2013高三数学总复习同步练习：1-1集 合
2013年高考数学总复习资料
即a<1时，解为(2,2
a).
①2
a
2
a
0
1
a
1
a
a
1
a
1
②2
a
a
0时，解为.
2
a
0
1
a
a
1
a
1
2
a,2).
③
2
a
即0<a<1时，原不等式解为:(
a
0
1
2
1
a
a
由（3）a>1时，2
a的符号不确定，也分为
3种情况.
1
a
a
1
a
1
①2
a
a不存在.
2
a
0
1
a
a
1
a
1
,2
a) (2, ).
②2
a
2a
当a>1时，原不等式的解为:(
<II>平移与关于y=x对称变换
例：y=f(x+3)的反函数与y=f-1(x+3)是否相同？
分析：①y
f (x)
x
x 3
y
f (x
3)
( x ,y) ( y,x )
f ( x
3)的反函数。
平移
对称
②y
f ( x)
( x, y)
( y, x)
y
f1
x
x
3
1(x
3).
对称
( x)
平移
f
∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。
因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，
2013高考数学一轮同步训练(文科) 1
∴a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)20.
充分性:∵a3b3aba2b20
∴(ab)(a2abb2)(a2abb2)0
即(a2abb2)(ab1)0.(*)
又ab0即a0且b0
A.xR2x10
B.xN(x1)20
C.x0R,lgx01
D.x0R,tanx02
答案:B
解析:对于B选项,当x=1时(x1)20故选B.
23.已知命题p:x0R,使x02x03则p是.
答案:xRx22x3
解析:特称命题的否定是全称命题.
第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词强化训练
1.给出命题:p:3>1,q:4{2,3},则在下列三个复合命题:”p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
答案:B
解析:p为真,q为假,故”p且q”为假”p或q”为真,”非p”为假,所以选B.
2.下列命题中的假命题是()
4.命题”对任何xR,|x-2|+|x-4|>3”的否定是.
答案:存在x0R,|x02|+|x04|3
解析:全称命题的否定是特称命题,全称量词”任何”改为存在量词”存在”,并给结论否
定.
5.已知ab0求证:a+b=1的充要条件是a3b3ab-a2b20.
证明:必要性:
(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷03 文
【步步高】 （全国版）2013 届高三数学 名校强化模拟测试卷 03 文第I卷 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1. 【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 若复数a 3i （ a R, i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 1 2iB．-6 C．5 D．-4（）A．62. 【山西省 2012 年高考考前适应性训练考试】 已知集合 A {x | | x | 1} ， B {x | x2 0} ，则 A B （ A． {x | 1 x 0} C． {x | 1 x 1, 且 x 0} B． {x | 0 x 1} D． {x | 1 x 1} ）3. 【原创改编题】甲、乙两人在奥运会射箭预选赛的一次射击中各射靶 5 次，两人成绩 的 条形统计图如图所示，则A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【答案】C 【解析】由条形图易知甲的平均数为 x甲 45678 6 ，中位数为方差为 6 ， 51s2 甲 2 1 22 02 12 22 2 ，极差为 8 4 4 ； 5x乙 3 6 5 8 2 9 ， 中 位 数 为 5 5 52乙 的 平 均 数 为2 2方 差 为s 2乙 4 1 16 3 257+48 305 61 5 5 5 ， = = 2 ， 极 差 为 9 5 4 故 5 125 125 25x甲 x乙 ，甲乙中位数不相等且 s2乙 s2甲 .4. 【唐山市 2011—2012 学年度高三年级模拟考试】 已知双曲线的渐近线为 y 3x ，焦点坐标为（-4，0）（4，0） ， ，则双曲线方程为（ ）A．x2 y 2 1 8 24B．x2 y 2 1 12 4C．x2 y 2 1 24 8D．x2 y 2 1 4 122 5. 【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】 若存在实数 x [2, 4] 使 x 2 x 5 m 0 成立，则 m 的取值 范围为( A. (13, ) B. (5, )) C. (4, ) D. (,13)6. 【原创题】执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 16，则图中判断框内①处应填 (A)2 (B)3 (C )4 (D)527. 【北京市朝阳区 2012 届高三年级第二次综合练习】 如图，一个空 间几何体的正视图、 侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为 1，那么这个 几何体的表面积为 A．1 6B．3 2正视图 侧视图3 3 C． 2 4D．3 3 2 2俯视图【答案】D 【解析】由题意可知其几何体如图所示，其中 PB⊥面 ABC，故1 1 3 3 S ( 11) 3 ( 2) 2 sin 600 . 2 2 28. 【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一次模拟考试】 点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中 ABC 是正三角形，AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为 (A) 32 3 (B) 48 (C) 64 3 (D) 16 3 E O C A31 ODB9. 【 201 2-2013 学 年 江 西 省 南 昌 市 调 研 考 试 】 右 图 是 函 数y s i n x ) ( R 在区间 [ ( x ) 56 , 6] 上图像，为了得到这个函）数的图像，只要将 y sin x( x R) 的图像上所有点（ A.向左平移 1 个单位长度， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 3 2倍，纵坐标不变 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 3 1 C.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 6 2 D.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 6B.向左平移 【答案】A 【解析】使用排除法，分析 A 选项，将 y sin x（x R） 的图象上所有的点向左平移 单位长度，则（0，0）移动到 ( 3 个 3, 0) ；再把所得各点的横坐标缩短到原来的(3, 0) 变为 ( 61 倍，则点 2, 0) ，有图可知 A 选项正确。
(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷08 文
【步步高】（全国版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷08 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【改编题】若集合A ＝｛－1，0，1｝，B ＝｛y ｜y ＝cosx ，x ∈A ｝，则A ∩B ＝ A ．｛0｝ B ．｛1｝ C ．｛0，1｝ D ．｛－1，0，1｝3. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】i 是虚数单位，1233ii+等于 A.13412i + B.33i + C.33i - D. 13412i -3. 【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（ ） A 、305 B 、65C 、2D 、24. 【2013云南省第一次高中毕业生统一检测复习】抛物线22x y =的焦点坐标是 （A ）1(,0)2 （B ）1(0,)2（C ）(1,0) （D ）(0,1)5. 【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】若实数yx z x y x y x y x 230001,+=⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足的最小值是A ．0 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B【解析】可行域如图，可知B(0,1),O(0,0),由1=011(),=022x y A x y -+⎧-⎨+⎩，，显然当目标函数2z x y '=+过点O 是取得最小值为0，故23x y z +=的最小值为1.6. 【原创题】右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列)(162*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n n 中的项，则所得y 值的最小值为A.16B.8C.4D.32 【答案】16 【解析】2*1616,8(48,n n N n n x n n+∈=+≥==≥当时，“”成立），即由程序框图可知，当x=8是运行=2y x ，故此时y 值的最小值为16.7. 【广东省珠海市2013届高三9月摸底一模考试】如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108 C ．72 D ．180 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个有正四棱柱和上面的一个正四棱锥，其体积为1662+663=108.3⨯⨯⨯⨯⨯ 8. .【2013年河南省开封市高考数学一模试卷】已知直线ax ﹣by ﹣2=0与曲线y=x 3在点P （1，1）处的切线互相垂xyBA O-1x-y+1=0x+y=0x+2y=0直，则为（ ） A ．B ．C ．D ．9. 【山东省日照市2012届高三下学期5月份模拟训练】要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（A ）沿x 轴向左平移8π个单位 （B ）沿x 向右平移8π个单位 （C ）沿x 轴向左平移4π个单位 （D ）沿x 向右平移4π个单位10. 【山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试】F 1、F 2为双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（ ） A212 B 213 C 193 D 19211. 【原创题】如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CDBD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为A. π23B. π3C. π32D. π212. 【2013年临沂市高三教学质量检测考试】已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是(A) (0,)+∞ (B) 1(0,]2 (C) 1(0,]4 (D) 11[,]43【答案】CDCBA 'D CB A第11题【解析】由)()1(x f x f -=+得，)()2(x f x f =+，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数，又因为函数)(x f 为偶函数，有)()()1(x f x f x f -=--=+-，所以有)1()1(+=+-x f x f ，所以函数)(x f 关于1=x 对称，令0)1()()(=+-=x k x f x g ，得函数)1()(+=x k x f ，令函数)1(+=x k y ，做出函数)(x f 和函数)1(+=x k y 的图象，如图：当直线)1(+=x k y 必须过点)1,3(C 时有4个交点，此时直线)1(+=x k y 的斜率为41)1(301=---=k ，要使函数)1()()(+-=x k x f x g 有四个零点，则直线的斜率410≤<k ，选C.第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
2013届数学新课标高考一轮复习同步训练第1讲《集合及其运算》苏教版必修1
课时作业(一) [第1讲 集合及其运算][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．用列举法表示不等式组⎩⎨⎧x ＋1≥0，x ＞2x －1的整数解的集合为________．2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩B ＝________. 3．[2010·福建卷] 已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3，2m －1}，若A ⊆B ，则实数m 的值为________．4．集合A ＝{y ∈R |y ＝2x }，B ＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是________． ①A ∩B ＝{0,1}； ②A ∪B ＝(0，＋∞)； ③(∁R A )∪B ＝(－∞，0)； ④(∁R A )∩B ＝{－1,0}． 能力提升 5．[2011·南通一模] 若集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |1≤2x ≤4}，则M ∩N ＝________. 6．若∅x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________． 7．[2011·课标全国卷] 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有________个．8．[2011·苏北四市一调] 已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝________.9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．10．[2011·南京三模] 如图K1－1，已知集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}________．11．[2011·南通二模] 设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R }和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________.12．定义A B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫z ⎪⎪z ＝xy ＋x y ，x ∈A ，y ∈B .设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A B C 的所有元素之和为________．13．(8分)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．14．(8分)[2011·扬州调研] 已知集合A ＝{x |(x －2)·(x －3a －1)<0}，函数y ＝lg 2a －x x －(a 2＋1)的定义域为集合B . (1)若a ＝2，求集合B ；(2)若A ＝B ，求实数a 的值．15．(12分)已知集合A ＝⎪⎪(x ，y )y －3x －2＝1，x ∈R ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋2，x∈R ，y ∈R }．(1)若a ＝3，求A ∩B 的子集个数； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的值．16．(12分)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f (f (…f (x )…))n 个f，已知f (x )＝⎩⎨⎧2(1－x )(0≤x ≤1)，x －1(1<x ≤2).(1)解不等式f (x )≤x ；(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ；(3)探求f 2012⎝⎛⎭⎫89；(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含8个元素．课时作业(一)【基础热身】1．{－1,0} [解析] 由不等式组可得－1≤x<1，故整数解为－1,0.2．{x|1<x<3} [解析] ∵A ＝{x|x 2－2x －3<0}＝{x|－1<x<3}，∴A ∩B ＝{x|1<x<3}． 3．1 [解析] 根据题意，得m 2＝2m －1，解得m ＝1，经验证符合题意，所以m ＝1. 4．④ [解析] ∵A ＝{y ∈R |y ＝2x }＝{y |y >0}， ∴∁R A ＝{y |y ≤0}，∴(∁R A )∩B ＝{－1,0}． 【能力提升】5．{1} [解析] 因为N ＝{x |1≤2x ≤4}＝{x |0≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{1}． 6．a ≥0 [解析] 由题意知，x 2≤a 有解，故a ≥0.7．4 [解析] 因为M ＝{}0，1，2，3，4，N ＝{}1，3，5， 所以P ＝M ∩N ＝{}1，3，所以集合P 的子集共有∅，{}1，{}3，{}1，34个． 8．{x |1≤x ≤2} [解析] 因为∁R B ＝{x |x ≥1}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |1≤x ≤2}．9．12由图可得所求人数为15－(15＋10．{2,8} [解析] 该阴影表示的元素为属于集合A ∩C 但不属于集合B 的元素．11．{(2,0)} [解析] 由方程组⎩⎨⎧ 2＝1＋n ，m ＝1－n ，得⎩⎨⎧n ＝1，m ＝0，从而M ∩N ＝{(2,0)}．12．18 [解析] 由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.13．[解答] 由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得 A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A . ②若B ≠∅，则⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎨⎧m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎨⎧m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．14．[解答] (1)当a ＝2时，lg 2a －x x －(a 2＋1)＝lg 4－xx －5.由4－x x －5>0，得4<x <5， 故集合B ＝{x |4<x <5}．(2)由题可知，B ＝{x |2a <x <a 2＋1}，①若2<3a ＋1，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，又因为A ＝B ，所以⎩⎨⎧2a ＝2，a 2＋1＝3a ＋1，无解；②若2＝3a ＋1时，显然不合题意；③若2>3a ＋1，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，又因为A ＝B ，所以⎩⎨⎧2a ＝3a ＋1，a 2＋1＝2，解得a ＝－1.综上所述，a ＝－1.15．[解答] (1)若a ＝3，则B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋2，x ∈R ，y ∈R }．由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －2＝1，y ＝3x ＋2， 解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12，即A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，12，故子集个数为2.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －2＝1，y ＝ax ＋2， 得(1－a )x ＝1. 当a ＝1时，方程组无解；当a ≠1时，x ＝11－a ，若11－a＝2，即a ＝12，此时x ＝2为增根，所以方程组也无解．从而当a ＝1或a ＝12时，A ∩B ＝∅.16．[解答] (1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得x ≥23，∴23≤x ≤1. ②当1<x ≤2时，因x －1<x 恒成立，∴1<x ≤2.由①②得f (x )≤x 的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪23≤x ≤2. (2)∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1，∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0； 当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1； 当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2.即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x .(3)f 1⎝⎛⎭⎫89＝2⎝⎛⎭⎫1－89＝29，f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 1⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫29＝149， f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫149 ＝149－1＝59，f 4⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫59＝2⎝⎛⎭⎫1－59＝89， 一般地，f 4k ＋r ⎝⎛⎭⎫89＝f r ⎝⎛⎭⎫89(k ，r ∈N )．∴f 2012⎝⎛⎭⎫89＝f 4⎝⎛⎭⎫89＝89.(4)∵f ⎝⎛⎭⎫23＝23，∴f n ⎝⎛⎭⎫23＝23，则f 12⎝⎛⎭⎫23＝23，∴23∈B .由(2)知，对x ＝0或1或2，恒有f 3(x )＝x ， ∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ， 则0,1,2∈B .由(3)知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ， ∴89，29，149，59∈B .综上所述，23，0,1,2，89，29，149，59∈B . ∴B 中至少含有8个元素．。
(江西版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷03 理 (教师版)
【步步高】（江西版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷03 理（教师版）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【山西省2012年高考考前适应性训练考试】已知集合}1|||{<=x x A ，}0|{2>=x x B ，则=B A （ ） A ．}01|{<<-x x B ．}10|{<<x x C ．,11|{<<-x x 且}0≠x D ．}11|{<<-x x2. 【江西省2013届十所重点中学第一次联考】已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ） A ．17 B ．1- C ．1 D ．73. 【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】 设5log 4a =,25(log 3)b =,4log 5c =，则A. a<c<bB. b<c<aC. a<b<cD. b a c <<4. 【改编题】若α∈(0,)2π，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B. 33C. 2 D . 3 5. 【山西省2012年高考考前适应性训练考试】下列四个命题中的假命题．．．为（ ） A ．R ∈∀x ，1e +≥x x B ．R ∈∀x ，1e +-≥-x x C ．00>∃x ，1ln 00->x x D ．00>∃x ，11ln00+->x x 6. 【2013年长春市高中毕业班第一次调研测试】在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n =A. 11B. 12C. 14D. 167. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中2012届高三4月联考】已知从点(2,1)-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：222210x y x y +--+=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）A ．0123=--y xB ．0123=+-y xC ．0132=+-y xD ．0132=--y x8. 【山东省济南市2013届第一次模拟考试】已知实数,x y 满足2122x y x y ++≤++，且11y -≤≤，则2z x y =+的最大值A. 6B. 5C. 4D. -39.【原创改编题】甲、乙两人在奥运会射箭预选赛的一次射击中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10. 【山西省2012年高考考前适应性训练考试】已知定义在R 上的函数)(x f 满足：⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+，252)(++=x x x g ，则方程)()(x g x f =在区间[-8，3]上的所有实根之和为（ ）． A.11 B. -11 C. 12 D. -12第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷09 文
阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根【步步高】（全国版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷09 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【2013江西省赣州三中、于都中学高三联合考试】A a x a x x A ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ）A ),1[)1,(+∞⋃--∞B [-1,1]C ),1[]1,(+∞⋃--∞D (-1,1]2. 【江西师大附中、临川一中2013届高三12月联考试卷】如果mi i +=-112（R m ∈，i 表示虚数单位），那么=m ( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．03. 【改编题】下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程x y53ˆ-=，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程a x b yˆˆˆ+=必过()y x ,； ④在一个22⨯列联表中，由计算得K 2=13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是A.0B.1C.2D.3本题可以参考独立性检验临界值表 ()kK P ≥2 0.50.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.25 0.10 0.005 0.001 k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.8284. 【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若∣BC ∣=2∣BF ∣，且∣AF ∣=3，则此抛物线方程为A ．x y 92= B. x y 62= C. x y 32= D. x y 32=【答案】C【解析】2,30BC BF BCD =∴∠=由抛物线的定义可知， 3, 6.13,22AE AF AC F AC p FD EA ==∴=∴===即为的中点，故抛物线方程为x y 32=。
(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷10 文
【步步高】（全国版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷10 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】设全集{}N x x x x Q ∈≤-=,052|2，且Q P ⊆，则满足条件的集合P 的个数是 A.3 B.4 C.7 D.82. 【2012宁夏石嘴山市第二次联考数学试题】若复数12ω=+（i 为虚数单位），则1ω-等于（ ）A. 2ωB. 2ω-C.ω-D.1ω-【答案】A【解析】因为111122ω-=-=-，2211()22ω==-+， 所以21ωω-=，故选择A 。
3. 【山东省青岛市2013年高三统一质量检测】某个小区住户共200户,为调查小区居民的7月份用水量,用分层抽样的方法抽取了50户进行调查,得到本月的用水量(单位:m 3)的频率分布直方图如图所示,则小区内用水量超过15m 3的住户的户数为A.10B.50C.60D.140 【答案】C【解析】以50为样本容量可计算出超过315m 用水量的户数为()50.050.015015,⨯+⨯=所以可估算200户居民超过315m 用水量的户数60.4. 【北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）】若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为( )（A）2 （B（C2或2 （D25. 【河南省豫北六校2012届高三年级第三次精英联考】实数x ，y 满足不等式组1,10,10,x y y W x x y ≥⎧-⎪≥=⎨+⎪-≥⎩则的取值范围是A ．[一12，1） B ．[一1，1） C ．（一1,1）D ．1[,1]2-6. 【云南省昆明市2013届高三摸底调研测试】某班有24名男生和26名女生，数据1250,,,a a a 是该班50名学生在一次数学学业水平模 拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩 的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W ； 为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数， 女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图里空白的 判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的A ．0?T >，50M W A +=B ．0?T <，50M WA +=C ．0?T <，50M WA -=D ．0?T >，50M WA -=【答案】D【解析】因男生平均分为M ，女生平均分为W ，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，故空白的判断框应区分正负，根据是男生的成绩，故应为0?T >因全班成绩的平均数A ，且W 为负值，故50M WA -=，综上答案为D.7. 【北京市西城区2012届高三下学期二模】一个几何体的三视图如图所 示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是（ ）；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）． A19，3π；B 13，3π；C 13，6π；D 19，6π；8. 【山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试】 函数x xy cos 1⋅=在坐标原点附近的图象可能是【答案】A【解析】函数为奇函数，所以B 不正确，，定义域中没有0≠x ，所以D 不正确，当20π<<x 时，函数值为正，所以C 不正确，答案选A.9. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中2012届高三4月联考】函数()()ϕω+=x A x f sin （其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()x x g 2sin =的图象，则只需将()x f 的图象( )A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位10. 【江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考】设抛物线2:2(0)M y px p =>的焦点F 是双曲线2222:1(0,0)x y N a b a b-=>>右焦点. 若M 与N 的公共弦AB 恰好过F ，则双曲线N 的离心率e 的值为（ ）B.1 C. 3 D. 211. 【改编题】函数()(a x y a 13log -+=＞0，且)1≠a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx 上（其中m ，n ＞0），则nm 21+的最小值等于 A.16B.12C.9D. 812. 【原创题】在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若 1512mS S n n ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 A.3 B.4 C. 5 D.6第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
2013高三数学总复习同步练习：1-2 命题、量词、逻辑联结词
1-2 命题、量词、逻辑联结词基础巩固强化1.(2011·河南质量调研)下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x 0∈Z,1<4x 0<3B ．∃x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0[答案] D[解析] ∵1<4x 0<3，∴14<x 0<34，这样的整数x 0不存在，故A 错误；∵5x 0＋1＝0，∴x 0＝－15∉Z ，故B 错误；∵x 2－1＝0，∴x ＝±1，故C 错误；对任意实数x ，都有x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74>0，故选D. 2．(文)(2011·广东汕头一模)命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是( )A ．∃x >0，使得x 2－x ≤0B ．∃x >0，使得x 2－x >0C ．∀x >0，都有x 2－x >0D ．∀x ≤0，都有x 2－x >0[答案] B(理)(2011·湖南湘西州联考)命题“∃x ∈R,2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题B ．∀x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题C ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，假命题D ．∃x ∈R,2x ＋x 2>1，真命题[答案] A[解析] 因为x ＝0时，20＋02＝1，所以“∀x ∈R,2x ＋x 2>1”是假命题．3．(2012·东北三校联考)已知命题p ：对于x ∈R ，恒有2x ＋2－x ≥2成立；命题q ：奇函数f (x )的图象必过原点，则下列结论正确的是( )A ．p ∧q 为真B ．(綈p )∨q 为真C ．p ∧(綈q )为真D ．(綈p )∧q 为真[答案] C[分析] 先判断命题p 、q 的真假，再按照或、且、非的定义及真值表做出判断．[解析] ∵x ∈R ，∴2x >0,2－x >0，∴2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，∴p为真命题；q 为假命题(如y ＝1x为奇函数，但其图象不过原点)，∴p ∧q 为假，(綈p )∨q 为假，p ∧(綈q )为真，(綈p )∧q 为假，故选C.4．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数[答案] C[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．5．(2012·安阳模拟)已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2 [答案] A[解析] 由p ∨q 为假命题可知p 和q 都是假命题，即非p 是真命题，所以m >－1；再由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为假命题知m ≥2或m ≤－2，∴m ≥2，故选A.6．(2011·广东省东莞市一模)已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈(0，π2)，cos x <1，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )[答案] C[解析] 在x ∈(－∞，0)上，y ＝2x 的图象恒在y ＝3x 的上方，所以不存在这样的x 使得2x <3x 成立，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选C.7．(2011·南京一调)设p ：函数f (x )＝2|x －a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1.如果“非p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (4，＋∞)[解析] ∵“非p ”为真命题，∴p 为假命题，又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．若a >1，由log a 2<1知a >2，又f (x )＝2|x －a |在(a ，＋∞)上单调递增，且p 为假命题，∴a >4，因此得，a >4；若0<a <1，则p 、q 都是真命题，不合题意．综上，a 的取值范围是(4，＋∞)．8．(2012·洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题：①y ＝1是幂函数；②函数f (x )＝2x －log 2x 的零点有1个；③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)；④“x <1”是“x <2”的充分不必要条件；⑤函数y ＝x 3是在O (0,0)处的切线是x 轴．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案] ④⑤[解析] y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象，由两图象没有交点知函数f (x )＝2x －log 2x 没有零点，②错误；x ＝1是不等式x －1(x －2)≥0的解，③错误；x <1⇒x <2，而x <2⇒/ x <1，④正确；y ′＝(x 3)′＝3x 2，∴切线的斜率k ＝0，过原点的切线方程为y ＝0，⑤正确．9．(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案] ①③[解析] ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.10．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵“p 且q ”是真命题，∴p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，∵x ∈[1,2]时，a ≤x 2恒成立，∴a ≤1.若q 为真命题，即x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≥1或a ≤－2，综上知所求实数a 的取值范围是a ≤－2或a ＝1.能力拓展提升11.(2012·合肥第一次质检)下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[答案] A[解析] 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要log 2x >0，∴x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b ，又c <0，可得c a >c b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④错误．所以选A.12．(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( )A ．若向量a 、b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若a <b ，则1a >1bC ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立 [答案] D[解析] 对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0；对于B ，当a ＝0，b ＝1时，该命题就不成立；对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．13．(2012·南昌市一模)已知a 、b 、c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是正确的，如果把a 、b 、c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有________个．[答案] 3[解析] a 、b 、c 换成平面α、β、γ，则“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题；a 、b 换成平面α、β，则“α∥β且c ⊥α⇒c ⊥β”是真命题； b 、c 换成平面β、γ，则“a ∥β且a ⊥γ⇒β⊥γ”是真命题； a 、c 换成平面α、γ，则“b ∥α且α⊥γ⇒b ⊥γ”是假命题．14．(文)(2012·南通市调研)已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)是奇函数，p 2：函数y ＝x 12为偶函数，则在下列四个命题： ①p 1∨p 2；②p 1∧p 2；③(綈p 1)∨p 2；④p 1∧(綈p 2)中，真命题的序号是________．[答案] ①④[解析] ∵ln(－x ＋1＋x 2)＝ln 11＋x 2＋x ＝－ln(x ＋1＋x 2)，∴p 1是真命题，又函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，∴p 2为假命题，∴綈p 1假，綈p 2真，∴p 1∨p 2真，p 1∧p 2假，(綈p 1)∨p 2假，p 1∧(綈p 2)真．(理)方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题： ①曲线C 不可能为圆；②若1<t <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52. 其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)．[答案] ③④[解析] 显然当t ＝52时，曲线方程为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线，而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故选项为③④.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．(1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析] (1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)．∴OA →·OB→＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －3)，得ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6. 又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB→＝3”是真命题．(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB→＝3，那么直线过点T (3,0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，此时OA →·OB →＝3， 直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．16．已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，∴a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,2]上恒成立， 令g (x )＝2x－x ，则g (x )在[1,2]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝1，∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数， ∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0，∴－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1.综上知，若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.1．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：∃x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin yp 3：∀x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中假命题的是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4[答案] A[解析] ∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故p 1为假命题． ∵∀x ∈[0，π]，sin x ≥0， ∴1－cos2x 2＝|sin x |＝sin x ，∴p 3真，故选A. 2．(2013·江西吉安一中上学期期中考试)下列命题中，不是真命题的为( )A ．“若b 2－4ac >0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根”的逆否命题B ．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C ．“x 2＝9则x ＝3”的否命题D ．“对顶角相等”的逆命题[答案] D[解析] A 中原命题为真命题，故逆否命题为真；B 中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C 中否命题为“若x 2≠9，则x ≠3”显然为真命题；D 中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”显然为假，故选D.3．命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由条件知甲：(21－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·2x 2， ∴2(1－x )＝－x ＋x 2，解得x ＝1或－2；命题乙：2lg(x ＋1)＝lg x ＋lg(x ＋3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2＝x (x ＋3)x ＋1>0x >0x ＋3>0，∴x ＝1，∴甲是乙的必要不充分条件．4．(2011·广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.5．(2012·吉林延吉市一模)若非空集合A 、B 满足A ⊆B ，则( )A ．∃x 0∈A ，使得x 0∉BB ．∀x ∈A ，有x ∈BC ．∃x 0∈B ，使得x 0∉AD ．∀x ∈B ，有x ∈A[答案] B[解析] 由子集的定义知，若A ⊆B ，则对任意x ∈A ，有x ∈B ，故选B.6．(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则綈p 为( ) A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] 特称命题的否定为全称命题，排除C 、D ；“＝”的否定为“≠”，排除A ，故选B.7．(2011·泰安模拟)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－4]∪[－2，12] [解析] 若p 真，则∀x ∈[1,2]，(12x 2－ln x )min ≥a ， ∵y ＝12x 2－ln x 的导数y ′＝x －1x≥0在[1,2]上恒成立，∴当x ＝1时，y min ＝12，∴a ≤12； 若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)(a ＋4)≥0， ∴a ≤－4或a ≥－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12]．。
2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)
2013年高考数学第一轮复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(V enn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a ＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2011年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2012年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即A B，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2011年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2012年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}， 得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值． 解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章 函数第一节 对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32， 求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________． 解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节 函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12]时，g (x )为减函数． 解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b ＝(－b )2－4b b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节 函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章 指数函数和对数函数第一节 指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________． 解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]。
2013版高考数学二轮复习专题训练：集合与逻辑 .doc
2013版高考数学二轮复习专题训练：集合与逻辑本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{|0},{||2,},A x x B y y y Z =≥=≤∈则下列结论正确的是( )A ．AB φ=I B ．()(,0)RC A B =-∞UC ．[0,)A B =-∞UD ．(){2,1}R C A B =--I 【答案】D2．若集合},,{c b a M =中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】A3．集合{1，2，3}的真子集共有( ) A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 【答案】C4．设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真 【答案】C5．若10≠>a a 且，则“0log <b a ”是“0)1)(1(<--b a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A6．下列命题中，为真命题的是( )A ．若sin α=sin β,则α=βB ．命题“若x ≠1,则x 2+x-2≠0”的逆否命题C ．命题“x>1,则x 2>1”的否命题D ．命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题【答案】D7．条件甲：“1>a ”是条件乙：“a a >”的( ) A ．既不充分也不必要条件B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 【答案】D8．设集合{}{}222),(,1),(x y y x N y x y x M===+=则集合N M ⋂的子集个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D9．下列选项叙述错误的是( ) A ．命题“若x ≠l ，则x 2－3x 十2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x 十2＝0，则x ＝1”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x 十1#0，则⌝p ：x ∃∈R ，x 2＋x 十1＝0D ．“x ＞2”是“x 2一3x ＋2＞0’，的充分不必要条件【答案】B10．设命题p 和q ，在下列结论中，正确的是( ) ①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 【答案】B11．命题“,x x e x ∃∈>R ”的否定是( )A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<R C ．,x x e x ∀∈≤R D ．,x x e x ∃∈≤R 【答案】C12．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列命题：①命题“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件；②“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分必要条件；③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；④在ABC ∆中，“︒=∠60B ”是C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列的充要条件； ⑤ABC ∆中,若sin cos A B =,则ABC ∆为直角三角形.判断错误．．的有____________. 【答案】②⑤14．已知集合A 满足：若M aa A a ∈-+∈11,则，当2=a 时，集合=A __________。
【走向高考】高三数学一轮复习 1-1同步练习 北师大版
第1章 第1节一、选择题1．(2010·广东文)若集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,4}，则集合A ∪B ＝( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0}[答案] A[解析] 由集合的元素的互异性及集合的关系可知A 正确．2．(2010·湖北理)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] A[解析] 结合椭圆x 24＋y 216＝1的图像及y ＝3x的图像可知，共有两个交点，故A ∩B 子集的个数为4.3．(文)已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|>2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．[－1,4)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(－1,4)[答案] C[解析] 解法1：A ＝{x |x >3或x <－1}，B ＝{x |2<x <4}，∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}，∴(∁U A )∩B ＝(2,3]，故选C.解法2：验证排除法，取x ＝0，x ∉B ，故排除A 、D.取x ＝3,3∉A,3∈B .∴3∈(∁U A )∩B .排除B.(理)已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |x <1}D ．∅[答案] B[解析] M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．4．已知M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |x 2＋y 2＝2}，则M ∩N ＝( ) A ．{(1,1)，(－1,1)}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0，2][答案] D[解析] ∵M ＝[0，＋∞)，N ＝[－2，2]，∴M ∩N ＝[0，2]，故选D. [点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集．5．(文)(2010·湖北文)设集合M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是2的倍数}，则M ∩N ＝( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8}D ．{1,2,4,8}[答案] C[解析] 本题主要考查集合知识．由题易知N ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，又M ＝{1,2,4,8} ∴M ∩N ＝{2,4,8}．(理)(2010·安徽理)若集合A ＝，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ [答案] A[解析] log 12x ≥12，∴0<x ≤22，∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A. 6．P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )A ．{1，－2}B ．{(－13，－23)}C ．{(1，－2)}D ．{(－23，－13)}[答案] B[解析] α＝(m －1,2m ＋1)，β＝(2n ＋1,3n －2)，令α＝β得，⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝2n ＋12m ＋1＝3n －2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝－7∴P ∩Q ＝{(－13，－23)}．7．若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B ＝B ∩C ，则一定有( ) A ．A ⊆CB ．C ⊆AC ．A ≠CD ．A ＝∅[答案] A[解析] 考查集合的基本概念及运算． ∵B ∩C ⊆B ⊆A ∪B ，A ∪B ＝B ∩C ⊆B ，∴A ∪B ＝B ，B ∩C ＝B ，∴A ⊆B ，B ⊆C ，∴A ⊆C ，选A.8．(2011·济南高三期中)设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．－3<a <－1B ．－3≤a ≤－1C ．a ≤－3或a ≥－1D ．a <－3或a >－1[答案] A[解析] S ＝{x |x >5或x <－1}，∵S ∪T ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5，∴－3<a <－1，故选A.二、填空题9．A ＝{(x ，y )|x 2＝y 2}，B ＝{(x ，y )|x ＝y 2}，则A ∩B ＝______. [答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析] A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y2x ＝y 2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． 10．已知集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] (2,3)[解析] B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵A 中|x －a |≤1，∴a －1≤x ≤1＋a . ∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.11．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}．定义集合A 、B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则集合A *B 中最大的元素是________；集合A *B 的所有子集的个数为________．[答案] 5,16[解析] 本题考查考生的综合应用能力．由定义知：A *B ＝{2,3,4,5}，则其中最大元素为5，所有子集个数为24＝16.三、解答题12．(2011·梅州模拟)设A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a }，已知A ∩B ＝{9}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A .(1)若2a －1＝9，则a ＝5，此时A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}，A ∩B ＝{9，－4}，与已知矛盾，舍去．(2)若a 2＝9，则a ＝±3.当a ＝3时，A ＝{－4,5,9}，B ＝{－2,2,9}，B 中有两个元素均为－2，与集合元素的互异性相矛盾，应舍去；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a ＝－3.13．已知集合A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ＝{x |x 2＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．[分析] 由A ∪B ＝B 或A ∩B ＝A ，可以得出A ⊆B ，而A ⊆B 中含有特例，A ＝∅，应注意．[解析] 由x 2＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ， (1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，得a ＜－1. (2)若A ≠∅，则0∈A 或－4∈A当0∈A 时，得a ＝±1；当－4∈A ，得a ＝1或a ＝7；但当a ＝7时A ＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a 的取值范围是：a ≤－1或a ＝1.14．(2011·广东联考)设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集是B ，求a ，b 的值． [解析] A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x |－3<x <1}， (1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)∵2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}， ∴－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎨⎧－a2＝－3＋1，b2＝－3×1，∴a ＝4，b ＝－6.15．集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |qx 2＋px ＋1＝0}，同时满足：①A ∩B ≠∅；②－2∈A (p ，q ≠0)．求p ，q 的值．[分析] 两个集合有公共元素，可联立方程求解，注意到系数关系，问题可有多种解法． [解析] 解法1：∵A ∩B ≠∅∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋px ＋q ＝0qx 2＋px ＋1＝0有解．两式相减得：(q －1)x 2＝q －1.当q ＝1时，方程有解．∵－2∈A ，∴根据韦达定理知方程另一根为－12.∴－p ＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52，p ＝52. 这时A ＝B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，符合题意．∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52q ＝1当q ≠1时，x 2＝1，x ＝±1又∵－2∈A ，∴A ＝{1，－2}或{－1，－2}，根据韦达定理：⎩⎪⎨⎪⎧1＋－＝－p －＝q或⎩⎪⎨⎪⎧－1＋－＝－p －－＝q∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2. 综上：p ，q 的值为⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2解法2：设x 0∈A ，则有x 02＋px 0＋q ＝0，两端同除以x 02，得1＋p 1x 0＋q 1x 02＝0，则知1x 0∈B .∴集合A ，B 中元素互为倒数． 由A ∩B ≠∅，一定有x 0∈A ， 使得1x 0∈B 且x 0＝1x 0，x 0＝±1.又∵－2∈A ，∴A ＝{1，－2}或{－1，－2}，由此得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－12或⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12.根据韦达定理：⎩⎪⎨⎪⎧1＋－＝－p －＝q或⎩⎪⎨⎪⎧－1＋－＝－p －－＝q，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2.另－2∈A ，A ∩B ≠∅，可能出现－2∈B ，则－12∈A .此时－2，－12为A 的两个元素，易知⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52，q ＝1此时A ＝B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，故⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝52q ＝1.。
2013届高三数学(文)一轮复习同步1.1集合(广东专用版)
课时知能训练一、选择题1．若全集U ＝{－1,0,1,2}，P ＝{x ∈Z|x 2<2}，则∁U P ＝( )A ．{2}B ．{0,2}C ．{－1,2}D ．{－1,0,2}2．已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是图中的( )3．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，P ＝{y |y ＝1x ，x ＞2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞)4．(2011·湖南高考)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．(2012·清远模拟)已知集合M ＝{x |x ≤1}，P ＝{x |x ＞t }，若∅M ∩P )，则实数t 应满足的条件是( )A ．t ＞1B ．t ≥1C ．t ＜1D ．t ≤1二、填空题6．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________.7．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.8．已知集合A 中有10个元素，集合B 中有6个元素，全集U 中有18个元素，A ∩B ≠∅，设集合∁U (A ∪B )中有x 个元素，则x 的取值范围是________．三、解答题9．已知全集S＝{1,3，x3－x2－2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果∁S A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由．10．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求实数m的值．11．(2012·潮州模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．答案及解析1．【解析】依题意得集合P＝{－1,0,1}，故∁U P＝{2}，选A.【答案】 A2．【解析】∵M＝{－1,0,1}，N＝{－1,0}，∴N M U.【答案】 B3．【解析】U＝{y|y＝log2x，x＞1}＝(0，＋∞)，由y＝1x，x＞2，知P＝(0，12)．∴∁U P＝[12，＋∞)．【答案】 A4．【解析】当a＝1时，N＝{1}，∴N⊆M；当N⊆M时，a2＝1或a2＝2D/⇒a＝1，∴“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．【答案】 A5．【解析】依题设知：M∩P为非空集合，∴t＜1.【答案】 C6．【解析】∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2.∴a＝1.∴b＝2.∴A＝{5,2}，B＝{1,2}．∴A∪B＝{1,2,5}．【答案】{1,2,5}7．【解析】∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{0,3}．因此方程x2＋mx＝0的两根为0和3，∴m＝－3.【答案】－38．【解析】由题意知A∩B中元素最多有6个，最少有1个，当A∩B中有6个元素时，∁U(A∪B)中有8个元素；当A∩B中有1个元素时，∁U(A∪B)中有3个元素，∴3≤x≤8且x∈N.【答案】{x|3≤x≤8，x∈N}9．【解】∵∁S A＝{0}，∴0∈S且0∉A，因此x3－x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，x3＝2，当x＝0时，|2x－1|＝1，为A中元素，与互异性矛盾；当x＝－1时，|2x－1|＝3∈S；当x ＝2时，|2x －1|＝3∈S ；∴这样的实数x 存在，是x ＝－1或x ＝2.10．【解】 A ＝{x |－1＜x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1＜x ＜3}， 则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1＜x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8， 此时B ＝{x |－2＜x ＜4}，符合题意．11．【解】 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}， ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3. 因此实数m 的取值范围是m ＞5或m ＜－3.。
【走向高考】高三数学一轮总复习 1-1集合的概念及其运算同步练习 北师大版
1-11-1集合的概念及其运算基础巩固一、选择题1．(文)(·四川文，1)设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝( )A．{b} B．{b，c，d}C．{a，c，d} D．{a，b，c，d}[答案] D[解析]本题考查了集合的并集运算，∵A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，∴A∪B＝{a，b，c，d}，属容易题．(理)(·陕西理，1)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝( )A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2][答案] C[解析]本题考查了对数不等式、一元二次不等式的解法与集合的运算．M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，M∩N＝{x|1<x≤2}，故选C.2．(文)(·浙江文，1)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝( ) A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}[答案] D[解析]本题考查了集合的交、补运算，由已知得P∩(∁U Q)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．(理)(·浙江理，1)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝( )A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)[答案] B[解析]本题考查了集合的运算．x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．3．(文)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则(∁U A)∩B等于( )A．[－1,4) B．(2,3)C．(2,3] D．(－1,4)[答案] C[解析]解法1：A＝{x|x>3或x<－1}，B＝{x|2<x<4}，∁U A＝{x|－1≤x≤3}，∴(∁U A)∩B＝(2,3]，故选C.解法2：验证排除法，取x＝0，x∉B，故排除A、D.取x＝3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁U A)∩B.排除B.(理)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( ) A．{x|x>－1} B．{x|－1<x<1}C．{x|x<1} D．∅[答案] B[解析]M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，∴M∩N＝{x|－1<x<1}．4．已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝( )A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，2][答案] D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－2，2]，∴M∩N＝[0，2]，故选D.[点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集．5．(文)(·安徽文，2)设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )A．(1,2) B．[1,2]C．[1,2) D．(1,2][答案] D[解析]本题考查了不等式解法，函数定义域求法，集合中的交集运算．由－3≤2x－1≤3知，－1≤x≤2，要使函数y＝lg(x－1)有意义，须x－1>0，即x>1，∴集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}．(理)若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有( )A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅[答案] A[解析]考查集合的基本概念及运算．∵B∩C⊆B⊆A∪B，A∪B＝B∩C⊆B，∴A∪B＝B，B∩C＝B，∴A⊆B，B⊆C，∴A⊆C，选A.6．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞)[答案] A[解析] 本题考查函数值域求解及补集运算． ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)．二、填空题7．若集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则A ∩Z 中有________个元素． [答案] 6[解析] 由(x －1)2<3x ＋7得x 2－5x －6<0，∴A ＝(－1,6)，因此A ∩Z ＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．8．(·九江模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________． [答案] 4[解析] 本小题主要考查了集合的并集运算． ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16a ＝4，∴a ＝4.三、解答题9．已知集合A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，B ＝{x |x 2＋4x ＝0}，若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围． [分析] 由A ∪B ＝B ，可以得出A ⊆B ， 而A ⊆B 中含有特例A ＝∅，应注意．[解析] 由x 2＋4x ＝0得：B ＝{0，－4}，由于A ∪B ＝B ， (1)若A ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，得a ＜－1. (2)若A ≠∅，则0∈A 或－4∈A ，当0∈A 时，得a ＝±1；当－4∈A ，得a ＝1或a ＝7； 但当a ＝7时A ＝{－4，－12}，此时不合题意． 故由(1)(2)得实数a 的取值范围是：a ≤－1或a ＝1. 能 力 提 升一、选择题1．(文)(·辽宁文，2)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}[答案] B[解析] 本题考查了集合的补集、交集运算． 由已知可得∁U A ＝{2,4,6,7,9}，∁U B ＝{0,1,3,7,9}， ∴(∁U A )∩(∁U B )＝{7,9}．(理)(·全国大纲理，2)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3[答案] B[解析] 本小题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合间的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论思想．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又A ＝{1,3m }，B ＝{1，m }，m ∈A ，即有m ＝3或m ＝m ，∴m ＝0，m ＝3，m ＝1(舍)，故选B.2．(文)设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 与B 的运算：A *B ＝{x |x ∈A 或x ∈B ，且x ∉(A ∩B )}，则(A *B )*A 等于( )A ．AB ．BC ．(∁U A )∩BD ．A ∩(∁U B )[分析] 本题考查集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A *B 所表示的部分，再画出(A *B )*A 表示的部分．[答案] B[解析] 画一个一般情况的韦恩图，如图所示，由题目的规定，可知(A *B )*A 表示集合B .(理)(·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P ＝{正奇数}和集合M ＝{x |x ＝a ⊕b ，a ∈P ，b ∈P }，若M ⊆P ，则M 中的运算“⊕”是( )A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法[答案] C[解析] 因为M ⊆P ，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M 中的运算⊕为通常的乘法运算，选C. 二、填空题3．(文)A ＝{(x ，y )|x 2＝y 2}，B ＝{(x ，y )|x ＝y 2}，则A ∩B ＝______. [答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析] A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y 2x ＝y 2＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． (理)已知集合A ＝{x ||x －a |≤1}，B ＝{x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________． [答案] (2,3)[解析] B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵A 中|x －a |≤1，∴a －1≤x ≤1＋a . ∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.4．(文)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x <1}，若A ∩∁U B ＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________. [答案] {2,4,6,8}[解析] A ∪B ＝{x ∈N ＋|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩∁U B ＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．(理)设全集U ＝R ，A ＝{x |x －1x ＋m>0}，∁U A ＝[－1，－n ]，则m 2＋n 2等于________．[答案] 2[解析] 由∁U A ＝[－1，－n ]，知A ＝(－∞，－1)∪(－n ，＋∞)，即不等式x －1x ＋m>0的解集为(－∞，－1)∪(－n ，＋∞)，所以－n ＝1，－m ＝－1，因此m ＝1，n ＝－1，故m 2＋n 2＝2. 三、解答题5．(文)设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba，1＝{a 2，a ＋b,0}，求a 2 014＋b 2 014的值．[解析] 由已知得a ≠0， ∴b a＝0，即b ＝0.又a ≠1，∴a 2＝1，∴a ＝－1. ∴a2 014＋b2 014＝(－1)2 014＝1.(理)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .[解析] (1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈A 且9∈B ， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3， 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ， 由(1)知a ＝5或a ＝－3当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意． 综上知a ＝－3.6．(文)(·郑州模拟)设集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集是B ，求a ，b 的值． [解析] A ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<4x ＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋3<0＝{x |－3<x <1}， (1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}．(2)∵2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}， ∴－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1，b 2＝－3×1，∴a ＝4，b ＝－6.(理)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5} ＝{x |－2≤x <4}． (2)若P ≠∅，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，a <0，此时有P ＝∅⊆Q ，所以a <0为所求． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．7．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )<0}． (1)若A ⊆B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． [解析] ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}， ∴A ＝{x |2<x <4}．(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2，当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅，∴A ⊆B 时，43≤a ≤2.(2)要满足A ∩B ＝∅， 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2，∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或a ≥43，∴a <0时成立；验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}，显然a >0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3<x <9}， 而A ∩B ＝{x |3<x <4}，故所求a 的值为3.。
2013高考数学三轮复习精编模拟套题(一)
复习精编模拟套题（一）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 3. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 4. 设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（A 15356. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( )A ．10- B ．10 C ．5- D ．57.如图所示，f i （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，f ［λx 1+（1－λ）x 2］≤λf （x 1）+（1－λ）f （x 2）恒成立”的只有（ ）A.f 1（x ），f 3（x ）B.f 2（x ）C.f 2（x ），f 3（x ）D.f 4（x ）8. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（９～１２题）9.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于__________. 11. 在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________. 12. 执行下边的程序框图，输出的（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13. （不等式选讲选做题）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______. 14. （坐标系与参数方程选做题）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则M 、N 的最小距离是 15. (几何证明选讲选做题）如图，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分12分）设函数()f x a b =，其中向量(2cos ,1),(cos ,3sin 2),a x b x x x R ==∈（1） 若函数()1,,;33f x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦且求 （2） 若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()3c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象，求实数m,n 的值。
【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 1.1集合提能训练 理 新人教A版
【全程复习方略】湖南省2013版高中数学 1.1集合提能训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(预测题)设全集U=R ，A={x|x(x-2)<0},B={x|y=ln(1-x)}，则A ∩(U B)是( )(A)(-2，1) (B)(1，2)(C)(-2，1］ (D)［1，2)2.(2012·唐山模拟)若集合M={y|y=3x},集合S={x|y=lg(x-1)},则下列各式正确的是( )(A)M ∪S=M (B)M ∪S=S(C)M=S (D)M ∩S=Ø3.(2012·蚌埠模拟)已知集合M={x|y=2x -}，集合N={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},则M ∩N=( ) (A){x|x ≤2} (B){x|x ≥2}(C){x|0≤x ≤2} (D)Ø4.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R},B={x|1<x<5,x ∈R}.若A ∩B=Ø，则实数a 的取值范围是( )(A){a|0≤a ≤6} (B){a|a ≤2或a ≥4}(C){a|a ≤0或a ≥6} (D){a|2≤a ≤4}5.如图所示，A ，B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=22x x -},B={y|y=3x ,x>0},则A#B 为( )(A){x|0<x<2} (B){x|1<x ≤2}(C){x|0≤x ≤1或x ≥2} (D){x|0≤x ≤1或x>2}6.集合S ⊆{1,2,3,4,5},且满足“若a ∈S ，则6-a ∈S ”，这样的非空集合S 共有( )(A)5个 (B)7个 (C)15个 (D)31个二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·安庆模拟)设集合A={5，log 2(a+3)}，集合B={a,b}，若A ∩B={2}，则A ∪B=_______.8.已知集合A={x|x ≤a},B={x|1≤x ≤2},且A ∪R B=R,则实数a 的取值范围是________. 9.已知集合A={a,b,2},B={2,b 2,2a},且A ∩B=A ∪B ，则a=_______.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知集合A={-4，2a-1，a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1)9∈(A∩B);(2){9}=A∩B.11.(易错题)已知集合A={x|a-1<x<2a+1}，B={x|0<x<1}，若A∩B=Ø，求实数a的取值范围. 【探究创新】(16分)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}.(1)当m<12时，化简集合B；(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围；(3)若R A∩B中只有一个整数，求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由x(x-2)<0得0<x<2，∴A={x|0<x<2},由1-x>0得x<1，∴B={x|x<1},∴U B={x|x≥1},∴A∩(U B)={x|1≤x<2}.2.【解析】选A.∵M={y|y=3x}={y|y>0},S={x|y=lg(x-1)}={x|x>1},∴M∪S=M.3.【解析】选C.由2-x≥0得x≤2，∴M={x|x≤2},∵y=x2-2x+1=(x-1)2≥0.∴N={y|y≥0},∴M∩N={x|0≤x≤2}.4.【解析】选C.由|x-a|<1得a-1<x<a+1,又A∩B=Ø，所以a+1≤1或a-1≥5,解得a≤0或a≥6.5.【解析】选D.由2x-x2≥0得0≤x≤2,∴A={x|0≤x≤2},由x>0得3x>1,∴B={y|y>1},∴A∪B={x|x≥0},A ∩B={x|1<x≤2},令U=A∪B,则U(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.6.【解析】选B.若满足条件,则单元素的集合为{3};两个元素的集合为{1,5}，{2,4};三个元素的集合为{1,3,5},{2,3,4};四个元素的集合为{1,2,4,5}；五个元素的集合为{1,2,3,4,5}，共有7个.7.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,则log2(a+3)=2.∴a=1,∴b=2.∴A={5,2},B={1,2}.∴A∪B={1,2,5}.答案:{1，2，5}8.【解析】∵R B=(-∞，1)∪(2，+∞)且A∪R B=R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.答案：［2，+∞)9.【解题指南】解答本题有两个关键点：一是A∩B=A∪B⇔A=B;二是由A=B，列方程组求a,b的值.【解析】由A ∩B=A ∪B 知A=B ，∴2a 2a b b a b =⎧⎪=⎨⎪≠⎩或2a b b 2a a b ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩解得a 0b 1=⎧⎨=⎩或1a 41b 2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴a=0或a=14. 答案：0或1410.【解析】(1)∵9∈(A ∩B),∴9∈A 且9∈B,∴2a-1=9或a 2=9,∴a=5或a=-3或a=3,经检验a=5或a=-3符合题意.∴a=5或a=-3.(2)∵{9}=A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a=5或a=-3当a=-3时，A={-4，-7，9}，B={-8，4，9}，此时A ∩B={9},当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A ∩B={-4，9},不合题意.综上知a=-3.【变式备选】已知全集S={1，3，x 3+3x 2+2x},A={1,|2x-1|}，如果S A={0}，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x,若不存在,请说明理由.【解析】∵S A={0},∴0∈S,0∉A,∴x 3+3x 2+2x=0,解得x=0或x=-1，或x=-2.当x=0时，|2x-1|=1不合题意；当x=-1时，|2x-1|=3∈S ，符合题意;当x=-2时，|2x-1|=5∉S,不合题意.综上知，存在实数x=-1符合题意.11.【解析】∵A ∩B=Ø,(1)当A=Ø时，有2a+1≤a-1⇒a ≤-2;(2)当A ≠Ø时，有2a+1>a-1⇒a>-2.又∵A ∩B=Ø，则有2a+1≤0或a-1≥1⇒ a ≤-12或a ≥2,∴-2<a ≤- 12或a ≥2, 由以上可知a ≤- 12或a ≥2. 【方法技巧】集合问题求解技巧(1)解答集合问题,首先要正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个特性,对于用描述法给出的集合{x|x ∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P;要重视图示法的作用,通过数形结合直观解决问题.(2)注意Ø的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A⊆B,则有A=Ø或A≠Ø两种可能,此时应分类讨论.【探究创新】【解析】∵不等式x2-(2m+1)x+2m<0⇔(x-1)(x-2m)<0.(1)当m<12时，2m<1,∴集合B={x|2m<x<1}.(2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={x|-1≤x≤2},①当m<12时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1⇒-12≤m<12;②当m=12时,B=Ø,有B⊆A成立;③当m>12时,B={x|1<x<2m},此时1<2m≤2⇒12<m≤1;综上所述，所求m的取值范围是-12≤m≤1.(3)∵A={x|-1≤x≤2}, ∴R A={x|x<-1或x>2},①当m<12时,B={x|2m<x<1},若R A∩B中只有一个整数,则-3≤2m<-2⇒-32≤m<-1;②当m=12时,不符合题意;③当m>12时,B={x|1<x<2m},若R A∩B中只有一个整数,则3<2m≤4,∴32<m≤2.综上知,m的取值范围是-32≤m<-1或32<m≤2.。
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1-1集合基础巩固强化1.全集U＝{1,2,3,4}，集合M＝{1,2}，N＝{2,4}，则下面结论错误的是()A．M∩N＝{2}B．∁U M＝{3,4}C．M∪N＝{1,2,4} D．M∩∁U N＝{1,2,3}[答案] D[解析]∵∁U N＝{1,3}，∴M∩∁U N＝{1}，故D错，由交、并、补运算的定义知A、B、C均正确．2．(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P＝{正奇数}和集合M＝{x|x＝a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是()A．加法B．除法C．乘法D．减法[答案] C[解析]因为M⊆P，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.3．(文)设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B 为()A．[0,3] B．(2,3]C．[3，＋∞) D．[1,3][答案] B[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A ∩B ＝(2,3]．(理)(2011·安徽省“江南十校”联考)已知集合P ＝{3，log 2a }，Q ＝{a ，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q 等于( )A ．{3,0}B ．{3,0,1}C ．{3,0,2}D ．{3,0,1,2}[答案] B[解析] 根据题意P ∩Q ＝{0}，所以log 2a ＝0， 解得a ＝1从而b ＝0，可得P ∪Q ＝{3,0,1}，故选B.4．(文)(2011·福建龙岩质检)已知集合M ＝{x |x ＋1≥0}，集合N ＝{x |x 2＋x －2<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1≤x <1}[答案] D[解析] ∵M ＝{x |x ≥－1}，N ＝{x |－2<x <1}， ∴M ∩N ＝{x |－1≤x <1}，∴选D.(理)设集合A ＝{y |y ＝3x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x <1}，则A ∩B 为( )A ．(0，32]B ．(2,3]C ．[3，＋∞)D ．[1,3][答案] A[解析] ∵3x －x 2＝－(x －32)2＋94≤94，且3x －x 2≥0，∴0≤y ≤32，即A ＝[0，32]，∵x <1，∴y ＝2x<2，∴B ＝(0,2)，∴A ∩B ＝(0，32]．5．(文)(2012·辽宁理)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}．，则(∁U A)∩(∁U B)为() A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}[答案] B[解析]本题考查集合的交集、补集的有关运算，根据题意得，∁U A＝{2,4,6,7,9}，∁U B＝{0,1,3,7,9}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{7,9}．[点评]注意(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，利用此公式也可较方便的求出．(理)(2011·北京理，1)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，若P∪M ＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[答案] C[解析]P＝{x|－1≤x≤1}，∵P∪M＝P，∴M⊆P，即a∈{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1，故选C.6．(2012·浙江)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)[答案] B[解析]本题考查了集合的运算．∵x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．∴A ∩(∁R B )＝{x |3<x <4}．7．(2011·江苏省苏北四市高三调研)已知集合A ＝(－∞，0]，B ＝{1,3，a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≤0[解析] ∵A ＝(－∞，0]，B ＝{1,3，a }，A ∩B ≠∅， ∴a ≤0.8．(文)已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则集合M ∩N ＝________.[答案] {(3，－1)}[解析] 由于M ∩N 中元素既属于M 又属于N ，故其满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，解之得x ＝3，y ＝－1. (理)(2011·南京月考)已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.[答案] {(0,1)，(－1,2)}[解析] A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由集合A 中落在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，将A 中点的坐标代入直线方程检验知，A ∩B ＝{(0,1)，(－1,2)}．9．若A ＝{x |22x －1≤14}，B ＝{x |log 116x ≥12}，实数集R 为全集，则(∁R A )∩B ＝________.[答案] {x |0<x ≤14}[解析] 由22x －1≤14得，x ≤－12，由log 116x ≥12得，0<x ≤14，∴(∁R A )∩B ＝{x |x >－12}∩{x |0<x ≤14}＝{x |0<x ≤14}．10．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．[解析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0，∴a >98， 即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43，∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a＝0或a ≥98}.能力拓展提升11.若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x、y∈M}，则N中元素的个数为()A．9B．6C．4D．2[答案] C[解析]按x、y∈M逐个验证得出N，∴N＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}．12．已知A、B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}[答案] D[解析]由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则∁U B中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.13．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案] 2[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.14．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n ＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.[答案]{2,4,6,8}[解析]A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．15．(2011·汕头模拟)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，(1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁U B )； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}， B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≤1或x ≥4}． A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}， A ∪(∁U B )＝{x |－1≤x ≤5}．(2)当a <0时，A ＝∅，显然A ∩B ＝∅， 当a ≥0时，A ≠∅， A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }， B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0} ＝{x |x ≤1或x ≥4}．由A ∩B ＝∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a >1，2＋a <4.解得a <1.∴0≤a <1.故实数a 的取值范围是(－∞，1)．16．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2－ax ＋a ，有正整数解，消去y 得， ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0.(*)由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233.因a 为非零整数，∴a ＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠∅，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．考虑到教师工作繁忙，找题选题辛苦及各地用题难易的差别，本书教师用书中提供了部分备选题，供教师在教学时，根据自己教学的实际情况在备课时选用．1．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(∁U B)的充要条件是() A．m>－1且n<5 B．m<－1且n<5C．m>－1且n>5 D．m<－1且n>5[答案] A[解析]∵P∈A，∴m>－1，又∁U B＝{(x，y)|x＋y－n>0}，P∈∁U B，∴n<5，故选A.2．(2011·辽宁理，2)已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()A．M B．N C．I D．∅[答案] A[解析]N∩∁I M＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.[点评]此类抽象集合问题画V enn图或者用特例法求解尤其简便．请自己试一下．3．定义差集A－B＝{x|x∈A且x∉B}，现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可用阴影表示为()[答案] A[解析]如图，A－B表示图中阴影部分，因此，C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．4．如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(∁I A∩B)∩C B．(∁I B∪A)∩CC．(A∩B)∩∁I C D．(A∩∁I B)∩C[答案] D[解析]阴影部分在A中，在C中，不在B中，故在∁I B中，因此是A、C、∁I B的交集，故选D.[点评]解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合中，注意不在集合M中时，必在集合M的补集中．5．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|y＝4x}的元素个数为________．[答案] 2[解析]满足y＝4x的元素为(1,4)，(2,8)．。