2020届 重庆巴蜀中学高三适应性月考 卷(二)数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析
2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cosα＝（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案.【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（ ）A ．{1，7}B ．{3，5，7}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，4，5，6，7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可．【详解】 ∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣， 集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }，∴A ∩B ={1，3，5，7}，故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3．向量a =r （1，2），b =r （2，λ），c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r，则实数λ＝（ ）A ．3B ．﹣3C ．7D ．﹣7【答案】B 【解析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +r r ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解.【详解】根据题意, 向量=a r （1，2），=b r （2，λ），则()=32+a b λ+，r r ， c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=，解可得=3λ-，故选：B .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4 【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），∴正态分布曲线关于=3x 对称，又P （x ≤1）＝0.1，∴()50.1P x ≥＝，∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝， 故选：D【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．π12x =B ．π12x =-C ．π6x =D ．π6x =- 【答案】B 【解析】试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B. 【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（ ）A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ）B ．H （2﹣x ）＝H （x ）C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项.【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数， A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D .【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（ ）A ．2πB ．3πC ．6πD ．23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角.【详解】由b +c ＝acosB +acosC ， 根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab+-+-++＝， 22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc +++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc +++-+-+， 进一步化简可得222a b c =+∴△ABC 为直角三角形，2A π＝. 故选：A .【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ）A ．f （cosx ）＝sin 2xB ．f （sin 2x ）＝sinxC ．f （sinx ）＝sin 2xD ．f （sinx ）＝cos 2x 【答案】D【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可.【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =4π-,则cos x x =-1,∴f ()=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0；取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1；∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x ,sin2x =1,∴f )=1；取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于D 选项，∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ，只有D 选项满足题意.故选：D .【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =S ﹣ABC 外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积．【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC =∴由勾股定理可得AC =2，∴AC 是△ABC 外接圆的直径，∴△ABC 外接圆的半径为r =1，∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2，设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-，∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=.故选：C .【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10．已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r |＝1，则PB u u u r •PC uuu r 的最小值是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1 【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r |＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围，从而得解.【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴AB AC ⊥，建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，，又|BC |＝4，∴2224x y += ∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()+1θϕ=-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r ,故最小值为3-，故选：B .【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D 【解析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈， 又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q 117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--,综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=--故选：D .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点右侧），直线l 2：y ＝kx +m （m ≠t ）交抛物线C 于M ，N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（ ）A ．x 2＝yB ．x 2＝2yC ．x 2＝3yD ．x 2＝4y 【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)M x y N x y ，利用根与系数关系公式，推出12+2x x pk =，34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线，且所在直线方程为x =pk ，又根据E的横坐标为2k ，求解即可．【详解】如图所示,设1122(,),(,)A x y B x y ,则直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 联立消去y ，可得2220,x pkx pt --=∴12+2x x pk =，设3344(,),(,)M x y N x y ,则直线l 2：y ＝kx +m 与抛物线C 联立消去y可得2220,x pkx pm --=∴34+2x x pk =，取A 、B 中点P ，M 、N 中点Q ，则E 、P 、Q 三点共线,且所在直线方程为x =pk ，∵E 的横坐标为2k ，∴22k pk p ==，，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y.故选：D .【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及平面几何知识，取A 、B 中点，M 、N 中点与E 三点共线,考查分析能力及转化能力，属于中档题.二、填空题13．设复数z 满足12z i =+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ．【详解】复数z 满足212z i i=++， 所以()()212=2245z i i i i i =++-++=， 故5z =故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题.14．函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2x ﹣24）的单调递增区间是_____ 【答案】（﹣∞，﹣4）.【解析】先求出函数f （x ）的定义域，确定真数部分函数的单调性，再由复合函数的单调性可知函数的单调增区间.【详解】函数的定义域为22240x x >﹣﹣，即为64{|}x x x -＞或＜，令2224t x x =﹣﹣， 则原函数13y log t ＝， 因为13y log t ＝在（0，+∞）单调递减， 2224t x x =﹣﹣在（-∞，-4）单调递减，在（6，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（-∞，-4），故答案为：（-∞，-4）.【点睛】本题考查复合函数单调性，复合函数单调性的判断遵循“同增异减”的判断法则，前提是先求定义域，然后找出中间函数的单调区间，再判断复合函数的单调区间即可，属于基础题. 15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1cos1010cos102︒︒︒︒=+1310sin10cos10sin1010cos1022sin ︒︒︒︒︒︒--sin 20cos 0in 202+s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____【答案】（﹣∞，14-ln 2） 【解析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x -与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0 ∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x-=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点； 令g （x ）＝121x --lnx 1x-， ∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-， 令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值. 【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +112=sin 2x +cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π， 当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数， 所以2φ3π+=kπ2π+，k ∈Z ，即φ12=kπ12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E是SD的中点，求证：SB∥平面ACE；（2）若SA＝AB＝AD＝2，SC＝，且DE23DS，求二面角S﹣AC﹣E的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）由题意连结BD，交AC于点O，连结OE，可证OE∥SB，SB∥平面ACE得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC与平面ACE的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE，∵底面ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∵E是SD的中点，∴OE∥SB，∵SB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE，∴SB∥平面ACE.（2）∵SA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC，在Rt△SAC中，SA＝2，SC＝2，∴AC＝2，∵AB＝AD＝2，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴BD＝以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O作AS的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），D0，0），A（0，1，0），S（0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（3-，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r（24333，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u r r0，）， 设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则024033m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r （4，0，， 设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθ19m n m n ⋅===⋅r r r r .∴二面角S ﹣AC ﹣E的余弦值为19.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立. （1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118=；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P1211111 33333C=⨯⨯+⨯=.（2）记A i表示甲在第i轮胜利，B i表示甲在第i轮平局，∁i表示甲在第i轮失败，∴P（A i）151151384382⎛⎫=⨯++⨯=⎪⎝⎭，P（B i）13=，P（∁i）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，其概率P1111112228⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭，②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P21155 666216 =⨯⨯=，∴经过3轮比赛结束的概率P12154 821627P P=+=+=.【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1，2）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D 的直线交椭圆E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1程，得b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =22y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0， 所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =22y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数f （x ）＝()21211x x x e -+-（1）求f （x ）＞0的解集； （2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞） 【解析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解； （2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mxx+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x x x e-+-，则f ′（x ）＝2122xxx e -；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，所以x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，x∈（0，+∞）时f（x）＞0，∴f（x）＞0的解集为（0，+∞）.（2）因为x∈R时，2e2mx x+≥e2x+1恒成立，等价于221mx xxxeee+-≥恒成立，即2e2mx≥e x1xe+（x∈R），因为都是偶函数，所以只需x∈[0，+∞）时，2e2mx x+-e2x﹣1≥0成立即可，令F（x）＝2e2mx x+-e2x﹣1，F（0）＝0，F′（x）＝2（2mx+1）e2mx x+-2e2x＝2e2x[（2mx+1）e2mx x--1]，F′（0）＝0，令G（x）＝（2mx+1）e2mx x--1，G（0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m1 2≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入曲线C1：x2+y2﹣4x＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，根据根与系数关系可得则t1t2＝﹣3，故可求|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【详解】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcosθ，即为x2+y2﹣4x＝0，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数），可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，化为t2﹣2tcosα﹣3＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣3，可得|PA|•|PB|＝|t1t2|＝3.【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|（1）当m＝2时，求f（x）≤9的解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，求实数m的取值范围.【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】（1）当m＝2时，函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,对x分类讨论，分别在三个区间1122x x x--≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，转化为f（x）min≤2成立，又根据|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f （x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.。
重庆市巴蜀中学2022-2023学年高三上学期高考适应性月考(二)数学试题巴蜀数学(二)答案
数学参考答案·第1页（共9页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 78 答案 BCADCCDD【解析】1．由角的周期性变化可知：A B ⊂，故选B ． 2．cos 2x =解得π2π()6x k k =+∈Z 或π2π()6x k k =-+∈Z ，故选C ．3．0.10555551log 5log 4log 100a b a b =>==>=>=>>.，∵∴又π3ππ25<<，3πtan 05c =<∴，a b c >>∴，故选A ．4．由函数定义域可以排除C ，由函数奇偶性可以排除A ，又因当(01)x ∈，时，2e e e e0ln ||00ln ||x xxxx x x ----><<，，，所以B 选项错误，D 选项正确，故选D ．5．如图1所示，在等腰三角形中，30OB AOB =∠=︒，可得322B ⎛ ⎝⎭，，由题意，点B 的坐标6次一个循环，即以6为周期，23B 与5B 重合，故有322B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 6．由卷图可知05sin 0252π3π234A .,A .T ϕ⎧=⎪=⎪⎨⎪<<⎪⎩，又ππ||226ωϕωϕ*∈==N ，≤，，∴，1π()sin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴，1π12ππ12π()sin sin 3523562330g x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴，故选C ．7．8人中选5人，分三组的分组分配问题：2253353853C C C C A 84002⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ． 图1数学参考答案·第2页（共9页）8．设切点坐标32000(3)x x x -，，∵32()3f x x x =-，∴2()36f x x x '=-，∴曲线()f x 在3200(3)x x x -，处的切线斜率为20036x x -，又∵切线过点(2)P t ，，∴切线斜率为3200032x x tx ---，∴322000003623x x t x x x --=--，即3200029120x x x t -++=， ∵过点(2)P t ，可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程3200029120x x x t -++=有3个解．令320000()2912h x x x x t =-++，则0()h x 图象与x 轴有3个交点，∴0()h x 的极大值与极小值异号，2000()61812h x x x '=-+，令0()0h x =，得01x =或2，∴(2)(1)0h h <，即(4)(5)0t t ++<，解得54t -<<-，故选D ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BDABDABCABD【解析】9．对称轴为ππ32k x k =+∈Z ；对称中心为ππ0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，；π()2sin 26f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭π2cos 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；两个零点的距离：12π()2k x x k -=∈Z ，故选BD ．10．选项A ：()g x 有两条对称轴2x =，7x =，()(4)(14)g x g x g x =-=-，∵()(10)g x g x =+∴周期为10，所以正确；选项B ：()(14)(24)g x g x g x =-=-，12x =是()y g x =的对称轴，所以正确；选项C ：由对称性(1)(3)(11)0g g g ===，()0g x =至少有3个解，所以错误；选项D ：周期为10，[22022]，有202个周期，(1)0g =，至少有20221405⨯+=个解，所以正确，故选ABD ．11．对于A ：πsin sin sin sin sin cos 2A B A A A A ⎛⎫+<+-=+ ⎪⎝⎭，正确；对于B ：ππcos cos cos cos sin cos 124A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫+>+-=+=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；关于C ：cos()cos cos sin sin 0A B A B A B +=->，sin sin cos cos A B A B <，tan tan 1A B <∴，正确；关于D ：tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<（也可用特殊值法排除）错误，故选ABC ．数学参考答案·第3页（共9页）12．选项A ：π02x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，，cos 0x x ≥，故2sin cos 2sin 2x x x x x x x x x ----=≤≤，所以正确；选项B ：()2sin cos f x x x x x =--，()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-，()cos 0f x x x ''=≥，(0)0f '=，π()002f x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭≥≤≤，()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，()0f x ≥，所以B 正确；选项C ：由选项B 可知当π02x <≤时，()0f x '>，单调递增，无零点；当ππ2x ≤≤时，()cos sin 1f x x x x '=+-单调递减；ππ1022f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，(π)20f '=-<，由零点存在性定理知有唯一零点，()f x '在(0π)，有1个零点，所以C 错误；选项D ：0a “≤”由选项B 可知不等式成立；法一：若()f x ax ≥，则令()2sin cos h x x x x x ax =---，(0)0h =∵，()cos sin 1h x x x x a '=+--，(0)0h '≥∴即(0)0h a '=-≥，0a ≤；只需证明0a ≤不等式成立，显然；法二：令()2sin cos h x x x x x ax =---，()cos sin 1h x x x x a '=+--，π()cos 002h x x x x ⎡⎤''=∀∈⎢⎥⎣⎦≥，，，()h x '在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，当0a ≤时，不等式成立，当0a >时，(0)0h a '=-<，ππ122h a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，0π02x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，0(0)()0x x h x '∀∈<，，，()h x 单调递减，(0)0h =∵，()0h x <∴即()f x ax <，不合题意，综上可知，0a ≤命题成立，所以D 正确，故选ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．ππ||2T ω==． 14．古典概型，样本空间样本点总数为55A 120=，事件所占样本个数为3234A A 72=，故723()1205P A ==．数学参考答案·第4页（共9页）15．()sin cos (sin cos )g x x x x x =-+；令πsin cos [4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则22111(1)11222t y t t -⎡⎤=-=--∈-+⎢⎥⎣⎦． 16．2sin cos cos sin sin sin sin A B A B B A B =-∵，2sin sin sin sin sin cos cos A B A B B B A +=∴，sin (2sin sin )cos sin cos A B B A B B +=，22sin sin cos sin cos cos 2sin sin 3sin 2cos A B B B BA B B B B==++∴2tan 123tan 23tan tan B B B B==++，tan 12A =，当且仅当23tan 2B =，即tan 3B =时四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）证明：由sin sin tan cos 1cos A B A A B==+知： sin (1cos )sin cos sin sin cos sin cos sin()A B B A A B A A B B A +=⇒=-=-； ………（3分） 由πππ0sin 222A B A y x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增知：2B A =．…………………………………………………………………………（5分）（2）解：由锐角ABC △知π02π202π3π2A B A A B A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+=∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，ππ64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………………………………………………………………（7分）故tan tan tan()tan 11tan tan 3B AB A A A B ⎫-=-=∈⎪⎪+⎝⎭． ………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）21()cos cos 2(2sin 1)224A f x A x x x x ⎫=++--+⎪⎪⎝⎭数学参考答案·第5页（共9页）sin 2(cos 21)2cos 22sin 22cos 2244444A A A A x x x A x x ⎛⎫=++--+=+-+ ⎪⎝⎭sin(2)2x ϕ=++ ， …………………………………………………（4分）故max )22(f x +==+2A =．…………………………（6分）（2）由（1）知3π()2cos 2222223f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， ……………（8分）故37ππ2330ππ46x x -⎡⎤⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-，，，故max 5()π212f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，min 1()(0)2f x f ==， 故()y f x =的值域为122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． …………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：由AB CD AB BC ⊥，∥，22AB BC CD ==得AD BD ⊥， 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，由PB PD =知PO ⊥平面ABCD ，故PO AD ⊥， ……………………………………（3分） 由AD BD ⊥，AD PO ⊥，BD PO O = ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 故AD ⊥平面PBD ．………………………………………………………………（5分）（2）解：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图2所示的空间直角坐标系O xyz -，则(000)(0)00)O A B -，，，，，，(00)(00)C D ，，，设(00)P a ，，，则由PA PC ⊥知240PA PC a =-=，2a =，故(002)P ，，； …………………………………………………………（7分）设平面PBC 的法向量为()x y z m =，，，由(0)BC =，(02)BP = ，，有020m BC m BP z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，， 取1z =，则1)m = ；设平面PAD 的法向量为()n a b c =，，，图2数学参考答案·第6页（共9页）由02)DP = ，，(00)AD = ，，有200n DP c n AD ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，， 取1c =，则(01)n =，，…………………………………………（11分）记平面PAD 与平面PBC 所成角为θ，则||cos |cos |15||||m n m n m n θ=〈〉===，．………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件A ，第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮比赛答对至少2题包含两种情况： 前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对， ……………（2分）故212111115()C 13332327P A ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ． ………………………………（5分）（2）记小陈同学参加比赛获得的奖金为X （单位：元）， 在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且答对的可能性为16，选择继续作答且答错的可能性为13，选择停止作答的可能性为12，【法一】排异法：22112221211211121442252(0)C C 33333363333927818181P X ⎛⎫⎛⎫==+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………………………………………………（7分） 1211(100)3329P X === ，………………………………………………………（8分）2111(200)3329P X === ， ………………………………………………………（9分）21211(300)33227P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（10分）12111(400)336254P X ===， ………………………………………………（11分）故52111113(450)181992754162P X =-----=≥．………………………（12分）数学参考答案·第7页（共9页）【法二】21111(500)336254P X ===，………………………………（6分）311(600)(1000)327P X P X ⎛⎫=+===⎪⎝⎭， …………………………………………（7分）21211(700)33681P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（8分）21211(800)336162P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（9分）22111(900)336162P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，………………………………………………（10分）故1111113(450)542781162162162P X =++++=≥． ……………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由2c e a ==知a ==， ………………………………（2分）1O AB d →====直线，故b a ==， 故椭圆C 的标准方程为221332x y +=． ………………………………………………（4分） （2）0MN k =时：(01)(11)(11)Q M N -，，，，，，故||||2OQ MN = ； ……………（5分）0MN k ≠时：设直线l 的方程为x my t =+， 由直线l 与圆221x y +=相切，所以1d ==，即221t m =+，………………（6分）联立221332x y x my t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得222(2)230m y mty t +++-=，由韦达定理：12221222232mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，……………………………………………（8分）数学参考答案·第8页（共9页）MN 中点Q 的坐标为22222tmt m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，故||OQ ===12|||MN y y =-===，…………………………………………………………………（10分）故222224222()()192212124(2)4414|4|||4m m mm m m O N m Q m M ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎤=+=+∈ ⎪ ⎪ ⎥+++⎝⎦⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝++⎭= ，， 综上：||||OQ MN 的取值范围是924⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）1()e 1x f x -'=-，……………………………………………………（1分）令()0f x '<得1x <，令()0f x '>得1x >，故()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． ………………………（4分）（2）11()e ln ()(1)e 1x x ag g x x x x xa x x --'=+-=---⇒，(1)0g =恒成立(1)1g a '⇒=-，…………………………………………………………………（5分）当0a ≤时：1()(e 1)ln x g x x a x -=--，故(01)x ∈，时，()0g x <，(1)x ∈+∞，时，()0g x >， 只有1x =一个零点，不符合题意； …………………………………（6分）当01a <<时：1()(1)e 1x ag x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=->， 由0lim ()x g x +→'=-∞知必存在0(01)x ∈，使得0()0g x '=， ()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增；结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0lim ()lim ()x x g x g x +→+∞→==+∞知：数学参考答案·第9页（共9页）()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点；……………（8分）当1a =时：11()(1)e 1x g x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)0g '=，故min ()(1)0g x g ==，只有1x =一个零点，不符合题意； ……………………………………（9分）当1a >时：1()(1)e 1x ag x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=-<， 由lim ()x g x →+∞'=+∞知必存在0(1)x ∈+∞，使得0()0g x '=，()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增，结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0lim ()lim ()x x g x g x +→+∞→==+∞知： ()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点， ………………（11分）综上所述：(01)(1)a ∈+∞ ，，． ………………………………………（12分）。
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考数学(理)试题Word版含解析
2020届重庆市巴蜀中学高考适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =-->,集合1|12xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则A B =I ( )A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．(),1-∞-D ．()0,∞+【答案】C【解析】化简集合A 和B ,根据交集定义,即可求得A B I . 【详解】∴ {}2|20A x x x =-->∴ 化简可得()(),12,A =-∞-⋃+∞根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数∴ 121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝,即01122x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故0x < ∴ (),0B =-∞故(),1A B =-∞-I 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2．已知复数12iz i -=+(i 为虚数单位),则z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】化简12iz i -=+,可得()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++-,即可求得z 对应的点. 【详解】Q ()()()()1211322255i i i z i i i i ---===-++- ∴ z 对应的点为13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,故在第四象限故选:D. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.3．已知实数x ,y 满足102022x y x y y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥-⎩则z x y =+的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合即可求得z x y =+的最小值. 【详解】作出可行域,由z x y =+,得y x z =-+,Q 当y x z =-+与边界直线20x y +-=重合时,z 取得最小值. ∴ 可取公共点13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,可知min 13222z =+= 故选:B. 【点睛】本题考查线性规划的相关内容,解题关键是根据约束条件画出不等式组表示的平面区域,数形结合解决问题,属于中档题.4．命题p :2m =,命题q :直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直,则p 是q成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】Q 由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直 ∴ 可得(1)20m m --=,即220m m --=,解得1m =-或2m =.故:由直线()1120m x y m --+-=与直线230mx y m +-=垂直不能推出:2m =∴命题p 是命题q 不必要条件Q 由2m =时直线分别是: 100x y --=,30x y +-=,此时两条直线垂直.故命题p 能推出命题q∴ 命题p 是命题q 充分条件综上所述,p 是q 充分不必要条件. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题. 5．已知()tan 2πθ-=,则sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．25B ．25-C ．25±D ．45【答案】B【解析】由()tan 2πθ-=,可得tan 2θ=-,根据诱导公式化简sin sin 2πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,即可求得答案. 【详解】Q ()tan 2πθ-= ∴ tan 2θ=-Q sin sin cos sin 2πθθθθ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭222cos sin tan cos sin 1tan θθθθθθ==++ 22145-==-+ 故选:B. 【点睛】本考查了由诱导公式求三角函数值,能熟练使用诱导公式是解本题关键,考察了计算能力,属于基础题. 6．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高（不超过三次）的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:()046hV S S S '=++,式中h ,S ,S ',0S 依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线()20y x x =≥与直线2y =及y轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积V =( )A ．2π B ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】根据“辛卜生公式”:()046hV S S S '=++,根据旋转体特点,结合已知,即可求得答案. 【详解】Q 根据辛卜生公式:()046hV S S S '=++ Q 根据题意可知该几何体是由,曲线()20y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到.∴ 0S '=,22S ππ==,201S ππ=⋅=,∴ 根据辛卜生公式()220426V πππ=⨯++= 故选:C. 【点睛】本题考查了求旋转体体积,解题的关键是能够理解辛卜生公式,考查了理解能力和计算能力,属于基础题. 7．已知()f x 是R 上的偶函数,当0x ≥时,有()()3f x f x +=-,当[)0,3x ∈时,()2xf x =,则12log 192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】D【解析】利用偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-求出函数的周期,然后化简12log 192f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,通过周期性和偶函数性质,即可求得答案. 【详解】Q 当0x ≥时,()()3f x f x +=-,∴ ()()6f x f x +=,故()f x 最小正周期:6T =.Q ()122log 192log 192f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又Q ()f x 为偶函数故()()()222log 192log 192log 643f f f -==⨯()()2log 3226log 3log 323f f =+===故选D. 【点睛】本题考查了函数的周期性,需要掌握(+)()f m x f x =的周期为m ,当所求的变量不在所给的函数定义域内,利用函数的周期和奇偶性化简到定义域内,这是解此类型题的关键. 8．如图是一程序框图,则输出的S 值为( )A ．20222023B ．10112013C ．10102021D ．20202021【答案】C【解析】由程序框图可得111133520192021S =+++⨯⨯⨯L ,根据数列的裂项求和,即可得出答案. 【详解】 由程序框图可知:111133520192021S =+++⨯⨯⨯L 1111111233520192021⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11120201010122021220212021⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭ 故选:C. 【点睛】本题考查数列的裂项求和,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9．已知向量()2,0a =r ,向量(b =r ,向量c r满足c a b --=r r r ,则c r 的最大值为( )A B ．C ． 3D ．【答案】D【解析】设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r ,则(3,c a b x y --=-r r r ,即可求得()(2233x y -+=,将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,,即可求得cr 的最大值.【详解】Q 设(),c x y =r ,()2,0a =r,(b =r∴ (3,c a b x y --=-r r r故c a b --==r r r即()(2233x y -+=Q将c r的起点放到坐标原点,则终点在以(为圆心,.∴c r的最大值即:圆心到原点的距离+半径,=故选:D. 【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题,根据向量模的几何意义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型. 10．巴蜀中学作为一所中华名校,不仅是培养学生的摇篮,也是培养教师的摇篮,每一年都有许多实习老师到巴蜀中学实习.现有甲乙等4位实习老师被分到高二年级的（1）,（2）,（3）三个班级实习.要求每个班级至少有一名实习老师,每个实习老师只能到一个班级实习,则甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为( ) A ．736B ．16C ．29D ．772【答案】A【解析】根据题意,基本事件数234336n C A =⋅=,甲去（3）班,有222A =种,甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,即可求得答案.【详解】根据题意基本事件数234336n C A =⋅=Q ①甲去（3）班,有222A =种,②甲去（2）班,有2112225C C C +⋅=种,∴ 甲不去高二（1）班,乙必须去高二（3）班实习的概率为:736P =, 故选:A. 【点睛】本题考查排列组合的简单应用.在排列组合的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.11．已知抛物线24x y =的焦点为F ,过直线2y x =-上任一点引抛物线的两条切线,切点为A ,B ,则点F 到直线AB 的距离( ) A ．无最小值B ．无最大值C ．有最小值,最小值为1D ．有最大值,【答案】D【解析】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =,即可求得A 为切点的切线方程1l 和以B 为切点的切线方程2l ,设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y ,将()00,P x y 代入1l 和2l ,即可求得直线AB 的方程,进而求得点F 到直线AB 的距离. 【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,可得2114x y =,2224x y =Q 以A 为切点的切线方程为1l :()1112x y y x x -=-,即112x y x y =-——① 同理可得,以B 为切点的切线方程为2l :222x y x y =- ——② 设过直线2y x =-上任一点为()00,P x y∴ ()00,P x y 代入①②得10012002,2,2x y x y x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为002xy x y =-,即002x y x y =-, 又Q 002y x =-,即0122x y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭Q AB 过定点()2,2P ,∴ 当PF AB ⊥时,()0,1F 到l 的距离的最大值为=当AB 过点F 时,距离的最小值为0故选:D . 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,本题涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.12．已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭U D ．11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【答案】D【解析】因为()0f x =,故()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=,化简为:()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,即2e x x a +=,221e x x a +-=,构造函数()2ex x g x +=,求其最值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 由()0f x =,()()()()222131220x x a a e a x e x ---+++=∴ 得()()()e 221e 20x xa x a x ⎡⎤⎡⎤-+--+=⎣⎦⎣⎦,可得:2e x x a +=,221e xx a +-=, 设()2e x x g x +=,则()()1e xx g x -+'=, Q 当()0g x '>时,1x <-当()<0g x '时,1x >-∴ ()g x 在(),1-∞-上单调递增,在()1,-+∞上单调递减,故()20g -=,()()max 1e g x g =-=, 当2x >-,()0g x >.Q x →-∞,()g x →-∞,x →+∞,()0g x +→.要使方程有4个不同的零点,则0e021e 21a a a a<<⎧⎪<-<⎨⎪-≠⎩,可得11e 22a +<<,1a ≠, 故选:D. 【点睛】本题考查了函数零点问题,要将函数的求零点问题转化为求方程根的问题,就自变量取不同范围进行讨论求解这是解题关键.二、填空题13．二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______. 【答案】－32【解析】写出二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式:()()462142rr r r r T C x x --+=-,即可求得答案. 【详解】Q 二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开通项公式: ()()()46224814422rrrr r r rr T C x x C x ---+=-=-∴ 当3r =时,()()32483442232rr rC x C -=--=-∴二项式2462x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为:32-. 故答案为:32-. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.14．已知函数()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭,将()f x 的图像向右平移12π个单位后得到的函数图像关于y 轴对称,则ϕ的值为______. 【答案】512π【解析】将()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭化简可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,根据()g x 图像关于y 轴对称,即可求得答案. 【详解】Q ()()()sin 2cos 202f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<<⎪⎝⎭∴ 由辅助角公式可得:()24f x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭将()f x 的图像向右平移12π个单位后得:()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴ ()212g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像关于y 轴对称 ∴()122k k ππϕπ+=+∈Z ,512k ϕππ=+,又02πϕ<<,∴0k =,512ϕπ=. 故答案为:512π. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、及三角函数的图像变换和三角函数的性质的应用,其中根据三角恒等变换的公式,化简得到函数的解析式,掌握三角函数的图像变换和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.15．已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左,右焦点为1F ,2F ,以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,线段2PF 与双曲线的交点M 为2PF 的中点,则双曲线C 的离心率为______.1【解析】因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,故222x y c by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得,,x a y b =⎧⎨=⎩,求得(),P a b ,由中点坐标公式解得,22a c b M +⎛⎫⎪⎝⎭,将其代入22221x ya b-=,即可求得双曲线C 的离心率. 【详解】Q 以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点P ,∴ 222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得:,,x a y b =⎧⎨=⎩ 故(),P a b , 又Q ()2,0F c ,∴,22a c b M +⎛⎫ ⎪⎝⎭,代入双曲线方程22221x y a b-= 可得:22240c ac a +-=,化简可得2240e e +-=∴1e =-±,又1e >,∴1e =.故答案为1. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的问题,解题关键双曲线的几何性质及离心率的求法,数形结合是本题的关键,查分析能力和计算能力,属于中档题.16．已知数列{}n a ,满足()()*112n n na n a n +--=∈N ,{}na 的前n 项和为nS,对任意的*n ∈N ,当5n ≠时,都有5n S S <,则5S 的取值范围为______. 【答案】()5,6【解析】由()112n n na n a +--=,当1n =,得12a =.由()()1121212n n n n na n a n a na +++⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ 可得212n n n a a a +++=,即可求得{}n a 为等差数列,结合当5n ≠时,都有5n S S <,即可求得5S 的取值范围. 【详解】Q 由()112n n na n a +--=, ∴ 当1n =,得12a =.Q ()112n n na n a +--=——①可得()1212n n n a na +++-=——②∴ 由①②得:212n n n a a a +++=,故{}n a 为等差数列.又Q 120a =>,5S 最大,则0d <,50a >,60a <,即240,250d d +>⎧⎨+<⎩1225d ⇒-<<-, 又51010S d =+,可得()55,6S ∈ 故答案为:()5,6. 【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数量是等差数列,掌握数列单调性是解本题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a ,是一个等差数列,且22a =,145a a +=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且满足:112b =,24164b b ⋅=. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; （2）求证:11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<.【答案】（1）n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】（1）因为{}n a 为等差数列,设公差为d ,则1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩即可求得首项和公差,即可求得{}n a .因为{}n b 为等比数列,2243164b b b ⋅==,23118b b q ==,即可求得公比,进而求得{}n b . （2）因为n a n =,12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,根据数列求和错位相减法,即可求得n T ,进而求得答案. 【详解】（1）Q {}n a 为等差数列,设公差为d ,∴1112,35,a d a a d +=⎧⎨++=⎩∴11,1,a d =⎧⎨=⎩∴()11n a a n d n =+-=.Q {}n b 为等比数列,0n b >,设公比为q ,则0q >, ∴2243164b b b ⋅==,23118b b q ==, ∴12q =,1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+,∴ ()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——①可得:()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭——②∴由①-②得:23111112211111111222222212nn n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,∴1112222n nn T n -⎛⎫⎛⎫=--⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故11222n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<. 【点睛】本题考查求等差数列通项公式和数列求和.错位相减法求数列和,适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,考查了学生的计算能力,属于基础题型.18．2019年双十一落下帷幕,天猫交易额定格在268(单位:十亿元)人民币(下同),再创新高,比去年218(十亿元)多了50(十亿元),这些数字的背后,除了是消费者买买买的表现,更是购物车里中国新消费的奇迹,为了研究历年销售额的变化趋势,一机构统计了2010年到2019年天猫双十一的销售额数据y (单位:十亿元).绘制如下表1: 表1根据以上数据绘制散点图,如图所示.(1)根据散点图判断,y a bx =+与2y cx d =+哪一个适宜作为销售额y 关于x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及下表中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测2020年天猫双十一销售额;(注:数据保留小数点后一位)(3)把销售额超过10(十亿元)的年份叫“畅销年”,把销售额超过100(十亿元)的年份叫“狂欢年”,从2010年到2019年这十年的“畅销年”中任取3个,求取到的“狂欢年”个数ξ的分布列与期望. 参考数据:2i i t x =.参考公式:对于一组数据()11,u v ,()22,u v ,…,(),n n u v ,其回归直线$µva u β=+$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为µ1221111ni ni u v nuvu nuβ==-=-∑∑,µµv u αβ=-$. 【答案】（1）2y cx d =+更适宜（2）$22.7 2.0y x =-，预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元（3）答案见解析【解析】（1）根据其图像的形状,即可得出答案.（2）根据101102211010i ii i t y t ybtt =-=-=-∑∑$,a y bt =-$$,即可求得y 关于x 的回归方程,即可预测2020年天猫双十一销售额;（3）因为畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出()0P ξ=,()1P ξ=,()2P ξ=,()3P ξ=,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）根据其图像的形状可知,2y cx d =+更适宜.（2）1011022110677701038.5102285005702.725380148301055021110i ii i t y t ybtt =-=--⨯⨯====≈--∑∑$,$102 2.738.5 2.0ay bt =-=-⨯≈-$, ∴ $22.7 2.0y x =-,当1x =时,$324.7y =（十亿元）, ∴预测2020年双十一的销售额为324.7十亿元.（3）畅销年个数为8,狂欢年个数为4,ξ的可能取值为0,1,2,3()34384105614C P C ξ====,()2144382431567C C P C ξ⋅====, ()2144382432567C C P C ξ⋅====,()34384135614C P C ξ====,∴()1331301231477142E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.19．已知,在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin cos ,sin p A C A =+u r,()cos sin ,sin q C A C =--r ,若1cos 22B p q +⋅=u r r .（1）求角B ;（2）若3b =,求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）23B π=（2）4【解析】（1）因为()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r 可得:222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,根据正弦定理可得222a c ac b ++=,即可求得答案.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,2293a c ac ac =++≥,则3ac ≤,根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）Q ()sin cos ,sin p A C A =+u r ,()cos sin ,sin q C A C =--r ,1cos 22Bp q +⋅=u r r ∴ 222cos sin sin sin cos p q C A A C B ⋅=--=u r r,可得:2221sin sin sin sin 1sin C A A C B ---=-,∴ 222sin sin sin sin sin A C A C B ++=.由正弦定理:222a c ac b ++=故:2222cos a c b ac ac B +-=-=∴ 1cos 2B =-, Q 0B π<<, ∴23B π=.（2）由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,∴2293a c ac ac =++≥,∴3ac ≤,当且仅当a c =时,()max 3ac =,∴1sin 244ABC S ac B ac ==≤V .∴ABC V 面积的最大值为:4.【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理解三角形和三角形面积公式,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c A B C==边化角,再利用和角的正弦公式化简所给式子,属于基础题.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点为1F ,2F ,焦距为直线l :1y x =-与椭圆C 相交于A ,B 两点,31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程;（2）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,()0,Q m ,若3OM ON OQ λ+=u u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点）,求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=（2）113m <<或113m -<<-【解析】（1）因为31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,设()11,A x y ,()22,B x y ,将其代入22221x ya b+=利用点差法,即可求得答案.（2）因为M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r , 根据三点共线性质可得:1133λ+=,则2λ=,将直线l和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y ,结合已知,利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）Q焦距为则c =设()11,A x y ,()22,B x y ,Q 31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点,根据中点坐标公式可得:1232x x +=,1212y y +=-, 又Q 将其()11,A x y ,()22,B x y 代入椭圆C :22221x ya b+=∴ 2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩ ∴ 将两式作差可得:()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=, ∴()()22121222121231ABb x x y y b k x x a y y a+-==-==-+, ∴223a b =——①. Q 222a c b -=——②由①②得: 2231a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆的标准方程为2213x y +=. （2）Q M ,Q ,N 三点共线,133OQ OM ON λ=+u u u r u u u u r u u u r∴ 根据三点共线性质可得: 1133λ+=,则2λ=设()11,M x y ,()22,N x y ,则1212033x x +=,∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得:()222136330kxkmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>——①,根据韦达定理:122613km x x k +=-+,21223313m x x k-=+, 代入122x x =-,可得:22613km x k =+,222233213m x k--=+, ∴ ()222222363321313k m m kk --⨯=++,即()2229131m k m -⋅=-. Q 2910m -≠,219m ≠, ∴22213091m k m -=≥-——②, 代入①式得22211091m m m --+>-,即()22211091m m m -+->-, ∴()()2221910m m m --<,∴2119m <<满足②式, ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决. 21．已知函数()ln f x x x =. （1）求()f x 的单调区间与极值；（2）若不等式23ln 0322x x x e x λλ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+对任意[]1,3x ∈恒成立，求正实数λ的取值范围. 【答案】（1）单减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,()1ef x =-极小值,无极大值.（2）127ln32λ≤【解析】（1）因为()ln f x x x =,定义域为()0,∞+,则()1ln f x x '=+,即可求得()f x 的单调区间与极值;（2）223e ln 0322x x x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>,将其化简可得2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()23e 2x f x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增,23e 2x x x λ+≥,23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤,即可求得正实数λ的取值范围.【详解】（1）Q ()ln f x x x =∴ ()1ln f x x '=+,定义域为()0,∞+,又∴()0f x '>,1e x >,()0f x '<,10e x <<.∴()f x 的单减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f x 的单增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭∴()1111ln e e e e f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭极小值,无极大值.（2）Q 223e ln 0322xx x x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+,故2302x x +>∴将223eln 0322xxx x x x λλ⋅⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭+化简可得: 2233ln e 22x x x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+⋅+≥⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴()23e 2xf x x f λ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. Q 2322x x +≥,0e e 1x λ>=,∴由（1）知()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单增, ∴23e 2x x x λ+≥,∴23ln 2x x x λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,即23ln 2x x xλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤. 令()23ln 2x x h x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭=, ()223232ln 322x x x x h x x +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+'∴= 令()23232ln 322x k x x x x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+, 则()22332223322x k x x x x +'=-⎛⎫++ ⎪⎝⎭3321223322x x x x ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪++⎝⎭29231403322x x x x x ---=⋅<⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭, ∴ ()k x 在[]1,3上单减,()751ln 052k =->,()5273ln 032k =-<, ∴()01,3x ∃∈,()00k x =且在()01,x 上,()0k x >,()0h x '>,()h x 单增,在()0,3x 上,()0k x <,()0h x '<,()h x 单减.()()(){}()()min 27ln 52min 1,3,1ln ,3ln 23h x h h h h ===∴=∴()()13h h > ∴127ln32λ≤. 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.22．在直角坐标系xOy 中,曲线1C :22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :24sin 3ρρθ=-,曲线1C 与曲线2C 相交于M ,N 两点.（1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线MN 的一般方;（2）点3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求PM PN +. 【答案】（1）2C ：2243x y y +=-，直线MN ：4430x y -+=（2【解析】（1）将曲线1C :22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化简为:2cos 2sin 2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,根据22sin cos 1θθ+=消参,即可得到2C 的直角坐标方程,将1C 和2C 直角坐标方程作差,即可求得直线MN 的一般方程.（2）将MN l :34y x =+方程,改写成直线参数方程: 342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将其代入1C ,即可求得PM PN +.【详解】（1）1C :()2224x y -+=即2240x x y -+=. ——① 2C :2243x y y +=-——②将①-②得: MN l :4430x y -+-=,∴ 曲线2C 的直角坐标方程: 2243x y y +=-,直线MN 的一般方程为:4430x y -+=.（2）MN l :34y x =+, ∴ 3,04P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在MN l 上, 直线MN 的参数方程为:342x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入1C :()2224x y -+=,整理得257016t +=,根据韦达定理: 12t t +=125716t t =⋅, ∴10t >,20t >.故:12PM PN t t +=+=. 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程.解题关键是掌握直线的标准参数方程,结合韦达定理来求线段和,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于基础题.23．已知函数()122f x x x a =-++.（1）若1a =,求不等式()4f x ≥的解集;（2）证明:对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【答案】（1）[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U （2）证明见解析 【解析】（1）当1a =时,()122f x x x =-++,分别讨论1x ≤-,11x -<<和1x ≥时求解()4f x ≥,即可求得答案;（2）因为()()221f x x x a x a =-++++,根据||||||||||a b a b a b -≤+≤+即可求得答案.【详解】（1）当1a =时,()122f x x x =-++①当1x ≤-时,()1224f x x x =---≥,得53x ≤-；②当11x -<<时,()12234f x x x x =-++=+≥,得1x ≥,∴x ∈∅③当1x ≥时,()122314f x x x x =-++=+≥,得1x ≥, ∴[)5,1,3x ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . （2）Q ()()()22121f x x x a x a x x a x a =-++++≥---++()2121222a x a a a a a =+++≥+=+≥+-.∴ 对任意x ∈R ,()22f x a a ≥+-.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.。
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(二)及其答案(理科数学)
理数
10.（巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（二）理数）已知 AB ⋅ AC = 0, BC = 4, P 是三角
形 ABC 平面内任意一点，且满足| PA |= 1, PB ⋅ PC 的最小值是（ ）.
A. −4
B. −3
C. −2
D. −1
2
2
( ) ( ) sin 20 + 2 sin 20 cos 40 =sin 20 + sin 20° + 40° + sin 20° − 40° =sin 60 = 3 . 2 解法 5：正弦平方差公式
( ) ( ) sin 20 + 2 sin 20 cos 40 =sin 20 + 2 sin 20 sin 50 =sin 20 + 2 sin 35 + 15° sin 35 − 15°
( ) ( ) sin 20 + 2 sin 20 cos 40 =sin 20 + 2 sin 30° − 10° cos 30° + 10°
= sin 20°
+
2
1 2
cos 10°
−
3 2
sin
10°
3 2
cos 10°
−
1 2
sin
10°
解法 4：积化和差
= sin 20 + 3 − 2 sin 10° cos10°= 3 .
力和运算能力。
答案：D.
解析：（浙江衢州）
当 ω > 0 时， 5π ≤ ω ⋅ π + π < 13π ，即 2 ≤ ω < 6 ，所以 ω = 2，3，4，5 ；
2020届重庆市渝中区巴蜀中学校高三下学期2月月考数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市渝中区巴蜀中学校高三下学期2月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =I （ ） A ．{1,1}- B ．{1} C ．[1,1]- D ．[1,3]-【答案】B【解析】先计算得到{}11{|13}A B x x =-=-<<，，，再计算A B ⋂得到答案. 【详解】{}{}11{|13}1A B x x A B =-=-<<⋂=，，，故选：B 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2sin 75︒︒+=（ ）A ．2B ．1C ．D 【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案. 【详解】()sin75cos152sin 1530︒︒+︒+︒=︒+︒=故选：C 【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.3．设复数11iz i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．12-B ．0C ．12D．2【答案】B【解析】化简得到11112222OP OQ ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，再计算OP OQ ⋅u u u r u u u r 得到答案.【详解】121i 1i 1i1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫====∴==-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，，，，，，故选：B 【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键. 4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，若244a a +=，58a =，则10S =（ ） A ．125 B ．115 C ．105 D ．95【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，计算得到答案.【详解】()2411105124441091043954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键. 5．若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值． 【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点()00sin21f <=<，判断得到答案. 【详解】()00sin21f <=<，且()()f x f x -=，函数为偶函数故选：D 【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键. 7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ） A ．13B ．29C ．59D ．15【答案】B【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出．【详解】解：∵“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为2554C 102⨯==， “从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为210109C 452⨯==， ∴小明今晚复习的两本均是必修教材的概率102459P ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题．8．已知函数2,(),x e x af x ex x a-+⎧<=⎨≥⎩的最小值为e ，则(ln 2)(2)f f +=（ ）A ．242e e +B ．(2ln 2)e +C ．222e +D ．1ln 2e +【答案】A【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e 得2a e eae e -+⎧≥⎨≥⎩，解不等式得1a =，再代入解析式即可求出函数值． 【详解】解：∵2,(),x e x af x ex x a -+⎧<=⎨≥⎩，∴当函数x a <时，22()x a f x e e -+-+>=，当x a ≥时，()f x ex ae =≥， 又函数的最小值为e ，∴2a e e ae e -+⎧≥⎨≥⎩，∴211a a -≥⎧⎨≥⎩，则1a =，所以(ln 2)(2)f f +ln 22e 2e -+=+ln 22ee 2e -=⨯+242e e=+， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题．9．已知函数1()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x ，若函数()g x 的图象在P ，Q 两处的切线都与x 轴平行，则||PQ 的最小值为（ ）A ．17B ．4C ．4πD ．25【答案】B【解析】先计算得到()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，画出函数图像，计算125PQ =，24PQ =得到答案.【详解】根据变换得到：()ππ12sin 223g x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，图象如图：由图可知，PQ 取到的最小可能为12PQ PQ ，，因为125PQ =，24PQ =，所以最小值为4 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.10．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC 【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到B 正确；反证法证明AB 与CD不垂直C 正确；根据C 选项知D 错误，得到答案。
2020年3月重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前重庆市巴蜀中学2020届高三毕业班下学期3月阶段性质量检测数学(理)试题(解析版)2020年3月（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则z i=（ ）A. 1i +B. 1i -+C. 1i --D. 1i - 【答案】C【解析】【分析】 先求出复数z,再求z i得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=,(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅,则实数m =（ ）A. 2-B. 12- C. 12 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据集合,A B 元素所表示的意义,以及集合,A B 关系,即可求解.【详解】因为A B =∅,所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行,所以12m =. 故选:C .【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识,属于基础题.3. 已知两个单位向量12,e e ,若()1212-⊥e e e ,则12,e e 的夹角为（ ） A. 23π B. 3π C. 4π D. 6π【答案】B【解析】【分析】由已知可求出12e e ⋅,再由向量夹角公式,即可求解.【详解】因为()1212-⊥e e e ,所以()12102=-⋅e e e ,所以11222=⋅e e e , 所以12,cos e e <>=12,又因为[]12,0,e e π<∈>,所以12,e e π3<>=. 故选:B . 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与夹角,意在考查逻辑推理,数学运算,属于基础题.4. 随机变量()2~,N ξμσ,若(1)0.3P ξ≤=,(15)0.4P ξ<<=,则μ=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】 根据正态分布的对称性列方程,解方程求得μ的值.。
2020届重庆市巴蜀中学高三适应性月考卷(二)数学理科试题
2020届重庆市巴蜀中学高三适应性月考卷（二）数学理科试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin45α=，则cosα＝（）A．45B．45-C．35D．35-2．集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣7）≤0}，集合B＝{x|x＝2k+1，k∈N}，则A∩B＝（）A．{1，7} B．{3，5，7}C．{1，3，5，7} D．{1，2，3，4，5，6，7}3．向量a=（1，2），b=（2，λ），c=（3，﹣1），且（a b+）∥c，则实数λ＝（）A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣74．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤1）＝0.1，则P（3＜X≤5）＝（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．函数πsin(2)3y x=-的图象的一条对称轴方程为（）A．π12x=B．π12x=-C．π6x=D．π6x=-6．定义H（x）表示不小于x的最小整数，例如：H（1.5）＝2，对x，y∈R，则下列正确的是（）A．H（﹣x）＝﹣H（x）B．H（2﹣x）＝H（x）7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（ ） A ．2π B ．3π C ．6π D ．23π 8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ） A ．f （cosx ）＝sin 2x B ．f （sin 2x ）＝sinx C ．f （sinx ）＝sin 2xD ．f （sinx ）＝cos 2x9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π10．已知AB •AC =0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA |＝1，则PB •PC 的最小值是（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣111．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知抛物线()2:20C x py p =>，直线1:l y kx t =+与抛物线C 交于,A B 两点（A 点在B 点右侧），直线()2:l y kx m m t =+≠交抛物线C 于,M N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（ ） A ．2x y = B ．22x y =C ．23x y =D ．24x y =第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设复数z 满足12i=+2+i ，则|z |＝_____ 14．函数()()212log 224f x x x =--的单调递增区间是________.15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.16．已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E 是SD 的中点，求证：SB ∥平面ACE ；（2）若SA ＝AB ＝AD ＝2，SC ＝，且DE 23=DS ，求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值. 19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立.（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程. 21．已知函数f （x ）＝()21211x x x e -+-（1）求f （x ）＞0的解集； （2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.22．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 1的直角坐标方程和直线C 2的普通方程；（2）若P （1，0），直线C 2与曲线C 1相交于A ，B 两点，求|P A |•|PB |的值. 23．已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣m | （1）当m ＝2时，求f （x ）≤9的解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，求实数m 的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cosα为负值，直接代入解得答案. 【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D . 【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可． 【详解】∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣， 集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }， ∴A ∩B ={1，3，5，7}， 故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解. 3．B 【解析】 【分析】向量a ，b ，计算可得a b +，再由c 和（a b +）∥c ，代入向量平行的性质公式计算，即【详解】根据题意, 向量=a （1，2），=b （2，λ），则()=32+a b λ+，， c =（3，﹣1），且（a b +）∥c ,则有()()3132+0λ⨯--=， 解可得=3λ-， 故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型. 4．D 【解析】 【分析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2）， ∴正态分布曲线关于=3x 对称， 又P （x ≤1）＝0.1， ∴()50.1P x ≥＝， ∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D 【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题. 5．B试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B.考点：1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质. 6．D 【解析】 【分析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项. 【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确， 故选：D . 【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题. 7．A 【解析】 【分析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角. 【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab+-+-++＝，22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc+++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc+++-+-+，进一步化简可得222a b c =+ ∴△ABC 为直角三角形，2A π＝.故选：A . 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题. 8．D 【解析】 【分析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x x =1,∴f )=1；取x =4π-,则cos x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0； 取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1； ∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =34π,则sin x ,sin2x =-1,∴f ；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于D 选项， ∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ， 只有D 选项满足题意. 故选：D . 【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题. 9．C 【解析】 【分析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积． 【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC = ∴由勾股定理可得AC =2， ∴AC 是△ABC 外接圆的直径， ∴△ABC 外接圆的半径为r =1， ∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2， 设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-， ∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型. 10．B 【解析】 【分析】利用已知0AB AC ⋅=，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA |＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅的取值范围，从而得解. 【详解】 ∵0AB AC ⋅=， ∴AB AC ⊥， 建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，， 又|BC |＝4， ∴2224x y +=∵|PA |＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()+1θϕ=-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤,故最小值为3-， 故选：B . 【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题. 11．D 【解析】 【分析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值. 【详解】 当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈， 又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--, 综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=-- 故选：D . 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题. 12．D 【解析】 【分析】联立直线1l 与抛物线C 得到2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，根据直线PQ 过点E ，得到2E x pk k ==，得到答案. 【详解】联立直线1l 与抛物线C ：22x py y kx t⎧=⎨=+⎩，消去y 得2220x pkx pt --=，2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，所以P Q x x pk ==， 又因为直线PQ 过点E （EP 为中线，所以EQ 也为中线，所以,,P Q E 三点共线），所以2E x pk k ==，所以2p =，从而抛物线C 的方程为24x y =.故选：D .【点睛】本题考查了抛物线方程，确定直线PQ 过点E 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13．5 【解析】 【分析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ． 【详解】 复数z 满足212zi i=++， 所以()()212=2245z i i i i i =++-++=， 故5z = 故答案为：5. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题. 14．(),4-∞- 【解析】 【分析】计算定义域为()(),46,x ∈-∞-+∞，再根据复合函数单调性得到答案.【详解】()()212log 224f x x x =--，函数定义域为满足22240x x -->，即()(),46,x ∈-∞-+∞，函数12log y u =单调递减，故只需求2224y x x =--的单调递减区间，即1x ≤.综上所述：(),4x ∈-∞-. 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误.15【解析】 【分析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1cos1010cos102︒︒︒︒=+1310sin10cos10sin1010cos1022sin ︒︒︒︒︒︒--sin 200in 20s ︒︒︒-=2=故答案为：2. 【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．（﹣∞，14-ln 2） 【解析】 【分析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x -与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0 ∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x-=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点； 令g （x ）＝121x --lnx 1x-，∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-， 令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题． 17．（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12π+，k ∈Z }.（2）12π 【解析】 【分析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +112=sin 2x +cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π， 当且仅当2x 3π+=2kπ2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝kπ12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1， 因为g （x ）是偶函数， 所以2φ3π+=kπ2π+，k ∈Z ，即φ12=kπ12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．（1）证明见解析（2 【解析】 【分析】（1）由题意连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，可证OE ∥SB ，SB ∥平面ACE 得证； （2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC 与平面ACE 的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点， ∵E 是SD 的中点，∴OE ∥SB ， ∵SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴SB ∥平面ACE .（2）∵SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥AC ，在Rt △SAC 中，SA ＝2，SC ＝， ∴AC ＝2， ∵AB ＝AD ＝2，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形， ∴BD ＝，以O 为原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作AS 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系， O （0，0，0），D0，0），A （0，1，0），S （0，1，2）， DS =（1，2），23DE DS ==（，2433，）， OE OD DE =+=2433，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==0，）， 设平面ACE 的法向量m =（x ，y ，z ），则0324033m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取x ＝4，得m =（4，0，， 设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ， 则cosθ43193m n m n⋅===⋅⋅.∴二面角S ﹣AC ﹣E .【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．（1）13（2）427【解析】【分析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118=；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P1211111 33333C=⨯⨯+⨯=.（2）记A i表示甲在第i轮胜利，B i表示甲在第i轮平局，∁i表示甲在第i轮失败，∴P （A i ）151151384382⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，P （B i ）13=，P （∁i ）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利， 其概率P 1111112228⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利， 其概率P 21155666216=⨯⨯=， ∴经过3轮比赛结束的概率P 12154821627P P =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】 【分析】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1，2）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =2y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=， 将P （1，2）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=； （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2， 因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0， 所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①. 因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =2y =代入①，得b 2＝3，a 2＝12， 所以椭圆E 的方程为221123x y +=. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．（1）（0，+∞）（2）[12，+∞） 【解析】【分析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解；（2）若x ∈R 时，2221mx x x e e +≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x 1x e +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mxx +-e 2x ﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mx x +-e 2x ﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x x x e-+-，则f ′（x ）＝2122x x x e -； 所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，所以x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，∴f （x ）＞0的解集为（0，+∞）.（2）因为x ∈R 时，2e 2mxx +≥e 2x +1恒成立， 等价于221mx x x x e e e+-≥恒成立， 即2e 2mx ≥e x 1x e+（x ∈R ）， 因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mxx +-e 2x ﹣1≥0成立即可， 令F （x ）＝2e 2mx x +-e 2x ﹣1，F （0）＝0，F ′（x ）＝2（2mx +1）e 2mx x +-2e 2x ＝2e 2x [（2mx +1）e 2mx x --1]，F ′（0）＝0，令G （x ）＝（2mx +1）e 2mxx --1，G （0）＝0， G ′（x ）＝2me 2mx x -+（2mx +1）（2mx ﹣1）e 2mx x -=（4m 2x 2+2m ﹣1）e 2mx x -①当2m ﹣1≥0，即m 12≥时，G ′（x ）≥0，所以G （x ）在[0，+∞）上单调递增， 又因为G （0）＝0，所以x ∈[0，+∞）时，G （x ）≥0，即F ′（x ）≥0，所以F （x ）在[0，+∞）上单调递增，又因为F （0）＝0，所以x ∈[0，+∞）时，F （x ）≥0，所以m 12≥时满足要求； ②当m ＝0，x ＝1时，2e ＜e 2+1，不成立，所以m ≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3【解析】【分析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入曲线C1：x2+y2﹣4x＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，根据根与系数关系可得则t1t2＝﹣3，故可求|P A|•|PB|＝|t1t2|＝3.【详解】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得ρ2＝4ρcosθ，即为x2+y2﹣4x＝0，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数），可得xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0；（2）因为P（1，0）在直线C2上，将直线C2的参数方程1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，可得（1+tcosα）2+（tsinα）2﹣4（1+tcosα）＝0，化为t2﹣2tcosα﹣3＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝﹣3，可得|P A|•|PB|＝|t1t2|＝3.【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解. 23．（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】【分析】（1）当m＝2时，函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|≤9,对x分类讨论，分别在三个区间1122x x x--≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集；（2）若f（x）≤2的解集不是空集，转化为f（x）min≤2成立，又根据|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|恒成立，f（x）min＝|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.。
2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学(理)试题Word版含解析
2020届重庆市巴蜀中学高三下学期适应性月考数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()2z i i i -⋅=-，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】D【解析】首先得到2iz i i-∴=+，再化简复数. 【详解】2iz i i--=()2222111i i i i z i i i i i i --+∴=+=+=+=---. 故选：D 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题型. 2．已知集合{}|1A x x =<，1|1B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}|01x x x <>或 B ．{}|010x x x <<<或 C ．{}|0x x < D ．φ【答案】C【解析】解不等式得出集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【详解】()()1|1=1,0B x x ⎧⎫=<+∞⋃-∞⎨⎬⎩⎭，,则A B =I {}|0x x <故选：C 【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24 【答案】C【解析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。
【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()831222a a S +⨯=== ，故选C 。
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
4．已知随机变量X 服从正态分布(1,1)N -，则(01)P X <≤=（ ）（附：若2(,)X N μσ-，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=）A ．0.1359B ．0.906C ．0.2718D ．0.3413【答案】A【解析】由题意可知1,1μσ=-=，利用3σ原则，计算结果. 【详解】由题意可知1,1μσ=-=()()012P X P X μσμσ<≤=+<≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特性和曲线所表示的意义，意在考查3σ原则和曲线的对称性，属于基础题型. 5．将函数()sin 2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12，再向右平移6π个单位长度后得到()g x ，则()g x 的解析式为A ．()sin()6g x x π=-B ．()sin()6g x x π=+C ．2()sin(4)3g x x π=- D ．()sin(4)6g x x π=-【答案】C【解析】将函数()sin2f x x =的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的12得到sin 4y x =，再向右平移6π个单位长度后 得到()g x ，2()sin 4()sin(4)63g x x x ππ=-=-，故选C. 6．已知点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上，则下列四点中也在图象上的是（ ） A ．(,1)a b -+ B ．(,)a b --C ．(,1)a b --D ．(,)a b -【答案】B【解析】首先计算()()0f x f x -+=，由此判断选项. 【详解】()()1111221221x x f x f x --+=-+-++ 2111221x x x=--++ 21111012x x+=-=-=+ ， ∴点(,)a b 在函数11()221x f x =-+的图象上时，点(),a b --也在图象上. 故选：B 【点睛】本题考查函数的对称性的简单应用，属于基础题型，本题的关键是根据函数的形式，判断()()0f x f x -+=.7．如图是一个算法的程序框图，若该算法输出的结果是1011，则选择框里应该填入的是（ ）A ．9?i <B ．10?i <C ．11?i <D ．12?i <【答案】C【解析】首先判断程序框图的作用，然后根据输出结果判断选项. 【详解】由程序框图可知，程序是求数列()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯-的和， ()11111n n n n=---（2n ≥）根据裂项相消法可知()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯- 11111111......223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n n n-=-= ， 由题意可知11011i i -=， 解得：11n =，这里i n = ，∴10i =进入循环，11=i 退出循环， ∴选择框里应填入11?i <.故选：C 【点睛】本题考查根据程序框图的的输出结果，求判断框的内容，属于基础题型，本题的关键是读懂循环结构，并会用裂项相消法求和.8．从“舞蹈、相声、小品、歌唱、杂技 ”5个候选节目中选出4个节目参加“艺术节”的汇演，其中第一出场节目不能是“舞蹈”，则不同的演出方案种数是（ ） A ．72 B ．96 C ．120 D ．144【答案】B【解析】分选到的4个节目没有“舞蹈”和有“舞蹈”两类情况讨论，按照先选再排的方法求解. 【详解】当选出的4个节目没有“舞蹈”，则有4424A =种演出方法，当选出的4个节目有“舞蹈”，则再选3个，则有344C =种选择方案，第一场有3种方法，再安排其他节目有336A =种方案，则不同的演出方案有43672⨯⨯=种方法，综上，共有247296+=种方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列的应用，意在考查分析问题的能力，属于基础题型.9．已知正项数列{}n a 满足：12n n a a +>，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列四个命题中错误的是（ ）A ．112nn a a +>B ．()212kk kS S>+⋅C ．12(2)n n S a a n <-≥D ．1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列【答案】D【解析】由条件逐一分析选项，A,;利用不等式迭代得到选项；B.由条件可知112kk a a +> ，222kk a a +>，……22kk k a a >，得到12212...2...k k k kka a a a a a +++++>+++，再证明；C. 由条件对不等式进行放缩得到123123 (2222)n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---=++++<+++++，再求和证明；D.设数列{}n a 是公比为4的等比数列，说明结论. 【详解】A.0n a >Q ，根据已知可知231121222......2nn n n n a a a a a +-->>>>，112n n a a +∴>，故A 正确；B.0n a >，()()12122212.........k k k k k k ka a a a a a S S a a a +++++++++=+++ 12212...1...k k kka a a a a a +++++=++++ ，由A 可知112k k a a +> ，222k k a a +>，……22kk k a a >,12212...2...k k k kka a a a a a +++++∴>+++，()221212k k kk k kS S S S ∴>+⇒>+，故B 正确； C.由A 可知1122n n n n a a a a -->⇒<……,222222n n n n a a a a -->⇒<111122n n n n a a a a -->⇒<()2n ≥， 123123......2222n n n nn n n n n n a a a a S a a a a a ---∴=++++<+++++ 1211......122n n n a --⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1112211212n n n n a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭122n n n aa -=- ，由A 可知112nn aa -> ，()2n ≥ 11222n n n n aa a a -∴-<- ， 12n n S a a ∴<- ()2n ≥，故C 成立；D.若数列{}n a 是正项等比数列，并且公比4q =，则142n na a +=>，此时1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，不是递增数列，故D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查数列，不等式，证明的综合问题，意在考查推理证明，数列的综合应用，属于难题，本题的关键是根据条件进行迭代，从而根据不等式进行证明.10．已知三棱锥P ABC -中，90PAB PAC BAC ︒∠=∠=∠=，1PA =，2AB AC ==，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，则直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为（ ）A ．7B ．2C ．33D ．22【答案】A【解析】首先将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，求球心到直线MN 的距离，再求 直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长. 【详解】由题意，将三棱锥P ABC -补全如图所示的长方体，外接球的球心长方体的对角线的中点O ，22221223R =++= ,即32R =， OM ⊥平面PAB ，ON ⊥平面PAC ， OM ON ∴⊥，且1OM ON ==OMN ∴∆是等腰直角三角形，2MN =点O 到直线MN 的距离就是等腰直角三角形的高1222OH MN ==， ∴ 直线MN 被三棱锥P ABC -外接球截得的线段长为229122742R OH -=-=.故选：A 【点睛】本题考查球和几何体的组合体的综合问题，意在考查空间想象能力，作图能力，计算能力，属于中档题型，三棱锥的条件是三条棱两两垂直，或是对棱相等时都可以采用补体，将三棱锥补成长方体，再分析外接球的问题.11．已知1F ，2F 分别为双曲线22143x y -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为M ，1F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒ B ．120︒C ．90︒D ．60︒【答案】B【解析】根据对称性得到1224PN PM PF PF a -=-==，根据余弦定理得到()212121621cos3MN PF PF F PF =+⋅-∠，由三角函数的有界性得到得到||MN 的最小值.【详解】根据对称性知：2PM PF =，1PN PF =，故1224PN PM PF PF a -=-==. 根据余弦定理：2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-⋅∠()()()()2121212121221cos 231621cos3PF PF PF PF F PF PF PF F PF π=-+⋅--∠=+⋅-∠120PF PF ⋅>Q ，12cos31F PF ∠≤故当121cos30F PF -∠=，即1223F PF π∠=时，||MN 有最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型. 12．已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．12e-B ．2e -C ．1e-D ．e -【答案】D【解析】首先不等式变形为ln ln ax a x xe x e --≥⋅，()xf x xe=()1x >，不等式等价于()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变分离ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln x axe xa x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()xf x xe =()1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立， 等价于()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立，()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，ln x a x ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 令()ln x g x x= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >， 当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减， 当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，a e ∴-≤ ，即a e ≥-，a ∴的最小值是e -.故选：D 【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln ax a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立.二、填空题 13．（题文）的二项展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】试题分析：展开式的通项公式为，令，常数项为【考点】二项式定理14．若变量,x y 满足约束条件1,1,1,y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是_______.【答案】5【解析】画出可行域分析最大值点即可. 【详解】由题画出可行域,将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+, 易得在(2,1)处取得最大值为2215z =⨯+=.故答案为：5 【点睛】本题主要考查了线性规划的一般方法,属于基础题型.15．若a r，b r，c r 均为单位向量，a r，b r的夹角为60︒，且c ma nb =-rr r，则mn 的最大值为________. 【答案】1【解析】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr ，再利用基本不等式求mn 的最大值.【详解】()22222c ma nbm n mna b =-=+-⋅r rr rr111cos602a b ⋅=⨯⨯=o rr ，221m n mn ∴+-=， 222m n mn +≥Q ，21mn mn ∴-≤ ，即1mn ≤ ，等号成立的条件是m n = ，mn ∴的最大值为1.故答案为：1 【点睛】本题考查向量数量积，基本不等式求最值的综合应用，属于基础题型.16．已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=u u u r u u u r，则λ=________.【答案】4【解析】首先判断直线l 过抛物线的焦点，方程联立求点,A B 的坐标，并得到AF ，BF 的值，求λ. 【详解】直线:l 当0y =时，2p x =， ∴直线l 过抛物线的焦点，,,A F B 三点共线，联立直线与抛物线方程，224320y pxx y p ⎧=⎨--=⎩ ，得2281720x px p -+=， 解得：2A x p = ，8B p x =， 522A p AF x p ∴=+=，528B p BF x p =+=，4AF FBλ==u u u r u u u r .故答案为：4 【点睛】本题考查直线与抛物线的简单综合问题，焦半径公式，意在考查计算能力，属于基础题型.三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c B =+. （1）求角C 的大小；（2）若5a b +=，c =，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3π；（2【解析】（1）首先根据正弦定理，边角互化得到2sin sin 2sin cos A B C B =+，再利用三角恒等变形得到cos C 的值；（2）根据余弦定理得2213a b ab =+-，变形求ab 和三角形的面积. 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B =+，()sin sin A B C =+Q ，可得()2sin sin 2sin cos B C B C B +=+ 得：2sin cos sin B C B =，sin 0B ≠Q ,1cos 2C ∴=, 0C π<<Q ，3C π∴=；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 代入可得()222133a b ab a b ab =+-=+-，()231312ab a b ∴=+-= ，4ab ∴= ，1sin 2ABC S ab C ∆∴==【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想，属于基础题型.18．某学校有30位高级教师，其中60%人爱好体育锻炼，经体检调查，得到如下列联表.（1）根据以上信息完成22⨯列联表，并判断有多大把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”？ （2）现从身体一般的教师中抽取3人，记3人中爱好体育锻炼的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）详见解析；（2）分布列见解析，35E ξ=【解析】（1）首先求22⨯列联表，并计算27.879K >，得到答案；（2）由题意可知0,1,2ξ=，并按照超几何分布概型求概率，并写出分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意可知爱好体育锻炼的人有3060%18⨯=人，22⨯列联表如下表所示，()223016842107.87920101812K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯∴有99.5%的把握认为“身体好与爱好体育锻炼有关系”.（2）身体一般的人数有10人，任取3人，其中爱好体育锻炼的人有2人， 则0,1,2ξ=()383107015C P C ξ===，()12283107115C C P C ξ=== ,()21283101215C C P C ξ=== ,ξ0 1 2P 715715 11577130121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验，超几何概率类型求分布列和数学期望，意在考查对数据的分析，理解题意，抽象概括为数学问题，属于基础题型.19．如图，三棱锥S ABC -中，90ASC ABC ︒∠=∠=，30CAB ︒∠=，60CAS ︒∠=，30SB =，43AC =.（1）求证：平面ASC ⊥平面ABC ； （2）M 是线段AC 上一点，若534AM =A SM B --的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）135o【解析】（1）过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明SH ⊥平面ABC ；（2）以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，分别求平面ASM 和平面SMB 的一个法向量为n r ，m r，利用公式cos ,m n <>r r求二面角的大小. 【详解】（1）证明：过点S 作SH AC ⊥于点H ，连接BH ，在Rt ASC ∆中，由90ASC ∠=o ，60CAS ∠=o ，43AC =可得3AS =6SC =，在Rt AHS ∆中，由SH AC ⊥，60CAS ∠=o ，可得3SH =，3AH =，在Rt ABC ∆中，由43AC =30CAB ∠=o ，可得6AB =，在ABH ∆中，由余弦定理可得22262621BH =+-⨯=o，即BH =，在SHB ∆中，3SH =，BH =SB =，222SB SH BH ∴=+SH BH ∴⊥又SH AC ⊥，BH AC H =I ，SH ∴⊥平面ABC ， SH ⊂Q 平面ASC ，∴平面ASC ⊥平面ABC .（2）如图所示，以点H 为坐标原点，,HA HS 所在直线分别为x 轴，z 轴，在平面ABC 上垂直于AC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,3S，()B -，M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则34SM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，()3SB =--u u r ，易知平面ASM 的一个法向量为()0,1,0n =r，设平面SMB 的一个法向量为(),,m x y z r=， 则00m SM m SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vr u u v r，即304330x z y z ⎧--=⎪⎨⎪-+-=⎩， 令1z =，得()7,1m =--r，于是cos ,2m n m n m n ⋅<>===-r r r rr r ，又二面角A SM B --为钝角，所以二面角A SM B --为135o .【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角，意在推理证明，利用空间向量解决空间角，属于中档题型，本题第一问的关键是作辅助线，并且根据三边长度满足勾股定理，证明SH BH⊥.20．如图，B，A是椭圆22:14xC y+=的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是BQk，AQk，APk.（1）求证：14BQ AQk k⋅=-；（2）若直线PQ过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭，求证：4AP BQk k=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设()11,Q x y，代入斜率公式求14BQ AQk k⋅=-；（2）设直线PQ的方程是65x my=+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQk k⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y21211122111111422444BQ AQxy y yk kx x x x-⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得：()22126440525m y my ++-= ， ()1221254m y y m +=-+ ，()12264254y y m =-+ ，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++ ，1AP AQ k k ∴⋅=- ,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-， 两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21．已知函数()ln xe f x a x x-=．（1）当0a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值；（2）若202e a <≤，求证：()0f x >．【答案】（1）()min f x e =（2）证明见解析【解析】（1）由0a =得()()0xe f x x x>=，对其求导，解对应的不等式，判断单调性，即可得出最值；（2）先对函数求导，得到()()21--'=x x e ax f x x，根据202ea <≤，判断函数()f x 的单调性，求出最小值，再由导数的方法研究()f x 最小值的范围，即可证明结论成立. 【详解】（1）当0a =时，由()()0x e f x x x >=，得()()21x x e f x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减；当()1,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()min 1f x f e ==． （2）由题意，函数的定义域为()0,+∞，()()()2211x x x e x e ax a f x x xx ---'=-=， 令()()1xg x x e ax =--，0x >，则()xg x xe a '=-，设()xt x xe a =-，则()()+10xt x x e '=>， 易知()g x '在()0,+∞上单调递增，∵202e a <≤，∴()00g a '=-<，()2220g e a '=->，所以存在唯一的()10,2x ∈，使()10g x '=，当()10,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当()1+x x ∈∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又∵()0=1g -，()2220g e a =-≥，∴当()10,x x ∈时，()()00g x g <<，即()g x 在()10,x 上无零点， ∴存在唯一的(]01,2x x ∈，使()00g x =，即()0001=xx e ax -，∵()10g a =-<，∴012x <<，则000=1x e ax x -． 当()00,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减； 当()0,+x x ∈∞时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单单调递增． ∴()()00000min0001ln =ln ln 11x e af x f x a x a x a x x x x ⎛⎫==--=- ⎪--⎝⎭，012x <<．令()1ln 1h x x x =--，则()h x 在()1+¥，上单调递减，∵012x <<∴()()021ln20h x h >=->，又∵0a >∴()min 0f x >，从而()0f x >． 【点睛】本题主要考查求函数的最值，以及由导数的方法证明不等式恒成立，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，极值，最值等即可，属于常考题型. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）1C ：2cos ρθ=，2C ：2240x y y +-=；（2）5【解析】（1）先消参得1C 的普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==进行转换即可； （2）两曲线联立求得交点坐标，再由两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，即222x y x +=，转化为极坐标方程为：2cos ρθ=.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，两边同乘ρ，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=；（2）联立2222240x y x x y y ⎧+=⎨+-=⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 不妨设(0,0)A ，48(,)55B，则5AB ==.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离的求解，属于基础题. 23．已知函数()22f x x x m =-++. （1）当1m =时，解不等式()3f x ≤；（2）若不等式()3f x ≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4[0,]3；（2）42m -≤≤【解析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；（2）讨论m 和-1的大小，求函数的最小值，只需最小值满足不等式即可. 【详解】（1）1m =时，()32213f x x x ≤⇔-++≤11223x x x ≤-⎧⇔⎨---+≤⎩或111223x x x -<<⎧⎨+-+≤⎩或12213x x x ≥⎧⎨-++≤⎩，解得：40x 3≤≤， 所以不等式的解集为4[0,]3.（2）①当1m <-时，22,1()22,122,x x m x f x x x m x m x x m x m -+--<⎧⎪=---≤≤-⎨⎪-++>-⎩，即32,1()2,132,x m x f x x m x m x m x m -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩. ∴1x =时，()f x 取得最小值1m --，∴13m --≤，解得41m -≤<-， ②当01x ≠时，33,1()3133,1x x f x x x x -≤⎧=-=⎨->⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值0，03≤，故01x ≠符合，③当1m >-时，32,()2,132,1x m x m f x x m m x x m x -+-<-⎧⎪=-++-≤≤⎨⎪-+>⎩，所以1x =时，()f x 取得最小值1m +，∴13m +≤，即得12m -<≤， 综上：42m -≤≤． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解及含绝对值函数的最值的求解，涉及分类讨论的思想，属于中档题.。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高三(上)适应性数学试卷(二)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高三(上)适应性数学试卷(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ={x |2x -8≥0}，B ={x |x 2-7x +10≤0}，则A ∩B =( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |3≤x ≤5}C ．{x |x ≤5}D ．{x |x ≥2}2．设i 为虚数单位，已知z = i 1+2i，则z 的虚部为( )A ． 25B ．- 25C ． 15D ．- 153．在△ABC 中，“AB →•AC →>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”，该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝(dB )为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v 的声音对应的分贝数为f (v )dB ，那么满足：f (v )=10×lg v 1×10-12．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB ，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为( )A ．40B ．100C ．40000D ．100005．设单位向量a →，b →满足：|a →+2b →|=1，则|2a →-b →|=( )A ．1B ．2C ．3D ．46．某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有( )种不同的结果．A ．36B ．27C ．24D ．187．(x 2- 2x)5的展开式中x 的系数为( )A ．40B ．-40C ．80D ．-808．设函数f (x )= sin nx sin x(n ∈N *)，则下列说法正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是周期函数C ．f (x )的图象关于点( π2，0)对称D ．|f (x )|≤19．θ∈(0，π)若cos 2θ+cos 22θ=1，则θ=( )A ． π6， 5π6B ． π6， π3C ． π6， π3， π2D ． π6， π2， 5π610．设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列式子一定成立的是( )A ．tan A •tanB •tanC =tan A +tan B -tan CB ．a 2=b 2+c 2+2bc ⋅cos AC ．cos 2A +cos 2B +cos 2C +2cos A cos B cos C =1D ．b 2+c 2=ab cos C +ac cos B +bc cos A11．为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路(如图中虚线处)，要求该道路与两条直线道路平滑连接(注：两直线道路：y 1=-2x ，y 2=3x -9分别与该曲线相切于(0，0)，(3，0))，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为( )A ．f (x )=- 13x 3+ 53x 2-2x B ．f (x )= 13x 3- 13x 2-2x C ．f (x )= 19x 3+ 13x 2-2x D ．f (x )=- 13x 3-x 2+2x 12．如图，设在△ABC 中，AB =BC =AC ，从顶点A 连接对边BC 上两点D ，E ，使得∠DAE =30°，若BD =16，CE =5，则边长AB =( )A ．38B ．40C ．42D ．44二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a →=(3，2)，b →=(-2，m )，若a →⊥b →，则m =．14．设函数f (x )=3sin (2x - π3)-1，则f (x )在x ∈[0， π2]上的最大值为．15．去年底，新一代的无线网络技术WIF 16发布．相比于上一代，WIF 16加入了新的OFDMA 技术，支持多个终端同时并行传输，有效提升了效率并降低延时，小明家更换了支持WIF 16的新路由器，设在某一时刻，家里有n 个设备接入该路由器的概率为P (n )，且P (n )=P (0)⋅( 13)n ，1≤n ≤30，n ≥4，那么没有设备接入的概率P (0)=．16．函数y =[x ]称为取整函数，也称高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，例如：[1.3]=1，设函数f (x )= e x x-x ，则函数g (x )=[f (x )]在x ∈[2，3]上的值域为(其中e ≈2.718，e 2≈7.389，e 3≈20.086)三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1+cos 2B -2cos 2C =0．(1)求sin B ：sin C 的值；(2)若a = 15，且△ABC 为锐角三角形，求c 的取值范围18．甲、乙两名同学进行兵乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是 12．(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；(2)若现在的比分是3比1甲领先，记ξ表示结束比赛还需打的局数，求ξ的分布列及期望．19．已知f (x )=2sin ωx ( 3sin ωx -sin ωx )+1(ω>0)．(1)若函数f (x )的最小正周期为π，求ω的值及f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈(0， π3]时，方程f (x )=1恰好有两个解，求实数ω的取值范围．20．如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，且A 1C ⊥平面ABC ，E 是AB 的中点，且AB =2．(1)求证：BC 1∥平面A 1EC ；(2)已知三棱锥A 1-CC 1E 的体积为 36，求二面角C -A 1E -C 1的余弦值．21．已知椭圆E ： x 2a 2+ y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e = 32，△BF 1F 2的面积为 3．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)直线l ：y =kx +m (m ≠±1)与椭圆E 相交于点P ，Q ，则直线BP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2=t ，其中t 是非零常数，则直线l 是否经过某个定点A ？若是，请求出A 的坐标．22．已知f (x )=(ax +1)ln x -ax ．(1)当a =1时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在(0，+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )=f ′(x )，存在0<x 1<x 2，且x 1+x 2=1，g (x 1)=g (x 2)，求实数a 的取值范围．。
[名师原创解析]2020届四川省巴蜀中学高考适应性月考卷(二)理科数学试题
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3
2
A.3
B.4
C.5
D.6
第九套 - 1
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
【考点】三角函数的性质
【命题意图】本题考查了三角函数的性质，分类讨论的数学思想，考查了学生的逻辑思维能
力和运算能力。
答案：D.
解析：（浙江衢州汪强）
当 ω > 0 时， 5π ≤ ω ⋅ π + π < 13π ，即 2 ≤ ω < 6 ，所以 ω = 2，3，4，5 ；
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
❿ 巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（二）
理数
10.（巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（二）理数）已知 AB ⋅ AC = 0, BC = 4, P 是三角
形 ABC 平面内任意一点，且满足| PA |= 1, PB ⋅ PC 的最小值是（ ）.
x
第九套 - 4
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
f (x) 的导函数，若关于 x 的方程 f '(x) − f (x) = 0 有两个不等的根，则实数a 的取值范围是 x +1
________________.
【考点】导数与零点问题
【命题意图】此题对学生能力要求较高，是拉开学生得分档次的题目.本题考查了学生利，
第九套 - 2
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
y′ = x ，所以 2k =
p
p
解法 3：极限法 2
l1,l2 重合时，直线 AM 即抛物线在点 A 处的切线，直线 BN 即抛物线在点 B 处的切线，
联立直线l1 与抛物线C 消去 y 得 xA + xB = 2pk ，由阿基米德三角形知 xA + xB = 2xE ，
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(二)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共12页）巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．根据同角三角形函数关系22sin cos 1αα+=，且cos 0α<，故选D ． 2．因为[17]A =，，集合B 是由正的奇数构成的集合，所以AB ={1357}，，，，故选C ． 3．(32)a b λ+=+，，(31)c =-，，因为()//a b c +，633λ+=-，所以3λ=-，故选B . 4．(13)0.4P X <=≤，所以(35)0.4P X <=≤，故选D ． 5．对称轴方程为ππ2π32x k -=+，所以π5π212k x =+，当1k =-时，π12x =-，故选B ． 6．()H x 表示的进位取整的分段函数，不是奇函数，也不关于1x =对称，所以A B ，选项错误，两个数分别进位取整之和不小于两个数之和的取整，故选D ．7． sin sin sin cos sin cos B C A B A C +=+，sin sin()B A C =+，sin sin()C A B =+，所以有sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos A C A C A B A B A B A C +++=+，得到cos sin A B +cos sin 0A C =，即co s (s i n s i n )0A B C +=，因为sin sin 0B C +≠，所以cos 0A =，∴π2A =， 故选A ．8．复合函数中，内函数是偶函数，复合函数必然也是偶函数，内函数是周期函数，其周期必理科数学参考答案·第2页（共12页）然是复合函数的周期，内函数的对称轴，也必然为复合函数的对称轴，所以A ，B ，C 错误.或者选择排除法：对于A ，令1x =-和1x =，得到(cos1)sin 2f =±，矛盾；对于B ，令π3π22x =，，得到(0)1f =和(0)1f =-，矛盾；对于C ，π3π44x =，，得到1f =⎝⎭和1f =-⎝⎭，矛盾；对于D ，2(sin )12sin f x x =-，只需取2()12f x x =-即可，故选D ． 9．因为SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，转换为长方体模型，222248R SA AB BC =++=，所以三棱锥S ABC -外接球的表面积为24π8πR =，故选C ．10．取BC 的中点为O ，22()()PB PC PO OB PO OC PO OB =++=-，因为||2OB =，|||PO PA =|||||1AO OA PA +-=≥，所以PB PC 的最小值为3-，故选B ．11．当0ω>时，5πππ13π6366ω+<≤，即26ω<≤，所以2345ω=，，，；当0ω<时，11πππ7π6366ω-<+-≤，即6ω-<≤4-，54ω=--，，故选D ． 12．几何法：联立直线1l 与抛物线C 消去y 得2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，所以P Q x x pk ==，又因为直线PQ 过点E （EP 为中线，所以EQ 也为中线，所以P Q E ，，三点共线），所以2E x pk k ==，所以2p =，从而抛物线C 的方程为24x y =，故选D ．极限法：M N ，重合时，E 点就是()M N ，所以2l 就是抛物线在E 点处的切线，因为2E x k =，而x y p '=，所以2kk k p==，所以2p =，从而抛物线的方程为24x y =，故选D ． 代数法：设11()A x y ，，22()B x y ，，33()M x y ，，44()A x y ，，221212121222ABx x y y p p k x x x x --===-- 122x x k p+=，同理223434343434222MNx x y y x x p p k k x x x x p --+====--，223113131322AM x x y y p p k x x x x --===-- 132x x p+，222424242424222BNx x y y x x p p k x x x x p --+===--，所以AM 直线为1311()2x x y y x x p+-=-，化理科数学参考答案·第3页（共12页）简得1313()20x x x py x x +--=；同理BN 直线为2424()20x x x py x x +--=，联立两条直线消去y 得22132424242413242424(2)(2)42()42()42()x x x x pk x pk x x x p k pk x x x pk x x x x pk x x pk x x -----+====+---+-+，所以2k pk =，所以2p =，从而抛物线的方程为24x y =，故选D ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 13．|||2i ||12i |z =++，所以||z =5.14．定义域为22240x x -->，4x <-或6x >，且2224x x --在(4)-∞-，上单调递减，在(6)+∞，上单调递增，又因为1013<<，所以()f x 在(4)-∞-，上单调递增，在(6)+∞，上单调递减，所以()f x 的单调递增区间为(4)-∞-，.15．解法一：sin(4020)2sin 20cos40sin 40cos20sin 20cos40sin 60︒-︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=解法二：sin 202sin 20cos40sin 20sin 20cos40sin 20cos40sin 20(cos40︒+︒︒=︒+︒︒+︒︒=︒︒ 21)sin 20cos402cos 20sin 20sin 20cos40sin 40cos20sin 20cos40++︒︒=︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=sin 60︒=16．因为1()ln f x x a x =++，211()f x x x '=-代入()()01f x f x x '-=+，得21ln 101x a x x x x ++--=+，化简得2111ln 0x a x x ----=，所以2111ln a x x x =---(0)x >.令211()1ln g x x x x =---，223331212(2)(1)()x x x x g x x x x x x -++-+'=+-==-，所以在(02)x ∈，时，()0g x '>，在(2)x ∈+∞，时，()0g x '<，所以()g x 在(02)，上单调递增，在(2)+∞，上单调递减.因为1(2)ln 24g =-，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞，因为()a g x =理科数学参考答案·第4页（共12页）有两个不同的根，所以实数a 的取值范围是1ln 24a <-. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）1π()sin 221sin 2123f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ……………………………（2分）所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，…………………………………………（3分） 当且仅当ππ22π32x k k +=+∈Z ，时，()f x 取得最大值为2， ……………………（5分） 此时x 的集合为ππ12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，. ……………………………………………（6分）（2）π()()sin 2213g x f x x ϕϕ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭， …………………………………………（8分）因为()g x 是偶函数，所以ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ，，即ππ212k k ϕ=+∈Z ，， ………（10分） 所以ϕ的最小值为π12ϕ=. ………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点，又因为E 是SD 的中点， 在三角形SBD 中，OE 为中位线，所以//.OE SB ……………………………………（3分） 又因为SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， …………………………………………（4分） 所以//SB 平面ACE . ……………………………………………………（5分） （2）解：因为SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥AC ， 在直角三角形SAC 中，2SA =，SC = 2.AC = 又因为2AB AD ==，所以三角形ABC ，ACD 都是等边三角形，所以BD =. ……………………………………………………（6分） 以OD 为x 轴正方向，OA 为y 轴正方向，过O 作AS 的平行线为z 轴正方向，理科数学参考答案·第5页（共12页）建立空间直角坐标系O xyz -，(000)O ，，，00)D ，，(010)A ，，，(012)S ，，， ……………………………………………………（7分）(12)DS =，所以224333DE DS ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，324.33OE OD DE ⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭，， 因为BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量为1(300).n OD ==，，………………………………………………（8分）设平面ACE 的一个法向量为2222()n x y z =，，，因为OA ⊂平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以20n OA =，20n OE =，所以2222024033y y z =⎧++=，，………………………（9分） 令24x =，则2z =20y =，所以2(40n =，，.……………………………（10分） 所以1n 与2n夹角的余弦值1212cos ||||319n n n n θ===…………………（11分） 所以二面角S AC E --……………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）记X 表示甲运动员两次射击命中环数之和，则18X =包含“第一次10环第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环第二次9环”这三种情况，………………………………………………………………………（2分）所以(18)P X ==1211111C 33333⨯+⨯=， 所以甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为13. ……………………（5分）（2）记i A 表示甲在第i 轮胜利，i B 表示甲在第i 轮平局，i C 表示甲在第i 轮失败， 则151151()384382i P A ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，1()3i P B =，1().6i P C = …………………………（7分）①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮甲连续胜利，第1轮甲没有获得胜利，理科数学参考答案·第6页（共12页）其概率1P =111112228⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭；…………………………………………………（9分） ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮，第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利， 其概率2P =1155666216⨯⨯=， …………………………………………………（11分） 所以经过3轮比赛结束的概率1215324821621627P P P =+=+==， 所以经过3轮比赛结束的概率为427. ………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）因为c e a ==，所以2234c a =，所以2214b a =， ………………………（2分）所以222214x y b b +=，将1P ⎛ ⎝⎭代入方程得21b =，所以24a =， ………………（4分） 所以椭圆E 的标准方程为22 1.4x y += …………………………………………………（5分）（2）设1122()()M x y N x y ，，，，不妨假设12y y <，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b +=，MN的直线为2x +.……………………………………………………（6分）直线与椭圆联立得2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，消去x整理得221612120y b ++-=，由韦达定理得12y y +=，212334b y y -=，………………………………………（8分）因为||2||MD ND =，即122y y =-， ………………………………………（9分） 所以2y-=1y =，代入得233324b --=，所以23b =，所以212a =，…………………………………………………………………………（11分）所以椭圆E 的方程为221123x y +=. …………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第7页（共12页）21．（本小题满分12分）解：（1）因为212()(1)e1x x f x x -=+-，则2122()ex x f x x -'=，……………………………（1分）所以x ∈R 时，()0f x '≥， …………………………………………（2分） 所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，又(0)0f =，……………………………………（3分） 所以(0)x ∈-∞，时，()0f x <，(0)x ∈+∞，时，()0f x >，则()0f x >的解集为(0)+∞，. ………………………………………………………（4分） （2）解法一：因为x ∈R 时，222e e 1mx x x++≥恒成立，等价于22e 1e emx x x x+-≥恒成立， 即212e e ()e mx x xx +∈R ≥，因为都是偶函数， 所以只需[0)x ∈+∞，时，222e e 10mx xx +--≥成立即可. ……………………………（5分）令22()2e e 1mxxx F x +=--，(0)0F =，2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mx xF x mx mx +-'=+-=+-，(0)0F '=，令2()(21)e 1mx xG x mx -=+-，(0)0G =，22222()2e (21)(21)e (421)e mxxmxxmxxG x m mx mx m x m ---'=++-=+-.…………………（6分）（ⅰ）当210m -≥，即12m ≥时，()0G x '≥，所以()G x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0G =，所以[0)x ∈+∞，时，()0G x ≥，即()0F x '≥， 所以()F x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0F =，所以[0)x ∈+∞，时，()0F x ≥，所以12m ≥时满足要求； …………………………（8分）（ⅱ）当0m =，1x =时，22e e 1<+，不成立，所以0m ≠； ……………………（9分） （ⅲ）当210m -<且0m ≠时，即12m <且0m ≠时， 1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x '<，()G x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0G =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x <，即()0F x '<，理科数学参考答案·第8页（共12页）所以()F x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0F =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0F x <，所以12m <且0m ≠时不满足要求，…………………………………………………………………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. …………………………………………（12分）解法二：因为x ∈R 时，222e e 10mx xx +--≥恒成立.令22()2e e 1mxxx F x +=--，2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mxxF x mx mx +-'=+-=+-，令2()(21)e 1mxxG x mx -=+-，222()(421)e mxxG x m x m -'=+-. …………………………（6分）（ⅰ）当210m -≥，即12m ≥时，()0G x '≥，所以()G x 在()-∞+∞，上单调递增，又因为(0)0G =，所以(0)x ∈-∞，时，()0G x <，(0)x ∈+∞，时，()0G x >， 即(0)x ∈-∞，时，()0F x '<，(0)x ∈+∞，时，()0F x '>，所以()F x 在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增，且(0)0F =，所以x ∈R 时，()0F x ≥，所以12m ≥时满足要求；…………………………………（8分）（ⅱ）当0m =，1x =时，22e e 1<+，不成立，所以0m ≠； ……………………（9分） （ⅲ）当210m -<且0m ≠时，即12m <且0m ≠时， 1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x '<，()G x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0G =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x <，即()0F x '<，所以()F x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0F =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0F x <，所以12m <且0m ≠时不满足要求，……………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. ……………………………（12分）理科数学参考答案·第9页（共12页）解法三：因为x ∈R 时，222e e 1mx xx++≥恒成立，等价于22e 1e emx x x x+-≥恒成立， 即212e e ()e mx x xx +∈R ≥，因为都是偶函数， 所以只需[0)x ∈+∞，时，222e e 10mxxx +--≥成立即可. ………………………………（5分） （ⅰ）当0m ≤时，22e 2mx ≤，1e 2ex x +≥，所以0m ≤时不成立； ………………………………………………………………（6分）（ⅱ）当12m ≥时，令22()2e e 1mx x x F x +=--，2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mxxF x mx mx +-'=+-=+-.令2()(21)e1mx xG x mx -=+-，又因为[0)x ∈+∞，，所以212()(1)e 1x x G x x -+-≥，由（1）知()0f x '≥，所以12m ≥时，()0G x ≥，所以()0F x '≥，即[0)x ∈+∞，时，()F x 单调递增，又因为(0)0F =，所以()0F x ≥，所以12m ≥时，满足要求； ………………………………………………………（8分）（ⅲ）当102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，222ln(21)2(21)()(21)e 1e 1e 1e 1mxxmx mxxmx mxxx mx m G x mx -++-+-+-=+-=-<-=-，当102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，(21)e 10x mx m +--<，所以()F x 在102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递减，则102x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()(0)0F x F <=，所以102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不成立，…………………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. …………………………………………（12分）解法四：因为x ∈R 时，222e e 1mx xx ++≥恒成立，即当x ∈R 时，222e e 10mxxx +--≥成立.令22()2e e 1mxxx F x +=--，即x ∈R 时，()0F x ≥，所以12(1)2ee 10m F +=--≥，2e 11ln 2m ++≥，即2e 1ln 102m +->≥.……………………………………………………………………………（5分）理科数学参考答案·第10页（共12页）2222()2(21)e 2e 2e [(21)e 1]mxxx x mx xF x mx mx +-'=+-=+-，(0)0F '=，令2()(21)e 1mx xG x mx -=+-，(0)0G =，22222()2e (21)(21)e (421)e mxxmxxmxxG x m mx mx m x m ---'=++-=+-.………………………………………………………………（6分）（ⅰ）当210m -≥，即12m ≥时，()0G x '≥，所以()G x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0G =，所以[0)x ∈+∞，时，()0G x ≥，即()0F x '≥， 所以()F x 在[0)+∞，上单调递增，又因为(0)0F =，所以[0)x ∈+∞，时，()0F x ≥，所以12m ≥时满足要求；…………………………（8分）（ⅱ）当102m <<时，1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x '<，()G x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0G =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0G x <，即()0F x '<，所以()F x 在1202||m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，又因为(0)0F =，所以1202||m x m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，时，()0F x <，所以102m <<时不满足要求，………………………………………………………（11分）综上所述，实数m 的取值范围是12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.…………………………………………（12分）解法五：当x ∈R 时，222ee 1mx xx++≥，即22e 1e2x mx x++≥，即22e 1ln 2x mx x ++≥， 当0x =时，m ∈R 都成立； ……………………………………………………（5分） 当0x ≠时，22e 1ln 12x m x x +-≥，令22e 1ln12()x g x x x +=-， 22242e 1e 1ln ln 2221()x x x xg x x x '⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=+，理科数学参考答案·第11页（共12页）22232e e 12ln e 12()xx x x x g x x ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭'=，令()h x =2222e e 12ln e 12x x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭， ……………（6分） ()h x '=22222222(2e )(e 1)2e (e 1)22e 21(e 1)e 12x x x x xx x x x ''+-+-+++ 22222222(42)e (e 1)4e e 4e 1(e 1)e 1x x x x xx x x x ++-=-+++ 22222222224e 2e e 2e 4e (e 1)(e 1)(e 1)x x x x x x x x x ++-+++=+222224e e e 1(e 1)x x x x x -+=+， 令()F x =2224e e e 1x x x x -+，()F x '=22222(84)e 4e e 4e (21e )0x x x x x x x +-=+-≤，………………………………………………（8分）所以()F x 在R 上是单调递减的函数，又因为(0)0F =，所以(0)x ∈-∞，时，()0F x >，(0)x ∈+∞，时，()0F x <，即(0)x ∈-∞，时，()0h x '>，(0)x ∈+∞，时，()0h x '<.所以()h x 在(0)-∞，上单调递增，在(0)+∞，上单调递减，且(0)0h =，所以(0)x ∈-∞，时，()0h x <，(0)x ∈+∞，时，()0h x <.又因为3()()h x g x x '=，所以(0)x ∈-∞，时，()0g x '>，(0)x ∈+∞，时，()0g x '<， 所以()g x 在(0)-∞，上单调递增，在(0)+∞，上单调递减.…………………………（10分）由洛必达法则：2222222e 1(e 1)2e 21e 10()22(e 1)4e 42[2(e 1)]x x x x x x x x g x x x x -'-+→=====++'+，， ……………………………………………………………………（11分）所以12m ≥，即实数m 的取值范围是1.2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，即224x y x +=，所以曲线1C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，………………………………………（2分）1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，，消去参数得sin cos sin 0x y ααα--=，理科数学参考答案·第12页（共12页） 所以2C 的普通方程为sin cos sin 0.x y ααα--=………………………………………（5分） （没讨论π2α=，直接写成斜率k 或tan α的均扣1分） （2）因为(10)P ，在直线2C 上，直线2C 的参数方程联立曲线1C ，…………………（6分） 得222(1cos )sin 44cos t t t ααα++=+，化简得22cos 30t t α--=， ………………（8分） 所以12||||||3PA PB t t == ，所以||||PA PB 的值为3. ………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当2m =时，()|1|2|2|.f x x x =++-（ⅰ）当1x -≤时，()14233f x x x x =--+-=-，即339x -，≤得2x -≥， 此时，满足要求的x 的取值范围是21x --；≤≤ ……………………………………………………………………（2分）（ⅱ）当12x -<<时，()1425f x x x x =++-=-，即59x -，≤得4x -≥， 此时，满足要求的x 的取值范围是12x -<<； ……………………………………（3分） （ⅲ）当2x ≥时，()12433f x x x x =++-=-，即339x -，≤得4x ≤， 此时，满足要求的x 的取值范围是24x ≤≤； ……………………………………（4分） 综上所述，()9f x ≤的解集是[24].-， ………………………………………………（5分）（2）因为()2f x ≤的解集不是空集，所以min ()2f x ≤， ………………………（6分）因为|1||||1|x x m m ++-+≥，||0x m -≥， ………………………………………………（7分） 所以()|1||||||1|f x x x m x m m =++-+-+≥，当且仅当x m =时取得等号，………………………………………………………（9分）所以|1|2m +≤，即31m -≤≤，所以实数m 的取值范围是31m -≤≤.……………………………………………………………（10分）。
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2020届重庆巴蜀中学高三适应性月考卷（二）数学（理）试题一、单选题1．已知α是第二象限角，且sin 45α=，则cos α＝（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35-【答案】D【解析】通过同角三角函数的平方关系，结合α是第二象限角，cos α为负值，直接代入解得答案. 【详解】∵α是第二象限角，且sin 45α=，可得3cos 5α==-, 故选：D . 【点睛】本题考查同角三角函数关系，注意象限角的符号即可，属于基础题.2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，7} B ．{3，5，7}C ．{1，3，5，7}D ．{1，2，3，4，5，6，7}【答案】C【解析】先求出集合A 与B ，求出两集合的交集即可． 【详解】∵集合()(){}{}|=17017|Ax x x x x ≤≤≤＝﹣﹣， 集合B ={x |x =2k +1,k ∈Z }， ∴A ∩B ={1，3，5，7}， 故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，此类题目一般比较简单，只需将两集合解出，再进行交并补运算即可求解.3．向量a =r （1，2），b =r （2，λ），c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ，则实数λ＝（ ） A ．3 B ．﹣3C ．7D ．﹣7【答案】B【解析】向量a r ，b r ，计算可得a b +r r ，再由c r 和（a b +rr ）∥c r ，代入向量平行的性质公式计算，即可求解. 【详解】根据题意, 向量=a r（1，2），=b r（2，λ），则()=32+a b λ+，rr ，c =r （3，﹣1），且（a b +r r ）∥c r ,则有()()3132+0λ⨯--=， 解可得=3λ-， 故选：B . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和平行的性质，属于平面向量常考题型.4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（ ） A ．0.1 B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】D【解析】根据已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），得到正态分布曲线关于=3x 对称，又根据题目P （x ≤1）＝0.1，由对称性可得()50.1P x ≥＝，因此得到P （1≤X ≤5）的值，再乘12即为所求. 【详解】∵随机变量X 服从正态分布N （3，σ2）， ∴正态分布曲线关于=3x 对称， 又P （x ≤1）＝0.1， ∴()50.1P x ≥＝， ∴()()510.1235==0.422P X P X ≤≤-⨯≤1＜＝，故选：D 【点睛】本题考查正态分布概率问题，此类问题通常根据正态分布曲线的对称性质推导求解，属于基础题.5．函数πsin(2)3y x =-的图象的一条对称轴方程为（ ）A ．π12x =B ．π12x =-C ．π6x =D ．π6x =-【答案】B【解析】试题分析：令232x k πππ-=+，即5212k x ππ=+()k Z ∈，当1k =-时，12x π=-，故选B.【考点】1、两角差的正弦函数；2、正弦函数的图象与性质.6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（ ） A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ） B ．H （2﹣x ）＝H （x ）C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ）【答案】D【解析】根据题意，可用特殊值法进行逐一排除，最后得到正确选项. 【详解】∵定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，A 选项，令()()1.5, 1.5=11.5=2x H H =----，，显然错误， B 选项，令()()3,233x H H =-≠，显然错误，C 选项，令()()()1.5, 2.5,=4=5x y H x y H x H y ==++，，故错误，D 选项根据排除法，因此正确，故选：D . 【点睛】此类问题属于定义新概念题型，根据定义去判断各个推论是否正确，此类问题最快速的办法是举特例进行排除，可快速锁定答案，属于中等题.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（ ）A ．2π B ．3π C ．6π D ．23π 【答案】A【解析】由题意代入余弦定理，可得到三边a ，b ，c 的等式，化简可得222a b c =+，从而得到△ABC 为直角三角形，A 为直角. 【详解】由b +c ＝acosB +acosC ，根据余弦定理可得，22222222a c b a b c b c a a ac ab +-+-++＝，22222222a c b a b c b c c b+-+-++＝， ()()()2332a b c bc b c b c b c bc+++-++＝()()()()222=2a b c bc b c b c b bc c bc+++-+-+，进一步化简可得222a b c =+ ∴△ABC 为直角三角形，2A π＝.故选：A . 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，通过余弦定理找到各边之间的关系，然后推导出角的大小，属于中等题.8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ） A ．f （cosx ）＝sin 2x B ．f （sin 2x ）＝sinx C ．f （sinx ）＝sin 2x D ．f （sinx ）＝cos 2x【答案】D【解析】根据题意，对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A 选项，取x =4π,则cos x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =4π-,则cos x ,sin2x =-1,∴f )=-1；∴f (2)=1和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于B 选项，取x =0,则sin2x =0,∴f (0)=0； 取x =2π,则sin2x =0,∴f (0)=1； ∴f (0)=0和1，不符合函数的定义，故不满足题意；对于C 选项，取x =4π,则sin x =2,sin2x =1,∴f (2)=1；取x =34π,则sin x =2,sin2x =-1,∴f (2)=-1；∴f 和-1，不符合函数的定义，故不满足题意； 对于D 选项， ∵22=12sin cos x x -,∴f （sinx ）＝cos 2x ＝212sin x -，即对任意x ∈R ，存在函数f （sinx ）＝cos 2x ， 只有D 选项满足题意. 故选：D . 【点睛】本题考查三角函数二倍角公式和函数的解析式，需要对公式和概念的熟练掌握，属于简单题.9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =则三棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．6πC ．8πD ．10π【答案】C【解析】由勾股定理可得AC ，求得△ABC 外接圆的半径，从而再利用勾股定理可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥S -ABC 的外接球的表面积． 【详解】∵AB ⊥BC ，AB ＝1，BC =∴由勾股定理可得AC =2， ∴AC 是△ABC 外接圆的直径，∴△ABC 外接圆的半径为r =1， ∵SA ⊥平面ABC ，且SA ＝2， 设球心到平面ABC 的距离为d ,则由勾股定理可得2222211(2)R d d =+=+-， ∴22=1R d =，，∴三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为248R ππ=. 故选：C . 【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，此类问题常常先求底面的外接圆半径，再与球心到底面距离、球的半径运用勾股定理求解，属于中等难度题型.10．已知AB u u u r •AC =u u u r 0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA u u u r|＝1，则PB u u u r •PC uuur 的最小值是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【答案】B【解析】利用已知0AB AC ⋅=u u u r u u u r，得到AB AC ⊥，|BC |＝4，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，再根据P 点满足|PA u u u r|＝1，设P 点坐标为()cos sin P θθ，，代入点坐标计算PB PC ⋅u u u r u u u r ，再根据辅助角公式和坐标之间的关系可得PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围，从而得解. 【详解】∵0AB AC ⋅=u u u r u u u r，∴AB AC ⊥， 建立如图直角坐标系，设()()()0,00,,0A B y C x ，，， 又|BC |＝4， ∴2224x y +=∵|PA u u u r|＝1，∴设()cos sin P θθ，， ()()cos sin cos sin B P y x P C θθθθ⋅=--⋅--，，u u u r u u u r22cos +cos sin +sin x y θθθθ=--()22+1x y θϕ=-+-()4cos +1θϕ=--,∵()1cos 1θϕ-≤-≤,35PB PC -≤⋅≤u u u r u u u r,故最小值为3-， 故选：B . 【点睛】本题考查向量积的最值问题，通常建立直角坐标系，设未知数，得到各个向量的坐标，运用坐标运算计算出含有未知量的解析式，再进一步运用函数思想找出取值范围，属于中等题.11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】对ω进行分类讨论，当0>ω，通过0,,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可确定6x πω+的范围,636ππωπ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，由f （x ）12=，得到2,233πωππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，从而得到[)2,6ω∈，再根据ω∈Z ，可得ω的值；当0ω<时,同理可得ω的值.【详解】当0>ω时,0,,,,36636x x ππππωπω⎛⎤⎛⎤∈∴+∈+ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦Q 513,3666πωπππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭， ∵()12f x =有唯一解， 2,233πωππ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，[)2,6ω∈， 又,2,3,45,Z ωω∈∴=，当0ω<时,0,,,,36366x x πππωππω⎛⎤⎡⎫∈∴+∈+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Q117,,3666πωπππ⎡⎫∴+∈--⎪⎢⎣⎭∴42,,(6,4]33πωππω⎛⎤∈--∈-- ⎥⎝⎦, 又,5,4Z ωω∈∴=--, 综上所述, 2,3,4,5,5,4ω=-- 故选：D . 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，函数零点与方程的根的关系，求三角函数的ω值时，利用函数图像数求出ω的范围，即可求得ω值，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>，直线1:l y kx t =+与抛物线C 交于,A B 两点（A点在B 点右侧），直线()2:l y kx m m t =+≠交抛物线C 于,M N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（ ） A ．2x y = B ．22x y =C ．23x y =D ．24x y =【答案】D【解析】联立直线1l 与抛物线C 得到2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，根据直线PQ 过点E ，得到2E x pk k ==，得到答案. 【详解】联立直线1l 与抛物线C ：22x pyy kx t⎧=⎨=+⎩，消去y 得2220x pkx pt --=，2A B x x pk +=，同理2M N x x pk +=，记AB 的中点为P ，MN 的中点为Q ，所以P Q x x pk ==， 又因为直线PQ 过点E （EP 为中线，所以EQ 也为中线，所以,,P Q E 三点共线）， 所以2E x pk k ==，所以2p =，从而抛物线C 的方程为24x y =. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线方程，确定直线PQ 过点E 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题 13．设复数z 满足12zi=+2+i ，则|z |＝_____ 【答案】5【解析】复数方程的两边同乘1+2i ，然后利用多项式展开化简，即可确定z ，再进一步求得z ． 【详解】 复数z 满足212zi i=++， 所以()()212=2245z i i i i i =++-++=， 故5z = 故答案为：5. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的模的计算，属于基础题. 14．函数()()212log 224f x x x =--的单调递增区间是________.【答案】(),4-∞-【解析】计算定义域为()(),46,x ∈-∞-+∞U ，再根据复合函数单调性得到答案. 【详解】()()212log 224f x x x =--，函数定义域为满足22240x x -->，即()(),46,x ∈-∞-+∞U ， 函数12log y u =单调递减，故只需求2224y x x =--的单调递减区间，即1x ≤.综上所述：(),4x ∈-∞-. 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误. 15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.【答案】2. 【解析】利用20301040301==0+︒︒︒︒︒︒-，进行角的转化，再利用和差公式化简即可求解. 【详解】sin 202sin 20cos 40︒︒︒+()()()=sin 30102sin 3010cos 3010︒︒︒︒︒︒--++()()=sin 301012cos 3010︒︒︒︒⎡⎤-++⎣⎦()()sin 12sin30cos10cos3010cos30cos102sin30sin10︒︒︒︒︒︒︒︒-+=-()1cos10101sin10n 2︒︒︒︒⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭-1cos1010cos102︒︒︒︒=1310sin10cos10sin1010cos10222sin ︒︒︒︒︒︒+--sin 200in 20s ︒︒︒-==【点睛】本题为计算题，主要考察正余弦和差公式的灵活应用，此类问题中非特殊角三角函数化简求值，如20°、40°等角度，一般找出与特殊角的和差关系，再利用和差公式化简即可，属于中等题. 16．已知函数f （x ）＝lnx 1x++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】（﹣∞，14-ln 2）【解析】根据题意可得f ′（x ），代入关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0，方程有2个交点转化为y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点，则令g （x ）＝121x --lnx 1x-，求导研究g （x ）的图象从而可得a 的取值范围. 【详解】根据题意可得，f ′（x ）22111x x x x-=-=，x ＞0∵关于x 的方程关于x 的方程f ′（x ）()1f x x -=+0有两个不相等的实数根，∴221x x -=lnx 1x ++a 有两个不相等的实数根， ∴y ＝121x --lnx 1x-与y ＝a 有两个不同的交点； 令g （x ）＝121x --lnx 1x-，∴g ′（x ）()()23233212112x x x xx x x x x -+-+=-+==-， 令g ′（x ）＝0，x ＝2或﹣1（舍负）；令g ′（x ）＞0，0＜x ＜2；令g ′（x ）＜0，x ＞2； ∴g （x ）的最大值为g （2）＝114--ln 21124-=-ln 2； ∴a 14-＜ln 2；∴a 的取值范围为（﹣∞，14-ln 2）. 故答案为：（﹣∞，14-ln 2）. 【点睛】本题主要考查导数的运算、导数在函数中的应用、函数零点等基础知识，考查了转化能力、运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想方法，属于较难题．三、解答题17．已知函数f （x ）＝sinxcosx 2+cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值.【答案】（1）最小正周期为T =π，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝k π12π+，k ∈Z }.（2）12π【解析】（1）由三角函数公式化简可得f （x ）＝sin （2x 3π+）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x 3π+=2k π2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值，解出x 的集合；（2）通过平移变换可得g （x ）=sin （2x +2φ3π+）+1，若函数g （x ）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令23πϕ+=2k ππ+，k ∈Z 即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f （x ）＝sinxcosx 32+cos 2x +112=sin 2x 32+cos 2x +1＝sin （2x 3π+）+1，所以函数f （x ）的最小正周期为T 22π==π， 当且仅当2x 3π+=2k π2π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为2，此时x 的集合为{x |x ＝k π12+π，k ∈Z }.（2）g （x ）＝f （x +φ）＝sin （2x +2φ3π+）+1，因为g （x ）是偶函数， 所以2φ3π+=k π2π+，k ∈Z ，即φ12=k π12+π，k ∈Z ，所以φ的最小值为12π.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.（1）若E 是SD 的中点，求证：SB ∥平面ACE ； （2）若SA ＝AB ＝AD ＝2，SC ＝2，且DE 23=DS ，求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1919【解析】（1）由题意连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ，可证OE ∥SB ，SB ∥平面ACE 得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面SAC 与平面ACE 的法向量，代入公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结BD ，交AC 于点O ，连结OE ， ∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点， ∵E 是SD 的中点，∴OE ∥SB ， ∵SB ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴SB ∥平面ACE .（2）∵SA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴SA ⊥AC ，在Rt △SAC 中，SA ＝2，SC ＝， ∴AC ＝2， ∵AB ＝AD ＝2，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形， ∴BD ＝以O 为原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴，过O 作AS 的平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，O （0，0，0），D0，0），A （0，1，0），S （0，1，2），DS =u u u r（1，2），23DE DS ==u u u r u u u r（3-，2433，）， OE OD DE =+=u u u r u u u r u u u r 2433，，）， ∵BD ⊥平面SAC ，取平面SAC 的一个法向量n OD ==u u u rr0，）， 设平面ACE 的法向量m =r（x ，y ，z ），则0240333m OA y m OE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u uv r u u u v r ，取x ＝4，得m =r （4，0，）， 设二面角S ﹣AC ﹣E 的平面角为θ，则cosθm n m n ⋅===⋅r r r r∴二面角S﹣AC﹣E的余弦值为419.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，意在考查学生的分析转化能力和计算求解能力，属于基础题.19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58，任意两次射击相互独立.（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率【答案】（1）13（2）427【解析】（1）甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，分别求三种情况概率再求和；（2）求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率，先确定甲胜利，平局，失败的概率，恰好进行3轮射击后比赛结束情形包括两种：①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利，算出其概率P118；②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利，其概率P25=216，两情形概率之和即为所求.【详解】（1）记X 表示甲运动员两次射击命中环数之和，则X ＝18包含“第一次10环和第二次8环”，“第一次8环第二次10环”，“第一次9环和第二次9环”这三种情况，∴甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率为：P 121111133333C =⨯⨯+⨯=.（2）记A i 表示甲在第i 轮胜利，B i 表示甲在第i 轮平局，∁i 表示甲在第i 轮失败， ∴P （A i ）151151384382⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，P （B i ）13=，P （∁i ）16=，①当甲获得最终胜利结束3轮比赛时，由第2轮、第3轮甲连续胜利，第一轮甲没有获得胜利， 其概率P 1111112228⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ②当乙获得最终胜利结束3轮比赛时，则第2轮、第3轮乙连续胜利，第1轮乙没有获得胜利， 其概率P 21155666216=⨯⨯=， ∴经过3轮比赛结束的概率P 12154821627P P =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，第一种为已知取值，求取此值的概率，常常利用排列组合、枚举法、概率公式等方法计算，第二种需要分析判断得到结果所有的可能情况，再根据每种状况求出概率，属于中档题.20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =（1）若点P （1）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）221123x y +=【解析】（1）因为2c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P（1b 2＝1，所以a 2＝4，可得椭圆方程； （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立求解韦达定理，结合条件|MD |＝2|ND |，可得y 1＝﹣2y 2，所以解得1y =2y =b 2＝3，a 2＝12，求得椭圆E 的方程. 【详解】（1）因为c e a ==，所以2234c a =，则2214b a =，所以222214x y b b +=，将P （1，2）代入方程，得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），不妨设y 1＜y 2，因为2214b a =，所以椭圆的方程为222214x y b b+=，MN 的直线方程为x =+2，联立2222214x x y b b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得，16y 2+12﹣12b 2＝0， 所以y 1+y2=，y 1y 22334b -=①.因为|MD |＝2|ND |，即y 1＝﹣2y 2，所以1y =22y = 代入①，得b 2＝3，a 2＝12，所以椭圆E 的方程为221123x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，一种为根据离心率及椭圆上的点建立方程组求解，考查计算能力；另一种为已知弦长之间的关系求解，利用弦长关系转化得到纵坐标的关系，结合韦达定理即可求解，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数f （x ）＝()21211x xx e -+-（1）求f （x ）＞0的解集； （2）若x ∈R 时，2221mxxx e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）（0，+∞）（2）[12，+∞） 【解析】（1）通过对f （x ）求导，可得x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，不等式得解； （2）若x ∈R 时，2221mxxxe e+≥+恒成立，不等式转化为2e 2mx ≥e x1xe +（x ∈R ），因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，构造新的函数F （x ）＝2e 2mx x+-e 2x﹣1，求导后再对导函数进行分类讨论，可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为f （x ）＝()21211x xx e -+-，则f ′（x ）＝2122x x x e-；所以x ∈R 时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又f （0）＝0， 所以x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜0，x ∈（0，+∞）时f （x ）＞0，∴f （x ）＞0的解集为（0，+∞）. （2）因为x ∈R 时，2e 2mxx+≥e 2x+1恒成立，等价于221mx x xxe e e+-≥恒成立， 即2e 2mx ≥e x 1x e+（x ∈R ）， 因为都是偶函数，所以只需x ∈[0，+∞）时，2e 2mx x+-e 2x﹣1≥0成立即可，令F （x ）＝2e 2mxx+-e 2x﹣1，F （0）＝0，F ′（x ）＝2（2mx +1）e 2mxx+-2e 2x ＝2e 2x[（2mx +1）e 2mx x --1]，F ′（0）＝0，令G （x ）＝（2mx +1）e 2mxx--1，G （0）＝0，G′（x）＝2me2mx x-+（2mx+1）（2mx﹣1）e2mx x-=（4m2x2+2m﹣1）e2mx x-①当2m﹣1≥0，即m12≥时，G′（x）≥0，所以G（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为G（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，G（x）≥0，即F′（x）≥0，所以F（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为F（0）＝0，所以x∈[0，+∞）时，F（x）≥0，所以m12≥时满足要求；②当m＝0，x＝1时，2e＜e2+1，不成立，所以m≠0；③当2m﹣1＜0且m≠0时，即m12＜且m≠0时，x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为G（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，所以F（x）在122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，上单调递减，又因为F（0）＝0，所以x∈122mm⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，时，F（x）＜0，所以m12＜且m≠0时不满足要求.综上所述，实数m的取值范围是[12，+∞）.【点睛】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立求参数问题，将不等式恒成立转化为构造差函数，求函数的最值是解决本题的关键，也是本题的难点，需要对导函数进一步求导和分类讨论，综合性较强，运算量较大，难度较大．22．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为1x tcosy tsinαα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.（1）求曲线C1的直角坐标方程和直线C2的普通方程；（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值.【答案】（1）曲线C1：x2+y2﹣4x＝0；直线C2：xsinα﹣ycosα﹣sinα＝0（2）3 【解析】（1）求曲线C1的直角坐标方程需利用直角坐标与极坐标关系互化关系式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，将ρ＝4cosθ，等式两边乘ρ得ρ2＝4ρcosθ代入即可，直线C2的参数方程消去参数t即为普通方程；（2）因为P （1，0）在直线C 2上，将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入曲线C 1：x 2+y 2﹣4x ＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，根据根与系数关系可得则t 1t 2＝﹣3，故可求|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3. 【详解】（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2+y 2＝ρ2， 可得ρ2＝4ρcos θ，即为x 2+y 2﹣4x ＝0，直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），可得xsin α﹣ycos α﹣sin α＝0； （2）因为P （1，0）在直线C 2上， 将直线C 2的参数方程1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入x 2+y 2﹣4x ＝0，可得（1+tcos α）2+（tsin α）2﹣4（1+tcos α）＝0， 化为t 2﹣2tcos α﹣3＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣3， 可得|PA |•|PB |＝|t 1t 2|＝3. 【点睛】本题考查极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化、求弦长关系问题，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化，可利用转化关系直接求解，求弦长关系问题通常借助联立二次方程，转化为根与系数关系问题求解.23．已知函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣m | （1）当m ＝2时，求f （x ）≤9的解集；（2）若f （x ）≤2的解集不是空集，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[﹣2，4]（2）[﹣3，1]【解析】（1）当m ＝2时，函数f （x ）＝|x +1|+2|x ﹣2|≤9,对x 分类讨论，分别在三个区间1122x x x --≤≤＜，，＞，去掉绝对值求解不等式即可求得解集； （2）若f （x ）≤2的解集不是空集，转化为f （x ）min ≤2成立，又根据|x +1|+|x ﹣m |≥|m +1|恒成立，f （x ）min ＝|m +1|≤2，解得﹣3≤m ≤1.【详解】（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|332512331x xx xx x-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪-+-⎩，＞，，＜.∵f（x）≤9，∴3392xx-≤⎧⎨⎩＞或5912xx-+≤⎧⎨-≤≤⎩或3391xx-+≤⎧⎨-⎩＜，∴2＜x≤4或﹣1≤x≤2或﹣2≤x＜﹣1，∴﹣2≤x≤4，∴不等式的解集为[﹣2，4]；（2）∵f（x）≤2的解集不是空集，∴f（x）min≤2.∵|x+1|+|x﹣m|≥|m+1|，|x﹣m|≥0，∴f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|≥|m+1|，当且仅当x＝m时取等号，∴|m+1|≤2，∴﹣3≤m≤1，∴实数m的取值范围为[﹣3，1].【点睛】本题考查含有绝对值不等式的解法和求参数范围问题，解含有绝对值不等式一般进行分区间讨论去掉绝对值，然后求解不等式即可；不等式恒有解求参数问题一般进行等价转化成求函数最值问题，然后通过函数最值确定参数的取值范围，属于中等题.第 21 页共 21 页。