C ＝12，又C ∈(0，π)，C ＝π3. (2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8. 又∵a ＋b ＝6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12，∴c ＝2 3.4．(2016·苏北四市摸底)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且a sin B ＝2 3.(1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．[解] (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，因为b ＝4，a sin B ＝23，所以sin A ＝32，又0<A <π2，所以A ＝π3.(2)由已知得b ＝4，c ＝6，cos A ＝12，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.又因为a sin B ＝23，所以sin B ＝217，从而cos B ＝277因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19,所以，AD ＝19.。

高三数学(文)一轮复习课时作业1.3.7正弦定理与余弦定理含答案

一、选择题
1．在△ABC中,若2cos B sin A＝sin C,则△ABC一定是（）A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
解析:方法一：由已知结合正、余弦定理得
2·错误!·错误!＝错误!，整理得a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC一定是等腰三角形．
方法二：∵sin C＝sin［π－（A＋B）］＝sin（A＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B，
∴由已知得sin A cos B－cos A sin B＝0,
即sin（A－B）＝0,又A－B∈(－π，π），
∴A－B＝0,即A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案:B
2．满足A＝45°,c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则a m 的值为（)
A．4 B．2 C．1 D．不确定
解析:由正弦定理错误!＝错误!，得sin C＝错误!＝错误!＝错误!.
∵c＞a,∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴a m＝4。

答案:A
3．在△ABC中，若错误!＝错误!＝错误!,则△ABC是（）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确
解析：由已知条件及正弦定理，得tan A＝tan B＝tan C,。

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课时作业(二十七)A [第27讲正弦定理和余弦定理]
[时间：35分钟分值：80分]
基础热身
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b ＝( )
A ．5 2
B ．10 2 C.106
3 D ．5 6
2．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( ) A ．9 B ．18 C ．9 3 D ．18 3
4．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝3
5，则cos C 的值为( ) A.1665 B ．－1665 C.5665 D ．－5665 能力提升
5．判断下列说法，其中正确的是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解 6．[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )
A ．－12 B.1
2 C ．－1 D ．1 7．[2011·重庆卷] 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )
A.4
3 B ．8－
4 3
C ．1 D.2
3
8．若sin A a ＝cos B b ＝cos C
c ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形
B ．直角三角形，且有一个角是30°
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形，且有一个角是30°
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆
x 2
25
＋y 2
9＝1上，则sin A ＋sin C sin B ＝________.
10．在△ABC 中，若S △ABC ＝1
4(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________. 11．[2011·东北三校一模] 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，则cos2B 的值是________．
12．(13分)[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .
(1)求cos A 的值；
(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝
23
3
，求边c 的值．
难点突破
13．(12分)[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a
b
.
(1)求sin C sin A
的值；
(2)若cos B ＝1
4，△ABC 的周长为5，求b 的长．
课时作业(二十七)A
【基础热身】
1．D [解析] 由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝10sin60°
sin45°＝5 6.
2．B [解析] 用正弦定理可以将条件：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 化为a 2＝b 2＋c 2.
3．C [解析] 由条件易得A ＝B ＝30°，所以b ＝a ＝6，S ＝12ab sin C ＝12×6×6×3
2
＝
9 3.
4．A [解析] 由已知可得sin A ＝12
13，sin A >sin B ，由于在△ABC 中，由sin A >sin B ⇔A >B 知角B 为锐角，故cos B ＝45，所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝2065－3665＝－16
65，故cos C ＝16
65.
【能力提升】
5．B [解析] A 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A
a ＝14×12
7＝1，所以B ＝90°，故只有一
解，A 错误；B 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A
a ＝25×12
30<1，又A 为钝角，故只有一解，B
正确；C 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A
a ＝9×
226
>1，所以角B 不存在，故无解，C 错误；
D 中，由正弦定理得sin C ＝c sin B
b ＝10×32
9<1，因为b <c ，B ＝60°，且0°<C <180°，所以角C 有两解，D 错误．故选B.
6．D [解析] ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.
7．A [解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.① 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，②
将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝4
3.故选A. 8．C [解析] 在△ABC 中，由正弦定理：
a ＝2R sin A ，
b ＝2R sin B ，
c ＝2R sin C ，代入sin A a ＝cos B b ＝cos C c 得：sin A 2R sin A ＝cos B
2R sin B
＝
cos C 2R sin C ，∴sin B cos B ＝sin C
cos C ＝1.
∴tan B ＝tan C ＝1，∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．
9.5
4 [解析] 由正弦定理知，原式＝BC ＋BA AC
，又由椭圆定义知BC ＋BA ＝10，AC ＝8，∴原式＝5
4.
10.π4 [解析] 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝1
4(a 2＋b 2－c 2)，
∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ，
∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π
4.
11．－1
2 [解析] 因为a ∶b ＝1∶3，所以sin A ∶sin B ＝1∶3，又A ∶B ＝1∶2，则
B ＝2A ，所以sin A ∶sin B ＝sin A ∶sin2A ＝1∶3，即cos A ＝3
2，∴A ＝30°，∴B ＝
60°.cos2B ＝cos120°＝－1
2
.
12．[解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝1
3.
(2)由cos A ＝13得sin A ＝22
3
，
则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋22
3sin C ，
代入cos B ＋cos C ＝23
3，
得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π
2.
则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝6
3，
由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝3
2. 【难点突破】
13．[解答] (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
＝k .
则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B
. 所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A
sin B
.
即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，
所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，
因此sin C sin A ＝2.
(2)由正弦定理及sin C
sin A ＝2得c ＝2a ，
由余弦定理及cos B ＝1
4得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
＝a 2＋4a 2－4a 2×1
4
＝4a 2
.
所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1，因此b ＝2.。