专题01 集合(导学案)-2017-2018学年上学期期末复习备考高一数学黄金讲练(必修1+必修4)(教师版)

2017~2018学年度上学期期末考试备考黄金讲练第一讲集合【导学案】（高一数学人教版）一、基础知识整合（一）元素与集合1．元素与集合的关系：a Aa A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：确定性一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互异性集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素无序性集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅. 4．常用数集及其记法：集合非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N*N或+N Z Q R C 注意：实数集R不能表示为{x|x为所有实数}或{R}，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.（二）、集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言图示基本基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素A B⊆（或B A⊇）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合AA B⊂≠（或B A⊃≠）相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A B=空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ∅⊆，()B B ⊂∅≠∅≠必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n个子集，有21n-个非空子集，有21n-个真子集，有22n- 个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. （三）、集合的基本运算 运算 自然语言符号语言Venn 图交集由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合{|}A B x x A x B =∈∈I 且并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合|}{A B x x A x B =∈∈U 或补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合{|}U A x x U x A =∈∉且ð交集 A B A ⋂⊆ A B B ⋂⊆A A A ⋂= A ⋂∅=∅ AB B A ⋂=⋂ 并集 A B A ⊇U A B B ⊇U A A A =U A A ∅=U A B B A =U U补集()U U A A =痧U U =∅ðU U ∅=ð ()U A A =∅I ð()U A A U =U ð3．必记结论(.)U UU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔⋂=⇔=⇔⊇=⇔∅U I 痧?二、自主小测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)任何集合都有两个子集.( )(2)已知集合A ＝{x|y ＝x2}，B ＝{y|y ＝x2}，C ＝{(x ，y)|y ＝x2}，则A ＝B ＝C.( ) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (4)若A∩B ＝A∩C ，则B ＝C.( ) 【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A 是函数y ＝x2的定义域，即A ＝(－∞，＋∞)；集合B 是函数y ＝x2的值域，即B ＝[0，＋∞)；集合C 是抛物线y ＝x2上的点集.因此A ，B ，C 不相等. (3)错误.当x ＝1，不满足互异性.(4)错误.当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合.2.若集合A ＝{x ∈N|x≤10}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A.{a}⊆A B.a ⊆A C.{a}∈A D.a ∉A 【答案】D【解析】由题意知A ＝{0，1，2，3}，由a ＝22，知a ∉ A. 3.设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x|2≤x≤5}，则A∩B ＝( ) A.{1，3} B.{3，5} C .{5，7} D.{1，7} 【答案】B【解析】因为A ＝{1，3，5，7}，而3，5∈A 且3，5∈B ，所以A∩B ＝{3，5}. 4.设全集U ＝{x|x ∈N*，x<6}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则∁U(A ∪B)等于( ) A.{1，4} B.{1，5} C.{2，5} D.{2，4} 【答案】D【解析】由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A ∪B)＝{2，4}.5.已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且y ＝x}，则A∩B 的元素个数为________. 【答案】2【解析】集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B 中有2个元素. 三、热点题型展示类型一 集合的基本概念例1. (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 【答案】C【解析】 (1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2； 当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1； 当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个. (2)若集合A ＝{x ∈R|ax2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92B.98C.0D.0或98【答案】D【解析】 (2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.【名师点睛】(1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合. 类型二 集合间的基本关系例 1.已知集合{}2|320,A x x x x =-+=∈R ，{}|05,B x x x =<<∈N ，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为⊆⊆A C B ，所以C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}， 共4个，故选D.例2.已知集合A ＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m ＋1<x<2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.【答案】(－∞，4]【解析】当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m≤2. 当B≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 【名师点睛】(1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.类型三 集合的基本运算例1.已知集合A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2 【答案】D【解析】集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.例2.设集合P ＝{x ∈R|1≤x≤3}，Q ＝{x ∈R|x2≥4}，则P ∪(∁RQ)＝( ) A.[2，3] B.(－2，3] C.[1，2) D.(－∞，－2)∪[1，＋∞) 【答案】B【解析】易知Q ＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁RQ ＝{x|－2<x<2}，又P ＝{x|1≤x≤3}，故P ∪(∁RQ)＝{x|－2<x≤3}. 【名师点睛】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.(2)一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.类型四 与集合有关的创新题目与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．典例1 设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V =Z U ，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A 【名师点睛】1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.五、强化训练提高1.若集合A ＝{x|x>0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( ) A.{1，2} B.{x|x≤1} C.{－1，0，1} D.R 【答案】A【解析】因为A ＝{x|x ＞0}，且B ⊆A ，再根据选项A ，B ，C ，D 可知选项A 正确.2.已知集合A ＝{x|lg x>0}，B ＝{x|x≤1}，则( ) A.A∩B≠∅ B.A ∪B ＝R C.B ⊆A D.A ⊆B 【答案】B【解析】由B ＝{x|x≤1}，且A ＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A ∪B ＝R.3.已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则(∁UP)∪Q ＝ ( ) A.{1} B.{3，5} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5} 【答案】C【解析】∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁UP ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}， ∴(∁UP)∪Q ＝{1，2，4，6}.4.已知全集U ＝R ，A ＝{x|x≤0}，B ＝{x|x≥1}，则集合∁U(A ∪B)＝( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 【答案】C【解析】∵A ＝{x|x≤0}，B ＝{x|x≥1}，∴A ∪B ＝{x|x≤0或x≥1}， 在数轴上表示如图.∴∁U(A ∪B)＝{x|0<x<1}.5.已知集合A ＝{x|x ＝x2－2，x ∈R}，B ＝{1，m}，若A ⊆B ，则m 的值为( ) A.2 B.－1 C.－1或2 D.2或2【答案】A【解析】由x ＝x2－2，得x ＝2，则A ＝{2}.因为B ＝{1，m}且A ⊆B ，所以m ＝2.6.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.1B.3C.7D.31 【答案】B【解析】具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.二、填空题7.已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y|y ＝2x －1，x ∈A}，则A∩B ＝________. 【答案】{1，3}.【解析】由A ＝{1，2，3}，B ＝{y|y ＝2x －1，x ∈A}，∴B ＝{1，3，5}，因此A∩B ＝{1，3}. 8.集合A ＝{x|x<0}，B ＝{x|y ＝lg[x(x ＋1)]}，若A －B ＝{x|x ∈A ，且x ∉B}，则A －B ＝________. 【答案】[－1，0)【解析】由x(x ＋1)>0，得x<－1或x>0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A －B ＝[－1，0).9.已知集合A ＝{x ∈R|ax2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，－98【解析】由A ＝∅知方程ax2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，∴a<－98.10.已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________. 【答案】201。