高中数学北师大版必修5同步精练：3.2一元二次不等式 含答案
高中数学必修五北师大版 一元二次不等式的应用 作业(含答案)
第3章 2.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,3) D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1,3] 解析： 易知x ≠1排除B ；由x ＝0符合可排除C ；由x ＝3排除A ，故选D. 答案： D2．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析： 方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为13和12， 且a ＜0，∴⎩⎨⎧ 13＋12＝－5a 13×12＝c a，解得a ＝－6，c ＝－1.答案： B 3．关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的一个根比1大，另一根比1小，则有( )A ．－2<a <1B ．a <－2或a >1C ．－1<a <1D ．a <－1或a >2解析： 设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)．则f (1)<0⇔a 2＋a －2<0，∴－2<a <1，故选A.答案： A4．关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞C ．(－∞，0]D ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫－43，＋∞ 解析： 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0Δ＝m 2－4m (m －1)＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＜03m 2－4m ＞0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0m ＜0或m ＞43⇔m ＜0. 综上，m 的取值范围为(－∞，0]．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝(－a )2－4a ＜0，∴0＜a ＜4. 当a ＝0时，A ＝{x |1＜0}＝∅，符合题意．答案： [0,4)6．若关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 解析： 注意到x －a x ＋1＞0等价于(x －a )(x ＋1)＞0， 而解为x ＜－1或x ＞4，从而a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)7．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解析： (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意：y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得：150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得，x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．8．解关于x 的不等式mx 2mx －1－x ＞0. 解析： 原不等式可化为x mx －1＞0， 即x (mx －1)＞0.当m ＞0时，解得x ＜0或x ＞1m； 当m ＜0时，解得1m＜x ＜0； 当m ＝0时，解得x ＜0.综上，当m ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ＞1m ； 当m ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m ＜x ＜0； 当m ＝0时，不等式的解集为{}x |x ＜0.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设0＜b ＜1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰有3个，求a 的取值范围．解析： 由(x －b )2＞(ax )2，得(x －b )2－(ax )2＞0，即[(1＋a )x －b ][(1－a )x －b ]＞0.若－1＜a ＜0，则x ＞b 1＋a 或x ＜b 1－a ，可知不止3个整数解；若0＜a ＜1，则x ＞b 1－a或x ＜b 1＋a，可知不止3个整数解； 若a ＞1，则(x －b )2＞(ax )2，即[(1＋a )x －b ][(a －1)x ＋b ]＜0，则－b a －1＜x ＜b 1＋a. 又0＜b ＜1＋a ，所以不等式的解集中的整数为－2，－1,0，故－3≤－b a －1＜－2，则2a －2＜b ≤3a －3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －2＜b ＜a ＋13a －3≥b ＞0，解得1＜a ＜3.。
北师大版高中数学必修五一元二次不等式的应用 同步练习.doc
一元二次不等式的应用 同步练习1．要使关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是（ ）A ．－1＜a ＜1B ．a ＜－1或a ＞1C ．－1＜a ＜1D ．a ＜－2或a ＞12．不等式1111+>+xx 的解集是_____________． 3．不等式)0,0,0(<>><-c b a a xb c 的解集是______________． 4．不等式)0,0(1>>->>b a b xa 的解集是______________．5．写出下列不等式的解集（1）0)3)(2)(5(<---x x x（2）0)1()1)(21(23<+--x x x（3）12731422<+-+-x x x x ． 6．已知不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集为R ，求实数a 的范围．7．不等式11<-x ax 的解集为}2,1|{><x x x 或，则a ＝_________． 8．若α三、四象限角．mm --=234sin α，则m 的取值范围是________． 9．解不等式（1）232532≥-+-x x x ； （2）04)2)(1()1(2<+-+-x x x x 10．若函数)10(1222≤≤-+-=x a ax x y 的函数值大于0恒成立，求实数a 的取值范围．11．解关于x 的不等式)1(12)1(≠>--a x x a ． 12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上收入，应怎样制定这批台灯的销售价格．13．行驶中的汽车在刹车时，由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某型号车的刹车距离y (m)与汽车的车速x x(km/h)满足下列关系：4001002x nx y +=（n 为常数，+∈N n ）我们做这两次刹车实验，有数据如上图，其中1513,7521<<<<y y ．(1)求出n 的值；(2)要求刹车距离不超过18.4m ，则行驶的最大速度应为多少？14．据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起，多长时间之后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约多长．。
2021学年高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的应用课后习题含解析北师大版必修5.docx
2.2一元二次不等式的应用课后篇巩固探究1.函数f(x)=lg1-xx-4的定义域为()A.(1,4)B.[1,4)C.(-∞,1)∪(4,+∞)D.(-∞,1]∪(4,+∞)解析:依题意应有1-xx-4>0,即(x-1)(x-4)<0,所以1<x<4.答案:A2.已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是()A.(0,1a1) B.(0,2a1)C.(0,1a3) D.(0,2a3)解析:由(1-a i x)2<1,得a i x(a i x-2)<0,又a i>0,所以x(x-2a i )<0,解得0<x<2a i,要使上式对a1,a2,a3都成立,则0<x<2a1.故选B.答案:B3.不等式x>1x的解集是()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:因为x>1x ,所以x-1x=x2-1x>0,即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)>0.画出示意图如图.所以解集为(-1,0)∪(1,+∞).答案:C4.对任意a∈[-1,1],都有函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是()A.1<x<3B.x<1或x>3C.1<x<2D.x<1或x>2解析:设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立,且a∈[-1,1],所以{g (1)=x 2-3x +2>0,g (-1)=x 2-5x +6>0,所以{x <1或x >2,x <2或x >3,所以x<1或x>3. 答案:B5.若关于x 的不等式x 2+px+q<0的解集为{x|1<x<2},则关于x 的不等式x 2+px+q x -5x -6>0的解集为( ) A.(1,2)B.(-∞,-1)∪(6,+∞)C.(-1,1)∪(2,6)D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)解析:由已知得,x 2+px+q=(x-1)(x-2),所以x 2+px+qx 2-5x -6>0,即(x -1)(x -2)(x+1)(x -6)>0,等价于(x-1)(x-2)(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或1<x<2或x>6.答案:D6.不等式(x -2)2(x -3)x+1<0的解集为 .解析:不等式等价于(x-2)2(x-3)(x+1)<0,如图,用穿针引线法易得-1<x<3,且x ≠2.答案:(-1,2)∪(2,3)7.已知axx -1<1的解集为{x|x<1或x>2},则实数a 的值为 .解析:因为ax x -1<1,所以ax -x+1x -1<0, 即[(a-1)x+1](x-1)<0.又不等式ax x -1<1的解集为{x|x<1或x>2},所以a-1<0,所以(x +1a -1)(x-1)>0.所以-1a -1=2,所以a=12.答案:12 8.如果关于x 的方程x 2+(m-1)x+m 2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m 的取值范围是 .解析:令f (x )=x 2+(m-1)x+m 2-2,则{f (1)<0,f (-1)<0,所以{m 2+m -2<0,m 2-m <0.所以0<m<1. 答案:(0,1)9.某商家一月至五月累计销售额达3 860万元,预测六月销售额为500万元,七月销售额比六月递增x %,八月销售额比七月递增x %,九、十月销售总额与七、八月销售总额相等.若一月至十月销售总额至少达7 000万元,则x 的最小值是 .解析:由题意得,3860+500+[500(1+x %)+500(1+x %)2]×2≥7000,化简得(x %)2+3·x %-0.64≥0,解得x %≥0.2或x %≤-3.2(舍去),所以x ≥20,即x 的最小值为20.答案:2010.解不等式.(1)x -1x -2≥0; (2)2x -13-4x >1.解(1)原不等式等价于{(x -1)(x -2)≥0,x -2≠0,解得x ≤1或x>2,所以原不等式的解集为{x|x ≤1或x>2}. (2)原不等式可改写为2x -14x -3+1<0,即6x -44x -3<0,所以(6x-4)(4x-3)<0,所以23<x<34. 所以原不等式的解集为{x |23<x <34}.11.导学号33194059解关于x 的不等式1x -1>a. 解将原不等式移项、通分化为ax -(a+1)x -1<0. 若a>0,有a+1a >1,则原不等式的解集为{x |1<x <a+1a }; 若a=0,有-1x -1<0,则原不等式的解集为{x|x>1}; 若a<0,有a+1a <1,则原不等式的解集为{x |x <a+1a 或x >1}.综上所述,当a>0时,原不等式的解集为{x |1<x <a+1a }; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当a<0时,原不等式的解集为{x |x <a+1a 或x >1}. 12.导学号33194060若不等式x 2-8x+20mx 2+2(m+1)x+9m+4>0对任意实数x 恒成立,求m 的取值范围.解由于x 2-8x+20=(x-4)2+4>0恒成立,。
高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二
2．2 一元二次不等式的应用知识点一 简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一 根的分布问题【例1】 已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】 本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图． 若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0， 即27－m <0，解得m >27.规律方法 一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二 高次不等式的解法【例2】 解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】 解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号． 在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四 一元二次不等式的应用【例4】 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】 利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法 此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围． 解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】 有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】 如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】 设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法 对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】 原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】 错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】 原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0， 即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0， 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0， 解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)． 解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。
2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.2.1 一元二次不等式的解法
2．1一元二次不等式的解法明目标、知重点 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.把握图像法解一元二次不等式的方法.3.培育应用数形结合、分类争辩思想方法的力气．1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式的解集设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．3．不等式的恒成立问题(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.(3)分别参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[情境导学]对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若令y＝0，就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若令y>0或y<0，就得到不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0.如何解不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0？这就是本节所要学习的主要内容．探究点一一元二次不等式的概念问题1甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发状况，两车相撞了，交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过10 m，又知这两辆汽车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：s甲＝0.01x2＋0.1x；s乙＝0.005x2＋0.05x，谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．试问：哪一辆车违章行驶了？思考1你能想出一种方法找出哪一辆车违章行驶吗？答只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和不等式0.005x2＋0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以推断哪一辆车违章超速行驶．思考2在思考1中得到的不等式有什么特点？答(1)含有一个未知数x；(2)未知数的最高次数为2.小结形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．探究点二一元二次不等式的解法问题2如何解一元二次不等式x2－2x－3<0?思考1一元二次方程x2－2x－3＝0的根与一元二次函数y＝x2－2x－3的零点有怎样的关系？答二次方程有两个实数根x1＝－1，x2＝3，二次函数有两个零点：x1＝－1，x2＝3.于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．思考2画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，你能通过观看图像，确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围吗？答画出二次函数y＝x2－2x－3的图像，如图，观看函数图像可知：当－1<x<3时，函数图像位于x轴下方，此时，y<0，即x2－2x－3<0，所以满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围是－1<x<3.思考3依据思考2确定满足不等式x2－2x－3<0的x的取值范围的思路，怎样确定满足一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0(a>0)的x的取值范围？答先求出一元二次方程的根，再依据函数图像与x轴的相关位置，确定满足一元二次不等式的x的取值范围．小结(1)一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．(2)一元二次不等式的全部解组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．思考4设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，依据以上争辩，请将下表填充完整.Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或 x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅小结 (1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间． (2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0的二次项系数a <0时，可以转化为a >0. 思考5 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？答 二次函数的图像与x 轴交点的横坐标为相应一元二次方程的根，也就是一元二次方程的根为相应二次函数的零点；二次函数的图像在x 轴上方或下方的部分所对应x 的范围是不等式ax 2＋bx ＋c >0与ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集． 例1解不等式：3x 2＋5x －2>0.解 方程3x 2＋5x －2＝0的两解是x 1＝－2，x 2＝13.函数y ＝3x 2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭⎫13，0(如图所示)．观看图像可得，不等式的解集为{x |x <－2或x >13}．思考6 依据不等式3x 2＋5x －2>0的解集，你能得出不等式3x 2＋5x －2≤0的解集吗？答 集合{x |x <－2或x >13}在实数集中的补集{x |－2≤x ≤13}，即为不等式3x 2＋5x －2≤0的解集．反思与感悟 在具体求解一元二次不等式的过程中，要亲热结合一元二次方程的根的状况以及二次函数的图像来确定不等式的解集．跟踪训练1 解不等式9x 2－6x ＋1>0.解 方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相同实数解：x 1＝x 2＝13.函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像是开囗向上的抛物线，与x轴仅有一个交点(13，0)．所以不等式的解集是{x |x ≠13}．例2 解不等式：－2x 2＋x ＋1<0.解 方法一 方程－2x 2＋x ＋1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.函数y ＝－2x 2＋x ＋1的图像是开口向下的抛物线，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0和(1,0)，如图所示．观看图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.方法二 在不等式两边同乘－1，可得2x 2－x －1>0. 方程2x 2－x －1＝0的解为x 1＝－12，x 2＝1.画出函数y ＝2x 2－x －1的图像简图(如图所示)．观看图像，可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12或x >1.反思与感悟 当所给一元二次不等式为非一般形式时，应先化为一般形式，对于二次项系数a <0的一元二次不等式，一般有两种解法，通常接受方法二，即通过对不等式两边同乘－1将二次项系数变为正数再解． 跟踪训练2 解不等式－x 2＋4x －4>0.解 不等式可化为x 2－4x ＋4<0. 方程x 2－4x ＋4＝0的解为x 1＝x 2＝2.而y ＝x 2－4x ＋4的图像开口向上，函数的值域为y ≥0，所以原不等式的解集是∅. 探究点三 含参数的一元二次不等式的解法 例3 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a <0.解 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a . 函数y ＝x 2＋(1＋a )x －a 的图像开口向上，所以 (1)当a <－1时，原不等式的解集为(a ，－1)； (2)当a ＝－1时，原不等式的解集为∅； (3)当a >－1时，原不等式的解集为(－1，a )． 反思与感悟 含参数的一元二次不等式的求解步骤：(1)争辩二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)争辩判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数；(3)当Δ>0时，争辩相应一元二次方程两根的大小；(4)最终依据系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解 (1)m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . (2)m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m . (3)m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0， 解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ；m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －3m <x <1m； m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m<x <－3m . 探究点四 不等式的恒成立问题 例4 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，明显－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述：m <67.方法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立． ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可．反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：①考虑能否进行参变量分别，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式；②若参变量不能分别，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．跟踪训练4 当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5]解析 由于当x ∈[1,2]时，不等式x 2＋mx ＋4≤0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0f (2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤04＋2m ＋4≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ≤－4⇔m ≤－ 5.1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)， ∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0， 解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 2．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根． ∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3.4．不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 答案 {x |－2<x <1}解析 由x 2＋x －2<0得－2<x <1， 故其解集为{x |－2<x <1}．5．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时解集为R .当a －2≠0时，由题意得⎩⎨⎧a －2<0，Δ<0.即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.解得－2<a <2.综上所述，a 的取值范围为－2<a ≤2. [呈重点、现规律]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的简图；③由图像得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m <n 时，若(x －m )(x －n )>0，则可得x >n 或x <m ； 若(x －m )(x －n )<0，则可得m <x <n . 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类争辩，为了做到分类“不重不漏”，争辩需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的争辩：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的争辩：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的争辩：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2.一、基础过关1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >2} B ．{x |x ≤－1或x ≥2} C ．{x |－1<x <2} D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )(x －1t)>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )(x －1t )>0⇔(x －t )(x －1t )<0⇔t <x <1t .3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.6．若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． 答案 －2<m <2解析 由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图像在x 轴的上方， 所以Δ＝(m )2－4×1×1<0， 所以－2<m <2.7．解不等式：x 2－3|x |＋2≤0. 解 x 2－3|x |＋2≤0⇔|x |2－3|x |＋2≤0 ⇔(|x |－1)(|x |－2)≤0⇔1≤|x |≤2. 当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． 二、力气提升8．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ， ∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0. 所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．10．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a－13×2＝c a，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0.又由于a <0，所以2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为 (x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}． 当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 综上知，当a <0或a >1时， 不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }． 三、探究与拓展13．解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解 (1)当a ＝0时，原不等式可化为－2x ＋4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}． (2)当a >0时，原不等式可化为(ax －2)(x －2)>0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2.①当0<a <1时，2a>2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2a 或x <2； ②当a ＝1时，2a ＝2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；③当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x <2a .(3)当a <0时，原不等式可化为(－ax ＋2)(x －2)<0，对应方程的两个根为x 1＝2a ，x 2＝2，则2a<2，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <2.。
高中数学北师大版必修5同步检测训练一元二次不等式的应用
同步检测训练一、选择题1．偶函数y ＝f (x )和奇函数y ＝g (x )的定义域均为[－4,4]，f (x )在[－4,0]，g (x )在[0,4]上的图像如下图，则不等式f (x )g (x )<0的解集为( )A ．[2,4]B ．(－2,0)∪(2,4)C ．(－4，－2)∪(2,4)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：由已知得：当x ∈(－4，－2)∪(2,4)时，f (x )>0，当x ∈(－2,2)时，f (x )<0，当x ∈(－4,0)时，g (x )>0，x ∈(0,4)时，g (x )<0.所以当x ∈(－2,0)∪(2,4)时，f (x )g (x )<0，故选B.答案：BA ．[－2，－1)∪(1，2]B ．(－2，－1)∪(1，2]C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)解析：由已知得：0<x 2－1≤1，得1<x 2≤2，解得x ∈[－2，－1)∪(1，2]，故选A. 答案：A3．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：由ax －b >0的解集为(1，＋∞)，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b a ＝1.ax ＋b x －2>0⇔x ＋1x －2>0⇔x <－1或x >2.故选A.答案：A4．设函数f (x )的定义域是[－4,4]，其图像如图，那么等式f (x )sin x≤0的解集为( )A ．[－2,1]B ．[－4,2]∪[1,4]C ．[－4，－π)∪[－2,0)∪[1，π)D ．不同于A 、B 、C解析：在图中画正弦函数的图像，如下图所示，观察可得不等式的解集为[－4，－π)∪[－2,0)∪[1，π)，故选C.答案：C5．不等式x (x ＋2)x －3<0的解集为( )A ．{x |x <－2或0<x <3}B ．{x |x <－2或x >0}C ．{x |－2<x <0}D ．{x |x <0或x >3}解析：不等式x (x ＋2)x －3<0⇔x (x ＋2)(x －3)<0，由穿针引线法得解集为{x |x <－2或0<x <3}，故选A.答案：A6．不等式1x <2的解集为( )A ．{x |x >2}B ．{x |x <12}C ．{x |0<x <2}D ．{x |x <0或x >12}解析：当x >0时，得2x >1，x >12，所以x >12；当x <0时，得2x <1，x <12，所以x <0，综上{x |x >12或x <0}，故选D.答案：D7．不等式(x 2－4)(x －6)2≤0的解集为( ) A ．{x |－2≤x ≤2} B ．{x |x ≥2或x ≤－2} C ．{x |－2≤x ≤2或x ＝6} D ．{x |x ≥2}解析：(x 2－4)(x －6)2≤0⇒(x －2)(x ＋2)(x －6)2≤0. ∵(x －6)2≥0，∴(x －2)(x ＋2)≤0或x －6＝0. ∴{x |－2≤x ≤2或x ＝6}． 答案：C8．设全集I ＝R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，如图，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |1<x ≤2}解析：图中阴影部分就是M 的补集与N 的交集，先化简集合M 和N ，通过运算可知应选D.答案：D9．已知函数f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(22－1，＋∞)解析：通过换元使问题转化为一元二次含参数不等式在(0，＋∞)上恒成立的问题．设3x＝t >0，则t 2－(k ＋1)t ＋2>0在t >0时恒成立．①Δ<0时，(k ＋1)2－8<0，所以－22－1<k <22－1.②Δ≥0，即k ≤－22－1或k ≥22－1时，设方程t 2－(k ＋1)t ＋2＝0的两根为t 1，t 2，且t 1≤t 2，则t 2≤0.因为t 1t 2＝2>0，所以t 2≠0，即t 1≤t 2<0，所以t 1＋t 2＝k ＋1<0，即k ≤－22－1，由①②可知k 的取值范围为(－∞，22－1)，故选B.答案：B10．根据调查，某厂生产的一种产品n 月份盈利为f (n )万元(n ＝1,2，…，12)，其近似地满足f (n )＝e n2(13n －22－n 2)(e ＝2.718…)，为了获取一年的最大利润，那么该产品每年只要生产( )A ．11个月B ．10个月C ．9个月D ．8个月答案：D 二、填空题11．若a >1，则不等式(x －a )(x －1a )>0的解集为________．解析：方程(x －a )(x －1a )＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝1a ，又a >1时，a >1a，∴不等式(x －a )(x －1a )>0的解集为{x |x >a 或x <1a }．答案：{x |x >a 或x <1a}12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0).若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．解析：若a ≥0，则12a －1>a ，∴a <－2不成立．若a <0，则1a>a ，∴a >1或a <－1，从而a <－1. 答案：(－∞，－1)≤2－1⇔x －3x ＋1≤－1⇔x 2＋2x －3x ≤0⇔(x ＋3)(x －1)x≤0.由数轴标根法易知不等式的解集为{x |x ≤－3或0<x ≤1}．答案：{x |x ≤－3或0<x ≤1}14．关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋bx 2－5x －6>0的解集为________．解析：ax ＋b >0的解集为x >1，可知a >0，且x ＝1是方程ax ＋b ＝0的根，即a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，则ax －a x 2－5x －6>0，∴x －1(x ＋1)(x －6)>0.当x >1时，(x ＋1)(x －6)>0，x <－1或x >6，取x >6； 当x <1时，(x ＋1)(x －6)<0，－1<x <6，取－1<x <1. 综上解集为{x |x >6或－1<x <1}． 答案：{x |x >6或－1<x <1} 三、解答题15．设不等式mx 2－2x －m ＋1<0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围． 解析：以m 为主元构造函数f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)， 问题转化为f (m )在[－2,2]内恒为负值，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)<0，f (2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3<0，2x 2－2x －1<0⇒7－12<x <3＋12. 故x 的取值范围为(7－12，3＋12)． 16．解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.解析：解法1：原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.② 解①得x <－3或x >3，解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．解法2：原不等式化为(x ＋3)(x －1)(x ＋2)(x －3)>0，又等价变形为(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)>0.各因式的根(从小到大排列)是－3，－2,1,3.如上图所示，可得原不等式的解集为{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．17．解关于x 的不等式：x ＋1x >a ＋1a(a >0)．解析：原不等式可化为：(x －a )＋(1x －1a )>0，即(x －a )(ax －1)ax >0，即(x －a )(x －1a )x>0等价于x (x －a )·(x －1a )>0，又a －1a ＝a 2－1a ＝(a ＋1)(a －1)a .∴当a >1时，a >1a ，原不等式的解为0<x <1a 或x >a ；当a ＝1时，原不等式可化为x (x －1)2>0，∴原不等式的解为x >0且x ≠1；当0<a <1时，a <1a ，∴原不等式的解为0<x <a 或x >1a .综上得，原不等式的解为：当a >1时，x ∈(0，1a )∪(a ，＋∞)；a ＝1时，x ∈(0,1)∪(1，＋∞)；当0<a <1时，x ∈(0，a )∪(1a，＋∞)．18．某自来水厂的蓄水池存有400 t 水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t ，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t h 内供水总量为1206t (0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80 t 时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24 h 内，有几个小时出现供水紧张现象．解析：(1)设t h 后蓄水池中的水量为y t ，则y ＝400＋60t －1206t ，设6t ＝x ，则x 2＝6t (x ∈[0,12))，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40. ∵x ∈[0,12]，故当x ＝6即t ＝6时，y min ＝40.即从供水开始到第6 h 时，蓄水池中水量最少，为40 t. (2)依题意，得400＋10x 2－120x <80， 即x 2－12x ＋32<0.解得4<x <8，∴16<x 2<64. 又x 2＝6t ，∴16<6t <64，∴83<t <323.又323－83＝8， 所以每天约有8 h 供水紧张．。
【课堂新坐标】高中数学北师大版必修五练习：3.2.1一元二次不等式的解法(含答案解析)
学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 【解析】 方程2x 2－x －1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－12. 函数y ＝2x 2－x －1的图像为开口向上的抛物线，∴2x 2－x －1＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞1或x ＜－12. 【答案】 D2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则∁U M ＝( )A ．{x |－1≤x ≤3}B ．{x |－3≤x ≤1}C ．{x |x ＜－3或x ＞1}D ．{x |x ＜－1或x ＞3}【解析】 M ＝{x |－1≤x ≤3}，全集U ＝R ，所以∁U M ＝{x |x ＜－1或x ＞3}．【答案】 D3．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a －b 的值等于( ) A ．－14B ．14C ．－10D ．10【解析】 由条件可知⎩⎨⎧ －b a ＝－12＋13，2a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a －b ＝－12＋2＝－10.【答案】 C4．若0＜t ＜1，则不等式(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1t ＜0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t ＜x ＜1 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1t 或x ＜1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1t 或x ＞1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1t 【解析】 当0＜t ＜1时，1t＞1， y ＝(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1t 的图像开口向上， 故(x －1)⎝⎛⎭⎫x －1t ＜0的解集为1＜x ＜1t. 【答案】 D5．若a 2－174a ＋1＜0，则不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的范围是( ) A ．{x |x ≥3或x ≤1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜14或x ＞4 C ．{x |1＜x ＜3}D ．{x |x ≤－3或x ＞1}【解析】 由a 2－174a ＋1＜0得a ∈⎝⎛⎭⎫14，4. 不等式x 2＋(a －2)x ＋1－a ＞0可化为(x －1)[x －(1－a )]＞0，∴x ＜1－a 或x ＞1，∴x ≤－3或x ＞1.【答案】 D二、填空题6．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1的解集为∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅，∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)＜0，∴a 2－2a －3＜0，∴－1＜a ＜3.【答案】 (－1,3)7．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(1，m )，则实数m ＝________.【解析】 1，m 是关于x 的方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，则⎩⎨⎧ 1＋m ＝6a ，1×m ＝a 2a ， 解得m ＝2或m ＝－3(舍)．【答案】 28．(2016·宝鸡高二检测)若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是________．【解析】 ∵2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2＝2－2x ＋4， ∴x 2＋1≤－2x ＋4，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1，∴18≤y ≤2，∴y ＝2x 的值域为⎣⎡⎦⎤18，2. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤18，2三、解答题9．解不等式－2≤3x 2－5x ≤2.【解】 原不等式等价于3x 2－5x ＋2≥0，且3x 2－5x －2≤0，方程3x 2－5x ＋2＝0的解为x 1＝23，x 2＝1， ∴3x 2－5x ＋2≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤23或x ≥1. 方程3x 2－5x －2＝0的解为x 1＝－13，x 2＝2， ∴3x 2－5x －2≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， ∴原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤23或1≤x ≤2. 10．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. 【导学号：67940057】【解】 若a ＝0，则原不等式等价于－x ＋1＜0⇒x ＞1.若a ＜0，则原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0⇒x ＜1a或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a＝1，得x ∈∅； ②当a ＞1时，1a ＜1，得1a＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，得1＜x ＜1a. 综上所述：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a ＜x ＜1. [能力提升]1．设A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于( )A ．7B ．－1C ．1D ．－7【解析】 A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，∴B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.【答案】 D2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 【解析】 由题意知x ⊙(x －2)＝x 2＋x －2，∴x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.【答案】 B3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________．【解析】 构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2)．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ，f ， ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0， ⇔ m ≤－5. 【答案】 (－∞，－5]4．关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0的解集中的整数恰有3个，求a 的取值范围．【解】 原不等式等价于(ax －1)(x －1)＜0，分类讨论：(1)当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)，整数不止3个；(2)当a ≠0时，方程(ax －1)(x －1)＝0的两根为1a 和1，1a －1＝1－a a. ①当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，1a ，当4＜1a ≤5时满足条件，得15≤a ＜14； ②当a ＝1时，不等式的解集为∅；③当a ＞1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，1，显然不满足题意．④当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(1，＋∞)整数不止3个． 综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，14.。
北师大版高中数学必修5一元二次不等式的应用同步测试
2.2一元二次不等式的应用课后篇巩固探究的定义域为()1.函数f(x)=lg--A.(1,4)B.[1,4)C.(-∞,1)∪(4,+∞)D.(-∞,1]∪(4,+∞)>0,即(x-1)(x-4)<0,所以1<x<4.解析:依题意应有--答案:A2.已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是()A. B.C. D.解析:由(1-a i x)2<1,得a i x(a i x-2)<0,又a i>0,所以x-<0,解得0<x<,要使上式对a1,a2,a3都成立,则0<x<.故选B.答案:B3.不等式x>的解集是()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:因为x>,所以x-->0,即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)>0.画出示意图如图.所以解集为(-1,0)∪(1,+∞).答案:C4.对任意a∈[-1,1],都有函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是()A.1<x<3B.x<1或x>3C.1<x<2D.x<1或x>2解析:设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立,且a∈[-1,1],所以---所以或或所以x<1或x>3.答案:B5.若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|1<x<2},则关于x的不等式-->0的解集为()A.(1,2)B.(-∞,-1)∪(6,+∞)C.(-1,1)∪(2,6)D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)解析:由已知得,x2+px+q=(x-1)(x-2),所以-->0,即--->0,等价于(x-1)(x-2)(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或1<x<2或x>6.答案:D6.不等式--<0的解集为.解析:不等式等价于(x-2)2(x-3)(x+1)<0,如图,用穿针引线法易得-1<x<3,且x≠2.答案:(-1,2)∪(2,3)7.已知-<1的解集为{x|x<1或x>2},则实数a的值为.解析:因为-<1,所以--<0,即[(a-1)x+1](x-1)<0.又不等式-<1的解集为{x|x<1或x>2},所以a-1<0,所以-(x-1)>0.所以--=2,所以a=.答案:8.如果关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是.解析:令f(x)=x2+(m-1)x+m2-2,则-所以--所以0<m<1.答案:(0,1)9.某商家一月至五月累计销售额达3 860万元,预测六月销售额为500万元,七月销售额比六月递增x%,八月销售额比七月递增x%,九、十月销售总额与七、八月销售总额相等.若一月至十月销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是.解析:由题意得,3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0 解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20 即x的最小值为20.答案:2010.解不等式.(1)--≥0;(2)-->1.解(1)原不等式等价于---解得x≤1或x>2,所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}.(2)原不等式可改写为--+1<0,即--<0,所以(6x-4)(4x-3)<0,所以<x<.所以原不等式的解集为.11.解关于x的不等式>a.-<0.解将原不等式移项、通分化为--若a>0,有>1,则原不等式的解集为;<0,则原不等式的解集为{x|x>1};若a=0,有--若a<0,有<1,则原不等式的解集为或.综上所述,当a>0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当a<0时,原不等式的解集为或.12.若不等式->0对任意实数x恒成立,求m的取值范围.解由于x2-8x+20=(x-4)2+4>0恒成立,因此原不等式对任意实数x恒成立等价于mx2+2(m+1)x+9m+4>0对x∈R恒成立.(1)当m=0时,不等式化为2x+4>0,不满足题意.(2)当m≠0时,应有解得m>.-综上,实数m的取值范围是.。
北师大版数学高二-必修5试题 3.2. 《一元二次不等式的解法》
第三课时 3.2 《一元二次不等式的解法》同步练习（1）解下列不等式1.（x＋4)(x－1)＜02.(x－4)(x＋1)＞03.x(x－2)＞84.(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0（2）解下列不等式1. x－3x＋7＜0 2. 3＋2x＜03.4x－3＞2－x3－x－3 4.3x＞1（3）解不等式x2＋(a2＋a)x＋a3＞0(4) 不等式axx－1＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a. 参考答案（1）1.解：将（x ＋4)(x －1)＜0转化为⎩⎨⎧x ＋4＞0x －1＜0 或⎩⎨⎧x ＋4＜0x －1＞0由{x |⎩⎨⎧x ＋4＞0x －1＜0 }＝{x |－4＜x ＜1}，{x |⎩⎨⎧x ＋4＜0x －1＞0}＝∅ 得原不等式的解集为{x |－4＜x ＜1}∪∅＝{x |－4＜x ＜1}2.解：将(x －4)(x ＋1)＞0转化为⎩⎨⎧x －4＞0x ＋1＞0 或⎩⎨⎧x －4＜0x ＋1＜0由{x |⎩⎨⎧x －4＞0x ＋1＞0 }＝{x |x ＞4}，{x |⎩⎨⎧x －4＜0x ＋1＜0}＝{x |x ＜－1} 得原不等式解集为{x |x ＞4}∪{x |x ＜－1}＝{x |x ＞-4或x ＜－1}3.解：将x (x －2)＞8变形为x 2－2x －8＞0∴（x －4）(x ＋2)＞0∴{x |⎩⎨⎧x －4＞0x ＋2＞0 }＝{x |x ＞4}，{x |⎩⎨⎧x －4＜0x ＋2＜0}＝{x |x ＜－2} ∴原不等式解集为{x |x ＜－2或x ＞4}4.解：将原不等式变形为[（x ＋1）＋4][(x ＋1)－1]＞0，即x (x ＋5)＞0∴{x |⎩⎨⎧x ＞0x ＋5＜0 }＝{x |x ＞0}，{x |⎩⎨⎧x ＜0x ＋5＞0}＝{x |x ＜－5} ∴原不等式解集为{x |x ＜－5或x ＞0}（2）1.解：不等式可转化为⎩⎨⎧x ＋7＞0x －3＜0 或⎩⎨⎧x ＋7＜0x －3＞0∴{x |⎩⎨⎧x ＋7＞0x －3＜0 }＝{x |－7＜x ＜3}，{x |⎩⎨⎧x ＋7＜0x －3＞0}＝∅ ∴原不等式解集为{x |－7＜x ＜3}2.解：不等式可转化为⎩⎨⎧3x ＋2＞0x ＜0 或⎩⎨⎧3x ＋2＜0x ＞0∴{x |⎩⎨⎧3x ＋2＞0x ＜0 }＝{x |－23 ＜x ＜0}，{x |⎩⎨⎧3x ＋2＜0x ＞0}＝∅ ∴原不等式解集为{x |－23＜x ＜0} 3.解：不等式可转化为2x －3x －3 ＞0，即⎩⎨⎧2x －3＞0x －3＞0 或⎩⎨⎧2x －3＜0x －3＜0∴{x |⎩⎨⎧2x －3＞0x －3＞0 }＝{x |x ＞3}，{x |⎩⎨⎧2x －3＜0x －3＜0}＝{x |x ＜32 } ∴原不等式解集为{x |x ＜32或x ＞3} 4.解：原不等式转化为3－x x＞0即⎩⎨⎧3－x ＞0x ＞0 或⎩⎨⎧3－x ＜0x ＜0∴{x |⎩⎨⎧3－x ＞0x ＞0 }＝{x |0＜x ＜3}，{x |⎩⎨⎧3－x ＜0x ＜0}＝∅ ∴原不等式解集为{x |0＜x ＜3}（3）解：原不等式转化为（x ＋a )(x ＋a 2)＞0当－a ＞－a 2即a ＞1或a ＜0时，{x |x ＞－a 或x ＜－a 2}当－a ＝－a 2即a ＝0时，{x |x ≠0}；a ＝1时，{x |x ≠－1}.当－a ＜－a 2即0＜a ＜1时，{x |x ＞－a 2或x ＜－a }(4) 解法一：将原不等式转化为 [（a －1）x ＋1](x －1)＜0，即(a －1)x 2＋(2－a )x －1＜0∴(1－a )x 2＋(a －2)x ＋1＞0，依据与系数的关系得⎩⎨⎧11－a ＝2a －2a －1 ＝3 ， ∴a ＝12 . 解法二：原不等式转化为[（a －1）x ＋1]·(x －1)＜0∵其解集为{x |x ＜1或x ＞2} ∴a －1＜0∴[(1－a )x －1](x －1)＞0∴2＝11－a∴a ＝12。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2一元二次不等式的应用达标练习北师大版必修5(20
2018年高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式3.2.2 一元二次不等式的应用达标练习北师大版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高中数学第三章不等式3.2 一元二次不等式3.2.2 一元二次不等式的应用达标练习北师大版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.2。
2 一元二次不等式的应用［A 基础达标］1．不等式错误!≥2的解集是（)A.错误!B．错误!C.错误!∪（1，3] D．错误!∪(1，3］解析:选D.因为(x－1）2＞0，由错误!≥2可得x＋5≥2(x－1）2且x≠1.所以2x2－5x－3≤0且x≠1,所以－错误!≤x≤3且x≠1。
所以不等式的解集是错误!∪（1，3］．2．已知集合M＝错误!，N＝｛x｜x≤－3｝，则集合{x|x≥1｝等于（)A．M∩N B．M∪NC．∁R(M∩N）D．∁R（M∪N）解析：选D.错误!＜0⇔（x＋3)(x－1）＜0，故集合M可化为｛x｜－3＜x＜1｝，将集合M和集合N在数轴上表示出来（如图)，易知答案．3．若集合A＝｛x｜ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的集合是（）A．｛a｜0＜a＜4｝B．{a|0≤a＜4｝C．｛a｜0＜a≤4} D．{a｜0≤a≤4｝解析:选D.若a＝0时符合题意，若a＞0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得｛a｜0＜a≤4}，综上得{a|0≤a≤4｝，故选D。
4．设集合A＝{x｜x2＋2x－3〉0｝，B＝{x｜x2－2ax－1≤0，a〉0｝．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（)A.错误!B．错误!C。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.2习题精选北师大版必修5
2.2一元二次不等式的应用课后篇巩固探究1.函数f(x)=lg的定义域为()A.(1,4)B.[1,4)D.(-∞,1]∪(4,+∞)C.(-∞,1)∪(4,+∞)解析:依题意应有>0,即(x-1)(x-4)<0,所以1<x<4.答案:A2.已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是()B.A.D.C.解析:由(1-a i x)2<1,得a i x(a i x-2)<0,又a i>0,所以x<0,解得0<x<,要使上式对a1,a2,a3都成立,则0<x<.故选B.答案:B3.不等式x>的解集是()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)解析:因为x>,所以x->0,即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)>0.画出示意图如图.所以解集为(-1,0)∪(1,+∞).答案:C4.对任意a∈[-1,1],都有函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是()A.1<x<3B.x<1或x>3C.1<x<2D.x<1或x>2解析:设g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),g(a)>0恒成立,且a∈[-1,1],所以所以所以x<1或x>3.答案:B5.若关于x的不等式x2+px+q<0的解集为{x|1<x<2},则关于x的不等式>0的解集为()A.(1,2)B.(-∞,-1)∪(6,+∞)C.(-1,1)∪(2,6)D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)解析:由已知得,x2+px+q=(x-1)(x-2),所以>0,即>0,等价于(x-1)(x-2)(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或1<x<2或x>6.答案:D6.不等式<0的解集为.解析:不等式等价于(x-2)2(x-3)(x+1)<0,如图,用穿针引线法易得-1<x<3,且x≠2.答案:(-1,2)∪(2,3)7.已知<1的解集为{x|x<1或x>2},则实数a的值为.解析:因为<1,所以<0,即[(a-1)x+1](x-1)<0.又不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},。
高中数学北师大版必修5 3.2 提高练习 《 一元二次不等式的解法》(数学北师大版必修5)
《一元二次不等式的解法》提高练习1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2]B ．(－1,2]C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]2. 若集合，则（ ）A. B. C. D.3．若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞){},{}x A x x B xx -2=-1≤2+1≤3=≤0A B ⋂={}x x -1≤<0{}x x 0<≤1{}x x 0≤≤2{}x x 0≤≤14.不等式1x < 12的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(0，2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)5. 若关于x 的不等式ax2＋bx ＋2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，其中a ，b 为常数，则不等式2x2＋bx ＋a<0的解集是( )A ．(－3，2)B ．(－2，3)C ．(－3，3)D ．(－2，2)6.已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2（x>2），－x2－x ＋4（x ≤2），则不等式f(x)≤2的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[1，2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－2]∪[1，2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ C ．[－2，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D ．(－∞，2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 7.设某商品的需求函数为Q ＝100－5P ，其中Q ，P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性 EQ EP 大于1其中EQ EP ＝－Q ′QP ，Q ′是Q 的导数，则商品价格P 的取值范围是( ) A ．(0，10) B ．(10，20)C ．(20，30)D ．(20，＋∞)8．不等式1x －1<1的解集记为P ，关于x 的不等式x2＋(a －1)x －a>0的解集记为Q ，已知P 是Q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．9．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s ＝nv 100＋v2400(n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图K34－1。
高中数学3.2一元二次不等式同步精练北师大版必修5
高中数学 3.2 一元二次不等式同步精练 北师大版必修5基础巩固1不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A ．{x |－23≤x ≤12}B ．{x |x ≤－23或x ≥12}C ．{x |x ≥12}D ．{x |x ≤－23}2不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13}3函数y ＝xx －1＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 4二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－465解不等式：0≤x 2－x －2≤4.6已知关于x 的不等式ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，试求实数a 与c 的值． 7解关于x 的不等式(a ∈R )：2x 2＋ax ＋2＞0.8已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围． 综合过关9设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝{x |(12)x ≤4}，则M ∪N 等于( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x ＞－1}C ．{x |x ＜－1}D ．{x |x ≤－2}10设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是… ( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)11关于x 的方程2x＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，－1)∪(0,1] B ．[－2，－1]∪(0,1] C ．[－2，－1)∪(0,2] D ．[－2，－1)∪[0,2]12设A 为关于x 的不等式ax (x －1)≥1的解集．若2∉A ，3∈A ，则实数a 的取值范围为________．能力提升13不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图像为( )参考答案1解析：原不等式等价于6x 2＋x －2≥0，方程6x 2＋x －2＝0的两根为－23，12.画简图，可得x ≤－23或x ≥12.答案：B2解析：Δ＝0，则方程9x 2＋6x ＋1＝0的根为x 1＝x 2＝－13，原不等式的解集为{－13}．答案：D3解析：解不等式⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≥0，x ≥0，得x ≥1或x ＝0.答案：C4解析：根据表格可以画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的图像草图如下图所示．由图像得不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x ＜－2或x ＞3.答案：{x |x ＜－2或x ＞3}5分析：上述不等式含有两部分x 2－x －2≥0和x 2－x －2≤4，因此原不等式的解集是这两部分解集的交集．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4，解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2； 解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}∩{x |－2≤x ≤3}＝{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．6分析：－2和1是对应的一元二次方程的解．由一元二次方程根与系数的关系列方程解得a 、c .解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 7解：∵Δ＝a 2－16，∴①当Δ＜0，即－4＜a ＜4时，不等式解集为R ；②Δ≥0时，即a ≥4或a ≤－4，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝4或－4时，不等式解集为{x |x ≠±1，且x ∈R }； 当a ＞4或a ＜－4时，不等式的解集为{x |x ＜14(－a －a 2＋16)或x ＞14(－a ＋a 2－16)}．8分析：分二次项系数a 2－4＝0和a 2－4≠0两种情况讨论，在a 2－4≠0时，结合二次函数的图像进行求解．解：当a 2－4＝0时，a ＝±2，当a ＝－2时，解集为∅；当a 2－4≠0时，要使解集为∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜65.综上，－2≤a ＜65.9解析：M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}＝{x |－2＜x ＜－1}，N ＝{x |(12)x ≤4}＝{x |x ≥－2}，则M ∪N ＝{x |x ≥－2}．答案：A10解析：f (1)＝1－4＋6＝3，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＋6＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x ＋6＞3，解得0≤x ＜1或x ＞3或－3＜x ＜0，即－3＜x ＜1或x ＞3.答案：A11解析：函数y ＝2x(x ∈(－∞，1])的值域是(0,2]，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＞0，a 2＋a ≤2，得－2≤x＜－1或0＜x ≤1.答案：A12解析：设f (x )＝ax (x －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f2＜1，f 3≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a2－1＜1，3a 3－1≥1，解得16≤a ＜12，则实数a 的取值范围为[16，12)．答案：[16，12)13解析：思路一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)． 与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(2,0)，开口向下．思路二：由于f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则f (－x )＞0的解集为{x |－2＜－x ＜1}，即{x |－1＜x ＜2}，且开口向下． 答案：C2.2 一元二次不等式的应用基础巩固1若集合A ＝{x |x 2－x ＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |0＜x ＜3} C ．{x |1＜x ＜3} D ．∅ 2不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1,2] 3不等式(x ＋3)(x －7)(x －8)＜0的解集是________．4关于x 的方程x 2－(m ＋3)x ＋m 2＝0有两个不相等的正根，则m 的取值范围是__________．5某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，问该厂日产量多大时，日获利不少于1 300元？6一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？7设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)·x ＋a 2－a －2＝0有两根x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2＜2，求a 的取值范围．8若关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3＜2对任意的x 恒成立，求实数m 的取值范围．综合过关9设集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x 2－3x ＜0}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |0＜x ＜3} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |－1＜x ＜3}10已知集合A ＝{x |x 2＋3x －18＞0}，B ＝{x |(x －k )·(x －k －1)≤0}，若A ∩B ≠∅，求k 的取值范围．11求下列函数的定义域．(1)y ＝6－x －x 2；(2)y ＝log 2(3x 2－2x －1)． 12设a ≠0，对于函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋a )， (1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．能力提升13甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？参考答案1解析：A ＝{x |x 2－x ＜0}＝{x |0＜x ＜1}，则A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}． 答案：A2解析：x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x －2x ＋1≤0，则－1＜x ≤2.答案：D3解析：利用穿针引线法可得x ＜－3或7＜x ＜8. 答案：{x |x ＜－3或7＜x ＜8}4解析：设x 1，x 2是方程的两根，则由题意知x 1≠x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1＋x 2＞0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋32－4m 2＞0，m ＋3＞0，m 2＞0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜3. 答案：(－1,0)∪(0,3) 5解：由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300， 化简得x 2－65x ＋900≤0， 解之，得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1 300元． 6解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意得到 －2x 2＋220x ＞6 000.移项整理，得x 2－110x ＋3 000＜0.因为Δ＝100＞0，所以方程x 2－110x ＋3 000＝0有两个实数根x 1＝50，x 2＝60. 所以50＜x ＜60.因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．7分析：若把方程左边看作是一个二次函数f (x )，则它的图像是开口向上的抛物线，它在区间(0,1)和(1,2)内与x 轴相交等价于f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，根据以上可列关于a 的不等式组求a 的范围．解：设f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2.∵x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根，且0＜x 1＜1,1＜x 2＜2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0＞0，f 1＜0，f 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，7－a ＋13＋a 2－a －2＜0，28－2a ＋13＋a 2－a －2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＞0，a 2－2a －8＜0，a 2－3a ＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞2，－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3.∴－2＜a ＜－1或3＜a ＜4.∴a 的范围是{a |－2＜a ＜－1或3＜a ＜4}．8分析：本题是一个参数的分式不等式恒成立问题，由于分母恒大于零，因此可将此分式不等式转化为一个整式不等式，再研究恒成立问题．解法一：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0， ∴4x ＋m x 2－2x ＋3＜2等价于2x 2－8x ＋6－m ＞0，要使2x 2－8x ＋6－m ＞0恒成立，则只需要Δ＜0，即64－8(6－m )＜0，∴m ＜－2. ∴m 的取值范围是m ＜－2.解法二：不等式2x 2－8x ＋6－m ＞0对任意的x 恒成立，则 只需m ＜2x 2－8x ＋6对任意的x 恒成立． ∵2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2， ∴2x 2－8x ＋6在x ∈R 上的最小值为－2. ∴m ＜－2.9解析：由x 2－1＜0得－1＜x ＜1，∴A ＝{x |－1＜x ＜1}．由x 2－3x ＜0得0＜x ＜3，即B ＝{x |0＜x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜1}∩{x |0＜x ＜3}＝{x |0＜x ＜1}．答案：C10分析：求出A 、B ，即解出一元二次不等式后，根据A ∩B ≠∅来研究集合端点值的关系，列不等式组求得k 的范围．解法一：由x 2＋3x －18＞0，得x ＞3或x ＜－6. ∴A ＝{x |x ＞3或x ＜－6}．由(x －k )(x －k －1)≤0可得，k ≤x ≤k ＋1， ∴B ＝{k |k ≤x ≤k ＋1}，∵A ∩B ≠∅，作出图形(如图所示)．欲使A ∩B ≠∅，则k 应满足：k ＋1＞3或k ＜－6，即{k |k ＜－6或k ＞2}．解法二：先求A ∩B ＝∅时k 的范围．由解法一得，A ＝{x |x ＜－6或x ＞3}，B ＝{x |k ≤x ≤k ＋1}．若A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1≤3，k ≥－6，∴－6≤k ≤2.∴A ∩B ≠∅的k 的范围是{k |k ＜－6或k ＞2}．11分析：根据函数的定义，求函数的定义域即求函数有意义时自变量的取值范围，将定义域问题转化为不等式问题．解：(1)要使函数有意义，只需使6－x －x 2≥0，即x 2＋x －6≤0.设方程x 2＋x －6＝0，两根是x 1＝－3，x 2＝2.∴不等式x 2＋x －6≤0的解集为{x |－3≤x ≤2}． ∴函数y ＝6－x －x 2的定义域为{x |－3≤x ≤2}．(2)要使函数有意义，只需使3x 2－2x －1＞0，设方程3x 2－2x －1＝0， 则两根为x 1＝－13，x 2＝1.∴不等式3x 2－2x －1＞0的解集为{x |x ＜－13或x ＞1}．∴函数y ＝log 2(3x 2－2x －1)的定义域为{x |x ＜－13或x ＞1}．12分析：f (x )的定义域是R ，等价于ax 2－x ＋a ＞0对一切实数都成立．而f (x )的值域为R ，等价于ax 2－x ＋a 能取遍大于0的所有实数值．(1)与(2)虽只有一字之差，但解法大不相同．解：(1)f (x )的定义域为R ，则ax 2－x ＋a ＞0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4a 2＜0，解得a ＞12.(2)f (x )的值域为R ，则真数ax 2－x ＋a 能取遍大于0的所有值，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4a 2≥0，解得0＜a ≤12.13分析：(1)根据函数f (x )和g (x )表达的含义；(2)通过解不等式得x ，y 的最小值． 解：(1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥f x ＝14x ＋10， ①x ≥g y ＝y ＋20 ②成立，双方均无失败的风险．由①②，得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0，∴(y －4)(4y ＋15)≥0. ∵4y ＋15＞0， ∴y ≥4. ∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24. ∴x min ＝24，y min ＝16，即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。
高中数学北师大版必修5习题：第三章不等式 3.2.1.1 含解析
2.1 一元二次不等式的解法第1课时 一元二次不等式及其解集课时过关·能力提升1.一元二次不等式2x 2+7x+3>0的解集为( )A.{x |-3<x <-12}B.{x |x <-3或x >-12}C.R2x 2+7x+3=(2x+1)(x+3)>0, ∴x<-3或x>-12,故选B.U=R ,集合A={x|x 2-2x>0},则∁U A 等于 ( )A.{x|0≤x ≤2}B.{x|0<x<2} 0或x>2} D.{x|x ≤0或x ≤2}{x|x<0或x>2},所以∁U A={x|0≤x ≤2}.x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式 x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( )B.1C.-1D.3x 2-2x-3<0的解集为A={x|-1<x<3},不等式x 2+x-6<0的解集为B={x|-3<x<2},不等式0的解集为A ∩B={x|-1<x<2},所以x 2+ax+b=0的解为x 1=-1,x 2=2.由根与系数的关系,得2,则a+b=-3.4.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <-1或x >12},则f (10x )>0的解集为( )A.{x|x<-1或x>-lg 2}B.{x|-1<x<-lg 2}C.{x|x>-lg 2} lg 2},一元二次不等式f (x )>0的解集为{x |-1<x <1}.∵f (10x )>0,∴-1<10x <12,解得x<lg 12,即x<-lg 2.M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6>0},则M ∩N 为( )A.{x|-4≤x<-2或3<x ≤7}B.{x|-4<x ≤-2或3≤x<7}C.{x|x ≤-2或x>3} 2或x ≥3}M={x|-4≤x ≤7},N={x|x<-2或x>3},∴M ∩N={x|-4≤x<-2或3<x ≤7}. 6.设函数f (x )={x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解是( ) A .(-3,1)∪(3,+∞) B .(-3,1)∪(2,+∞)∪(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(1,3)不是不等式x 2≥1的解,则a 的取值范围是( )A.{a|a>1}B.{a|-1<a<1} 1或a<-1} D.{a|a<-1}a 不是不等式x 2≥1的解,∴a 2<1,即a 2-1<0,解得-1<a<1. 8.若不等式ax 2+bx+2>0的解集为(-12,13),则a+b 的值为( ) B.-10 C.14 D.-14a ≠0,且方程ax 2+bx+2=0的两根为-12,13,故{-b a =(-12)+13,2a =(-12)×13,解得a=-12,b=-2,所以14.lg(x 2-2x-3)>lg(x+7)的解集为 .x 2-2x-3>x+7>0,∴{x 2-3x -10>0,x >-7,∴{(x -5)(x +2)>0,x >-7.∴{x >5或x <-2,x >-7,∴x ∈(-7,-2)∪(5,+∞).-7,-2)∪(5,+∞)-3<4x-4x 2≤0的解集为 .{x 2-x ≥0,4x 2-4x -3<0,∴{x (x -1)≥0,(2x -3)(2x +1)<0.∴{x ≤0或x ≥1,-1<x <3,∴x ∈(-12,0]∪[1,32).-12,0]∪[1,32)x 的不等式:+3x-2x 2>0;(2)x (3-x )≤x (x+2)-1.∵2+3x-2x 2>0,∴2x 2-3x-2<0.∴(2x+1)(x-2)<0,∴-12<x<2.∴2+3x-2x 2>0的解集为(-12,2).(2)∵x (3-x )≤x (x+2)-1,∴3x-x 2≤x 2+2x-1.∴2x 2-x-1≥0.∴(2x+1)(x-1)≥0,∴x ≥1或x ≤-12.∴x (3-x )≤x (x+2)-1的解集为(-∞,-12]∪[1,+∞).★12.已知函数f (x )={-x +1,x <0,x -1,x ≥0,解不等式x+(x+1)·f (x+1)≤1.x+1<0时,x+(x+1)[-(x+1)+1]≤1,即-x 2≤1,恒成立,∴x<-1;当x+1≥0时,x+(x+1)[(x+1)-1]≤1,∴x 2+2x ≤1,解得-1≤x ≤√2-1. 综上可知,不等式的解集是{x|x ≤√2-1}.。
高中数学北师大版5同步检测训练：一元二次不等式的解法
同步检测训练一、选择题1．不等式x2〈3x的解集为( ）A．{x|x>3} B．｛x｜x〈0或x<3｝C．R D．｛x｜0<x<3}解析：x2〈3x⇒x2－3x<0⇒x(x－3）〈0⇒0〈x<3，故选D。
答案:D2．不等式(x＋2)（1－x)〉0的解集是（）A．｛x|x〈－2或x〉－1｝B．{x｜x〈－1或x>2} C．｛x｜－2<x<1｝D．｛x|－1<x<2}解析：不等式(x＋2）(1－x)〉0，同解于（x－1）(x＋2)<0。
∵相应方程(x－1）（x＋2)＝0的两根为x1＝1，x2＝－2，∴（x－1)(x＋2）<0的解为－2<x〈1，即原不等式(x＋2)(1－x)〉0的解集为{x|－2〈x<1},故选C.答案:C3．不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4〈0，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（)A．(－∞,2] B．(－2，2]C．（－2,2）D．(－∞,2)解析：当a＝2时，－4〈0，对一切x∈R恒成立；当a〈2时，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2）<0⇒4(a－2）(a＋2)<0⇒－2<a<2，∴－2<a≤2，故选B。
答案：B4．集合A＝{x|x2－5x＋4≤0｝，B＝{x｜x2－5x＋6>0}，则A∩B ＝( )A．｛x|1≤x<2或3<x≤4｝B．{x｜1≤x〈2且3<x≤4｝C．｛1,2，3，4}D．｛x|－4≤x≤－1或2≤x≤3}解析：A＝｛x|x2－5x＋4≤0}＝｛x|1≤x≤4｝，B＝｛x｜x2－5x ＋6〉0｝＝{x|x<2或x>3},∴A∩B＝{x｜1≤x〈2或3<x≤4｝，故选A。
答案：A5．已知二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2、3，a>0，那么ax2－bx＋c〉0的解集是（）A．｛x｜x〈－2或x〉3} B．｛x｜x<－3或x〉2}C．｛x｜－2〈x<3} D．｛x｜－3<x〈2｝解析：由题意知错误!∴b＝－a,c＝－6a，∴不等式ax2－bx＋c>0化为ax2＋ax－6a〉0，即x2＋x－6>0.方程x2＋x－6＝0的两根是－3和2，不等式的解集是｛x|x<－3或x>2｝，故选B。
2020-2019学年北师大版数学必修5学案：3.2.2 一元二次不等式的应用含解析
2.2 一元二次不等式的应用内 容 标 准 学 科 素 养1.会用不等式求其他问题中的参数的取值范围.2.会解分式不等式与高次不等式.3.能够运用不等式解决简单的实际问题. 准确分类讨论 规范等价转化 提升数学运算 授课提示：对应学生用书第57页[基础认识]知识点一 一元二次不等式恒成立问题知识梳理 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图像求解．(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎨⎧a ＞0Δ＜0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎨⎧a ＝0b ＝0c ＞0或⎩⎨⎧a ＞0Δ＜0； (3)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎨⎧a ＝0b ＝0c ＜0或⎩⎨⎧a ＜0Δ＜0； (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是⎩⎨⎧a ＝0b ＝0c ≥0或⎩⎨⎧a ＞0Δ≤0； (5)f (x )≤a 恒成立，x ∈D [f (x )]max ≤a ，x ∈D ； (6)f (x )≥a 恒成立，x ∈D [f (x )]min ≥a ，x ∈D . 知识点二 不等式的应用问题 1．分式不等式可转化为整式不等式解决吗？需要注意什么？提示：可以，需要注意的是分母中因式的根不能在解集中．2．若a ，b ∈R ，b a ＞0与ab ＞0，b a ＜0与ab ＜0是否等价？b a ≥0与ab ≥0，ba ≤0与ab ≤0呢？提示：b a ＞0与ab ＞0，b a ＜0与ab ＜0等价；b a ≥0与ab ≥0，ba ≤0与ab ≤0不等价． 3．课本中讲到用“穿针引线法”解高次不等式时，要从数轴右上方依次过每个根画曲线，请问在对不等式的左边整理时应注意什么问题？提示：应注意把每个一次因式中x 的系数都化为正．知识梳理 1.分式不等式的解法对分子分母含x 的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而使问题化繁为简． 大体情况如下： (1)f （x ）g （x ）＞0f (x )g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ）＜0f (x )g (x )＜0； (3)f （x ）g （x ）≥0⎩⎨⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0；(4)f （x ）g （x ）≤0⎩⎨⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. (5)（x －m ）（x －n ）x －p ≤0⎩⎨⎧（x －m ）（x －n ）（x －p ）≤0，x －p ≠0.2．形如(x －a )(x －b )(x －c )＞0的不等式解法设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，如果把函数f (x )图像与x 轴的交点(a ，0)，(b ，0)，(c ，0)，形象地看成“针眼”，函数f (x )的图像看成“线”，这种求解不等式(x －a )(x －b )(x －c )＞0的方法，称为穿针引线法．思考：1.利用图形计算器来解不等式应当注意什么？提示：借助图形计算器画函数图像解不等式很便捷，但这种方法解不等式是有局限的，因为图形计算器只能显示函数的局部图像，无法显示出无穷远处的情况． 2．你能用图形计算器解不等式2sin x ＞0吗？提示：可以借助图形计算器画出函数的局部图像，再根据函数的周期性写出不等式的解集．[自我检测]1．函数y ＝x 2＋mx ＋m2对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＞2B ．m ＜2C ．m ＜0或m ＞2D ．0≤m ≤2 解析：由题意知x 2＋mx ＋m2≥0对一切x ∈R 恒成立， ∴Δ＝m 2－2m ≤0，∴0≤m ≤2.故选D. 答案：D2．不等式2－xx ＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx ＋4＞0等价于(x －2)(x ＋4)＜0.解得－4＜x ＜2.故解集为{x |－4＜x ＜2}．答案：{x |－4＜x ＜2}授课提示：对应学生用书第58页探究一 不等式的恒成立问题 [阅读教材P83，练习第2题]已知函数y ＝(a －2)x 2＋2(a －4)x －4的图像都在x 轴上方，求实数a 的取值的集合． 解析：当a ＝2时，∵y ＝－4x －4的图像不都在x 轴上方，∴a ≠2. 当a ≠2时，∵y ＝(a －2)x 2＋2(a －4)x －4的图像都在x 轴上方， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0 ①Δ＝[2（a －4）]2－4（a －2）×（－4）＜0 ②解①得a ＞2.解②得(a －2)2＋4＜0，解集为∅.∴a 的取值范围组成的集合为∅. [例1] 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，不等式f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于一切实数x ，不等式f (x )≥－2恒成立，求实数m 的取值范围．[解题指南] (1)可由m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＜0求解；(2)先将不等式化为f (x )＋2≥0，再由m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ≤0求解．[解析] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0. 若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0.综上可知，m 的取值范围是(－4，0]． (2)不等式f (x )≥－2，即为mx 2－mx ＋1≥0. 若m ＝0，则不等式即为1≥0，显然恒成立；当m ≠0，则应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，解得0＜m ≤4.综上，实数m 的取值范围是[0，4]．延伸探究 1.本例中，若将条件改为当x ∈[1，3]时，不等式f (x )＜－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围．解析：法一：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.∴0＜m ＜67. 当m ＝0时，－6＜0恒成立．当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，即m ＜6，∴m ＜0.综上可知，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.法二：当x ∈[1，3]时，f (x )＜－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，且m (x 2－x ＋1)－6＜0，∴m ＜6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴m ＜67.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.方法技巧 一元二次不等式恒成立问题的解题方法 (1)判别式法①不等式ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0. ②不等式ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ＜0. (2)分离参数法若不等式中的参数比较“孤单”，便可将参数分离出来，利用a ≥f (x )恒成立a≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立a ≤f (x )min 求解．(3)参数变换位法构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围，列式求解，常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]上恒成立问题，若f (x )＞0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＞0，f （n ）＞0，若f (x )＜0恒成立⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （n ）＜0.跟踪探究 1.已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈(－2，2)，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围．解析：函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 的对称轴方程为x ＝－a 2，当－a2≤－2，即a ≥4时，f (x )min ＝f (－2)＝(－2)2－2a ＋3－a ＝7－3a ，由7－3a ≥2，解得a ＜53，与a ≥4矛盾；当－2＜－a2＜2，即－4＜a ＜4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22－a22＋3－a ＝3－a －a 24.由3－a －a 24≥2，解得：－2－22≤a ≤－2＋22， ∴－4＜a ≤－2＋22；当－a2≥2，即a ≤－4时， f (x )min ＝f (2)＝4＋2a ＋3－a ＝7＋a ， 由7＋a ≥2，解得a ≥－5， ∴－5≤a ≤－4.综上，实数a 的取值范围是－5≤a ≤－2＋2 2. 探究二 简单分式不等式的求解[阅读教材P82例10及解答]解下列不等式 (1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1＜3. 题型：解简单的分式不等式方法步骤：①先把不等式右边化为0； ②通过符号法则转化为整式不等式； ③求整式不等式得原不等式的解集． [例2] 解下列不等式： (1)2x ＋3x －4＞0；(2)x －34x ＋5≤0； (3)2－x 2x ＋3＜2；(4)3x 2x 2＋1＜1. [解题指南] 对于(1)，可直接转化为整式不等式进行求解，对于(2)，可转化为整式不等式进行求解，但应注意分母不为零；对于(3)，可先移项后通分，再转化为整式不等式进行求解；(4)考虑到2x 2＋1＞0，可直接去分母，转化为整式不等式进行求解．[解析] (1)原不等式可化为(2x ＋3)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜－32，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞4或x ＜－32.(2)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（4x ＋5）≤0，4x ＋5≠0，解得－54＜x ≤3，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54＜x ≤3. (3)原不等式即为2－x2x ＋3－2＜0，所以－4－5x2x ＋3＜0，因此5x ＋42x ＋3＞0，可化为(2x ＋3)(5x ＋4)＞0，解得x ＞－45或x ＜－32.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－45或x ＜－32. (4)因为2x 2＋1＞0，所以去分母得3x ＜2x 2＋1，即2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＞1或x＜12.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜12. 方法技巧 1.分式不等式的求解思路是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如f （x ）g （x ）＞m 的分式不等式，应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．2．解不等式f （x ）g （x ）＞m ，不要直接在不等式两边同乘分母g (x )，以达到去分母的目的，化为整式不等式f (x )＞m ·g (x )的形式进行求解，因为g (x )的符号不确定，这种变形是不等价的．跟踪探究 2.解下列不等式： (1)x －1x ≥0. (2)2x 2－4x －7－x 2＋2x －1≥－1. 解析：(1)x －1x ≥0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，x ＜0，解得x ≥1或x ＜0，所以不等式x －1x ≥0的解集为{x |x ＜0或x ≥1}． (2)原不等式可化为2x 2－4x －7x 2－2x ＋1－1≤0，即x 2－2x －8x 2－2x ＋1≤0.由于x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －8≤0，x 2－2x ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，x ≠1，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜1或1＜x ≤4. 探究三 简单的高次不等式的求解 [阅读教材P82例11及解答]解不等式：(x －1)(x －2)(x －3)＞0. 题型：解简单的高次不等式方法步骤：①设出函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)． ②找出函数y ＝f (x )的图像与x 轴交点的坐标． ③y ＝f (x )图像把x 轴分成四个不同区间． ④依次分析每个区间上的符号得解集．[例3] 解不等式x 2－4x ＋13x 2－7x ＋2＜1.[解题指南] 这是高次分式不等式，先移项通分，化成只有一边含未知数，另一边是0的不等式，再让分子分母分别因式分解，最后用数轴标根法来解即可． [解析] 移项，得x 2－4x ＋13x 2－7x ＋2－1＜0，即x 2－4x ＋1－（3x 2－7x ＋2）3x 2－7x ＋2＜0化简，得－2x 2＋3x －13x 2－7x ＋2＜0.∴（－2x ＋1）（x －1）（3x －1）（x －2）＜0，用数轴标根法，得，x ＜13或12＜x ＜1或x ＞2.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜13或12＜x ＜1或x ＞2. 方法技巧 解简单的高次不等式用“穿针引线法”，应该注意 (1)各一次项因式中x 的系数必为正． (2)从最大的根的右上方开始穿．(3)对于偶次或奇次重根，注意“奇穿偶不穿”．跟踪探究 3.解不等式：(x ＋2)(x ＋1)2(x －1)3(x －2)≤0. 解析：如图，关于x 的不等式(x ＋2)(x ＋1)2(x －1)3(x －2)≤0，把各个因式的根－2，－1，1，2排列在数轴上， 用穿根法求得它的解集为(－∞，－2]∪[1，2]．探究四 一元二次不等式的简单应用 [阅读教材P84例12及解答]题型：一元二次不等式的简单应用．方法步骤：①列出税率调低后的“税收总收入”； ②依据题意列出不等式． ③整理后求解． ④回扣实际问题．[例4] 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (单位：m)与汽车的车速v (单位：km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车实验，有关实验数据如图所示，其中⎩⎨⎧6＜s 1＜8，14＜s 2＜17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？[解题指南] (1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组，并结合n ∈N 求得n 的值；(2)由s ≤12.6解出v 的取值范围，从而得到行驶的最大速度．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧6＜40n 100＋1 600400＜8，14＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎨⎧5＜n ＜10，52＜n ＜9514.因为n ∈N ，所以n ＝6.(2)由于刹车距离不超过12.6 m ，即s ≤12.6，所以3v 50＋v 2400≤12.6，因此v 2＋24v －5 040≤0，解得－84≤v ≤60.因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h. 延伸探究 2.本例中，背景条件不变，若该型号的汽车在某一限速为80 km/h 的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65 m ，试问该车是否超速行驶？解析：由题意知s ≥25.65，即3v 50＋v 2400≥25.65，即v 2＋24v －10 260≥0，解得v ≥90或v ≤－114.由于v ≥0，所以速度v 的取值范围是v ≥90＞80，因此该车已经超速行驶．方法技巧 解决实际应用问题(1)准确地将条件中的文字语言、符号语言转化为数学语言，建立数量关系，抽象为数学问题解决，要注意实际问题中变量的取值范围，保证符合实际意义． (2)建立一元二次不等式模型的基本步骤①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； ③解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．跟踪探究 4.某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解析：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为(0，100] m. 授课提示：对应学生用书第60页[课后小结](1)解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用，同时要结合二次函数的图像求解．(2)解决分式不等式问题的关键是等价转化为整式不等式．(3)解决简单的高次不等式的基本方法是穿针引线法，注意求解之前的准备工作：x 的系数化为正数．(4)解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其它未知量，根据题意，列出不等关系再求解，同时还应注意变量的实际意义．[素养培优]解一元二次不等式的易错点关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围． 易错分析 当二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可．若认为当系数为0时，不等式为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．自我纠正 原不等式可化为mx 2＋mx ＋(m －1)＜0， 若m ＝0，则不等式化为－1＜0，符合题意； 若m ≠0，则应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m （m －1）＜0⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，3m 2－4m ＞0⎩⎨⎧m ＜0，m ＜0或m ＞43m ＜0.综上，m 的取值范围为m ≤0.。
2022-2021学年高二数学北师大版必修5练习：3.2.2 一元二次不等式的应用
2.2 一元二次不等式的应用课时目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简洁分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1． 一元二次不等式的解集：判别式 Δ＝b 2－4acΔ>0x 1<x 2 Δ＝0 Δ<0ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)2.解分式不等式的同解变形法则： (1)f (x )g (x )>0⇔________； (2)f (x )g (x )≤0⇔__________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的状况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔__________； ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔__________.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________. 4．简洁的一元高次不等式的解法一元高次不等式f (x )>0用穿针引线法(或数轴穿根法)求解，其步骤是： (1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不行分解因式的积或商的形式； (3)将每个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(留意重根状况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)依据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集．一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1}3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]5．不等式x 2－x －6x －1＞0的解集为( )A.{}x | x ＜－2，或x ＞3B.{}x | x ＜－2，或1＜x ＜3C.{}x | －2＜x ＜1，或x ＞3D.{}x | －2＜x ＜1，或1＜x ＜36．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <1或x >2二、填空题7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________．10．假如A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，打算按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可削减52t 万亩，为了既削减耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．力气提升13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)假如不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)假如不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．1．解分式不等式时，确定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，留意分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分别参数是一种行之有效的方法．这是由于将参数予以分别后，问题往往会转化为函数问题，从而得以快速解决．当然这必需以参数简洁分别作为前提．分别参数时，经常要用到下述简洁结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .2．2 一元二次不等式的应用 答案学问梳理1．{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ∈R 且x ≠－b2a } R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅ 2.(1)f (x )·g (x )>0 (2)⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠03.(1)⎩⎨⎧ a >0Δ<0 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0 (2)a >f (x )max a <f (x )min作业设计1．C [解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.]2．C [当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．] 3．A[原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．]4．D [x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．] 5．C [∵x 2－x －6x －1＞0，∴(x －3)(x ＋2)x －1＞0，∴(x －3)(x ＋2)(x －1)＞0，如图，由穿根法可得不等式的解集为{ x |}－2＜x ＜1，或x ＞3.]6．B [设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.] 7．4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0∴a ＝4.8．a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1. 9．P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ， 所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎨⎧f (x )<0，g (x )<0的解集为P ∩∁I Q .10．0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4.11．解 由题意可列不等式如下：⎝⎛⎭⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应把握在3%到5%范围内． 12．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不行能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2.13．A [由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19， ∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.]14．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1， 则f (p )的图像是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎨⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1. (2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0. ∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.。
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2．1 一元二次不等式的解法
基础巩固
1不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A．{x|－2
3
≤x≤
1
2
} B．{x|x≤－
2
3
或x≥
1
2
}
C．{x|x≥1
2
} D．{x|x≤－
2
3
}
2不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A．{x|x≠－1
3
} B．{x|－
1
3
≤x≤
1
3
}
C．∅D．{－1 3 }
3函数y＝x(x－1)＋x的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
4二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
4
6 则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
5解不等式：0≤x2－x－2≤4.
6已知关于x 的不等式ax 2－x －c ＞0的解集为{x|－2＜x ＜1}，试求实数a 与c 的值．
7解关于x 的不等式(a ∈R)：2x 2＋ax ＋2＞0.
8已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．
综合过关
9设集合M ＝{x|x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝{x|(12
)x ≤4}，则M ∪N 等于( ) A ．{x|x ≥－2} B ．{x|x ＞－1}
C ．{x|x ＜－1}
D ．{x|x ≤－2}
10设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0，
x ＋6，x ＜0，
则不等式f(x)＞f(1)的解集是…
( )
A ．(－3,1)∪(3，＋∞)
B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3)
11关于x 的方程2x ＝a 2＋a 在(－∞，1]上有解，则实数a 的取值范围是( )
A ．[－2，－1)∪(0,1]
B ．[－2，－1]∪(0,1]
C ．[－2，－1)∪(0,2]
D ．[－2，－1)∪[0,2]
12设A 为关于x 的不等式ax(x －1)≥1的解集．若2∉A ，3∈A ，则实数a 的取值范围为________．
能力提升
13不等式f(x)＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x|－2＜x ＜1}，则函数y ＝f(－x)的
图像为( )
参考答案
1解析：原不等式等价于
6x 2＋x －2≥0，方程6x 2＋x －2＝0的两根为－23，12.画简图，可得x ≤－23或x ≥12
. 答案：B
2解析：Δ＝0，则方程
9x 2＋6x ＋1＝0的根为x 1＝x 2＝－13，原不等式的解集为{－13
}． 答案：D
3解析：解不等式⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －1)≥0，
x ≥0，得x ≥1或x ＝0. 答案：C。