2.3数学归纳法(上课)

这就是说，n＝k+1时也成立
所以等式对任何n∈N*都成立 该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提 下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早 事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
思考3：下面是某同学 用数学归纳法证明等式 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 1 （n∈N＊） 2 3 2 2 2 2n 2n 成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？ 第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合 数学归纳法的证明要求 1 1 证明：①当n=1时，左边＝ 1 , 右边＝ 1 1 , 等式成立 2 2 2 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ 1 , ②假设n=k时，等式成立， 即 2 3 k k 2 2 2 2 2
优点：可以帮助我们从一些具体事
例中发现一般规律 缺点：仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的
在使用归纳法探究数学命题时，必 须对任何可能的情况进行论证后，才能 判别命题正确与否。
思考1：与正整数n有关的数学命题能否 通过一一验证的办法来加以证明呢？ 思考2：如果一个数学命题与正整数n有 关,我们能否找到一种既简单又有效的证 明方法呢？
并 用上假设。
思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某 同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同 学得到的结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1 则当n=k+1时 2+4+6+…+2k+2(k+1) ＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1
证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。
数学归纳法 这种证明方法就叫做______________。
证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：
(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立
* n N 0 , n0 =1或n0 =2或n0 =3等 （基础）
* n k k N , k n0 时,命题成立 (2)假设当
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。

因此数学归纳法是一种科学的递推方法
(1)是递推的基础 (2)是递推的依据
例2、用数学归纳法证明： 1 3 5 ( 2k 1) ( 2k 1) ( k 1)2 1+3+5+…+(2n-1)＝n2
(1) n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立； (2)假设n＝k时，等式成立，即
*
an a1 n 1 d
像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理 方法，叫做归纳法。
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学 n 2 家，他曾认为，当n∈N时，2 一定都是 1 质数，这是他观察当n＝0，1，2，3，4时 的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉 5 2 （Euler）发现 2 ＝ 294 967 297＝ 4 1 6700417×641，从而否定了费马的推 测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
思考： 步骤 (1) 中n取的第一个值n0一 定是1吗？为什么？
答：不一定
举例说明：用数学归纳法证明 n边形 n n 3 的对角线的条数是 2 此时n取的第一值 n0 3
课堂小结
1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题 递推基 础 2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：
n(n 1)( 2n 1) 1 2 3 n 6
2 2 2 2
证明：
1 2 3 1 （1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝ 6
等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
k (k 1)( 2k 1) 1 2 3 k 6
2 2 2 2
这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
举例说明：
一个数列的通项公式是： an= (n2－5n+5)2 请算出a1= 1，a2= 1，a3= 1 ，a4= 1 猜测an＝? 猜测是否正确呢？
对一切n N ，都有an (n 5n 5) 1
2 2

由于a5＝25 ≠1，所以猜测是不正确的
所以由归纳法得到的结论不一定可靠
思考：归纳法有什么优点和缺点？
n0 1或2等）时命题成立 （1）证明当 n 取第一个值 n （如 0
（2）假设 n k ( k N 且k n0 ) 时命题成立 证明 n k 1 时命题也成立 递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立 3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷 。
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知等式对任何 n N 都成立

上述结论是容易理解的 ：根据（ 1 ），n 1 时等式成立，再根据（ 2），n 1 1 2时等式 也成立。由于n 2时等式成立，再根据（ 2）， n 2 1 3时等式也成立，这样递 推下去，就 知道n 4， 5， 6， 时等式都成立，即等式 对任 何n N 都成立。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础） （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
1 思考：你认为证明数列的通项公式 a n n 是
证明：（1）当n=1时， 左边
a1 , 右边 a1 0 d a1 ,
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a1 ( k 1)d ,
那么 a a d [a1 (k 1)d ] d k 1 k
a1 [(k 1) 1]d
当n k 1时，需要证明的式子是 ：
1+3+5+…+(2k-1)＝k2
那么当n＝k+1时，
需要证明的式子是?
1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）
＝k2+（2k+1）＝（k+1）2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
∴由①、② 可知对任何n∈N*时，等式都成立
例题3 用数学归纳法证明
1 [1 ( 1 )k 1 ] 1 . 2 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋＋ 1 1 2 1 k 1 1 2 2 2 23 2 2 k 2k 1 1 2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立
那么n=k+1时
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立
因此，用数学归纳法证明命 题的两个步骤，缺一不可。第一 步是递推的基础，第二步是递 推的依据。缺了第一步递推失 去基础；缺了第二步，递推失去 依据，因此无法递推下去。
1 ( 2)假设当n k时，ak 成立，则当n k 1时， k 1 ak 1 k ak 1 ，也成立， 1 ak 1 1 k 1 k 1 综上（ 1 ）（2）知，an . n
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
① ② ③ 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，
证明当 n k 1时,命题也成立 （依据）
完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 n0 开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法
验证n=n0时 命题成立
若n=k(k≥n0)时命题成立,
证明n=k+1时命题也成立.
归纳奠基
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
例1 如果 {a n } 是等差数列，已知首项为 a1 公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d 对一切n N 都成立 试用数学归纳法证明
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
变式：用数学归纳法证明：
n 1n 2n n 2n 1 3 5 2n 1
an 对于数列 {an }，已知a1 1，an 1 (n 1,2,3, ), 1 an 1 证明：an n 1 证明：（1 ）当 n 1时， a1 1成立； 1
2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法
课题引入
观察数列 {an },已 知a1 1, an1 1 1 a2 , a3 , a 1 , 4 2 3 4