章末质量检测11

《金版新学案》高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『理科』卷(十一)极限 导数 数系的扩充——复数——————————————————————————————————————【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．只有一项是符合题目要求的)1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－12．li m x →－1 x 2＋3x ＋2x 2－1的值等于( )A ．2 B.12C ．－12D ．－23．设复数z 满足1＋2iz＝i ，则z 等于( )A ．－2＋iB ．－2－iC ．2－iD ．2＋i4．已知M ＝{1,2，(a －1)＋(b －5)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，实数a 与b 的值分别是( )A ．－4,5B ．4,5C ．－4，－5D ．4，－55．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 226．等式12＋22＋32＋…＋n 2＝12(5n 2－7n ＋4)，则( )A ．n 为任何正整数时都成立B ．仅当n ＝1,2,3时成立C ．当n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ．仅当n ＝4时不成立7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π49．设正数a ，b 满足li m x →2 (x 2＋ax －b )＝4，则li m n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n等于( )A ．0 B.14C.12D ．1 10．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为 ( )A.⎣⎡⎦⎤12，12e π2B.⎝⎛⎭⎫12，12e π2 C.⎣⎡⎦⎤1，e π2 D.⎝⎛⎭⎫1，e π2 11．已知等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，且li m n →∞ S nS 2n＝S 存在，对所有这样的等比数列，记集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫S |S ＝li m n →∞ S n S 2n ，则M 的非空子集的个数为 ( )A ．1B ．3C ．6D ．712．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )①f (x )＞0的解集是{x |0＜x ＜2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值．A ．①③B ．①②③C ．②D ．①② 第) 13．已知复数z 1＝4＋2i ，z 2＝k ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数k ＝____.14．li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤13－19＋127＋…＋(－1)n －113n ＝________. 15．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (0)]＝______；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝____.16．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知z ＝a －i1－i(a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝2x 2＋b ，已知它们的图象在x ＝1处有相同的切线．(1)求函数f (x )和g (x )的解析式；(2)若函数F (x )＝f (x )－m ·g (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，3上是单调减函数，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ln(x ＋a )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))的切线方程；(2)当x ＝－1时，f (x )取得极值，求a 的值，并求f (x )的单调区间．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．22．(本小题满分12分)设实数q 满足|q |＜1，数列{a n }满足：a 1＝2，a 2≠0，a n ·a n ＋1＝－q n.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)猜想{a n }的通项公式并证明； (3)如果li m n→∞S 2n ＜3，求q 的取值范围． 答案：卷(十一)一、选择题1．B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.2．C 原式＝li m x→－1(x ＋1)(x ＋2)(x －1)(x ＋1)＝li m x →－1 x ＋2x －1＝－1＋2－1－1＝－123．C 由1＋2i z ＝i 得：z ＝1＋2ii＝2－i.4．B 由题意知(a －1)＋(b －5)i ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝3b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝5. 5．D ∵点(2，e 2)在曲线上， ∴切线的斜率k＝y ′||x ＝2＝e xx ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)． 即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22.6．B 可代入验证，n ＝4时，左边＝30，右边＝28，左边≠右边；n ＝5时，左边＝55，右边＝47，左边≠右边，故选B. 7．B ∵z ＝1－i ，∴z 2－2z ＝(1－i)2－2(1－i)＝－2， 又z －1＝(1－i)－1＝－i. ∴z 2－2z z －1＝－2－i ＝2i ＝2i －1＝－2i. 8．D 由题意得：f ′(x ) ＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)，令x ＝0得f ′(0)＝－f ′(2)， 令x ＝1得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝1， ∴f ′(0)＝－1，即f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为－1，∴倾斜角为34π.9．B 由li m x →2(x 2＋ax －b )＝4，得4＋2a －b ＝4，即b ＝2a .∴li m n →∞a n ＋1＋abn －1a n －1＋2b n＝li m n →∞a2n －1＋11a ·2n －1＋4＝14.10．A f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是⎣⎡⎦⎤0，π2上的增函数． ∴f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，12e π2.故应选A. 11．D 由题意可知，当|q |≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q，故S n S 2n ＝1－q n1－q 2n. 当|q |＞1时，S ＝li m n →∞ 1q 2n －1q n1q 2n－1＝0；当0＜|q |＜1时，li m n →∞ 1－q n1－q2n ＝1； 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S ＝li m n →∞ S n S 2n＝12，当q ＝－1时，S ＝li m n →∞ S nS 2n不存在故满足要求的M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1，从而推知非空子集有7个，选D.12．D 由f (x )＝(2x －x 2)e x＞0可得0＜x ＜2，故①正确；又f ′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝(2－x 2)e x ＝0可得，x ＝±2，且当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＜0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (－2)是极小值，f (2)是极大值，即②正确．根据图象的特点易知③不正确．故选D.二、填空题13．【解析】 z 2＝k －i ，z 1·z 2＝(4＋2i)(k －i)＝(4k ＋2)＋(2k －4)i ， 又z 1·z 2是实数，则2k －4＝0，即k ＝2. 【答案】 2 14．【解析】 原式＝li m n →∞13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n 1－⎝⎛⎭⎫－13＝li m n →∞ 14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n＝14(1－0)＝14. 【答案】 1415．【解析】 由函数图象可知f (x )的解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2≤x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2. f ′(1)＝－2.【答案】 2 －2 16．【解析】 题意即e x ＋a ＝0有大于0的实根，数形结合令y 1＝e x ，y 2＝－a ，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得－a ＞1⇒a ＜－1【答案】 a ＜－1 三、解答题17．【解析】 ∵z ＝a －i1－i，∴ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a (a ＋1)2i. 由a (a ＋1)2－a ＋12＝32，得a 2＝4.又a ＞0，∴a ＝2.∴ω＝32＋3i.18．【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝2＋b ，3＋a ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝2x 2(2)∵F (x )＝f (x )－mg (x )＝x 3＋x －2mx 2， ∴F ′(x )＝3x 2－4mx ＋1若x ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，F (x )是减函数，则3x 2－4mx ＋1≤0恒成立，得 ⎩⎪⎨⎪⎧F ′⎝⎛⎭⎫12≤0F ′(3)≤0∴m ≥7319．【解析】 (1)a ＝0时，f (x )＝x 2＋ln x .f ′(x )＝2x ＋1x，k ＝f ′(1)＝3，f (1)＝1. 故切线方程为： y －1＝3(x －1) 即y ＝3x －2.(2)f ′(x )＝2x ＋1x ＋a，由f ′(－1)＝0，得a ＝32.从而f ′(x )＝2x ＋1x ＋32＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝(2x ＋1)(x ＋1)x ＋32.又f (x )定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞， 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，f ′(x )＞0.⎝⎛⎭⎫－32，－1为函数的单调递增区间． 同理可得⎝⎛⎭⎫－1，－12为函数的单调递减区间，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞为函数的单调递增区间． 20．【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x ＜1时，f ′(x )＞0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0； 当x ＞2时，f ′(x )＞0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)＞0或f (1)＜0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a ＜2或a ＞52.21．【解析】 (1)由题意，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2.①当a ≥0时， f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，令f ′(x )>0，得x >－a ，∴f (x )的单调增区间为(－a ，＋∞)．(2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax2①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为增函数，∴[f (x )]min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去)．②a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为减函数，∴[f (x )]min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，－a )上为减函数，当－a <x <e 时，f ′(x )>0 ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴[f (x )]min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e综上所述，a ＝－ e.22．【解析】 (1)∵a 1·a 2＝－q ，a 1＝2，a 2≠0，∴q ≠0，a 2＝－q2.∵a n ·a n ＋1＝－q n ，a n ＋1·a n＋2＝－qn ＋1， 两式相除，得a n a n ＋2＝1q，即a n ＋2＝q ·a n .∴a 3＝2q ，a 4＝－12q 2，a 5＝2q 2.(2)由a 1，a 2，a 3，a 4，a 5猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2q k －1，n ＝2k －1(k ∈N )，－12q k ，n ＝2(k ∈N). 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1,2时显然成立．②假设n ＝2k －1时，a 2k －1＝2·q k －1，则n ＝2k ＋1时，由于a 2k ＋1＝q ·a 2k －1.∴a 2k ＋1＝2·q k，即n ＝2k －1成立，可推知n ＝2k ＋1也成立．假设n ＝2k 时，a 2k ＝－12q k ，则n ＝2k ＋2时，由于a 2k ＋2＝q ·a 2k ，所以a 2k ＋2＝－12q k ＋1，这说明n ＝2k 成立，可推知n ＝2k ＋2也成立．综上所求，对一切正整数n ，猜想都成立．这样所求通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·q k －1，n ＝2k －1(k ∈N )，－12q k ，n ＝2k (k ∈N). (3)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)－12(q ＋q 2＋…＋q n )＝2(1－q n )1－q －12·q (q －q n)(1－q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q n 1－q ⎝⎛⎭⎫4－q 2. 由于|q |＜1，li m n →∞q n＝0，故li m n →∞S 2n＝li m n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q n 1－q ⎝⎛⎭⎫4－q 2＝4－q 2(1－q ). 依题意，知4－q 2(1－q )＜3，并注意1－q ＞0，|q |＜1，解得－1＜q ＜0或0＜q ＜25.。