2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)
上海市虹口区达标名校2018年高考二月适应性考试数学试题含解析
上海市虹口区达标名校2018年高考二月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，圆锥底面半径为2，体积为22π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 2．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x C ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x3．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．34．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．45．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－37．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．208．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．已知集合{}15{|},|2M xx N x x =-≤<=<，则M N =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值11．函数()cos 2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．2D ．－2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控(二模)数学试题 Word版含解析
虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1. 已知，，且，则实数的范围是___________．【答案】【解析】由题意，当时，，所以实数的范围是。
2. 直线与直线互相平行，则实数________．【答案】2【解析】，解得。
3. 已知，，则________．【答案】【解析】，所以。
4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则________．【答案】2【解析】设长方形的长、宽、高分别为，则对角线长，所以5. 已知函数，则_________．【答案】-2【解析】，则。
.......... .....【答案】【解析】由题意，，所以。
7. 已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则 _______．【答案】或【解析】解：因为数列是公比为的等比数列，且成等差数列，所以8. 若将函数表示成则的值等于___________．【答案】20【解析】令，则，所以，所以就是的系数，因为，所以当时，。
9. 如图，长方体的边长，，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于_________．【答案】【解析】由题意，，所以，所以。
10. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.【答案】【解析】由题意，椭圆的标准方程为，矩形第一象限内的一点为，所以矩形面积，所以。
点睛：本题考查椭圆的应用。
本题中利用三角换元进行解题。
三角换元在圆锥曲线中是比较重要的技巧，在解决最值问题中，往往能起到很好的效果。
本题利用三角换元就得到，显然。
11. 是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是___________．【答案】或【解析】时，，当时，，则，所以，所以；当时，，则，所以，所以；所以或。
点睛：本题考查高斯函数在函数中的应用。
时，，则本题应该分两类讨论，所以得到和的分类情况，解得答案。
虹口区高三二模数学word版
上海市虹口区2018 届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54分）1.已知 A(,a] ，B[1,2] ，且 A I B，则实数 a 的范围是2.直线 ax(a1)y10 与直线 4x ay 2 0 相互平行，则实数a3.已知(0,) ， cos3，则 tan()544.长方体的对角线与过同一个极点的三个表面所成的角分别为、、，则cos2cos2cos25.已知函数 f (x)x2x 0，则 f 1[ f 1 ( 9)]2 x1x06.从会合 {1,1,2,3}随机取一个为m，从会合 { 2,1,1,2}随机取一个为n，则方程x2y2 m 1表示双曲线的概率为n7.已知数列 { a n } 是公比为 q 的等比数列，且a2、 a4、 a3成等差数列，则q8.若将函数 f ( x) x6表示成f ( x)a0a1 ( x1)a2 ( x1)2a3 ( x1)3a6 ( x1)6，则a3的值等于9.如图，长方体 ABCD A1 B1C1 D1的边长 AB AA1 1 ，AD 2 ，它的外接球是球O ，则 A 、 A1这两点的球面距离等于10.椭圆的长轴长等于 m ，短轴长等于 n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为11.[ x] 是不超出x的最大整数，则方程(2 x )27[2 x ]10 知足 x 1 的全部实数解是函数 f (x)sin x ，对于 x14412.x2x3x n且 x1 , x2 ,, x n [0,8] （ n 10 ），记M| f (x1 ) f ( x2 ) | | f (x2 ) f (x3 ) | | f (x3 ) f ( x4 ) || f (x n 1 ) f ( x n ) | ，则 M 的最大值等于二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20分）13.以下函数是奇函数的是（）A. f (x)x 1B. f ( x) sin x cosxC. f (x)arccosxD.x x0 f ( x)x0x14. 在 Rt ABC 中， ABAC ，点 M 、 N 是线段 AC 的三平分点，点P 在线段 BC 上运uuuruuur uuuur uuur k 的值为（动且知足 PC kBC ，当 PM PN 获得最小值时，实数）A.1B. 1C.1 D.1234815. 直线 l : kx y k 10 与圆 x 2 y 28交于 A 、B 两点，且| AB|4 2 ，过点 A 、B分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M 、 N ，则 | MN | 等于（）A.22B. 4C.4 2D. 816. 已知数列 { a} 的首项 aa ，且 0 a4 ，a n 1a n 4a n4 ， S 是此数列的前n16 a na n4 nn项和，则以下结论正确的选项是（）A. 不存在 a 和 n 使得n2015SC. 不存在 a 和 n 使得 S n 2017B.不存在 a 和 n 使得 S n 2016 D.不存在 a 和 n 使得 S n2018三 . 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB AC1， BAC，高等于 3，2点 M 1 、 M 2 、 N 1 、 N 2 为所在线段的三平分点 . （1）求此三棱柱的体积和三棱锥A 1 AM 1 N 2 的体积；（2）求异面直线 A 1N 2 、 AM 1 所成的角的大小 .18. 已知ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ， z cosA i sin A （ i 是虚数单位）是方程 z 2 z 10 的根， a 3 .（1）若 B，求边长 c 的值；4（2）求ABC 面积的最大值 .uuruuuruur ur19. 平面内的 “向量列” { a n} ，假如对于随意的正整数 n ，均有 aad ，则称此 “向n 1nur uur量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” { b n } ，假如对于 uuur uur随意的正整数 n ，均有 b n 1 q b n （ q 0 ），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比” .uur uur uruur uur uur （1）假如“向量列” { a n } 是“等差向量列” ，用 a 1 和“公差向量” d 表示 a 1 a 2 a n ；uur ur uuruur (x , y uur （2）已知 { a n } 是“等差向量列” ，“公差向量” d (3,0) ，a 1 (1,1) ，a n ) ，{ b n }n nur uur uur ur uur uur uur uur 是“等比向量列” ，“公比” q 2 ，b 1 (1,3) ，b n (m n ,k n ) ，求 a 1 b 1 a 2 b 2a nb n .20. 假如直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的 “切线” ，已知椭圆 C :x 2y 2 1，2点 M (m, n) 是椭圆 C 上的随意一点，直线 l 过点 M 且是椭圆 C 的“切线” . （1）证明：过椭圆 C 上的点 M (m,n) 的“切线”方程是mx 1；ny2（2）设 A 、 B 是椭圆 C 长轴上的两个端点，点 M ( m,n) 不在座标轴上，直线 MA 、 MB 分别交 y 轴于点 P 、 Q ，过 M 的椭圆 C 的“切线” l 交 y 轴于点 D ，证明：点 D 是线段 PQ 的中点；（3）点 M (m,n) 不在 x 轴上，记椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ，判断过 M 的椭圆 C 的“切线” l 与直线 MF 1 、 MF 2 所成夹角能否相等？并说明原因 .21.已知函数 f ( x)ax3x a （a R，x R），g( x)x（ x R） .1x334是对于 x 的不等式 f ( x)0 的解，务实数a的取值范围；（1）假如x2（2）判断g( x)在(1,34] 和[ 3 4,1)的单一性，并说明原因；22（3）证明：函数 f (x) 存在零点 q ，使得a q q4q7q3 n 2建立的充要条件是a 34 3.上海市虹口区2018 届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1.已知 A(,a] ， B[1,2] ，且 A I B，则实数 a 的范围是【分析】画数轴， a12.直线 ax(a1)y 1 0 与直线4x ay20 相互平行，则实数a 【分析】由 a 24( a1)0a23.已知(0,) ， cos 3)，则 tan(4451【分析】 tan，∴ tan()3744.长方体的对角线与过同一个极点的三个表面所成的角分别为、、，则cos2cos2cos2【分析】设三边为、b 、c，对角线为，∴a2b2c2d2a dcos2a2b2， cos2b2c2， cos2c2a2，∴ cos2cos2cos22d 2 d 2 d 2也可取正方体的特别状况去求5.已知函数 f (x)x21x，则 f 1[ f1( 9)]2 x x0【分析】 f1 (x)x,x0， f 1 (9) 3 ， f1[ f 1 ( 9)] f1 (3)2log 2 ( x1),x06.从会合 {1,1,2,3}随机取一个为m，从会合 { 2,1,1,2}随机取一个为n，则方程x2y2 m 1表示双曲线的概率为n 【分析】321214427.已知数列 { a n }是公比为 q 的等比数列，且a2、 a4、 a3成等差数列，则q 【分析】 a2a32a42q2q10 ，∴q1或 q128.若将函数 f ( x)x6表示成f ( x) a0a1 ( x1)a2 ( x 1)2a3 ( x 1)3a6 ( x1)6，则a3的值等于【分析】 x6[( x1) 1]6，a3C63209.如图，长方体 ABCD A1 B1C1 D1的边长 AB AA1 1 ，AD 2 ，它的外接球是球O ，则 A 、 A1这两点的球面距离等于【分析】 外接球半径为 1，，球面距离为3310. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于 n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【分析】 依据本民众号“上海初高中数学” 2018 年 3 月 28 日推文中的性质，最大值为mn211. [ x] 是不超出 x 的最大整数，则方程(2 x )2 7 [2 x ] 1 0 知足 x 1 的全部实数解是4 1 4 0 ， (2 x )2 1【分析】 当 0 x 1， [2 x ] 1 ，∴ (2x )2 2 x ；当 x 0 ， [2 x ]， 24 ∴ x 1 ，∴知足条件的全部实数解为 x 0.5 或 x 112. 函数 f (x) sin x ，对于 x 1 x 2 x 3 x n 且 x 1 , x 2 , , x n [0,8 ] （ n 10 ），记M | f (x 1 ) f ( x 2 ) | | f (x 2 )f (x 3 ) | | f (x 3 )f ( x 4 ) || f (x n 1 )f ( x n ) | ，则 M的最大值等于【分析】 在 [0,8 ] 有 4 个周期，最大值为 4 4 16二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分）13. 以下函数是奇函数的是（）A. f (x) x 1B.C. f (x)arccosxD.【分析】 由 f ( x)f ( x) ，选 Bf ( x) sin x cosxx x 0f ( x)x 0x14. 在 Rt ABC 中， ABAC ，点 M 、 N 是线段 AC 的三平分点，点P 在线段 BC 上运uuur uuur uuuur uuur k 的值为（动且知足 PC k BC ，当 PM PN 获得最小值时，实数）A.1B.1 C.1D.1234uuur8【分析】 建系，设 P(x,3 x) ， M (1,0)uuuur 2x 2 9x 11， x [0,3] ，， N (2,0) ， PM PN∴ x9时取到最小值，此时kPC 1，选 C4BC415. 直线 l : kx y k 10 与圆 x 2 y 28交于 A 、B 两点，且| AB|4 2 ，过点 A 、B分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M 、 N ，则 | MN |等于（）A.22B. 4C.4 2D. 8【分析】 AB 长为直径，∴ l : kxy k 1 0经过原点， k1，MN2 AB 8，选 D16. 已知数列 { a n } 的首项 a 1 a ，且 0 a4 ， a n 1a n 4 a n 4 ， S n 是此数列的前6 a n a n4n项和，则以下结论正确的选项是（）A. 不存在 a 和 n 使得 S n 2015 C. 不存在 a 和 n 使得 S n2017B.不存在 a 和 n 使得 S n 2016 D. 不存在 a 和 n 使得 S n2018【分析】 令 a 1 1，则全部奇数项都为 1，偶数项都为 5，清除 B 、 C ；令 a 1 2，则全部奇数项都为 2，偶数项都为 4，清除 D ，应选 A.三 . 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，ABAC 1 ，BAC ，高等于 3，2点 M 1 、 M 2 、 N 1 、 N 2 为所在线段的三平分点 .（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A 1 AM 1N 2 的体积；（2）求异面直线 A 1 N 2 、 AM 1 所成的角的大小 .【分析】 （1） V1 3 3； V AAM N2 V M1A AN21 3 112 2 1113 22（2）相当于正方体同一极点的面对角线所成的角，为318. 已知 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ， z cosA i sin A （ i 是 虚数单位）是方程z 2 z 1 0 的根， a 3 .（1）若 B，求边长 c 的值；4（2）求ABC 面积的最大值 .【分析】 （1）解为13i ，∴ A，由正弦定理 b6 ， c6 3 2 ； 2232（2）画出△ ABC 的外接圆可知， ABAC 3 时，面积最大，为9 3 .419. 平面内的 “向量列”uuruuuruur ur{ a n } ，假如对于随意的正整数n ，均有 aa d ，则称此 “向n 1nur uur量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” { b n } ，假如对于 uuur uur随意的正整数 n ，均有 b n 1 q b n （ q 0 ），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比” .uuruururuur uuruur（1）假如“向量列” { a n } 是“等差向量列” ，用 a 1 和“公差向量” d 表示 a 1 a 2 a n ；uur ur uuruur (x , uur （2）已知 { a n } 是“等差向量列” ，“公差向量” d (3,0) ，a 1 (1,1) ，a n y ) ，{ b n }n nur uur (m ,kuur ur uur uur uur uur 是“等比向量列” ，“公比” q 2 ，b 1 (1,3) ，b n) ，求 a b a b a n b .nn 1122nuur uur uur uur n(n 1) ur【分析】 （1） a 1 a 2 a n na 1 2 d ；uur ur2,1) (2n 1,3 2n 1 )1) 2n 1 ，错位相减乞降为 (3n 2) 2n2（2） a n b n (3n (3n20. 假如直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的 “切线” ，已知椭圆 C :x 2y 21，点 M (m, n) 是椭圆 C 上的随意一点，直线 l 过点 M 且是椭圆 C 的“切线” . 2（1）证明：过椭圆 C 上的点 M (m,n) 的“切线”方程是mxny 1；2（2）设 A 、 B 是椭圆 C 长轴上的两个端点，点 M ( m,n) 不在座标轴上，直线 MA 、MB 分别交 y 轴于点 P 、 Q ，过 M 的椭圆 C 的“切线” l 交 y 轴于点 D ，证明：点 D 是线段 PQ 的中点；（3）点 M (m,n) 不在 x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ，判断过 M 的椭圆 C 的“切线”l 与直线 MF 1 、 MF 2 所成夹角能否相等？并说明原因.【分析】 （1）设直线 y k( x m) n ，联立椭圆， 0，可证结论；（2） l MA : yn (x 2) ，m2∴ y P2n ，同理 y Q 2n ， y D 1 m 2m 2 n y P y Q 4n 22 y D ，即点 D 是线段 PQ 的中点m 22 n（3）相等， k MF 1n，kMF 2n ， k 切m，由夹角公式m 1m 1 2n kMF 1k 切1 ，tan2| k MF 2 k 切 1 ，因此所成夹角相等 . tan 1 |||n 1 k MF 1 k 切n1 k MF2 k 切21. 已知函数 f ( x)ax 3 x a （ aR ， x R ）， g( x)x （ x R ） .1 x 334是对于 x 的不等式 f ( x)0 的解，务实数 a 的取值范围；（1）假如 x2（2）判断 g( x) 在 (1, 3 4] 和[ 3 4 ,1)的单一性，并说明原因；2 2（3）证明：函数f (x) 存在零点 q ，使得 aq q 4q 7q 3 n 2建立的充要条件是a34.3【分析】（1）f (3 4 )0a34；23（2）依据单一性定义剖析，在(1,34] 上递减，在 [34,1)上递加；22（3）“函数f (x)存在零点q，使得a q q4q7q 3 n 2建立”说明aqq q4q7q3n2建立，依据无量等比数列有关性质，q( 1,1)，1 q3联合第（ 2）问，a1q在( 1,34]上递减，在 [34,1) 上递加，q322∴ a(q )min g(34 )34，反之亦然 .123 q。
2018年虹口区高三二模数学word版附解析
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届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案
届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案高考备考数学，多做高考数学模拟试卷是必须的，只有多做高考数学模拟试卷才能在高考中取得理想的，以下是店铺为你整理的2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷题目一、填空题(1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分)1、集合，，则 .2、复数所对应的点在复平面内位于第象限.3、已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则 .4、若方程组无解，则实数 .5、若的二项展开式中，含项的系数为，则实数 .6、已知双曲线 ,它的渐近线方程是 ,则的值为 .7、在中，三边长分别为，，，则 ___________.8、在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是 .9、函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则 .10、三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于 .11、在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值 .12、无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有个.二、选择题(每小题5分，满分20分)13、已知，，都是实数，则“ ，，成等比数列”是“ 的( )充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件14、、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是( ).如果∥ ，∥ ，则一定有∥ . 如果，，则一定有 .如果，，则一定有∥ . 如果，∥ ，则一定有 .15、已知函数，、、，且，，，则的值( )一定等于零. 一定大于零. 一定小于零. 正负都有可能.16、已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：① ;②当时，有最小值，无最大值;③ ;④当且时，的取值范围是 .正确的个数是( )1 2 3 4三、解答题(本大题满分76分)17、(本题满分14分.第(1)小题7分，第(2)小题7分.)如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的'中点为，线段的中点为 .(1)求异面直线、所成角的大小;(2)求三棱锥的体积.18、(本题满分14分.第(1)小题7分，第(2)小题7分.)已知定义在上的函数是奇函数，且当时， .(1)求在区间上的解析式;(2)当实数为何值时，的方程在有解.19、(本题满分14分.第(1)小题6分，第(2)小题8分.)已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足 .(1)求数列的通项公式;(2)设且，求数列的前项和的最值.20、(本题满分16分.第(1)小题3分，第(2)小题5分，第(3)小题8分.)已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为 .(1)求椭圆上的点的“伴随点” 的轨迹方程;(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点” ，求的取值范围;(3)当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.21、(本题满分18分.第(1)小题3分，第(2)小题6分，第(3)小题9分.)对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：1 2 3 4 50 22 00 2(1)求 ;(2)数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求 ;(3)若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ( ).2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷答案一、填空题(1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分)1、 ;2、四;3、 ;4、 ;5、1;6、2 ;7、 ; 8、 ; 9、4; 10、 ; 11、 ; 12、91;二、选择题(每小题5分，满分20分)13、 ; 14、 ; 15、 ; 16、 ;三、解答题(本大题满分76分)17、(14分)解:(1)以A为坐标原点，、、分别为轴和轴建立直角坐标系.依题意有 (2，2，4)， (0，0，0)， (2，2，0)， (0，4，2)所以.……………………3分设异面直线、所成角为角，所以，所以异面直线、所成角的大小为…………7分(2) 线段的中点为，线段的中点为，由，高，得，，………………3分由为线段的中点，且 , ,由面 , ，得面 ,三棱锥的体积为体积单位.……………………7分18、(14分)解：(1)设，则，是奇函数，则有…………4分………………7分(2)设，令，则，而 .，得，从而，在的取值范围是.…………………………11分又设，则，由此函数是奇函数得，，从而.………………13分综上所述，的值域为，所以的取值范围是.…………14分19、(14分)解：(1) ，，.……2分整理得，解得或 (舍去).………………4分.………………6分(2) .………………8分1)当时，有数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由，得 .所以 . 的没有最大值.………11分2)当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.，得， . 的没有最小值.…………14分20、(16分)解：(1)解.设 ( )由题意则，又，从而得……………………3分(2)由，得 .又，得.…………5分点在椭圆上，，，且，，由于，的取值范围是……8分(3) 设 ,则 ;1)当直线的斜率存在时,设方程为 , 由得 ; 有① ……10分由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ;整理得: ②将①式代入②式得: ,………………………… 12分又点到直线的距离所以……………………14分2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得;代入得，解得,从而, 综上: 的面积是定值, ……………………16分21、(18分)解：(1) ……………………3分(2),周期为4 , 所以= .……………………9分(3)由题意得由又而…………11分从而有…………………………13分此函数的最小正周期为6,…………14分1)当时..……………………16分2)当时..………………18分【2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案】。
2018届高三虹口数学二模
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虹 口区高 三 数学 共4页 第 3页
20.(本 题满分 16分 。 ) 第 (1)小 题 4分 ,第 (2)小 题 5分 ,第 (3)小 题 7分 。
13.下 列函数是奇函数的是 (
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)。
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虹 口区2017学 年度第 二 学期期 中教学质量监 控测试 高三数学 试 卷 201:4
(时 间 120分 钟 ,满 分 150分 )
一。填空题 (1~6题 每小题 4分 ,7~12题 每小题 5分 ,本 大题满分 54分 )
2018高三二模汇编(精)(带参考答案)
2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______． 【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ． 【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ． 【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围 【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ． 【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为 【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ．【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、 【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________． 【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π） 【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______． 【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山 二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤 二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍， 则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字） 【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是 【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
2018年上海市虹口区高考二模文科数学试题及答案 精品
虹口区2018年数学学科高考练习题(文科)（时间120分钟，满分150分） 2018.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．2、已知复数ii z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ．4、设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为 ．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ．9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是 ．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+AB AC AB ，则ABC ∆面积等于 ．12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（ ）.A 1 .B 5 .C 7 .D 816、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有（ ）条．.A 1． .B 2． .C 3． .D 4．17、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π13 18、若22παπ≤≤-，22πβπ≤≤-，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0sin 3=+--m ββ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C21.D 1三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E为BC 的中点．（1）求异面直线PE 与AB 所成的角的大小； （2）求四棱锥ABED P -的侧面积．20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；D（2）求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线l 过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记)0,(p N ，如果直线l 过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”．（1）判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数xa x x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围；（3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21)2(221221n nx f x f x f x x x f nn+++≥+++ ．虹口区2018年数学学科高考练习题答案（文）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-； 2、2； 3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、74； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小．……2分D由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF ．………………5分∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos．………………6分 （2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S ．BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S ． …………………………9分连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++．………………12分20、（14分）解：（1） 1=⋅，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B (7)分（2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ． 又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224……10分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分∴3sin 21==∆B ac S ．………………14分21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ． 由iz z z n n n 221++=+得ib a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分 （2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．①i n i b b b a a a z z z n n n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ．……10分②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ） 将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n （Ⅱ） 将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n ．)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由⎩⎨⎧=+=pxy p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分 注：本题可设p my x l -=:，以下同．（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=px y b kx y 22得0222=+-pb py ky ． p k pb y y -==∴221，从而2kb -=．………………6分 假设直线l 过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而200kkx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==02100y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(．综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．………………10分 （3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为k py y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p kp x P -=2，即),(2k p p k p P -．…………12分设),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k py p p kp x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p，点Q 到它们的距离相等．…………16分23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分 （2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值．若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当mk =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++)]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。
2018年上海市虹口区高三二模数学卷含答案
虹口区2017学年度第二学期期中教学质吊监控测试高三数学试卷（时间120分伸，満分150分）罚（4 7 12 r * 5 I，、:K稱分54 : i1. U知A »(-«c t a] • B =[1.2J . 11 AcB农©・曲实数a的范也是_______________________2. Att ax *<a -1)y >1 ・0 与去线4x *ay-2.0 OTW, IM实ST a- ________________4.长方体的对侑找与过同一个頂点的三个农面所成并角分别为a . B. 丫 .対co® + c6i ♦知_____________________25匚知函ftt f(Q=八•则f」["(〜)]= ____________________________________ ・2 -1 x <06从累合(-1, 1, 2, 3施片山? -个为m・从兔合(-2, -1, 1. 3随HUI?个为n.朝方程X=1表用双曲找的概半为_______________m n7. Cffltt列UiU公比为q的寺比牧刊，且a2, a«.為成寻荒数X, M q-小轨f (x) = J g I：；. f (x) p炖(x-1)令q(x-M ♦务(x-1)?♦川♦比“-卄則觅的值尊于____________ ・9.勿国•长方休 ABCD - A B C 0K边长AB= AA=1AD =逅.EfFJ讣佞球毘琢 O・噂A . A席冋点旳球庶比円寻于__________ ・10. ■（!的整林尊于m ■翩（帐尊于n ■则JRM曲内接魁形的■枫的■大值为笛・（X】是不世过x的处大则方岂（2¥・2・[2T」M ONA1 X<1的所右实教能12・两数f （x） =$in x .对T Xg<冷卅I qxfl斷，&・川.忌色（0. &】（n^10）,兄M 咐(为)T(创H『g)T(冷)|r(4)-“xj4l)l牛(Xnj)T()q|・ MM 0»大偵第干-----------------------ai)K«-tt? Wt 4f( » ix 2018.43.巳知a •(()“).cos a =-- Nf tan(a +・rjtei 旳小已5分.满分20分)13A. f (x) > x B f ( x)B si nc ex C ・ f (x) ■ arccosx D ・ f (x) ■ 14 V RtMBC ip. AB = AC , > M - N 是线段 AC 卜 / P・ M BC 总动Fl 満定 Ftf =k BC*. PFf« k 的值为().1 o 1小 1. 1 A. - B -C. —D.-234815 Sm ：kx-y *k *1=0«jfi X 2*/=8^ 于 A. B 两点.KIAB =4^/5 .过虑 A. B 分别作 I的乖钱厅y<*交尸点M . N . ijf MN 寻尸<A. 2>l2 B 4 C ・ 4湮 D ・ 8X ・4 3n > 416.巳知a 珂 g 冶汁绷a, =a , n.0<aS4・比參■ J 「S 汽此敬刊的曲n 网他S-3n 去 <4m KMitiEW 的圧()A.何，aWntt^ S n -2015B. a «1 n =2016C,；存在 aMn 便谢 5=2017D.f 仔花 afunfttt & -2018vna (本大at 肯分 m17.(厶也淸分14分.5? (1)小地7分•第(2)小越7分・) 81 IS .止三枝仏的底面余铮啜出付三命賂.AB - AC -1.ZBAC ■；.跡于 3,点 M ・，M 2, N, , N,为 浚段的三夸分点.<1)求此 餐林的体积和Wtt A -AM.Ni 的体机；(2)求异|&儿戈AN 2t AM 】所城的耶大小.18 (本览满分14分•第(1)小Ift 7分.第< 2)小H11 7分・) Z 2 -2*1 -omm. a »3.SIL]K«-tt7 Wt 4^ 第 2员若.求边长c 的低4(2)次AABC 曲机的鼓火偵・x x>0 -xx<0巳知 MBC 中.« A,B,C 所対更的边分别为a.b,c , z =cosA*i -sin A ( I .trlftt 单位)址力丹B2C19. 分14分•第(1)小運6分■第＜2)小锂8分・) _丫町內的•ifijtt列・Qr如宋时干仟意的I「幣收n,均竹a^-a? -d . IM林此・口慣列-为审忑向Sdh ,:称为•公玉向定・・平向内的.咖列・Q｝■如采6#6n对f任意的正肢n,铀一 -♦^4.«q bK ( q HO), mmt -|Mjfi^"为•输比l&Jttfl* ••KUq柠力-公比.・⑴椒•耐常 g｝是•务郵川用•用:和•公齣站才衣示♦二；(2)巳知Q｝足•写龙向泾列・••公差向畀d =(3, 0). ?=(!.眾2=(人・*);―斗呎TH斗■■♦T•等比向鼠列• ••公比・q・2, =(1f 3). b. =(nx. kJ•求a,t»♦坷鸟片)严比0・20 (本IM满分16分•第(1)小IB 4分•第＜2)小M 5».第(3)小越7 5?.)处果£(如倆13只有一T衣点，^isatii^eilffi・《!线・・caw貝c：—*y2=1.点M(m.n)是2HI3 C上的任恵一点.宜线I过虑M且址情13 C的•切线・・⑴证明：过勵3 C上的直M(gn)的•切线•力程足—*ny =1； 2(2＞ fl A. B足純网C长IB上的曲个酬4,点M(m.n )不布4标驚匕Mi MA, MB分聘交y Ifi于木m 4贞» 3X3=- , C t点P . Q .过M 旳櫃网C 的•切th I 殳y 紬F 点D .迁明：贞D itm PO 的中点;(3i AM(m,n) x 】,id«H C 的胪MLi RfnF a ■判Itfht M D C 的 11,白线MF 1w M&所说淡角址否相等？并说明J?rti ・21. M 越满分18分•第(1)小連3分.第＜ 2"也7分.第(3)小!？ 8分・) CfiUfitt f(x)・ax'・x-a (a€R t x€R h( xeR)U A(1)观集x=二扌一圧关Ff(x)sO 的岸・求艾数a 射取Cl 范也;<2» *!« x)(f ( -1.乎］和［护，1)的m 网化 n-Kur^iii ；⑶硕酿3的*师”qTWH 叶ill 皿的如件是 峠虹口区2017学年度第二学期崗三年级玻学学科期中教学质虽监控测试题答案、填空旳(—6何第小30 4分.7 12Mit 小何5分.本大通腾分54分)16・A一.朋答範4.木大牠満分 76分)2・2;队万；..10. - mn ； 32・ana 宙小包5分・满分20分)6・7.--; 213. B 17, (14 分｝ M ： (1) •••1 3 1ABBA 的R 离?H' 1 ,・•• V AJWZ =\/町护人=x M3 Z Z・・.三梭住ABC-ARC,的体帜等丁 -（立方E 位）•丨馬显A _ AM N,的体枳每丁・-（立方单 2 2 位） ......... 7分・・・AN 「’PQ. AM 「RMi ・・・ /MfC 的父小爹于片创立怕 AN- AM (所成的角或其补角的人小•• ... 9分••・ RM 2 -AM, ^y/2. RC =>/2 ■ M 2C=V6 ・ “ 2*2-6 1.・・ cosZM ?RC = ---- 一—— =一一・2K 渥x 渥 2:.界Bifittft AN- AM 曲it 的角的-. .............................. "分318、( M 分)昭：(1) z -z*1 =0 的阿卜權为 z»-± —I. .............................. 2 分2 2 A cos A =— , sin A = — . A =—・ .................. 4 分2 2 3，.卯CM 的竺■应，亠■亠•側C ■返匝 ............................................ 7分12 4 sin C sin A 2<2i v a 2 =b 2 -2kx:cosA•・• 9 -b *c -bciax: -be ・bc •从而be 59 •爭弓M b-c 时皈立.此时2・门4分)M ：⑴设1=(— yj t d =(d, dj ・•斯以朝列GJ 址以片为件项.公盖为a 的寻靈钦列；铁列{%}&以为甘険,公劲 dz 的需笊数列•・X “2 ♦ll(+a n =(x, ♦xj*||rx ni yi*y 2*IIPyJ= (nx, *2n(n -1)d b ny f *2n(n -1)d 2) =%斗.y,)+ ^0(0-1)(d 1t d 2)（2）取戻段AA A 零分广R ・R ・3 PM a ・PC—? "BC 細耐*大值奇于—14分iba^-a, =d.得=n? -*-ln(n -1)d.2J.鬲* ■(心4 ■ (Xn. % ) ■(心彳一Xn ・ y(i 4 * %) ■ (3・ 0)・从mjXn4・Xn・3, y n^-yn UJttil 1 ww,公龙为3的雪穴數判，从血j Xn・3n-2.敢外｛%｝足#效外，y n«1.山订! =2?得g.=加人.=2心•只m, =1・k, =3.・・・啟列｛叽｝是口1为白坪，公比为2的帑比数刘；效嵋(kjis以3勺冇项•公比为2的耳比数列，从而有rn, - 2nJ. kn・3 2 J.……K)分T T V T M —Ia, b,・a? * lira. d・x,m 叫♦心g ・y2b-III"> S =x.m l "x?叫♦ Ill^Xnnv =1X14-4K2*7X2： *|||*(3n -2)X 2 j................... 』25 =1x2 ^4x22+7x23 + |||*(3n-2)x2n............................... 区.3>-m t 5 十3(21 令2s+川令2^)-(3n・2) 0. ft S, =5*(3n-5)x 2n> T R = *y^2 *lll*y r k n，丿=3〈2” -1)1 -2-> -4 ―— V从血a bP b+IIHanb=S+h=(3n・2)・2 +2 ............................................. M分20. i 16分解：(1)由点M(m,n)生HR1 C 上，y *n2=1. • M(m,n)^Ktt y *ny = 1 上=Oaj. ill 弓一m2 - 2. AiUfjWfj x--■代入稀网方稈得『.丄屮得2 m m个交点(2 0)・2f饯I址懂関C切如m勺n# 0时.右竺♦(“，适綴为y S_J!L X4-1代入悟网方樫側丄J-mxr-『=0,有2 2n n 2A -m1 M g(1 *2 ) m2诃-2 铀爼MO C 切皱........................ ............. 4 分2 2丹轉：不讨— ^n2y2»n\ ny=1-—代入fl) y. x的•兀2 2(2 )・••点M(m,n)不在坐怎越上.AM ：y = ---------------------------- (覧十厲 • ft P( 0 ,m *722过点M(m.n)的5塩为|：竺个吋』■静D (o,丄).由性J ■鮒 亦-2 =-2〃 •从而肖2 n 2Y 宀Q ■-+二・—^M ・ --2y D ・・••点D 是线段PO 的中点・・・・9分m+血 m -血 m -2 n(3)M (m.n).| >ny -1.1 的力|R|h|fit 3 ・(2n. un}, — >n a -1. ^(-1, 0) , F ?(1. 0),2 2Mh-f-l-m, «n)■詞-n)■记S 勺胡的史角a , 3勺晶的夬角B. ............................ 12 ；>所以cosa «cosP , f] a ・P ,从njft IMF, . MF 訂听成的文如4舟.…恂分21. ( 1«；» W: (1) ill a( )3⑵仏…4…哉说®品严当-1<片<片0乎 臥 Xf-x, >0 , 1-彳>0 ,¥<的<1. -2<為♦冷<-齿,冇《2<斗4斗怙)<-1・-1<1*)^x 2(x l *x 2)<0 ・・・・ aO-aivO-•…当-耳“ <冷 s0 时.冷-片>0 . 1 -X ； >0 . 1-x?>0. 0《冰2<乎.-V5<x, *$<0. H|n(m + 2)(1 *m)z2n *mncosa =£当0^x, <Xj <1W ・ Xj-X >0 ・ 1-)^ >0 . 1 -£>0. 1 *x l x i (x,4x 2)>0.g(卷)一g(x,)>0・\、0］卸P 1）上運增.从而a 【号■ 1）上逶堆. io 分⑶充分性；当a —晋叭有f （弓—［¥，= ■》・曽SO, 乂 f ⑴=1> aaq' +q-a = 0 . f? a,从向 a=q*q 4 卅| 2 *|||.……14 分1-A好性：半 q -ODj, a «0.当 q 社0 时.ilia -q +q“ -q? + IH+q""2 卄“成之.nj 科-1 <q'<1 从向特-l<q<l. a -y^3 .■■' 2中的结论可E 】g （x ） = •'I*-1. — f ］遥械，在【一^, 1）倉8 .川饥 ~^sg （x ）v-寸战l-・・.a x)^( -1,在［ l(x) -ax'-tx-a ft不斯・故仏£,1）内 疋仔在茅心qfl|q<l ・.•.右从仙a-1 <q <U1,冇 ai- —3。
上海市虹口区2018届高考二模数学试题含答案
上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且AB ≠∅，则实数a 的范围是2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 1815. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(-和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【解析】画数轴，1a ≥2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=⇒=3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=【解析】设三边为a 、b 、c ，对角线为d ，∴2222a b c d ++=2222cos a b d α+=，2222cos b c d β+=，2222cos c a dγ+=，∴222cos cos cos 2αβγ++= 也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】120()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==-6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【解析】32121442⨯+⨯=⨯7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【解析】22342210a a a q q +=⇒--=，∴1q =或12q =-8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【解析】66[(1)1]x x =-+，33620a C == 9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【解析】外接球半径为1，3πα=，球面距离为3π10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为2mn11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =， ∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【解析】由()()f x f x -=-，选B14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 18【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ⋅=-+，[0,3]x ∈，∴94x =时取到最小值，此时14PC k BC ==，选C15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，8MN ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小. 【解析】（1）13322V =⨯=；1121121311322A AM N M A AN V V --==⨯⨯=（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为3π18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.【解析】（1）解为12，∴3A π=，由正弦定理b =c =（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅. 【解析】（1）121(1)2n n n a a a na d -++⋅⋅⋅+=+； （2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---⋅=-⋅⋅=+⋅u u r u r，错位相减求和为(32)22n n -⋅+20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+， 联立椭圆，0∆=，可证结论； （2）:MA l y x =+，∴P y =，同理Q y =，1D y n =24222P Q D n y y y m n-+===-，即点D 是线段PQ 的中点（3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2mk n-=切，由夹角公式 1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221tan ||1MF MF k k k k nθ-==+切切，所以所成夹角相等.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）. （1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x在(1,2-和[2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.【解析】（1）(023f a ≤⇒≥； （2）根据单调性定义分析，在(1,2-上递减，在[2上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明 473231n qa q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-， 结合第（2）问，31qa q =-在(-上递减，在上递增，∴min 3()1q a g q ≥==-，反之亦然.。
虹口区2018届二模高三数学(定稿)
1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q=_______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-L则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A B C D-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<<L 且[]12,,,0,8n x x x π∈L （10n ≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-L ，则M 的最大值等于 ．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．.A ()1f x x =+ .B ()sin cos f x x x =⋅ .C ()arccos f x x = .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅u u u v u u u v ，当PM PN ⋅u u u u v u u u v取得最小值时，实数k 的值为（ ）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A.B 4 .C.D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．P 2P 1C 1A N 2N 118．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=u u u r u u r u r，则称此“向量列”为“等差向量列”，d u r 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b u u r ，如果01ρρ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅u u u r u u r（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”.（1）如果“向量列”{}n a u u r 是“等差向量列”，用1a u r 和“公差向量”d u r 表示12n a a a +++u r u u r u u r L ；（2）已知{}n a u u r 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =u r ，1(1,1)a =u r ，(,)n n n a x y =u u r ；{}n b u u r 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =u r ，(,)n n n b m k =u u r .求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅u r u r u u r u u r u u r u u r L ．x20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.） 已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x=-（x R ∈）. （1）如果x =2是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[1)2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++L L 成立的充要条件是3a ≥．。
上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控(二模)数学试题
O C 1D 1B 1A 1DCBA虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学 试卷（时间120分钟，满分150分） 2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1．已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B φ⋂≠，则实数a 的范围是 ． 2．直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = ． 3．已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222c os c os c os αβγ++= ．5．已知函数2()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 ． 7．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = _______． 8．若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++- 则3a 的值等于 ．9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA == ，2AD = ，它的外接球是球O ，则A ，1A 这两点的球面距离等于 ．10．椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______. 11．[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是 ．12．函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<< 且[]12,,,0,8n x x x π∈ （10n ≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++- ，则M 的最大值等于 ．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．.A ()1f x x =+ .B ()s i n c o s f x x x =⋅.C ()a r c c o s f x x= .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅ ，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且42AB =，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A 22 .B 4 .C 42 .D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．P 2P 1C 1B 1A 1N 2N 1M 2M 1CBA18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-= ，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++ ；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d = ，1(1,1)a = ，(,)n n n a x y = ；{}nb是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b = ，(,)n n n b m k = .求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．OF 2F 1BAxy20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，M B 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点； （3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.） 已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），错误！未找到引用源。
2018年虹口区高考数学二模含答案
1A2018年虹口区高考数学二模含答案〔时间120分钟，总分值150分〕2018.4一．填空题〔1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题总分值54分〕1．(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，那么实数a的围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，那么实数a=．3．(0,)απ∈，3cos5α=-，那么tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个外表所成的角分别为α，β，γ，那么222cos cos cosαβγ++=．5．函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，那么11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，那么方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，那么q=_______．8．假设将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-那么3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD AB C D-的边长11AB AA==，AD=它的外接球是球O，那么A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，那么此椭圆的接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，那么方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<且[]12,,,0,8nx x xπ∈〔10n≥〕，记1223341()()()()()()()()n nM f x f x f x f x f x f x f x f x-=-+-+-++-，那么M的最大值等于．二．选择题〔每题5分，总分值20分〕13．以下函数是奇函数的是〔〕．.A ()1f x x =+.B ()sin cos f x x x =⋅.C ()arccos f x x =.D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为〔〕.A 12.B 13.C 14.D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，那么MN 等于〔 〕.A .B 4 .C .D 816．数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，那么以下结论正确的选项是〔 〕.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S =.B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S =.D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题〔本大题总分值76分〕17．〔此题总分值14分.第〔1〕小题7分，第〔2〕小题7分.〕 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．〔1〕求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； 〔2〕求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小． 18．〔此题总分值14分.第〔1〕小题7分，第〔2〕小题7分.〕ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅〔i 是虚数单位〕是方程210z z -+=的根，3a =. 〔1〕假设4B π=，求边长c 的值；〔2〕求ABC ∆面积的最大值.P 2P 1C 1A N 2N 119．〔此题总分值14分.第〔1〕小题6分，第〔2〕小题8分.〕平面．．的“向量列〞{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，那么称此“向量列〞为“等差向量列〞，d 称为“公差向量〞.平面的“向量列〞{}n b ，如果01≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅〔0q ≠〕，那么称此“向量列〞为“等比向量列〞，常数q 称为“公比〞. 〔1〕如果“向量列〞{}n a 是“等差向量列〞，用1a 和“公差向量〞d 表示12n a a a +++； 〔2〕{}n a 是“等差向量列〞，“公差向量〞(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列〞，“公比〞2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．20．〔此题总分值16分.第〔1〕小题4分，第〔2〕小题5分，第〔3〕小题7分.〕如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线〞.椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线〞. 〔1〕证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线〞方程是12mxny +=； 〔2〕设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线〞l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；〔3〕点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 椭圆C 的“切线〞l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．〔此题总分值18分.第〔1〕小题3分，第〔2〕小题7分，第〔3〕小题8分.〕 函数3()f x ax x a =+-〔a R ∈，x R ∈〕，3()1xg x x=-〔x R ∈〕. 〔1〕如果x =2是关于x 的不等式()0f x ≤的解，数a 的取值围；〔2〕判断()g x 在-(1,]2和[1)2的单调性，并说明理由； 〔3〕证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++成立的充要条件是a ≥．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题〔1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题总分值54分〕1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题〔每题5分，总分值20分〕13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ； 三、解答题〔本大题总分值76分〕 17、〔14分〕解:〔1〕12ABC S ∆=，∴11132ABC A B C V -=……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴三棱柱111ABC A B C -的体积等于32〔立方单位〕，三棱锥P 2P 1C 1A N 2N 1112A AM N -的体积等于12〔立方单位〕……………7分 〔2〕取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12P M ，1PC. 12A N ∥1PC ，1AM ∥12P M ，∴21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分121PM AM ==1PC =2M C =∴211cos 2M PC ∠==-.∴异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、〔14分〕解：〔1〕210z z -+=的两个根为122z =±.…………2分 1cos 2A ∴=，sin A =，3A π=.…………4分∴5sin sin12C π==，sin sin c aC A=，得c =7分 〔2〕2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 1sin 2S bc A ==.∴ABC ∆.……………14分 19、〔14分〕解：〔1〕设(,)n n n a x y =，12(,)d d d =.由1n n a a d +-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d =+-.………………6分〔2〕设(,)n n n a x y =，(,)n n n b m k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅，得5(35)2n n S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+………………14分20、〔16分解：〔1〕由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上 当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m=，代入椭圆方程得22220m y m -==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n =-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mxny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆=〔2〕点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,P.:BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分〔3〕(,)M m n ,:12mxl ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 与1MF 的夹角α，d 与2MF 的夹角β.………12分11cos 4d MF d MFα⋅====22cos 4d MF d MFβ⋅====，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、〔18分〕解：(1)由3((022a a -+--≤，得3a ≥………………3分〔2〕设21x x >，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=----当x x -<<≤1212时，210x x ->，3210x ->，3110x ->，1212x x <，122x x -<+， 有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴21()()0g x g x -<.………………6分当1202x x -<≤时，210x x ->，3210x ->，3110x ->，1202x x ≤<，120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x ->，3210x ->，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴21()()0g x g x ->.∴()g x 在(1,]2-递减，在[,0]2和[0,1)上递增，从而在[,1)2上递增.………10分(3) 充分性：当3a ≥-时，有3(022222a f a a -=---=--≤，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[的图像连续不断，故在[一定存在零点q 且1q <，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++.……14分必要性：当0q =时，0a =. 当0q ≠时，由4732n a q q q q -=+++++成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q=-，由〔2〕中的结论可知3()1xg x x =-在(1,2-递减，在[,1)2递增，从而，1()32g x ≤<-或()3g x ≥.从而31qa q=-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。
虹口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
虹口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===P :l x t =形面积为，则函数的图像大致为（）()S f t=2． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．3：2：4D ．3：1：23． 经过两点，的直线的倾斜角为（）A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°4． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+取得最小值时，实数a 的值是（）A ．B ．C ．或D ．36． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ）A ．{1，2}B ．{﹣1，4}C ．{﹣1，2}D ．{2，4}7． 若变量x ，y 满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）A ．﹣2＜t ＜﹣B ．﹣2＜t ≤﹣C ．﹣2≤t ≤﹣D ．﹣2≤t ＜﹣8． 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，()xF x e =()()()F x g x h x =+()g x ()h x R 若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）(0,2]x ∀∈(2)()0g x ah x -≥A ．B ．C ．D．(,-∞(,-∞(0,)+∞9． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．{， }B ．{，， }C ．{V|≤V≤}D ．{V|0＜V ≤}10．设a 是函数x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（ ）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＜0C ．f （x 0）＞0D ．f （x 0）的符号不确定11．在平面直角坐标系中，直线y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（）A ．4B ．4C ．2D ．212．已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实根211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩()f x t =12,x x （），那么的取值范围为（ ）12x x <12()x f x ∙A ．B ．C ．D ．3[,1)41[831[,1623[,3)8二、填空题13．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．14．设双曲线﹣=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是 ． 15．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）的统计资料如表：x 681012y 2356根据上表数据可得y 与x 之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元． 16．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为 17．已知函数的三个零点成等比数列，则 .5()sin (02f x x a x π=-≤≤2log a =18有两个不等实根，则的取值范围是．()23k x =-+三、解答题19．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4=7，S 4=16．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．21．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．22．如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE ．（Ⅰ）求证：AB⊥CE；（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．23．已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，且不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．虹口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当时，，当时，01t <≤()2122f t t t t =⋅⋅=12t <≤，所以，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象.2． 【答案】D【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，则球的体积V 球=圆柱的体积V 圆柱=2πR 3圆锥的体积V 圆锥=故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3：：=3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．3． 【答案】A【解析】解：设经过两点，的直线的倾斜角为θ，则tan θ==﹣，∵θ∈[0°，180°），∴θ=120°．故选：A ．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4． 【答案】C【解析】解：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥面AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过B 1作B 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 的长即是点A 1到截面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=，AO 1=3，由A 1O 1•A 1A=h •AO 1，可得A 1H=，故选：C ．【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．5．【答案】C【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，+==+=f（a），f′（a）=+=，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=时，+取得最小值．②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），f′（a）=﹣=﹣，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=﹣时，+取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．【答案】A【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．故选：A．【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．7．【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M （﹣2，1），则由图象知A ，B 两点在直线两侧和在直线上即可，即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0，即（3t+4）（2t+4）≤0，解得﹣2≤t ≤﹣，即实数t 的取值范围为是[﹣2，﹣]，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题． 8． 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数,()xF x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R 使得不等式()()()()()()(],,,,0,222x x x xxxe e e e e g x h x eg x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈Q 恒成立, 即恒成立, ()()20g x ah x -≥22022xxx xe ee e a --+--≥g()2222x x x xx xx xe e e ea e e e e -----++∴≤=--, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等()2x x x xe e e e--=-++x x t e e -=-x x t e e -=-(]0,2220t e e -∴<≤-式,当且仅当,即时, 取等号,,故选B.2t t +≥2t t=t =a ∴≤考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.9． 【答案】D【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．10．【答案】C【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，∴f（x0）=2﹣log x0＞0．故选：C．11．【答案】A【解析】解：圆x2+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，故选：A．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．12．【答案】C【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程有两上不等的实根，则，由，可得()f x t =314t <<1324x +=，由，可得（负舍），即有，则14x =213x =x =12111,422x x ≤<≤≤221143x ≤≤.故本题答案选C.()212123133,162x f x x x ⎡⎫=⋅∈⎪⎢⎣⎭考点：数形结合．【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力． 14．【答案】 9 ．【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，可得c 2=a 2+b 2=13，又||MF 1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，在△F 1AF 2中，由勾股定理得：|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，即4c 2=4a 2+2|MF 1||MF 2|，可得|MF 1||MF 2|=2b 2=18，即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．15．【答案】 7.5 【解析】解：∵由表格可知=9，=4，∴这组数据的样本中心点是（9，4），根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，∴4=0.7×9+，∴=﹣2.3，∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x﹣2.3，∵x=14，∴=7.5，故答案为：7.5【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．16．【答案】 5 【解析】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．17．【答案】12-考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．18．【答案】53,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数的图象是一个半圆，y =()23y k x =-+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303224k -==+，解得，所以实数的取值范围是.111]()23y k x =-+2512k =53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：直线与圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…（2）由①得…（7分）∴…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因为等差数列{a n}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴a1=1，d=2，a n=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，∵AC=AB，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0），C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0），∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0），设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，，﹣3），又平面BCD的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞==﹣，∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2可转化为ax2﹣3x+2＞0，所给条件表明：ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义可知：方程ax2﹣3x+2=0的两根为x1=1、x2=b．利用韦达定理不难得出a=1，b=2．由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，s n=n2…（6分）（Ⅱ）令则=…（12分）【点评】本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．24．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由•=x﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=，=（3，3，），显然平面A1DA的法向量为==（0，0，），则cos＜，＞===，即二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．。
虹口区高三二模数学word版附解析
年虹口区高三二模数学word版(附解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且AB ≠∅，则实数a 的范围是2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程 221x y m n+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =，它的外接球是球O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 1815. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||42AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. 22B. 4C. 42D. 8 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x =-（x ∈R ）. （1）如果342x -=是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在34(1,]2--和34[,1)2-的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是343a -≥.上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【解析】画数轴，1a ≥2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=⇒=3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=【解析】设三边为a 、b 、c ，对角线为d ，∴2222a b c d ++=2222cos a b d α+=，2222cos b c d β+=，2222cos c a dγ+=，∴222cos cos cos 2αβγ++= 也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】12,0()log (1),0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==-6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【解析】32121442⨯+⨯=⨯7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =【解析】22342210a a a q q +=⇒--=，∴1q =或12q =-8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【解析】66[(1)1]x x =-+，33620a C ==9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =，它的外接球是球O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【解析】外接球半径为1，3πα=，球面距离为3π 10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为2mn 11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =，∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【解析】由()()f x f x -=-，选B14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14 D. 18【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ⋅=-+，[0,3]x ∈，∴94x =时取到最小值，此时14PC k BC ==，选C15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||42AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A. 22B. 4C. 42D. 8【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，28MN AB ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S = 【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.【解析】（1）13322V =⨯=；1121121311322A AM N M A AN V V --==⨯⨯=（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为3π18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值； （2）求ABC ∆面积的最大值. 【解析】（1）解为1322i ±，∴3A π=，由正弦定理6b =，6322c +=； （2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==时，面积最大，为934.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.【解析】（1）121(1)2n n n a a a na d -++⋅⋅⋅+=+； （2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---⋅=-⋅⋅=+⋅，错位相减求和为(32)22n n -⋅+20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+， 联立椭圆，0∆=，可证结论； （2）:(2)2MA nl y x m =++，∴22P n y m =+，同理22Q n y m -=-，1D y n =24222P Q D n y y y m n-+===-，即点D 是线段PQ 的中点（3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2mk n-=切，由夹角公式1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，所以所成夹角相等.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x =-（x ∈R ）. （1）如果342x -=是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在34(1,]2--和34[,1)2-的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是343a -≥.11 【解析】（1）3344()023f a -≤⇒≥-； （2）根据单调性定义分析，在34(1,]2--上递减，在34[,1)2-上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明 473231n q a q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-， 结合第（2）问，31q a q =-在34(1,]2--上递减，在34[,1)2-上递增， ∴33min 344()()123q a g q -≥==--，反之亦然.。
上海2018届高三二模数学卷—三角函数汇编
上海2018届高三二模数学卷——三角函数汇编1. （2018宝山二模4）函数()x x x f 4cos 4sin 2=()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 答案：4π 2. （2018宝山二模12）将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S .3.（2018虹口二模3） 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4.（2018虹口二模12） 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=5.（2018虹口二模）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.【解析】（1）解为12，∴3A π=，由正弦定理b =c =（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==时，面积最大，为4.6.（2018杨浦二模9）若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 ． 答案：2424.77-或 （2018杨浦二模13）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为 （ ） )(A4π )(B 2π )(C 2π-)(D 3π-答案： C（2018黄浦二模4）已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 答案：4π（2018黄浦二模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知10,(010)OA OB x x ==<<米米，线段BA CD 、线段与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值．答案：解 (1)根据题意，可算得弧BC x θ=⋅(m )，弧10AD θ=(m ). 又30BA CD BC CD +++=弧弧，于是，10101030x x x θθ-+-+⋅+=， 所以，210(010)10x x x θ+=<<+.xy O12π4π1-(2) 依据题意，可知22111022OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简，得2550yx x =-++25225()24x =--+. 于是，当52x =(满足条件010x <<)时，max 2254y =(2m ).答 所以当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米.（2018静安二模15）函数的部分图像如图所示，则)3(πf 的值为（ ）． A ．22 B 3 C ．26D ． 0答案：C（2018闵行二模18）已知函数()3cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω= （2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =（2018青浦二模3）若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．答案：13（2018青浦二模18）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量(cos,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x xn =，设函数()1f x m n =⋅+． （1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值； ()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 2,b A c ≤求()f B 的取值范围．解：（1）21cos ()cos cos 112222x x x xf x x +=-+=-+111cos sin()2262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+ （2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()B A A B A ⇒≤+2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ⇒≤+-2sin cos cos (0,]6A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即 （2018崇明二模15）将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6πB ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．t ，s 的最小值为3π答案：C（2018崇明二模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．） 如图，某公园有三条观光大道,,AB BC AC 围成直角三角形，其中直角边200BC =m ，斜边400AB =m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,AB BC AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点,,D E F ．（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设CEF θ∠=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．19、解（1）6π=w ………………………………………………………………………2分⎩⎨⎧=-=+100500A k k A ……………………………………………………………………1分⎩⎨⎧==300200k A ………………………………………………………………………2分 32πθ=…………………………………………………………………………2分()300326cos 200+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴ππn n f ………………………………………………………1分（2）令()()400cos ≥++=k wn A n f θ……………………………………………2分21326cos ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ππn []()Z k k k n ∈--∈⇒212,612[]12,1∈n[]10,6∈∴n 10,9,8,7,6=⇒n …………………………………………………3分 答：一年中10,9,8,7,6月是该地区的旅游“旺季”。
虹口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
虹口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）2． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．3：2：4D ．3：1：23．经过两点，的直线的倾斜角为（ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．30° 4． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ） A． B．C．D．5． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+取得最小值时，实数a 的值是（ ）A．B．C．或 D ．36． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}B ．{﹣1，4}C ．{﹣1，2}D ．{2，4}7． 若变量x ，y满足：，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t 的取值范围为（ ）A ．﹣2＜t＜﹣ B ．﹣2＜t ≤﹣C ．﹣2≤t ≤﹣ D ．﹣2≤t＜﹣8． 已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．(-∞ B．(-∞ C． D．)+∞ 9． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）A ．{， } B ．{，， } C ．{V|≤V≤} D ．{V|0＜V≤}班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．设a是函数x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（ ）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＜0C ．f （x 0）＞0D ．f （x 0）的符号不确定11．在平面直角坐标系中，直线y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．4 B ．4C ．2D ．212．已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)8二、填空题13．复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．14．设双曲线﹣=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是 ．15x 和所支出的维修费用y （万元）的统计资料如表：根据上表数据可得y 与x 之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元．16．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为17．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 18()23k x -+有两个不等实根，则的取值范围是 ．三、解答题19．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4=7，S 4=16． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．21．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．22．如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE．（Ⅰ）求证：AB⊥CE；（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．23．已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，且不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H．（Ⅰ）求证：D为BB1的中点；（Ⅱ）求二面角C1﹣A1D﹣A的余弦值．虹口区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时， ()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象. 2． 【答案】D【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，则球的体积V 球=圆柱的体积V 圆柱=2πR 3圆锥的体积V 圆锥=故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3：： =3：1：2故选D【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．3． 【答案】A【解析】解：设经过两点，的直线的倾斜角为θ，则tan θ==﹣，∵θ∈[0°，180°）， ∴θ=120°． 故选：A ．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4． 【答案】C【解析】解：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1， 故平面AA 1O 1⊥面AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过B 1作B 1H ⊥AO 1于H ， 则易知A1H 的长即是点A 1到截面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=，AO 1=3，由A 1O 1•A 1A=h •AO 1，可得A 1H=，故选：C ．【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．5．【答案】C【解析】解：∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．①当0＜a＜3时，+==+=f（a），f′（a）=+=，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=时，+取得最小值．②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），f′（a）=﹣=﹣，当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．∴当a=﹣时，+取得最小值．综上可得：当a=或时，+取得最小值．故选：C．【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．【答案】A【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．故选：A．【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．7．【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0，由，得，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M （﹣2，1），则由图象知A ，B 两点在直线两侧和在直线上即可， 即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0， 即（3t+4）（2t+4）≤0， 解得﹣2≤t ≤﹣，即实数t 的取值范围为是[﹣2，﹣]， 故选：C ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．8． 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+,且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数,()()()()()()(],,,,0,222x x x xxxe e e e e g x h x eg x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立, 即22022xxx xe ee e a--+--≥恒成立, ()2222xx x xx xx xe e e e a e e e e -----++∴≤=--()2x x x xe e e e--=-++, 设x x t e e -=-，则函数x x t e e -=-在(]0,2上单调递增,22t e e -∴<≤-, 此时不等式2t t +≥当且仅当2t t=,即t =时, 取等号,a ∴≤故选B.考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.9． 【答案】D【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．10．【答案】C【解析】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，∴f（x0）=2﹣log x0＞0．故选：C．11．【答案】A【解析】解：圆x2+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，故选：A．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．12．【答案】C【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则314t <<，由1324x +=，可得14x =，由213x =，可得3x =12111,4223x x ≤<≤≤，即221143x ≤≤，则()212123133,162x f x x x ⎡⎫=⋅∈⎪⎢⎣⎭.故本题答案选C.考点：数形结合．【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：复数z==﹣i （1+i ）=1﹣i ，复数z=（i 虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14．【答案】 9 ．【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，可得c 2=a 2+b 2=13，又||MF1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，在△F 1AF 2中，由勾股定理得： |F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，即4c 2=4a 2+2|MF 1||MF 2|， 可得|MF 1||MF 2|=2b 2=18，即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．15．【答案】7.5【解析】解：∵由表格可知=9，=4，∴这组数据的样本中心点是（9，4），根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，∴4=0.7×9+，∴=﹣2.3，∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x﹣2.3，∵x=14，∴=7.5，故答案为：7.5【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．16．【答案】5【解析】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．17．【答案】12-考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题． 18．【答案】53,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：作出函数y =()23y k x =-+的图象，如图所示，函数y =直线()23y k x =-+的图象恒过定点()2,3，结合图象，可知，当过点()2,0-时，303224k -==+，当直线()23y k x =-+2=，解得512k =，所以实数的取值范围是53,124⎛⎤⎥⎝⎦.111]考点：直线与圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…（2）由①得…（7分）∴…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=3，a3=S3﹣S2=5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因为等差数列{a n}，所以2a2=a1+a3得c=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴a1=1，d=2，a n=2n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）a2=3，a1+b1=2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查等差数列的定义及数列求和的方法，考查学生的运算求解能力，属中档题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，∵AC=AB，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0），C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0），∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0），设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，，﹣3），又平面BCD的法向量=（0，0，1），∴cos＜＞==﹣，∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2可转化为ax2﹣3x+2＞0，所给条件表明：ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义可知：方程ax2﹣3x+2=0的两根为x1=1、x2=b．利用韦达定理不难得出a=1，b=2．由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，s n=n2…（6分）（Ⅱ）令则=…（12分）【点评】本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．24．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接AC1，∵AC=AA1，∠AA1C1=60°，∴三角形ACC1是正三角形，∵H是CC1的中点，∴AH⊥CC1，从而AH⊥AA1，∵侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C∩侧面ABB1A1=AA1，AH⊂平面AA1C1C，∴AH⊥ABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA=2，1则A（0，2，0），B（，2，0），D（，t，0），1则=（，2，0），=（，t﹣2，0），∵A1D丄平面AB1H．AB1⊂丄平面AB1H．∴A1D丄AB1，则•=（，2，0）•（，t﹣2，0）=2+2（t﹣2）=2t﹣2=0，得t=1，即D（，1，0），∴D为BB1的中点；（2）C（0，1，），=（，﹣1，0），=（0，﹣1，），1设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由•=x ﹣y=0），•=﹣y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=， =（3，3，），显然平面A1DA 的法向量为==（0，0，），则cos ＜，＞===，即二面角C 1﹣A 1D ﹣A 的余弦值是．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．综合性较强，运算量较大．。
2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)
For pers onal use only in study and research; not for commercialuse For pers onal use only in study and research; not for commercialuse虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试•填空题（1〜6题每小题4分，7〜12题每小题5分，本大题满分 54 分） 1.已知A =（」：，a ］ , B 二［1,2］，且A ' B = '，则实数a 的范围是 2.直线ax （a -1）y *1=0与直线4x • ay -2二0互相平行，则实数 a = 3.已知 x 三（0,二）,cos ：= 一害，则 tan （： -）=4 .长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为〉,,,则CO?-：〉b cosco sz.-x 2 x 亠 05.已知函数f (X )二[2^-1 xc06 .从集合1-1, 1, 2, 3随机取一个为 m ，从集合「-2, -1, 1, 2随机取一个为n ，则方程2 2——=1表示双曲线的概率为 m n7.已知数列Ca 鳥是公比为q 的等比数列，且a 2, a 4,爲成等差数列，则q = &若将函数f (x) =X 6 表示成 f (x)二a 。
e(x -1) - a 2(x-1)2 ■ a 3(x-1)3• III •a s (x-1)6则 ％ 的值等高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4，则 f '[f '(一9)]二9 .如图，长方体ABCD - A B C D的边长AB = AA = 1 AD =、2 ，它的外接球是球O，贝U A , A这两点的球面距离等10 •椭圆的长轴长等于 m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为7 __ 111 • lx 1是不超过x 的最大整数，则方程（2x ）2-——2x 0满足X ：：:1的所有实数解4 - - 4是 ___________ •12 •函数 f （x ） =sinx ,对于 ％ ：：： 0% 卅：:n x 且 x 1,x 2^|,x^ 10, 8二丨（n _10）,记M = f(X 1)-f(X 2)f(x 2)-f(x 3)f(x 3)-f(x 4)i|| f(X n 』-f(x n )，则 M 的最大值等于a n - 4 a n - 416.已知数列laj 的首项q =a ，且0 ：：： a 三4, a n 1二,S n 是此数列的前n 项和,\6 - a n a * 兰 4则以下结论正确的是（ ）A.不存在a 和n 使得S n = 2015C.不存在a 和n 使得S n =2017D.不存在a 和n 使得S n = 2018三•解答题（本大题满分 76分）亿（本题满分14分•第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，二•选择题20分) 13 •下列函数是奇函数的是（)•A. f (x) = x 1B. f ( x)二 siC Kx x 0 coxsC. f (x)二 arccosxD. f(x)二I-x xcO14 •在 Rt -ABC 中，AB = AC PC 二k BC ，当PM PN 取得最小值时，实数 k 的值为（），点M 、N 是线段AC 的三等分点，点 P 在线段BC 上运动且满足A.- 2B.- 3C.丄4D.- 82 215.直线丨：kx -y k 1二0与圆x y=8交于A , B 两点，且AB = 4、2，过点A , B 分别作I的垂线与y 轴交于点M , N ，则MN 等于（A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8B.不存在a 和n 使得S n = 2016B 1M 1AB = AC = 1, —BAC 二 ~，高等于3,点M1, M 2, N1, N2为线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A 一AM 1N 2的体积；（2）求异面直线 A 1N 2, AM 1所成的角的大小. 18.（本题满分14分•第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知二ABC 中，角A, B,C 所对应的边分别为 a,b,c , z = cosA - i sin A （i 是虚数单位）是方程2z -z T = 0的根，a = 3.（1）若B，求边长c 的值；4（2 ）求：ABC 面积的最大值.19. （本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.） 平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数（2）已知是“等差向量列”，“公差向量” d=（3, 0），印=（1, 1），可=（禺,n ,均有a n 1 - a n 二d ，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量” •平面内的“向量列”总，如果b = 0且对于任意的正整数n ，均有b n 1 =q b n （ q = 0 ），则称此“向量列”为“等比向量列”（1 ）如果“向量列”［是“等差向量列” ，常数q 称为“公比”.呻 T T —I，用耳和“公差向量” d 表示a a^| a n ；-I T“等比向量列”，“公比” q=2，R=（1, 3），b^=（m1, k n）.求q bD+lll+a n Q .20.（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）22(3)证明：函数f (x)存在零点q ，使得a = q • q4• q 7•q 3n・|l|成立的充要条件是虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案(1〜6题每小题4分，7〜12题每小题5分，本大题满分54分)如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”x 2•已知椭圆C :y =1,点M(m, n)是 2椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”(1)证明：过椭圆 C 上的点M(m, n)的“切线”方程是mXny = 1 ; 2(2)设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点 M(m,n)不在坐标轴上，直线 MA ，MB 分别交y 轴于f(x)=ax 3+x-a ( a^R , R ), g(x)= ------------------------ 3 R ).1 -x(1)如果 x 4是关于x 的不等式f(x)乞0的解，求实数a 的取值范围;2(2)判断g(x )在(-1,~3 4 3一、填空题1、a -1; 8、20;1~7 ;兀 1 9、 ;10、 mn ;322、2;4、2;5、-2 ;16、212、 16;17、1 或-一;2点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”丨交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点;已知函数l 与和［二^, 1)的单调性，并说明理由;二、选择题(每小题5分，满分20分)22三、解答题（本大题满分 76分）117、（ 14 分）解：（1） S ABC = § ， -V ABCJBQ_ _ 1 3V A | ^M i N2 二 V N 2 山M i A i= 3 2 218、（ 14分）解：（1）z 2 - z • 1 = 0的两个根为z =丄一丄3 i .2 2173 cos A ， sin A = •22.sinczn 5：6 2 12 ，得cN+后sin C sin A2 2 2 （2） T a = b c —2bccosA . 2 29 = b c 一 be _ 2bc - be = be , 从而 be 乞 9 ，等号当b =c 时成立1 丁 3 S m a =x —bcs i An . -ABC 的面积的最大值等于2 4 9.314分19、（ 14分）解：（1 ）设 a n =（X n ， y n ），d =（d i ，d 2）.13、B ;14、C ; 15、D ; 16、A ;SAM 1A I=3, C i 到平面ABBA 的距离等于1 , 2即N 2到平面ABBA 的距离等于1 ,.，■” 三棱柱 ABC - A B C 的体积等于33（立方单位）2，三棱锥A |-AM i N 2的体积等于- 2 （立方单位）（2）取线段AA 的三等分点R ， F 2，连 RM 2， RC .*.■ A I N 2 // RC , AM 1 // RM 2，二 NM 2RC 的大小等于异面直线AN ?，AM 1所成的角或其补角的大小C 1■/ RM 2=AM 1-2， RC -、、2 ， M 2C -、6 .cos M 2 RC2 2 -6异面直线AN 2，AM i 所成的角的大小等于314分ji A =—3 N 2N 1由 bn 1 = 2b n 得 g 1 = 2m n ，k n2k n ，又 m = 1， k^3，数列Cm/是以1为首项，公比为 2由二一 a%d ，得FIx n彳 - x n= d j., .,，所以数列：x n f 是以X-!为首项，公差为d 1的等差数列；数列1 y n z y n 1 -y n = d 2是以y 1首项，公差为d 2的等差数列.印 a ? II 丨 a .((x 「x ?山 X n , y 1 y ?川 y n )1 1 1=(nX 1 — n(n "冋，ny 1 — n(n - "d ?) = n(x 「 ％ ) — n(n - 1)©, d ?)2 2 2 1 =na 1 n (n - 1)d . 2(2)设 a n =(X n ，y n )，g =叽心)•T T由 a n1-a n=(X n1,『n 1)-(X n ,『n ) = (X n 1 - X n ,y n 1 - y n ) = (3, 0),从而 X n 1 - X n = 3 ,y n 1 - y n =0.数列；人1是以1为首项，公差为3的等差数列,从而X n = 3n - 2 .数列:、n l 是常数列，y n =1 •的等比数列；数列〈k n?是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有 m n =2n 」,k n =3・2n‘.……10分T T T — T T 印 d a ? b 2 |1| a . b n 二花^ X z m? ||| X n m . yK y ?k 2 山令 S n =x 1m 1 x 2m 2 III x ,m n =1 1 4 2 7 22||| (3n -2) 2n ， 2S n =1 2 4 22 7 23 丨1丨(3n -2) 2n①-②得，=1 3(2 22 23 |1丨 2心)-(3n-2) 2n ，得 S n =5 (3n - 5) 2n令 T n 二 yx y 2k 2 川 y n k n =3 (1])=3 (2n-1)1-2* T T 4 T “从而 q b 1 a 2 b 2 a n b n 二S n T n =(3n-2) 2n214分20、 2m 2(16分解：(1)由点M (m, n)在椭圆C 上，有 n =1，. M (m, n)在直线2m222=0时，由 n 2 =1，得m 2 =2，直线方程为x ，代入椭圆方程得2m一个交点 2 ,0)，直线I 是椭圆C 切线.mm 22m 11当“0时，有n -，直线为^--x ；代入椭圆方程得1x21 2 2 2-m -42d -n)=m 2n - 2=0,直线是椭圆C 切线.BM : y 二 十(x -、、2)，得 Q(0, m - 丁2所以cos 「-cos ：,有「- -，从而有l 与直线MR , MF 2所成的夹角相等.……16分 21、（18 分）解：⑴由 a （—岂4）3 +（—返）—a 兰0，得 ¥223一引4 33 引2 3厂当<x^ <x^时，X 2—XA ° ， 1%>0 , 1-x^ >0, — vxi/vl ,-^x^+x 2<-v4 ,有 一2 x^^%）T ， T :：1 人％（片 ％） :：0, - q%）-g （人）：：0.另解：不讨论将椭圆方程化为n 2x 2222mx• n y = n ，将直线方程ny = 1 代入消y ，得到x 的2兀——次方程，然后证明& =0M (m, n)不在坐标轴上，AM ： y =-m + 丁2，得 p (0, m 2n 2 J过点 M (m,n)的切线为| :竺 ny2m 2=1，得 D(0,-).由 mn 2=1，得n 22 2m -2 - -2n ，从而有(3) 迈n -迈n-4n----- --------------------------------------------------------------------------------------------------2= 2y D ，点D 是线段PQ 的中点•…9分m 、2 m-、.2 m -2 nmx rM (m, n),|:n y=1,l 的方向向量 d = (2 n, -m) ,?+ n 2=1.F ,(—1, 0)，F 2(1, 0)， MF^(^ - m, -n)，MF 2=(1-m, -n),记 d 与 MF ,的夹角：，d 与 MF 2 的夹角 -12分cosV2|nd MF 2•4n? m 2x 2x ,⑵设—，gjs ）—为3&2-为）［1経任幻］cos：d MF 2n - mnn(2 - m)m2 ⑷2 m「34 3 332-2 X)：：：X2 _ 0 时，x? _x^ \ - 0 ，1 - x^ ■■■ 0 ，1 -X10，0 _ X1X2 2 ，■ ■ . 4 '■X1 ■X2 ：：： 0，有-1 MXXX X2)_0 , 0 w/x %)-1 , g(X2)-g(X i) 0.3 3当0空N ：：% ：：1 时，x2 -X! 0 , 1 -x20 , 1 一^ 0, 1X I X2(X1x2) 0,g(x>^ g(X i) 0.二a x）在（—！，一递减，在［弓，0］和［0, 1）上递增，从而在［身1）上递增.10分⑶充分性：当a _ 时，有f（—*）=一？3 2 2 — 2 = 0,又f(1)「02 2 2 函数f（x） =ax3+ x —a在［—彳2,1）内的图像连续不断，故在［_^―,1）内—定存在零点q且q<;1,aq3 q -a =0，得a £，从而a =q q4 q7川1 -q严川. 14分必要性：当q =0时，a =0.当q = 0 时，由a = q q4• q7• ||| • q3n_ 川成立，可得-1 ：：： q3：：： 1 从而得-1 ：：：q ：：： 1，a =1-qX由（2）中的结论可知g（x）3在（-1,1 -X 递减，在［-舟，1）递增，从而，-舟5（力一2或2 3 2从而a 兀，-1 ■- q ::: 1时，有a -1 -q3 318分UCnO 员B30BaTbCE B KOMMepqeckux ue 贝EX.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales. TO员BKO g^A.nrogeHKO TOpMeno^b3ymrnflCH6yHeH u ac^ egoB u HHuefigo^^HM以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquement a des fins personnelles; pas a des fins commerciales.以下无正文TO员BKO g^A.nrogeHKO TOpMeno^b3ymrnflCH6yHeH u ac^ egoB u HHuefigo^^HM UCnO 员B30BaTbCE B KOMMepqeckux ue 贝EX.以下无正文。
虹口区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
虹口区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ）A ．∅B ．{x|x ＞0}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}可．2． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B的坐标为（，﹣），∠AOC=α，若|BC|=1，则cos 2﹣sincos﹣的值为（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣4． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（）A ．2160B ．2880C ．4320D ．86405． 如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]P ABC A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________6． 若一个球的表面积为12π，则它的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．D ．64332310．抛物线y 2=2x 的焦点到直线x ﹣y=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知椭圆（0＜b ＜3），左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，则b 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右两个焦点，若在双曲线C 上存在点P 使∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，那么双曲线C 的离心率为（）A ． +1B ．2C ．D ．二、填空题13．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ． 14．设O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，过F 斜率为的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，直线AO 与l 相交于D ，若|AF|＞|BF|，则= ．15．的展开式中的系数为 （用数字作答)．16．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．17．（文科）与直线垂直的直线的倾斜角为___________．10x +-=18．已知关于 的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________三、解答题19．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计70后30154580后451055合计7525100（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．参考数据：P （K 2＞k ）0.150.100.050.0250.0100.005k 2.0722.7063.8415.0246.6357.879（参考公式：，其中n=a+b+c+d ）20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，过F 2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M ，N 两点，直线F 1M ，F 1N 分别与直线x=4相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．21．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．22．（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；ξξ（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．23．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点（1）求证：直线AF∥平面BEC1（2）求A到平面BEC1的距离．24．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．（1）试探究函数f（x）的零点个数；（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．虹口区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选D．【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，2．【答案】B【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．故选：B．3．【答案】A【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos（﹣α）=，﹣sin（﹣α）=﹣，∴sin（﹣α）=．∴cosα=cos[﹣（﹣α）]=cos cos（﹣α）+sin sin（﹣α）=+=，∴sinα=sin[﹣（﹣α）]=sin cos（﹣α）﹣cos sin（﹣α）=﹣=．∴cos2﹣sin cos﹣=（2cos2﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα=﹣=，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．4．【答案】C【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15，又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320．故选C【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题． 5． 【答案】B 【解析】试题分析：三棱锥中，则与、与、与都是异面直线，所以共有三对，故选P ABC PA BC PC AB PB AC B ．考点：异面直线的判定．6． 【答案】A【解析】解：设球的半径为r ，因为球的表面积为12π，所以4πr 2=12π，所以r=，所以球的体积V==4π．故选：A ．【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力． 7． 【答案】B【解析】解：∵x ＞1∴x ﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x ﹣1=1时，x=2时取等号“=”故选B 8． 【答案】A 【解析】解：设=t ∈（0，1]，a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），∴a n =5t 2﹣4t=﹣，∴a n ∈，当且仅当n=1时，t=1，此时a n 取得最大值；同理n=2时，a n 取得最小值．∴q ﹣p=2﹣1=1，故选：A ．【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9． 【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:，故选B. 1444322⨯⨯⨯=考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10．【答案】C【解析】解：抛物线y 2=2x 的焦点F （，0），由点到直线的距离公式可知：F 到直线x ﹣y=0的距离d==，故答案选：C ． 11．【答案】D【解析】解：∵|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=6，|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，∴|AB|的最小值为4，当AB ⊥x 轴时，|AB|取得最小值为4，∴=4，解得b 2=6，b=．故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．【答案】A【解析】解：如图，∵∠F 1PF 2=90°，且满足2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，∴∠F 1PF 2=90°，∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，设|PF 2|=x ，则|PF 1|=，|F 1F 2|=2x ，∴2a=，2c=2x ，∴双曲线C 的离心率e==．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用． 二、填空题13．【答案】 （0，）∪（64，+∞） ．【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），又f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，∴x＞64或0＜x＜．即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}故答案为：（0，）∪（64，+∞）【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．14．【答案】 ．【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）∴直线OA的方程为：y=，联立，解得D（﹣，﹣）∴|BD|==，∵|OF|=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质． 15．【答案】20【解析】【知识点】二项式定理与性质【试题解析】通项公式为:令12-3r=3，r=3．所以系数为：故答案为：16．【答案】【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（－x）（e－x＋a e x）＝x（e x＋a e－x），∴a（e x＋e－x）＝－（e x＋e－x），∴a＝－1.答案：－1π17．【答案】3【解析】π3考点：直线方程与倾斜角．18．【答案】【解析】因为在上恒成立，所以，解得答案：三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X～B（3，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，其分布列如下：X0123P（每算对一个结果给1分）∴E（X）=3×=2．（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，K2==≈3.030＞2.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，∴，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，，设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），则直线F 1M ：，令x=4，得P （4，），同理，Q （4，），∴=||=15×||=180×||，令μ=∈[1，），则=180×，∵y==在[1，）上是增函数，∴当μ=1时，即t=0时，（）min =．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）根据直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数，得x+y ﹣=0，直线l 的直角坐标方程为x+y ﹣=0，∵圆C 的极坐标方程为p 2+2psin （θ+）+1=r 2（r ＞0）．∴（x+）2+（y+）2=r 2（r ＞0）．∴圆C 的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r 2（r ＞0）．（Ⅱ）∵圆心C （﹣，﹣），半径为r ，…（5分）圆心C 到直线x+y ﹣=0的距离为d==2，又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即d+r=3，∴r=3﹣2=1．【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识． 22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，∴所求概率为（6分）2244225516125C C P C C =-⋅=（Ⅱ） ，，，（9分）0,1,2,ξ=23253(0)10C P C ξ===1123253(1)5C C P C ξ⋅===22251(2)10C P C ξ===（10分）∴ （12分）3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=23．【答案】【解析】解：（1）取BC 1的中点H ，连接HE 、HF ，则△BCC 1中，HF ∥CC 1且HF=CC 1又∵平行四边形AA 1C 1C 中，AE ∥CC 1且AE=CC 1∴AE ∥HF 且AE=HF ，可得四边形AFHE为平行四边形，∴AF ∥HE，∵AF ⊄平面REC 1，HE ⊂平面REC 1∴AF ∥平面REC 1．…（2）等边△ABC 中，高AF==，所以EH=AF=由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是正三棱柱，得C 1到平面AA 1B 1B 的距离等于∵Rt △A 1C 1E ≌Rt △ABE ，∴EC 1=EB ，得EH ⊥BC 1可得S △=BC 1•EH=××=，而S △ABE =AB ×BE=2由等体积法得V A ﹣BEC1=V C1﹣BEC ，∴S △×d=S △ABE×，（d 为点A 到平面BEC 1的距离）即××d=×2×，解之得d=∴点A 到平面BEC 1的距离等于．…【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．24．【答案】【解析】解：（1），令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．∴f（x）在x=a时取得最大值，即①当，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→﹣∞∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（）即f（x）有2个零点；②当，即a=1时，f（x）有1个零点；③当，即a＞1时f（x）没有零点；（2）由得（0＜x1＜x2），=，令，设，t∈（0，1）且h（1）=0则，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0即，又，∴f'（x0）=＜0．【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学生的综合能力有比较高的要求．。
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1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q= _______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-L则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A B CD-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<L且[]12,,,0,8nx x xπ∈L（10n≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-L ，则M 的最大值等于 ．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．.A ()1f x x =+ .B ()sin cos f x x x =⋅ .C ()arccos f x x = .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅u u u v u u u v ，当PM PN ⋅u u u u v u u u v取得最小值时，实数k 的值为（ ）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A.B 4 .C.D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程P 2P 1C 1A N 2N 1210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=u u u r u u r u r ，则称此“向量列”为“等差向量列”，d u r 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b u u r ，如果01ρρ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅u u u r u u r（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a u u r 是“等差向量列”，用1a u r 和“公差向量”d u r 表示12n a a a +++u r u u r u u rL ；（2）已知{}n a u u r 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =u r ，1(1,1)a =u r ，(,)n n n a x y =u u r ；{}n b u u r是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =u r ，(,)n n n b m k =u u r .求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅u r u r u u r u u r u u r u u rL ．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.x（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.） 已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x=-（x R ∈）. （1）如果x =2是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[,1)2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++L L 成立的充要条件是3a ≥．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ； 三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1）Q 12ABC S ∆= ，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分 （2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12P M ，1PC . Q 12A N ∥1PC ，1AM ∥12P M ，∴ 21M PC∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分Q121PM AM ==1PC =，2M C = . ∴211cos 2M PC ∠==-.∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为122z i =±.…………2分 1cos 2A ∴=，sin A = ，3A π= .…………4分∴5sin sin12C π==，sin sin c a C A=，得c =7分 （2）Q 2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 1sin 2S bc A ==.∴ABC ∆.……………14分 19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =u u r ，12(,)d d d =u r .由1n n a a d +-=u u u r u u r u r ，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y P 2P 1C 1A N 2N 1是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++u r u u r u u r L L L 11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d =+-u v u v.………………6分（2）设(,)n n n a x y =u u r ，(,)n n n b m k =u u r.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=u u u r u u r，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=u u u r u u r得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++u r u r u u r u u r u u r u u rL L L令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯L L ………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L …………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅L ，得5(35)2nn S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--L 从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+u r u r u u r u u r u u r u u rL ………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上 当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m=，代入椭圆方程得22220m y m -==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n=-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mxny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆=（2）Q 点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,P.:BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mxl ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-u r ，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---u u u u r ，2(1,)MF m n =--u u u u r ，记d u r 与1MF u u u u r 的夹角α，d u r 与2MF u u u u r的夹角β.………12分11cos d MF d MF α⋅====u r u u u u r u r u u u u r22cos d MF d MF β⋅====u r u u u u r u r u u u u r ，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1)由3((022a a -+--≤，得3a ≥ ………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=----当x x -<<121 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->121x x <，122x x -<+ 有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g x g x -<.………………6分当1202x x ≤<≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1202x x ≤<， 120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->.∴ ()g x 在(1,2-递减，在[0]2和[0,1)上递增，从而在[,1)2上递增.………10分(3) 充分性：当3a ≥-时，有3(022222a f a a -=---=--≤，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[内的图像连续不断，故在[内一定存在零点q 且1q < ，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++L L .……14分 必要性：当0q =时，0a =. 当0q ≠时，由4732n a q q q q-=+++++L L 成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q=-，由（2）中的结论可知3()1xg x x =-在(1,]2-递减，在[,1)2递增，从而，1()32g x ≤<-或()3g x ≥.从而31qa q=-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。