2017-2018年河南省南阳市高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

合集下载

【数学】2017-2018年河南省南阳市高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}2．（5分）设复数，则z的共轭复数为（）A．1 B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i3．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，若=2，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S，则“A=﹣B“是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若扇形的周长是面积的4倍，则该扇形的面积的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．367．（5分）数列{a n}满足：a n=13﹣3n，b n=a n•a n+1•a n+2，S n是{b n}的前n项和，则S n的最大值（）A．280 B．308 C．310 D．3208．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．（5分）已知Rt△ABC的顶点为函数的图象的三个相邻的交点，则ω=（）A．B．2 C．D．2π10．（5分）已知，则=（）A．﹣1 B．1 C．D．11．（5分）已知函数且存在三个不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（4，5） B．[4，5） C．（4，5]D．[4，5]12．（5分）已知P1，P2为曲线C：y=|lnx|（x＞0且x≠1）上的两点，分别过P1，P2作曲线C的切线交y轴于M，N两点，若=0，则||=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则cos2α=．14．（5分）已知两个不相等的正数a，b满足，则a+b=．15．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=7，若O为△ABC外接圆的圆心，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表中第1，2，3行中的某一个数，且a1，a2，a3中任何两个数不在下表的同一列中．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积19．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且2S n=a n（a n+1）．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{b n}满足，求证：T n＜1．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+9．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜5成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y=f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．22．（12分）已知函数，若y=f（x）﹣a（x∈R）有两个零点x1，x2（x1≠x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＜0．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}={x∈Z|﹣1≤x≤3}={﹣1，0，1，2，3}，B={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，∴A∩B={1，2}．故选：C．2．（5分）设复数，则z的共轭复数为（）A．1 B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i【解答】解：=，则z的共轭复数为：1+i．故选：B．3．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，若=2，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据题意，由=2+，可得﹣==2，则||=2||=2，由=﹣，可得||2=|﹣|2=2﹣2•+2=1﹣2×1×1×+1=1，故||=1，由=﹣=（2+）﹣=+，则||2=|+|2=2+2•+2=1+2×1×1×+1=3，可得||=，在△ABC中，由||=2，||=1，||=，可得||2=||2+||2，则△ABC为直角三角形；故选：C．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S，则“A=﹣B“是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若{a n}成为公比不等于1的等比数列，则Sn==﹣，比照S n=Aq n+B，得A=，B=﹣故A=﹣B，若{a n}为公比等于1的等比数列，则：S n=na1，比照S n=Aq n+B，得A=n，B=0，推不出A≠﹣B，不是必要条件，（2）若已知：数列{a n}前n项和S n=Aq n+B，A=﹣B即A+B=0，则a1=S1=Aq+B=A（q﹣1），n＞1时an=Sn﹣S n﹣1=aAq n+B﹣[Aq n﹣1+B]=Aq n﹣1（q﹣1），⇒{a n}成为公比不等于1的等比数列．故A+B=0是使{a n}成为公比不等于1的等比数列的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）若扇形的周长是面积的4倍，则该扇形的面积的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设扇形的周长为C，弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S，则C=4S，根据题意可知周长C=2r+l=4×r2α，而l=αr，可得：2r+αr=4×r2α，∴2+α=2rα，可得：r=，∴S=×（）2×α=≥=1．（当且仅当α=2时等号成立）故选：D．6．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．36【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，∴a4=2．∵a4与2a7的等差中项为，∴a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故选：B．7．（5分）数列{a n}满足：a n=13﹣3n，b n=a n•a n+1•a n+2，S n是{b n}的前n项和，则S n的最大值（）A．280 B．308 C．310 D．320【解答】解：∵a n=13﹣3n，∴a1＞a2＞a3＞a4＞0＞a5＞a6＞…，∵b n=a n•a n+1•a n+2，∴b1＞b2＞0＞b3，b4＞0＞b5＞b6＞…，∴S n的最大值为S2，S4与中较大的一个，∵b1=a1a2a3=10×7×4=280，b2=a2a3a4=7×4×1=28，b3=a3a4a5=4×1×（﹣2）=﹣8，b4=a4a5a6=1×（﹣2）×（﹣5）=10，∴S2=280+28=308，S4=280+28﹣8+10=310，即S n的最大值为310．故选：C．8．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，则函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，1＜log45＜log49=log23＜2＜，则有b＞a＞c；故选：B．9．（5分）已知Rt△ABC的顶点为函数的图象的三个相邻的交点，则ω=（）A．B．2 C．D．2π【解答】解：∵Rt△ABC的顶点为函数的图象的三个相邻的交点，则两个函数的周期T=2×2=4，则ω==，故选：C．10．（5分）已知，则=（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：∵已知，∴==﹣=﹣=﹣=﹣=﹣，故选：C．11．（5分）已知函数且存在三个不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（4，5） B．[4，5） C．（4，5]D．[4，5]【解答】解：函数的图象如图所示：由f（x）在（﹣∞，2]上关于x=1对称，且f max（x）=2，又当x∈[2，+∞）时，f（x）=2x﹣2是增函数，当x=3时，f（x）=2，故x1+x2=2，x3∈（2，3），故x1+x2+x3∈（4，5），故选：A．12．（5分）已知P1，P2为曲线C：y=|lnx|（x＞0且x≠1）上的两点，分别过P1，P2作曲线C的切线交y轴于M，N两点，若=0，则||=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由题意可设0＜x1＜1，x2＞1，由x＞1可得y=lnx，导数为y′=，由0＜x＜1可得y=﹣lnx，导数为y′=﹣，则P1，P2作曲线C的切线的斜率分别为﹣，，若=0，即P1M⊥P2N，可得﹣•=﹣1，即有x1x2=1，设M（0，m），N（0，n），可得﹣=，即有m=1﹣lnx1，=，即有n=lnx2﹣1，则||=|m﹣n|=|2﹣lnx1﹣lnx2|=|2﹣ln（x1x2）|=2﹣0=2．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则cos2α=．【解答】解：∵，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．14．（5分）已知两个不相等的正数a，b满足，则a+b= 6．【解答】解：∵两个不相等的正数a，b满足，∴=3，∴（log a b）2﹣3log a b+2=0，解得log a b=1，或log a b=2，∴a=b（舍）或a2=b，∵a b=b a，∴，∴a2=2a，解得a=2或a=0（舍），∴a=2，b=a2=4，∴a+b=2+4=6．故答案为：6．15．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是[0，2] ．【解答】由约束条件作出可行域如图，令z=•=﹣x+y，得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过C（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于0；当直线过B（0，2）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，等于2．∴•的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．16．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=7，若O为△ABC外接圆的圆心，则= 12．【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=AB，cos∠OAD=，因此，•=||•||cos∠OAD=||•||=||2=；同理可得•=||2=．∴•=•（﹣）=•﹣•=﹣=12．故答案为：12．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表中第1，2，3行中的某一个数，且a1，a2，a3中任何两个数不在下表的同一列中．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）由题知，a1=2，a2=6，a3=18，∴q===3，∴a n=2×3n﹣1．（2），∴T n=b1+b2+b3+…+b n，∴=，∴．18．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积【解答】解：（Ⅰ）由题意B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC又，所以…（4分）所以…（6分）（Ⅱ）因为c=5，，所以…（7分）由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，则，化简得，a2﹣6a﹣55=0，解得a=11，或a=﹣5（舍去），…（9分）由BD=6得，CD=5，由，得…（10分）所以△ADC的面积…（12分）19．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且2S n=a n（a n+1）．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{b n}满足，求证：T n＜1．【解答】证明：（1）n=1时，2S1=2a1=a1（a1+1），且a1＞0，故a1=1，n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+1），∴2a n=a n（a n+1）﹣a n ﹣1（a n﹣1+1），整理得，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）数列{b n}满足，由（1）得∴．故T n＜1．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+9．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜5成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3x2﹣2x由f'（x）＞0得x＜0或，由f'（x）＜0得，所以函数的单调递增区间为（﹣∞，0）和，单调递减区间为．（2）f（x）＜5即，设，对x∈[1，2]恒成立，∴y=g（x）在[1，2]上单调递减，∴g（x）min=g（2）=3，∴a＞3所以实数a的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y=f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【解答】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x=0时f（x）max=3；当，即时．22．（12分）已知函数，若y=f（x）﹣a（x∈R）有两个零点x1，x2（x1≠x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＜0．【解答】解：（1）由f'（x ）＞0得x ＜0，f'（x ）＜0得x ＞0，所以f （x ）max =f （0）=1，又当x ＜1时，f （x ）＞0， ∴a ∈（0，1）；（2）∵f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，x 1≠x 2（设x 1＜x 2）可知x 1∈（﹣∞，0），x 2∈（0，+∞）要证明x 1+x 2＜0，只需证明x 2＜﹣x 1，∵x 2，﹣x 1∈（0，+∞），且f （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∴只需证明f （x 2）＞f （﹣x 1）又f （x 2）=f （x 1），∴只需证明f （x 1）＞f （﹣x 1）即证明即（1﹣x ）e x ﹣（1+x ）e ﹣x ＞0对x ∈（﹣∞，0）恒成立，g （x ）=（1﹣x ）e x ﹣（1+x ）e ﹣x ，x ∈（﹣∞，0）g'（x ）=x （e ﹣x ﹣e x ） ∵x ∈（﹣∞，0），e ﹣x ﹣e x ＞0，g'（x ）=x （e ﹣x ﹣e x ）＜0恒成立 ∴y=g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，又g （0）=0， ∴（1﹣x ）e x ﹣（1+x ）e ﹣x ＞0对x ∈（﹣∞，0）恒成立，故x 1+x 2＜0．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

河南省南阳市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题

2017秋期终高三数学试题参考答案（文）一．选择题.1-12 ACDBB CCDDC CA二．填空题.13.01=--y x 14.3716.]1,(-∞ 三．解答题17.解析（1）设等差数列的公差为d ，则由已知 5,31522321=∴==++a a a a a ......................1分又,100)135)(25=+++-d d （解得2=d 或13-=d （舍去）..............3分 31=∴a ，12+=∴n a n ......................4分又2,10,521=∴==q b b ，125-⋅=∴n n b ......................6分（2）12)12(5-⋅+=⋅=n n n n n b a c]2)12(27253[512-⋅+++⋅+⋅+=∴n n n T ......................8分 =n T 2 ]2)12(2)12(2523[512n n n n ⋅++⋅-++⋅+⋅-两式相减得]2)12(2222223[512n n n n T ⋅+-⋅++⋅+⋅+=-- ..................10分 ]12)21[(5-⋅-=nn则]12)12[(5+⋅-=n n n T ..................12分18.解：（1）由已知：x -＝6,y -＝10,5i ＝1∑x i y i ＝242,5i ＝1∑x 2i ＝220, ..............3分^b ＝n i ＝1∑x i y i －nx -y-n i ＝1∑x 2i －nx -2＝－1.45,a ˆ＝y -－^bx -＝18.7； ..................5分所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 ..................6分（2）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2) ..................8分＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5＝－0.05(x －3)2＋1.95,所以预测当x ＝3时,销售利润z 取得最大值． ..................12分19.解：（1）在矩形11A ABB 中，由平面几何知识可知BD AB ⊥1 . ................2分又 ⊥CO 平面11A ABB ，D BD CO CO AB =⊥∴ ,1，CO BD,平面BCDBC BCD AB ,1平面⊥∴平面BCD ，1AB BC ⊥∴. ..................6分（2）在矩形11A ABB 中，由平面几何知识可知36,33==OB OA ， ...........7分 36,2=∴=OC OA OC ，62,332,1ABC =∴==∴△S BC AC ...........8分设三棱柱111C B A ABC -的高为h ，即三棱锥ABC A -1的高为h . 又221ABA =△S ，由ABC A ABA C V V --=11三棱锥三棱锥得 =⋅h S ABC △OC S ⋅1A BA △,=∴h 6. ...........12分20. 解：（1）由题意可得22==a c e ，令c x -=，可得a b y 2±=，即有222=a b ，又222c b a =-，所以2=a ，1=b ．所以椭圆的标准方程为1222=+y x ； ………………………………………4分（2）设),(11y x M ，),(22y x N ，直线MN 方程为2-=my x ，代入椭圆方程，整理得024)2(22=+-+my y m ， ...........5分则0168)2(816222>-=+-=∆m m m ，所以22>m ． ...........6分 2224221221+=+=+m y y m m y y ， ...........7分 ∴||||2121y y PF S S S PMF PNF MNF -⋅=-=∆∆∆ ...........8分42222221681212222≤-+-=+-⨯⨯=m m m m ...........11分当且仅当24222-=-m m ，即62=m ．（此时适合△＞0的条件）取得等号．则MNF 面积的最大值是42． ........................12分 21.解析 (1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝1x＋2ax ＋b . ............................................1分因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0.当a ＝1时，b ＝－3，f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x， .....................3分 f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为(0，12)和(1，＋∞)，单调递减区间为(12，1)． ...........5分 (2)f ′(x )＝2ax 2－ 2a ＋1 x ＋1x ＝ 2ax －1 x －1 x，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝12a. .............................6分因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x 2＝12a≠x 1＝1. 当12a<0时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(0，e]上单调递减．所以f (x )在区间(0，e]上的最大值为f (1)．令f (1)＝1，解得a ＝－2.当0<12a <1时，f (x )在(0，12a )上单调递增，在(12a，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以最大值1在x ＝12a或x ＝e 处取得．而f (12a )＝ln 12a ＋a (12a )2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a－1<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. ..........10分当1<12a <e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，12a )上单调递减，在(12a，e)上单调递增．所以最大值1在x ＝1或x ＝e 处取得．而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)<0，所以f (e)＝lne ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1<12a<e 矛盾．当12a ≥e 时，f (x )在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以最大值1在x ＝1处取得，而f (1)＝ln1＋a －(2a ＋1)≠1，矛盾．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2. ................................12分22、解：（1）由θρsin 6=得θρρsin 62=，化为直角坐标方程为9)3(22=-+y x …………………………………………5分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得07)sin (cos 22=--+t t αα （*）由028)cos (sin 42>+-=∆αα，故可设21,t t 是方程（*）的两根，∴⎩⎨⎧-=⋅--=+7)cos (sin 22121t t t t αα 又直线过点)2,1(P ，故结合t 的几何意义得：2122121214)(||||||||||t t t t t t t t PB PA -+=-=+=+722sin 432≥-=α∴||||PB PA +的最小值为72．………………………………………………10分23.解析：（1）∵0>a ，0>b ，∴b a b a b x a x b x a x x f +=+=+--≥++-=|||)()(|||||)(∴b a x f +=min )(．由题设条件知2)(min =x f ，∴2=+b a ．………………………………………………………5分证明：（2）∵2=+b a ，而ab b a 2≥+，故1≤ab .假设22>+a a 与22>+b b 同时成立．即0)1)(2(>-+a a 与0)1)(2(>-+b b 同时成立, ∵0>a ，0>b ，则1>a ，1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，从而22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立．………………………………10分。

河南省南阳市2018届高三数学上学期第三次考试试题文201710170235

河南省南阳市2018届高三数学上学期第三次考试试题文第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A0，1，2,B x|2x1,x Z，则A U B（）A．0B．0,1,2C．1,0,1,2D．2,1,0,1,2 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）1A．B．C．D．y y x2y x3y sin xx3.函数y2x24x的值域是（）A．0,B．1,2C．0,2D．,21114.三个数的大小顺序为（）a b2c,2,log31e2A．b c a B．c a b C. c b a D．b a c 5.函数f x ln x e的零点所在的区间都是（）x111,ee,A．B． C.D．0,,1e e3log x,x06.已知函数，则不等式5的解集为（）f x2f xx x1,x02A．1,1B．,20,4 C. 2,4D．,20,47.已知m R，“函数y2x m1有零点”是“函数y log x在0,上为减函数”的m（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C. 充要条件D．既不充分也不必要条件8.函数的图象大致为（）f x2x x,cosA．B． C.1D ． 9. 若函数 fxxtx x在区间1, 4上单调递减，则实数t 的取值范围是（）3235151,33,A ．B ．C.D ．, , 8810.已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间0,上单调递增.若实数a 满足f log a f log a2 f 1 212，则的取值范围是（）a11A ．1,2B ．C.D ．0, 20, ,22211.设函数 fx 是奇函数 fx x R的导函数， f1 0，当 x 0 时，xfx fx0 fx 0 x，则使得成立的的取值范围是（）A ．,1U 0,1 B ．1, 0U1,C.,1U 1,D ．0，1U 1，12.设 f x 是定义在R 上的偶函数，且满足 f x2 fx 0，当 0 x 1时，f xxf xg xk2，又，若方程恰有两解，则的取值范围是g xkx 14（）4 44 44 4 4 A ．B ．C.D ．,1,. , , 11 511 53 1154 4 41, , ,3 11 5二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分. 13.经过原点0, 0作函数33 2 图象的切线，则切线方程为．f xxx14.已知 a0, ， tan2 ，则 cos．24f xxC15.函数sin 2的图像为，如下结论中正确的是（写出所有正确3结论的编号）._____________211①图象C关于直线x对称；122②图象C关于点,0对称；355③f x在区间内是增函数；1212④将y sin2x的图象向右平移个单位可得到图像C.316.若函数2x a满足f1x f1x，且f x在m,上单调递增，f x a R则实数m的最小值等于．第II卷（解答题共70分）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知tan2.（1）求tan的值；4sin2（2）求的值.sin sin cos cos21218.求值.20.52274923（1）；0.0083892522（2）.2lg2lg2g lg5lg22lg21f x x22ax5a1 19. 已知函数.（1）若函数f x的定义域和值域均为1,a，求实数a的值；（2）若f x在区间,2上是减函数，且对任意的，总有x1,x21,a1f x f x a，求实数的取值范围.12420.如图为函数y f x A sin x A0,0,图像的一部分.（1）求函数f x的解析式；y g x（2）若将函数y f x图像向在左平移的单位后，得到函数的图像，若633g x x，求的取值范围.2f x a ln x x1 21. 已知函数.2（1）若曲线y f x在x 1处的切线方程为4x y b 0，求实数a和b的值；（2）讨论函数f x的单调性.f x x2m ln x,g x x2x a 22. 设函数.（1）当a 0时，f x g x 在1,上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m 2时，若函数hx f x g x 在1,3上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；试卷答案1-5 ：CCCCA 6 -10：CBCCC 11-12：BD13 y0或9x 4y014. 31015 ①②③16.11017解：（1）tan tan4tan41tantan4tan 12131tan 12（2）原式2sincossin sin cos(2cos1)1222sin cossin sin cos2cos222tan221tan tan22222242 1 2849 1000 2 ( ) ( )( )18．解：（1）原式=323279 8 254 72 17 12529 3 25 9 9（2）原式=lg 2(2lg 2lg5)(1lg 2)=lg 2lg101lg 2=1f xx 22ax 5 a fx x 22ax 5a 119. （1）因为在(-]上为减函数，所以在[1, a ]上单调递减，即 fx= f1=a ， fx= f a =1，所以 a =2maxmin（2）因为 fx在(-上是减函数，所以 a ≥2.所以 f x在[1,a ]上单调递减，在[a ,a+1 ]上单调递增,所以 fx= f a=5-a fx=max{ f 1， fa 1}，又 f1-2minmaxf a 1a a 2 a a fxf 1a=6-2 -（6- ）= （ -2）≥0，所以 ==6-2 .因为对任意的 x 1,x 2maxa fxfxfxf xaa [1， +1] ,总有-4，所以-4，即-13，又12maxmin≥2，故 2a3220. 【答案】(1)(2)f x3 sin 2x37kxk k Z4 12试题解析：(1)由图像可知5 A T3,2 63 2T2 f x3sin2x7 , 3，函数图像过点，则127 7 2 3 sin 23 2k12 6 23，故2 f x 3sin2x323(2)，即g x 3 sin 2 x 3 sin 2x63321 5sin 2x2k2x2k k Z3 2 636，即57k x kk Z412a21解：（1）f(x)a ln x x21求导得f'(x)2x在x 1处的切线方程为x4x y bf'(1)a 24a 6,4f(1)b，，得,b=-4.'2a a x2（2）()2当时，在恒成立，所以在f x xa0f'(x)(0,)f(x) x xa a(a0'()0,0,)f xxf'(x)x0上是减函数.当时，（舍负），22f'(x)0xa2a(af(x))在(0,上是增函数，在,)上是减函数；2222【答案】（1）m e；（2）(22ln 2,32ln3]试题解析：（1）当a 0时，由f x gx0得m ln x x，x1,∵x 1，∴ln x 0，∴有在上恒成立，mln xx ln x 1令，由得，hx0x e h x,h xln x ln x2当 x e ,h x 0,0 x e ,h 0 0，∴ h x在0,e上为减函数，在e ,上为增函数，∴，∴实数的取值范围为；h xh eem m e min（2）当 m 2 时，函数 h xfxgx x 2ln x a ，hx1, 3x 2 ln x a1, 3在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，令 xx 2ln x ，则x 12 x 2 ，xx当1 x 2，x0；当 2 x 3，x 0，∴x在1, 2上单减，在2, 3上单增，，minx 2 2 2 ln 2又11, 3 3 2ln 3，13如图所示，6所以实数a的取值范围为(22ln2,32ln3]7。

数学---河南省南阳市2017-2018学年高一(上)期中试卷(解析版)

河南省南阳市2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩B=（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2} D．{1，2，3，5}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．[1，3）D．[1，3）∪（3，+∞）3．（5分）如下图所示，对应关系f是从A到B的映射的是（）A．B．C．D．4．（5分）函数的f（x）=log3x﹣8+2x零点一定位于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）5．（5分）下列函数中，与f（x）=的奇偶性和单调性都相同的是（）A．y=x3B．y=x C．y=x2D．y=x﹣16．（5分）图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为（）A．﹣2，﹣，，2 B．2，，﹣，﹣2 C．﹣，﹣2，2， D．2，，﹣2，﹣7．（5分）已知函数g（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（3）=4，则f（﹣3）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．48．（5分）设a=log3，b=log，c=（）0.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c9．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（0））=4a，则函数f（x）的值域（）A．[﹣1，+∞）B．（1，+∞）C．（3，+∞）D．[﹣，+∞）10．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512等于（）A．B．C．D．11．（5分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．412．（5分）已知函数y=f（x）和y=g（x）在[﹣2，2]上的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根；②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根；③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根；④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根．其中正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．（5分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=．14．（5分）函数f（x）=x﹣的值域是．15．（5分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=．16．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．18．（12分）已知集合A={x|1＜x＜2}，关于x的不等式2a＜2﹣a﹣x的解集为B．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣1，0]时的解析式f（x）=﹣（a∈R）．（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．20．（12分）目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？21．（12分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0）．（1）若a=﹣1，求函数的零点；（2）若函数在区间（0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（f（x））+f（）＜0．【参考答案】一、选择题1．C【解析】∵A={1，2，3}，B={2，5}，∴A∩B={2}，故选：C．2．D【解析】要使函数有意义，则，即，解得x≥1且x≠3，∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠3}，即[1，3）∪（3，+∞）．故选D．3．D【解析】如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．故D构成映射，A、不能构成映射，因为前边的集合中的元素4与9在后一个集合中有两个元素和它对应，故此对应不是映射．B与C中的元素0在后一个集合中没有元素和它对应，故B与C中的对应不是映射．故答案为：D4．C【解析】函数f（x）=log3x﹣8+2x为增函数，∵f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞1＞0，∴函数在（3，4）内存在零点．故选：C．5．A【解析】函数y=是奇函数，且在R上是单调递增函数，A.y=f（x）=x3，则x∈R，又f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），所以此函数是奇函数，y=x3在R上是增函数，故A正确，B.是非奇非偶函数，故B不正确；C.y=x2是偶函数，故C不正确；D.y=x﹣1是奇函数，且在R上不是单调递增函数，故D不正确；故选：A．6．A【解析】根据幂函数y=x n的性质，在第一象限内的图象，n越大，递增速度越快，故曲线C1的n=﹣2，曲线C2的n=，c3的n=，曲线C4的n=2，故依次填﹣2，﹣，，2．故选A．7．B【解析】函数g（x）=f（x）﹣x是偶函数，可知g（3）=g（﹣3），可得f（3）﹣3=f（﹣3）+3，即4﹣3=f（﹣3）+3，f（﹣3）=﹣2．故选：B．8．B【解析】∵a=log3＜0，b=log＞，0＜c=（）0.3＜，∴a＜c＜b．故选：B．9．B【解析】∵函数f（x）=，∴f（0）=2，f（f（0））=f（2）=4+2a=4a，解得：a=2，故函数f（x）=，当x＜1时，f（x）∈（1，3）；x≥1时，f（x）∈[3，+∞），综上可得：函数f（x）的值域为：（1，+∞），故选：B．10．C【解析】log512===．故选C．11．B【解析】解法一：画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故选B．解法二：由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥0，得x≥4．0＜x≤2时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x＜10﹣x，f（x）=2x；2＜x≤4时，x+2＜2x，x+2≤10﹣x，f（x）=x+2；由2x+x﹣10=0得x1≈2.84x＞x1时2x＞10﹣x，x＞4时x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x．综上，f（x）=∴f（x）max=f（4）=6．选B．12．C【解析】∵在y为[﹣2，﹣1]时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y为[1，2]时，g（x）同样都是两个自变量满足∴①正确∵f（x）值域在[﹣1，2]上都是一一对应，而在值域[0，1]上都对应3个原像，∴②错误同理可知③④正确故选C．二、填空题13．﹣1【解析】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）=﹣2=∴∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x=∴∴f（3）=﹣1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x则x=1此时x2﹣2x=﹣1∴f（3）=﹣1故答案为：﹣114．（﹣∞，1]【解析】设=t，则t≥0，f（t）=1﹣t2﹣t，t≥0，函数图象的对称轴为t=﹣，开口向下，在区间[0，+∞）上单调减，∴f（t）max=f（0）=1，∴函数f（x）的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．15．【解析】∵2+log23＜4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）==故应填.16．（3，+∞）【解析】当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题17．解：（1）原式=﹣1﹣+=，（2）原式=﹣+lg100+2=﹣+2+2=．18．解：（1）由不等式2a＜2﹣a﹣x得，a＜﹣a﹣x，解得x＜﹣2a，∴集合B={x|x＜﹣2a}；又A∩B=A，∴A⊆B，且集合A={x|1＜x＜2}，∴2≤﹣2a，解得a≤﹣1，∴实数a的取值范围是{x|a≤﹣1}；（2）由集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜﹣2a}，且A∩B=∅，∴﹣2a≤1，解得，∴实数a的取值范围是.．19．解：（1）∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，又∵∴=1﹣a=0解得a=1即当x∈[﹣1，0]时的解析式当x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]∴=4x﹣2x=﹣f（x）∴f（x）=2x﹣4x（x∈[0，1]）（2）由（1）得当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣4x令t=2x（t∈[1，2]）则2x﹣4x=t﹣t2，令y=t﹣t2（t∈[1，2]）则易得当t=1时，y有最大值0f（x）在[0，1]上的最大值为020．解：（1）由题意得，车费f（x）关于路程x的函数为：=．（2）只乘一辆车的车费为：f（16）=2.85×16﹣5.3=40.3（元），换乘2辆车的车费为：2f（8）=2×（4.2+1.9×8）=38.8（元）．∵40.3＞38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．21．解：（1）若a=﹣1，则f（x）=﹣x2+2x﹣1，由f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，得x2﹣2x+1=0，解得x=1，∴当a=﹣1时，函数f（x）的零点是1．（2）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a，且a≤0①当a=0时，f（x）=2x﹣2，由2x﹣2=0，得x=1，且1∈（0，1]，∴当a=0时，函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．②当a≠0时，由f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=0易得f（1）=0∴f（x）=0必有一个零点1∈（0，1]，设另一个零点为x0，则即，∵函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．从而x0≤0，或x0≥1，解得a≤﹣2或﹣1≤a＜0，综合①②得，a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，0]．22．解：（1）由2x+1≠0⇒x∈R，又∴f（﹣x）=﹣f（x）故f（x）为奇函数．（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∴则＞0∴f（x1）＞f（x2），故f（x）为R上的减函数，（3）由（1）（2）知f（x）在R上是奇函数且单调递减，由得，∴，∴故不等式的解集为（﹣∞，log27）.。

河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试数学文科试卷

2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷和草稿纸上无效。

4.考试结束，只交答题卡。

第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。

若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。

2017-2018年河南省南阳市高一上学期数学期中试卷带答案

2017-2018学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷12小题，每小题5分，满分 60 分）1．（ 5分）设集合 A={ 1， 2， 3}， B={2， 5}，则A ∩ B=（ A ． { 1， 3， 5}B ． { 1， 5}C ． {2}D ． { 1， 2， 3， 5}2．（ 5 分）函数 f （ x ） = 的定义域为（）A ． [ 1， +∞）B ．（ 1， +∞）C ． [ 1， 3）D ． [ 1，3）∪（ 3， +∞）f 是从 A 到 B 的映射的是（4．（ 5 分）函数的 f （ x ） =log 3x ﹣ 8+2x 零点一定位于区间（A ．（ 1， 2）B ．（ 2， 3）C ．（ 3， 4）D ．（ 5，6） 5．（ 5 分）下列函数中，3．（ 5 分）如下图所示，对应关系 A ．C ．与f（x）= 的奇偶性和单调性都相同的是（）A．y=x3 B．y=x C．y=x2 D．y=x﹣16．（ 5 分）图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n 依次为（A ． a < b < cB ． a < c < bC ． b < c < aD ． b < a < c 9．（ 5 分）已知函数 f （ x ） = ，若 f （ f （0）） =4a ，则函数f （ x ）的值域（）A ． [ ﹣ 1，+∞） B ．（ 1， +∞） C ．（ 3， +∞）D ． [ ﹣ ， +∞）10．（ 5 分）设 lg2=a ， lg3=b ，则 log 512 等于（）A ．B ．C ．D ．11．（ 5分）用 min{a ， b ， c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f （ x ）=min{ 2x，x+2， 10﹣ x}（ x ≥ 0），则 f （ x ）的最大值为（） A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4 12．（ 5 分）已知函数 y=f （ x ）和 y=g （ x ）在 [ ﹣ 2，2] 上的图象如图所示．给出，﹣ 2 C ．﹣ ，﹣ 2， 2， D ． 2，A ．﹣ 4B ．﹣ 2C ． 8． g （ x ） =f （ x ） ﹣ x 是偶函数， 0D ． 4 5 分）设 a=log3， b=log ，c=（）且 f （ 3） =4，则 f （﹣ 3） =（0.3，则（ 5 分7．①方程f[ g（x）] =0 有且仅有6个根；②方程g[ f（x）] =0 有且仅有3个根；③方程f[ f（x）] =0 有且仅有5个根；④方程g[ g（x）] =0 有且仅有 4 个根．其中正确的命题的个数为（A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分）13．（ 5 分）若函数f（2x+1 ）=x2﹣2x，则f （3）= ．14．（ 5 分）函数f（x）=x﹣的值域是．15．（ 5 分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f （x）= ；当x< 4 时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）= ．16．（ 5 分）已知函数f（x）= ，其中m> 0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是．6 小题，满分70 分）17．（10 分）计算下列各式：1）（ 2 ）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（ 1.5）﹣2；2）log3 +lg25+lg4+718．（12 分）已知集合A={ x| 1< x< 2}，关于x的不等式2a< 2﹣a﹣x的解集为B．（1）若A∩ B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩ B=?，求实数a的取值范围．19．（12分）定义在[﹣1，1] 上的奇函数f（x），已知当x∈ [ ﹣1，0]时的解析式f（x）= ﹣（a∈ R）．（1）写出f（x）在[ 0，1] 上的解析式；（2）求f（x）在[0，1] 上的最大值．20．（12 分）目前，成都市 B 档出租车的计价标准是：路程2km 以内（含2km）按起步价8 元收取，超过2km 后的路程按 1.9 元/km 收取，但超过10km 后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km ）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次 B 档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0< x≤ 60，单位：km）的分段函数；（ 2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆 B 档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆 B 档出租车完成全部行程更省钱？21．（12 分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a （a≤ 0）．（1）若a=﹣1，求函数的零点；（2）若函数在区间（0，1] 上恰有一个零点，求 a 的取值范围．22．（12 分）已知函数f（x）= ．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（f（x））+f（）< 0．2017-2018学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60 分）1．（5分）设集合A={ 1，2，3}，B={2，5}，则A∩ B=（A．{ 1，3，5} B．{ 1，5} C．{2} D．{ 1，2，3，5}【解答】解：∵A={ 1，2，3}，B={ 2，5}，∴ A∩ B={2}，故选：C．2．（ 5 分）函数f（x）= 的定义域为（）A．[ 1，+∞）B．（1，+∞）C．[ 1，3）D．[ 1，3）∪（3，+∞）【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得x≥ 1 且x≠ 3，∴函数的定义域为{x| x≥ 1 且x≠ 3}，即[ 1，3）∪（3，+∞）．故选：D．3．（ 5 分）如下图所示，对应关系 f 是从A到B的映射的是（A．【解答】解：如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．故 D 构成映射，A、不能构成映射，因为前边的集合中的元素 4 与9 在后一个集合中有两个元素和它对应，故此对应不是映射．B 与C 中的元素0 在后一个集合中没有元素和它对应，故 B 与 C 中的对应不是映射．故选：D．4．（ 5 分）函数的f（x）=log3x﹣8+2x零点一定位于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）【解答】解：函数f（x）=log3x﹣8+2x为增函数，∵f（3）=log33﹣8+2× 3=﹣1< 0，f（4）=log34﹣8+2×4=log34> 1> 0，∴函数在（3，4）内存在零点．故选：C．5．（ 5 分）下列函数中，与f（x）= 的奇偶性和单调性都相同的是（）A．y=x3 B．y=x C．y=x2 D．y=x﹣1【解答】解：函数y= 是奇函数，且在R上是单调递增函数，A、y=f（x）=x3，则x∈R，又f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），所以此函数是奇函数，y=x3在R 上是增函数，故A正确，B、是非奇非偶函数，故B不正确；C、y=x2是偶函数，故C不正确；D 、 y=x ﹣ 1是奇函数，且在 R 上不是单调递增函数，故 D 不正确；故选： A ．6．（ 5 分）图中曲线是幂函数 y =x n在第一象限的图象．已知 n 取± 2，±值，则相应于曲线c 1、 c 2、 c 3、 c 4的 n 依次为（解：根据幂函数 y=x n的性质，在第一象限内的图象， n 越大，递增速度越快，故曲线 c 1 的 n=﹣ 2，曲线 c 2的 n= ， c 3的 n= ，曲线 c 4的 n=2，故依次填﹣ 2，﹣ ，， 2．故选： A ．7．（5分）已知函数 g （ x ） =f （ x ） ﹣ x是偶函数，且 f （ 3） =4，则 f （﹣ 3）A ．﹣4 B ．﹣ 2 C ． 0 D ． 4【解答】解：函数 g （ x ） =f （ x ）﹣ x 是偶函数，可知 g （ 3） =g （﹣ 3），可得f （ 3）﹣ 3=f （﹣ 3） +3，即 4﹣ 3=f （﹣ 3） +3，四个，﹣ 2 C ．﹣ ，﹣ 2，2，D ． 2，f（﹣3）=﹣2．故选：B．8．（ 5 分）设 a=log 3， b=log ， c=（） 0.3，则（A ． a < b < cB ． a < c < bC ． b < c < aD ． b < a < c解：∵ a=log 3< 0，b=log0< c=（） 0.3<，∴ a < c < b ．故选： B ．，若 f （ f （ 0）） =4a ，则函数 f （ x ）的值域（8．（ 1， +∞） C ．（3， +∞） D ． [ ﹣ ，+∞）解：∵函数 f （ x ） =f （ 0） =2， f （ f （ 0）） =f （ 2） =4+2a=4a ，解得： a=2，故函数 f （ x ） =x < 1 时， f （ x ）∈（ 1， 3）；故选： B ．9．（ 5 分）已知函数 f （ x ） = A ．[ ﹣ 1， +∞）x ≥ 1 时， f （ x ）∈ [ 3， +∞），（ 1，10．（ 5 分）设lg2=a ，lg3=b，则log512 等于（解：log512=故选：C．11．（5分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{ 2x，x+2，10﹣x}（x≥ 0），则f（x）的最大值为（）A．7 B． 6 C． 5 D． 4【解答】解：解法一：画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，观察图象可知，当0≤ x≤ 2 时，f（x）=2x，当2≤x≤ 4 时，f（x）=x+2，当x> 4 时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故选B．解法二：由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥ 0，得x≥ 4．0< x≤ 2 时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x< 10﹣x，f（x）=2x；2< x≤ 4 时，x+2< 2x，x+2≤ 10﹣x，f（x）=x+2；由2x+x﹣10=0 得x1≈ 2.84x> x1 时2x> 10﹣x，x> 4 时x+2> 10﹣x，f（x）=10﹣x．综上，f（x）=∴ f（x）max=f（4）=6．故选：B．12．（ 5 分）已知函数y=f（x）和y=g（x）在[ ﹣2，2] 上的图象如图所示．给出下列四个命题：①方程f[ g（x）] =0 有且仅有 6 个根；②方程g[ f（x）] =0 有且仅有 3 个根；③方程f[ f（x）] =0 有且仅有 5 个根；④方程g[ g（x）] =0 有且仅有 4 个根．其中正确的命题的个数为（）A． 1 B．2 C． 3 D． 4【解答】解：∵在y 为[ ﹣2，﹣1] 时，g（x）有两个自变量满足，在y=0，y 为[ 1，2] 时，g（x）同样都是两个自变量满足∴①正确∵ f（x）值域在[ ﹣1，2] 上都是一一对应，而在值域[ 0，1] 上都对应3 个原像，∴②错误同理可知③④正确故选：C．4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（ 5 分）若函数f（2x+1 ）=x2﹣2x，则f （3）= ﹣ 1【解答】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）= ﹣ 2 =∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵ f（2x+1）=x ﹣2x=∴∴ f（3）=﹣ 1解法三：（凑配法求解析式）∵ f（2x+1）=x2﹣2x令2x+1=3则x=1此时x2﹣2x=﹣ 1∴ f（3）=﹣ 1故答案为：﹣ 114．（ 5 分）函数f（x）=x﹣的值域是（﹣∞，1] ．【解答】解：设=t，则t≥ 0，f（t）=1﹣t2﹣t，t≥ 0，函数图象的对称轴为t=﹣，开口向下，在区间[0，∞）上单调减，∴ f（t ）max=f（0）=1，∴函数f（x）的值域为（﹣∞，1] ．故答案为：（﹣∞，1] ．=f 15．（5 分）已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）= ；当x< 4 时f（x）（x+1），则f（2+log23）= ．【解答】解：∵2+log23< 4，∴f（2+log23）=f（3+log23）=f（log224）= =故应填使得关于 x 的方程 f （ x ） =b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是（ 3， +∞）∵ x > m 时， f （ x ）=x 2﹣ 2mx+4m=（ x ﹣ m ） 2+4m﹣ m 2> 4m ﹣ m 2， ∴ y 要使得关于x 的方程 f （ x ） =b 有三个不同的根，必须 4m ﹣ m 2< m （ m > 0），即 m 2> 3m （ m > 0），解得 m > 3，∴ m 的取值范围是（ 3， +∞），6 小题，满分 70 分）17．（ 10 分）计算下列各式： 1）（ 2 ） ﹣（﹣ 9.6） 0﹣（ 3 ） +（ 1.5）﹣ 2；2） log 3 +lg25+lg4+7 ．解：（ 1）原式= ﹣ 1 ﹣ + = ，16．（ 5 分）已知函数 f （ x ） =m > 0，若存在实数 b ，解：当m > 0 时，函数 f （ x ） = 的图象如下：故答案为：（，2）原式=﹣+lg100+2=﹣+2+2= ．18．（12 分）已知集合A={ x| 1< x< 2}，关于x的不等式2a< 2﹣a﹣x的解集为B．（1）若A∩ B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩ B=?，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由不等式2a< 2﹣a﹣x得，a<﹣a﹣x，解得x<﹣2a，∴集合B={ x| x<﹣2a} ；又A∩ B=A，∴A? B，且集合A={ x| 1< x< 2}，∴ 2≤﹣2a，解得a≤﹣1，∴实数a的取值范围是{x| a≤﹣1}；（2）由集合A={ x| 1 < x< 2}，B={ x| x<﹣2a}，且A∩ B=?，∴﹣2a≤ 1 ，解得，∴实数a的取值范围是. ．19．（12分）定义在[﹣1，1] 上的奇函数f （x），已知当x∈ [ ﹣1，0]时的解析式f（x）= ﹣（a∈ R）．（1）写出f（x）在[ 0，1] 上的解析式；（2）求f（x）在[0，1] 上的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在[ ﹣1，1] 上的奇函数，又∵∴=1 ﹣a=0解得a=1即当x∈ [ ﹣1，0] 时的解析式当x∈ [ 0，1] 时，﹣x∈ [ ﹣1，0]∴=4x﹣2x=﹣f（x）f（x）=2x﹣4x（x∈ [ 0，1] ）（2）由（1）得当x∈[ 0，1] 时，f（x）=2x﹣4x令t=2x（t∈ [ 1，2]）则2x﹣4x=t﹣t2，令y=t﹣t2（t∈ [ 1，2] ）则易得当t=1 时，y有最大值0f（x）在[0，1] 上的最大值为020．（12 分）目前，成都市 B 档出租车的计价标准是：路程2km 以内（含2km）按起步价8 元收取，超过2km 后的路程按 1.9 元/km 收取，但超过10km 后的路程需加收50%的返空费（即单价为 1.9×（1+50%）=2.85元/km ）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次 B 档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0< x≤60，单位：km）的分段函数；（ 2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆 B 档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆 B 档出租车完成全部行程更省钱？【解答】解：（1）由题意得，车费f（x）关于路程x的函数为：= ．（6'）（2）只乘一辆车的车费为：f（16）=2.85× 16﹣ 5.3=40.3（元），（8'）换乘 2 辆车的车费为：2f（8）=2×（ 4.2+1.9× 8）=38.8（元）．（10'）∵ 40.3> 38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．（12'）21．（12 分）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a（a≤0）．（1）若a=﹣1，求函数的零点；（2）若函数在区间（0，1] 上恰有一个零点，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）若a=﹣1，则f（x）=﹣x2+2x﹣ 1 ，由f（x）=﹣x2+2x﹣1=0，得x2﹣2x+1=0，解得x=1，∴当a=﹣ 1 时，函数f（x）的零点是1．⋯（4分）（2）已知函数f（x）=ax2+2x﹣2﹣a，且a≤ 0①当a=0时，f（x）=2x﹣2，由2x﹣2=0，得x=1，且1∈（0，1]，∴当a=0时，函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．⋯（6分）②当a≠0 时，由f（x）=ax2+2x﹣2﹣a=0易得f（1）=0∴ f（x）=0必有一个零点1∈（0，1] ⋯（7 分）设另一个零点为x0，则即⋯（8 分）∵函数f（x）在区间（0，1]上恰有一个零点．从而x0≤ 0，或x0≥ 1解得a≤﹣2 或﹣ 1 ≤ a< 0⋯（11 分）综合①②得， a 的取值范围是（﹣∞，﹣2] ∪ [ ﹣1，0] ．⋯（12 分）22．（12 分）已知函数f（x）= ．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）解不等式f（f（x））+f（）< 0．【解答】解：（1）由2x+1 ≠ 0? x∈ R又∴ f（﹣x）=﹣f（x）故f（x）为奇函数．⋯（ 4 分）（2）f（x）为R 上的减函数证明如下：任取x1，x2∈ R，且x1< x2，∴则>0∴ f（x1）＞f（x2）故f（x）为R上的减函数（8 分）（3）由（1）（2）知f（x）在R上是奇函数且单调递减，得，故不等式的解集为（﹣∞，log27）⋯（12 分）运用举例：1 .如图，若点B 在 x 轴正半轴上，点 A （4， 4）、C （1 ，－ 1），且 AB ＝ BC ， AB ⊥ BC ，求点 B 的坐标；”模型：赠送初中数学几何模型2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1 、 2 、 3 ，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1 S4 ．3. 如图，Rt△ ABC中，∠BAC=90°， AB=AC=2，点 D 在 BC上运动（不与点B， C重合），过 D作∠A DE=45°， DE交 AC于 E．（ 1 ）求证：△ABD∽△DCE；（ 2）设BD=x， AE=y，求y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（ 3）当△ADE是等腰三角形时，求 AE的长．1 124.如图，已知直线y x 1 与 y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y x bx c与直线交于A、 E两点，与x轴交于B、 C两点，且B 点坐标为（1，0）。

河南省南阳市2017-2018学年高二上期期中质量评估数学(文)试题

2017年秋期高中二年级期中质量评估数学试题（文）参考答案一、选择题：1~6 CCABAD 7~12 BBBBDC 二、填空题：13、 5 14、58 15、 53 16、 6 三、解答题：17．解（1）由已知220x bx c ++<的解集是()0,5，所以05和是方程220x bx c ++=的两个根，由韦达定理知，5,0,10,0,22b cb c -==∴=-=2()210f x x x =-. 5分（2）对任意,R x ∈不等式2)(≤⋅x f t 恒成立等价于21022≤-tx tx 对R x ∈恒成立即0152≤--tx tx 对R x ∈恒成立因为0<t ，所以只需04252≤+=∆t t 所以0254<≤-t 所以t 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,254 10分18、（1）由正弦定理，得sin sin cos C A A C =，因为sin 0A ≠，解得tan C =3C π=． 6分（2）因为3b a c ==，．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积1sin 24S ab C ==． 12分19、设污水处理水池的长、宽分别为bm am ,，总造价为y 元，则160,160,200≤<≤<=b a ab ，()20080224822400⨯+⨯++=b b a y 6分分最低造价为45000元。

12分20、（Ⅰ） 1120n n n a S S +++=，∴1120n n n n S S S S ++-+=，即112n n n n S S S S ++-=，1112n nS S +-=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． 3分由上知数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，首项为111S =， ∴112(1)21n n n S =+-=-，∴121n S n =-． 5分 ∴()()111221232123n n n a S S n n n n -=-=-=-----．（或由1120n n n a S S +++=得()()11122221232123n n n a S S n n n n +=-=-⨯⨯=-----）由题知，11a =综上，),2(,)32)(12(2)1(1N n n n n n a n ∈≥⎪⎩⎪⎨⎧---== 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21n n S b n =+1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1111111112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴11122121n nT n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 12分 21、（1）在△ABC 中，222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B Cc a b ---====----， 2分因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， 4分因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =． 6分（2）()4πcos 2cos 2cos 2cos 23A A A T C =+=+-()1πcos 22cos 223A A A =-=+ 9分因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2A <+<，因此()π11cos 2A -+<≤，所以112T -<≤． 12分22、（1）由题意知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n 当1=n 时，1111==S a 符合上式所以56+=n a n 3分设数列{}n b 的公差为d由112223.a b b a b b =+⎧⎨=+⎩即111121723b d b d=+⎧⎨=+⎩可解得3,41==d b所以13+=n b n 6分（2）由（1）知另()11(66)312.(33)n n n nn c n n +++==++8分又n n C C C T +++= 21，得()[]1322123223+⨯+++⨯+⨯⨯=n n n T()[]24321232232+⨯+++⨯+⨯⨯=n n n T两式作差得()[]2143221222223++⨯+-++++⨯⨯=-n n n n T()2223212121443++⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+---+⨯=n n n n n ）（所以223+⋅=n n n T 12分。

河南省南阳市2018届高三数学上学期期中质量评估试题文(扫描版)

河南省南阳市2018届高三数学上学期期中质量评估试题文（扫描版）2017年秋期高中三年级期中质量评估参考答案及评分标准数学试题（文）一．选择题.1--12 CBCBD BCBCC AB 二．填空题.13. 8114. 6 15. ]2,0[ 16. 12 三、解答题17解：（1）由题知，18,6,2321===a a a ……………………………… 3分132,3-⋅==∴n n a q ………………………………………………………………5分（2）nn n n na b 323⋅== ……………………… ……………………………… 6分n n b b b b T ++++=∴ 321即n n n T 32332322312321⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==n T 3 132323)1(2322312+⋅+⋅-++⋅⋅+⋅⋅n n n n132132)3333(22+⋅-++++=-∴n n n n T113)12(33231)31(6++⋅---=⋅---=n n n n n23)12(31+⋅-+=∴n n n T …………………………………………………… 10分 18解：（1）由题意得B=2C，则C C C B c o s s in 22s i n si n == ............................2分又因为cb 45=，所以5522sin 2sin cos ===c b C B C ..................................... 4分所以531co22c o c o 2=-==C C B . ...............................................................6分（2）由5=c ，cb 45=，得54=b ............................................................7分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=得805352252=⨯⨯-+a a ，解得（舍去）或511-==a a ， ..............................................................9分由6=BD 得，5=CD .由552cos =C ，得55s in =C ， ................................10分所以105554521sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=C AC DC S ABC △ ...................................12分19解：（1）1=n 时，)1(221111+==a a a S ，且01>a ，故11=a ...............1分2≥n 时，)1(2111+=---n n n a a S=∴n a 2)1(+n n a a )1(11+---n n a a 整理得01212=-----n n n n a a a a 即0)1)((11=--+--n n n n a a a a ,0>n a 11=-∴-n n a a .....................................................................5分所以数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列. ............................................6分（2）由（1）得n a n =，2)1(+=n n S n ，111)1(1+-=+=n n n n b n (9)分故11111113121211<+-=+-++-+-=n n n T n .................................12分 20解：（1）x x x f 23)(2-=' ........................................................................1分由)(>'x f 得<x 或32>x ，由)(<'x f 得320<<x ， ...........................3分所以函数的单调递增区间为)0,(-∞和),32(+∞，单调递减区间为)32,0(. .....5分（2）5)(<x f 即22344xx x x a +=+>，设]2,1[,4)(2∈+=x x x x g ...............8分0881)(333≤-=-='xx x x g 对]2,1[∈x 恒成立 ....................................................10分)(x g y =∴在]2,1[上单调递减，3)2()(min ==∴g x g ，3>∴a所以实数a的取值范围为），（∞+3 ....................................................................12分21解：（1）],0[),3,3(),sin ,(cos π∈-==x x x ，∥，x x sin 3cos 3=-∴ ....................................................4分即65,33tan π=∴-=x x ....................................................6分（2）)32sin(32sin 3cos 3)(π+=-=⋅=x x x b a x f ...............................8分],0[π∈x ，]35,32[32πππ∈+∴x ..........................................................9分∴当3232ππ=+x ，即0=x 时3)(max =x f ；当2332ππ=+x ，即65π=x 时32)(min -=x f . ...................................................12分22解：（1）xx e x x x e x x x x x f 222222)1(]2)1[()1()32()(++--=++--=' (2)分由,00)(,00)(><'<>'x x f x x f 得得所以1)0()(m a==f x f ， ...............................................................4分又当1<x 时，0)(>x f)1,0(∈∴a ...............................................................6分（2） )0,()(-∞在x f 上单调递增，),0()(+∞在x f 上单调递减，21x x ≠（设21x x <）可知)0,(1-∞∈x ，),0(2+∞∈x ， ...................................................................7分要证明021<+x x ，只需证明12x x -<，),0(,12+∞∈-x x ，且),0()(+∞在x f 上单调递减，)()(12x f x f ->∴只需证明又)()(12x f x f =，)()(11x f x f ->∴只需证明 ......................................................8分即证明121111x e x x +-121111x e x x -++> 即)1()1(>+---x x e x e x 对)0,(-∞∈x 恒成立， ....................................................10分)0,(,)1()1()(-∞∈+--=-x e x e x x g x x ，)()(x x e e x x g -='-)0,(-∞∈x ，0>--x x e e ，)()(x x e e x x g -='-0<恒成立 )(x g y =∴在)0,(-∞上单调递减，又0)0(=g ，∴0)1()1(>+---x x e x e x 对)0,(-∞∈x 恒成立，故021<+x x . ......................12分。

河南省南阳市部分示范高中2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)答案

2017-2018学年南阳市秋期期中考试高二数学试题答案（文）一.选择题：DACCD BACAD CA二.填空题：13.81 14. 2- 15. 81 16. 43 三.解答题：17.解：（1）由题意得a n ＝3n-1 ………………………………2分由数列{}n b 满足b 1＝s 1＝3 …………………………3分当n ≥2时，b n ＝s n －s n －1＝2n ＋1∴b n ＝2n ＋1（n ∈N ＋） ……………………………………6分（2）由（1）得c n ＝（2n ＋1）·3n －1∴Tn ＝3＋5·3+7·32＋…＋（2n －1）·3n －2＋（2n ＋1）·3n －1 ① ∴3Tn ＝ 3·3＋5·32＋…＋（2n －1）·3n －1＋（2n ＋1）·3n ② ①－② －2Tn ＝－2n ·3n∴Tn ＝n ·3n ………………………………………10分18.（1）由题意得a ＜0，且31，21是方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+ac a 21·3152131 解得⎩⎨⎧-=-=16c a ………………………………………4分（2）由（1）知原不等式可化为－6x 2＋（6＋b ）x －b ≥0，即（6x －b ）（x －1）≤0 ………………………6分 ①当6b ＞1，即b ＞6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤61 b x x ……………8分 ②当6b ＝1，即b ＝6时，原不等式的解集为{}1=x x ……………………………10分 ③当6b ＜1，即b ＜6时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤16x b x …………12分19. (本小题共12分)解：（1）由B a b sin 23=2sin sin B A B =⇒sin A =,又A 是锐角，所以60A =︒ ………………………………………………6分（2）由面积公式1sin 2S bc A ===40bc ⇒=，………8分又由余弦定理：2222cos 4913a b c bc A b c =+-=⇒+=…………………………12分 20.…………………………………12分21.（22）解：（I ）由 ,3,2,1 ,32231341=+⨯-=+n a S n n n ① 得 3243134111+⨯-==a S a 所以 a 1=2 ………………………………4分（Ⅱ）再由①有 ,3,2 ,322313411=+⨯-=--n a S n n n ② 将①和②相减得 ,3,2 ),22(31)(34111=-⨯--=-=+--n a a S S a n n n n n n n 整理得 ,3,2 ),2(4211=+=+--n a a n n n n ，因而数列}2{n n a +是首项为a 1+2=4，公比为4的等比数列，……………………8分即n n n n a 44421=⨯=+-，n=1，2，3，…，因而 ,24n n n a -= n=1，2，3，…， ………………………………………12分。

南阳市2017届高三第三次模拟考试数学试题(文)含答案

南阳市2017届高三第三次模拟考试数学试题（文）含答案南阳市一中2017届第三次模拟考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.集合{}{}2|113,|230M x x N x x x =<+<=-->，则()()R R C M C N =A.[](]1,02,3-B. ()()1,02,3-C. ()[)1,02,3-D. ()1,3-2.i 为虚数单位，则201711i i ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭A.i -B. 1-C. iD.13.已知{}n a 为公差不为0的等差数列，满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为A. -2B. -3C. 2D. 34.如图，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. 328π+ B.8323π+C. 8163π+ D. 168π+5.设实数,x y 满足约束条件02200y x x y x -≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若目标函数()0z mx y m =+>的最大值为6，则m 的值为A. 2B. 4C. 8D. 166.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()()2210y ax a x a =+++≠相切，则a 等于A. 7B. 8C. 9D. 107.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入a 的值为A. 4B. 5C. 7D. 118.已知函数()()[]()2cos 0,0,f x x ωϕωϕπ=->∈的部分图象如图所示，若3,22A B ππ⎛⎛ ⎝⎝，则函数()f x 的单调递增区间为 A. 32,2,44k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B. 372,2,44k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. 3,,88k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D. 37,,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦9.在区间[]1,3-上随机取一个数x ，若x 满足x m <的概率为0.75，则m = A. 0 B. 1 C. 2 D. 310.使()2log 1x x -<+成立的实数的取值范围是A.(),1-∞B. (),0-∞C.()1,-+∞D.()1,0-11.三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且1PA PB PC ===，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为12.如图，在直角梯形ABCD 中，,//,2,1AB AD AB DC AB AD DC ⊥===,图中圆弧所在圆的圆心为点C,半径为12，且点P 在图中阴影部分（包含边界）运动，若AP xAB yBC =+，其中,x y R ∈，则4x y -的最大值为A. 3+34-3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若单位向量12,e e 的夹角为3π，则向量122e e - 与向量1e 的夹角为 .14.过点()2,3P 作圆()2211x y -+=的两条切线，与圆相切于,A B ，则直线AB 的方程为 .15.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>相交于,a b 两点，直线AB 恰好经过它们的公共焦点F,则双曲线的离心率为 . 16.已知函数()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos 15.2A AB AC =⋅=（1）求ABC ∆的面积；（2）若tan 2B =，求a 的值.18.（本题满分12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格售出，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.（1）求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个n N ∈）的函数关系式；（2）求当天的利润不低于750元的概率.19.（本题满分12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD 是由直角SAB ∆和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中90SAB SDC ∠=∠=，且点A 为线段SD 的中点，21,AD DC AB SD ===.现将SAB ∆沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90 ，得到图形（2），连接SC ，点,E F 分别在线段,SB SC 上.（1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥B AEC -的体积为四棱锥S ABCD -体积的25，求点E 到平面ABCD 的距离.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y P a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，且经过点23⎛ ⎝⎭（1）求椭圆P 的方程；（2）已知正方形ABCD 的顶点,A C 在椭圆P 上，顶点,B D 在直线7710x y -+=上，求该正方形ABCD 的面积.21.（本题满分12分）已知0a ≥，函数()()22.xf x x ax e =-（1）当x 为何值时，()f x 取得最小值？并证明你的结论；（2）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

河南省南阳市2017-2018学年高三上学期期中质量评估英语试题扫描版含答案

2017-2018学年练习卷南阳市2016年秋期高三年级期中质量评估英语试题答案听力 (每小题1.5分，满分30分)1—5 ABBAC 6—10 BCABA 11—15 CBBBA 16—20 CCCAA阅读理解 (每小题2分，满分40分)21-25 DBCAC 26-30 DBBDA 31-35 CABDC 36-40 DBGFE完形填空（每小题1.5分，满分30分）41—45 CACCD 46—50 DABCC 51—55 CCBCC 56—60 DBACB语法填空（每小题1.5分，满分15分）61, to 62, feeling 63, Needless 64, how 65, arranged for66, (should) sleep 67, closely 68, so 69, or 70, in短文改错（每小题1分，满分10分）Volunteer travel, that is familiar to foreigners, has nowadays become more and morewhichpopular in China. Young travelers volunteer to work for youth hostels so that they can eat and livethere for something. At the same time, they can enjoy the local scenery on their spare time.nothing/free inAs far as I am concern, volunteer travel has some advantages and benefits from you a lot. Itconcerned 删除can save you lot of money by providing free accommodations, which makes it possible for you tolots或之前加atravel to much more places and experience different cultures, Meanwhile, volunteer travelmanyenrich your life by offer different jobs in youth hostels, which also can change your way of life.enriches offering.All in all, it was meaningful.is书面表达Dear Harry,How surprised and pleased to receive your email today! You told me that your pa rents asked to see your WeChat Moments and that you’re hesitating about whether to share it with them. As I see it, it’s understandable for your parents to do so. Blood is thicker than water. Parents are our most believable persons in the world. As parents, they have responsibility to make sure we make right friends and won’t be harmed or misled by bad information. As teenagers, we do need parents’ guidance, especially in terms of social experience. Moreover, sharing your Moments will bring your whole family closer to each other. Therefore, you’d better give them a place in your own world so that you can communicate easily.Please remember me to your parents.Yours，Li Hua。

(好卷)河南省南阳市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)

2017年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】或，，，故选A.2.已知（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故选C.3.已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可设双曲线的方程为：，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为. 故选D.4.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故选B.5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．考点：古典概型及其概率的计算．6.已知实数满足，则目标函数（）A. ，B. ，C. ，无最小值D. ，无最小值【答案】C【解析】画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域，变形为，平移直线，由图知，到直线经过时，因为可行域是开发区域，所以无最小值，无最小值，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为，该多面体如图所示，外接球的半径为为，外接圆的半径，由可得，，故该多面体的外接球的表面积，故选C.8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A. 2017B. 2016C. 1009D. 1008【答案】D【解析】输出结果为，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.为得到的图象，只需要将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D．考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换．10.函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，，即时，，只有选项C符合题意，故选C.11.设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】因为，所以，该数列的前项积为，使成立的最小正整数为，故选C.12.抛物线的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，，若抛物线上存在一点，使关于直线对称，则（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】关于过倾斜角为的直线对称，，由抛物线定义知，等于点到准线的距离，即，由于，，，代入抛物线方程可得，，解得，故选A.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】，切线的斜率，又过所求切线方程为，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14.已知点，，，若，则实数的值为_______．【答案】【解析】点，，，，又，，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，实数的值为，故答案为.15.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.16.若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】不等式对任意正数恒成立，，，当且仅当时取等号，，实数的取值范围为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列的，且，，构成等比数列，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错误相减法求和后即可得结果.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由已知∴又解得或（舍去）∴，∴又，∴，∴（2）∴两式相减得则.【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；（附：回归方程中，（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.【答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值．【解析】试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算，根据公式求出将样本中心点坐标代入回归方程求得，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数，利用二次函数的图象与性质求出时取得最大值.试题解析：（1）由已知：,,,，；所以回归直线的方程为（2），所以预测当时,销售利润取得最大值．19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.（1）证明：；（2）若，求三棱柱的高.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）在矩形中，根据相似三角形的性质可知，由平面，可得平面平面，∴；（2）设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.试题解析：（1）在矩形中，由平面几何知识可知又平面，∴，平面平面平面，∴.（2）在矩形中，由平面几何知识可知，∵，∴，∴，设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.20.平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合的关系列出关于、、的方程组，求出、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率为和不为，设方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到面积的最大值.试题解析：（1）由题意可得，令，可得，即有，又，所以，．所以椭圆的标准方程为；（2）设，，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，则，所以．∴当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．则面积的最大值是．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21.已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为; （Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，因为函数在处取得极值，当时，，，由，得或；由，得，即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（Ⅱ）因为，令，，，因为在处取得极值，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得，当，，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能的在或处取得，而，所以，解得；当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾．当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所最大值1可能在处取得，而，矛盾．综上所述，或．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由得，由，从而得解；（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，，。

河南省南阳一中2018届高三上学期第三次考试数学(文)试卷(扫描版)

上恒成立，
0得 x e，
当 x e, h x 0,0 x e, h 0 0 ，∴ h x 在 0,e 上为减函数，在 e,
数，
∴ h x min h e e， ∴ 实数 m的取值范围为 m e ；（2）当 m 2 时，函数 h x f x g x x 2ln x a ，
上为增函
h x 在 1,3 上恰有两个不同的零点，即 x 2ln x a 在 1,3 上恰有
20. 【答案】 (1) f x
3 sin 2x 2 3
(2)
k
4
x7 k kZ 12
试题解析： (1)由图像可知
5 A 3, T 2
63
2 2 fx
T
3 sin 2x
，函数图像过点
7
7
, 3 ，则 3 sin 2
12
12
7 3
6
2k 2
2
，故
3
fx
3 sin 2x 2
3
(2) g x
3sin 2 x
南阳一中 2015 级高三第三次考试文数（ A ）答案
1-5 ： CCCCA 6-10： CBCCC 11-12 ： BD
13 y 0或 9x 4y 0 14. 3 10 15 ①②③ 10
16.1
17 解：（ 1） tan
tan tan
4 tan 1 2 1 3
4 1 tan tan
1 tan
) 上是减函数；
2
2
22【答案】（ 1） m e ；（ 2） ( 2 2ln 2,3 2ln3 ]
试题解析：（ 1）当 a 0 时，由 f x g x 0 得 ln x x ，
∵ x 1， ∴ ln x

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}2．（5分）设复数，则z的共轭复数为（）A．1 B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i3．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，若=2，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S，则“A=﹣B“是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若扇形的周长是面积的4倍，则该扇形的面积的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．367．（5分）数列{a n}满足：a n=13﹣3n，b n=a n•a n+1•a n+2，S n是{b n}的前n项和，则S n的最大值（）A．280 B．308 C．310 D．3208．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．（5分）已知Rt△ABC的顶点为函数的图象的三个相邻的交点，则ω=（）A．B．2 C．D．2π10．（5分）已知，则=（）A．﹣1 B．1 C．D．11．（5分）已知函数且存在三个不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（4，5） B．[4，5） C．（4，5]D．[4，5]12．（5分）已知P1，P2为曲线C：y=|lnx|（x＞0且x≠1）上的两点，分别过P1，P2作曲线C的切线交y轴于M，N两点，若=0，则||=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则cos2α=．14．（5分）已知两个不相等的正数a，b满足，则a+b=．15．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=7，若O为△ABC外接圆的圆心，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表中第1，2，3行中的某一个数，且a1，a2，a3中任何两个数不在下表的同一列中．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积19．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且2S n=a n（a n+1）．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{b n}满足，求证：T n＜1．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+9．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜5成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y=f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．22．（12分）已知函数，若y=f（x）﹣a（x∈R）有两个零点x1，x2（x1≠x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＜0．2017-2018学年河南省南阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}，B={x|lnx＜1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣3）≤0}={x∈Z|﹣1≤x≤3}={﹣1，0，1，2，3}，B={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，∴A∩B={1，2}．故选：C．2．（5分）设复数，则z的共轭复数为（）A．1 B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i【解答】解：=，则z的共轭复数为：1+i．故选：B．3．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，若=2，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据题意，由=2+，可得﹣==2，则||=2||=2，由=﹣，可得||2=|﹣|2=2﹣2•+2=1﹣2×1×1×+1=1，故||=1，由=﹣=（2+）﹣=+，则||2=|+|2=2+2•+2=1+2×1×1×+1=3，可得||=，在△ABC中，由||=2，||=1，||=，可得||2=||2+||2，则△ABC为直角三角形；故选：C．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和S，则“A=﹣B“是“数列{a n}是等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若{a n}成为公比不等于1的等比数列，则Sn==﹣，比照S n=Aq n+B，得A=，B=﹣故A=﹣B，若{a n}为公比等于1的等比数列，则：S n=na1，比照S n=Aq n+B，得A=n，B=0，推不出A≠﹣B，不是必要条件，（2）若已知：数列{a n}前n项和S n=Aq n+B，A=﹣B即A+B=0，则a1=S1=Aq+B=A（q﹣1），n＞1时an=Sn﹣S n﹣1=aAq n+B﹣[Aq n﹣1+B]=Aq n﹣1（q﹣1），⇒{a n}成为公比不等于1的等比数列．故A+B=0是使{a n}成为公比不等于1的等比数列的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）若扇形的周长是面积的4倍，则该扇形的面积的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设扇形的周长为C，弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S，则C=4S，根据题意可知周长C=2r+l=4×r2α，而l=αr，可得：2r+αr=4×r2α，∴2+α=2rα，可得：r=，∴S=×（）2×α=≥=1．（当且仅当α=2时等号成立）故选：D．6．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．36【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a2•a3=2a1=a1q•=a1•a4，∴a4=2．∵a4与2a7的等差中项为，∴a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故选：B．7．（5分）数列{a n}满足：a n=13﹣3n，b n=a n•a n+1•a n+2，S n是{b n}的前n项和，则S n的最大值（）A．280 B．308 C．310 D．320【解答】解：∵a n=13﹣3n，∴a1＞a2＞a3＞a4＞0＞a5＞a6＞…，∵b n=a n•a n+1•a n+2，∴b1＞b2＞0＞b3，b4＞0＞b5＞b6＞…，∴S n的最大值为S2，S4与中较大的一个，∵b1=a1a2a3=10×7×4=280，b2=a2a3a4=7×4×1=28，b3=a3a4a5=4×1×（﹣2）=﹣8，b4=a4a5a6=1×（﹣2）×（﹣5）=10，∴S2=280+28=308，S4=280+28﹣8+10=310，即S n的最大值为310．故选：C．8．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，则函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，1＜log45＜log49=log23＜2＜，则有b＞a＞c；故选：B．9．（5分）已知Rt△ABC的顶点为函数的图象的三个相邻的交点，则ω=（）A．B．2 C．D．2π【解答】解：∵Rt△ABC的顶点为函数的图象的三个相邻的交点，则两个函数的周期T=2×2=4，则ω==，故选：C．10．（5分）已知，则=（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：∵已知，∴==﹣=﹣=﹣=﹣=﹣，故选：C．11．（5分）已知函数且存在三个不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围为（）A．（4，5） B．[4，5） C．（4，5]D．[4，5]【解答】解：函数的图象如图所示：由f（x）在（﹣∞，2]上关于x=1对称，且f max（x）=2，又当x∈[2，+∞）时，f（x）=2x﹣2是增函数，当x=3时，f（x）=2，故x1+x2=2，x3∈（2，3），故x1+x2+x3∈（4，5），故选：A．12．（5分）已知P1，P2为曲线C：y=|lnx|（x＞0且x≠1）上的两点，分别过P1，P2作曲线C的切线交y轴于M，N两点，若=0，则||=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2），由题意可设0＜x1＜1，x2＞1，由x＞1可得y=lnx，导数为y′=，由0＜x＜1可得y=﹣lnx，导数为y′=﹣，则P1，P2作曲线C的切线的斜率分别为﹣，，若=0，即P1M⊥P2N，可得﹣•=﹣1，即有x1x2=1，设M（0，m），N（0，n），可得﹣=，即有m=1﹣lnx1，=，即有n=lnx2﹣1，则||=|m﹣n|=|2﹣lnx1﹣lnx2|=|2﹣ln（x1x2）|=2﹣0=2．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则cos2α=．【解答】解：∵，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=．故答案为：．14．（5分）已知两个不相等的正数a，b满足，则a+b= 6．【解答】解：∵两个不相等的正数a，b满足，∴=3，∴（log a b）2﹣3log a b+2=0，解得log a b=1，或log a b=2，∴a=b（舍）或a2=b，∵a b=b a，∴，∴a2=2a，解得a=2或a=0（舍），∴a=2，b=a2=4，∴a+b=2+4=6．故答案为：6．15．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是[0，2] ．【解答】由约束条件作出可行域如图，令z=•=﹣x+y，得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过C（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z有最小值，等于0；当直线过B（0，2）时直线在y轴上的截距最大，z有最大值，等于2．∴•的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．16．（5分）在△ABC中，AB=5，AC=7，若O为△ABC外接圆的圆心，则= 12．【解答】解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∵⊙O中，OD⊥AB，∴AD=AB，cos∠OAD=，因此，•=||•||cos∠OAD=||•||=||2=；同理可得•=||2=．∴•=•（﹣）=•﹣•=﹣=12．故答案为：12．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表中第1，2，3行中的某一个数，且a1，a2，a3中任何两个数不在下表的同一列中．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）由题知，a1=2，a2=6，a3=18，∴q===3，∴a n=2×3n﹣1．（2），∴T n=b1+b2+b3+…+b n，∴=，∴．18．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积【解答】解：（Ⅰ）由题意B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC又，所以…（4分）所以…（6分）（Ⅱ）因为c=5，，所以…（7分）由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，则，化简得，a2﹣6a﹣55=0，解得a=11，或a=﹣5（舍去），…（9分）由BD=6得，CD=5，由，得…（10分）所以△ADC的面积…（12分）19．（12分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且2S n=a n（a n+1）．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{b n}满足，求证：T n＜1．【解答】证明：（1）n=1时，2S1=2a1=a1（a1+1），且a1＞0，故a1=1，n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+1），∴2a n=a n（a n+1）﹣a n﹣1（a n﹣1+1），整理得，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）数列{b n}满足，由（1）得∴．故T n＜1．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+9．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜5成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3x2﹣2x由f'（x）＞0得x＜0或，由f'（x）＜0得，所以函数的单调递增区间为（﹣∞，0）和，单调递减区间为．（2）f（x）＜5即，设，对x∈[1，2]恒成立，∴y=g（x）在[1，2]上单调递减，∴g（x）min=g（2）=3，∴a＞3所以实数a的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y=f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【解答】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x=0时f（x）max=3；当，即时．22．（12分）已知函数，若y=f（x）﹣a（x∈R）有两个零点x1，x2（x1≠x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＜0．【解答】解：（1）由f'（x）＞0得x＜0，f'（x）＜0得x＞0，所以f（x）max=f（0）=1，又当x＜1时，f（x）＞0，∴a∈（0，1）；（2）∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）在（0，+∞）上单调递减，x1≠x2（设x1＜x2）可知x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，+∞）要证明x1+x2＜0，只需证明x2＜﹣x1，∵x2，﹣x1∈（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴只需证明f（x2）＞f（﹣x1）又f（x2）=f（x1），∴只需证明f（x1）＞f（﹣x1）即证明即（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x＞0对x∈（﹣∞，0）恒成立，g（x）=（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，x∈（﹣∞，0）g'（x）=x（e﹣x﹣e x）∵x∈（﹣∞，0），e﹣x﹣e x＞0，g'（x）=x（e﹣x﹣e x）＜0恒成立∴y=g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又g（0）=0，∴（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x＞0对x∈（﹣∞，0）恒成立，故x1+x2＜0．。