《数值分析》实验考试大纲
数值分析复习提纲
第一章基础
掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。
了解：误差限，算法及要注意的问题。
第二章插值
掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。
了解：Lagrange插值
第三章数据拟合
掌握：给出几个点求线性拟合曲线。
了解：最小二乘原理
第四章数值积分微分
掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss 积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形
公式推导及算法。
了解：数值微分，积分余项
第五章直接法
掌握：LU分解求线性方程组，运算量
了解：Gauss消去法，LDL，追赶法
第六章迭代法
掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径
了解：SOR迭代
第七章Nolinear迭代法
掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。
了解：二分法，弦截法
第八章ODE解法
掌握：Euler公式构造、收敛阶。
了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式题目类型：填空，计算，证明综合题
ＱＱ：１３３６６４８３
地点：数学１０２。
数值分析复习提纲
标注页码均为《应用数值分析》第三版页码
一、基本概念
1. 绝对误差和相对误差 定义：设数 a 是准确值，x 是 a 的一个近似值，则
记 e a x 为近似值 x 的绝对误差， er a x / a e / a 为近似值 x 的相对误差，由于
有些情况下准确值 a 未知，实际计算中相对误差可改用式 er a x / x e / x 。
P 67 例 2-35
基本原理：应用定理 2-9，对列分块的矩阵 A 作初等反射变换将其化简为上三角阵。
-2
例：已知矛盾方程组
Ax=b，其中
A=
1
2
1
1
0
，b
1
，用
Householder
方法求矩阵
-
10
1
11
A 的正交分解，即 A QR 。
若 e a x x ，称x 为数 a 的近似值 x 的绝对误差限；若 er a x / x r x ，称 r x
为相对误差限，显然有 r x x / x 。
2. 有效数字
先做绝对误差运算 e a x ，然后得到使 e 1 10n 成立的最大整数值 n。 2
0 a12
，U
ann1 0
a1n
。
an
1n
0
迭代分量形式：
xik 1
bi
n
aij
x
j
k
数值分析实验教学大纲
数值分析实验教学大纲本课程是学生进行科学计算的入门课程,它是学生今后从事计算数学及算法设计的基础。
本课程的实验主要包括插值，数值逼近，数值积分，数值微分，范数计算，高斯消去法,雅可比和高斯-塞德尔迭代法，二分法,Newton迭代法等，矩阵特征值计算方法（鬲法）。
三、实验目的要使学生具备能够利用数学软件编程解决数值分析问题的能力，把抽象的数学转换成实际应用的能力。
要求掌握矩阵分析、数值插值、数值逼近，曲线拟合、数值微积分、线性和非线性方程组的数值解法等数值计算方法；并利用数学软件解决具体问题。
上机实验的目的，绝不仅仅是为了验证教材和讲课的内容，或者验证自己所编写的程序的正确与否。
程序设计课程上机实验的目的是：1.加深对讲授内容的理解，尤其是一些算法实现；2,熟悉所用的操作系统；3 .学会上机调试程序，通过反复调试程序掌握根据出错信息修改程序的方法；4 .学会分析结果，验证算法的理论。
四、实验内容与要求（-）插值法1 .实验目的(1)掌握插值方法原理；(2)掌握插值方法计算步骤。
(3)掌握插值方法的实现。
2 .实验内容(1)插值法的实现；(2)具体例子的验证,通过插值程序观察龙格振荡现象。
(二)数值逼近1 .实验目的(1)掌握最佳平方逼近原理；(2)掌握最佳平方逼近计算步骤。
(3)掌握最佳平方逼近算法的实现。
2 .实验内容(1)最佳平方逼近算法的实现；(2)具体例子的验证。
(H)数值积分1 .实验目的(1)掌握数值积分原理；(2)掌握数值积分计算步骤。
(3)掌握数值积分的实现。
2 .实验内容(1)数值积分的实现；(2)具体例子的验证。
(四)范数计算1 .实验目的(1)掌握范数计算原理；(2)掌握范数计算的实现。
2 .实验内容(1)范数计算的实现；(2)具体例子的验证。
(五)线性方程组的直接解法1 .实验目的(1)掌握高斯消去法；(2)掌握矩阵的1U分解。
2 .实验内容(1)高斯消去法的实现；(2)具体例子的验证。
研究生数值分析考试提纲(删减版)
研究生数值分析考试提纲
注：*为须记的计算公式; 笔试要带计算器！
第一章
1 舍入误差和截断误差的概念和估计方法；
2 误差限，相对误差限，准确位数，有效数字。
第二章
1 Gauss消去法和选列主元的Gauss消去法；
2 三对角方程组的追赶法；
3 LU分解法；
4 平方根法和改进的平方根法；
5 范数和条件数；
6 数据扰动分析。
第三章
1 二分法；
2 迭代法及其收敛性条件，收敛阶；
3 Newton迭代法*；
4 迭代加速法；(删)
5 解方程组的Jacobi法和G-S法；
6 解方程组迭代法的收敛性条件。
第四章
1 低阶Lagrange插值公式*及余项公式(推导和计算)；
2 Hermite插值公式及余项公式(推导)；
3 Newton插值法(删)；
4 分段线性插值和分段Hermite插值：余项及步长选取；
5 三阶样条插值的概念和求法；
6 最小二乘拟合的基本原理和法方程组；
7 正交最小二乘拟合。
(删)
第五章
1 用插值推导求积公式；
2 用代数精度推导求积公式；；
3 数值积分余项公式推导；
4 复化梯形法*和复化Simpson法*：计算、余项及步长选取；
5 用插值推导数值微分公式及余项。
第六章
1 Euler法*、隐式Euler法*和改进Euler法*计算；
2 分别用数值微分法和数值积分法推导差分格式；
3 预报-校正格式的构造；
4 局部截断误差和二阶R-K法的构造；
5 差分格式收敛性定理和稳定区域分析；(删)
6 微分方程组的差分法和高阶微分方程的处理。
《数值分析》课程实验教学大纲
《数值分析》课程实验教学大纲
课程名称（中文）：数值分析
课程编码：由学校统一编定
课程性质：非独立设课课程属性：数学实验
教材及实验指导书名称：《数值分析实验与实习》
学时学分：总学时80 实验学时24 总学分5
应开实验学期：第五学期
适用专业：信息与计算科学、数学
先修课程：高等代数、数学分析、常微分方程、Matlab语言及程序设计
一、课程简介
《数值分析》是信息与计算科学的专业基础理论核心课程。
本门课程研究用计算机求解各种数学问题的数值计算理论与方法，是后续信科专业课程的理论与实践基础。
二、课程实验的目的与要求
1．掌握数学软件平台Matlab的数值计算。
2．掌握工程中数学模型的科学计算。
3．掌握数值算法的设计与实验。
三、实验内容
四、实验方式与要求
实验方式：
上机编程与实验操作。
注意事项：
1．实验前，学生要认真预习实验指导书，明确实验目的和要求，掌握与实验相关的算法设计与Matlab知识；
2．实验中认真记录所得到的实验结果；
3．掌握程序设计的思想与Matlab的应用；
4．对所做实验得出结论，编写实验报告。
五、考核方法
按完成的实验报告评定成绩，并入课程总成绩，占24/80。
撰写人：曾繁慧
系主任：胡行华
教学院长：董春胜
理学院应用数学系。
博士研究生入学《数值分析》考试大纲 - 广东工业大学
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章内积空间，正规矩阵，Hermite矩阵3.1欧式空间，酉空间；3.2标准正交基，Schmidt方法；3.3酉变换和正交变换；3.4幂等矩阵，正交投影；3.5正规矩阵，Schur引理；3.6Hermite矩阵, Hermitee二次齐式；3.7正定二次齐式，正定Hermite矩阵；3.8Hermite矩阵偶在复相合下的标准形；3.9 Rayleigh商；第四章矩阵分解4.1矩阵的满秩分解；4.2矩阵的正交三角分解（UR，QR分解）；4.3矩阵的奇异值分解；4.4矩阵的极分解；4.5矩阵的谱分解；第五章向量与矩阵范数5.1向量范数；5.2矩阵范数；5.3诱导范数；5.4矩阵序列与极限；5.5矩阵幂级数；第六章矩阵函数6.1矩阵多项式，最小多项式；6.2矩阵函数及计算；6.3矩阵函数的幂级数表示；6.4矩阵指数函数与矩阵三角函数；第七章函数矩阵与矩阵微分方程7.1函数矩阵；7.2函数矩阵对纯量的导数与积分；7.3函数向量的线性相关性；7.4矩阵微分方程()()() dX tA t X tdt=；7.5线性向量微分方程()()()() dX tA t X t f tdt=+；第八章矩阵的广义逆8.1广义逆矩阵；8.2自反广义逆；8.3伪逆矩阵；8.4广义逆与线性方程组参考书目：1 《矩阵分析》，史容昌，北京理工大学出版社2 《矩阵分析引论》，陈祖明，北京航空航天大学出版社。
数值分析考试大纲
西南科技大学本科课程考试大纲《数值分析》课程考试大纲一、本课程考试目的《数值分析》是根据国家教育部关于“数值计算方法”课程的基本要求，为理工科大学的本科高年级所开设的必修课，它着重学习以数学问题为对象，相关模型为背景，其研究适用于工程计算、科学计算的数值计算方法及相关的控制理论。
通过本门课程的学习，使学生具有必要的、正确的、科学思维方法，具有掌握常用的基本的数值计算能力和应用能力，为后继应用计算机进行工程、科学计算打下必要的应用型基础。
二、考试题型及分数分配填空题、选择题（4题、20分）、计算题（6题、60分）、证明题（1题、10分）。
三、课程考核办法平时成绩（包括课堂考勤、课堂练习、课后作业及上级练习等）30%，期末考试(闭卷) 70%。
第一章数值分析中的误差理论及分析主要内容、教学及复习要点:1.了解数值分析中所研究的对象、模型，所用方法和主要特点.2.了解误差产生的原因及四种分类.3.重点掌握近似数精确度的三种具体表示法及相应函数下的绝对误差,相对误差和有效数字.4.熟悉、掌握数值计算中应注意的一些问题.第二章解线性方程组的直接方法主要内容、教学及复习要点:1.理解高斯消去法的基本思想，掌握高斯列主元消去法的具体计算步骤。
2.重点掌握杜氏分解，具体分解方法和步骤；掌握利用杜氏分解求方程组解的计算公式。
3.掌握解三对角方程的追赶法。
4.熟悉向量范数和矩阵范数的概念，并掌握几种常用的向量与矩阵范数的计算。
5.理解方程组的“状态”和条件数，会判断其状态并求条件数。
6.掌握求解超定线性方程组的最小二乘法。
第三章解线性方程组的迭代方法主要内容、教学及复习要点:1.了解迭代法的一般形式，理解迭代格式收敛的定义，会构造相应问题的迭代格式。
理学院2.重点掌握Jacobin迭代格式的分量形式及矩阵形式，以及用J迭代法求解线性方程组近似解的步骤。
3.重点掌握高斯—赛德尔迭代格式的分量形式及矩阵形式，以及用高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组近似解的步骤。
数值分析考试大纲
数值分析》考试大纲一、考试标准(命题原则)1、考察学生对数值分析的基础知识（包括基本概念、基本内容、基本定理）的掌握程度以及运用已掌握的知识分析和解决问题的能力，衡量学生的数值分析及计算的能力。
2、题型比例客观题（判断题、填空题与选择题）约30--40%解答题（包括证明题）约60--70%3、难易适度，难中易比例：容易：40%，中等：50%，偏难10%。
4、考试知识点复盖率达80%以上。
二、考试时间：120分钟（2个小时）三、考试对象：数学与应用数学专业本科生四、考核知识点第一章引论(一)、知识点§1 数值分析的研究对象§2 数值计算的误差§3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害§4 矩阵、向量和连续函数的范数(二)、基本要求1、了解向量和矩阵范数的定义和计算2、了解误差分析第二章插值法(一)、知识点§1 Lagrange插值§2 均差与Newton插值公式§3 插值余项的Peano估计§4 差分与等距节点插值公式§5 Hermite插值§6 分段低次插值§7 三次样条插值的计算方法§8 三次样条插值函数的性质与误差估计§9 B-样条函数§10 二元插值(二)、基本要求1、理解插值概念和插值问题的提法2、熟练掌握插值基函数、拉格朗日插值公式，会用余项定理估计误差3、掌握差商的概念及其性质，熟练掌握用差商表示的牛顿插值公式4、掌握埃米尔特插值、分段插值的定义和特点第三章函数逼近(一)、知识点§1 正交多项式§2 函数的最佳平方逼近§3 最小二乘法§4 周期函数的最佳平方逼近§5 快速Fourier变换§6 函数的最佳一致逼近§7 近似最佳一致逼近多项式§8 Chebyshev节约化(二)、基本要求1.了解正交多项式定义2．理解函数的最佳平方逼近3．掌握最小二乘法4．掌握周期函数的最佳平方逼近5．了解快速Fourier变换6．理解函数的最佳一致逼近7．了解近似最佳一致逼近多项式8．掌握Chebyshev节约化第四章数值积分和数值微分(一)、知识点§1 Newton-Cotes求积公式§2 复合求积公式§3 Peano的误差表示§4 Gauss求积公式§5 Romberg求积公式§6 奇异积分与振荡函数的积分§7 二维近似求积(二)、基本要求1、理解数值求积的基本思想，代数精度的概念2、熟练掌握梯形、辛普生等低价牛顿-柯特斯求积公式3、掌握复化求积公式：复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式4、掌握龙贝格求积公式5、掌握高斯求积公式的定义和特点6、掌握几个数值微分公式第五章解线性代数方程组的直接方法(一)、知识点§1 Gauss消去法§2 主元素消去法§3 直接三角分解方法§4 矩阵的奇异值和条件数，直接方法的误差分析§5 解的迭代改进§6 稀疏矩阵技术介绍(二)、基本要求1、了解向量和矩阵范数的定义和计算2、掌握高斯消去法、按列选主元的高斯消去法、三角分解法3、了解求解特殊方程组的追赶法和Cholesky平方根法第六章解线性代数方程组的迭代方法(一)、知识点§1 迭代法的基本概念§2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛(SOR)迭代法§4 共轭梯度法(二)、基本要求1、掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法2、了解方程组右端项和系数矩阵的扰动对解的影响、方程组解法的误差分析第七章非线性方程和方程组的数值解法(一)、知识点§1 单个方程的迭代法§2 迭代加速收敛的方法§3 Newton迭代法§4 割线法与Muller方法§5 非线性方程组的不动点迭代法§6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法(二)、基本要求1.掌握单个方程的迭代法2．了解迭代加速收敛的方法3．掌握Newton迭代法4．掌握割线法与Muller方法第八章代数特征值问题计算方法(一)、知识点§1 特征值问题的性质和估计§2 正交变换及矩阵分解§3 幂迭代法和逆幂迭代法§4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式§5 QR方法§6 对称矩阵特征值问题的计算(二)、基本要求1.了解特征值问题的性质和估计2．理解正交变换及矩阵分解3．掌握幂迭代法和逆幂迭代法4．了解正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式5．掌QR方法6．掌握对称矩阵特征值问题的计算第九章常微分方程初值问题的数值解法(一)、知识点§1 基本概念、Euler方法和有关的方法§2 Runge-Kutta方法§3 单步法的收敛性、相容性与绝对稳定性§4 线性多步法§5 线性差分方程§6 线性多步法的收敛性与稳定性§7 一阶方程组与刚性方程组(二)、基本要求1、了解一阶常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念：步长、差分格式、单步法、多步法、显式法、隐式法、局部截断误差、整体截断误差、方法的阶数2、掌握欧拉法、改进欧拉法、梯形格式3、掌握龙格--库塔法的定义和特点4、了解亚当姆斯线性多步法5、了解差分法的收敛性和稳定性概念6、了解常微分方程边值问题五、考试要求书面答卷，闭卷考试，自带计算器。
中国地质大学数学专业研究生入学考试复试加试科目《数值分析》考试大纲
中国地质大学研究生院
研究生入学复试《数值分析》考试大纲
（数学学科复试科目 ）
1、理解并掌握下列基本概念：绝对误差、相对误差、有效数字、算法的稳定性、直接法、迭代法、插值法、曲线拟合的最小二乘法、分段低次插值、三次样条插值、三弯矩方程组、求积公式的代数精度、复合求积、截断误差、局部截断误差。
2、能熟练地掌握下列数值计算方法：
（1）非线性方程求根的二分法、迭代法、牛顿法。
（2）能熟练地进行矩阵的三角分解。
（3）能熟练地应用高斯（Gauss）消元法、列主元消元法、矩阵的三角分解法解线性方程组。
（4）会求向量和矩阵范数、矩阵的条件数。
（5）能熟练地判定用雅可比（Jacobi）迭代法、高斯—赛德尔（Gauss－Se deral）迭代法解线性方程组是否收敛，并能根据给定的初值，迭代计算。
（6）会求拉格朗日（Lagelangri）插值基函数、差商；拉格朗日、牛顿（N ewton）、埃尔米特（Hermite）插值函数、三次样条插值函数，能应用拉格朗日插值余项公式解决相关问题。
（7）能确定求积公式的代数精度或待定参数，能应用几个低次牛顿—柯特斯（Cotes）公式求数值积分，掌握复合梯形公式、复合辛普生（Simpson）公式和复合柯特斯公式及两点、三点高斯公式。
（8）能用欧拉（Euler）公式及其变形公式、改进欧拉公式、龙格—库塔（R unge-Kutta）经典公式求微分方程的数值解，能用基于数值积分和泰勒（Taylor）展开的方法推导微分方程的数值公式并写出截断误差。
《数值分析复习提纲》word版
数值分析第一部分线性方程组的数值解法一、基本要求1、掌握每一种解法的基本思想，适用范围，收敛条件，计算公式以及误差估计.2、在应用中不同解法的异同、优劣，加深对算法的理解，最好能上机计算.二、主要概念及结果主要概念定义1.1 对于方程通过某种方法建立了迭代法（2.1.1）如果对于任何使得极限成立，则称该迭代法是收敛的.定义1.2 如果，对于，都有成立，则称A是严格对角占优的.主要算法与定理高斯(Gauss)消去法假设A的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为计算步骤为1） 把上面的第一个方程除以，在分别乘上后与第k 个方程相加（）,得到于是我们从第2到第n 个方程中消去了.2） 把上面的第二个方程除以，再分别乘上后与第k 个方程相加（）得到于是我们从第3到第n 个方程中消去了.3） 继续这个过程直到我们得到4） 由上面的最后一个方程很容易得到，然后按相反次序回代逐一计算出方程的解.高斯(Gauss)列主元消去法 假设A 的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为（1） 消元过程.对，进行以下运算： 1） 选主元.找行号，使得； 2） 交换中的ki k ,两行；3） 消元：对于； 对.（2） 回代过程.按下述公式；回代求解即可得到方程组的解.定理1.1 对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得Doolittle 分解 根据定理1.1，对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得.可以直接计算分解式中的诸元素.为此，我们假设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111,21323121n n n n l l l l l l L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-----nn n n n n n n n n u u u u u u u u u u U ,11,121,22211,11211用U 的第k 列（）乘L ，然后与A 的相应列比较，可以逐列（逐行）计算出L(U)的元素.定理1.2 设A 是一个对称正定矩阵，则存在唯一的下三角阵L ，其对角元素都是正的，使得定理1.3 设A 是一个对称正定矩阵，则存在一个单位下三角阵L和对角矩阵D，使得定理1.4 迭代法对于任意收敛的充分必要条件是，其中是迭代矩阵的谱半径.如果及假设A的对角元素，令A=D-L-U,其中D是A 的对角部分构成的矩阵.L和U分别是A的严格下（上）三角矩阵，则有以下几个具体算法：雅可比迭代法高斯-赛德尔迭代法关于这两个算法的收敛性有如下定理：定理1.5 如果方程组Ax=b的系数矩阵是严格对角占优的，则雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛.定理1.6 如果方程组Ax=b的系数矩阵是对称正定的，则高斯-赛德尔迭代法收敛.第二部分非线性方程的数值解法一、基本要求掌握每种方法的基本思想、迭代公式、收敛条件以及与其他方法的差异.二、主要概念及结果主要概念定义2.1 对于方程，通过某种方法建立了迭代法（2.1）如果存在使得极限，则称该迭代法是收敛的.主要算法与定理定理2.1 设有方程，如迭代函数在有根区间[a，b]上满足：（1）当时，；（2）在[a，b]上可导，且有，则有：（1）方程在[a，b]上有唯一的根*x；（2）对任意初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的唯一根*x，即；（3）误差估计定理2.2 设*x是方程的根，在*x的某个邻域内连续，且有，则必存在*x的一个邻域，对于任意选取的初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的根*x.二分法假设的隔根区间为，取，计算.如果，则取，否则取.继续这个过程直到取见足够的小，就可以把最后区间的中点作为方程的近似根.此法称为二分法.牛顿法计算公式定理 2.3 如果，且在*x的某个邻域内连续，则牛顿法是局部收敛的.弦截法计算公式第三部分插值法一、基本要求1、在算法上要求熟练掌握拉格朗日插值法，等距节点插值法，牛顿插值法.2、要求能按所给条件，选用适当的近似公式求出近似函数或计算出函数的近似值，并会估计其误差.二、主要概念及结果主要概念定义3.1 设在区间上有定义，且在上的个不同的点的函数值为，若存在一个代数多项式（3.1）其中为实数，使得成立，则称为函数的插值多项式，点称为插值节点.主要算法与定理定理3.1 在个互异节点上满足插值条件的次数不高于的插值多项式存在且唯一.拉格朗日插值多项式的一般形式 其中为插值基函数， 插值余项为其中是区间中的某一个值，且和x 有关，所以牛顿插值多项式及余项)())(](,,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N余项牛顿前插公式牛顿后插公式第四部分数值积分与数值微分一、基本要求掌握梯形求积公式、辛普森求积公式以及复化的梯形公式、复化的辛普森公式和龙贝格公式的构造方法.二、主要概念及结果主要概念定义4.1 若求积公式对于任意不高于次的代数多项式都准确成立，而对于次多项式却不能准确成立，则称该求积公式具有次代数精度.定义 4.2 将个节点的具有次代数精度的插值型求积公式称为高斯型求积公式，节点称为高斯点，称为高斯系数.主要算法与定理插值型求积公式其中牛顿-柯特斯公式其中梯形公式辛普森公式柯特斯公式其中复化梯形公式复化辛普森公式复化柯特斯公式其中龙贝格求积公式定理4.1 节点为高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不大于的多项式在上正交，即.第五部分常微分方程的数值解法一、基本要求掌握欧拉公式、经典的龙格-库塔公式二、主要概念及结果主要算法和定理显式欧拉方法隐式欧拉方法梯形公式预报-校正方法预估校正龙格-库塔方法二阶龙格-库塔公式经典的四阶龙格-库塔公式。
博士研究生入学考试《数值分析(机电院)》考试大纲
博士研究生入学考试《数值分析（机电院）》考试大纲第一部分考试形式和试卷结构一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。
二、考试时间：180分钟。
三、试卷内容结构：约占 60%，主观题约占 40%。
四、试卷题型结构：试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。
其中：1、选择/判断题，约占20%。
测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。
2、填空题，约占40%。
测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。
3、分析、计算题，约占40%。
测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。
第二部分考察的知识及范围1.误差度量与数值算法设计误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。
函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。
数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。
2.函数的插值方法以及误差估计插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。
拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。
牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。
埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。
三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。
3.函数逼近与曲线拟合正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。
最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。
最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。
《数值分析》考试大纲
《数值分析》考试大纲一、参考教材1.数值分析，李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社，2008年第5版。
2.数值分析，曾繁慧，中国矿业大学出版社，2009。
二、考核要求理解并熟练掌握误差概念，理解算法的数值稳定性、算法复杂度等误差的定性分析；理解非线性方程求根的数值计算原理，掌握二分法、不动点迭代法等方程求根的数值方法，会分析迭代法的收敛性与收敛阶，重点掌握牛顿迭代法；理解线性方程组的数值解法原理，掌握基本算法，理解直接法的稳定性与复杂度、方程组的病态性，理解掌握迭代法的收敛性；理解插值原理，熟练掌握离散数据的插值方法；理解三种函数逼近的准则，会求连续函数的最佳一致逼近及最佳平方逼近、离散数据的最小二乘逼近；理解数值微积分的原理，掌握基本数值方法及复化计算；掌握一阶常微分方程初值问题的基本数值解法。
三、考试内容、比例（一）绪论10%（1）绝对误差、相对误差、有效数字的概念；（2）一元函数、二元函数数值计算的误差估计；（3）算法的数值稳定性、算法复杂度，计算的有效算法，减小误差、控制误差的方法。
（二）非线性方程数值解法15%（1）非线性方程求根的原理及方法，会确定方程的有根区间；（2）二分法原理、二分法解方程；（3）不动点迭代法原理、步骤，收敛性与收敛阶定理，迭代计算及误差分析；重点是迭代法的收敛性与收敛阶；（4）迭代的加速方法：Aitken加速方法，Steffenson加速方法；（5）牛顿迭代法原理、算法及其收敛性；（6）改进的牛顿迭代法：简化牛顿法、牛顿下山算法和割线法，求重根的修正牛顿法。
（三）线性方程组的数值解法20%（1）高斯消去法的原理、可行性及算法的运算量，熟练应用高斯消去法计算；（2）理解小主元的不稳定性及主元素的思想，掌握列主元消去算法；（3）理解消元过程的矩阵解释，了解常用的矩阵分解，掌握LU算法，理解平方根法、追赶法的稳定性与复杂度；（4）掌握向量与矩阵的范数及矩阵的条件数，理解方程组的病态概念，掌握方程组的误差分析方法；（5）理解迭代法的思想，熟练掌握雅可比迭代法、高斯塞德尔迭代法与SOR 迭代法；理解迭代法的思想，掌握收敛性定理，会判别迭代法的收敛性。
exp-数值分析实验大纲
数值分析实验大纲
一、实验要求：
（1）实验程序编译通过并能得出正确结果；
（2）撰写实验报告，内容包括：实验名称、实验目的、实验内容、程序关键语句描写、实验结果、实验体会。
（3）两个人一组，自由组合。
二、基础实验
（1）xx日插值算法的实现
实验目的：a.验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值效果；b.验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。
（2）xx插值算法的实现
实验目的：a.验证插商的基本性质；b.比较拉格朗日插值与牛顿插值的插值结果；c.验证差分与插商的关系。
（3）xx公式的实现
实验目的：a.验证龙贝格公式的积分效果；b.验证龙贝格公式对复合梯形公式精度的提高。
（4）龙格-库塔方法与亚当姆斯方法相结合求解偏微分方程实验目的：a.验证亚当姆斯方法求解偏微分方程的正确性；b.验证亚当姆斯预报-校正系统的作用。
（5）利用二分法和xx公式求解方程的根
实验目的：a.验证牛顿公式的局部收敛性；b.比较二分法与牛顿公式的收敛速度；c.验证求解结果的正确性。
（6）运用雅克比和高斯赛德尔公式的求解方程组
实验目的：a.比较两种方法的收敛速度；b.验证收敛条件的正确性。
（7）列主元xx消去法的实现
实验目的：a.验证奇异方程的求解问题；b.验证选主元对方程解的影响。
三、拓展实验
运用数值分析的知识解决一个实际问题，要求
（1）问题描述
（2）数学模型
（3）求解方法描述（运用何种数值分析的算法及算法描述）（4）程序编写
（5）运行结果
四、成绩评定
考勤10分，剩余每个实验10分，最后一个实验20分。
《数值分析》考试大纲科目代码2002
《数值分析》考试大纲科目代码：基本内容与要求：1.数值分析的研究对象和内容2.误差知识与算法知识3.向量范数和矩阵范数一、线性方程组的解法1.消元法，包括：顺序消元法、选列主元消元法；2.矩阵三角分解法. 包括：直接三角分解法、选主元的分解、稀疏方程组的解法；3.病态方程组。
包括：矩阵条件数与方程组的性态、病态线性方程组的处理；4.迭代解法。
包括：简单迭代法及其收敛性、迭代法、－迭代法、迭代法。
二、矩阵特征值与特征向量的计算1.幂法和反幂法2.矩阵的分解三、非线性方程与方程组的迭代解法1.非线性方程的迭代法。
包括：简单迭代法的收敛性及收敛速度、迭代法2.非线性方程组的迭代法。
包括：简单迭代法及收敛性、迭代法和离散迭代法四、插值与逼近1.代数插值。
包括：一元函数的插值和插值、插值余项、分段低次插值2.插值。
包括：插值多项式的构造、余项估计和分段三次插值。
3.样条插值。
包括：样条插值的概念、三次样条插值的三弯矩方法4.正交多项式。
包括：正交多项式的定义、性质5.函数的最佳平方逼近及最小二乘拟合。
包括：最佳平方逼进的基本理论、正交多项式系在最佳平方逼近中的应用、曲线拟合、离散型正交函数系在最小二乘拟合中的应用6.曲面插值和拟合五、数值积分1.数值积分的基本概念2.插值型求积公式3.求积公式的收敛性及数值稳定性4.复化求积公式5.型求积公式六、常微分方程初值问题的数值解法1.显式单步法。
包括：显式单步法的一般形式、－法及其相容性、收敛性和稳定性分析。
2.线性多步法。
包括：线性多步法的一般形式、预估－校正法、相容性、收敛性和稳定性分析。
3.常微分方程初值问题的数值解法。
包括：算法的计算公式、稳定性分析。
4.。
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东华大学研究生《数值分析》实验考试大纲
教材：«数值分析及其MATLAB实验»姜健飞吴笑千胡良剑编
考试规则领座试卷不同，开卷，解答全部用笔写在考卷上，作图题只需手画草图。
开考前可将准备程序Copy到硬盘, 但是开考后不允许用软盘，也不允许上网。
评分原则每题20分，满分100分。
类型1：使用Matlab命令的计算题共3题
主要使用如下MATLAB命令解题：
第二章（1）用矩阵除法解线性方程组；
（2）行列式det、逆inv；
（3）特征值、特征向量eig；
（4）范数和条件数；
第三章81页（1）用roots求多项式的根；polyval(p,x)
（2）用fzero解非线性方程；
（3）用fsolve解非线性方程组；
第四章（1）多项式插值和拟合polyfit（线性插值和抛物插值程序参见4章习题3）
(2) 线性插值interp1
(3) 样条插值spline, csape
（4）最小二乘拟合lsqcurvefit
第五章(158页)（1）用diff或gradiet求导数
（2）用integral求积分；
（3）用integral2或integral3求重积分；
第六章（1）用ode45求解微分方程；
（2）用ode45求解微分方程组；
（3）用ode45求解高阶微分方程；
类型2：使用课本程序的计算题共1题（不必将课本程序部分写在考卷上，蓝色星号*程序需掌握如何使用）
第二章nagauss* nagauss2* nalu* nalupad*
第三章nabisect* nanewton* nags* naspgs* nasor*
第四章nalagr* naspline nafit naorthfit
第五章natrapz nagsint naromberg naadapt dblquad2
第六章naeuler naeulerb naeuler2 nark4 nark4v naeuler2s
类型3：编程题共1题(必须将程序写在考卷上）
要求使用MATLAB控制流语句编程，主要涉及for, while, if等语句以及关系与逻辑运算，M 函数编写。
第二章nagauss*(22页顺序Gauss消去法)
nagauss2*（23页选列主元Gauss消去法）
nalu*（32页LU分解）
nalupad*（33页紧凑格式的LU分解）
第三章nabisect*（59页二分法）
nanewton*（70页Newton迭代法）
nags*（78页普通线性方程组的G-S迭代法）
naspgs* （79页大型稀疏线性方程组的G-S迭代法）
nasor* （79页分量形式的SOR迭代
第四章nalagr* （95页Lagrang插值）
追赶法程序在54页实验10 grid on 表示画图有栅格。