第十六章 《二次根式》复习教案
(完整版)新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案
课题：16.1二次根式1 课型:新授 一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为=__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）合作交流（小组互助） (1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 ,4a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
二次根式教案（通用8篇）
二次根式教案（通用8篇）二次根式教案（通用8篇）作为一位兢兢业业的人民教师，编写教案是必不可少的，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
那么什么样的教案才是好的呢？以下是小编整理的二次根式教案8篇，希望能够帮助到大家。
二次根式教案篇1教学目的1．使学生掌握最简二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为最简二次根式；2．会运用积和商的算术平方根的性质，把一个二次根式化为最简二次根式。
教学重点最简二次根式的定义。
教学难点一个二次根式化成最简二次根式的方法。
教学过程一、复习引入1．把下列各根式化简，并说出化简的根据：2．引导学生观察考虑：化简前后的根式，被开方数有什么不同？化简前的被开方数有分数，分式；化简后的被开方数都是整数或整式，且被开方数中开得尽方的因数或因式，被移到根号外。
3．启发学生回答：二次根式，请同学们考虑一下被开方数符合什么条件的二次根式叫做最简二次根式？二、讲解新课1．总结学生回答的内容后，给出最简二次根式定义：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
最简二次根式定义中第(1)条说明被开方数不含有分母；分母是1的例外。
第(2)条说明被开方数中每个因式的指数小于2；特别注意被开方数应化为因式连乘积的形式。
2．练习：下列各根式是否为最简二次根式，不是最简二次根式的说明原因：3．例题：例1 把下列各式化成最简二次根式：例2 把下列各式化成最简二次根式：4．总结把二次根式化成最简二次根式的根据是什么？应用了什么方法？当被开方数为整数或整式时，把被开方数进行因数或因式分解，根据积的算术平方根的性质，把开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替移到根号外面去。
当被开方数是分数或分式时，根据分式的基本性质和商的算术平方根的性质化去分母。
此方法是先根据分式的基本性质把被开方数的分母化成能开得尽方的因式，然后分子、分母再分别化简。
二次根式教案(实用7篇)
二次根式教案（实用7篇）二次根式教案第1篇一、教学目标1．理解分母有理化与除法的关系．2．掌握二次根式的分母有理化．3．通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．4．通过学习分母有理化与除法的关系，向学生渗透转化的数学思想二、教学设计小结、归纳、提高三、重点、难点解决办法1．教学重点：分母有理化．2．教学难点：分母有理化的技巧．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、多媒体六、师生互动活动设计复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主七、教学过程【复习提问】二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式．例1 说出下列算式的运算步骤和顺序：（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：有理化因式：与，与，与…不是有理化因式：与，与…化简一个式子，如果分母是二次根式，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法（依据分式的基本性质）．例如：等式子的化简，如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？引入新课题．【引入新课】化简式子，乘以什么样的式子，分母中的根式符号可去掉，结论是分子与分母要同乘以的有理化因式，而这个式子就是，从而可将式子化简．例2 把下列各式的分母有理化：（1）；（2）；（3）解：略．注：通过例题的讲解，使学生理解和掌握化简的步骤、关键问题、化简的依据．式子的化简，若分子与分母可分解因式，则可先分解因式，再约分，使化简变得简单．二次根式教案第2篇1.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。
八年级数学下册 16 二次根式复习教案 (新版)新人教版
第16章 二次根式复习 一、复习目标 1． 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．二、课时安排1课时三、复习重难点重点：二次根式的概念以及运算．难点：二次根式有意义的条件．四、教学过程(一)知识梳理1．二次根式的概念一般地，形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式；(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数．(2)a 是非负数，即a ≥0.2．二次根式的性质(a )2＝ ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＝0，a <0.3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含 ；(2)被开方数中不含能 的因数或因式．4．二次根式的运算a ·b ＝ (a ≥0，b ≥0)；ab ＝ (a ≥0，b >0)．二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 的二次根式进行合并．(二)题型、技巧归纳考点一 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围例1 若实数x ，y 满足＋(y －)2＝0，则xy 的值是________．考点二 二次根式性质的运用 例2 如图21－1所示是实数a 、b 在数轴上的位置，化简：a 2－()b 2－a －b 2.图21－1考点三 二次根式的化简例3 设2＝a ， 3＝b ，用含a ，b 的式子表示0.54，则下列表示正确的是() A ．0.03ab B ．3abC ．0.1ab 3D ．0.1a 3b考点四 二次根式的运算例4 计算下列各题：(1)3105ab c ·532acb ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－215bc a ；(2)(1－3＋2)(1＋3－2)．（三）典例精讲1、若a a -=2，则a 的取值范围是（ ）（A ）0>a （B ）0≠a （C ）0≤a （D ）0≥a2、若a a 21)12(2-=-，则a 的取值范围（ ）（A ）21≤a （B ）21>a（C ）21≥a （D ）a 为任意实数3、下列计算正确的是（ ）（A ）15)535(2=-- （B ）71)71(2-=--（C ）12)32(2-=- （D ）53)535(2=4、若0,0≤>b a ，则b a +2的值是（ ）（A ）b a + （B ）b a - （C ）a b - （D ）b a --5．求下列各式的值（1）221ba +，其中12,9==b a （2）ac b 42-，其中9,23,21-===c b a （四）归纳小结 1．本节课学习了哪些主要内容？2．本节课是怎样进行二次根式的运算的？3．在运算时要注意哪些问题？（五）随堂检测1．要使＋有意义，则x 应满足( )A .≤x≤3B ．x≤3且x≠C .<x<3D .<x≤3 2．若y ＝＋－1，则2x ＝______，y ＝______. 3．已知x<1，则化简的结果是( )A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．1－x4．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a －b|－a 2的结果是( )A ．2a －bB ．bC ．－bD ．－2a ＋b5.若实数a ，b 满足|a ＋2|＋＝0，则＝________．6.若＋b 2＋2b ＋1＝0，则a 2＋－＝________． 7、计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2. 8．已知x ＝2－10，试求代数式x 2－4x －6的值．五、板书设计把黑板分成两份，左边部分板书例题，右边部分板书学习练习题，重复使用六、作业布置完成课后同步练习题七、教学反思。
人教版八年级下册数学教案：第十六章《二次根式》复习课优秀教学案例
3.结合生活实际，讲解二次根式在几何、物理等领域的应用，提高学生的应用能力。
（三）学生小组讨论
1.教师分配任务，让学生分组讨论二次根式的性质和运算方法。鼓励学生发表自己的观点，培养学生独立思考和解决问题的能力。
2.利用多媒体课件、实物模型等教学资源，直观地展示二次根式的运算过程和性质，帮助学生形象地理解和记忆。
3.设计具有挑战性和探究性的问题，激发学生的思考欲望，引导学生主动参与学习。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，激发他们的思考。例如，在讲解二次根式的性质时，让学生思考：“二次根式有哪些性质？如何运用这些性质进行运算？”
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神风貌。
2.培养学生团队合作意识和互助精神，提高他们的社会适应能力。
3.通过数学教学，培养学生坚持真理、勇于创新的人格品质。
4.引导学生认识数学在实际生活中的重要性，提高他们对数学价值的认识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.结合生活实际，创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣。例如，通过讲解实际问题，引入二次根式的概念和应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.启发式教学与问题导向相结合：本节课采用启发式教学法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，深入理解和掌握二次根式的相关知识。同时，结合问题导向，鼓励学生提出问题、分享思路，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作与反思评价并重：本节课注重小组合作，组织学生进行讨论和合作交流，培养他们的团队合作意识和沟通能力。同时，引导学生进行自我反思和评价，总结自己在学习过程中的优点和不足，提高他们的自我认知和自我调整能都能发挥自己的特长，提高他们的自信心。
【人教版】初中数学八下数学第16章《二次根式》全章教学案(含解析)
第十六章二次根式1.理解二次根式的概念.2.理解(a≥0)是一个非负数,()2=a(a≥0),=a(a≥0).3.掌握·=(a≥0,b≥0),=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0),=(a≥0,b>0).4.了解最简二次根式的概念,并能灵活运用其对二次根式进行加减.1.通过先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳得出概念,再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.2.让学生用具体数据探究规律,采用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法法则,并运用法则进行计算.3.让学生利用逆向思维,得出二次根式的乘(除)法法则的逆向等式,并运用它们进行化简.4.通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,让学生对被开方数相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的.1.培养学生利用二次根式的性质和重要结论进行准确计算的能力,培养学生一丝不苟的科学精神.2.经过探索二次根式的重要结论和二次根式的乘除法法则,发展学生观察、分析、发现问题的能力.二次根式是新课标中数与代数领域的重要内容,它是在前面平方根、立方根的基础上进行学习的,是对代数式及实数等内容的延伸与补充.同时,也是后继学习勾股定理、一元二次方程的求根公式及三角形的边角关系等内容的学习基础.因此,本章的相关知识对于整个初中阶段学习数与代数有着承前启后的重要意义.本章内容分为三节,第一节主要学习二次根式的概念和性质;第二节是二次根式的乘法和除法运算,主要研究二次根式的乘除法运算法则和二次根式的化简;第三节是二次根式的加法和减法运算,主要研究二次根式的加减法运算法则和二次根式的化简.【重点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式乘除法的法则及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.【难点】1.对(a≥0)是一个非负数的理解和对等式()2=a(a≥0),=a(a≥0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.1.通过前面的学习,我们已经知道了平方根、立方根的概念和求法,实数的有关概念和运算,对数的认识已经由有理数的范围扩大到实数范围,并对实数的运算性质和运算法则有了初步的感受.因此,本章应充分注意与已有经验的联系.同时,本章内容与整式也有着密切的联系.由于数式通性,当将二次根式中的实数看成字母时,二次根式的运算实际上就是整式的运算,所以整式的运算法则和公式在二次根式的运算中仍然适用.因此本章强调了与整式相关内容的联系.2.对于一些重要结论,要注意经历观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程.例如,对于二次根式的乘法法则,首先利用二次根式的概念和性质进行具体的计算,并观察所得结果发现二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系,并利用发现的规律进行计算,再归纳得出二次根式的乘法运算法则.这个过程实际上就是反映了一个由特殊到一般的认识过程.要通过这样的探究活动来发展我们的思维能力,有效改变学生的学习方式.3.熟练掌握二次根式的概念和运算需要一定的训练,可以适当增加练习,以便较好地理解二次根式的意义,较好地掌握二次根式的性质和运算,为后续学习打下良好的基础.16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时单元概括整合1课时16.1二次根式1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.第课时使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.【难点】会求二次根式中字母的取值范围.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.导入一:唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?要解决这个问题,我们得从二次根式说起.[设计意图]将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.导入二:1.教师出示复习题:(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.(2)5的平方根是;5的算术平方根是.学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.2.教师出示教材第2页“思考”题:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).[设计意图]以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.1.二次根式的概念思路一[过渡语](针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.[设计意图]让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.思路二像,,,这样的式子有什么共同特点呢?学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.引导学生说一说对二次根式的认识:(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0. [设计意图]加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.2.例题讲解[过渡语]二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.[解题策略]①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()A. B.C. D.(其中a<0)〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.解:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时,在实数范围内有意义.【变式训练】若式子1+有意义,则x的取值范围是.〔解析〕根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.[易错分析]容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.[设计意图]通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.[知识拓展](1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项二次根式的概念形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等二次根式有意义的条件被开方数必须是非负数求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零1.已知下列各式:,(a≥2),,,其中二次根式的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x≥B.x≥-C.x>D.x≠解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.3.当x=时,二次根式有最小值,其最小值是.解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.答案:-304.求下列各式中字母a的取值范围:(1);(2);(3);(4).解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数.(3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数.(4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.第1课时1.二次根式的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.【选做题】教材第5页习题16.1第7题.二、课后作业【基础巩固】1.若是二次根式,则下列结论正确的是()A.x≥0,y≥0B.x>0,y>0C.x,y同号D.≥02.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是()A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-63.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是.【能力提升】5.当x时,+在实数范围内有意义.6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则x y=.7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.【拓展探究】9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.【答案与解析】1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴x y=9.)7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.根据教学时间多少调整例题教学,适当增加对二次根式非负性的例题的讲解,注重变式练习,以加深对二次根式具有双重非负性的理解.练习(教材第3页)1.解:设长方形的长和宽分别为3a cm,2a cm.由题意,得3a·2a=18,∴a2=3,a=(舍去a=-),∴3a=3,2a=2.故长方形的长取3 cm,宽取2 cm.2.解:(1)当a-1≥0,即a≥1时,有意义.(2)当2a+3≥0,即a≥-时,有意义. (3)当-a≥0,即a≤0时,有意义.(4)当5-a≥0时,即a≤5时,有意义.若x,y为实数,且满足y=+-3,求x+2y的值.〔解析〕根据二次根式的被开方数不小于0,求得x,y的值,然后将其代入所求的代数式并计算.解:由二次根式有意义的条件得即x2-4=0,所以x=±2.当x=±2时,y=-3.①当x=2,y=-3时,x+2y=2+2×(-3)=-4;②当x=-2,y=-3时,x+2y=-2+2×(-3)=-8.所以x+2y的值是-4或-8.[解题策略]根据已知得出并得到x=±2是解决本题的关键.已知(3a-6)2+=0,求b a的值.〔解析〕根据非负数的性质:若两个非负数的和为0,则这两个非负数的值都为0,解出a,b的值,再代入原式中计算.解:因为(3a-6)2与都是非负数,且它们的和为0,所以3a-6=0,b-3=0,即a=2,b=3.此时b a=32=9.[解题策略]本题考查了非负数的性质,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们的和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类问题.第课时1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.3.了解代数式的概念.在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.【教师准备】教学所需的习题资料.【学生准备】自学教材第3~4页的内容.导入一:教师出示问题:先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.导入二:1.什么叫二次根式?2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?学生口答,老师点评.通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质. [设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.思路一1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)[过渡语]我们先来探究性质1:()2=a(a≥0).提问:你能解释下列式子的含义吗?()2,()2,,()2.学生口述,教师根据情况评价.()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.()2=;()2=;=;()2=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.教师引导学生说出每一个式子的含义.是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2.是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).(教材例2)计算:(1)()2;(2)(2)2.学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.解:(1)()2=1.5.(2)(2)2=22×()2=4×5=20.[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.【变式训练】计算:(-2)2.〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.2.二次根式的性质2:=a(a≥0)[过渡语]我们再来探究一下性质2:=a(a≥0).提问:你能解释下列式子的含义吗?,,,.教师引导学生说出每一个式子的含义.表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.=;=;=;=.学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).(教材例3)化简:(1);(2).引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.学生独立完成,集体订正.解:(1)==4.(2)==5.[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).小组讨论:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.思路二请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:1.(1)填空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=.(2)猜想当a≥0时,()2=.2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.==;==;==;==;….通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.归纳并板书:二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).提问:()2和有什么关系?学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=[设计意图]在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.3.代数式提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.[设计意图]学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.4.例题讲解(补充)计算:(-5)2,,-.〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.==.-=-=-.(补充)比较2与3的大小.〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,又∵44<45,且2>0,3>0,∴2<3.师生共同回顾本节课所学主要内容:知识要点关键点注意事项()2=a(a≥0)任何非负数的算术平方根的平方,其结果仍然是它本身被开方数a是非负数=|a|= 任何实数的平方的算术平方根是它的绝对值底数a可以是任何实数代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式1.计算的结果是()A.-3B.3C.-9D.9解析:==3.故选B.2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.3.+的值是.解析:+=2+2=4.故填4.4.(1)当x时,=2-x成立;(2)计算=.解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.答案:(1)≤2(2)π-35.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.解:(1)=0.9.(2)(2)2=22×()2=12.(3)=(-2)2×=2.(4)(-)2=(-1)2×()2=15.第2课时1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)例12.二次根式的性质2:=a(a≥0)例23.代数式4.例题讲解例3例4一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.【选做题】教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次根式的值为3,那么x的值是()A.3B.9C.-3D.3或-32.若=1-2a,则()A.a<B.a≤C.a>D.a≥3.(2015·杭州中考)若k<<k+1(k是整数),则k等于()A.6B.7C.8D.94.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简-|a+b|的结果为()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b【能力提升】5.若是一个正整数,则正整数m的最小值是.6.在实数范围内分解因式:(1)x2-3=;(2)n5-6n3+9n=.7.列出下列代数式:(1)面积为3的圆的半径;(2)面积为S且两条邻边之比为3∶5的长方形的长、宽.8.计算:(1);(2)(3)2;(3);(4)-;(5).9.先化简,再求值:-,其中x=6.【拓展探究】10.对于题目“化简并求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.谁的解答是错误的?为什么?【答案与解析】1.D(解析:根据题意得x2=9,解得x=±3.故选D.)2.B(解析:由已知得2a-1≤0,解得a≤.故选B.)3.D(解析:本题主要考查了算术平方根的化简及算术平方根的估算,而<<,即9<<10,所以k=9.)4.C(解析:观察图可知a<0,b>0,且|a|>|b|,那么可知a+b<0,再结合二次根式、绝对值的性质进行化简计算.原式=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b.故选C.)5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数m的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-)(2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1).(2)宽:3;长:5.8.解:(1)=.(2)(3)2=32×()2=18.(3)=(-2)2×=.(4)-=-=-3π.(5)==.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是=-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3.(2)(3)2=32×()2=9×2=18.2.解:(1)=0.3.(2)=.(3)-=-π.(4)=10-1=.。
人教版第十六章二次根式教案(20210129215125)
第十六章二次根式课题：16.1二次根式课型：新授课教学目标：1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义2、会确定二次根式有意义的条件，知道.、a（a>（是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算，3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究a和；a2所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质教学重点：1. a有意义的条件.2. a》0寸,a的应用.3. a和•. a2的运算、化简教学难点：当a<0时一a2的化简教学过程：一、复习引入在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。
二、探究新知（一）定义及非负性活动1、填空，完成课本思考1：165 , dS , u 2，、：h活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法活动4、思考下列问题：①、9的运算结果是3, . 9是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加a若a<0, j a表示什么？有无意义？③当a=0时，■. a表示什么？结果是什么？当a>0时，a表示什么？可不可能为负数？. a （a >0是什么样的数呢？例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？Q x 2 , J—, VX2__3<x 1练习：1、课本思考2:当x是怎样的实数时，X2，、: X3有意义？1、若恋x 2 m，贝U x和m的取值范围是x ______ ；m ____ .2、已知x 3 ■ y 5 0,求x,y的值各是多少？(二)两个运算性质活动5、完成课本探究1活动6、对、.a中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变.练习：课本例2活动7、完成课本探究2活动8、对a2中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.练习：课本例3补充练习：1、化简：■ ( 4)2，；(2 、3)2；2、直角三角形的三边分别为a，b, c,其中c为斜边，则式子 a - c与式子(a c)2有什么关系?三、课堂训练完成课本中两个练习•1、p m 1 m成立的条件是____________ .2、J _1 m成立的条件是_____________ .四、小结归纳1、二次根式的概念及被开方数非负”的条件和运算结果非负”的性质•2、二次根式的两个运算性质，平方为父对象”开方为子对象”.3、简单介绍代数式的概念•4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录•五、作业设计必做：P5：1、2、3、4、5、6选做：P5：7、8、9、10教学反思教学课题：16.2二次根式的乘除(第1课时) 教学课型：新授课教学目标:1•会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算2•会利用积的算术平方根性质化简二次根式经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质•3•通过例题分析和学生练习，达成目标1, 2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法教学重点：双向运用殒 Jb JOb(a >0, b>0进行二次根式乘法运算教学难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法教学过程一、复习引入：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算二、探究新知(一)二次根式乘法法则活动1、1•填空，完成课本探究12.用1中所发现的规律比较大小-:^36X 4 -J36 4 ；订2 X 3 ______ : 6活动2、给出二次根式的乘法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加 a >0, b >0②两个二次根式相乘其实就是___________ 不变， ___________ 相乘③Ja Jb Jc ( a >0, b >0c>0 = ____________________练习：课本例1,在(1)( 2)之后补充(3) . a、4a归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化(二)积的算术平方根性质活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质完成课本例2,在(1)( 2)之间补充..48归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外.例3.计算：(1)14 7 (2) 3 5 2 10 ；( 3) . 3x ： xy分析:（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外•（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘• 之后同（1）三、课堂训练完成课本练习.补充：1. x 1 x 1 .X21成立，求x的取值范围•- 32•化简：；x y x 0四、小结归纳1•二次根式乘法公式的双向运用；2•进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法五、作业设计必做：P10：1、3（1）（2）、4补充作业：1 •计算：⑴J7 J5 ；⑵J1J27 ；⑶V5 v'15 ；（4）3^2 4J8\ 3r2•化简（1）、；27x2y3；⑵J号（18ab教学目标:1•会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算2•会利用商的算术平方根性质化简二次根式3•理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式4通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法:b （a 0、b 0）进行二次根式除法运算教学重点：双向运用二亘Qb教学难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算教学过程：一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算二、探究新知（一）二次根式除法法则活动1、1•填空，完成课本探究12用1中所发现的规律比较大小2 2； 2 ___________________28 ■ 8 .5 5活动2、给出二次根式的除法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加 a >0, b>c?②两个二次根式相除其实就是___________ 不变，____________ 相除练习：课本例4,在（1）（2）之后补充（3）4a3 .a归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化（二）商的算术平方根性质活动4•将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质完成课本例5归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母, 再利用积的算术平方根分别化简•55例6•计算:(1)(2) 32；( 3)V27分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的教学课题：16.3二次根式的加减（第1课时）教学课型：新授课基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本性质和公式（.a）2 a，.a ,b 2b（a 0,b 0），以去掉分母中的根号.（三）最简二次根式概念活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念分析概念：1•被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式；2•被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是 1.完成课本例7补充：化简.X y4 x4 y2注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和三、课堂训练完成课本练习.补充：1. . X 1 x 1成立，求x的取值范围•<x_1 Y X 12. 找出下列根式中的最简二次根式x・8x 6x2X2 y2. 0.1■. 3 '3. 判断下列等式是否成立四、小结归纳1. 二次根式除法公式的双向运用；2. 进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法3. 最简二次根式概念五、作业设计必做：P10：2、3（3）（4）、5、6、7选做：P11：8、9、10教学目标:1. 知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立2. 能熟练将二次根式化简成最简二次根式3•会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算教学重点：二次根式加减法运算方法教学难点：二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式教学过程一、复习引入上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算二、探究新知（一）二次根式加减法法则活动1、类比计算，说明理由① 2 a +3 a ； 2.2 3 2 .（② 2 a -3 a ； 2 2 3J2 .③、3 .12 ；.12 .. 18④..5烏-12思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2 ）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？（3）什么样的二次根式能够合并？（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？活动2、给出二次根式的加减法法则分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并•被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分练习：①课本例1，补充（3）.2 J8 （4）、1.8\ 2②课本例2,补充.24 , 1 . 1\'2 \8分析说明：①中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1,例2的过渡。
(完整版)人教版八年级下册数学(新)第十六章《二次根式》复习教案
二次根式复习课教学目标1 •使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2 •熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1 •请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式. 2•二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的•把两个二次根式相除，先写威分式形式，即—备再运用二次根式的除法法则进行计算，计算, 计算结果要把分母有理化.3. 在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：⑴了揖『（鼻g（2）国匸・4. 在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：⑴（石尸二已（社》0）与耳壬（石）'（可⑵騙厂Q b>0）与石亠7b - b>Q）i⑶卜#Qm b>0）与护叔4, 5）.例如，化简乡.可以用3种方法：⑴直粥分咅-字-血|⑵分母有理化帶席虫⑶看作二次根式的除法万==、打.5. 总不一定能化咸（掐巴当4时,如（屈'屈■（嶄*（而）?=仲■丽茂此臥二G即;当《时gp■厲=（爲卩,但石3无惫乂所以J（4）%丘几此臥只尹（77）“.二、例题例1x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：(1)V3- x + Js - 2i2H⑵一炉__ |'~（⑦、陋十J-H ; （4）七分析：（1）题是两个二次根式的和，X的取值必须使两个二次根式都有意义;（2）题中'式子的分母不能为零，即皐不能职使1启F的值$（3）题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；（4）题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零.解（1〕要倩-甌龍艮爛“沁即& 第「/U韻义必知2沁即Q厶所以使式子J了-議+ d2有意义的就£为2W 了.⑵因为「播'二1七|,当x二土1时，1-国二$備式没有意义’所凹当声土1时’2盟式子1 - 有J* + J-歆有意义的逋为签=0,⑶因为便后有惫义的临那沏使彳-2盟有意义的諏值为曲山所以便屈(4)因为便如2有意义的st取值加+ 2沁即区》-2|而分母時①即详0・所以便式子竽<意义的諏值为5x x>2且x工0例2己知弧口为实数,且满足斫1求呦亠的值・n - 5分加先讎己縣傅堀昂的值,Mfw-w. -mJ?7? 环匸?有意加綿训岳-9刘妙『沁从啊嫦M,从而錠点优解因为n2-9>0 9-n2>Q且n-3M Q所以n2=9且n^3所以- 9 + \/s — ri2十4 4 2 "7 ”----------------- ---- -------- =寸・丁6m - 3n = 6 X - 3(-3) = 5.指出；例1和例2主要复习二次根式的意义，即当40晒二次根式需有意义.计算"分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式. 把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a>0和1-a>0.解：因为1-a>0, 3-a>0 所以a v 1, |a-2|= 2-a.(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3- a) >.0故a - ■ ■■' v 1 - a T?7! i-- 十~厂日一2 71 - afa -21 . • J3 -日斗1J(a -l)(a -3Ja~ 2 Vl- a 2 -a - a1 Jl - a * V3 ~ d 富_ 2- a1 1—二— r 1 「Vi ■ a Ji -盘=0*指出；由于二决很式的基本性质戸二罔要由日的取值范围确定，即而屈=石*时£ = #麻立的条件是Q0及b 》0 &沁b 》0) I 因此在运用这些性质化简含二次根式的式子时， 要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足 这些条件的.例°己*池・求石齐-仁厂爲值问：如何确定白+2及渎丄的值是正值还是负值？ a a—=+ J2,知玄—>0. a直答：可由已知条件 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式?= (73-72)-(73 + 72)=-2^2<0,当且二更1馬吋,原式=2皈=2〔苗=2厲-2血.|分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算.I. 因为第二个式子中的分母7W-i+x^o f因此X尹1・所以在化简过程中，分子与分母可以同除以尼£2. 例5中运了二次根式的性质诚=Q石魚沁利关系式円遍*(认)进行二则賦的混谨辜上丄苜11 + 2十后T ”仇卡2 ■> Jt? 7例6: n + 2 ™ Vn2 m4 n + 2 + \!n1 - 4分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷.解设玄二11 + 2 +時n+ 2-Jr? 4 那么&+b= 2(n+2), ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2)，rs -t*' 錘I a J + li3+ b)J - 2ah (x + B)J4(n + 2)2F7P C I>Idb db所以愿戏祐十訂—=—^4令出■七―三、课堂练习1 •选择题：(l)7(a _2)2=2 -a,且的取値范围是A. a W2B. a》2C. a^2D. a v2⑵工<J时，J(x十丹等于[](4诺叫恤* 2n 与躺是同类最简二也很朮MlJn =(5) 化简^Q, b<Q) =(◎若DO, b<0? J!lJ|a|-Jb T = ____________(7) 若|乳-纠十J2运+ y 十6 = 0，则茏十歹-1 = (8) 若l<x<2s 则- 2萨-& 1 -孑= ______________ ；(幻化简 V (^a - y a )(H* - y*)(32>y>0)= ；(10) (m -n) J ―；——(ni 〉ii 〉0, a<0)=洁Im -a -----------3. 求也匸匚』1石+ 2002的值.4. 计算：5^2+273 3 ■击 4-2^2B . -x-2C . -x+2D . x-2⑶化简/卜血勾等于 []A . 2xB . 2aC . -2xD . -2a(4)把根号外面的因式移入根号内,①若0<£<血+ 1,贝!||乂 + 片J (囂-J 尸等于 []A.-1B.氏一1D 272-12. 填空题:⑴若如二有意关，则点J 取值范围足X —---------------------创 仏 1-V2心2k l1 + V2 - y= 2I-◎求I 2 J2+町的值.四、小结1本节课复习的五个基本问题是 二次根式”这一章的主要基础知识，同学们 要深刻理解并牢固掌握.2. 在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式 有意义的条件（或题中的隐含条件），即被开方数为非负数，以确定被开方数中的 字母或式子的取值范围.3. 运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每 一个性质中字母的取值范围的条件.4. 通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法 则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、 计算及求值 等问题. 五、作业1. x 是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？f 11⑴⑵心r（习（1》顾 ⑵I X]护_3.1 yf *(3) I _ 屈；& J 札2.把下列各式化成最简二次根式：⑶厉’（4）产耳〉y ）.。
第十六章二次根式教案
第十六章二次根式教案教案标题：第十六章二次根式教案目标：1. 了解二次根式的定义和性质。
2. 掌握二次根式的化简和运算方法。
3. 能够解决与二次根式相关的实际问题。
教学重点：1. 二次根式的定义和性质。
2. 二次根式的化简和运算方法。
教学难点：1. 解决与二次根式相关的实际问题。
教学准备：1. 教材《数学》第十六章相关内容。
2. 教学投影仪或白板。
3. 学生练习册。
教学过程：Step 1：导入新知（5分钟）引入二次根式的概念，通过提问和实例引发学生对二次根式的思考，激发学生的学习兴趣。
Step 2：概念讲解（15分钟）1. 定义二次根式：引导学生理解二次根式的定义，即形如√a的表达式，其中a 为非负实数。
2. 二次根式的性质：介绍二次根式的性质，如二次根式的值是非负实数，二次根式与平方互为逆运算等。
Step 3：化简和运算（20分钟）1. 化简二次根式：讲解化简二次根式的方法，如将根号内的因式分解、提取因式等。
2. 二次根式的运算：介绍二次根式的加减乘除运算法则，并通过例题进行讲解和练习。
Step 4：实际问题解决（15分钟）设计一些实际问题，要求学生运用二次根式的知识解决，如计算房间的地板面积、计算圆形花坛的面积等。
Step 5：课堂练习（15分钟）布置练习题，要求学生独立完成，检验他们对二次根式的理解和掌握程度。
Step 6：小结与反馈（5分钟）对本节课所学内容进行小结，并针对学生的问题进行解答和指导，鼓励学生提出自己的疑问和观点。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习，通过阅读相关教材和练习册的习题加深对二次根式的理解和掌握。
2. 提供更多的实际问题，让学生将二次根式应用于实际生活中，培养他们的数学建模能力。
教学评估：1. 教师观察学生的课堂参与度和学习态度。
2. 批改学生的课堂练习和作业，评估他们对二次根式的掌握情况。
3. 针对学生的问题进行解答和指导，及时纠正他们的错误，帮助他们提高。
教学资源：1. 教材《数学》第十六章相关内容。
第十六章 二次根式教案
第十六章 二次根式 16．1.1 二次根式学习目标：a ≥0）”解决具体问题． 学习过程： 一、探究新知：（一）复习导入1、9的平方根是 ，9的算术平方根是 5的平方根是 ，5的算术平方根是2、二次根式的概念： 若0a >时，a 的算术平方根表示为若0a =时，a 的算术平方根表示为 若0a <时，a 的算术平方根（a 0）；3、完成课本P2的三个思考题，根据思考题的结论，总结：形如的式子叫做 二次根式，4、议一议：（1）--1有算术平方根吗？ （2）0的算术平方根是多少？（3）当a<0归纳：一个代数式是二次根式必须具备什么条件？ （1）根指数必须是 ； (2)被开方数必须 。
二、解决问题：1．下列式子，哪些是二次根式，x>0）、x ≥0，y •≥0） 2．(2014年贵州安顺)函数y=中，自变量x 的取值范围是 ．3．（2014海南）函数y =x 的取值范围是 ． 议一议：当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？三、巩固练习： 1．(2014年福建厦门）若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．2.（2014黑龙江）函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是 。
3.（2014丹东）若式子 有意义，则实数x 的取值范围是 .4．（2014•来宾）函数中，自变量x 的取值范围是（ ）xx -25．（2014•牡丹江）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）AA.x≥0 B．x＞0 C．x≠0 D．x＞0且x≠1 6．（2014•内江）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）1、当x11x+在实数范围内有意义？2 、(1)、已知，求xy的值．(2)、若，求a2004+b2004的值．(3).()22y+=0，求xy的值.五、归纳小结：1．a≥0）的式子叫做二次根式，称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业：1．课本P5. 12．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．B C D2.个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．13．（2014•南通）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）≠4．（2014•牡丹江）在函数y=中，自变量x的取值范围是（）5.（2014•铜仁）代数式有意义，则x的取值范围是（）6．(2014.福州)若(m -1)2+ =0，则m +n 的值是( )A ．-1B ．0C ．1D ．2 7．（2014.泸州）已知实数x 、y 满足+|y+3|=0，则x+y 的值为（ ）A ．﹣2B ． 2C ． 4D ． ﹣48．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．C ．15 D ．以上皆不对9．（2014.潍坊）若代数式2)3(1-+x x 有意义，则实数x 的取值范围是( ) A.x ≥一1 B ．x ≥一1且x ≠3 C ．x>-l D ．x>-1且x ≠310. （2014.巴中）函数y =的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-2且x ≠2 B.x ＞-2且x ≠2 C.x ≠±2 D.全体实数二、填空题10．（2013•云南）在函数中，自变量x 的取值范围是 ． 11．（2014•济宁）函数y=中的自变量x 的取值范围是 .12.（2014.凉山州）函数2y x=中，自变量x 的取值范围是 。
人教版八年级下册数学第十六章《二次根式》教案
16．1 二次根式（1）教学目的：1、了解二次根式的概念；2、了解二次根式的基本性质；3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。
重点：二次根式的概念和基本性质难点：二次根式的基本性质的灵活运用。
教学过程：例1．（1）当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？（2）当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？ （3）当x 是怎样的实数时，3x 在实数范围内有意义？ 归纳总结：n x ：当n 为奇数时，x ≥0时nx 有意义当n 为偶数时，x 为任意实数时n x 都有意义1. 求下列二次根式中字母k 的取值范围:(1 (2 (3 (42. 当x 分别取下列值时,的值:()10x =; ()21x =; ()31x =-.检测：求二次根式中x 的取值范围： （1）4-x （2）12+x （3）25+x （4）xx -42附加题：（5）22x x - （6）42-x （7）42+-x x 教学目的：1、理解二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）2a =a （a ≥0）2、会运用其进行相关计算。
重点：会运用a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）进行相关运算。
难点：理解a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0）。
教学过程：阅读P69-P71内容，完成两个探究填空，理解、识记两个公式。
公式1 ： 公式2 ： 例1计算：（1）（5.1）2 （2）（52）2练习：1、（32）2 2、（23）2 3、（52）2 4、（25）2 例2化简：（1）16 （2）2)5(-16．1 二次根式（2）教学目的：复习二次根式的概念、二次根式的基本性质a （a ≥0）是非负数、（a ）2=a （a ≥0）、2a =a （a ≥0），能熟练运用其进行相关计算。
十六章——二次根式复习教案
二次根式复习学案一、基本知识点回顾1.二次根式定义：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、知识点分类知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
=a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a 0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
二次根式章节复习教案
第16章二次根式复习课【教学目标】1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．【教学重点】含二次根式的式子的混合运算．【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．【教学方法】典例解析法【教学过程】【知识回顾】 ( 填空形式，学生口答)1.二次根式:式子（≥0)叫做二次根式。
（当≥0时，≥0；当≥0时,在实数范围内有意义.)2。
最简二次根式:必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4。
二次根式的性质： （1)(）2= （≥0）； （2) 5。
二次根式的运算: ⑴二次根式的加减运算:先把二次根式化成最简二次根式,然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：=（≥0，b ≥0）；【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知,理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解.【例题讲解】例11。
使有意义的的取值范围是．2。
中,的取值范围是．分析：第2题的分子是二次根式,分母是含x 的多项式,因此x 的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零。
例2下列根式中属最简二次根式的是（ )A 。
B 。
C. D.分析:B 选项根式被开方数中中含有分母，CD 选项中含有能开得尽方的因数（或式）. 例3下列各式中与是同类二次根式的是( )A ．2B ．C ．D ．分析：判断是否是同类二次根式前，要对每个根式进行化简。
例4 计算:（1）=； （2）=_________。
分析：根据二次根式的性质可直接得到结论。
例5化简：（1)____; ____；（2)____；分析：逆用二次根式乘除法公式结合二次根式的性质可直接得到结论.例6计算：(1）+－－ (2）＝________；（3）；（＞0） （＜0） 0 （=0）；分析：第1小题首先要将它们化成最简二次根式，然后合并同类二次根式。
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二次根式复习课
教学目标
1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；
2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．
教学重点和难点
重点：含二次根式的式子的混合运算．
难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．
教学过程设计
一、复习
1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．
指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．
2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．
指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相
除，
计算结果要把分母有理化．
3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：
4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：
二、例题
例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：
分析：
(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；
(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
x≥-2且x≠0．
解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以
例3
分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．
解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．
(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．
这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．
问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？
分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．
解
注意：
所以在化简过程中，
例6：
分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．
a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，
三、课堂练习
1．选择题：
A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2
A．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2
A．2x B．2a C．-2x D．-2a
2．填空题：
4．计算：
四、小结
1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．
2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．
4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．
五、作业
1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？
2．把下列各式化成最简二次根式：。