湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷(文科)

湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合A={x|log2x+1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．B．C．（0，1）D．（0，1]2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞155．（5分）两个相关变量满足如表：两变量的回归直线方程为（）k 10 15 20 25 30y 1003 1005 1010 1011 1014A．=0.56x+997.4 B．=0.63x﹣231.2 C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.76．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4C．D．8．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（）A．B．e2C．e D．10．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有+2+3=，现将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y最小值为﹣6，则常数k=．12．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为．13．（5分）过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为．14．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是．15．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率．17．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=，平面ABCD⊥平面ABE，（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积．18．（12分）设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．20．（13分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点A（﹣1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求的取值范围．（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设集合A={x|log2x+1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．B．C．（0，1）D．（0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先计算集合A，B，再计算集合（C R A）∩B即可．解答：解：∵A={x|log2x+1＞0}=（，+∞），B={y|y=3x，x∈R}=（0，+∞），∴∁RA=（﹣∞，]，∴（C R A）∩B=故选B．点评：本题主要考查了集合的交，补混合运算，关键是弄清楚各集合的元素．2．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi（a，b∈R）的形式，可得虚部．解答：解：因为===．所以复数的虚部为：．故选D．点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：由逆否命题的定义，我们易判断A的正误，根据复合命题的真值表，我们易判断B 的真假；根据特称命题的否定方法，我们易判断C的对错；根据充要条件的定义，我们易判断D的正误．解答：解：根据逆否命题的定义，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A正确；若p∧q为假命题，则p、q至少存在一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故B错误；命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0的否定为：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，故C正确；∵x＞2⇒x2﹣3x+2＞0为真命题，x2﹣3x+2＞0⇔x＜1或x＞2⇒x＞2为假命题，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故D正确．故选B点评：本题考查的知识点是四种命题，复合命题，特称命题的否定及充要条件，熟练掌握四种命题的定义，复合命题的真值表，特称命题的否定的方法及充要条件的定义是解答本题的关键．4．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A．n=n+2，i=15 B．n=n+2，i＞15 C．n=n+1，i=15 D．n=n+1，i＞15考点：程序框图．专题：计算题．分析：首先分析，要计算需要用到直到型循环结构，按照程序执行运算．解答：解：①的意图为表示各项的分母，而分母来看相差2∴n=n+2②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件而分母从1到29共15项∴i＞15故选B．点评：本题考查程序框图应用，重在解决实际问题，通过把实际问题分析，经判断写出需要填入的内容，属于基础题．5．（5分）两个相关变量满足如表：两变量的回归直线方程为（）k 10 15 20 25 30y 1003 1005 1010 1011 1014A．=0.56x+997.4 B．=0.63x﹣231.2 C．=50.2x+501.4 D．=60.4x+400.7考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：先求出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出，代入直线方程，写出线性回归方程，得到结果．解答：解：=1008.6利用公式可得=≈0.56，又=﹣=997.4．∴回归方程是=0.56x+997.4故选A．点评：本题考查可线性化的回归方程，是一个基础题，这种题目考查的知识点比较简单，只是运算量比较大，需要细心解答．6．（5分）已知函数f（x）=，把方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（）A．S n=2n﹣1（n∈N+）B．S n=（n∈N+）C．S n=n﹣1（n∈N+）D．S n=2n﹣1（n∈N+）考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列的前n项和．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，∴该数列的前n项和，n∈N+．故选B．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，容易出错，要细心解答．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．4C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求体积．解答：解：由三视图复原几何体，如图，它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：，故选B．点评：本题考查三视图、棱锥的体积；考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；是中档题．8．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出AF1 的长，直角三角形AF1F2中，由边角关系得tan30°==，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值．解答：解：把x=﹣c代入椭圆的方程可得y=，∴AF1 =，由tan30°=====，求得3e2+2e﹣3=0，解得（舍去），或，故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题．9．（5分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（）A．B．e2C．e D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．解答：解：f′（x）=e x﹣a，若a=0，则f（x）=e x﹣b的最小值为f（﹣∞）=﹣b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，此时f（﹣∞）=﹣∞，不可能恒有f（x）≥0．若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a﹣alna﹣b≥0，得b≤a（1﹣lna）ab≤a2（1﹣lna）=g（a）现求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1﹣lna）﹣a=a（1﹣2lna）=0，得极小值点a=g（）=所以ab的最大值为，故选：D．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．10．（5分）A，B，C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有+2+3=，现将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义；几何概型．专题：平面向量及应用；概率与统计．分析：先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比，进而利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解解答：：∵+2+3=，∴++2（+）=，即+=﹣2（+），分别取AC，BC的中点，F，G，∵，+═，∴，∴F、P、G三点共线，且PF=2PG，GF为三角形ABC的中位线，∴=2，（h1，h2是相应三角形的高），而S△APB=S△ABC，∴△APB，△APC，△BPC的面积之比等于3：2：1，∴S△BPC：S△ABC=1：6，∴由几何概型的概率公式可得将一粒芝麻随机撒在△ABC内，则这粒芝麻落在△PBC内的概率为，故选：D．点评：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△PBC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．综合性较强，难度较大．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y最小值为﹣6，则常数k=0．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+4y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+4y过可行域内的点B时，从而得到k值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+4y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+4y经过点B时，z最小，由得：代入直线x+y+k=0得，k=0故答案为：0．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2被圆ρ=4截得的弦长为4．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：常规题型；转化思想．分析：先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可．解答：解：∵ρsin（θ+）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2=0，圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×=．故答案为：．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．13．（5分）过原点作曲线y=1nx的切线，则切线方程为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：设出切点坐标，根据坐标表示出切线的斜率，然后把切点的横坐标代入到曲线的导函数中得到切线的斜率，两者相等即可求出切点的横坐标，把横坐标代入到曲线解析式得到切点的纵坐标和切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可．解答：解：设切点坐标为（x0，lnx0），则切线斜率k=y′==，∴lnx0=1解得x0=e，∴切点为（e，1），k=则切线方程为：y﹣1=（x﹣e）即y=x故答案为：y=x点评：考查学生掌握切线斜率与导函数的关系，会利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及会根据斜率和一点写出直线的方程．14．（5分）已知不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是﹣3＜m＜5．考点：指数函数综合题．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△＜0，解不等式即可得到结论．解答：解：不等式等价为，即x2+x＜2x2﹣mx+m+4恒成立，∴x2﹣（m+1）x+m+4＞0恒成立，即△=（m+1）2﹣4（m+4）＜0，即m2﹣2m﹣15＜0，解得﹣3＜m＜5，故答案为：﹣3＜m＜5．点评：本题主要考查指数不等式和一元二次不等式的解法，利用指数函数的单调性是解决本题的关键．15．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则∠A n的最大值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：根据数列的递推关系得到b n+c n=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．解答：解：∵a n+1=a n，∴a n=a1，∵b n+1=，c n+1=，∴b n+1+c n+1=a n+=a1+，∴b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n﹣2a1），又b1+c1=2a1，∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0，当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0，…∴b n+c n﹣2a1=0，即b n+c n=2a1为常数，则由基本不等式可得b n+c n=2a1≥2，∴b n c n，由余弦定理可得=（b n+c n）2﹣2b n c n﹣2b n c n cosA n，即（a1）2=（2a1）2﹣2b n c n（1+cosA n），即2b n c n（1+cosA n）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosA n），即3≤2（1+cosA n），解得cosA n，∴0＜A n，即∠A n的最大值是，故答案为：点评：本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示．（1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；（2）规定综合得分85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图求出东城区与西城区的平均分即可得出结论；（Ⅱ）求出从两个区域各选一个优秀厂家的所有基本事件数，再求出满足得分差距不超过5的事件数，即可求出概率．解答：解：（Ⅰ）根据茎叶图知，东城区的平均分为=（780+790+790+88+88+89+93+94）=86，西城区的平均分为=（72+79+81+83+84+85+94+94）=84，∴东城区的平均分较高；（Ⅱ）从两个区域各选一个优秀厂家，所有的基本事件数为5×3=15种，满足得分差距不超过5的事件（88，85）（88，85）（89，85）（89，94）（89，94）（93，94）（93，94）（94，94）（94，94）共9种，∴满足条件的概率为P==．点评：本题通过茎叶图考查了平均数以及古典概型的概率问题，解题时应列出基本事件，属于基础题17．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE=，平面ABCD⊥平面ABE，（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥D﹣ACE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，得到AD⊥AB，然后，根据面面垂直，得到AD⊥BE，再借助于直角三角形，得到AE⊥BE，从而得到证明；（Ⅱ）首先，取AB中点O，然后，借助于V D﹣ACE=V E﹣ACD求解．解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB．又∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面ABE，而BE⊂平面ABE．∴AD⊥BE．又∵AE=BE=，AB=2，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥BE而AD∩AE=A，AD、AE⊂平面ADE，∴BE⊥平面ADE 而BE⊂平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．（Ⅱ）取AB中点O，连接OE．∵△ABE是等腰三角形，∴OE⊥AB．又∵平面ABCE⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，OE⊂平面ABCD∴OE⊥平面ABCD即OE是三棱锥D﹣ACE的高．又∵AE=BE=AB=2∴OE=1∴V D﹣ACE=V E﹣ACD=OE•S正方形ABCD=．点评：本题重点考查了空间中垂直关系、空间几何体的体积公式及其运算等知识，属于中档题．18．（12分）设，，记．（1）写出函数f（x）的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（3）若时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：综合题．分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期（2）由（1）f（x）=，利用五点法，即将2x+看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行（3），，求此函数的最值可先将2x+看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值解答：解：（1）=∴（2）x0 π2πsin（）0 1 0 ﹣1 0yy=sinx向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的变为最后再向上平移个单位得到（3），∵，∴∴，∴，∴m=2，∴当即时g（x）最大，最大值为．点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．19．（13分）已知等差数列{a n}满足a3=7，a5+a7=26．（1）求{a n}的通项公式；（2）若m=，数列{b n}满足关系式b n=，求证：数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1；（3）设（2）中的数列{b n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，（1﹣n）•（S n+n+2）+（n+p）•2n+1＜2恒成立，求实数p的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由等差数列有通项公式，得到首项与公差的方程组，得出首项与公差的值，得到通项公式；（2）已知数列的递推公式，由叠加法，得到数列的通项公式；（3）将数列求和得到前n项和后，将条件变形后，得到关于参数p的关系式，这是一个恒成立问题，通过最值的研究，得到本题结论．解答：解：（1）设等差数列a n的公差为d，由已知，有解得所以a n=3+2（n﹣1）=2n+1，即差数列a n的通项公式为a n=2n+1，n∈N*．（2）因为，所以，当n≥2时，．证法一（数学归纳法）：①当n=1时，b1=1，结论成立；②假设当n=k时结论成立，即，那么当n=k+1时，=2k﹣1+2k=2k+1﹣1，即n=k+1时，结论也成立．由①，②得，当n∈N*时，成立．证法二：当n≥2时，，所以将这n﹣1个式子相加，得，即=．当n=1时，b1=1也满足上式．所以数列{b n}的通项公式为．（3）由（2），所以，∴原不等式变为（1﹣n）2n+1+（n+p）•2n+1＜2，即p•2n+1＜2﹣2n+1，∴对任意n∈N*恒成立，∵n为任意的正整数，∴p≤﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．点评：本题考查的是数列和不等式的知识，涉及到等差数列的通项公式、前n项和公式、叠加法求通项，以及不等关系式．本题有一定的思维量，运算量较大，属于难题．20．（13分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点A（﹣1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求的取值范围．（3）试问在圆x2+y2=a2上，是否存在一点M，使△F1MF2的面积S=b2（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，请说明理由．考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题．分析：（1）先求出抛物线y2=16x的焦点和双曲线的焦点，就可求出a，c进而求出椭圆的标准方程；（2）先求出线段CD的方程，设出点P的坐标，找到的表达式．再利用图象求出的取值范围即可．（3）先利用（1）的结论以及△F1MF2的面积求出圆的方程和点M的纵坐标，再把tan∠F1MF2的转化为两直线倾斜角的差，利用两角差的正切公式以及点M的坐标与圆的关系求出tan∠F1MF2的值即可．解答：解：（1）因为抛物线y2=16x的焦点和双曲线的焦点分别为（4，0）和（5，0）．所以a=5，c=4所以椭圆的标准方程：；（2）设P（x0，y0），则；CD：3x+5y﹣15=0（0≤x≤5）则当OP⊥CD时，取到最小值，即：；当P在D点时，取到最大值：OD=5所以：．（3）如图所示：由第一问可知，圆的方程为x2+y2=25．△F1MF2的面积S=b2=9．设M（x，y）．又△F1MF2的面积S=b2=9=×2×4×y⇒4y=9，又F1（﹣4，0）F2（4，0）．设直线MF2的倾斜角为α，直线MF1的倾斜角为β，则tan∠F1MF2=tan（α﹣β）=====2．即tan∠F1MF2的值2．点评：本题是对椭圆，圆，抛物线以及向量等知识的综合考查．在平时做题过程中，圆锥曲线只要出大题，一般多放在最后一题，或倒数第二题，是不易得分的题．21．（13分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1，x2∈，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2﹣ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣点评：考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．。