【立体设计】2012高考数学 2.3 集合课后限时作业 理(通用版)
【立体设计】2012高考数学 第九章 2 简单几何体的表面积和体积课后限时作业 理(通用版).doc
2012高考立体设计理数通用版第九章 2 简单几何体的表面积和体积课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分之比为 （ ） A.4∶9B.2∶1C.2∶3D.2∶3解析：由截面与底面为相似多边形，可得小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为2∶3，所以原棱锥的侧棱被分成的两部分之比为2∶1. 答案：B2.一个圆锥的轴截面为正三角形，其边长为a ，则其表面积为 ( ) A.245a π B.a 2πC.243a π D.241a π 解析：S 侧＝ππ2212a a a =•,S 底＝ππ4222a a =⎪⎭⎫⎝⎛, 则S 表＝S 侧+S 底＝243a π ． 答案：C3.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A.9πB.10πC.11πD.12π解析：由几何体的三视图可知此几何体是圆柱体与球体的组合体, S 表=4πR 2+2πr 2+2πr ·h,代入数据得S 表=4π·12+2π·12+2π·1·3＝12π. 答案：D4．(2010·汕头质检)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积 为 ( ) A.288π cm 3 B.192πcm 3C.288π cm 3或192πcm 3D ．192π cm 3解析：分两种情况：①12为底面圆周长时，2πr ＝12，则r ＝6π，所以V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6π2×8＝288π(cm3)；②8为底面圆周长时，则2πr＝8，所以r＝4π，所以V＝π⎝⎛⎭⎪⎫4π2×12＝192π(cm3)．故选C.答案：C5.(2011届·福州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ( )A.328π B.316C.34π+8 D.12π解析：由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋34π＝328π．答案：A6．将正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个角后得到一个四面体BDA1C1，这个四面体的体积是原正方体体积的( ) A.12B.13C.23D.14解析：截去的四个角是四个侧棱两两垂直的四面体，且V＝16·a3(a为正方体的棱长)，则剩下的四面体的体积V′＝a3－4·16·a3＝13a3.所以这个四面体的体积是正方体体积的13.答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7．两个球的表面积之比是1∶16，这两个球的体积之比为 .解析：由球的表面积公式S＝4πR2和体积V＝43πR3, 有S1S2＝3221⎪⎪⎭⎫⎝⎛VV.答案：1∶648.已知正方体外接球的体积是332π,那么正方体的棱长等于 .解析：球的直径正好是正方体体对角线，由V球=ππ332343=R,得R=2，则43=a,正方体棱长334=a.答案：3349.如图①所示一个正三棱柱形容器，高为2a ，内装水若干，将容器放倒使一个侧面成为底面，这时水面恰为中截面，如图②，则未放倒前的水面高度为 ．解析：设底面积为S,水的高度为h.由Sh=43S ·2a ，得h=23a. 答案：23a 10.在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r=C2S．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R= ．解析：连接内切球球心和三棱锥各顶点，形成四个三棱锥，由棱锥体积公式，有V=31（S 1+S 2+S 3+S 4)R=31S ·R （S 1，S 2，S 3，S 4为各个面的面积）．解得R ＝S3V . 答案：S3V三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积.解：设截面圆心为O ′，连结O ′A ，设球半径为R ，则O ′A=32×23×2=332.在Rt △O ′OA 中，OA 2=O ′A 2+O ′O 2，所以R 2=2332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41R 2,所以R=34，所以S=4πR 2=964π. 12．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H .一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x . (1)求圆柱的侧面积．(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作轴截面如图所示，设内接圆柱底面半径为r ，则S 圆柱侧＝2πr ·x ，由三角形相似得r R ＝H －xH，所以r ＝RH(H －x )，S 圆柱侧＝2πx ·R H (H －x )＝2πR H(－x 2＋Hx )(0<x <H )．(2)S 圆柱侧＝2πR H (－x 2＋Hx )＝2πR H ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －H 22＋H 24，所以当x ＝H 2时，S 圆柱侧最大＝πRH2.B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.（2010·北京）如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E 、F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，A 1E=x ，DQ=y ，DP ＝z （x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积 ( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关解析：从图中可以分析出，△EFQ 的面积永远不变，为面A 1B 1CD 面积的41，而当P 点变化时，它到面A 1B 1CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化. 答案：D 2.（2010·全国Ⅰ）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 ( ) A.332 B.334C.32D.338解析：过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h,则有 V四面体ABCD＝31×2×21×2×h=32h,当直径通过AB 与CD 的中点时,h max =22122-=32,故V max =334. 答案：B二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 . 解析：通过画图易知六棱柱的最长的体对角线为球的直径，求得球的半径为1，故球的体积为34π． 答案：34π4.某几何体的三视图如图所示，当a ＋b 取最大值时，这个几何体的体积为 ．解析：如图所示，可知AC=6，BD=1，BC=b ，AB=a.设CD=x ，AD=y ，则x 2＋y 2＝6，x 2＋1＝b 2，y 2＋1＝a 2，消去x 2，y 2得a 2＋b 2＝8≥()22b a +，所以a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，此时x ＝3，y ＝3， 所以V ＝31×21×1×3×3＝21. 答案：21 三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分） 5.如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED 、△DCF分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A 1．（１）求证：A 1D ⊥EF ；（２）求三棱锥A 1-DEF 的体积.（1）证明：由正方形ABCD 知，∠DCF=∠DAE=90°, 则A 1D ⊥A 1F ，A 1D ⊥A 1E ，且A 1E ∩A 1F ＝A 1， 所以A 1D ⊥平面A 1EF.又EF ⊂平面A 1EF ，所以A 1D ⊥EF ． （2）解：由A 1F=A 1E=21，EF=22及勾股定理，得A 1E ⊥A 1F,所以811=∆EF A S , 所以241311111=•==∆--D A S V V EF A EFA D DEF A . 6.如图所示的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和侧视图在右边画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥平面EFG ． （1）解：如图.（2）解：所求多面体体积V=V 长方体-V 正三棱锥＝4×4×6-31×（21×2×2）×2=)(cm 32843. (3)证明：在长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，连结AD ′，则AD ′∥BC ′．因为E,G分别为AA′，A′D′的中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′．又BC′ 平面EFG，所以BC′∥平面EFG．。
2012年高考数学二轮限时训练立体几何2理
第五部分：立体几何（2）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )A．2 B．－4C．4 D．－2【解析】∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.【答案】 C2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)【解析】∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，【答案】 A3．(2012年唐山二模)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )A.32B.22C.223D.233【解析】 如图建立空间直角坐标系， 则D 1(0, 0,2)，A 1(2,0,2)， D(0,0,0)，B(2,2,0)，【答案】 D4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010C.21510D ．【解析】 建立坐标系如图． 则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C 1(0,2,2)．所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 【答案】 B5．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63 B.33 C.23 D.13【解析】 以正三棱锥O-ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系， 设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，侧面OAB 的法向量为，底面ABC 的法向量为n= ，【答案】 B 二、填空题6．(2011年上海模拟)设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．【解析】 由已知a ， b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β. 【答案】 垂直7．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成的角的正弦值等于________．【解析】 设直线l 与平面α所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n |a |·|n ||＝|－8＋1|4＋9＋1·42＋1＝714×17＝23834.【答案】23834 8．四棱锥P －ABCD 的底面为边长2的正方形，顶点在底面的射影为底面的中心O ，且PO ＝1，则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为________．【解析】如图，建立坐标系．则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(-1,0,0)，平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，令x1＝1，则z1＝1，y1＝1；令y2＝1，则z2＝1，x2＝－1，∴n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,1,1)，∴cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1＋1＋13·3＝13.由题意可知，所成二面角余弦值为－13.【答案】 －13三、解答题9．(2011年广州模拟)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点． (1)求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；(2)判断直线B 1P 与平面ACC 1A 1是否垂直，请证明你的结论； (3)当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C －B 1P －C 1的余弦值． 【解析】 (1)V ABC －A1B1C1＝S △ABC ·AA 1 ＝34×22×2＝2 3.(2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ， 设AP=a ，则A ，C ，B1，P 的坐标分别为 (0，-1,0)，(0,1,0)，∴B1P不垂直AC，∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直．即2+2(a-2)=0，∴a=1.又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面CB1P，设平面C1B1P的法向量为n=(1，y，z)，∴二面角C-B1P-C1的余弦值的大小为.10．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； (3)求点E 到平面ACD 的距离． 【解析】 (1)连接OC ， ∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD. ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD. 在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 而AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC. ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD.(2)以O 为原点，建立如图空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，D(－1,0,0)， C(0，3，0)，A(0,0,1)， E(12，32，0)，∴AB 与CD 所成角的余弦值为24. (3)设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎨⎧x ＋z ＝03y －z ＝0.令y ＝1，得n ＝(－3，1，3)是平面ACD 的一个法向量．。
2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案2
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2， 0, 0），C (2, 22,0），E (1， 2， 1）,)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ,θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二］取PB 中点F ,连接EF 、AF ，则EF ∥BC ,从而∠AEF （或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π。
因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1）1111224ABC S ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC-的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ，所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 252.解析:(1)证法一 如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ，则,,b c n 共面，根据平面向量基本定理，存在实数,λμ使得c b n λμ=+ABCD P EF则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥，所以0a b ⋅= 又因为aπ,n π⊥，所以0a n ⋅=故0a c ⋅=，从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO π⊥，垂足为O ，则O c ∈ ∵PO π⊥，a π，∴直线PO a ⊥又a b ⊥，b平面PAO ,POb P =∴a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，∴a c ⊥（2）逆命题:a 是平面π内一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a c ⊥，则a b ⊥. 逆命题为真命题. 3. 解析：（Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==，在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面AED ，⊂AE 平面AED ，且A AE AD = ，故BD⊥平面AED ； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ，建立如图所示的空间直角坐标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ，则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.zx y5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ，而二面角F —BD —C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ，连接1,CG FG ，由于CB CD =，因此CG BD ⊥， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥，所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=︒，因为12CG CB=,又CB CF=，所以225GF CG CF CG =+=，故5cos 5FGC ∠=，因此二面角F BD C --的余弦值为55。
【立体设计】高考数学 2.7 函数与方程课后限时作业 理(通用版)
2012高考立体设计理数通用版 2.7 函数与方程课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.用二分法研究函数f(x)=x 3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次应计算 .以上横线上应填的内容为 ( )A.(0,0.5),f(0.25)B.(0,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.125) 解析：本题考查了二分法的应用问题.由已知及二分法解题步骤可知x 0∈(0,0.5)且第二次应计算f(0.25). 答案：A2.(2011届·龙岩质检）为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )的部分对应值(精确到0.01)如下表所示：x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 f (x ) 1.16 1.00 0.68 0.24 －0.24 －0.70 －1.00则间 ( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0) 解析：因为f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.24)<0，所以零点在(1.8,2.2)上．故选C. 答案：C3. 下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( )解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )<0，A 、B 中不存在f (x )<0，D 中函数不连续．故选C. 答案：C4.(2011届·枣庄模拟）已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0.则f (x 1)的值 ( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：因为f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递减，当x →0时，f (x )→＋∞，因为f (x 0)＝0， 所以f (x )＝0只有一个实根．所以当0<x 1<x 0时，f (x 1)>0恒成立，故选A. 答案：A5.关于x 的方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有实根，则实数a 的取值范围是 ( )A.a>1B.a<12C. 12<a<1D.a<12或a>1解析：令f(x)=ax+a-1,因为方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有根等价于函数f(x)在区间(0,1)内有零点，根据零点存在定理得f(0)·f(1)=(a-1)(2a-1)<0,解此不等式解得12<a<1.所以a 的取值范围是12<a<1,选C. 答案：C6.已知函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值，则函数()()f x g x x=在区间上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析：因为函数f(x)=x 2-2ax+a 在(-∞,1)上有最小值，所以a<1.所以()()2f x a g x x a x x ==+-, 2()10ag x x'=->,即函数g(x)在区间上为增函数. 答案：D二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 7.函数f(x)=ln x-x+2的零点个数为 . 解析：本题考查导数的应用及函数的零点，1()1f x x '=-,令1()1f x x'=-=0得x=1. 当x ∈(0,1)时，()f x '>0,则函数在(0,1)上为增函数；当x ∈(1,+∞)时，()f x '<0, 则函数在x ∈(1,+∞)时为减函数.所以函数在x=1时取得最大值f(1)=ln 1-1+2=1, 又2211()0f e e=-<, 22()40f e e =-<,故函数有两个零点. 答案：28.已知方程x 3=4-x 的解在区间(k,k+12)内，k 是12的整数倍，则实数k 的值是 . 解析：令f(x)=x 3+x-4，则它的导函数()f x '=3x 2+1>0,所以函数f(x)在定义域上是单调增函数.如果有零点，只能有一个.又f(1)=-2<0,32737()402828f =+-=> >0,故函数f(x)必然有一个根在3(1,)2上,即k=1.答案：19.若方程2ax 2-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a 的取值范围是 .解析：令f(x)=2ax 2-x-1,由题意知f(0)·f(1)<0,所以（-1）·（2a-2)<0,所以a>1. 答案：(1,+∞)10.(2011届·浙江温州质检) 对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．若二次函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a 2没有不动点，则实数a 的取值范围是 .解析：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a 2无不动点，所以方程x 2＋2ax ＋a 2＝x 无实数根，即方程x 2＋(2a －1)x ＋a 2＝0无实数根，所以Δ＝(2a －1)2－4a 2<0.解得a >14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 已知二次函数的对称轴为x ＝－2，截x 轴上的弦长为4，且过点(0，－1)，求二次函数的解析式．解：对称轴为x ＝－2，又截x 轴的弦长为4， 则图象与x 轴的交点为x 1＝－2－2，x 2＝2－ 2. 设二次函数为y ＝a (x ＋2＋2)(x －2＋2)，又(0，－1)在图象上，则有－1＝a (2＋2)(－2＋2)．所以a ＝12，二次函数解析式为y ＝12x 2＋2x －1.12. 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个正零点．(精确到0.1) 解：因为f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0， 所以存在x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0. 用二分法逐次计算，列表如下：因为最后一个区间端点精确到0.1的近似值是1.7，所以所求的零点为1.7.B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 1.函数f(x)=1ln 1x x --的零点的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：如图可知，11y x =-与ln y x =的图象有两个交点.答案：C2. 设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．8解析：因为x >0时单调且为偶函数，所以|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x (x ＋4)＝±(x ＋1)．所以2x 2＋9x ＋1＝0或2x 2＋7x －1＝0.所以共有四根，设其四根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝－92，x 3＋x 4＝－72.故满足条件的所有x 之和为：－92＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝－8，选C.答案：C二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.设函数22,0;(),0,x f x x bx c x >⎧=⎨++≤⎩若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为;关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为 .解析：本题考查分段函数及待定系数法求函数解析式.由于x ≤0时，2()f x x bx c =++,由f(-4)=f(0)可知二次函数的对称轴为x=-2,即22b-=- ⇒b=4.又f(-2)=-2得c=2,故函数解析式为22,0;()4,0.x f x x x c x >⎧=⎨++≤⎩分段解答易知方程f(x)=x 有三个根分别为2，-1，-2.答案：22,0;()4,0.x f x x x c x >⎧=⎨++≤⎩ 34. 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，有f (x 1－1)＝f (x 2＋1)(x 1－x 2≠2)，则f (x 1＋x 2)＝____. 解析：因为x 1－x 2≠2，所以x 1－1≠x 2＋1.因为f (x 1－1)＝f (x 2＋1)，f (x )＝ax 2＋bx 是二次函数，所以x 1－＋x 2＋2＝－b 2a .所以x 1＋x 2＝－b a.所以f (x 1＋x 2)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝0.答案：0三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (x )＞－2x ⇔f (x )＋2x ＞0⇔ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋2a＝1＋3，ca ＝1×3，a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2－4a ，c ＝3a ，所以f (x )＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a . ①(1)由f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0. ② 因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0.解得a ＝1或a ＝－15.由于a ＜0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a， 又a ＜0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a .由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a ＞0，a ＜0，解得a ＜－2－3或－2＋3＜a ＜0.6.已知二次函数f(x)=x 2+2bx+c(b 、c ∈R).(1)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x ≤1}，求实数b 、c 的值；(2)若f(x)满足f(1)=0,且关于x 的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内，求实数b 的取值范围.解：（1）依题意，x 1=-1,x 2=1是方程x 2+2bx+c=0的两个根.由韦达定理，得12122,.x x b x x c +=-⎧⎨=⎩即20,1.b c -=⎧⎨=-⎩所以b=0,c=-1.(2)由题知，f(1)=1+2b+c=0,所以c=-1-2b.记22()()(21)(21)1,g x f x x b x b x b c x b x b =++=++++=++--则(3)57,(2)15,15,(0)1,57(1)1g b g b b g b g b -=-⎧⎪-=-⎪⇒<<⎨=--⎪⎪=+⎩即15(,).57b ∈。
2012年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版)(含答案及解析)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或33．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1 11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】5J：集合．【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD∴V A=×S△EBD×h=×2×h=﹣BDE∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有：×2×1×1=12种，故选：A．【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】13：作图题；16：压轴题．【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z 的几何意义，属于基础试题14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin （x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）•（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得，∵0＜C＜π∴sinC=a=2c即a＞c【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P （A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3 P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144P（ξ=2）=P（B）=0.352P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M （1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D 的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b n=x n﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为当y=0时，∴∵2≤x k＜x k+1＜3，∴＜x k+2∴x k+1＜x k+2＜3∴2≤x k+1即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得设b n=x n﹣3，∴∴∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列∴∴∴．【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．。
【立体设计】高考数学 2.3 集合挑战真题 理(通用版)
2012高考立体设计理数通用版 2.3 集合挑战真题1.（2010·四川）函数f(x)=x 3+sin x+1(x ∈R)，若f(a)=2，则f(-a)的值为 （ ）A.3B.0C.-1D.-2解析：因为f （a ）=a 3+sin a+1=2,所以a 3+sin a=1,所以f （-a ）=-a 3-sin a+1=0.答案：B2.（2010·安徽）若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (x )＜f (3)＜g (0)B ．g (0)＜f (3)＜f (2)C ．f (2)＜g (0)＜f (3)D ．g (0)＜f (2)＜f (3)解析：由已知条件可得f (x )－g (x )＝e x ，f (－x )－g (－x )＝－f (x )－g (x )＝e －x ，两式相联立可得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2. 因为函数f (x )为增函数，所以0<f (2)＜f (3)．又g (0)＝－1，所以g (0)＜f (2)＜f (3)，故应选D.答案：D3. (2009·辽宁)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是 （ ）A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：由题意可知|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A. 答案：A4. (2009·陕西)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1) (f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有 ( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )解析：由题知，f (x )为偶函数，故f (n )＝f (－n )，又知当x ∈(－∞，0]时，f (x )为增函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数．因为n ＋1>n >n －1，所以f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)．即f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)．答案：C5. (2007·海南、宁夏)设函数f (x )＝x ＋x ＋a x为奇函数，则a ＝ . 解析：f (x )＝x ＋x ＋a x ＝x ＋a x ＋a ＋1.由该函数为奇函数得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 答案：-1。
【立体设计】2012高考数学 2.8 函数模型及其应用课后限时作业 理(通用版)
2012高考立体设计理数通用版 2.8 函数模型及其应用课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.汽汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t 的增大而增大，故排除D项；另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C项；又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B项，故选A项.答案：A2. 拟定从甲地到乙地通话m分钟的费由f(m)＝1.06·(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[3.1]＝4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为( )A．3.71 B．4.24 C．4.56 D．4.77解析：从甲地到乙地的通话费用为1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×4＝4.24.答案：B3. 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)满足的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( )A．100台 B．120台 C．150台 D．180台解析：由题意得25x≥3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N)，即x2＋50x≥30 000，所以(x＋25)2≥1752，所以x≥150.答案：C4.要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.如图，假设每个喷水龙头的喷洒X围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) A.3B.4C.5D.6解析：①易知3个水龙头不可能完全覆盖.②将边长为16的正方形分割成4个全等的正方形（如图），其对角线=82<12.所以每个正方形（小）都能被半径为6的圆覆盖，即4个水龙头可满足题意.答案：B5.（2011届·某某质检）某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.606万元 B．45.6万元C．45.56万元 D．45.51万元解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，设总利润为L(x)，则L(x)＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)．L (x )在[0,10.2]上递增，在(10.2，＋∞)上递减，所以当x ＝10时，L (x )最大，L (x )max ＝45.6(万元)．故选B.答案：B6. 在某种金属材料的耐高温的实验中，温度y 随着时间t 变化的情况由微机记录后显示出的图象如图所示．已知下列说法：①前5分钟，温度增加的速度越来越快；②前5分钟，温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后，温度保持匀速增加；④5分钟以后，温度保持不变．其中正确的说法是( )A ．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④解析：注意y 是t 分钟时金属的温度．答案：D二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7. 一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则一定能确定正确的是.解析：由丙图知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确． 由丙图知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误．由丙图知4点到6点蓄水量不变，故可能不进水也不出水或两个进水一个出水，故③错误． 答案：①8.用长度为24 m 的材料围成一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为m.解析：利用二次函数或基本不等式求解.答案：39. 某工厂生产某型号车床，年产量为10 000台，分若干批进行生产，生产每批车床前期投入为b 元．假设产品均匀投入市场，并且平均库存量为批量的一半．设每年每台的库存费为b2元，那么批量为台时，才能使一年中库存费与前期投入费的和最小．解析：设批量为x 台，则一年中库存费为x 2·b 2＝bx 4， 一年中的前期投入费为10 000b x， 当bx 4＝10 000b x ，即x ＝200时，bx 4＋10 000b x最小． 答案：20010. 某种商品，进货价为每件50元．据市场调查，当销售价格x (元/件)满足50≤x ≤80时，每天售出的件数P ＝100 000x －402. 当销售价格定为元/件时，所获利润最多． 解析：设销售价为每件x 元，获利润y 元，则有y ＝(x －50)·100 000x －402＝100 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x －40－10x －402. 将此式视为关于1x －40的二次函数，则当1x －40＝120，即x ＝60时，利润y 有最大值． 答案：60 三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．(1)若存款利率为x ，x ∈(0,0.048)，试写出存款数量g (x )及银行应支付给储户的利息h (x )与存款利率x 之间的关系式；(2)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益．解：(1)由题意知，存款量g (x )＝kx ，银行应该支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2，x ∈(0,0.048)．(2)设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2＝－k (x －0.024)2＋0.0242k ，当x ＝0.024时，y 有最大值，所以存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益．12. 某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P (元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：时间(将第x 天记录x ) 1 10 11 18单价(元/件)P 9 0 1 8而这20天相对的销售量Q (百件/天)与x 对应的点(x ，Q )在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y (元)与时间x (天)的函数．(2)在这20天中哪一天销售收入最高？每天销售价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)解：(1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]；x －10，x ∈[11，20]，x ∈N *， Q ＝100－x －102，x ∈[1,20]，x ∈N *，所以 y ＝100QP ＝100x －102[100－x －102]，x ∈[1,20]，x ∈N *. (2)因为(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －102＋100－x －10222＝2 500， 所以当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2，即x ＝10±52时，y 有最大值．因为x ∈N *，所以取x ＝3或17时，y max ＝70051≈4 999(元)，此时，P ＝7(元)．答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P 定为7元为好．B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.如图所示，一质点P(x,y)在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V ＝V(t)的图象大致为( )解析：由题图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正数到0、负数，再到0，到正数，故A 项错误；质点P （x,y ）在终点的速率是由大到小接近0，故D 项错误；质点P （x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q （x,0）的速度为常数，因此C 项是错误的，故选B 项.答案：B2.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x,y 应为 ( )A.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=14解析：由题意知x 24－y ＝2024－8＝54，则x ＝30－54y . 矩形面积S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫30－54y y ＝－54(y －12)2＋180， 则当y ＝12，x ＝15时，S 最大．答案：A二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.从装满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行.如果倒完第k 次（k ≥1)时共倒出纯酒精x 升，设倒完第k+1次时共倒出纯酒精f(x)升，则函数f(x)的表达式为.解析：由于倒完第k 次共倒出纯酒精x 升，则第k+1次倒酒精时，容器中还有纯酒精(20-x)升，第k+1次倒出了纯酒精1(20)20x -升，所以119()(20)1(120)2020f x x x x x =+-=+≤<. 答案：19()1(120)20f x x x =+≤< 4. 某学校需要购置实验设备若干套．经协商，厂家同意按出厂价结算，若超过50套还可以给予每套比出厂价低30元的优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则 a 的值为. 解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)台应付a 元，则a ＝xy .若多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)(x ＋11>50)，所以xy ＝(x ＋11)(y －30)(39<x ≤50)， 所以30x ＝11y －330，所以3011x ＝y －30. 又因为x ∈N ，y ∈N,39<x ≤50，所以x ＝44，所以y ＝150，所以a ＝xy ＝6 600.答案：6 600三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用甲图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用乙图中的抛物线段表示．(1)写出甲图表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )；写出乙图表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)认定市场售价减去种植成本为纯利益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)由题图可得市场售价与时间的函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ， 0≤t ≤200；2t －300， 200＜t ≤300. 由题图可得种植成本与时间的函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )＝f (t )－g (t )， 即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200＜t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )在区间[0,200]上取得最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得 h (t )＝－1200(t －350)2＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )在区间(200,300]上取得最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．6. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2009年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2009年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为“其生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完．假设2009年生产的化妆品正好销完．(1)将2009年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2009年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)解：(1)由题意，得3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2，所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x (万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x ＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3，当销售x (万件)时，年销售收入＝150%·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，所以年利润＝年销售收入－年生产成本－年促销费，即y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)． (2)因为y ＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42， 所以当促销费定在7万元时，企业的年利润最大．。
【立体设计】2012高考数学 第三章 章末强化训练 理(通用版)
2012高考立体设计理数通用版 第三章 章末强化训练一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数y ＝1＋3x －x 3有 ( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3解析：y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝0得x ＝±1. 当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0； 当x ∈(－1,1)时，y ′>0； 当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0.所以y 极小值＝1＋3×(－1)－(－1)3＝－1； y 极大值＝1＋3×1－1＝3.故应选D. 答案：D2. 已知f ′(x )是f (x )的导函数，且f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )解析：由f ′(x )的图象可知，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上从a 到b 各点处的切线的斜率是先增大后减小．故应选D. 答案：D3. 在曲线y ＝x 3＋x －2的切线中，与直线4x －y ＝1平行的切线方程是 ( ) A ．4x －y ＝0 B ．4x －y －4＝0C ．2x －y －2＝0D ．4x －y ＝0或4x －y －4＝0解析：y ′＝3x 2＋1，又直线4x －y ＝1的斜率为4，令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1，所以切点为(1,0)，(－1，－4)，所以切线方程为y ＝4(x －1)或y ＋4＝4(x ＋1)，即4x －y －4＝0或4x －y ＝0，故选D. 答案：D4. 已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427、0 B ．0、427 C ．－427、0 D ．0、－427解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1.进而求得当x ＝13时，f (x )取极大值427，当x ＝1时，f (x )取极小值0.故选A.答案：A5. 曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.23解析：y ′＝x 2＋1，曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线斜率k ＝12＋1＝2，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线方程为y －43＝2(x －1)． 该切线与两坐标轴的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，－23. 故所求三角形的面积是：12×13×23＝19.故应选A.答案：A6. 如图，直线l 0过正方形ABCD 的顶点B ，且l 0∥AC ，当直线l 从l 0开始在平面内向左上方匀速平移(经过点D 停止)时，它扫过的正方形内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是 ( )解析：开始和最后阶段面积增加的幅度越来越小，其图象趋于平缓，只有C 符合要求，故应选C. 答案：C7. 函数F (x )＝⎠⎛0x t(t －4)d t 在[－1,5]上 ( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)d t ＝⎠⎛0x (t 2－4t)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2.令F′(x)＝x 2－4x ＝0，则x ＝0或x ＝4.当x∈(－∞，0)时，F′(x)>0；当x∈(0,4)时，F′(x)<0； 当x∈(4，＋∞)时，F′(x)>0.故F(x)max ＝F(0)＝0；F(x)min ＝F(4)＝13×43－2×42＝－323.故应选B .答案：B8. 函数f(x)＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为 ( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0,2)解析：f′(x)＝(x 3－3x 2＋1)′＝3x 2－6x ，当f′(x)<0时，f(x)单调递减，3x 2－6x<0，即0<x<2.故单调递减区间为(0,2)． 答案：D9.（2011届·泉州质检）计算由曲线y =x=1和x 轴所围曲边三角形的面积，可将区间［0,1］等分为若干个小区间，并以直代曲得到若干个窄边矩形，x ∆,当区间［0,1］无限细分时，这些窄边矩形的面积之和将趋近于曲边三角形的面积，且面积S =⎰.类比曲边三角形面积求法，计算出曲线y=x 及直线x=1和x 轴所围曲边三角形绕x 轴旋转360°所成旋转体的体积，则体积V 可以表示为 ( )A.10π⎰ B.120dx π⎰C.1⎰D.10π⎰解析：类比曲边三角形面积求法，可得体积120V dx π=⎰.故选B.答案：B10.(2011届·厦门质检)已知a 为常数，若曲线23ln y ax x x =+-存在与直线x+y-1=0互相垂直的切线，则实数a 的取值范围是 ( ) A. 1[,)2-+∞ B. 1(,]2-∞- C. [1,)-+∞ D. (,1]-∞- 解析：123y ax x '=+-,由1231ax x +-=,得212(1)1a x=--.因为x>0,所以21(1)11x --≥-,所以2a ≥-1,所以12a ≥-.故选A.答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知过曲线y ＝x 3＋bx ＋c 上一点A (1,2)的切线为y ＝x ＋1，则b 2＋c 2等于13.解析：y ′＝3x 2＋b ，所以y ′|x ＝1＝3＋b ＝1. ①又因为y ＝x 3＋bx ＋c 过点(1,2)，所以1＋b ＋c ＝2，② 解①②得b ＝－2，c ＝3.所以b 2＋c 2＝(－2)2＋32＝13. 答案：1312.（2011届·福州质检）如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____；函数f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝ .解析：观察图形可知f (0)＝4，所以f (f (0))＝f (4)＝2.AB 的方程为：x 2＋y4＝1，即y ＝4－2x ，所以f (x )＝4－2x ，所以f ′(x )＝－2，所以f ′(1)＝－2. 答案：2 -213.如图，函数21()()5g x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8,则(5)(5)f f '+ = .解析：g(5)=f(5)+5=-5+8=3,所以f(5)=-2.又g ′(x)=f ′(x)+25x ,所以g ′(5)=f ′(5)+ 25×5=-1,解得f ′(5)=-3,f(5)+f ′(5)=-5. 答案：-514. 已知函数y ＝f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝ .解析：y ′＝f ′(x )＝－2x －2，令y ′＝0，则x ＝－1.因为f (－1)＝－1＋2＋3＝4，f (2)＝－4－4＋3＝－5，且函数最大值为154，又因为f (－1)>154，所以a >－1，故应为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解之得a ＝－12或－32(舍去)．答案：－1215. 半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr . ① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子： . ② ②式可用语言叙述为： . 解析：考查类比推理和函数的求导．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）16.(13分）已知函数f (x )＝x 3－(k 2－1)x 2－k 2＋2(k ∈R )，若过函数f (x )图象上一点P (1，a )的切线与直线x －y ＋b ＝0垂直，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2－2(k 2－1)x ，所以过点P 的切线斜率为k 1＝f ′(1)＝5－2k 2. 又因为过点P 的切线与直线x －y ＋b ＝0垂直，所以(5－2k 2)×1＝－1，所以k 2＝3. 又因为点P (1，a )在f (x )的图象上，所以1－(k 2－1)－k 2＋2＝a ，所以a ＝－2.17.(13分）已知函数f(x)=x 3+ax 2+3bx+c(b ≠0),且g(x)=f(x)-2是奇函数. （1）求a,c 的值；（2）求函数f(x)的单调区间.解：(1)因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数， 所以对任意的x ∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x 3+ax 2+3bx+c,所以-x 3+ax 2-3bx+c-2=-x 3-ax 2-3bx-c+2. 所以,22,a a c c =-⎧⎨-=-+⎩解得0,2.a c =⎧⎨=⎩(2)由(1)得f(x)=x 3+3bx+2.所以f ′(x)=3x 2+3b(b ≠0).当b<0时，由f ′(x)=0得x =x 变化时，f ′(x)的变化情况如下表：x(,-∞ ()+∞()f x '+-+所以当b<0时，函数f(x)在(,-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增；当b>0时,f ′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.18.（2011届·杭州质检）(13分）设函数323()(1)132a f x x x a x =-+++,其中a 为实数. (1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式2()1f x x x a '>--+对任意a ∈(0,+∞)都成立，求实数x 的取值范围.解：(1) 2()31f x ax x a '=-++,因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f ′(1)=0,即a-3+a+1=0,所以a=1. （2）由题设知：22311ax x a x x a -++>--+对任意a ∈(0,+∞)都成立， 即22(2)20a x x x +-->对任意a ∈(0,+∞)都成立，于是2222x xa x +>+对任意a ∈(0,+∞)都成立，即22202x xx +≤+，解得-2≤x ≤0, 所以x 的取值范围是［-2，0］.19.（13分）设函数()bf x ax x=-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.（1）解：方程7x-4y-12=0可化为734y x =-. 当x=2时，12y =,又2()b f x a x'=+, 于是12,227.44b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩故3().f x x x =-(2)证明：设00(,)P x y 为曲线上任一点，由231y x '=+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-, 即0020033()(1)()y x x x x x --=+-.令x=0得06y x =-, 从而得切线与直线x=0的交点坐标为06(0,)x -. 令y=x 得02y x x ==,从而得切线与直线y=x 的交点坐标为00(2,2)x x , 所以点00(,)P x y 处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形面积为0016|||2|=62x x -. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值， 此定值为6.20.（14分）设函数ln(1)()1x f x x x+=-+.(1)令2()(1)1ln(1)N x x x =+-++，判断并证明N （x)在（-1，+∞)上的单调性，并求N （0）；（2）求f(x)在其定义域上的最小值；（3）是否存在实数m,n 满足0≤m<n ，使得f(x)在区间［m,n ］上的值域也为［m,n ］? 解：(1)当x>-1时，1()2201N x x x'=++>+, 所以N(x)在（-1，+∞)上单调递增，N （0）=0. (2)f(x)的定义域是（-1，+∞),221ln(1)()()1,(1)(1)x N x f x x x -+'=-=++当-1<x<0时，N （x)<0,所以f ′(x)<0; 当x>0时，N （x)>0,所以f ′(x)>0,所以f(x)在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞)上单调递增，所以min ()f x =f(0)=0. (3)由（2）知f(x)在［0，+∞)上是单调递增函数，若存在m,n 满足条件，则必有f(m)=m,f(n)=n,也即方程f(x )=x 在［0，+∞)上有两个不等的实根m,n, 但方程f(x)=x,即ln(1)01x x+=+只有一个实根x=0,所以不存在满足条件的实数m,n. 21.(14分) 某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分)，形状为直角梯形QPRE (线段EQ 和RP 为两个底边)，已知AB ＝2 km ，BC ＝6 km ，AE ＝BF ＝4 km ，其中AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则A (0,0)，F (2,4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y ＝ax 2(a ＞0)，由4＝a ×22得，a ＝1，则AF 所在抛物线的方程为y ＝x 2.又因为E (0,4)，C (2,6)，所以EC 所在直线的方程为y ＝x ＋4.设P (x ，x 2)(0＜x ＜2)，则PQ ＝x ，QE ＝4－x 2，PR ＝4＋x －x 2，所以工业园区的面积 S ＝12(4－x 2＋4＋x －x 2)·x ＝－x 3＋12x 2＋4x (0＜x ＜2)． 所以S ′＝－3x 2＋x ＋4.令S ′＝0得x ＝43或x ＝－1(舍去)．当x 变化时，S ′和S 的变化情况如下表：↗ ↘ 由表格可知，当x ＝3时，S 取最大值27.即该高科技工业园区的最大面积为10427km 2.。
【立体设计】高考数学 2.1 集合课后限时作业 理(通用版)
2012高考立体设计理数通用版 2.1 集合课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 函数y ＝x 2－2x －3＋log 2(x ＋2)的定义域为 ( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) C ．(－2，－1]D ．(－2，－1]∪[3，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≥0，x ＋2＞0，得定义域为(－2，－1]∪[3，＋∞)．答案：D2. 下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是 ( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x解析：因为y ＝x 2x ＝x (x ≠0)；y ＝(x )2＝x (x ≥0)；y ＝lg 10x＝x (x ∈R )；y ＝2log 2x ＝x (x >0)．故选C.答案：C3. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧2， x <1；x －1，x ≥1，则f (f (f (1)))＝ ( )A ．0 B. 2 C ．1 D ．2 解析：f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1. 答案：C4．已知两个函数f (x )、g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，且满足下表：x 1 2 3 f (x )2 3 1x 1 2 3 g (x )321则方程g (f (x ))＝x 的解集为 ( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3} D ．∅ 解析：将x ＝1,2,3分别代入检验，易知x ＝3.故选C. 答案：C5．(2010·烟台检测)如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 上运动，设点M 为CD 的中点，当点P 沿A →B →C →M 运动时，点P 经过的路程设为x ，△APM 的面积设为y ，则函数y ＝f (x )的图象只可能是下图的 ( )解析：当点P 在AB 上运动时，y ＝12x ；当点P 在BC 上运动时，△APM 的面积可用正方形的面积减去三个小三角形的面积得出，即y ＝1－14－12×12(2－x )－12(x －1)＝34－14x ；当点P 在CM 上运动时，y ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－x －2＝54－12x ，对照图象可知，只有选项A 满足．答案：A6.已知P ＝{x|0≤x ≤4},Q={y|0≤y ≤2},下列对应不表示从P 到Q 的函数的是 ( )A.f ：x →y=12x B.f:x →y=13x C.f:x →y=32x D.f:x →y=x解析：对于C ，当x=4时，y=6，而6 ∉Q.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≥0；x 2， x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤1；2， x >1，则f (g (3))＝____，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ .解析：因为g (3)＝2，所以f (g (3))＝f (2)＝3×2＋1＝7.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝14，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝3116. 答案：7 31168．已知函数f (x )＝x 21＋x2，那么111(1)[(2)()][(3)()][(4)()]234f f f f f f f ++++++＝ .解析：222211()()1111x x f f x x x x +=+=++， 11117(1)[(2)()][(3)()][(4)()]111.234112f f f f f f f ++++++=+++=+答案：729.函数lg 1x y +=的定义域为 .解析：由0,lg10,10,xxx>⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩得110x≥且x≠1.答案：1[,1)(1,)10⋃+∞10.已知f(x+1)=4x+3，则f(x)= .解析：因为f(x+1)=4x+3=4(x+1)-1，所以f(x)=4x-1.答案：4x-1三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.求函数lg(2)()41xf xx+=--的定义域.解：由20,40,410,xxx⎧+>⎪-≥⎨⎪--≠⎩解得2,4,3,xxx>-⎧⎪≤⎨⎪≠⎩故-2<x≤4且x≠3.所以f(x)的定义域为(-2,3)∪(3,4］.12. 如图，用长为l的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计？解：设半圆的半径为x，则窗户的面积y＝12πx2＋2x·l－6x－πx2＝－⎝⎛⎭⎪⎫6＋π2x2＋lx，由⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，l－6x－πx2＞0，解得0＜x＜l6＋π.所以y＝－⎝⎛⎭⎪⎫6＋π2x2＋lx⎝⎛⎭⎪⎫0＜x＜l6＋π.当x＝l12＋π时，y有最大值，这时半圆的直径为2l12＋π，大矩形的另一边长为3l12＋π.B组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.函数f(x)=||xxx+的图象是 ( )解析：1,0;()1,0.x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩故选C.答案：C2.函数224y x x =--+ 的值域是 ( ) A.［0,2］ B.(0,2］C.[-2,0]D.[-2,2]解析：定义域为［0,4］, 22(2)4y x =---+，值域为［0,2］. 答案：A二、填空题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)3.（2011届·杭州质检）函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0；－2x ， x >0，使函数值为5的x 的值是 .解析：当x ≤0时，令f (x )＝5，即x 2＋1＝5，解之得x ＝－2；当x >0时，令f (x )＝5，即－2x ＝5，解之得x ＝－52，不符，舍去，故x ＝－2.答案：-24. 函数y ＝a 2|x |与y ＝x ＋a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是 .解析：a ＝0时不适合，所以a 2＞0.作出两个函数的图象可知需a ＞0且a 2＞1，所以a ＞1. 答案：a ＞1三、解答题(本大题共2小题，每小题14分，共28分)5. 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，求f (ax ＋b )的解析式．解：因为f (x )＝x 2＋2x ＋a ，所以f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a .又因为f (bx )＝9x 2－6x ＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.所以f (ax ＋b )＝f (2x －3)＝(2x －3)2＋2(2x －3)＋2＝4x 2－8x ＋5.即f (ax ＋b )＝4x 2－8x ＋5.6.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x-1. (1)求函数g(x)的表达式；(2)解不等式g(x)+|x-1|≥f(x).解：(1)因为f(x)和g(x)的图象关于原点对称，所以-g(x)=(-x)2-2x-1,所以g(x)=-x2+2x+1.(2)因为g(x)≥f(x)-|x-1|，所以-x2+2x+1≥x2+2x-1-|x-1|,即2x2-2≤|x-1|. (*) 当x>1时，(*)式化为2(x-1)(x+1)≤x-1,所以x∈ ;当x<1时，(*)式化为2(x-1)(x+1)≤1-x,所以-32≤x<1,当x=1时，（*）式成立，所以不等式的解集是[-32,1].。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年天津高考数学理科试卷(带详解)
2012年某某高考数学卷解析一、选择题：在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．i 是虚数单位,复数7i3iz -==+〔〕 A ．2i + B.2i -C .2i -+D .2i --[测量目标]复数代数形式的四如此运算. [考查方式]直接给出复数的分式形式求其值. [难易程度]容易 [参考答案]B [试题解析]7i (7i)(3i)217i 3i 12i 3i (3i)(3i)10z ------====-++- 2.设ϕ∈R ,如此"0ϕ=〞是"()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数〞的〔〕 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[测量目标]三角函数的奇偶性,充分、必要条件.[考查方式]判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系. [难易程度]容易 [参考答案]A[试题解析]∵0ϕ=⇒()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数,反之不成立,∴"0ϕ=〞是"()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数〞的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为〔〕 A.1- B.1 C.3 D.9第3题图[测量目标]循环结构的程序框图.[考查方式]阅读程序框图得出程序运算结果. [难易程度]容易 [参考答案]C[试题解析]根据图给的算法程序可知：第一次4x =,第二次1x =,如此输出2113x =⨯+=. 4.函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是〔〕C .2D .3[测量目标]函数零点的求解与判断.[考查方式]直接给出函数的解析式判断其零点的个数. [难易程度]容易 [参考答案]B[试题解析]解法1：因为(0)1021f =+-=-,3(1)2228f =+-=,即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()0,1内连续不断,故()f x 在()0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如以下图：可知B 正确.第4题图5.在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为〔〕A.10B.10-C.40D.40- [测量目标]二项式定理.[考查方式]直接给出一个二项展开式求某项的系数. [难易程度]容易 [参考答案]D[试题解析]∵2515103155C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x ----+=-=-,∴1031r -=,即3r =,∴x 的系数为40-.6.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,85,2b c C B ==,如此cos C =〔〕 A.725B.725-C.725±D.2425[测量目标]正弦定理,三角函数中的二倍角公式.[考查方式]三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值. [难易程度]容易 [参考答案]A[试题解析]∵85b c =,由正弦定理得8sin 5sin B C =,〔步骤1〕又∵2C B =,∴8sin 5sin 2B B =,〔步骤2〕所以8sin 10sin cos B B B =,易知sin 0B ≠,〔步骤3〕∴4cos 5B =,27cos cos 22cos 125C B B ==-=.〔步骤4〕 7.ABC △为等边三角形,2AB =,设点,P Q 满足,AP AB λ=(1),AQ AC λ=-λ∈R ,假如32BQ CP =-,如此λ=〔〕A.12B.12± D.32-±[测量目标]平面向量在平面几何中的应用.[考查方式]给出三角形边的向量关系式,运用平面向量的知识求解未知参数. [难易程度]中等 [参考答案]A[试题解析]∵(1),BQ AQ AB AC AB λ=-=--CP AP AC AB AC λ=-=-,〔步骤1〕又∵32BQ CP =-,且2AB AC ==,,60AB AC ︒<>=,cos602AB AC AB AC ︒==〔步骤2〕,∴3(1)()2AC AB AB AC λλ⎡⎤---=-⎣⎦,2223(1)(1)2AB AB AC AC λλλλ+--+-=,〔步骤3〕所以2342(1)4(1)2λλλλ+--+-=,解得12λ=. 〔步骤4〕第7题图8.设,m n ∈R ,假如直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,如此m n +的取值X 围是〔〕A.1⎡⎣B.(),113,⎡-∞++∞⎣C.2⎡-+⎣ D.(),2222,⎡-∞-++∞⎣[测量目标]直线与圆的位置关系.[考查方式]一直线与圆的位置关系求未知参数的取值X 围. [难易程度]中等 [参考答案]D[试题解析]∵直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,〔步骤1〕∴圆心(1,1)到直线的距离为1d ==,所以212m n mn m n +=++（） 〔步骤2〕设t m n =+,如此2114t t +,解得(),2222,t ⎡∈-∞-++∞⎣.〔步骤3〕二、填空题：本大题共6小题,每一小题5分,共30分.9.某地区有小学150所,中学75所,大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进展视力调査,应从小学中抽取所学校,中学中抽取所学校. [测量目标]分层抽样.[考查方式]运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题. [难易程度]容易 [参考答案]18,9[试题解析]∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为250所, 所以应从小学中抽取15030=18250⨯,中学中抽取75309250⨯=. 10.―个几何体的三视图如以下图<单位：m >,如此该几何体的体积为3m .第10题图[测量目标]由三视图求几何体的外表积与体积.[考查方式]给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积. [难易程度]容易 [参考答案]189π+[试题解析]由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积为：3433612π()189π32V =⨯⨯+⨯⨯=+3m . 11.集合{}23A x x =∈+<R ,集合{}()(2)0B x x m x =∈--<R ,且(1,)AB n =-,如此m =,n =.[测量目标]集合的根本运算,集合间的关系.[考查方式]给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数. [难易程度]容易 [参考答案]1-,1[试题解析]∵{}{}2351A x x x x =∈+<=-<<R ,又∵(1,)AB n =-,画数轴可知1,1m n =-=.12.己知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩〔t 为参数〕,其中0p >,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,假如EF ME =,点M 的横坐标是3,如此p =. [测量目标]抛物线的简单几何性质.[考查方式]给出抛物线的参数方程,运用其简单的几何性质求未知数. [难易程度]中等 [参考答案]2[试题解析]∵22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩可得抛物线的标准方程为22(0)y px p =>,〔步骤1〕∴焦点(,0)2pF ,∵点M 的横坐标是3,如此(3,M ,〔步骤2〕所以点(,2p E -222()(022p pEF =++±〔步骤3〕由抛物线得几何性质得2213,,63924p ME EF MF p p p p =+=∴+=++,解得2p =.〔步骤4〕13.如图,AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点F ,33,1,,2AF FB EF ===如此线段CD的长为.第13题图[测量目标]圆的性质的应用.[考查方式]给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段. [难易程度]中等 [参考答案]43[试题解析]∵33,1,,2AF FB EF ===由相交弦定理得AF FB EF FC =,所以2FC =,〔步骤1〕又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=,〔步骤2〕设CD x =,如此4AD x =,再由切割线定理得2BD CD AD =,即284()3x x =,解得43x =,故43CD =.〔步骤3〕14.函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点,如此实数k 的取值X 围是.[测量目标]函数图像的应用.[考查方式]两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值X 围. [难易程度]中等 [参考答案](0,1)(1,4)[试题解析]∵函数2y kx =-的图像直线恒过定点(0,2)B -,且(1,2),(1,0),(1,2)A C D --,∴2+2==010AB k --,0+2==210BC k ---,2+2==410BD k -,由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.第14题图三、解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.〔本小题总分为13分〕函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . <Ⅰ>求函数()f x 的最小正周期； 〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. [测量目标]三角函数的周期性、最值.[考查方式]给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值. [试题解析]<Ⅰ>2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2cos cos 2)34x x x =+=+〔步骤1〕函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==〔步骤2〕〔Ⅱ〕ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-〔步骤3〕当πππ2()428x x +==时,max ()f x =当πππ2()444x x +=-=-时,min ()1f x =-〔步骤4〕16.〔本小题总分为13分〕现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. 〔Ⅰ〕求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：〔Ⅱ〕求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：〔Ⅲ〕用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记X Y ξ=-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.[测量目标]互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.[考查方式]针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题. [难易程度]中等[试题解析]〔Ⅰ〕每个人参加甲游戏的概率为13p =,参加乙游戏的概率为213p -=〔步骤1〕 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C (1)27p p -=.〔步骤2〕〔Ⅱ〕44(4,)()C (1)(0,1,2,3,4)k k kXB p P X k p p k -⇒==-=,〔步骤3〕 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==〔步骤4〕 〔Ⅲ〕ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==〔步骤5〕随机变量ξ的分布列为8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=〔步骤6〕17.〔本小题总分为13分〕如图,在四棱锥P ABCD-中,PA 丄平面ABCD ,,,45,2,1AC AD AB BC BAC PA AD AC ︒⊥⊥∠====.<Ⅰ>证明：PC AD ⊥；〔Ⅱ〕求二面角A PC D --的正弦值；〔Ⅲ〕设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒,求AE 的长.第17题图[测量目标]线线垂直、异面直线所成的角的正弦值.[考查方式]通过空间几何体中的线线,线面直接的位置角度关系求证线线垂直以与异面直线所成角的正弦值. [难易程度]较难[试题解析]<Ⅰ>以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向,建立空间直角坐标系A xyz -.〔步骤1〕如此11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -〔步骤2〕(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥〔步骤3〕第17题〔1〕图〔Ⅱ〕(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-,设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n 如此0202200PC y z y zx y x z CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩n n 取1(1,2,1)z =⇒=n 〔步骤4〕(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量得：二面角A PC D --的正弦值为6〔步骤5〕〔Ⅲ〕设[]0,2AE h =∈；如此(0,0,2)AE =,11(,,),(2,1,0)22BE h CD ==-cos ,10BE CD BE CD h BECD<>=⇔=⇔=即AE =〔步骤6〕18.<本小题总分为13分〕{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=<Ⅰ>求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；<Ⅱ>记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++…；证明：12210()n n n T a b n ++=-+∈N . [测量目标]等差等比数列的通项与性质.[考查方式]给出等差等比数列中项之间的关系求解数列的通项,由两种数列结合成的新数列的性质运用与证明. [难易程度]较难[试题解析]<Ⅰ>设数列{}n a 的公差为d ,数列{}n b 的公比为q ；如此34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩〔步骤1〕得：31,2nn n a n b =-=<Ⅱ>121122311211...2222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++ (111)213132352222n n n n n n n a n n n c c ------++==-=-〔步骤2〕[]1223112()()()2()n n n n n n T c c c c c c c c -=-+-++-=-…1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-〔步骤3〕19.〔本小题总分为14分〕设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,O 为坐标原点. 〔Ⅰ〕假如直线AP 与BP 的斜率之积为12-,求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕假如AP OA =,证明：直线OP 的斜率k 满足k [测量目标]椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系.[考查方式]由椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程以与椭圆的参数,判断椭圆与直线的位置关系求解未知数的取值X 围.[难易程度]较难 [试题解析]〔Ⅰ〕取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；如此221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=〔步骤1〕2222122a b e e a -==⇔=〔步骤2〕〔Ⅱ〕设(cos ,sin )(02π)P a b θθθ<；如此线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ〔步骤3〕sin sin cos 22cos AQ AQ AQb k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+〔步骤4〕2223AQAQ ak b a k k ⇒+<⇔<⇔>〔步骤5〕20.〔本小题总分为14分〕函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中0a >. 〔Ⅰ〕求a 的值；〔Ⅱ〕假如对任意的[)0,x ∈+∞,有2()f x kx 成立,某某数k 的最小值；〔Ⅲ〕证明：*12ln(21)2()21ni n n i =-+<∈-∑N .[测量目标]运用导数的相关性质求函数的最值,证明与推理最值问题. [考查方式]给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值. [难易程度]较难[试题解析]〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(,)a -+∞〔步骤1〕11()ln()()101x a f x x x a f x x a a x a x a+-'=-+⇒=-==⇔=->-++〔步骤2〕得：1x a =-时,min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=〔步骤3〕〔Ⅱ〕设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++如此()0g x 在[)0,x ∈+∞上恒成立min()0(0)g x g ⇔=〔*〕〔步骤4〕(1)1ln 200g k k =-+⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++〔步骤5〕①当1210()2k k -<<时,0012()00()(0)2kg x xx g x g k-'⇔=⇒<与〔*〕矛盾 ②当12k时,min ()0()(0)0g x g x g '⇒==符合〔*〕〔步骤6〕得：实数k 的最小值为12〔Ⅲ〕由〔2〕得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取[]222(1,2,3,,)ln(21)ln(21)2121(21)x i n i i i i i ==⇒+--<---…〔步骤7〕当1n =时,2ln32-<得：12ln(21)221ni n i =-+<-∑当2i时,2211(21)2321i i i <----得：121ln(21)ln(21)2ln 3122121ni i i i n =⎡⎤-++-<-+-<⎢⎥--⎣⎦∑〔步骤8〕。
【立体设计】高考数学 2.4 集合挑战真题 理(通用版)
用心 爱心 专心 1 2012高考立体设计理数通用版 2.4 集合挑战真题1.（2010·全国新课标）设偶函数f （x ）满足f （x ）=2x -4（x ≥0），则{x|f （x-2）＞0}等于( )A.{x|x ＜-2或x ＞4}B.{x|x ＜0或x ＞4}C.{x|x ＜0或x ＞6}D.{x|x ＜-2或x ＞2} 解析：方法一：2224,0;24,2;()(2)114,0,4,2,22x x x x x x f x f x x x --⎧⎧-≥-≥⎪⎪=-=⎨⎨-<-<⎪⎪⎩⎩ 令f （x-2）＞0x ＞4或x ＜0.方法二：因为f （x ）为偶函数,所以f （x ）＝f （|x|）.因为2(2)240f =-=,所以f （x-2）＞0⇔f （|x-2|）＞f （2）.又因为x ≥0，f （x ）=2x -4为增函数,所以|x-2|＞2,解得x ＞4或x ＜0.答案：B2. (2007·山东)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 ( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：因为函数的定义域为R ，所以α≠－1.由此排除B 、C 、D ，所以选A. 答案：A3.（(2009·江苏)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 .解析：因为0<5－12<1，所以指数函数f (x )＝a x 在定义域内为减函数，又由f (m )>f (n )，所以结合图象得m <n .答案：m ＜n4.（2007·江西）不等式2x －3x ＋1≤12的解集为 . 解析：本题主要考查借助指数函数的单调性解不等式，首先化同底，即2x －3x ＋1≤2－1，得x －3x＋1≤－1.当x >0时，x 2＋2x －3≤0，解得0<x ≤1.当x <0时，x 2＋2x －3≥0，解得x ≤－3.故原不等式的解集为：(－∞，－3]∪(0,1]． 答案：（-∞,-3］∪(0,1］5.（2007·上海）若x 1、x 2为方程2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝ . 解析：2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1x ＋1＝2(1x －1)，即x ＝1x －1，整理得x 2＋x －1＝0.所以x 1＋x 2＝－1. 答案：-1。
2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案2
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2, 0, 0),C (2, 22,0),E (1, 2, 1),)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ,则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ,θ=4π.由此可知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二]取PB 中点F ,连接EF 、AF ,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中,由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1)1111224ABCS ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC -的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ,所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 25 2.解析:(1)证法一 如图,过直线b 上任一点作平面π的垂线n ,设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ,则,,b c n 共面,根据平面向量基本定理,存在实数,λμ使得c b n λμ=+则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥,所以0a b ⋅=又因为a πÜ,n π⊥,所以0a n ⋅= 故0a c ⋅=,从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作PO π⊥,垂足为O,则O c ∈ ∵PO π⊥,a πÜ,∴直线PO a ⊥ 又a b ⊥,b Ü平面PAO ,POb P =ABCD P EF∴a ⊥平面PAO ,又c Ü平面PAO ,∴a c ⊥(2)逆命题:a 是平面π内一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a c ⊥,则a b ⊥. 逆命题为真命题.3. 解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==,在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面BD⊥平面AED,⊂AE 平面AED,且A AE AD = ,故AED;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ,建立如图所示的空间直角坐标系,)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ,向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ,而二面角F-BD-C 的平面角为锐角,则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ,连接1,CG FG ,由于CB CD =,因此CG BD ⊥, 又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥,所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中,由于120BCD ∠=︒,因为12CG CB =,又CB CF =,所以225GF CG CF CG =+=, 故5cos 5FGC ∠=,因此二面角F BD C --的余弦值为55. 4. 【答案及解析】(1) 证明:取''A B 中点P,连结MP,NP,而M,N 分别是A 'B 与'B 'C 的中点,所以,MP∥A 'A ,PN∥'A 'C ,所以,MP∥平面'A AC 'C ,PN∥平面'A AC 'C ,又MP NP p ⋂=,因此平面MPN∥平面'A AC 'C ,而MN ⊂平面MPN,所以,MN∥平面'A AC 'C , 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明. 5. 【解析】解:(1)证明:连接AO ,在1AOA 中,作1OE AA ⊥于点E ,因为11//AA BB ,得1OE BB ⊥,因为1AO ⊥平面ABC ,所以1A O BC ⊥,因为,AB AC OB OC ==, 得AO BC ⊥,所以BC ⊥平面1AA O ,所以BC OE ⊥, 所以OE ⊥平面11BB C C , 又2211,5AO AB BO AA =-==,得2155AO AE AA ==(2)如图所示,分别以1,,OA OB OA 所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0) 由(1)可知115AE AA =得点E 的坐标为42(,0,)55,由(1)可知平面11BB C C 的法向量是42(,0,)55,设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =,由10n AB n A C ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩,得200x y y z -+=⎧⎨+=⎩,令1y =,得2,1x z ==-,即(2,1,1)n =-所以30cos ,10||||OE n OE n OE n ⨯<>==⨯ 即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010. 【点评】本题考查线面垂直,二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直,平行有关的线面关系的证明;二、考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问,第3种考查多出现在第2问;对于角度问题,一般有直接法与空间向量法两种求解方法.6. 【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC .又∵AD ⊂平面ABC ,∴1CC AD ⊥.ByOC AEzA 1B 1C 1x又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，,∴AD ⊥平面11BCC B .又∵AD ⊂平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B . (2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥.又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ⊂平面111A B C ,∴11CC A F ⊥. 又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ,1111CC B C C =,∴1A F ⊥平面111A B C .由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD .又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系.【解析】(1)要证平面ADE ⊥平面11BCC B ,只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可.它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得.(2)要证直线1//A F 平面ADE ,只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可.7. 【解析】 解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,3BC=,90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又E 是CD 的中点,所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE. (Ⅱ)过点B 作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接 由(Ⅰ)CD⊥平面PAE 知,BG⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意,知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形,故 3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以于是85.5PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为 解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:(Ⅰ)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,,CD AP 分别是PAE 平面,ABCD 平面的法向量,而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以由(Ⅰ)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故解得855h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -的体积为 118512851633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由13V S PA =⨯⨯算得体积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积.8.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析:(Ⅰ)解法1:在如图1所示的△ABC 中,设(03)BD x x =<<,则3CD x =-.由AD BC ⊥,45ACB ∠=知,△ADC 为等腰直角三角形,所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知,折起后(如图2),AD DC ⊥,AD BD ⊥,且BD DC D =, 所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-.于是 312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦, 当且仅当23x x =-,即1x =时,等号成立,故当1x =,即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. 解法2:同解法1,得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+.令321()(69)6f x x x x =-+,由1()(1)(3)02f x x x '=--=,且03x <<,解得1x =.ABC D PE图 ②xy z 345h当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,3)x ∈时,()0f x '<. 所以当1x =时,()f x 取得最大值.故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. (Ⅱ)解法1:以D 为原点,建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==.于是可得(0,0,0)D ,(1,0,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)A ,(0,1,1)M ,1(,1,0)2E ,且(1,1,1)BM =-.设(0,,0)N λ,则1(,1,0)2EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=,即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=,故12λ=,1(0,,0)2N .所以当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时,EN BM ⊥. 设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-,得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n . 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ,则由11(,,0)22EN =--,(1,2,1)=-n ,可得1|1|32sin cos(90)2||||262EN EN θθ--⋅=-===⋅⨯n n ,即60θ=. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60. 解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==. 如图b ,取CD 的中点F ,连结MF ,BF ,EF ,则MF ∥AD .由(Ⅰ)知AD ⊥平面BCD ,所以MF ⊥平面BCD . 如图c ,延长FE 至P 点使得FP DB =,连BP ,DP ,则四边形DBPF 为正方形,所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ,连结EN ,又E 为FP 的中点,则EN ∥DP , 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ,又EN ⊂面BCD ,所以MF EN ⊥. 又MF BF F =,所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ,所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥,而点F 是唯一的,所以点N 是唯一的.即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点),EN BM ⊥. 连接MN ,ME ,由计算得52NB NM EB EM ====, 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形,如图d 所示,取BM 的中点G ,连接EG ,NG ,则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中,过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角.在△EGN 中,易得22EG GN NE ===,所以△EGN 是正三角形, 故60ENH ∠=,即EN 与平面B M N 所成角的大小为60.C AD B 图aE Mx y z图b C AD BEF MN 图c BDP C F N EBG M N E H图d N9. 解析:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面平面ABCD ,所以PA BD ⊥.而PC PA P =,PC ⊂平面PAC ,PA ⊂PAC ,所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ⊂平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方形,于是2A B A D ==.间直角法1:以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ,于是()0,2,0BC =,()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ,则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ,从而2020y x z =⎧⎨-=⎩,令1x =,得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =-.所以二面角B PC A --的余弦值为210cos ,10522⋅<>==⨯121212=n n n n n n ,于是二面角B PC A --的正切值为3. 法2:设AC 与BD 交于点O ,连接OE .因为PC ⊥平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,BE ⊂平面BDE ,所以PC OE ⊥,PC BE ⊥,于是OEB ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ,OE ⊂平面PAC ,所以O E B ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得O E P AO C P C=,而2AB AD ==,所以22AC =,2OC =,而1PA =,所以3PC =,于是12233PA OE OC PC =⨯=⨯=,而2OB =,于是二面角B PC A --的正切值为3OBOE=. 10. 【考点定位】本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想. 解:(1)以点A 为原点建立空间直角坐标系,设AB a =,则11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=,故11B E AD ⊥(2)假设在棱上存在一点(0,0,)P t ,使得//DP 平面1B AE ,则(0,1,)DP t =-设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =,则有100002ax z n AB ax y n AE +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⋅=⎩⎩,取1x =,可得(1,,)2a n a =--,要使//DP 平面1B AE ,只要DP n ⊥1022a at t ∴-=⇒=,又DP ⊄平面1B AE ,∴存在点P 使//DP 平面1B AE ,此时12AP =.(3)连接11,A D B C ,由长方体11AA AD ==,得11A D AD ⊥11//B C A D ,11AD B C ∴⊥,由(1)知11B E AD ⊥,故1AD ⊥平面11DCB A .1AD 是平面11DCB A 的法向量,而1(0,1,1)AD =,则二面角是30︒,所以,即2AB =11. 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解. 解:设ACBD O =,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),A C P --设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -.(Ⅰ)证明:由2PE EC =得22(,0,)33E , 所以(22,0,2)PC =-,22(,,)33BE a =,(0,2,0)BD a =,所以22(22,0,2)(,,)033PC BE a ⋅=-⋅=,(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a ⋅=-⋅=.所以P C ⊥,PC BD ⊥,所以PC ⊥平面BED ;(Ⅱ) 设平面PAB 的法向量为(,,n x y z =,又(0,0,2),(2,,0)AP AB a ==-,由0,0n AP n AB ⋅=⋅=得2(1,,0)n a =,设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =,又(2,,0),(22,0,2)BC a CP ==-,由0,0m BC m CP ⋅=⋅=,得2(1,,2)m a =-,由于二面角A PB C --为90,所以0m n ⋅=,解得2a =.所以(2,2,2)PD =-,平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-,所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为||12||||PD m PD m ⋅=⋅,所以PD 与平面PBC 所成角为6π.【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点E 的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.12. 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1)CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1ACD , 又1A C ⊂平面1ACD , 又1AC CD ⊥, ∴1A C ⊥平面BCDE(2)如图建系C xyz -,则()200D -，，,()0023A ，，,()030B ，，,()220E -，， zyxA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M∴()10323A B =-，，,()1210A E =--，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，,则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()123n =-，，又∵()103M -，，∴()103CM =-，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒(3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，,()20DP a =，， 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，,则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =- ∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直13. 【解析】(I)取11,BC B C 的中点为点1,O O ,连接1111,,,AO OO AO AO则AB AC AO BC =⇒⊥,面ABC ⊥面11BB C C AO ⇒⊥面11BB C C 同理:11A O ⊥面11BB C C 得:1111//,,,AO AO A O A O ⇒共面 又11,OO BC OO AO O ⊥=⇒BC ⊥面111AOO A AA BC ⇒⊥(Ⅱ)延长11A O 到D ,使1O D OA = 得:11////O D OA AD OO ⇒1OO BC ⊥,面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ⇒⊥面111A B C ⇒AD ⊥面111A B C (Ⅲ)11,AO BC AO BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角 在11Rt OO A ∆中,222211114225A O OO AO =+=+=在1Rt OAA ∆中,22211115cos 25AO AO AA AOA AO AO +-∠==-⨯ 得:二面角1A BC A --的余弦值为55-.。
【立体设计】2012高考数学 8.9 曲线与方程课后限时作业 理(通用版)
2012高考立体设计理数通用版 8.9 曲线与方程课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.（2008·北京）若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线解析：把直线x=-1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义，选D.答案：D2.a、b为任意实数，若(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，则(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，那么曲线f(x，y)＝0的几何特征是( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称解析：因为(a，b)与(b，a)关于直线y＝x对称．又a、b为任意实数，所以f(x，y)＝0关于y＝x对称，所以选D.答案：D3. |y|－1＝1－x－12表示的曲线是( )A．抛物线 B．一个圆C．两个圆 D．两个半圆解析：分y>1，y<－1两种情况，易知选D.答案：D4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，-3），若点C满足OC=λOA+(1-λ) OB,其中λ∈R,则点C的轨迹是 ( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析：设C（x,y），则OC=λOA+(1-λ) OB=(3λ+λ-1,λ+3λ-3)=(4λ-1,4λ-3),即x=4λ-1,y=4λ-3 x-y-2=0.所以C点轨迹为直线,故选A.答案：A5.已知点A（1，0），直线l：y=2x-4,点R是直线l上的一点，若RA=AP，则点P的轨迹方程为( )A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4解析：因为RA=AP,所以R，A，P三点共线，且A为RP的中点.设P(x,y),R(x1,y1),则由RA=AP,得（1-x1,-y1）=(x-1,y),则1-x1=x-1,-y1=y，即x1=2-x,y1=-y,将其代入直线y=2x-4中，得y=2x,故选B.答案：B6.（2011届·龙岩模拟）一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ( ) A.x 225＋y 216＝1 B.x 216＋y 225＝1 C.x 225＋y 29＝1 D.x 29＋y 225＝1 解析：两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9. 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ， 所以|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知，M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.选A.答案：A二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 7.（2011届·杭州质检）P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线x 216－y 29＝1上运动，则△F 1F 2P 的重心G的轨迹方程是 ． 解析：设P (x 0，y 0)，G (x ，y )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13－5＋5＋x 0，y ＝130＋0＋y 0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 2016－y 209＝1得9x 216－9y 29＝1，即9x 216－y 2＝1.由于G 不在F 1F 2上，所以y ≠0.所以方程为9x 216－y 2＝1(y ≠0)．答案：9x 216－y 2＝1(y ≠0)8.在△ABC 中，|BC|=4，且BC 落在x 轴上，BC 中点为坐标原点，如果sin C-sin B=12sin A,则顶点A 的轨迹方程是 . 解析：因为sin C-sin B=12sin A, 所以｜AB ｜-｜AC ｜=12｜BC ｜. 因为｜BC ｜=4,所以｜AB ｜-｜AC ｜=2，所以a=1,c=2,b=3,即x 2-23y =1的右半支. 答案：x 2-23y =1 (x>1)9.已知点M （1,0），直线l:x=-1,点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 .解析：如图所示，设P(x,y),则易知|BP|=|PM|,又M(1,0),l:x=-1,所以点P 的轨迹为以M 为焦点，以l ：x=-1为准线的抛物线. 答案：抛物线10.与圆x 2+y 2-4x=0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 .解析：已知圆C 的圆心为C(2,0)，半径为2，设动圆圆心为P(x,y),则｜PC ｜= 22(2)x y-+＝2+｜x ｜,化简得：y 2=4x+4|x|,所以x ≥0时，y 2=8x,x<0时,y=0.答案：y=0(x<0)或y 2=8x三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线． 解：设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)， Q 点坐标为(x ，y )， 则N 点坐标是(0，y 0)．因为OQ →＝OM →＋ON →，所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)， 即x 0＝x ，y 0＝y2.又因为x 2＋y 20＝4，所以x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)，轨迹是一个焦点在x 轴上的椭圆，除去短轴端点．12.已知直角坐标平面上一点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长等于圆C 的半径与|MQ|的和，求动点M 的轨迹方程. 解：设MN 切圆C 于N ，圆的半径为|CN|＝1.因为|CM|2=|MN|2+|CN|2=|MN|2+1，所以|MN|=|CM|2-1.由已知|MN|=|MQ|+1，设M （x,y ）， 22221(2)1x y x y +-=-+,两边平方得22(2)x y -+即3x 2-y 2-8x+5=0(x ≥32). B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM =λMQ (其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析：设M （x,y ）,P(x0,y0),则Q(x0,0),由PM =λMQ ，得x-x 0=λ(x 0-x), y-y 0=-λy(λ>0)，所以x 0=x,y 0=(λ+1)y.因为x 20+y 20=1,所以x 2+(λ+1)2y 2=1.所以M 的轨迹是椭圆. 答案：B2. 设命题甲为：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0.命题乙为：点P 在曲线C 上．命题丙为：点Q 的坐标不适合方程f (x ，y )＝0.命题丁为：点Q 不在曲线C 上．已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：因为甲是乙的必要不充分条件，所以曲线C 上的点一定适合方程f (x ，y )＝0， 但适合f (x ，y )＝0的点不一定在曲线C 上， 故若点Q 的坐标不适合f (x ，y )＝0， 则点Q 一定不在曲线C 上．不在曲线C 上的点也可能适合f (x ，y )＝0，所以选A. 答案：A二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.已知点M （-3，0），N （3，0），B （1，0），动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为 .解析：设另两个切点为E 、F ，如图所示,则|PE|=|PF|，|ME|=|MB|，|NF|=|NB|.从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.故a=1,c=3.所以b 2=8.故方程为x 2-28y =1(x>1). 答案：x 2-28y =1(x>1) 4. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点．若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)．解析：很明显①错，对于②，要抓住圆心P 的连线和AB 垂直，易判定P 的轨迹为圆，通过计算知③④正确． 答案：③④三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5. 已知两定点A (－t,0)，B (t,0)，t >0.S 为一动点，SA 与SB 两直线的斜率之积为1t2.(1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型． (2)当t 取何值时，曲线C 上存在两点P 、Q 关于直线x －y －1＝0对称？ 解：(1)设S (x ，y )，SA 的斜率为yx －－t(x ≠－t )，SB 的斜率为yx －t(x ≠t )．由题意，得y x －－t ·y x －t ＝1t 2(x ≠±t )，整理，得x 2t2－y 2＝1(x ≠±t )，所以点S 的轨迹C 为双曲线(除去两个顶点)．(2)假设C 上存在这样的两点P (x 1，y 1)和Q (x 2，y 2)，则直线PQ 的斜率为－1，且线段PQ 的中点在直线x －y －1＝0上．设直线PQ 的方程为y ＝－x ＋b . 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，x 2t2－y 2＝1.整理得(1－t 2)x 2＋2t 2bx －t 2b 2－t 2＝0，其中当1－t 2＝0时，方程只有一个解，与假设不符． 当1－t 2≠0时，Δ＝(2bt 2)2－4(1－t 2)(－t 2b 2－t 2)＝4t 2(b 2＋1－t 2)>0，所以t 2<b 2＋1.①又x 1＋x 2＝－2t 2b 1－t 2，所以x 1＋x 22＝－t 2b1－t2.代入y ＝－x ＋b ，得y 1＋y 22＝b1－t2.因为P 、Q 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线x －y －1＝0上，所以有－t 2b 1－t 2－b 1－t 2－1＝0，整理得t 2＝1＋b 1－b.② 解①和②得－1<b <0,0<t <1.经检验得当t 取(0,1)中任意一个值时，曲线C 上均存在两点关于直线x －y －1＝0对称．6.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M （2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T （-1，1）在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程； （3）若动圆P 过点N （-2，0），且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 解：（1）因为AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T （-1，1）在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y-1=-3(x+1), 即3x+y+2=0.（2）由x-3y-6=0， 3x+y+2=0解得点A 的坐标为（0，-2）. 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M （2,0）, 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又｜AM ｜＝()()22200222-++=,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x -2)2+y 2=8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN|是该圆的半径， 又因为动圆P 与圆M 外切，所以｜PM ｜＝｜PN ｜+ 22, 即|PM|-|PN|= 22.故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为22的双曲线的左支. 因为实半轴长a=2，半焦距c=2, 所以虚半轴长b= 222c a -=. 从而动圆P 的圆心的轨迹方程为2222x y -=1(x ≤2。
【立体设计】2012高考数学 8.7 抛物线课后限时作业 理(通用版).doc
2012高考立体设计理数通用版 8.7 抛物线课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 抛物线y ＝x 2的准线方程是 ( ) A ．2x ＋1＝0 B ．2y ＋1＝0 C ．4x ＋1＝0 D ．4y ＋1＝0解析：2p ＝1，所以y ＝－p 2＝－14，所以准线方程为4y ＋1＝0，选D. 答案：D2. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ( ) A ．2 3 B. 3C.32D.34 解析：4x 2＋y 2＝1化为标准方程为x 214＋y 2＝1，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32，所以焦点到准线的距离为3，所以选B. 答案：B3.直线l 过抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1,B 1，则∠A 1FB 1是 ( ) A.锐角 B.直角C.钝角D.直角或钝角 解析：由|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|易得. 答案：B4.（2011届·沈阳质检）抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于π3的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析：方法一：(数形结合法)过点A 作抛物线的准线x ＝－1的垂线，垂足为B ，由抛物线定义，有|AB |＝|AF |，易知AB 平行于x 轴，∠AFx ＝π3，∠BAF ＝π3，△ABF 是等边三角形，过F 作FC 垂直于AB 于点C ，则|CA |＝|BC |＝p ＝2，故|AF |＝|AB |＝4.方法二：(代数法)焦点F (1,0)，AF 的直线方程为y －0＝tan π3·(x －1)，即y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得[3(x －1)]2＝4x ，即3x 2－10x ＋3＝0，解得x ＝3或13(舍去)，故点A 的坐标为(3,23)，|AF |＝3－12＋23－02＝4. 答案：B5.已知点P （x,y ）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q （x+y,xy ）的轨迹是 ( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线解析：点P 的轨迹方程是x 2+y 2=1,令a=x+y ①，b=xy ②,将①式两边平方得a 2=x 2+y 2+2xy,将x 2+y 2=1及②式代入得a 2=1+2b ，所以点Q 的轨迹是抛物线. 答案：B6.（2011届·合肥质检）已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， P 3(x 3，y 3)在抛物线上，并且2x 2＝x 1＋x 3，则有 ( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|解析：抛物线的准线方程为x ＝－p2，根据抛物线的定义，得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2.因为2x 2＝x 1＋x 3，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.线段AB 是抛物线y 2=x 的一条焦点弦，且|AB|=4，则线段AB 的中点C 到直线x+12=0的距离是 .解析：线段AB 的中点C 到准线x=-14的距离为|AB|长的一半，则点C 到直线x+12=0的距离为94. 答案：948. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是 米．解析：如图，设抛物线方程为y ＝ax 2.将(－4，－2)代入方程得a ＝－18.则抛物线方程为y ＝－18x 2.令y ＝－1，则x ＝±2 2.则水面宽度为4 2. 答案：4 29.已知Q(4,0),P 为y 2=x+1上任一点，则｜PQ ｜的最小值为 .答案：19210.已知抛物线y 2=4x ，过点P （4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则y 21+y 22的最小值是 . 解析：设直线方程x=my+4,代入y 2=4x 消去x 得关于y 的一元二次方程， y 2-4my-16=0,Δ=16m 2+64>0. y 1+y 2=4m,y 1·y 2=-16, y 21+y 22=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=16m 2+32≥32,当m=0时，y 21+y 22取得最小值32. 答案：32三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.抛物线y 2=2px(p>0)上有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是53，求此抛物线方程.解：设△AOB 的抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ， AO 边的方程是y=2x,则OB 边的方程为y=-12x. 由y=2x, y 2=2px 得点A 坐标为（2p,p ）. 由y=-12x, y 2=2px 得点B 坐标为（8p,-4p ）. 因为|AB|=53,12. 已知动圆过定点A (1,0)，且与直线x ＝－1相切． (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2)是否存在直线l ，使l 过点B (0,1)，并与轨迹C 交于P 、Q 两点，且满足OP →·OQ →＝0？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)设M 为动圆圆心，由题意知：|MA |等于M 到定直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中A (1,0)为焦点，x ＝－1为准线．所以动圆的圆心M 的轨迹C 的方程为：y 2＝4x .(2)由题意可设直线l 的方程为x ＝k (y －1)(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k y －1，y 2＝4x得y 2－4ky ＋4k ＝0. 所以Δ＝16k 2－16k >0⇒k >1或k <0. 又y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4k . 由OP →·OQ →＝0⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒k 2(y 1－1)(y 2－1)＋y 1y 2＝0⇒(k 2＋1)y 1y 2－k 2(y 1＋y 2)＋k 2＝0⇒4k (k 2＋1)－k 2·4k ＋k 2＝0⇒k ＝－4或k ＝0(舍去)． 又k ＝－4<0，所以直线l 存在，其方程为：x ＋4y －4＝0.B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.已知抛物线C:y=14x 2的准线为l ,过l 与y 轴的交点M 作抛物线C 的两条切线1l 、2l ，切点分别为A 、B ，则MA u u u r 与MB u u u r的夹角为 ( )A.60°B.75°C.90°D.120°解析：由题意知M （0,-1），则设过M 点的切线为y=kx-1.由y=kx-1，x 2=4y ⇒x 2-4kx+4=0.令Δ=16k 2-16=0⇒k 2-1=0.所以k=±1，则MA u u u r 与MB u u u r的夹角为90°.答案：C2.（2011届·日照调研）已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)交于A 、B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )A. 3B. 6 C ．2 D ．3解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x ＝－1，焦点为F (1,0)，直线x ＝－1与双曲线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，±1－a 2a，若△FAB 为直角三角形，则只能∠AFB 为直角，△FAB 为等腰直角三角形，所以1－a2a＝2⇒a ＝55，从而可得c ＝305，所以双曲线的离心率e ＝ca＝6， 选B.答案：B二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3. 若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝__ __.解析：直线的方程为y ＝2(x －3)＋1＝2x －5，将⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －5，y 2＝2px 联立得4x 2－(20＋2p )x ＋25＝0.则x 1＋x 2＝20＋2p 4＝6，解得p ＝2.答案：24.已知抛物线y=2p x 2(p>0)的焦点为F ，点P(1,14)在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q.若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为 .解析：由P(1,14)在抛物线上，得p=18，故抛物线的标准方程为x 2=4y,点F(0,1)，准线为y=-1,所以|FM|=2，|PQ|=1+14=54，|MQ|=1，则直角梯形PQMF 的面积为12×(54+2)×1=138.答案：138三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.（2011届·江苏无锡模拟）已知点P （1，3），圆C ：（x-m ）2+y 2=92过点A(1，-322)，F 点为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点，直线PF 与圆相切. (1)求m 的值与抛物线的方程；（2）设点B （2,5），点Q 为抛物线上的一个动点，求BP u u u r ·BQ uuur 的取值范围.解：（1）点A 代入圆C 的方程, 得(1-m)2+(-322)2=92. 所以m=1，圆C ：（x-1）2+y 2=92. 当直线PF 的斜率不存在时不合题意. 当直线PF 的斜率存在时，设为k ， 则PF:y=k(x-1)+3, 即kx-y-k+3=0.因为直线PF 与圆C 相切， 所以2033221k k k --+=+,解得k=1或k=-1. 当k=1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为-2，不合题意，舍去. 当k=-1时，直线PF 与x 轴的交点横坐标为4，符合题意. 所以p2=4,所以抛物线方程为y2=16x.(2) BP u u u r=(-1,-2),设Q （x,y ）, BQ uuu r =(x-2,y-5), BP u u u r ·BQ uuur =-（x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12=-216y -2y+12=-116 (y+16)2+28≤28.所以BP u u u r ·BQ uuur 的取值范围为（-∞,28］.6. 设抛物线的方程为y 2＝4x ，过点P(2,0)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，点Q 满足OQ →＝OA→＋λOB →(λ∈R )．(1)当λ＝1时，求点Q 的轨迹方程；(2)若点Q 在x 轴上，且1<λ<3，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：方法一：设直线l 的方程为my ＝x －2，代入y 2＝4x 得：y 2－4my －8＝0. 设A 、B 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8.(1)设Q (x ，y )，因为OQ →＝OA →＋OB →， 所以y ＝y 1＋y 2＝4m .所以x ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝4m 2＋4.消去m 得：x ＝y 24＋4，即点Q 的轨迹方程为：y 2＝4(x －4)．(2)因为OQ →＝OA →＋λOB →＝(x 1＋λx 2，y 1＋λy 2)且点Q 在x 轴上， 所以y 1＋λy 2＝0，即y 1＝－λy 2. ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝1－λy 2＝4m ，y 1y 2＝－λy 22＝－8. 消去y 2得：－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 1－λ2＝－8.2m 2＝1－λ2λ＝λ＋1λ－2.设f (λ)＝λ＋1λ－2，当1<λ<3时，f ′(λ)＝1－1λ2>0恒成立．所以0<λ＋1λ－2<43，即0<m 2<23，又k ＝1m ，所以k 2>32.所以k <－62或k >62即为直线l 的斜率k 的取值范围． 方法二：(1)因为OQ →＝OA →＋OB →，当直线l 的斜率不存在时， 由抛物线的对称性得Q 点坐标为(4,0)．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入y 2＝4x 得k 2x 2－(4k 2＋4)x ＋4k 2＝0，所以k ≠0.设A 、B 、Q 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x ，y )．因为OQ →＝OA →＋OB →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＝4k 2＋4k 2，y ＝y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋4k 2，y ＝4k .消去k 得：x ＝y 24＋4.又点(4,0)的坐标也满足方程，所以点Q 的轨迹方程为：y 2＝4(x －4)．(2)因为OQ →＝OA →＋λOB →＝(x 1＋λx 2，y 1＋λy 2)且点Q 在x 轴上， 所以y 1＋λy 2＝0，即k (x 1－2)＋λk (x 2－2)＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2＋λx 2－2＝0，x 1＋x 2－4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2－4，x 1x 2＝x 1－2x 2－2＋2x 1＋x 2－4＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2＝－λx 2－2，x 1－2＋x 2－2＝4k 2，x 1－2x 2－2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2，整理得：2k 2＝1－λ2λ＝λ＋1λ－2.设f (λ)＝λ＋1λ－2，当1<λ<3时，f ′(λ)＝1－1λ2>0恒成立．所以0<λ＋1λ－2<43，0<1k 2<23，所以k 2>32.所以k <－62或k >62，即为直线l 的斜率k 的取值范围． 方法三：(1)设A 、B 点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得：(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．设Q (x ，y )，因为OQ →＝OA →＋OB →， 所以y ＝y 1＋y 2且x ＝x 1＋x 2.所以y ×y 1－y 2x 1－x 2＝y ×12y 12x －2＝4.即点Q 的轨迹方程为：y 2＝4(x －4)． (2)略．。
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2012高考立体设计理数通用版 2.3 集合课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分） 1. 对任意实数x ，下列函数中奇函数是 ( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝－3x 2C ．y ＝ln 5xD ．y ＝－|x |cos x解析：B 、D 为偶函数，A 是非奇非偶函数，C ：y ＝x ln 5是奇函数．答案：C2.（2010·重庆）函数f(x)=412x x+的图象 ( ) A.关于原点对称 B.关于直线y=x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称解析：()22x xf x -=+，因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.所以f(x)的图象关于y 轴对称.答案：D3.已知函数y=f(x)和y=f(-x)的定义域都是R,y=f(x)是奇函数并且在(-∞,+∞)上是增函数，则y=f(-x)在其定义域上( )A.是奇函数，且是增函数B.是奇函数，且是减函数C.是偶函数，且是增函数D.是偶函数，且是减函数解析：函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y 轴对称.答案：B4. 对于定义在R 上的任何奇函数，均有 ( )A ．f (x )－f (－x )＞0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )＞0D ．f (x )·f (－x )≤0解析：因为f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0.答案：D5.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).其中成立的是 ( )A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④解析：作出函数f(x)与g(x)的图象可知①与③成立.答案：C6.（2009·浙江）若函数f(x)=2a x x+ (a ∈R),则下列结论正确的是 ( ) A.∀ a ∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数B. ∀a ∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数C. ∃a ∈R,f(x)是偶函数D. ∃a ∈R,f(x)是奇函数解析：当a=0时，f(x)= 2x 为偶函数成立，故选C 项.答案：C二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7. 函数y ＝|x －a |的图象关于直线x ＝3对称，则a ＝____.解析：作出y ＝|x －a |的图象，可知a ＝3.答案：38.(2011届·厦门质检）y=f （x ）是定义在［-π,π］上的偶函数，y=g （x ）是奇函数，在x ∈［0，π］上的图象如图所示，则不等式()()f x g x ＜0的解集是 .解析：y=f(x)和y=g(x)在［-π,π］上的图象如图所示，所以()()f x g x ＜0的解集为(,0)(,)33πππ-. 答案：(,0)(,)33πππ- 9.（2011届·广东汕头英华外国语学校月考）设R 上的偶函数f(x )满足f(x+2)+f(x)=0，且当0≤x ≤1时，f(x)=x,则f(7.5)= .解析：因为f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+4)+f(x+2)=0,两式相减得f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为T=4的周期函数.又f(x)是偶函数，所以f(7.5)=f(-0.5)=f(0.5)=0.5.答案：0.510.已知2()lg()1f x a x=+-是R 上的奇函数，则使f(x)>0的x 的取值范围是 . 解析：由f(0)=0得a=-1,22()lg(1)0lg11111f x x x=->=⇒->--, 解得0<x<1.答案：（0，1）三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 设函数f (x )＝x 2＋|x －2|－1，x ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)求函数f (x )的最小值．解：(1)f (2)＝3，f (－2)＝7，由于f (－2)≠f (2)，f (－2)≠－f (2)，故f (x )是非奇非偶函数．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －3，x ≥2；x 2－x ＋1，x ＜2.由于f (x )在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝3，在(－∞，2)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34. 故函数f (x )在R 上的最小值为34. 12. 已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是定义在实数集上的奇函数，求a 的值． 解：方法一：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－0)＝－f (0)，所以f (0)＝0.于是有2a －22＝0，所以a ＝1. 检验：当a ＝1时，f (x )是定义在实数集上的奇函数，所以符合题意，所以a ＝1.方法二：f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1＝a －22x ＋1， 所以f (－x )＝a －22－x ＋1＝a －2·2x 2x ＋1＝a －2·2x ＋2－22x ＋1＝a －2＋22x ＋1. 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以a －2＋22x ＋1＝－a ＋22x ＋1.所以a ＝1. B 组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.（2010·湖南）用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值，若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=12-对称，则t 的值为( )A.-2B.2C.-1D.1解析：令y=|x|,y=|x+t|,在同一坐标系中作出其图象，如图，所以t=1.答案：D2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，并且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2＋1，则f (462)的值为( )A ．2B ．0C ．1D ．－1解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (2－x )＝f (x )，所以f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f (2＋(2＋x ))＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (462)＝f (115×4＋2)＝f (2)，因为f (2＋x )＝f (－x )成立，所以f (2)＝f (0)，又f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (462)＝0.故选B.答案：B二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.函数f(x)=x 3+sin x+1(x ∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 . 解析：由f(a)=2得a 3+sin a+1=2,即a 3+sin a=1.f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a 3+sina)+1=-1+1=0.答案：04. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝____.解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )＝f (2－x )．又f (x )是R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝0. 答案：0三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5. 设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈Z )是奇函数，且在[1，＋∞)上单调递增，f (1)＝2，f (2)＜3.求a ，b ，c 的值．解：由f (x )是奇函数，得f (－x )＝ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c＝－f (x )， 所以－bx ＋c ＝－bx －c ，所以c ＝0.由f (1)＝2，知a ＋1b ＋c＝2，所以a ＝2(b ＋c )－1＝2b －1， 因为f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以2＝f (1)＜f (2)＜3，即2＜4a ＋12b＜3， 将a ＝2b －1代入可解得a ＝1，b ＝1，c ＝0.6.已知函数222,0;()0,0;,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数.(1)求实数m 的值；（2）若函数f(x)的区间[-1,a-2]上单调递增，求实数a 的取值范围.解：(1)设x<0,则-x>0.所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x 2-2x.又f(x)为奇函数，所以-f(-x)=f(x),于是x<0时，f(x)=x 2+2x=x 2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在［-1,a-2］上单调递增，结合f(x)的图象知21,21,a a ->-⎧⎨-≤⎩所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].。